量子计算和量子信息(量子计算部分,Nielsen等着)6
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6.1
当x=0时有(2|0><0|-I )|x>=|0> 当x>0时有(2|0><0|-I )|x>=-|x> 所以2|0><0|-I I 即为相移算子 6.2 |φ><φ|=1/N Σ
i =0
N−1Σ
j =0
N−1|i> 所以有(2|φ><φ|-I )Σ k =0N−1 a k |k>=2/N Σi =0 N−1Σ j =0 N−1|i> a k |k>-Σk =0 N−1a k |k> 而|i>,|j>,|k>都经过标准归一化，所以当|j>=|k>时，有|j> 时，有|j> N−1Σ k =0 N−1a k |k>-Σ k =0 N−1a k |k>=Σ k =0 N−1[-a k +]|k> 其中=Σ k =0 N−1a k N 6.3 (此处为验证Grover 迭代能写成以下矩阵形式) |φ>=cos(θ/2)|α>+sin(θ/2)|β>写成向量形式为[cos(θ/2) sin(θ/2)]T 所以G|φ>= cos θ−sin θsin θ cos θ cos(θ/2)sin(θ/2) = cos(3θ/2) sin(3θ/2) =cos(3θ/2)|α>+sin(3θ/2)|β> 所以Grover 迭代能写成G= cos θ −sin θsin θ cos θ 6.4 按照书上只有一解的过程，对于多解只能测量出所有解的和 6.5 6.6 (⊙为张量积符号 X 为PauliX 门, Z 为PauliZ 门) 框中的门可以表示为 (X ⊙X)（I ⊙H ）（|0><0|⊙I+|1><1|⊙X ）(I ⊙H)(X ⊙X) =X|0><0|X ⊙XHHX+X|1><1|X ⊙XHXHX(HXH=Z) =|1><1|⊙I +|0><0|⊙(-Z) =(I -|0><0|)⊙I +|0><0|⊙(I-2|0><0|) =I-|0><0|⊙I+|0><0|⊙I-2|0><0|⊙|0><0| =-(2|00><00|-I) 6.7 (Z为PauliZ门) 验证图6.4 exp(-i|x> =exp(-i△t/2*(I+Z)) =exp(-i△t/2*I)exp(-i△t/2*Z) 令c=cos(△t/2),s=sin(△t/2) =(c-is)(c-isZ) =(c-is)c−is0 0c+is 令C=cos(△t),S=sin(△t) =C−iS0 01 =exp(−i△t)0 01 =exp(−i△t)10 0exp(i△t) 验证图6.5照用上面方法，好像有问题 6.8 精度达O（△t r),则总误差为O（△t r N)则要有△t=Θ（N−1/(2r−2)) 总共调用步数为 O（N 1 /N−1)=O（N 1+1 2（r−1))=O（N r 2（r−1)) 6.9 a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3), a×a =(a2*b3-a3*b2)x+(a3*b1-a1*b3)y+(a1*b2-a2*b1)z U(△t) =exp(-i|φ><φ|△t)exp(-i|x> =exp(-i(I+φ˙σ)△t/2)exp(-i(I+z˙σ)△t/2) (φ=(2αβ,0,(α2 −β2)) ) =exp(−iI△t/2)2exp(-iφ˙σ△t/2)exp(-i z˙σ△t/2) 令c=cos(△t/2),s=sin(△t/2) ,且有α2 +β2=1 =c−is2c−isα2−β2−2isαβ −2isαβc+isα2−β2 c−is0 0c+is =c−is2c−is(c−isα2−β2)−2(c+is)isαβ−2c−is isαβ(c+is)(c+isα2−β2) =c−is2c2−s2α2−β2−2iscα2−2(c+is)isαβ−2c−is isαβc2−s2α2−β2+2iscα2 等式右边展开有 =（c2−s2α2 −β2)I-2is cαβ −sαβ cα2 σ = c2−s2α2−β20 0c2−s2α2−β2-2is cα2(c+is)αβc−isαβ−cα2 =c2−s2α2−β2−2iscα2−2(c+is)isαβ−2c−is isαβc2−s2α2−β2+2iscα2 除去全局相位，有6.25式成立 6.10 U(△t)的作用是r旋转|φ><φ|，每次转过的角度是θ，可以通过选取适当的△t，可以使得正好旋转O（N)整数次，有O（N)∗θ=|φ><φ|，所以最终状态恰好是|x>,成功概率是1 6.11 (本题只是一个猜测，并未验证) H=Σ i =0 M−1|x i > 6.12 6.13 6.14 6.15 (φ+ 表示φ的共轭转置) Σx =0N−1 φ−x 2=Σx =0 N−1 φ−x + (φ−x) =Σ x =0 N−1 φ+ φ-φ+ x-x +φ+x + x =N(1+1)-Σ x =0 N−1(φ+ x+x +φ) ≥2N-2 Σx =0 N−1<φ φ> =2N-2 N