小升初数学培优讲义全46讲—第40讲 容斥原理

第40讲 容斥原理

1、考察范围：AB 、ABC 类型。

2、考察重点：求三者公共区域数，总数。

3、命题趋势：一般出现在填空题后面几道，大题选考。

容斥问题：有重复包含关系的问题。 容斥原理是奥数的四大原理之一，是考生们绕不过去的知识点。容斥原理在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果 既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 容斥原理听上去很高深的一个“玩意”，其实通俗点理解就是在求解一个问题时，发现有部分被重复加了，那么就把重复部分减去，如果少加了，那么就把那部分补上。

1、两种量的容斥原理问题

如果被计数的事物有A 、B 两类，那么， A 类B 类元素个数总和= 属于A 类元素个数+ 属于B 类元素个数—既是A 类又是B 类的元素个数。

即A ∪B = A+B - A ∩B

2、三种量的容斥原理问题

如果被计数的事物有A 、B 、C 三类，那么， A 类和B 类和C 类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数—既是A 类又是B 类的元素个数—既是A 类又是C 类的元素个数—既是B 类又是C 类的元素个数+既是A 类又是B 类而且是C 类的元素个数。

即A ∪B ∪C = A+B+C - A ∩B - B ∩C - C ∩A + A ∩B ∩C

考点解读

知识梳理

典例剖析

【例1】在1-30的自然数中，是2的倍数或者3的倍数的数共有多少个？

【变式练习】

1、在1-200的自然数中能被3或5整除的数有多少个？

【例2】三年级同学有56人参加科技和美术两个课外兴趣小组。其中参加科技组的有36人，参加美术组的有28人，两个小组都参加的有多少人？

【变式练习】

1、某区100个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的有75人，既懂英语又懂俄语的有20人，那么懂俄语的教师有多少人？

2、一个班有36个学生，在一次测验中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人，那么两题都不对的有多少人？

【例3】有一根180厘米长的绳子，从一端开始，每3厘米作一个记号，每4厘米也做一个记号，然后将有记号的地方剪断，问：绳子被剪成多少段？

【变式练习】

1、有一根120厘米长的绳子，从一端开始，每5厘米作一个记号，每6厘米也做一个记号，然后将有记号的地方剪断，问：绳子被剪成多少段？

2、在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

【例4】一次数学测验中只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二踢有18人做错，那么两题都做错的有多少人？

【变式练习】

1、某班在一次测验中有28人语文获优，30人数学获优，其中语文、数学双优的有1人，另外还有1人语文、数学均未获优，这个共有多少学生？

2、有两块一样长的木板，钉在一起，如果每块木板长25厘米，中间钉在一起的长5厘米，现在木板有多长？

【例5】100个学生中只有1人没有学过外语。学过英语的有39人，学过法语的有49人，学过俄语的有41人。既学过英语也学过法语的有14人，既学过英语也学过俄语的有13人，既学过法语也学过俄语的有9人。问：三种语言都学过的有多少人？

【变式练习】

1、某校共100名学生参加运动会，其中39人参加游泳比赛，49人参加田径比赛，41

人参加球类比赛，既参加游泳又参加田径比赛的有14人，既参加田径又参加球类比赛的有13人，既参加游泳又参加球类比赛的有9人，还有1人这三项比赛都不参加，求这三项比赛都参加的有多少人？

2、某学校五年级共有110人，参加语文、数学、英语三科活动小组，每人至少参加一组。已知参加语文小组的有52人，只参加语文小组的有16人；参加英语小组的有61人，只参加英语小组的有15人；参加数学小组的有63人，只参加数学小组的有21人。那么三组都参加的有多少人？

课后精练

A、温故知新

1、一个班有45个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书。借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人。语文、数学两种课外书都借的有多少人？

2、三年级同学参加科技和美术两个课外兴趣小组，参加科技组的有36人，参加美术组的有28人，两个小组都参加的有8人，三年级一共有多少人参加课外兴趣小组？

3、某班学生中参加语文小组的有20人，参加数学小组的有22人。既参加语文又参加数学小组的有10人，既未参加语文又未参加数学的有15人。问该班学生共有多少人？

4、有两块木板，一块长72厘米，另一块长56厘米，如果把两块木板重叠后钉成一块，重叠部分是20厘米。求钉成后的木板长多少厘米？

5、某班学生参加数、理、化三科考试：数、理、化优秀的学生分别是30人、28人、25人。数+理、理+化、数+化都优秀的学生分别有20人、16人、17人，三科全优秀的有10人。问：数、理、化三科至少有一科优秀的有多少人？

6、六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺、科学三项中的一项。其中：爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人；只爱好体育和科学的4

人，只爱好体育和文艺的17人。问只爱好体育的有多少人？有多少人只爱好科学和文艺两项？

7、某班语文、数学、外语三门课程，期中成绩统计如下：至少有一门课程得满分的学生只有18人，语文得满分的有9人，数学得满分的有11人，外语得满分的有8人，语文数学都得满分的有5人，数学外语都得满分的有3人，语文外语都得满分的有4人。问：语文、数学两门课程中至少有一门得满分的有多少人？语文、数学、外语都得满分的有多少人？

B、拓展提升

1、某班有学生46人，其中28人学钢琴，35人学电脑，37人学美术，40人学奥数，那么这个班至少有多少人四项都学？

2、在迎新联欢晚会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出，如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参