七年级方程及方程组

【知识点梳理】
一元一次方程：
1、方程的有关概念：
（1）一元一次方程：只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的整式方程，这样的方程叫做一元一次方程。
（2）方程的解——能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
（3）解方程——求方程的解的过程叫做解方程。
练习：（1）下列各式中：① ，② ，③ ， ④ ，⑤ ，
（2）当 时，从“数”看：方程组_______解；
（3）当 时，从“数”看：方程组有_______解；
（4）已知 是关于x、y的二元一次方程 的一组解，求 的值．
二元一次方程组：
一、二元一次方程组
由几个一次方程组成并且一共含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
特别地， 和 也是二元一次方程组．
二、二元一次方程组的解
（8）答——做出答的结果。
在书写解题过程时，一般只需要设、列、解、答四个步骤即可。
练习：（1）已知 是关于 的方程 的解，求 的值；
（2）.某市为了鼓励节约用水，对自来水的收费标准作了如下规定：每月每户用水不超过10吨的部分，按0．45元/吨收费；超过10吨而不超过20吨的部分按0．80元/吨收费；超过20吨的部分按1．5元/吨收费．现已知李老师家某月缴水费14元，则李老师家这个月用水多少吨？
1.下列方程组中是二元一次方程组的是（）
A． B． C． D．
2.下列方程中，与方程 所组成的方程组的解是 的是（）
A． B． C． D．
3.若 是方程 的一个解，则 ．
解方程：
一、消元思想
二元一次方程组中有两个未知数，如果能“消去”一个未知数，那么就能把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．
变形步骤
具 体 方 法
变 形 根 据
注 意 事 项
去分母
方程两边都乘以各个分母的最小公倍数
等式性质2
1．不能漏乘不含分母的项；
2．分数线起到括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，则要加括号
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
乘法分配律、去括号法则
1．分配律应满足分配到每一项
2．注意符号，特别是去掉括号
等式性质2
分子、分母不能颠倒
解下列一元一次方程．
（1） ； （2） ；
（3） .（4）
（5） （6）
关于 方程 ．你会解这个方程吗？
4、列方程解应用题的步骤：
（1）审——认真审题
（2）设——未知数
（3）表——用未知数表示有关的量。
（4）找——等量关系
（5）列——方程
（6）解——方程
（7）检——检验解是否符合题意
随堂练习：
1.如果 ，b是定值时，关于x的方程 总有一个解是1，求 ，b的值。
2.如果方程 有无穷多个解，求 ，b的值。
3.若关于x的方程 无解，试求m，n的值
4.据电力部门统计，每天8︰00至21︰00是用点高峰期，简称“峰时”，21︰00至次日8︰00是用电低谷期，简称“谷时”。为了缓解供电需求紧张的矛盾，我市电力部门拟逐步统一换装“峰谷分时”电表，对用电实行“峰谷分时电价”新政策，具体见下表：
时间
换表前
换表后
峰时（8︰00—21︰00）
谷时（21︰00—8︰00）
电价
每0.52元
每度0.55元
每度0.30元
小明家对换表后最初使用的95度电进行测算，经测算比换表前使用95度电节约了5.9元，问小明家使用“峰时” 电和“谷时” 电分别是多少度?
二元一次方程：
一、二元一次方程
含有两个未知数，并且两个未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．
【例3】若方程 是关于x、y的二元一次方程，则m的值为_______，n的值为_______．
【例4】要使方程组 有正整数解，则整数a的值是．
【例5】关于二元一次方程组 的解．（其中6个常数均不为零．）（每小题前一个空选填“唯一”、“无”或“无穷多组”）．
（1）当 时，从“数”看：方程组有_______解；
判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件：
方程两边的代数式都是整式——分母中不能含有字母；
有两个未知数——“二元”；
含有未知数的项的最高次数为1——“一次”．
关于x、y的二元一次方程的一般形式： （ 且 ）．
二、二元一次方程的解
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组取值叫做二元一次方程的解．在写二元一次方程解的时候我们用大括号联立表示．
二元一次方程组中所有方程（一般为两个）的公共解叫做二元一次方程组的解．
注意：
（1）二元一次方程组的解一定要写成联立的形式，如方程组 的解是 ．
（2）二元一次方程组的解必须同时满足所有方程，即将解代入方程组的每一个方程时，等号两边的值都相等．例如：
因为 能同时满足方程 、 ，所以 是方程组 的解．
随堂检测：
⑥ ，⑦ ，是一元一次方程的是 （ 只填序号）
（2）如果方程 是表示关于 的一元一次方程，那么 .
2、解一元一次方程的步骤：
等式的性质：
性质1：等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
性质2：等式两边都乘以或除以同一个数不等于0的数，所得结果仍是等式。
一般的，解一元一次方程的步骤是：去分母 、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 。
这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做“消元”．使用“消元法”减少未知数的个数，使多元方程组最终转化为一元方程，再逐步解出未知数的值．
二、代入消元法
1、代入消元法的概念
将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法．
如：方程 的一组解为 ，表明只有当 和 同时成立时，才能满足方程．
一般的，二元一次方程都有无数组解，但如果确定了一个未知数的值，那么另一个未知数的值也就随之确定了．
例题：
【例1】若 是关于x、y的二元一次方程，则 ______， ______．
【例2】已知方程 是关于x、y的二元一次方程，则 ______， ______．
移 项
把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边
等式性质1
1．移项要变号；
2．一般把含有未知数的项移到方程左边，其余项移到右边
合并同
类 项
把方程中的同类项分别合并，化成“ ”的形式（ ）
合并同类项法则
合并同类项时，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变
未知数的系数化成“1”
方程两边同除以未知数的系数 ，得