数学建模-实验报告11

《数学建模实验》实验报告

学号：______ 姓名: 实验十一：微分方程建模2 一只小船渡过宽为d的河流，目标是起点A 正对着的另一岸B点，已知河水流速w 与船在静水中的速度V2之比为k.

1•建立小船航线的方程，求其解析解；

2. 设d=100m,v i=1m/s,v2=2m/s，用数值解法求渡河所需时间、任意时刻小船的位置及航行曲线，作图，并与解析解比较。

一、问题重述

我们建立数学模型的任务有：

1. 由已给定的船速、水速以及河宽求出渡河的轨迹方程；

2. 已知船速、水速、河宽，求在任意时刻船的位置以及渡船所需要的时间。

二、问题分析

此题是一道小船渡河物理应用题，为典型的常微分方程模型，问题中船速、水速、河宽已经给定，由速度、时间、位移的关系，我们容易得到小船的轨迹方程，同时小船的起点和终点已经确定，给我们的常微分方程模型提供了初始条件。

三、模型假设

1•假设小船与河水的速度恒为定值v「V2 ,不考虑人为因素及各种自然原因；

2. 小船行驶的路线为连续曲线，起点为A，终点为B ；

3. 船在行驶过程中始终向着B点前进，即船速v2始终指向B ；

4. 该段河流为理想直段，水速w与河岸始终保持平行。

四、模型建立

y |

B

A

兀、

% \

*

r

v

A X

如图，以A为原点，以沿河岸向右方向为x轴正向，以垂直河岸到B端方向为y轴正向建立平面直角坐标系。其中河水流速为v i，小船速度为V2，且w:v2 k，合速度为v，河宽为d，为72与直线AB的夹角。

V x

V y

在t 时刻, 船 dx dt

V i 小船在x 轴方向的位移为 x

v 2 sin v 2 cos V i V 2

0,x(0)

0, y(0) ；(d y) 0.

\ (d y) d

y ______

2 2 '

x

dy v 2 cos 由(2)/(1)得到dx

y(0) v-1 v 2 sin

0.

dx In (2)

(i )题

dx

对上式求倒数得

dx

dy

x ，在y 轴方向上的位移为y ，则t 时刻, 方向

的速度

模型求解

v 2 sin

V 1 v 2

co s

—，

则上式可化为

dx

d y dy

d ?dp pdy

ydp ，代入上式, k J

p 2

整理，得

P 2

|

ln|

d

Cy |

也就是

x 2 (d y )2

y

P (d y )

dp P 2

kdy ，积分可得

y

C k

（ ------- ）k ，代入 d y

x

d y d y 2 0, y 0

d k (d y )k (d y )k d k （见附

录） ，对该情况下的微分方程的数值解进行分 60.0000

6.5451 98.2803 60.1000 6.4519 98.3319 60.2000 6.3585 98.3827 60.3000

6.2649 98.4327 60.4000 6.1711 98.4819 60.5000 6.0771 98.5304 60.6000 5.9829 98.5782 60.7000 5.8886 98.6251 60.8000 5.7940 98.6713 60.9000

5.6993 98.7168 61.0000 5.6043 98.7615 61.1000 5.5092 98.8054

题 由初始条件，设计程序 析，结果如下（省略了前60s 的数据）：

61.2000 5.4139 98.8486 61.3000 5.3183 98.8909

61.4000 5.2226 98.9326 61.5000 5.1266 98.9737 61.6000 5.0305 99.0141 61.7000 4.9343 99.0537 61.8000 4.8379 99.0925 61.9000 4.7414 99.1304

62.0000 4.6448 99.1676 62.1000 4.5481 99.2040 62.2000 4.4512 99.2395 62.3000 4.3543 99.2743 62.4000 4.2572 99.3083 62.5000 4.1600 99.3415 62.6000 4.0627 99.3738 62.7000 3.9652 99.4054 62.8000 3.8677 99.4362

62.9000 3.7700 99.4662

63.0000 3.6722 99.4953

63.1000 3.5743 99.5237 63.2000 3.4762 99.5513 63.3000 3.3781 99.5781 63.4000 3.2798 99.6041 63.5000 3.1814 99.6292 63.6000 3.0829 99.6536

63.7000 2.9843 99.6772 63.8000 2.8855 99.7000

63.9000 2.7865 99.7225

64.0000 2.6875 99.7442 64.1000 2.5884 99.7650 64.2000 2.4893 99.7850 64.3000 2.3901 99.8041 64.4000 2.2909 99.8224 64.5000 2.1917 99.8398 64.6000 2.0924 99.8564 64.7000 1.9930 99.8722

64.8000 1.8936 99.8871

64.9000 1.7942 99.9011

65.0000 1.6947 99.9143

65.1000 1.5951 99.9267 65.2000 1.4955 99.9382 65.3000 1.3959 99.9489 65.4000 1.2962 99.9587 65.5000 1.1965 99.9677