计算机视觉中的多视图几何 3D射影几何和变换 直线的齐次表示
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Plucker直线坐标 (1)是Plucker反对乘矩阵的六个非零元素 的集合，即l={l12,l13,l14,l23,l42,l34} l的行列式值为0，故有 l12*l34+l13*l42+l14*l23=0 (2)假定两条直线l1和l2分别由连接A,B和 连接A1，B1所产生的，这些直线相交的 充要条件是四点共面，所以行列式值为 零,即IA,B,A1,B1I=0.
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点和射影变换 2D射影几何中点的非齐次表示(X,Y)，齐 次表示(X,Y,1).ax+by+c=0,矢量(a,b,c). 3D射影几何中点X用齐次表示时需要一 个4维矢量，齐次矢量X=(x1,x2,x3,x4),对 应非齐次坐标(X,Y,Z),当X=x1/x4, Y=x2/x4, Z=x3/x4。在x4=0时，齐次点X表示无穷远 点。
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点的齐次表示
理想点与无穷远线
两条平行线L1：ax+by+c=0 L2：ax+by+c‘=0 可以求得两条直线的交点为（bc’-bc,0,0） 这是点的齐次表示，当我们用非其次点来 表示时会出现bc’-bc/0的问题，这就是说两 条线的交点在无穷远处
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理想点与无穷远点
3D射影几何和变换
点与直线
直线的齐次表示：ax+by+c=0 (a,b,c)’看做矢量，(ka,kb,kc)’也是矢量； 上述两个矢量是等价的，因为只差一个全 局缩放因子，却都表示相同的直线； 这种等价关系下的等价类叫做齐次矢量； 在IR² 中的矢量等价类的集合组成射影空间 IP² ，(0,0,0)’；
IR² 是包含了那些在坐标齐次表示下 x3!=0的点，当我们把x3=0的点与IR² 集 合起来，形成IP² ，我们称IP² 为射影空间。 X3=0的点叫理想点,或无穷远点，无穷远 点的集合是一条直线，即无穷远线。 I=（0,0,1）表示无穷远线 任意直线与无穷远线的交点都是(b,-a,0)， 所以无穷远线可以看作是平面上所有直 线方向的集合
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表示：点，x=(x,y)’；直线I=(a,b,c)’； ax+by+c=0; 方法：把“1”作为增加在点中的最后一个坐 标使IR² 变成一个齐次矢量； 充要条件：(x,y,1)与(a,b,c)’的内积是 ax+by+c=0； 通式：点的齐次表示为x=(x1,x2,x3)’ x=(x1/x3,x2/x3)；
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联合与关联关系
(1)平面可由一般位置的三个点或一条直线与一 个点的联合来唯一确定 (2)两张不同的平面交于唯一的直线 (3)三张不同的平面相较于一点
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三点确定一张平面
(1)设三点Xi在平面π上,那么每点满足π’X=0
x1’ x2’ π=0 x3’ π1’ π2’ x=0 π3’
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平面、直线和二次曲面的表示和变换 直线公式：ax+by+c=0,矢量(a,b,c). 平面公式：π1X+π2Y+π3Z+π4=0,矢量 (π1,π2,π3,π4)’. 齐次化, X=x1/x4, Y=x2/x4, Z=x3/x4. 得到π1x1+π2x2+π3x3+π4x4=0 或简记为π’X=0.表示点X在π上.
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射影变换 在点变换X’=HX下，平面变换为 π‘=H’‘‘π 平面上的点的参数表示 在平面π上的点X可以写成X=Mx 其中M是4*3矩阵，设平面π=(a,b,c,d)’ 且a非零，那么M’可以写成M‘=[PII3*3]， 其中p=(-b/a,-c/a,-d/a)’
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直线的表示 两点的连线或两平面的相交定义一条直线，每 个交点由两个参数确定，两个交点有四个参数， 故有四个自由度.问题，4个自由度得5个变量 表示。
因为一般位置，所以它们线性无关 (2)矩阵M=[X,X1,X2,X3],它由一般位置的点X和 确定平面π的三点Xi组成.当X在π上时，IMI=0 因为三点确定一个平面，再多一点，肯定可 以用X1,X2,X3线性表示，所以不是满秩的。 IMI=X1D234-X2D134+X3D124-X4D123 π=(D234,D134,D124,D123)是(1)的解矢量,零空间
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设A,B分别是原点和X-方向的理想点 L=(0,0,0,1)’(1,0,0,0)-(1,0,0,0)’(0,0,0,1) =4行4列的矩阵反对称矩阵，左下角1 由两平面P,Q的交线确定的直线的对偶 Plucker表示为L*=PQ’-QP’并与L有相似 的性质。在点变换下，L*’=H‘’‘L*H’‘,矩 阵L*可由L通过简单的重写规则得到： l12:l13:l14:l23:l42:l34=l*34:l*42:l*23:l*14:l*13:l*12 对偶的原则是1234的集合
(1)零空间与生成子空间表示
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(2)Plucker矩阵 将一条直线由4*4的反对称齐次矩阵表示，连 接两点A,B的直线L的矢量表示：L=AB’-BA’ L有若干如下性质： 1、L的秩为2 2、该表示具有描述一条直线所需要的4个自由 度，6-2 3、矩阵L与用来确定它的点A,B无关,C=A+aB 代替时,那么得到的矩阵是 L’’=AC’-CA’=A(A’+aB’)-(A+aB)A’= AB’-BA’=L
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二次曲面与对偶二次曲面
X’wenku.baidu.comX=0，X是点，Q是4*4的对称矩阵。
二次曲面的分类
二次曲面的矩阵Q是对称的，它可以分解为 Q=U’DU,U是正交矩阵，D是实对角矩阵，通过 对U的缩放，可以得到Q=H’DH,则D等价于矩阵 H进行了射影变换。令对角矩阵符号差∮(D),定义 为D中+1与-1个数的差值。如表
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秩 ∮ 4 4 2 0 3 3 1 2 2 0 1 1
对角线 方程 实现 (1,1,1,1) X² +Y² +Z² +1=0 无实点 (1,1,1,-1) X² +Y² +Z² =1 球面 (1,1,-1,-1) X² +Y² =Z² +1 单叶双曲面 (1,1,1,0) X² +Y² +Z² =0 点(0,0,0,1) (1,1,-1,0) X² +Y² =Z² 过原点的圆锥 (1,1,0,0) X² +Y² =0 单条直线(Z轴) (1,-1,0,0) X² =Y² 两平面X=+-Y (1,0,0,0) X² =0 平面X=0
Plucker直线坐标 (1)是Plucker反对乘矩阵的六个非零元素 的集合，即l={l12,l13,l14,l23,l42,l34} l的行列式值为0，故有 l12*l34+l13*l42+l14*l23=0 (2)假定两条直线l1和l2分别由连接A,B和 连接A1，B1所产生的，这些直线相交的 充要条件是四点共面，所以行列式值为 零,即IA,B,A1,B1I=0.
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点和射影变换 2D射影几何中点的非齐次表示(X,Y)，齐 次表示(X,Y,1).ax+by+c=0,矢量(a,b,c). 3D射影几何中点X用齐次表示时需要一 个4维矢量，齐次矢量X=(x1,x2,x3,x4),对 应非齐次坐标(X,Y,Z),当X=x1/x4, Y=x2/x4, Z=x3/x4。在x4=0时，齐次点X表示无穷远 点。
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点的齐次表示
理想点与无穷远线
两条平行线L1：ax+by+c=0 L2：ax+by+c‘=0 可以求得两条直线的交点为（bc’-bc,0,0） 这是点的齐次表示，当我们用非其次点来 表示时会出现bc’-bc/0的问题，这就是说两 条线的交点在无穷远处
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理想点与无穷远点
3D射影几何和变换
点与直线
直线的齐次表示：ax+by+c=0 (a,b,c)’看做矢量，(ka,kb,kc)’也是矢量； 上述两个矢量是等价的，因为只差一个全 局缩放因子，却都表示相同的直线； 这种等价关系下的等价类叫做齐次矢量； 在IR² 中的矢量等价类的集合组成射影空间 IP² ，(0,0,0)’；
IR² 是包含了那些在坐标齐次表示下 x3!=0的点，当我们把x3=0的点与IR² 集 合起来，形成IP² ，我们称IP² 为射影空间。 X3=0的点叫理想点,或无穷远点，无穷远 点的集合是一条直线，即无穷远线。 I=（0,0,1）表示无穷远线 任意直线与无穷远线的交点都是(b,-a,0)， 所以无穷远线可以看作是平面上所有直 线方向的集合
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表示：点，x=(x,y)’；直线I=(a,b,c)’； ax+by+c=0; 方法：把“1”作为增加在点中的最后一个坐 标使IR² 变成一个齐次矢量； 充要条件：(x,y,1)与(a,b,c)’的内积是 ax+by+c=0； 通式：点的齐次表示为x=(x1,x2,x3)’ x=(x1/x3,x2/x3)；
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联合与关联关系
(1)平面可由一般位置的三个点或一条直线与一 个点的联合来唯一确定 (2)两张不同的平面交于唯一的直线 (3)三张不同的平面相较于一点
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三点确定一张平面
(1)设三点Xi在平面π上,那么每点满足π’X=0
x1’ x2’ π=0 x3’ π1’ π2’ x=0 π3’
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平面、直线和二次曲面的表示和变换 直线公式：ax+by+c=0,矢量(a,b,c). 平面公式：π1X+π2Y+π3Z+π4=0,矢量 (π1,π2,π3,π4)’. 齐次化, X=x1/x4, Y=x2/x4, Z=x3/x4. 得到π1x1+π2x2+π3x3+π4x4=0 或简记为π’X=0.表示点X在π上.
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射影变换 在点变换X’=HX下，平面变换为 π‘=H’‘‘π 平面上的点的参数表示 在平面π上的点X可以写成X=Mx 其中M是4*3矩阵，设平面π=(a,b,c,d)’ 且a非零，那么M’可以写成M‘=[PII3*3]， 其中p=(-b/a,-c/a,-d/a)’
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直线的表示 两点的连线或两平面的相交定义一条直线，每 个交点由两个参数确定，两个交点有四个参数， 故有四个自由度.问题，4个自由度得5个变量 表示。
因为一般位置，所以它们线性无关 (2)矩阵M=[X,X1,X2,X3],它由一般位置的点X和 确定平面π的三点Xi组成.当X在π上时，IMI=0 因为三点确定一个平面，再多一点，肯定可 以用X1,X2,X3线性表示，所以不是满秩的。 IMI=X1D234-X2D134+X3D124-X4D123 π=(D234,D134,D124,D123)是(1)的解矢量,零空间
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设A,B分别是原点和X-方向的理想点 L=(0,0,0,1)’(1,0,0,0)-(1,0,0,0)’(0,0,0,1) =4行4列的矩阵反对称矩阵，左下角1 由两平面P,Q的交线确定的直线的对偶 Plucker表示为L*=PQ’-QP’并与L有相似 的性质。在点变换下，L*’=H‘’‘L*H’‘,矩 阵L*可由L通过简单的重写规则得到： l12:l13:l14:l23:l42:l34=l*34:l*42:l*23:l*14:l*13:l*12 对偶的原则是1234的集合
(1)零空间与生成子空间表示
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(2)Plucker矩阵 将一条直线由4*4的反对称齐次矩阵表示，连 接两点A,B的直线L的矢量表示：L=AB’-BA’ L有若干如下性质： 1、L的秩为2 2、该表示具有描述一条直线所需要的4个自由 度，6-2 3、矩阵L与用来确定它的点A,B无关,C=A+aB 代替时,那么得到的矩阵是 L’’=AC’-CA’=A(A’+aB’)-(A+aB)A’= AB’-BA’=L
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二次曲面与对偶二次曲面
X’wenku.baidu.comX=0，X是点，Q是4*4的对称矩阵。
二次曲面的分类
二次曲面的矩阵Q是对称的，它可以分解为 Q=U’DU,U是正交矩阵，D是实对角矩阵，通过 对U的缩放，可以得到Q=H’DH,则D等价于矩阵 H进行了射影变换。令对角矩阵符号差∮(D),定义 为D中+1与-1个数的差值。如表
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秩 ∮ 4 4 2 0 3 3 1 2 2 0 1 1
对角线 方程 实现 (1,1,1,1) X² +Y² +Z² +1=0 无实点 (1,1,1,-1) X² +Y² +Z² =1 球面 (1,1,-1,-1) X² +Y² =Z² +1 单叶双曲面 (1,1,1,0) X² +Y² +Z² =0 点(0,0,0,1) (1,1,-1,0) X² +Y² =Z² 过原点的圆锥 (1,1,0,0) X² +Y² =0 单条直线(Z轴) (1,-1,0,0) X² =Y² 两平面X=+-Y (1,0,0,0) X² =0 平面X=0