最新[医学]心脏冠状动脉CTA成像PPT课件

[医学]心脏冠状动脉CTA成像
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第三节 牛顿迭代法与弦割法
1、牛顿法基本思想
将非线性方程线性化，以线性方程的解逼近非线性方程的解。 2. 牛顿迭代法的原理
将非线性方程线性化，如何实现？？ 取 x0 x*，将 f (x) 在 x0 处做一阶Taylor展开:
3. 牛顿迭代法的几何解释：
方程 f (x) 0的根 x *在几何上是曲线 y f (x)与 x 轴的交
点的横坐标。若 x k 是根 x * 的一个近似，过曲线上横坐标为 x k
的点 P k 作曲线 y f (x)的切线，则该切线与 x 轴交点的横坐
标即为 x k 1 。
y
(x0, f (x0))
lim （2） n ((xxn n1 x* x)*2)2ff''('(xx**))c
证0 ：f(将x * f( x))f在(x n x)n 处f'( 作x n 2)阶x (* T ax yn lo) r展f" 开2 (! n ,并)(x 将* 解x n x)*2代入
x *x nff'((x x n n ))2 ff " '( (x n n ))(x * x n)2x n 12 ff " '( (x n n ))(x * x n)2
2
0
(a0)的正根
2 f ( x)
x3
1 2xk(3axk 2)
xk3 k0,1,2,
✓
4、牛顿迭代法的局部收敛性定理
设 x* 为方程 f (x) = 0的根，在包含x*的某个开区间内 f ( x) 连 续，且 f ( x) 0，则存在 x* 的邻域 B ( x*) [ x , x ]， 使得任取初值 x0 B ( x*)，由牛顿迭代法产生的序列 xk 以不 低于二阶的收敛速度收敛于x*.
那么,如何确定 p,从而确定收敛阶呢？
如 果 迭 代 函 数 (x )在 精 确 解 x * 处 充 分 光 滑 ,
即 处 处 可 导
将 (x)在 x*作 Ta展 ylo ,有 开 r
( x ) ( x * )( x *x ) x ( * ) ( x *( x ) x * 2 ) 2 !
(p 1 )(x*()xx*p ) 1(p)(x*()xx*p )
(p 1 )!
p !
如(x 果 * )(x * ) (p1)(x*)0
而(p)(x*)0
(x)(x*)(p)(x*)(xx*)p
p!
xk1 (xk) (x*)(pp )(!x*)(xkx*p )
xk1 x*(pp)(!x*)(xk x*)p
( 2 )(x * )(x * ) (p1)(x*)0,
而(p)(x*)0
则迭x 代 k1 法 (xk)的收敛 p 阶是
2. Newton迭代法收敛定理
定理 设 f(x*)=0, f '(x*) 0 ,且在 x* 的邻域上 f二次连续 可微 ， 则可得
（1）Newton迭代公式在单根情况下至少2阶收敛;
x*x0
f(x0) f(x0)
x1
y
x 1 是如下线性方程的根！
y f(x 0 ) f(x 0 )(x x 0 )
(x0, f (x0))
x*
x2 x1 x0
xk1xkff((x xk k))
x
k0,1,2,
只要 f C1，每一步迭代都有 f (xk) 0
而且
lim
k
xk
x，则
x*就是
f
的根。
定义1.
若 存 在 实 数 p 1 和 c 0 满 足
c l i m
k
e k 1
e
k
--------(9)
则 迭 代 法 p 阶 收 敛 。 p 1 ， c 1 时 线 性 收 敛 ,
2 p 1 超 线 性 收 敛 ,p 2 时 平 方 收 敛
显 然 ,p 越 大 ,收 敛 速 度 也 就 越 快
注意到ξn 在xn 及x*之间,及
limxn x*
n
,故
lni m |xxnn 1 x*x|*p| c (c0)
x * x n f f ' ( ( x x n n ) ) 2 f f " ' ( ( x n n ) ) ( x * x n ) 2 x n 1 2 f f " ' ( ( x n n ) ) ( x * x n ) 2
f( x ) f( x 0 ) f( x 0 )x ( x 0 ) f 2 ( !) ( x x 0 ) 2 ， 在 x0 和 x 之间
取 x x * ，可将 (x* x0)2 看成高阶小量，则有：
0 f ( x * f ) ( x 0 ) f ( x 0 ) x * ( x 0 )
((p p 1)(1x)*!)(xk x*)p1
xk1 x * xk x * p
(pp )(!x*)((p p 1)(1x)*!)(xkx*)
(
p)(x*),(k
)
p!
即迭x 代 k1 法 (xk)的收敛 p阶是
定理3-6 .如果迭代法迭 (x代 )在函 根 x数 *附近满足 (1) (x)存在p阶导数切连续；
证明：牛顿迭代法事实上是一种特殊的不动点迭代
其中 (x) x ，ff则((xx))
f 2 ( x) f ( x) f ( x)
( x) 1
f 2( x)
✓ (x*)f(fx * 2( )x f* ()x*)01 收敛
3.5迭代法收敛阶与加速收敛
1、迭代法收敛阶与加速收敛
设 ek xk x*
x*
x2 x1 x0
x
例2.5：写出求 a (a 的0牛) 顿迭代格式；写出求
1 (a 0) a
的牛顿迭代格式,要求公式中既无开方运算，又无除法运算。
解：等价于求方程 f(x)x2a0(a0 )的正根 f ( x) 2 x
x k 1 x k f f ( ( x x k k ) ) x k x 2 k 2 x k a 1 2 ( x k x a k )k 0 ,1 ,2 ,
解法一：等价于求方程 f(x)(x
xk1
xk
f (xk ) f (xk )
Hale Waihona Puke xk(xk 1 )2 a
2(xk
1) a
1)20 (a0)的根
a
f ( x) 2( x
1 )
a
1
1
2(xk
) a
k0,1,2,
退化为二分法！！
1
解法二：等价于求方程
xk1
xk
f (xk ) f (xk )
xk
fa(xx)1k2ax2