2018年河北省衡水中学高三一模理科数学试题(1)

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2018年高考数学模拟试卷(衡水中学理科)

2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）第1卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018?衡中模拟）已知集合A={x|x 2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．?B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]2．（5分）（2018?衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（）A．0.8B．0.4C．0.3D．0.23．（5分）（2018?衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1B．﹣1C．D．4．（5分）（2018?衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x5．（5分）（2018?衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2C．D．16．（5分）（2018?衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2B．3C．4D．57．（5分）（2018?衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．8．（5分）（2018?衡中模拟）已知（x﹣3）0+a1（x+1）+a2（x+1）10=a10=a 2+⋯+a1010（x+1），2+⋯+a10则a8=（）A．45B．180C．﹣180D．720积为（）A BC的三视图，其表面锥S﹣9．（5分）（2018?衡中模拟）如图为三棱A．16B．8+6C．16D．16+610．（5分）（2018?衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），为P F+PM的最大值为17，则椭圆的离心率部点M（﹣1，3）满足P为椭圆上一动点，椭圆内（）A．B．C．D．11．（5分）（2018?衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣k x恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0B．k≤0或k≥1C．k≤0或k≥eD．k≤0或k≥2n+p，数列{bn}的通项公式12．（5分）（2018?衡中模拟）已知数列{an}的通项公式为an=﹣n﹣4*为b n=2，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N，n≠6），则p的取值范围（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）第2卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）||=2||=2，|﹣|=，则在上13．（5分）（2018?衡中模拟）若平面向量、满足的投影为．a1=a2=1，an+2=，14．（5分）（2018?衡中模拟）若数列{an}满足S2n=．则数列{a n}前2n项和a=0把区域分成面2）y+4﹣15．（5分）（2018?衡中模拟）若直线ax+（a﹣积相等的两部分，则的最大值为．2 16．（5分）（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x（a＜﹣1）对．x2|，则a的取值范围为f（x2）|≥4|x1﹣任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣.）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤c=1，17．（12分）（2018?衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足且cosBsinC+（a﹣s inB）cos（A+B）=0（1）求C的大小；2+b2（2）求a的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．A BCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，P﹣18．（12分）（2018?衡中模拟）如图，在四棱锥∠ABC=90°，PA=AB=BC=，2AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段C D上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．19．（12分）（2018?衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区时转动两个域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同无效，重新开下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动转盘待指针停域为y，x、y∈{1，2，3}，域为x，转盘（B）指针所对的区始），记转盘（A）指针所对的区设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．20．（12分）（2018?衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线1，）．过椭圆E内一点P（1，）的与椭圆相交于M、N两点，且线段M N的中点为（﹣两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；．（Ⅱ）当λ变化时，kAB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由2 21．（12分）（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e 处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2018?衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC?BC=2AD?CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018?衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），C的极坐标方程在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线为ρ=C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（1）求曲线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．（2）若直线4-5：不等式选讲][选修3|．l|+|x﹣24．（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣（I）解不等式f（x）≤6；x∈R恒成立，求实数a的取值范围．（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018?衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A ∩B=（）A ．?B ．（0，1）C ．[0，1）D ．[0，1]【解答】解：A={x|x 2 ＜1}={x|﹣1＜x ＜1}，B={y|y=|x|≥0}，则A ∩B=[0，1），故选：C ．2．（5分）（2018?衡中模拟）设随机变量ξ～N （3，σ2），若P （ξ＞4）=0.2，则P （3＜ξ≤4）=（）A ．0.8B ．0.4C ．0.3D ．0.2【解答】解：∵随机变量X 服从正态分布N （3，σ 2 ），∴μ=3，得对称轴是x=3． ∵P （ξ＞4）=0.2∴P （3＜ξ≤4）=0.5﹣0.2=0.3．故选：C3．（5分）（2018?衡中模拟）已知复数z=（i 为虚数单位），则 3=（）A ．1B ．﹣1C ．D ．【解答】解：复数z=，可得=﹣=cos+isin ．则 3=cos4π+isin4π=1．故选：A ．4．（5分）（2018?衡中模拟）过双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点F 作两渐近线的垂线，垂足分别为P 、Q ，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（） A ．y=±xB ．y=±xC ．y=±xD ．y=±x 【解答】解：如图若∠PFQ=π，则由对称性得∠QFO=，则∠QOx=，即OQ的斜率k==tan=，则双曲线渐近线的方程为y=±x，故选：B5．（5分）（2018?衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2C．D．1【解答】解：∵2πr1=，∴r1=，同理，∴r1+r2+r3=1，故选：D．6．（5分）（2018?衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：第一次循环，sin＞sin0，即1＞0成立，a=1，T=1，k=2，k＜6成立，第二次循环，sinπ＞sin，即0＞1不成立，a=0，T=1，k=3，k＜6成立，第三次循环，sin＞sinπ，即﹣1＞0不成立，a=0，T=1，k=4，k＜6成立，第四次循环，sin2π＞sin，即0＞﹣1成立，a=1，T=1+1=2，k=5，k＜6成立，第五次循环，sin＞sin2π，即1＞0成立，a=1，T=2+1=3，k=6，k＜6不成立，输出T=3，故选：B7．（5分）（2018?衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，a3=7，a5=11，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，∴，∴b8=（1﹣+﹣+⋯+﹣）=（1﹣）=故选B．8．（5分）（2018?衡中模拟）已知（x﹣3）0+a1（x+1）+a2（x+1）10=a10=a 2+⋯+a1010（x+1），2+⋯+a10则a8=（）A．45B．180C．﹣180D．720【解答】解：（x﹣3）10=[（x+1）﹣4]10，∴，故选：D．9．（5分）（2018?衡中模拟）如图为三棱锥S﹣A BC的三视图，其表面积为（）A．16B．8+6C．16D．16+6【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为2，4，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体．word完美格式∴表面积为4×=16．故选：C．10．（5分）（2018?衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P F+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为部点M（﹣1，3）满足P为椭圆上一动点，椭圆内（）A．B．C．D．【解答】解：设右焦点为Q，由F（﹣3，0），可得Q（3，0），由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a，即|PF|=2a﹣|PQ|，则|PM|+|PF|=2a+（|PM|﹣|PQ|）≤2a+|MQ|，当P，M，Q共线时，取得等号，即最大值2a+|MQ|，由|MQ|==5，可得2a+5=17，所以a=6，则e===，故选：A．11．（5分）（2018?衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣k x恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0B．k≤0或k≥1C．k≤0或k≥eD．k≤0或k≥【解答】解：由y=f（x）﹣k x=0得f（x）=kx，作出函数f（x）和y=kx的图象如图，由图象知当k≤0时，函数f（x）和y=kx恒有一个交点，当x≥0时，函数f（x）=ln（x+1）的导数f′（x）=，则f′（0）=1，xx0=1，当x＜0时，函数f（x）=e﹣1的导数f′（x）=e，则f′（0）=e即当k=1时，y=x是函数f（x）的切线，则当0＜k＜1时，函数f（x）和y=kx有3个交点，不满足条件．当k≥1时，函数f（x）和y=kx有1个交点，满足条件．k≤0或k≥1，围为综上k的取值范故选：B．2n+p，数列{bn}的通项公式12．（5分）（2018?衡中模拟）已知数列{an}的通项公式为a n=﹣n﹣4*围为b n=2，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N，n≠6），则p的取值范（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）n﹣42【解答】解：∵an﹣b n=﹣2n+p﹣，∴a n﹣b n随着n变大而变小，又∵a n=﹣2n+p随着n变大而变小，n﹣4bn=2随着n变大而变大，∴，（1）当（2）当，综上p∈（14，20），故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）|=，则在上13．（5分）（2018?衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2，|﹣的投影为﹣1．【解答】解：根据条件，=word完美格式=7；∴；∴在上的投影为．故答案为：﹣1．14．（5分）（2018?衡中模拟）若数列{an}满足a1=a2=1，an+2=，则数列{a n}前2n项和S2n=2﹣1．n+n2【解答】解：∵数列{an}满足a1=a2=1，an+2=，∴n=2k﹣1时，a2k+1﹣a2k﹣1=2，为等差数列；n=2k时，a2k+2=2a2k，为等比数列．∴．n2故答案为：2+n﹣1．15．（5分）（2018?衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为2．【解答】解：由ax+（a﹣2）y+4﹣a=0得a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，则得，即直线恒过C（﹣1，2），若将区域分成面积相等的两部分，则直线过AB的中点D，由得，即A（1，6），∵B（3，0），∴中点D（2，3），代入a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，得4a﹣2=0，则，则的几何意义是区域内的点到点（﹣2，0）的斜率，由图象过AC的斜率最大，此时最大值为2．故答案为：2．216．（5分）（2018?衡中模拟）已知函数f （x ）=（a+1）lnx+x （a ＜﹣1）对任意的x 1、x 2＞0，恒有|f （x 1）﹣f （x 2）|≥4|x 1﹣x 2|，则a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]．【解答】解：由f ′（x ）=+x ，得f ′（1）=3a+1，所以f （x ）=（a+1）lnx+ax 2，（a ＜﹣1）在（0，+∞）单调递减，不妨设0＜x1＜x2，则f （x 1）﹣f （x 2）≥4x 2﹣4x 1，即f （x 1）+4x 1≥f （x 2）+4x 2，令F （x ）=f （x ）+4x ，F ′（x ）=f ′（x ）+4=+2ax+4，等价于F （x ）在（0，+∞）上单调递减，故F'（x ）≤0恒成立，即+2ax+4≤0，所以恒成立，得a ≤﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2018?衡中模拟）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足c =1，且cosBsinC+（a ﹣sinB ）cos （A+B ）=0 （1）求C 的大小；（2）求a 的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的值．2+b 2 【解答】解：（1）cosBsinC+（a ﹣sinB ）cos （A+B ）=0 可得：cosBsinC ﹣（a ﹣sinB ）cosC=0 即：sinA ﹣acosC=0．由正弦定理可知：， ∴，c=1，word完美格式∴asinC﹣acosC=0，sinC﹣cosC=0，可得sin（C﹣）=0，C是三角形内角，∴C=．（2）由余弦定理可知：c﹣2abcosC，2=a2+b2得1=a﹣ab2+b2又，∴，即：．当时，a2+b取到最大值为2+．2+b218．（12分）（2018?衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=，2AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．【解答】证明：（1）取PC的中点E，则连接DE，∵ME是△PBC的中位线，∴ME，又AD，∴MEAD，∴四边形AMED是平行四边形，∴AM∥DE．∵PA=AB，M是PB的中点，∴AM⊥PB，∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵AM?平面PAB，∴BC⊥AM，又PB?平面PBC，BC?平面PBC，PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC，∵AM∥DE，∴DE⊥平面PBC，又DE?平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD．（2）以A为原点，以AD，AB，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（0，0，0），B（0，2，0），M（0，1，1），P（0，0，2），C（2，2，0），D（1，0，0）．∴=（1，2，0），=（0，1，1），=（1，0，0），∴=λ=（λ，2λ，0），=（λ+1，2λ，0），1）．==（λ+1，2λ﹣1，﹣∵AD⊥平面PAB，∴为平面PAB的一个法向量，∴cos＜＞=====设MN与平面PAB所成的角为θ，则sinθ=．∴当即时，sinθ取得最大值，∴MN与平面PAB所成的角最大时．19．（12分）（2018?衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区两个域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动，重新开转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效域为y，x、y∈{1，2，3}，始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（1）记A指针指向1，2，3区域的事件为A1，A2，A3，转盘1，2，3区域的事件为B1，B2，B3，同理转盘B指针指向∴P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（B1）=，P（B2）=，P（B3）=，P=P（A1）P（1﹣P（B1））=×（1﹣）==．⋯（5分）（2）由已知得ξ的可能取值为2，3，4，5，6，P（ξ=2）=P（A1）P（B1）===，P（ξ=3）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）==，P（ξ=4）=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）==，P（ξ=5）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=+=，P（ξ=6）=P（A3）P（B3）==，∴ξ的分布列为：ξ23456PEξ==．⋯（12分）20．（12分）（2018?衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段1，）．过椭圆E内一点P（1，）的M N的中点为（﹣两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当λ变化时，kAB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．，【解答】解：（Ⅰ）设M（m1，n1）、N（m2，n2），则两式相减，故a⋯（2分）2=3b2A P平行于x轴时，设|AC|=2d，当直线∵，，则，解得，故点A（或C）的坐标为．代入椭圆方程，得⋯4分22a=3，b=1，所以方程为⋯（6分）（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）由于，可得A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），⋯①同理可得⋯②⋯（8分）由①②得：⋯③得，程将点A、B的坐标代入椭圆方两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，于是3（y1+y2）k AB=﹣（x1+x2）⋯④同理可得：3（y3+y4）k CD=﹣（x3+x4），⋯（10分）于是3（y3+y4）k AB=﹣（x3+x4）（∵AB∥CD，∴k AB=k CD）所以3λ（y3+y4）kAB=﹣λ（x3+x4）⋯⑤由④⑤两式相加得到：3[y1+y2+λ（y3+y4）]k AB=﹣[（x1+x2）+λ（x3+x4）]把③代入上式得3（1+λ）k AB=﹣2（1+λ），解得：，当λ变化时，k AB为定值，．⋯（12分）2 21．（12分）（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e 处的切线x﹣2y+e=0平行．与直线（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；．（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围【解答】解：（Ⅰ）由，得，解得m=2，，函数g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），故，则而，又函数g（x）在（1，+∞）上是减函数，∴在（1，+∞）上恒成立，∴当x∈（1，+∞）时，的最大值．而，即右边的最大值为，∴，故实数a的最小值；（Ⅱ）由题可得，且定义域为（0，1）∪（1，+∞），word完美格式要使函数F（x）无零点，即在（0，1）∪（1，+∞）内无解，亦即在（0，1）∪（1，+∞）内无解．构造函数，则，（1）当k≤0时，h'（x）＜0在（0，1）∪（1，+∞）内恒成立，∴函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内也单调递减．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）时，h（x）＞0，即函数h（x）在（0，1）内无零点，同理，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即函数h（x）在（1，+∞）内无零点，故k≤0满足条件；（2）当k＞0时，．①若0＜k＜2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增．又h（1）=0，∴h（x）在（0，1）内无零点；又，而，故在内有一个零点，∴0＜k＜2不满足条件；②若k=2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h（x）＞0恒成立，故无零点．∴k=2满足条件；③若k＞2，则函数h（x）在内单调递减，在内单调递增，在（1，+∞）内也单调递增．又h（1）=0，∴在及（1，+∞）内均无零点．﹣kk=2e k22=?（k），k﹣k）﹣2+2e﹣易知，又h（e）=k×（﹣k26＞则?'（k）=2（e﹣k）＞0，则?（k）在k＞2为增函数，∴?（k）＞?（2）=2e﹣0．故函数h（x）在内有一零点，k＞2不满足．综上：k≤0或k=2．4-1：几何证明选讲][选修22．（10分）（2018?衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．word完美格式..（Ⅰ）求证：DE ∥AB ；（Ⅱ）求证：AC?BC=2AD?CD ．【解答】证明：（Ⅰ）连接B D ，因为D 为的中点，所以BD=DC ．因为E 为BC 的中点，所以DE ⊥BC ．因为AC 为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB ∥DE ．⋯（5分）（Ⅱ）因为D 为的中点，所以∠BAD=∠DAC ，又∠BAD=∠DCB ，则∠DAC=∠DCB ．又因为AD ⊥DC ，DE ⊥CE ，所以△DAC ∽△ECD ．所以=，AD?CD=AC?CE ，2AD?CD=AC?2CE ，因此2AD?CD=AC?BC ．⋯（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018?衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为（t 为参数），在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．【解答】解：（1）由曲线C 的极坐标方程为ρ=得ρ2sin 2 θ=2ρcos θ． 2∴由曲线C 的直角坐标方程是：y=2x ．由直线l 的参数方程为（t 为参数），得t=3+y 代入x=1+t 中消去t 得：x ﹣y ﹣4=0，所以直线l 的普通方程为：x ﹣y ﹣4=0⋯（5分）（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程y 2=2x ，得t 2=2x ，得t 2 ﹣8t+7=0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，word完美格式..所以|AB|===，y﹣4=0的距离d=，因为原点到直线x﹣所以△AOB的面积是|AB|d==12．⋯（10分）[选修4-5：不等式选讲]3|．l|+|x﹣24．（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣（I）解不等式f（x）≤6；（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．l|+|x﹣3|=的图象如图所示，【解答】解：函数f（x）=|x﹣（I）不等式f（x）≤6，即①或②，或③．解①求得x∈?，解②求得3＜x≤5，解③求得﹣1≤x≤3．1，5]．综上可得，原不等式的解集为[﹣（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，则函数f（x）的图象不能在y=ax﹣1的图象的下方．如图所示：由于图中两题射线的斜率分别为﹣2，2，点B（3，2），∴3a﹣1≤2，且a≥﹣2，求得﹣2≤a≤1．欢迎您的光临，Word文档下载后可修改编辑双击可删除页眉页脚谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。

2018年河北省衡水金卷模拟试题(一)数学理试题(含详细答案)

2018年河北省衡水金卷模拟试题（一）数学理
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，，则（）
A． B． C． D．
2.设是虚数单位，若，，，则复数的共轭复数是（）
A． B． C． D．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）求不等式；
（2）若正数，满足，求证：．
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（一）答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）由及正弦定理得，
即，
在中，，
19.解：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为：
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．
（1）求及角的大小；
（2）求的值．
18.在四棱柱中，底面是正方形，且，．
（1）求证：；
（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为．
结合，，
得底面，
所以、、两两垂直．
如图，以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
由，易求得．
设（），则，即．
设平面的一个法向量为，
由得令，得，
设直线与平面所成角为，则，

衡水金卷(一)理科数学试题(卷)含答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（一）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，，则（）A. B. C. D.2. 设是虚数单位，若，，，则复数的共轭复数是（）A. B. C. D.3. 已知等差数列的前项和是，且，则下列命题正确的是（）A. 是常数B. 是常数C. 是常数D. 是常数4. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）学*科*网...A. B. C. D.5. 已知点为双曲线：（，）的右焦点，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6. 已知函数则（）A. B. C. D.7. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A. B. C. D.8. 已知函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数的图象（）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向右平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得9. 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A. B. C. D.10. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形是边长为1的正六边形，点为的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A. B. C. D.11. 已知抛物线：的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（）A. 16B. 20C. 24D. 3212. 若函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．若，，使成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，，且，则__________．14. 已知，满足约束条件则目标函数的最小值为__________．15. 在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，则数列的前项和为__________．16. 如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．（1）求及角的大小；（2）求的值．18. 在四棱柱中，底面是正方形，且，．（1）求证：；（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为．19. “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则，．20. 已知椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由．21. 已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数，是大于0的常数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；（2）分别记直线：，与圆、圆的异于原点的焦点为，，若圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若正数，满足，求证：．一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，故，集合表示非负的偶数，故，故选C.2. 设是虚数单位，若，，，则复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，根据两复数相等的充要条件得，即，其共轭复数为，故选A.3. 已知等差数列的前项和是，且，则下列命题正确的是（）A. 是常数B. 是常数C. 是常数D. 是常数【答案】D【解析】，为常数，故选D.4. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由七巧板的构造可知，，故黑色部分的面积与梯形的面积相等，则所求的概率为，故选A.5. 已知点为双曲线：（，）的右焦点，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，解得点，又，则的中点坐标为，于是，，则，解得或（舍去），故选D.【方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据的中点坐标为在双曲线上找出之间的关系，从而求出离心率．6. 已知函数则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，的几何意义是以原点为圆心，半径为的圆的面积的，故，故选D.7. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】图中程序数列的和，因为，故此框图实质计算，故选C.8. 已知函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数的图象（）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向右平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得【答案】B【解析】，因为函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，所以函数的最小正周期为，而，，故的图象可看作是的图象向右平移个单位而得，故选B.9. 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，得，而常数项为，所以展开式中剔除常数项的各项系数和为，故选A.10. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形是边长为1的正六边形，点为的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个六棱锥，其底面是边长为的正六边形，有一个侧面是底边上的离为的等腰三角形，且有侧面底面，设球心为，半径为到底面的距离为，底面正六边形外接球圆半径为，解得此六棱锥的外接球表面枳为，故选C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力以及外接球的表面积，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.11. 已知抛物线：的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（）A. 16B. 20C. 24D. 32【答案】C【解析】易知直线，的斜率存在，且不为零，设，直线的方程为，联立方程，得，，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，又（当且仅当时取等号），的最小值为，故选C.12. 若函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．若，，使成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是定义在区间内的级类周期函数，且，，当时，，故时，时，，而当时，，，当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增，故，依题意得，即实数的取值范围是，故选B.【方法点睛】本题主要考查分段函数函数的最值、全称量词与存在量词的应用以及新定义问题. 属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）只需；（2），只需；（3），只需；（4），，.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，，且，则__________．【答案】【解析】,,故答案为.14. 已知，满足约束条件则目标函数的最小值为__________．【答案】【解析】，作出约束条件表示的可行域，如图，平移直线，由图可知直线经过点时，取得最小值，且，，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，则数列的前项和为__________．【答案】【解析】设的公比为，则由等比数列的性质，知，则，由与的等差中项为，知，得，即，则，，故答案为.16. 如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为__________．【答案】【解析】，平面，设，则五棱锥的体积，，得或（舍去），当时，单调递增，故，即的取值范围是，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．（1）求及角的大小；（2）求的值．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由及正弦定理化简可得即，从而得．又，所以，由余弦定理得；（2）由，得，所以．试题解析：（1）由及正弦定理得，即，在中，，所以．又，所以．在中，由余弦定理得，所以．（2）由，得，所以．18. 在四棱柱中，底面是正方形，且，．（1）求证：；（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为．【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）连接，，，与的交点为，连接，则，由正方形的性质可得，从而得平面，，又，所以；（2）由勾股定理可得，由（1）得所以底面，所以、、两两垂直．以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设（），求得，利用向量垂直数量积为零可得平面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式列方程可解得，从而可得结果.试题解析：（1）连接，，，因为，，所以和均为正三角形，于是．设与的交点为，连接，则，又四边形是正方形，所以，而，所以平面．又平面，所以，又，所以．（2）由，及，知，于是，从而，结合，，得底面，所以、、两两垂直．如图，以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，由，易求得．设（），则，即，所以．设平面的一个法向量为，由得令，得，设直线与平面所成角为，则，解得或（舍去），所以当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为．【方法点晴】本题主要考查利用线面垂直证明线线垂直以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则，．【答案】(1) (2) （3）的分布列为0 1 2 3 4∴．【解析】试题分析：（1）直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（2）①∵服从正态分布，且，，由可得落在内的概率是，②的可能取值为，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得的数学期望.试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．（2）①∵服从正态分布，且，，∴，∴落在内的概率是．②根据题意得，；；；；．∴的分布列为0 1 2 3 4∴．20. 已知椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由．【答案】(1) (2) 存在点，使得为定值，且定值为0．【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为可得，解方程组即可的结果；（2）由得，根据韦达定理以及过两点的直线的斜率公式可得，只需令，即可得结果.试题解析：（1）由已知可得解得，，所求椭圆方程为．（2）由得，则，解得或．设，，则，，设存在点，则，，所以．要使为定值，只需与参数无关，故，解得，当时，．综上所述，存在点，使得为定值，且定值为0．21. 已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）函数在区间上单调递增等价于在区间上恒成立，可得，函数在区间单调递减等价于在区间上恒成立，可得，综合两种情况可得结果；（2），由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调，所以在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，所以只需在区间内恰有两个零点即可，利用导数研究函数的单调性，结合函数单调性讨论的零点，从而可得结果．试题解析：（1），当函数在区间上单调递增时，在区间上恒成立，∴（其中），解得；当函数在区间单调递减时，在区间上恒成立，∴（其中），解得．综上所述，实数的取值范围是．（2）．由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调，所以在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，所以在区间内恰有两个零点．由（1）知，当时，在区间上单调递增，故在区间内至多有一个零点，不合题意．当时，在区间上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意；所以．令，得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．记的两个零点为，（），因此，，必有，．由，得，所以，又，，所以．综上所述，实数的取值范围为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数，是大于0的常数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；（2）分别记直线：，与圆、圆的异于原点的焦点为，，若圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．【答案】(1) ， (2) ，【解析】试题分析：（1）先将圆的参数方程化为直角坐标方程，再利用可得圆的极坐标方程，两边同乘以利用互化公式即可得圆的直角坐标方程；（2）由（1）知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，圆与圆外切的性质列方程解得，分别将代入、的极坐标方程，利用极径的几何意义可得线段的长.试题解析：（1）圆：（是参数）消去参数，得其普通方程为，将，代入上式并化简，得圆的极坐标方程，由圆的极坐标方程，得．将，，代入上式，得圆的直角坐标方程为．（2）由（1）知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，，∵圆与圆外切，∴，解得，即圆的极坐标方程为．将代入，得，得；将代入，得，得；故．【名师点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、圆的极坐标方程和直角坐标方程的转化以及极径的几何意义，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只需利用转化即可.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若正数，满足，求证：．【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集，即可得不等式的解集；（2）先利用基本不等式成立的条件可得，所以.学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...试题解析：（1）此不等式等价于或或解得或或．即不等式的解集为．（2）∵，，，，即，当且仅当即时取等号．∴，当且仅当，即时，取等号．∴．。

河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学(解析版)

2017~2018学年度上学期高三年级一调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．设集合2{1,2,4},{|40}A B x x x m ==-+=．若{1}AB =，则B =（）A ．{1,3}-B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}1．答案：C解析：由题意可知1B ∈，将1x =代入240x x m -+=，得3m =，所以2430x x -+=，即(1)(3)0x x --=，解得1x =或3x =，所以{1,3}B = 2．已知i 是虚数单位，若复数i12ia -+为纯虚数，则实数a 的值是（） A ．12-B ．0C ．12D ．2 2．答案：D解析：设ii,12i a b b R -=∈+，则i i(12i)2i a b b b -=+=-+，所以21a b b =-⎧⎨=-⎩，故2a = 3．执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．23．答案：D解析：1,100,0t M S ===→是100,10,2S M t →==-=→是90,1,3S M t →===→否 →输出9091S =<，结束，所以正整数N 的最小值为2．4．已知点(2,0)A -，点(,)M x y 为平面区域220,240,33x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤0上的一个动点，则AM 的最小值是（）A ． 5B ．3CD．4．答案：C解析：作可行域如图所示，则AM 的最小值为点A 到直线220x y +-=的距离，5d ===5．已知ABC △的三个内角,,A B C 依次成等差数列，BC边上的中线2AD AB ==，则ABC S =△（）A ．3B．C．D ．65．答案：C解析：因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+，又因为180A B C ++=︒，所以60B =︒，在ABD △中，由余弦定理可得2222cos60AD AB BD AB BD =+-⋅⋅︒，即2230BD BD --=，所以(3)(1)0BD BD -+=，所以3BD =，故26BC BD ==，1sin 602ABC S AB BC =⨯⨯︒=△6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（）A ．3B．C． D6．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，则1,2,3BC AC CD BD AB AD ======所以最长的棱为3ABCD7．已知数列{}n a满足110,()n a a n N *+==∈，则20a =（）A ．0B．CD7．答案：B解析：解法1：123410,02a a a a a -======-，周期3T =，所以202a a == 解法2：设tan n n a α=，则1tan 0a =，11tan tan3tan 1tan tan 3n n n a πααπα++-===+tan 3n πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以13n n παα+=-，所以数列{}n α是一个首项为0，公差为3π-的等差数列，13n n απ-=-，所以2020201919,tan tan tan tan 3333a ππαπαπ⎛⎫⎛⎫=-==-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（）A ．110,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．答案：B解析：当,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,33323x πππππωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，根据题意可得3,2,2,332322k k k Z ππππππωωππ⎛⎫⎛⎫--⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2332,32232k k Z k πππωππππωπ⎧-+⎪⎪∈⎨⎪-+⎪⎩≥≤，解得：125121123k k ω++≤≤，所以1251211023k k ++<≤，所以571212k -<≤，又因为k Z ∈，所以0k =，所以511,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9．设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><．若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（）A ．17,224πωϕ==B ．211,312πωϕ==-C ．111,324πωϕ==-D ．2,312πωϕ==9．答案：D解析：根据题意1153(21),8844k T k Z πππ+-==∈，所以3,21T k Z k π=∈+，又因为2T π>，所以220,3,3k T T ππω====，当58x π=时，52,,122x k k Z ππωϕϕπ+=+=+∈ 212k πϕπ∴=+，又因为ϕπ<，所以12πϕ=10．已知函数31()xxf x e x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数a 满足()()20.5log log 2(1)f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（）A ．1,(2,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10．答案：C解析：函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，0.52log log a a =-，所以()22log 2(1)f a f ≤，所以()2log (1)f a f ≤，所以21log 1a -≤≤，所以122a ≤≤11．已知函数32()1f x x ax =++的图像的对称中心的横坐标为00(0)x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0)-∞B．,2⎛-∞- ⎝⎭ C ．(0,)+∞ D ．(,1)-∞-11．答案：B解析：2()32f x x ax '=+，()f x '的对称轴为3a x =-，所以003ax =->，所以0a <，令 ()0f x '=，得1220,03a x x ==->，所以当0x =时，()f x 取得极大值1，当2ax =-时，()f x 取得极小值34127a +，要想使()f x 有三个零点，则必须341027a +<，解得2a <-12．定义在[1,)+∞内的函数()f x 满足：①当24x ≤≤时，()13f x x =--；②(2)()f x c f x =（c 为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（）A ．1B ．2±C ．12或3D ．1或2 12．答案：D解析：在区间[2,4]上，当3x =时，()f x 取得极大值1，极大值点为(3,1)A ，当[4,8]x ∈时，[2,4]2x∈，()2x f x cf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以在区间[4,8]上，当32x =，即6x =时，()f x 取得极大值c ，极大值点为(6,)B c ，当[1,2]x ∈时，2[2,4]x ∈，所以1()(2)f x f x c=，所以在区间[1,2]上，当23x =，即32x =时，()f x 取得极大值1c ，所以极大值点为31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意，(3,1)A ，(6,)B c ，31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线，所以111332c c --=，解得1c =或2第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= ． 13．答案：85解析：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则(2,2)AC =，(2,1),(1,2)AM BN ==-，因为AC AM BN λμ=+，所以(2,2)(2,2)λμλμ-+=，所以2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得685,255λλμμ⎧=⎪⎪∴+=⎨⎪=⎪⎩ABMx14．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)4f =，且()f x 的导函数()3f x '<，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为．14．答案：(0,)e解析：设ln t x =，则()31f t t >+，即()31f t t ->，设()()3g t f t t =-，则(1)(1)31g f =-=，且()()30g t f t ''=-<，所以函数()g t 是一个单调递减函数，不等式()31f t t ->等价于()(1)g t g >，所以1t <，即ln 1x <，解得(0,)x e ∈15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，126,4,0n S S S ==>，且22122,,n n n S S S -+成等比数列，212221,,n n n S S S -++成等差数列，则2016a 等于． 15．答案：1009-解析：由题意可得2212222221212n n n n n n S S S S S S -++-+⎧=⎪⎨=+⎪⎩，因为0n S>，所以222n S +=，所以)n N *=∈，故数列为等差数列，又由126,4S S ==，2124S S S =⋅，可得49S =；4132S S S =+，可得312S =，所以数列2=为首1=1n =+，即22(1)n S n =+，故21(1)(2)n S n n -==++，故2201620151009,10091010S S ==⨯，所以2016201620151009a S S =-=-16．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin ,01,42()11, 1.4xx x f x x π⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤，若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是． 16．答案：01a <≤或54a =解析：由25[()](56)()60f x a f x a -++=可得[5()6][()]0f x f x a -⋅-=，所以6()5f x =或()f x a =，画出()y f x =的图像，当6()5f x =时，因为65154<<，所以该方程有4个根；因（2）求2cos 2sin 22B ⎛⎫--⎪⎝⎭的取值范围．17．解：（1cos (2)cos C b A =及正弦定理可得：cos (2sin )cos 2sin cos cos A C B C A B A C A ==，故2sin cos cos sin cos ))B A A C C A A C B =+=+=，0πB <<，sin 0B ∴≠，cos 2A ∴=，又因为0πA<<，所以6πA = （2）25cos 2sin sin cos 1sin cos()122πCB BC B A B ⎛⎫--=+-=-+-⎪⎝⎭3sin coscos sinsin 1sin 116626πππB B B B B B ⎛⎫=-+-=-=-- ⎪⎝⎭由6πA =，可得50,6πB ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππB ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而1sin ,162πB ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，116πB ⎛⎤⎛⎫--∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围是212⎛⎤- ⎥ ⎝⎦18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀．（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望．参考数据：若2(,)X N μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=18．解：因为语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，所以语文成绩特别优秀的概率为11(135)(10.96)0.022p P X =>=-⨯=，数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244p =⨯⨯= 所以语文成绩特别优秀的同学有5000.0210⨯=（人），数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=（人）……………………（5分）（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3321123101061066333316161616327151(0),(1),(2),(3),14565628C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============所以的分布列为()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………（12分）19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠=︒==分别为11,AB A B 的中点，现把平行四边形11AAC C 沿1CC 折起，如图②所示，连接1111,,B C B A B A ①②ACBA 1C 1B 1ACBA 1C 1B 1（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB 11C AB A --的余弦值．19．（1）证明：由已知可得，四边形1111,ACC A BCC B 均为边长为2的菱形，且11160ACC B C C ∠=∠=︒，取1CC 的中点O ，连接11,,AO B O AC ，则1ACC △是等边三角形，所以1AO CC ⊥，同理可得11B O CC ⊥．又因为1AOB O O =，所以1CC ⊥平面1AOB ，又因为1AB ⊂平面1AOB ，所以11AB CC ⊥．…………………………（5分）AC BA 1C 1B1O（2）由已知得1OA OB AB ==2221OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，分别以11,,OB OCOA 的方向为x 轴，y轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得11(0,1,0),3)C B A A -．设平面1CAB 的法向量111(,,)m x y z =，1(3,0,3),(0,1,AB AC =-=-，1111130AB m x AC m y ⎧⋅==⎪∴⎨⋅=--=⎪⎩，令11x =，得 111,z y ==1CAB 的法向量(1,3,1)m =-．设平面11AA B 的法向量222(,,)n x y z =，11(3,0,3),(0,2,0)AB AA=-=，由122123020AB n x AA n y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，令21x =，得221,0z y ==，所以平面11AA B 的法向量(1,0,1)n =，于是cos ,5m n m n m n⋅===⨯⋅．因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为5-20．（本小题满分12分）已知曲线2()ln f x ax bx x =+在点(1,(1))f 处的切线方程是21y x =-．（1）求实数,a b 的值；（2）若2()(1)f x kx k x +-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值．20．解：（1）()2ln f x a bx x bx '=++，由(1)1(1)2f a f a b ==⎧⎨'=+=⎩，可得1a b ==……（4分）（2）由22ln (1)x x x kx k x ++-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即2ln 1x x k x ++≤恒成立，令2ln ()(0)1x xg x x x +=>+，则22(ln 1)(1)2ln ln 1()(1)(1)x x x x x x g x x x ++--+-'==++，显然ln 1y x x =+-单调递增，且有唯一零点1x =，所以()g x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增，所以min ()(1)1g x g ==，所以1k ≤，故k 的最大值为1………………………………（12分）21．（本小题满分12分）已知函数211()ln 22f x ax x ax ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（a 为常数，0a >）．（1）当1a =时，求函数()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）当()y f x =在12x =处取得极值时，若关于x 的方程()0f x b -=在[0,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；（3）若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立，求实数m 的取值范围．21．解：（1）当1a =时，211()ln 22f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，所以13()21,(1)12f x x f x ''=+-=+，又(1)0f =，即切点为(1,0)，所以切线方程为3(1)2y x =-，即3230x y --=．……（3分）（2）()21a f x x a ax '=+-+，依题意，1101212a f a a⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭+，即220a a --=，因为 0a >，所以2a =，此时2(21)()12x x f x x -'=+，所以()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1135(0)ln ,,(2)ln 2242f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以31ln 42b -<≤．…………（6分）（3）2222(2)2(2)()2111x ax a a ax a x f x x a ax ax ax⎡⎤--+-⎣⎦'=+-==+++，因为12a <<，所以221(2)(1)0222a a a a a --+-=<，即22122a a -<，所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以max 11()(1)ln 122f x f a a ⎛⎫==++- ⎪⎝⎭．问题等价于对任意的(1,2)a ∈，不等式211ln 1(23)22a a m a a ⎛⎫++->+- ⎪⎝⎭恒成立，设211()ln 1(23)(12)22h a a a m a a a ⎛⎫=++--+-<< ⎪⎝⎭，则212(41)2()12211ma m a m h a ma m a a --+-'=---=++，又(1)0h =，所以()h a 在1a =右侧需先单调递增，所以(1)0h '≥，即18m -≤．当18m -≤时，设2()2(41)2g a ma m a m =--+-，其对称轴为1114a m=--<，又20m ->，开口向上，且(1)810g m =--≥，所以在(1,2)内，()0g a >，即()0h a '>，所以()h a 在(1,2)内单调递增，()(1)0h a h >=，即211ln 1(23)(12)22a a m a a a ⎛⎫++->+-<< ⎪⎝⎭．于是，对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立．综上可知，18m -≤…………………………（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的非负半轴重合，直线l 的参数方程为1,12x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，求PQ 的值．22．解：（1）将4c o s ρθ=化为24cos ρρθ=，由222,c o s ρρθx y x =+=，得224x y x +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=．由1,12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t解得10x +=，所以直线l的普通方程为10x -+=……………………（5分）（2）把1,212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(2)4x y -+=，整理得250t -+=，设其两根为12,t t ，则12125t t t t +==，所以12PQ t t =-==10分）方法2，圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r =，圆心C 到直线l 的距离32d =，所以PQ ==10分）方法3，将1x =-代入22(2)4x y -+=，化简得：2450y -+=，由韦达定理得：12125,24y y y y +==，PQ === 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()223,()12f x x a x g x x =-++=-+．（1）解不等式()5g x <；（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．23．解：（1）由125x -+<，得5125x -<-+<，所以13x -<，即313x -<-<，解得： 24x -<<，所以原不等式的解集为{|24}x x -<<（2）因为对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()223(2)(23)3f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(23)0x a x -+≤时取等号，()122g x x =-+≥，所以32a +≥，解得：1a -≥或5a -≤，所以实数a 的取值范围是(,5][1,)-∞--+∞。

2018高考数学模拟试卷(衡水中学理科)

2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）第1卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018•衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．∅B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]2．（5分）（2018•衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（）A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.23．（5分）（2018•衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D．4．（5分）（2018•衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）（2018•衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2 C．D．16．（5分）（2018•衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．57．（5分）（2018•衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．8．（5分）（2018•衡中模拟）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（）A．45 B．180 C．﹣180 D．7209．（5分）（2018•衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（）A．16 B．8+6C．16D．16+610．（5分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）（2018•衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0 B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥12．（5分）（2018•衡中模拟）已知数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣4，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N*，n≠6），则p的取值范围（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）第2卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．（5分）（2018•衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2，|﹣|=，则在上的投影为．14．（5分）（2018•衡中模拟）若数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则数列{a n}前2n项和S2n=．15．（5分）（2018•衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为．16．（5分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2（a＜﹣1）对任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，则a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2018•衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0（1）求C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．18．（12分）（2018•衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD ∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．19．（12分）（2018•衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．20．（12分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（﹣1，）．过椭圆E内一点P（1，）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当λ变化时，k AB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．21．（12分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2018•衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018•衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣l|+|x﹣3|．（I）解不等式f（x）≤6；（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018•衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．∅B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]【解答】解：A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={y|y=|x|≥0}，则A∩B=[0，1），故选：C．2．（5分）（2018•衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（）A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.2【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2），∴μ=3，得对称轴是x=3．∵P（ξ＞4）=0.2∴P（3＜ξ≤4）=0.5﹣0.2=0.3．故选：C3．（5分）（2018•衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：复数z=，可得=﹣=cos+isin．则3=cos4π+isin4π=1．故选：A．4．（5分）（2018•衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：如图若∠PFQ=π，则由对称性得∠QFO=，则∠QOx=，即OQ的斜率k==tan=，则双曲线渐近线的方程为y=±x，故选：B5．（5分）（2018•衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2 C．D．1【解答】解：∵2πr1=，∴r1=，同理，∴r1+r2+r3=1，故选：D．6．（5分）（2018•衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：第一次循环，sin＞sin0，即1＞0成立，a=1，T=1，k=2，k＜6成立，第二次循环，sinπ＞sin，即0＞1不成立，a=0，T=1，k=3，k＜6成立，第三次循环，sin＞sinπ，即﹣1＞0不成立，a=0，T=1，k=4，k＜6成立，第四次循环，sin2π＞sin，即0＞﹣1成立，a=1，T=1+1=2，k=5，k＜6成立，第五次循环，sin＞sin2π，即1＞0成立，a=1，T=2+1=3，k=6，k＜6不成立，输出T=3，故选：B7．（5分）（2018•衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，a3=7，a5=11，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，∴，∴b8=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=故选B．8．（5分）（2018•衡中模拟）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（）A．45 B．180 C．﹣180 D．720【解答】解：（x﹣3）10=[（x+1）﹣4]10，∴，故选：D．9．（5分）（2018•衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（）A．16 B．8+6C．16D．16+6【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为2，4，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体．三棱锥的三条边长分别为，∴表面积为4×=16．故选：C．10．（5分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设右焦点为Q，由F（﹣3，0），可得Q（3，0），由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a，即|PF|=2a﹣|PQ|，则|PM|+|PF|=2a+（|PM|﹣|PQ|）≤2a+|MQ|，当P，M，Q共线时，取得等号，即最大值2a+|MQ|，由|MQ|==5，可得2a+5=17，所以a=6，则e===，故选：A．11．（5分）（2018•衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0 B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥【解答】解：由y=f（x）﹣kx=0得f（x）=kx，作出函数f（x）和y=kx的图象如图，由图象知当k≤0时，函数f（x）和y=kx恒有一个交点，当x≥0时，函数f（x）=ln（x+1）的导数f′（x）=，则f′（0）=1，当x＜0时，函数f（x）=e x﹣1的导数f′（x）=e x，则f′（0）=e0=1，即当k=1时，y=x是函数f（x）的切线，则当0＜k＜1时，函数f（x）和y=kx有3个交点，不满足条件．当k≥1时，函数f（x）和y=kx有1个交点，满足条件．综上k的取值范围为k≤0或k≥1，故选：B．12．（5分）（2018•衡中模拟）已知数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣4，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N*，n≠6），则p的取值范围（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）【解答】解：∵a n﹣b n=﹣2n+p﹣2n﹣4，∴a n﹣b n随着n变大而变小，又∵a n=﹣2n+p随着n变大而变小，b n=2n﹣4随着n变大而变大，∴，（1）当（2）当，综上p∈（14，20），故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．（5分）（2018•衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2，|﹣|=，则在上的投影为﹣1．【解答】解：根据条件，==7；∴；∴在上的投影为．故答案为：﹣1．14．（5分）（2018•衡中模拟）若数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则数列{a n}前2n项和S2n=2n+n2﹣1．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，∴n=2k﹣1时，a2k+1﹣a2k﹣1=2，为等差数列；n=2k时，a2k+2=2a2k，为等比数列．∴．故答案为：2n+n2﹣1．15．（5分）（2018•衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为2．【解答】解：由ax+（a﹣2）y+4﹣a=0得a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，则得，即直线恒过C（﹣1，2），若将区域分成面积相等的两部分，则直线过AB的中点D，由得，即A（1，6），∵B（3，0），∴中点D（2，3），代入a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，得4a﹣2=0，则，则的几何意义是区域内的点到点（﹣2，0）的斜率，由图象过AC的斜率最大，此时最大值为2．故答案为：2．16．（5分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2（a＜﹣1）对任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，则a的取值范围为（﹣∞，﹣2] ．【解答】解：由f′（x）=+x，得f′（1）=3a+1，所以f（x）=（a+1）lnx+ax2，（a＜﹣1）在（0，+∞）单调递减，不妨设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）≥4x2﹣4x1，即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，令F（x）=f（x）+4x，F′（x）=f′（x）+4=+2ax+4，等价于F（x）在（0，+∞）上单调递减，故F'（x）≤0恒成立，即+2ax+4≤0，所以恒成立，得a≤﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2018•衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0（1）求C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．【解答】解：（1）cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0可得：cosBsinC﹣（a﹣sinB）cosC=0即：sinA﹣acosC=0．由正弦定理可知：，∴，c=1，∴asinC﹣acosC=0，sinC﹣cosC=0，可得sin（C﹣）=0，C是三角形内角，∴C=．（2）由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC，得1=a2+b2﹣ab又，∴，即：．当时，a2+b2取到最大值为2+．18．（12分）（2018•衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD ∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．【解答】证明：（1）取PC的中点E，则连接DE，∵ME是△PBC的中位线，∴ME，又AD，∴ME AD，∴四边形AMED是平行四边形，∴AM∥DE．∵PA=AB，M是PB的中点，∴AM⊥PB，∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵AM⊂平面PAB，∴BC⊥AM，又PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC，∵AM∥DE，∴DE⊥平面PBC，又DE⊂平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD．（2）以A为原点，以AD，AB，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（0，0，0），B（0，2，0），M（0，1，1），P（0，0，2），C（2，2，0），D（1，0，0）．∴=（1，2，0），=（0，1，1），=（1，0，0），∴=λ=（λ，2λ，0），=（λ+1，2λ，0），==（λ+1，2λ﹣1，﹣1）．∵AD⊥平面PAB，∴为平面PAB的一个法向量，∴cos＜＞=====设MN与平面PAB所成的角为θ，则sinθ=．∴当即时，sinθ取得最大值，∴MN与平面PAB所成的角最大时．19．（12分）（2018•衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（1）记转盘A指针指向1，2，3区域的事件为A1，A2，A3，同理转盘B指针指向1，2，3区域的事件为B1，B2，B3，∴P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（B1）=，P（B2）=，P（B3）=，P=P（A1）P（1﹣P（B1））=×（1﹣）==．…（5分）（2）由已知得ξ的可能取值为2，3，4，5，6，P（ξ=2）=P（A1）P（B1）===，P（ξ=3）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）==，P（ξ=4）=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）==，P（ξ=5）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=+=，P（ξ=6）=P（A3）P（B3）==，∴ξ的分布列为：ξ 2 3 4 5 6PEξ==．…（12分）20．（12分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（﹣1，）．过椭圆E内一点P（1，）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当λ变化时，k AB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设M（m1，n1）、N（m2，n2），则，两式相减，故a2=3b2…（2分）当直线AP平行于x轴时，设|AC|=2d，∵，，则，解得，故点A（或C）的坐标为．代入椭圆方程，得…4分a2=3，b2=1，所以方程为…（6分）（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）由于，可得A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），…①同理可得…②…（8分）由①②得：…③将点A、B的坐标代入椭圆方程得，两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，于是3（y1+y2）k AB=﹣（x1+x2）…④同理可得：3（y3+y4）k CD=﹣（x3+x4），…（10分）于是3（y3+y4）k AB=﹣（x3+x4）（∵AB∥CD，∴k AB=k CD）所以3λ（y3+y4）k AB=﹣λ（x3+x4）…⑤由④⑤两式相加得到：3[y1+y2+λ（y3+y4）]k AB=﹣[（x1+x2）+λ（x3+x4）]把③代入上式得3（1+λ）k AB=﹣2（1+λ），解得：，当λ变化时，k AB为定值，．…（12分）21．（12分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，得，解得m=2，故，则，函数g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），而，又函数g（x）在（1，+∞）上是减函数，∴在（1，+∞）上恒成立，∴当x∈（1，+∞）时，的最大值．而，即右边的最大值为，∴，故实数a的最小值；（Ⅱ）由题可得，且定义域为（0，1）∪（1，+∞），要使函数F（x）无零点，即在（0，1）∪（1，+∞）内无解，亦即在（0，1）∪（1，+∞）内无解．构造函数，则，（1）当k≤0时，h'（x）＜0在（0，1）∪（1，+∞）内恒成立，∴函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内也单调递减．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）时，h（x）＞0，即函数h（x）在（0，1）内无零点，同理，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即函数h（x）在（1，+∞）内无零点，故k≤0满足条件；（2）当k＞0时，．①若0＜k＜2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增．又h（1）=0，∴h（x）在（0，1）内无零点；又，而，故在内有一个零点，∴0＜k＜2不满足条件；②若k=2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h（x）＞0恒成立，故无零点．∴k=2满足条件；③若k＞2，则函数h（x）在内单调递减，在内单调递增，在（1，+∞）内也单调递增．又h（1）=0，∴在及（1，+∞）内均无零点．易知，又h（e﹣k）=k×（﹣k）﹣2+2e k=2e k﹣k2﹣2=ϕ（k），则ϕ'（k）=2（e k﹣k）＞0，则ϕ（k）在k＞2为增函数，∴ϕ（k）＞ϕ（2）=2e2﹣6＞0．故函数h（x）在内有一零点，k＞2不满足．综上：k≤0或k=2．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2018•衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（5分）（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，因此2AD•CD=AC•BC．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018•衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．【解答】解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ=得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴由曲线C的直角坐标方程是：y2=2x．由直线l的参数方程为（t为参数），得t=3+y代入x=1+t中消去t得：x﹣y﹣4=0，所以直线l的普通方程为：x﹣y﹣4=0…（5分）（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y2=2x，得t2﹣8t+7=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|AB|===，. . . .. . ..s . .. 因为原点到直线x ﹣y ﹣4=0的距离d=，所以△AOB 的面积是|AB |d==12．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．（2018•衡中模拟）已知函数f （x ）=|x ﹣l |+|x ﹣3|．（I ）解不等式f （x ）≤6；（Ⅱ）若不等式f （x ）≥ax ﹣1对任意x ∈R恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：函数f （x ）=|x ﹣l |+|x ﹣3|= 的图象如图所示，（I ）不等式f （x ）≤6，即①或②，或③．解①求得x ∈∅，解②求得3＜x ≤5，解③求得﹣1≤x ≤3．综上可得，原不等式的解集为[﹣1，5]．（Ⅱ）若不等式f （x ）≥ax ﹣1对任意x ∈R 恒成立，则函数f （x ）的图象不能在y=ax ﹣1的图象的下方．如图所示：由于图中两题射线的斜率分别为﹣2，2，点B （3，2），∴3a ﹣1≤2，且 a ≥﹣2，求得﹣2≤a ≤1．。

2018高考数学模拟试卷(衡水中学理科)

2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷(理科)第1卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分、在每个小题给出得四个选项中,只有一项就是符合题目要求得、)1.(5分)(2018•衡中模拟)已知集合A={x|x2＜1},B={y|y=|x|},则A∩B=()A.∅B.(0,1)C.[0,1)D.[0,1]2.(5分)(2018•衡中模拟)设随机变量ξ～N(3,σ2),若P(ξ＞4)=0、2,则P(3＜ξ≤4)=()A.0、8B.0、4C.0、3D.0、23.(5分)(2018•衡中模拟)已知复数z=(i为虚数单位),则3=()A.1B.﹣1C.D.4.(5分)(2018•衡中模拟)过双曲线﹣=1(a＞0,b＞0)得一个焦点F作两渐近线得垂线,垂足分别为P、Q,若∠PFQ=π,则双曲线得渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x5.(5分)(2018•衡中模拟)将半径为1得圆分割成面积之比为1:2:3得三个扇形作为三个圆锥得侧面,设这三个圆锥底面半径依次为r1,r2,r3,那么r1+r2+r3得值为()A. B.2 C. D.16.(5分)(2018•衡中模拟)如图就是某算法得程序框图,则程序运行后输出得结果就是()A.2B.3C.4D.57.(5分)(2018•衡中模拟)等差数列{a n}中,a3=7,a5=11,若b n=,则数列{b n}得前8项与为()A. B. C. D.8.(5分)(2018•衡中模拟)已知(x﹣3)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,则a8=()A.45B.180C.﹣180D.7209.(5分)(2018•衡中模拟)如图为三棱锥S﹣ABC得三视图,其表面积为()A.16B.8+6C.16D.16+610.(5分)(2018•衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a＞b＞0)得左焦点F(﹣3,0),P为椭圆上一动点,椭圆内部点M(﹣1,3)满足PF+PM得最大值为17,则椭圆得离心率为()A. B. C. D.11.(5分)(2018•衡中模拟)已知f(x)=,若函数y=f(x)﹣kx恒有一个零点,则k得取值范围为()A.k≤0B.k≤0或k≥1C.k≤0或k≥eD.k≤0或k≥12.(5分)(2018•衡中模拟)已知数列{a n}得通项公式为a n=﹣2n+p,数列{b n}得通项公式为b n=2n﹣4,设c n=,若在数列{c n}中c6＜c n(n∈N*,n≠6),则p得取值范围()A.(11,25)B.(12,22)C.(12,17)D.(14,20)第2卷二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中得横线上.)13.(5分)(2018•衡中模拟)若平面向量、满足||=2||=2,|﹣|=,则在上得投影为.14.(5分)(2018•衡中模拟)若数列{a n}满足a1=a2=1,a n+2=,则数列{a n}前2n项与S2n=.15.(5分)(2018•衡中模拟)若直线ax+(a﹣2)y+4﹣a=0把区域分成面积相等得两部分,则得最大值为.16.(5分)(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=(a+1)lnx+x2(a＜﹣1)对任意得x1、x2＞0,恒有|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|,则a得取值范围为.三、解答题(本大题共5小题,共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、)17.(12分)(2018•衡中模拟)在△ABC中,角A,B,C所对得边分别为a,b,c,满足c=1,且cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0(1)求C得大小;(2)求a2+b2得最大值,并求取得最大值时角A,B得值.18.(12分)(2018•衡中模拟)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M就是棱PB中点.(Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面PCD;(Ⅱ)设点N就是线段CD上一动点,且=λ,当直线MN与平面PAB所成得角最大时,求λ得值.19.(12分)(2018•衡中模拟)如图就是两个独立得转盘(A)、(B),在两个图中三个扇形区域得圆心角分别为60°、120°、180°.用这两个转盘进行游戏,规则就是:同时转动两个转盘待指针停下(当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时,则这次转动无效,重新开始),记转盘(A)指针所对得区域为x,转盘(B)指针所对得区域为y,x、y∈{1,2,3},设x+y得值为ξ.(Ⅰ)求x＜2且y＞1得概率;(Ⅱ)求随机变量ξ得分布列与数学期望.20.(12分)(2018•衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a＞b＞0),倾斜角为45°得直线与椭圆相交于M、N 两点,且线段MN得中点为(﹣1,).过椭圆E内一点P(1,)得两条直线分别与椭圆交于点A、C 与B、D,且满足=λ,=λ,其中λ为实数.当直线AP平行于x轴时,对应得λ=.(Ⅰ)求椭圆E得方程;(Ⅱ)当λ变化时,k AB就是否为定值？若就是,请求出此定值;若不就是,请说明理由.21.(12分)(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点x=e2处得切线与直线x﹣2y+e=0平行.(Ⅰ)若函数g(x)=f(x)﹣ax在(1,+∞)上就是减函数,求实数a得最小值;(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)﹣无零点,求k得取值范围.[选修41:几何证明选讲]22.(10分)(2018•衡中模拟)如图所示,AC为⊙O得直径,D为得中点,E为BC得中点.(Ⅰ)求证:DE∥AB;(Ⅱ)求证:AC•BC=2AD•CD.[选修44:坐标系与参数方程]23.(2018•衡中模拟)在平面直角坐标系中,直线l得参数方程为(t为参数),在以直角坐标系得原点O为极点,x轴得正半轴为极轴得极坐标系中,曲线C得极坐标方程为ρ=(1)求曲线C得直角坐标方程与直线l得普通方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB得面积.[选修45:不等式选讲]24.(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=|x﹣l|+|x﹣3|.(I)解不等式f(x)≤6;(Ⅱ)若不等式f(x)≥ax﹣1对任意x∈R恒成立,求实数a得取值范围.参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分、在每个小题给出得四个选项中,只有一项就是符合题目要求得、)1.(5分)(2018•衡中模拟)已知集合A={x|x2＜1},B={y|y=|x|},则A∩B=()A.∅B.(0,1)C.[0,1)D.[0,1]【解答】解:A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1},B={y|y=|x|≥0},则A∩B=[0,1),故选:C.2.(5分)(2018•衡中模拟)设随机变量ξ～N(3,σ2),若P(ξ＞4)=0、2,则P(3＜ξ≤4)=()A.0、8B.0、4C.0、3D.0、2【解答】解:∵随机变量X服从正态分布N(3,σ2),∴μ=3,得对称轴就是x=3.∵P(ξ＞4)=0、2∴P(3＜ξ≤4)=0、5﹣0、2=0、3.故选:C3.(5分)(2018•衡中模拟)已知复数z=(i为虚数单位),则3=()A.1B.﹣1C.D.【解答】解:复数z=,可得=﹣=cos+isin.则3=cos4π+isin4π=1.故选:A.4.(5分)(2018•衡中模拟)过双曲线﹣=1(a＞0,b＞0)得一个焦点F作两渐近线得垂线,垂足分别为P、Q,若∠PFQ=π,则双曲线得渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x【解答】解:如图若∠PFQ=π,则由对称性得∠QFO=,则∠QOx=,即OQ得斜率k==tan=,则双曲线渐近线得方程为y=±x,故选:B5.(5分)(2018•衡中模拟)将半径为1得圆分割成面积之比为1:2:3得三个扇形作为三个圆锥得侧面,设这三个圆锥底面半径依次为r1,r2,r3,那么r1+r2+r3得值为()A. B.2 C. D.1【解答】解:∵2πr1=,∴r1=,同理,∴r1+r2+r3=1,故选:D.6.(5分)(2018•衡中模拟)如图就是某算法得程序框图,则程序运行后输出得结果就是()A.2B.3C.4D.5【解答】解:第一次循环,sin＞sin0,即1＞0成立,a=1,T=1,k=2,k＜6成立,第二次循环,sinπ＞sin,即0＞1不成立,a=0,T=1,k=3,k＜6成立,第三次循环,sin＞sinπ,即﹣1＞0不成立,a=0,T=1,k=4,k＜6成立,第四次循环,sin2π＞sin,即0＞﹣1成立,a=1,T=1+1=2,k=5,k＜6成立,第五次循环,sin＞sin2π,即1＞0成立,a=1,T=2+1=3,k=6,k＜6不成立,输出T=3,故选:B7.(5分)(2018•衡中模拟)等差数列{a n}中,a3=7,a5=11,若b n=,则数列{b n}得前8项与为()A. B. C. D.【解答】解:设等差数列{a n}得公差为d,a3=7,a5=11,∴,解得a1=3,d=2,∴a n=3+2(n﹣1)=2n+1,∴,∴b8=(1﹣+﹣+…+﹣)=(1﹣)=故选B.8.(5分)(2018•衡中模拟)已知(x﹣3)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,则a8=()A.45B.180C.﹣180D.720【解答】解:(x﹣3)10=[(x+1)﹣4]10,∴,故选:D.9.(5分)(2018•衡中模拟)如图为三棱锥S﹣ABC得三视图,其表面积为()A.16B.8+6C.16D.16+6【解答】解:由三视图可知该三棱锥为边长为2,4,4得长方体切去四个小棱锥得到得几何体. 三棱锥得三条边长分别为,∴表面积为4×=16.故选:C.10.(5分)(2018•衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a＞b＞0)得左焦点F(﹣3,0),P为椭圆上一动点,椭圆内部点M(﹣1,3)满足PF+PM得最大值为17,则椭圆得离心率为()A. B. C. D.【解答】解:设右焦点为Q,由F(﹣3,0),可得Q(3,0),由椭圆得定义可得|PF|+|PQ|=2a,即|PF|=2a﹣|PQ|,则|PM|+|PF|=2a+(|PM|﹣|PQ|)≤2a+|MQ|,当P,M,Q共线时,取得等号,即最大值2a+|MQ|,由|MQ|==5,可得2a+5=17,所以a=6,则e===,故选:A.11.(5分)(2018•衡中模拟)已知f(x)=,若函数y=f(x)﹣kx恒有一个零点,则k得取值范围为()A.k≤0B.k≤0或k≥1C.k≤0或k≥eD.k≤0或k≥【解答】解:由y=f(x)﹣kx=0得f(x)=kx,作出函数f(x)与y=kx得图象如图,由图象知当k≤0时,函数f(x)与y=kx恒有一个交点,当x≥0时,函数f(x)=ln(x+1)得导数f′(x)=,则f′(0)=1,当x＜0时,函数f(x)=e x﹣1得导数f′(x)=e x,则f′(0)=e0=1,即当k=1时,y=x就是函数f(x)得切线,则当0＜k＜1时,函数f(x)与y=kx有3个交点,不满足条件.当k≥1时,函数f(x)与y=kx有1个交点,满足条件.综上k得取值范围为k≤0或k≥1,故选:B.12.(5分)(2018•衡中模拟)已知数列{a n}得通项公式为a n=﹣2n+p,数列{b n}得通项公式为b n=2n﹣4,设c n=,若在数列{c n}中c6＜c n(n∈N*,n≠6),则p得取值范围()A.(11,25)B.(12,22)C.(12,17)D.(14,20)【解答】解:∵a n﹣b n=﹣2n+p﹣2n﹣4,∴a n﹣b n随着n变大而变小,又∵a n=﹣2n+p随着n变大而变小,b n=2n﹣4随着n变大而变大,∴,(1)当(2)当,综上p∈(14,20),故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中得横线上.)13.(5分)(2018•衡中模拟)若平面向量、满足||=2||=2,|﹣|=,则在上得投影为﹣1. 【解答】解:根据条件,==7;∴;∴在上得投影为.故答案为:﹣1.14.(5分)(2018•衡中模拟)若数列{a n}满足a1=a2=1,a n+2=,则数列{a n}前2n项与S2n=2n+n2﹣1.【解答】解:∵数列{a n}满足a1=a2=1,a n+2=,∴n=2k﹣1时,a2k+1﹣a2k﹣1=2,为等差数列;n=2k时,a2k+2=2a2k,为等比数列.∴.故答案为:2n+n2﹣1.15.(5分)(2018•衡中模拟)若直线ax+(a﹣2)y+4﹣a=0把区域分成面积相等得两部分,则得最大值为2.【解答】解:由ax+(a﹣2)y+4﹣a=0得a(x+y﹣1)+4﹣2y=0,则得,即直线恒过C(﹣1,2),若将区域分成面积相等得两部分,则直线过AB得中点D,由得,即A(1,6),∵B(3,0),∴中点D(2,3),代入a(x+y﹣1)+4﹣2y=0,得4a﹣2=0,则,则得几何意义就是区域内得点到点(﹣2,0)得斜率,由图象过AC得斜率最大,此时最大值为2.故答案为:2.16.(5分)(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=(a+1)lnx+x2(a＜﹣1)对任意得x1、x2＞0,恒有|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|,则a得取值范围为(﹣∞,﹣2] .【解答】解:由f′(x)=+x,得f′(1)=3a+1,所以f(x)=(a+1)lnx+ax2,(a＜﹣1)在(0,+∞)单调递减,不妨设0＜x1＜x2,则f(x1)﹣f(x2)≥4x2﹣4x1,即f(x1)+4x1≥f(x2)+4x2,令F(x)=f(x)+4x,F′(x)=f′(x)+4=+2ax+4,等价于F(x)在(0,+∞)上单调递减,故F'(x)≤0恒成立,即+2ax+4≤0,所以恒成立,得a≤﹣2.故答案为:(﹣∞,﹣2].三、解答题(本大题共5小题,共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、)17.(12分)(2018•衡中模拟)在△ABC中,角A,B,C所对得边分别为a,b,c,满足c=1,且cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0(1)求C得大小;(2)求a2+b2得最大值,并求取得最大值时角A,B得值.【解答】解:(1)cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0可得:cosBsinC﹣(a﹣sinB)cosC=0即:sinA﹣acosC=0.由正弦定理可知:,∴,c=1,∴asinC﹣acosC=0,sinC﹣cosC=0,可得sin(C﹣)=0,C就是三角形内角,∴C=.(2)由余弦定理可知:c2=a2+b2﹣2abcosC,得1=a2+b2﹣ab又,∴,即:.当时,a2+b2取到最大值为2+.18.(12分)(2018•衡中模拟)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M就是棱PB中点.(Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面PCD;(Ⅱ)设点N就是线段CD上一动点,且=λ,当直线MN与平面PAB所成得角最大时,求λ得值.【解答】证明:(1)取PC得中点E,则连接DE,∵ME就是△PBC得中位线,∴ME,又AD,∴MEAD,∴四边形AMED就是平行四边形,∴AM∥DE.∵PA=AB,M就是PB得中点,∴AM⊥PB,∵PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,∵AM⊂平面PAB,∴BC⊥AM,又PB⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,PB∩BC=B,∴AM⊥平面PBC,∵AM∥DE,∴DE⊥平面PBC,又DE⊂平面PCD,∴平面PBC⊥平面PCD.(2)以A为原点,以AD,AB,AP为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示:则A(0,0,0),B(0,2,0),M(0,1,1),P(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0).∴=(1,2,0),=(0,1,1),=(1,0,0),∴=λ=(λ,2λ,0),=(λ+1,2λ,0),==(λ+1,2λ﹣1,﹣1).∵AD⊥平面PAB,∴为平面PAB得一个法向量,∴cos＜＞=====设MN与平面PAB所成得角为θ,则sinθ=.∴当即时,sinθ取得最大值,∴MN与平面PAB所成得角最大时.19.(12分)(2018•衡中模拟)如图就是两个独立得转盘(A)、(B),在两个图中三个扇形区域得圆心角分别为60°、120°、180°.用这两个转盘进行游戏,规则就是:同时转动两个转盘待指针停下(当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时,则这次转动无效,重新开始),记转盘(A)指针所对得区域为x,转盘(B)指针所对得区域为y,x、y∈{1,2,3},设x+y得值为ξ.(Ⅰ)求x＜2且y＞1得概率;(Ⅱ)求随机变量ξ得分布列与数学期望.【解答】解:(1)记转盘A指针指向1,2,3区域得事件为A1,A2,A3,同理转盘B指针指向1,2,3区域得事件为B1,B2,B3,∴P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=,P=P(A1)P(1﹣P(B1))=×(1﹣)==.…(5分)(2)由已知得ξ得可能取值为2,3,4,5,6,P( ξ=2)=P(A1)P(B1)===,P(ξ=3)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)==,P(ξ=4)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)==,P( ξ=5)=P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)=+=,P(ξ=6)=P(A3)P(B3)==,∴ξ得分布列为:ξ 2 3 4 5 6PEξ==.…(12分)20.(12分)(2018•衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a＞b＞0),倾斜角为45°得直线与椭圆相交于M、N 两点,且线段MN得中点为(﹣1,).过椭圆E内一点P(1,)得两条直线分别与椭圆交于点A、C 与B、D,且满足=λ,=λ,其中λ为实数.当直线AP平行于x轴时,对应得λ=.(Ⅰ)求椭圆E得方程;(Ⅱ)当λ变化时,k AB就是否为定值？若就是,请求出此定值;若不就是,请说明理由.【解答】解:(Ⅰ)设M(m1,n1)、N(m2,n2),则,两式相减,故a2=3b2…(2分)当直线AP平行于x轴时,设|AC|=2d,∵,,则,解得,故点A(或C)得坐标为.代入椭圆方程,得…4分a2=3,b2=1,所以方程为…(6分)(Ⅱ)设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)由于,可得A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),…①同理可得…②…(8分)由①②得:…③将点A、B得坐标代入椭圆方程得,两式相减得(x1+x2)(x1﹣x2)+3(y1+y2)(y1﹣y2)=0,于就是3(y1+y2)k AB=﹣(x1+x2)…④同理可得:3(y3+y4)k CD=﹣(x3+x4),…(10分)于就是3(y3+y4)k AB=﹣(x3+x4)(∵AB∥CD,∴k AB=k CD)所以3λ(y3+y4)k AB=﹣λ(x3+x4)…⑤由④⑤两式相加得到:3[y1+y2+λ(y3+y4)]k AB=﹣[(x1+x2)+λ(x3+x4)]把③代入上式得3(1+λ)k AB=﹣2(1+λ),解得:,当λ变化时,k AB为定值,.…(12分)21.(12分)(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点x=e2处得切线与直线x﹣2y+e=0平行.(Ⅰ)若函数g(x)=f(x)﹣ax在(1,+∞)上就是减函数,求实数a得最小值;(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)﹣无零点,求k得取值范围.【解答】解:(Ⅰ) 由,得,解得m=2,故,则,函数g(x)得定义域为(0,1)∪(1,+∞),而,又函数g(x)在(1,+∞)上就是减函数,∴在(1,+∞)上恒成立,∴当x∈(1,+∞)时,得最大值.而,即右边得最大值为,∴,故实数a得最小值;(Ⅱ) 由题可得,且定义域为(0,1)∪(1,+∞),要使函数F(x)无零点,即在(0,1)∪(1,+∞)内无解,亦即在(0,1)∪(1,+∞)内无解.构造函数,则,(1)当k≤0时,h'(x)＜0在(0,1)∪(1,+∞)内恒成立,∴函数h(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内也单调递减.又h(1)=0,∴当x∈(0,1)时,h(x)＞0,即函数h(x)在(0,1)内无零点,同理,当x∈(1,+∞)时,h(x)＜0,即函数h(x)在(1,+∞)内无零点,故k≤0满足条件;(2)当k＞0时,.①若0＜k＜2,则函数h(x)在(0,1)内单调递减,在内也单调递减,在内单调递增.又h(1)=0,∴h(x)在(0,1)内无零点;又,而,故在内有一个零点,∴0＜k＜2不满足条件;②若k=2,则函数h(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.又h(1)=0,∴当x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h(x)＞0恒成立,故无零点.∴k=2满足条件;③若k＞2,则函数h(x)在内单调递减,在内单调递增,在(1,+∞)内也单调递增.又h(1)=0,∴在及(1,+∞)内均无零点.易知,又h(e﹣k)=k×(﹣k)﹣2+2e k=2e k﹣k2﹣2=ϕ(k),则ϕ'(k)=2(e k﹣k)＞0,则ϕ(k)在k＞2为增函数,∴ϕ(k)＞ϕ(2)=2e2﹣6＞0.故函数h(x)在内有一零点,k＞2不满足.综上:k≤0或k=2.[选修41:几何证明选讲]22.(10分)(2018•衡中模拟)如图所示,AC为⊙O得直径,D为得中点,E为BC得中点.(Ⅰ)求证:DE∥AB;(Ⅱ)求证:AC•BC=2AD•CD.【解答】证明:(Ⅰ)连接BD,因为D为得中点,所以BD=DC.因为E为BC得中点,所以DE⊥BC.因为AC为圆得直径,所以∠ABC=90°,所以AB∥DE.…(5分)(Ⅱ)因为D为得中点,所以∠BAD=∠DAC,又∠BAD=∠DCB,则∠DAC=∠DCB.又因为AD⊥DC,DE⊥CE,所以△DAC∽△ECD.所以=,AD•CD=AC•CE,2AD•CD=AC•2CE,因此2AD•CD=AC•BC.…(10分)[选修44:坐标系与参数方程]23.(2018•衡中模拟)在平面直角坐标系中,直线l得参数方程为(t为参数),在以直角坐标系得原点O为极点,x轴得正半轴为极轴得极坐标系中,曲线C得极坐标方程为ρ=(1)求曲线C得直角坐标方程与直线l得普通方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB得面积.【解答】解:(1)由曲线C得极坐标方程为ρ=得ρ2sin2θ=2ρcosθ.∴由曲线C得直角坐标方程就是:y2=2x.由直线l得参数方程为(t为参数),得t=3+y代入x=1+t中消去t得:x﹣y﹣4=0,所以直线l得普通方程为:x﹣y﹣4=0…(5分)(2)将直线l得参数方程代入曲线C得普通方程y2=2x,得t2﹣8t+7=0,设A,B两点对应得参数分别为t1,t2,所以|AB|===,因为原点到直线x﹣y﹣4=0得距离d=,所以△AOB得面积就是|AB|d==12.…(10分)[选修45:不等式选讲]24.(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=|x﹣l|+|x﹣3|.(I)解不等式f(x)≤6;(Ⅱ)若不等式f(x)≥ax﹣1对任意x∈R恒成立,求实数a得取值范围.【解答】解:函数f(x)=|x﹣l|+|x﹣3|= 得图象如图所示,(I)不等式f(x)≤6,即①或②,或③.解①求得x∈∅,解②求得3＜x≤5,解③求得﹣1≤x≤3.综上可得,原不等式得解集为[﹣1,5].(Ⅱ)若不等式f(x)≥ax﹣1对任意x∈R恒成立,则函数f(x)得图象不能在y=ax﹣1得图象得下方.如图所示:由于图中两题射线得斜率分别为﹣2,2,点B(3,2), ∴3a﹣1≤2,且a≥﹣2,求得﹣2≤a≤1.。

2018年衡水金卷普通高等学校招生全国统一考试模拟数学(理)(一)试题(解析版)

2018年衡水金卷普通高等学校招生全国统一考试模拟数学（理）（一）试题一、单选题1．已知集合{}20A x x =-， 1|12xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则（）A. {}|02A B x x ⋂=<≤B. {}|0A B x x ⋂=<C. {}|2A B x x ⋃=<D. A B R ⋃= 【答案】D【解析】由题意得集合{}20{|2}A x x x x =-=<， {}1{|1}02xB x x x =<=（），则{|02}A B x x ⋂=<<， A B R ⋃=，故选D.2．已知i 为虚数单位， a 为实数，复数z 满足3z i a ai +=+，若复数z 是纯虚数，则（）A. 3a =B. 0a =C. 0a ≠D. 0a < 【答案】B【解析】由3z i a ai +=+，得()3z a a i =+-，又∵复数z 是纯虚数，∴0{ 30a a =-≠，解得0a =，故选B.3．我国数学家邹元治利用下图证明了勾股定理，该图中用勾和股分别表示直角三角形的两条直角边，用弦来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设直角三角形的长直角边为，短直角边为，由题意，∵大方形的边长为，小方形的边长为，则大正方形的面积为49，小正方形的面积为25，∴满足题意的概率值为：，故选B.4．已知等差数列()n a 的前n 项和为n S ，且96S π=，则5tan a =（）A.B. C. D. 【答案】C【解析】由等差数列的性质可得： ()19959692a a S a π+===，∴523a π=，则52tan tan3a π== C. 5．已知函数，则下列结论正确的是（）A. 在区间内单调递增B. 在区间内单调递减C. 是偶函数D. 是奇函数，且在区间内单调递增【答案】D【解析】当时，函数在区间内单调递增，当时，函数在区间上单调递减，在内单调递增，故，均错误，，均成立，故是奇函数，故错误，故选.6．()()412x x +-的展开式中x 项的系数为（） A. -16 B. 16 C. 48 D. -48 【答案】A【解析】∵()42x -展开式的通项公式为()4142rr rr T C x -+=⋅-，∴()()412x x +-的展开式中x 项的系数为13442216C -⋅+=-，故选A.7．如图是某个集合体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A.4π+ B. 24π+ C. 22π+ D. 24π+【答案】B【解析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体，其直观图如下所示：其表面积)211212222S ππ=⨯⋅+，故选B.8．若1,01a c b ><<<，则下列不等式不正确的是（） A. 20182018log log a b > B. log log b c a a <C. ()()cba c a a c a ->- D. ()()cbc b a c b a ->-【答案】C【解析】根据对数函数的单调性可得20182018log log a b >正确， log log b c a a <正确，∵1a >， 01c b <<<，∴c ba a <， 0a c ->，∴()()cb ac a a c a -<-，故C 不正确，∵0c b -<，∴()()cbc b a c b a ->-正确，故选C.9．执行如图所示的程序框图，若输出的n 值为11，则判断框中的条件可以是（）A. 1022?S <B. 2018?S <C. 4095?S <D. 4095?S > 【答案】C【解析】第1次执行循环体， 3S =，应不满足输出的条件，n=2，第2次执行循环体，S=7，应不满足输出的条件，n=3，第3次执行循环体，S=15，应不满足输出的条件，n=4，第4次执行循环体，S=31，应不满足输出的条件，n=5，第5次执行循环体，S=63，应不满足输出的条件，n=6，第6次执行循环体，S=127，应不满足输出的条件，n=7，第7次执行循环体，S=255，应不满足输出的条件，n=8，第8次执行循环体，S=511，应不满足输出的条件，n=9，第9次执行循环体，S=1023，应不满足输出的条件，n=10，第10次执行循环体，S=2047，应不满足输出的条件，n=11 第11次执行循环体，S=4095，应满足输出的条件，故判断框中的条件可以是S ＜4095？，故选：C点睛：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题；由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 10．已知函数()()2sin 02f x x πϖφφφ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭，的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度后，所得图象与函数()y g x =的图象重合，则（）A. ()2sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()2sin2g x x =D. ()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】根据函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>， 2πϕ≤）的部分图象，可得332244312T πππω=⋅=+，∴2ω=，根据201212ππωϕϕ⎛⎫⋅-+=⋅-+= ⎪⎝⎭（），∴6πϕ=，故2sin 26f x x π=+（）（），将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度后，所得图象与函数()y g x =的图象重合，故()2sin 22sin 2663g x x x πππ=++=+（）（），故选A.点睛：题主要考查利用()sin y A x ωφ=+的图象特征，由函数()sin y A x ωφ=+的部分图象求解析式，理解解析式中,,A ωφ的意义是正确解题的关键，属于中档题． A 为振幅，有其控制最大、最小值，ω控制周期，即2T πω=，通常通过图象我们可得2T和4T, φ称为初象，通常解出A ， ω之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 作斜率为1的直线l 交抛物线C 于,P Q 两点，则11PF QF+的值为（） A.12 B. 78C. 1D. 2 【答案】C【解析】抛物线C ： 24y x =的焦点为10F （，），过点F 作斜率为1的直线l ： 1y x =-，可得24{1y x y x ==-，消去y 可得： 2610x x -+=，可得6P Q x x +=， 1P Q x x =，1P PF x =+， 1Q QF x =+， 16118Q P P Q PF QF x x x x =+++=++=，则11621161PF QF PF QF QF FP +++===++，故选C. 12．已知数列{}n a 中， ()*112,1,n n n a n a a a n N +=-=+∈，若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（） A. (][),22,-∞-⋃+∞ B. (][),21,-∞-⋃+∞ C. (][),12,-∞-⋃+∞ D. []2,2-【答案】A【解析】根据题意，数列{}n a 中， ()11n n n n a a a +-=+，即()111n n na n a +-+=，则有()1111111n n a a n n n n n n +-==-+++，则有1111221111112n n n n n n a a a a a aa a a n n n nn n ++---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-⎪ ⎪ ⎪++---⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）111111111233112121n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+-+=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，21211n a t at n +<+-+，即213211t at n -<+-+，∵对于任意的[]22a ∈-，， *n N ∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，∴2213t at +-≥，化为： 2240t at +-≥，设()224f a t at =+-， []22a ∈-，，可得20f ≥（）且()20f -≥，即有2220{ 20t t t t +-≥--≥，即12{21t t t t ≥≤-≥≤-或或，可得2t ≥或2t ≤-，则实数t 的取值范围是][22-∞-⋃+∞（，，），故选A.点睛：本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是对()11n n n n a a a +-=+的变形，即运用裂项相消求和可得()1111111n n a a n n n n n n +-==-+++，再由不等式恒成立问题可得2240t at +-≥，设()224f a t at =+-， []22a ∈-，，运用一次函函数的性质，可得t 的不等式，解不等式即可得到所求t 的范围.二、填空题13．已知向量()()1,,3,1a b λ==，若向量2a b -与()1,2c =共线，则向量a 在向量c 放向上的投影为__________．【答案】0【解析】向量()1,a λ=， 31b =（，），向量2121a b λ-=--（，），∵向量2a b -与12c =（，）共线，∴212λ-=-，即12λ=-，∴向量112a =-（，），∴向量a 在向量c 方向上的投影为21112cos ,01a ca a c c⨯-⨯⋅⋅===+，故答案为0.14．若实数,x y 满足4,{2, 1,x y x y x +=≤≥则31z x y =-+的最大值是__________．【答案】13-【解析】实数x ， y 满足4,{2, 1,x y x y x +=≤≥，对应的可行域如图：线段AB ， 31z x y =-+化为： 1133z y x -=+，如果z 最大，则直线1133z y x -=+在y 轴上的截距13z -最小，作直线l ： 13y x =，平移直线13y x =至B 点时，31z x y =-+取得最大值，联立4{2x y x y +==，解得84,33B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以31z x y =-+的最大值是：84131333-⨯+=-，故答案为13-. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．过双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的下焦点1F 作y 轴的垂线，交双曲线于,A B 两点，若以AB 为直径的圆恰好过其上焦点2F ,则双曲线的离心率为__________．【答案】1【解析】过双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的下焦点1F 作y 轴的垂线，交双曲线于A ， B 两点，则22b AB a =，以AB 为直径的圆恰好过其上焦点2F ，可得：22b c a =，∴2220c a ac --=，可得2210e e --=，解得1e = 1e =为116．一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为__________．【答案】【解析】设该项长方体底面边长为x 米，由题意知其高是：248624xx -=-，（ 03x <<），则长方体的体积()()262V x x x =-，（ 03x <<），()()2'12662V x x x x x =-=-，由()'0V x =，得2x =，且当02x <<时，()0V x '>， ()V x 单调递增；当23x <<时， ()0V x '<， ()V x 单调递减，∴体积函数()V x 在2x =处取得唯一的极大值，即为最大值，此时长方体的高为622x -=，∴其外接球的直径2R =R ，∴其外接球的体积343R V π==，故答案为.点睛：本题主要考查了正方体和球的组合体问题，解决该题的关键是准确寻找直径与正方体的关系是解题的关键，常见的形式有：1、当正方体的各个顶点均在球面上时，正方体的体对角线为球的直径；2、当球与正方体的各条棱相切时，球的直径即为面的对角线；3、当球与正方体的的各面相切时，正方体的棱长即为球的直径.三、解答题17．如图，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2co s c o s c o s a A b C c B =+.(1)求角A 的大小；(2)若点D 在边AC 上，且BD 是ABC ∠的平分线， 2,4AB BC ==，求AD 的长.【答案】(1) 3A π=；(2) AD =. 【解析】试题分析：（1）利用正弦定理将边化角，根据三角恒等变换即可得出1cos 2A =，从而得出A 的大小；（2）利用余弦定理求出AC ，根据BD 是ABC ∠的平分线，可得AD ABDC BC=，故而可求得结果. 试题解析：(1)在ABC ∆中，∵2cos cos cos a A b C c B =+,∴由正弦定理得()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B C C B B C A =+=+=， ∵sin 0A ≠，∴1cos 2A =，∵()0A π∈，，∴3A π=. (2)在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，即21642AC AC =+-,解得1AC =,或1AC =∵BD 是ABC ∠的平分线， 2,4AB BC ==，∴12AD AB DC BC ==,∴13AD AC ==. 18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1CC ⊥底面ABC ,且122,CC AC BC AC BC ==⊥, D 是棱AB 的中点，点M 在侧棱1CC 上运动.(1)当M 是棱1CC 的中点时，求证： //CD 平面1MAB ；(2)当直线AM 与平面ABC 所成的角的正切值为32时，求二面角11A MB C --的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) 14-. 【解析】试题分析：（1）取线段1AB 的中点E ，连结,DE EM ．可得四边形CDEM 是平行四边形， CD EM ，即可证明CD 平面1MAB ；（2）以C 为原点， CA ， CB ， 1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法二面角11A MB C --的余弦值.试题解析：(1)取线段1AB 的中点E ，连结,DE EM . ∵1,AD DB AE EB ==,∴1//DE BB ，且112DE BB =. 又M 为1CC 的中点，∴1//CM BB ,且112CM BB =. ∴//CM DE ,且CM DE =.∴四边形CDEM 是平行四边形. ∴//CD EM .又EM ⊂平面1,AB M CD ⊄平面1AB M ,∴//CD 平面1MAB .(2)∵1,,CA CB CC 两两垂直，∴以C 为原点， 1,,CA CB CC 所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系Cxyz ，如图,∵三棱柱111ABC A B C -中， 1CC ⊥平面ABC ， ∴MAC ∠即为直线AM 与平面ABC 所成的角. 设1AC =，则由3tan 2MAC ∠=，得32CM =.∴()()()()130,0,0,1,0,0,0,1,0,0,1,2,0,0,2C A B B M ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴()131,0,,1,1,22AM AB ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, 设平面1AMB 的一个法向量为(),,n x y z =，则130,{ 220,AM n x z AB n x y z ⋅=-+=⋅=-++= 令2z =，得3,1x y ==-，即()3,1,2n =-.又平面11BCC B 的一个法向量为()1,0,0CA =,∴cos ,14CA n CA n CA n⋅==, 又二面角11A MB C --的平面角为钝角，∴二面角11A MB C --的余弦值为14-. 19．第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络"的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示. (1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数；(2)从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人. ①记X 表示选取4人的成绩的平均数,求()87P X ≥；②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数,求ξ的分布列和数学期望.【答案】(1)答案见解析；(2)①.235；②.答案见解析. 【解析】试题分析：（1）众数为76，中位数为76，抽取的12人中， 70分以下的有4人，不低于70分的有8人，从而求出从该校学生中任选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率，由此能求出该校这次测试成绩在70分以上的人数；（2）①由题意知70分以上的有72， 76， 76， 76， 82， 88， 93， 94，当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类：一类是： 82， 88， 93， 94，共1种；另一类是： 76， 88， 93， 94，共3种．由此能求出()87P X ≥；②由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E ξ（）．试题解析：(1)众数为76，中位数为76.抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故从该校学生中人选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为82123=，故该校这次测试成绩在70分以上的约有2300020003⨯=（人） (2)①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94. 当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类. 一类是82，88，93，94，共1种；另一类是76，88，93，94，共3种.所以 4842(87035p X C ≥==. ②由题意可得， ξ的可能取值为0，1，2，3，4()0444481070C C P C ξ===, ()13444816817035C C P C ξ====,()224448361827035C C P C ξ====,()31444816837035C C P C ξ====, ()4044481470C C P C ξ===. ξ的分别列为()1818810123427035353570E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 20．已知椭圆 ()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,离心率为13，点P 在椭圆C 上，且12PF F ∆的面积的最大值为(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线():20l y kx k =+≠与椭圆C 交于不同的两点,M N ，若在x 轴上存在点G ，使得GM GN =，求点G 的横坐标的取值范围.【答案】(1) 22198x y +=；(2)0,1212⎡⎫⎛-⋃⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦. 【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求出椭圆方程；（2）联立方程组，利用根与系数的关系求出MN 的中点E 的坐标，根据GE MN ⊥得出G 点横坐标m 的表达式，利用基本不等式得出m 的取值范围.试题解析：(1)由已知得22213,1{2 2,c a c b c a b =⨯⨯==-，解得2229,8,1a b c ===，∴椭圆C 的方程为22198x y +=. (2)设()()1122,,,M x y N x y ， MN 的中点为()00,E x y ，点(),0G m ，使得GM GN =,则GE MN ⊥. 由222,{ 1,98y kx x y =++=得()228936360k xkx ++-=，由0∆>，得k R ∈.∴1223698kx x k +=-+，∴000221816,29898k x y kx k k -==+=++. ∵,GE MN ⊥∴1GE k k =-，即221601981898k k k k -+=--+， ∴2228989k m k k k--==++. 当0k >时，89k k +≥89k k =，即k =取等号），∴0m ≤<；当0k >时，89k k +≤-（当且仅当89k k =，即3k =-时，取等号），∴012m <≤，∴点G的横坐标的取值范围为⎡⎫⎛⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦.21．设函数()()2ln ,,xf x e a x a a R e =--+∈为自然对数的底数.(1)若0a >,且函数()f x 在区间[)0,+∞内单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若203a <<，试判断函数()f x 的零点个数. 【答案】(1) [)1+∞，；(2)函数()f x 没有零点.【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，问题转化为x a e x -≥-在[0+∞，）恒成立，记()xg x ex -=-，根据函数的单调性求出a 的范围即可；（2）求出()1'xf x e x a=-+，记()()'h x f x =，根据函数的单调性得到()f x '在区间(),a -+∞递增，从而求出()f x 的最小值大于0，判断出函数无零点即可.试题解析：(1)∵函数()f x 在区间[)0+∞，内单调递增，∴()1'0x f x e x a=-≥+在区间[)0+∞，内恒成立. 即xa ex -≥-在区间[)0+∞，内恒成立.记()xg x ex -=-，则()'10x g x e -=--<恒成立，∴()g x 在区间[)0+∞，内单调递减,∴()()01g x g ≤=，∴1a ≥，即实数a 的取值范围为[)1+∞，. (2)∵203a <<， ()1'xf x e x a=-+，记()()'h x f x =，则()()21'0x h x e x a =+>+，知()'f x 在区间(),a -+∞内单调递增. 又∵()1'010f a =-<， ()1'10f e a a=->+， ∴()'f x 在区间(),a -+∞内存在唯一的零点0x ，即()0001'0xf x e x a=-=+，于是001x ex a=+， ()00ln x x a =-+. 当0a x x -<<时， ()()'0,f x f x <单调递减；当0x x >时， ()()'0,f x f x >单调递增.∴()()()000min 2ln xf x f x e a x a ==--+0000112323a x x a a a x a x a=-+=++-≥-++，当且仅当01x a +=时，取等号. 由203a <<，得230a ->， ∴()()0min 0f x f x =>，即函数()f x 没有零点.22．已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为221164y x +=，以O 为极点， x 轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 33πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (1)求直线l 的直角坐标方程和椭圆C 的参数方程；(2)设(),M x y 为椭圆C上任意一点，求1y +-的最大值. 【答案】(1)直线l 的直角坐标方程为60y +-=，椭圆C 的参数方程为2,{(4x cos y sin φφφ==为参数）；(2)9. 【解析】试题分析：（1）根据题意，由参数方程的定义可得椭圆的参数方程，对直线l 的极坐标方程利用两角和的正弦展开，将x cos ρθ=， y sin ρθ=代入可得直线l 的普通方程；（2）根据题意，设2cos 4sin Mθθ（，），进而分析可得14sin 18sin 13y πθθθ+-=+-=+-（），由三角函数的性质分析可得答案.试题解析：(1)由sin 33πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得1sin cos 32ρθθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入，得直线l60y +-=. 椭圆C 的参数方程为2,{(4x cos y sin φφφ==为参数）.(2)因为点M 在椭圆C 上，所以设()2cos ,4sin M φφ，则14sin 18sin 193y πφφφ⎛⎫+-=+-=+-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当sin 13πφ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，取等号，所以max 19y +-=. 23．已知函数()2f x x =-.(1)求不等式()()24f x f x ++≤的解集；(2)若()()()2g x f x f x =-+的最大值为m ，对任意不想等的正实数,a b ，证明：()()af b bf a m a b +≥-.【答案】(1) {}|13x x -≤≤；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）原不等式即为24x x -+≤，分当2x ≥时，当02x <<时，当0x ≤时去绝对值，解不等式，最后求并集即可；（2）运用绝对值不等式的性质可得2m =，再由绝对值不等式的性质，化简变形即可得证.试题解析：(1)不等式()()24f x f x ++≤，即24x x -+≤，此不等式等价于0,{24,x x x ≤--≤或02,{24,x x x <≤-+≤或2,{2 4.x x x >-+≤解得10x -≤≤，或02x <≤，或23x <≤.所以不等式()()24f x f x ++≤的解集为{}|13x x -≤≤. (2) ()()()22f x f x f x x x =-+=--，因为()222x x x x --≤--=，当且仅当0x ≤时，取等号，所以()2g x ≤，即2m =，因为,a b 为正实数，所以()()()()2af +=，当且仅当()()220b a --≤时，取等号.即()()()||af b bf a m a b +≥-.点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

2018高考数学模拟试卷(衡水中学理科)

2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）第1卷一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．（分）（ •衡中模拟）已知集合＜，，则（）．∅ ．（，）．，）．，．（分）（ •衡中模拟）设随机变量～（，），若（＞），则（＜ ≤ ）（）．．．．．（分）（ •衡中模拟）已知复数（为虚数单位），则（）．．﹣ ．．．（分）（ •衡中模拟）过双曲线﹣ （＞，＞）的一个焦点作两渐近线的垂线，垂足分别为、，若∠ ，则双曲线的渐近线方程为（）． ±． ±． ± ． ±．（分）（ •衡中模拟）将半径为的圆分割成面积之比为：：的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为，，，那么的值为（）．．．．．（分）（ •衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）．．．．．（分）（ •衡中模拟）等差数列中，，，若，则数列的前项和为（）．．．．．（分）（ •衡中模拟）已知（ ﹣ ）（）（）（），则（）．．．﹣ ．．（分）（ •衡中模拟）如图为三棱锥 ﹣ 的三视图，其表面积为（）．．．．．（分）（ •衡中模拟）已知椭圆：（＞＞）的左焦点（﹣ ，），为椭圆上一动点，椭圆内部点（﹣ ，）满足的最大值为，则椭圆的离心率为（）．．．．．（分）（ •衡中模拟）已知（），若函数（）﹣ 恒有一个零点，则的取值范围为（）． ≤ ． ≤ 或 ≥ ． ≤ 或 ≥ ． ≤ 或 ≥．（分）（ •衡中模拟）已知数列的通项公式为 ﹣ ，数的通项公式为 ﹣ ，设，若在数列中＜（列∈ ， ≠ ），则的取值范围（）．（，）．（，）．（，）．（，）第卷二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中的横线上．）．（分）（ •衡中模拟）若平面向量、满足， ﹣ ，则在上的投影为．．（分）（ •衡中模拟）若数列满足，，则数列前项和．．（分）（ •衡中模拟）若直线（ ﹣ ） ﹣ 把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为．．（分）（ •衡中模拟）已知函数（）（）（＜﹣ ）对任意的、＞，恒有（）﹣ （） ≥ ﹣ ，则的取值范围为．三、解答题（本大题共小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．（分）（ •衡中模拟）在△ 中，角，，所对的边分别为，，，满足，且（ ﹣ ）（）（）求的大小；（）求的最大值，并求取得最大值时角，的值．．（分）（ •衡中模拟）如图，在四棱锥 ﹣ 中，侧棱 ⊥底面， ∥ ，∠ ，，，是棱中点．（）求证：平面 ⊥平面；（）设点是线段上一动点，且，当直线与平面所成的角最大时，求的值．．（分）（ •衡中模拟）如图是两个独立的转盘（）、（），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为、、．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（）指针所对的区域为，转盘（）指针所对的区域为，、 ∈ ，，，设的值为．（）求＜且＞的概率；（）求随机变量的分布列与数学期望．．（分）（ •衡中模拟）已知椭圆：（＞＞），倾斜角为的直线与椭圆相交于、两点，且线段的中点为（﹣ ，）．过椭圆内一点（，）的两条直线分别与椭圆交于点、和、，且满足，，其中为实数．当直线平行于轴时，对应的．（）求椭圆的方程；（）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．．（分）（ •衡中模拟）已知函数（），曲线（）在点处的切线与直线 ﹣ 平行．（）若函数（）（）﹣ 在（，）上是减函数，求实数的最小值；（）若函数（）（）﹣无零点，求的取值范围．选修：几何证明选讲．（分）（ •衡中模拟）如图所示，为⊙ 的直径，为的中点，为的中点．（）求证： ∥ ；（）求证：．选修：坐标系与参数方程．（ •衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为（）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（）若直线与曲线相交于，两点，求△ 的面积．选修：不等式选讲．（ •衡中模拟）已知函数（） ﹣ ﹣ ．（）解不等式（）≤ ；（）若不等式（）≥ ﹣ 对任意 ∈ 恒成立，求实数的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．（分）（ •衡中模拟）已知集合＜，，则（）．∅ ．（，）．，）．，【解答】解：＜ ﹣ ＜＜， ≥ ，则，），故选：．．（分）（ •衡中模拟）设随机变量～（，），若（＞），则（＜ ≤ ）（）．．．．【解答】解：∵随机变量服从正态分布（，），∴ ，得对称轴是．∵ （＞）∴ （＜ ≤ ） ﹣ ．故选：．（分）（ •衡中模拟）已知复数（为虚数单位），则（）．．﹣ ．．【解答】解：复数，可得 ﹣ ．则．故选：．．（分）（ •衡中模拟）过双曲线﹣（＞，＞）的一个焦点作两渐近线的垂线，垂足分别为、，若∠ ，则双曲线的渐近线方程为（）． ±． ±． ± ． ±【解答】解：如图若∠ ，则由对称性得∠ ，则∠，即的斜率，则双曲线渐近线的方程为 ± ，故选：．（分）（ •衡中模拟）将半径为的圆分割成面积之比为：：的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为，，，那么的值为（），∴ ，同理，【解答】解：∵，∴故选：．．（分）（ •衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）．．．．【解答】解：第一次循环，＞，即＞成立，，，，＜成立，第二次循环，＞，即＞不成立，，，，＜成立，第三次循环，＞，即﹣ ＞不成立，，，，＜成立，第四次循环，＞，即＞﹣ 成立，，，，＜成立，第五次循环，＞，即＞成立，，，，＜不成立，输出，故选：．（分）（ •衡中模拟）等差数列中，，，若，则数列的前项和为（）【解答】解：设等差数列的公差为，，，∴，解得，，∴（ ﹣ ），∴，∴（ ﹣ ﹣ ﹣）（ ﹣）故选．．（分）（ •衡中模拟）已知（ ﹣ ）（）（）（），则（）．．．﹣ ．【解答】解：（ ﹣ ）（）﹣ ，∴，故选：．．（分）（ •衡中模拟）如图为三棱锥 ﹣ 的三视图，其表面积为（）．．．．【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为，，的长方体切去四个小棱锥得到的几何体．三棱锥的三条边长分别为，∴表面积为 × ．故选：．．（分）（ •衡中模拟）已知椭圆：（＞＞）的左焦点（﹣ ，），为椭圆上一动点，椭圆内部点（﹣ ，）满足的最大值为，则椭圆的离心率为（）．．．．【解答】解：设右焦点为，由（﹣ ，），可得（，），由椭圆的定义可得，即 ﹣ ，则（ ﹣ ）≤ ，当，，共线时，取得等号，即最大值，由，可得，所以，则，故选：．．（分）（ •衡中模拟）已知（），若函数（）﹣ 恒有一个零点，则的取值范围为（）． ≤ ． ≤ 或 ≥ ． ≤ 或 ≥ ． ≤ 或 ≥【解答】解：由（）﹣ 得（），作出函数（）和的图象如图，由图象知当 ≤ 时，函数（）和恒有一个交点，当 ≥ 时，函数（）（）的导数（），则（），当＜时，函数（） ﹣ 的导数（），则（），即当时，是函数（）的切线，则当＜＜时，函数（）和有个交点，不满足条件．当 ≥ 时，函数（）和有个交点，满足条件．综上的取值范围为 ≤ 或 ≥ ，故选：．．（分）（ •衡中模拟）已知数列的通项公式为 ﹣ ，数的通项公式为 ﹣ ，设，若在数列中＜（列∈ ， ≠ ），则的取值范围（）．（，）．（，）．（，）．（，）【解答】解：∵ ﹣ ﹣ ﹣﹣ ， ∴ ﹣ 随着变大而变小，又∵ ﹣ 随着变大而变小，﹣ 随着变大而变大， ∴，（）当（）当，综上 ∈（，），故选．二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中的横线上．）．（分）（ •衡中模拟）若平面向量、满足， ﹣ ，则在上的投影为 ﹣ ．【解答】解：根据条件，；∴； ∴在上的投影为．故答案为：﹣ ．．（分）（ •衡中模拟）若数列满足，，则数列前项和 ﹣．【解答】解：∵数列满足，， ∴ ﹣ 时， ﹣ ﹣ ，为等差数列；时，，为等比数列．∴．故答案为： ﹣ ．．（分）（ •衡中模拟）若直线（ ﹣ ） ﹣ 把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为．【解答】解：由（ ﹣ ） ﹣ 得（ ﹣ ） ﹣ ，则得，即直线恒过（﹣ ，），若将区域分成面积相等的两部分，则直线过的中点，由得，即（，），∵ （，），∴中点（，），代入（ ﹣ ） ﹣ ，得 ﹣ ，则，则的几何意义是区域内的点到点（﹣ ，）的斜率，由图象过的斜率最大，此时最大值为．故答案为：．．（分）（ •衡中模拟）已知函数（）（）（＜﹣ ）对任意的、＞，恒有（）﹣ （） ≥ ﹣ ，则的取值范围为（﹣ ，﹣ ．【解答】解：由（），得（），所以（）（），（＜﹣ ）在（，）单调递减，不妨设＜＜，则（）﹣ （）≥ ﹣ ，即（） ≥ （），令（）（），（）（），等价于（）在（，）上单调递减，故（）≤ 恒成立，即≤ ，所以恒成立，得 ≤﹣ ．故答案为：（﹣ ，﹣ ．三、解答题（本大题共小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．（分）（ •衡中模拟）在△ 中，角，，所对的边分别为，，，满足，且（ ﹣ ）（）（）求的大小；（）求的最大值，并求取得最大值时角，的值．【解答】解：（）（ ﹣ ）（）可得： ﹣（ ﹣ ）即： ﹣ ．由正弦定理可知：，∴，，∴ ﹣ ，﹣ ，可得（ ﹣），是三角形内角，∴ ．（）由余弦定理可知： ﹣ ，得 ﹣又，∴，即：．当时，取到最大值为．．（分）（ •衡中模拟）如图，在四棱锥 ﹣ 中，侧棱 ⊥底面， ∥ ，∠ ，，，是棱中点．（）求证：平面 ⊥平面；（）设点是线段上一动点，且，当直线与平面所成的角最大时，求的值．【解答】证明：（）取的中点，则连接，∵ 是△ 的中位线，∴ ，又，∴ ，∴四边形是平行四边形，∴ ∥ ．∵ ，是的中点，∴ ⊥ ，∵ ⊥平面， ⊂平面，∴ ⊥ ，又 ⊥ ，，∴ ⊥平面，∵ ⊂平面，∴ ⊥ ，又 ⊂平面， ⊂平面，，∴ ⊥平面，∵ ∥ ，∴ ⊥平面，又 ⊂平面，∴平面 ⊥平面．（）以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则（，，），（，，），（，，），（，，），（，，），（，，）．∴ （，，），（，，），（，，），∴ （，，），（，，），（， ﹣ ，﹣ ）．∵ ⊥平面，∴为平面的一个法向量，∴ ＜＞设与平面所成的角为，则．∴当即时，取得最大值，∴ 与平面所成的角最大时．．（分）（ •衡中模拟）如图是两个独立的转盘（）、（），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为、、．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（）指针所对的区域为，转盘（）指针所对的区域为，、 ∈ ，，，设的值为．（）求＜且＞的概率；（）求随机变量的分布列与数学期望．【解答】解：（）记转盘指针指向，，区域的事件为，，，同理转盘指针指向，，区域的事件为，，，∴ （），（），（），（），（），（），（）（ ﹣ （）） ×（ ﹣）．（分）（）由已知得的可能取值为，，，，，（）（）（），（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（），（）（）（），∴ 的分布列为：．（分）．（分）（ •衡中模拟）已知椭圆：（＞＞），倾斜角为的直线与椭圆相交于、两点，且线段的中点为（﹣ ，）．过椭圆内一点（，）的两条直线分别与椭圆交于点、和、，且满足，，其中为实数．当直线平行于轴时，对应的．（）求椭圆的方程；（）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（）设（，）、（，），则，两式相减，故（分）当直线平行于轴时，设，∵，，则，解得，故点（或）的坐标为．代入椭圆方程，得分，，所以方程为（分）（）设（，）、（，）、（，）、（，）由于，可得（，）、（，）、（，）、（，），同理可得（分）由得：将点、的坐标代入椭圆方程得，两式相减得（）（ ﹣ ）（）（ ﹣ ），于是（） ﹣（）同理可得：（） ﹣（），（分）于是（） ﹣（）（∵ ∥ ，∴ ）所以（） ﹣ （）由两式相加得到：（） ﹣ （）（）把代入上式得（） ﹣ （），解得：，当变化时，为定值，．（分）．（分）（ •衡中模拟）已知函数（），曲线（）在点处的切线与直线 ﹣ 平行．（）若函数（）（）﹣ 在（，）上是减函数，求实数的最小值；（）若函数（）（）﹣无零点，求的取值范围．【解答】解：（）由，得，解得，故，则，函数（）的定义域为（，）（，），而，又函数（）在（，）上是减函数，∴在（，）上恒成立，∴当 ∈（，）时，的最大值．而，即右边的最大值为，∴，故实数的最小值；（）由题可得，且定义域为（，）（，），要使函数（）无零点，即在（，）（，）内无解，亦即在（，）（，）内无解．构造函数，则，（）当 ≤ 时，（）＜在（，）（，）内恒成立，∴函数（）在（，）内单调递减，在（，）内也单调递减．又（），∴当 ∈（，）时，（）＞，即函数（）在（，）内无零点，同理，当 ∈（，）时，（）＜，即函数（）在（，）内无零点，故 ≤ 满足条件；（）当＞时，．若＜＜，则函数（）在（，）内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增．又（），∴ （）在（，）内无零点；又，而，故在内有一个零点，∴ ＜＜不满足条件；若，则函数（）在（，）内单调递减，在（，）内单调递增．又（），∴当 ∈（，）（，）时，（）＞恒成立，故无零点．∴ 满足条件；若＞，则函数（）在内单调递减，在内单调递增，在（，）内也单调递增．又（），∴在及（，）内均无零点．易知，又（ ﹣ ） ×（﹣ ）﹣ ﹣ ﹣ （），则（）（ ﹣ ）＞，则（）在＞为增函数，∴ （）＞（） ﹣ ＞．故函数（）在内有一零点，＞不满足．综上： ≤ 或．选修：几何证明选讲．（分）（ •衡中模拟）如图所示，为⊙ 的直径，为的中点，为的中点．（）求证： ∥ ；（）求证：．【解答】证明：（）连接，因为为的中点，所以．因为为的中点，所以 ⊥ ．因为为圆的直径，所以∠ ，所以 ∥ ．（分）（）因为为的中点，所以∠ ∠ ，又∠ ∠ ，则∠ ∠ ．又因为 ⊥ ， ⊥ ，所以△ ∽△ ．所以，，，因此．（分）选修：坐标系与参数方程．（ •衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为（）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（）若直线与曲线相交于，两点，求△ 的面积．【解答】解：（）由曲线的极坐标方程为得．∴由曲线的直角坐标方程是：．由直线的参数方程为（为参数），得代入中消去得： ﹣ ﹣ ，所以直线的普通方程为： ﹣ ﹣ （分）（）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得 ﹣ ，设，两点对应的参数分别为，，所以，因为原点到直线 ﹣ ﹣ 的距离，所以△ 的面积是．（分）选修：不等式选讲．（ •衡中模拟）已知函数（） ﹣ ﹣ ．（）解不等式（）≤ ；（）若不等式（）≥ ﹣ 对任意 ∈ 恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：函数（） ﹣ ﹣ 的图象如图所示，（）不等式（）≤ ，即或，或．解求得 ∈∅，解求得＜ ≤ ，解求得﹣ ≤ ≤ ．综上可得，原不等式的解集为 ﹣ ，．（）若不等式（）≥ ﹣ 对任意 ∈ 恒成立，则函数（）的图象不能在 ﹣ 的图象的下方．如图所示：由于图中两题射线的斜率分别为﹣ ，，点（，），∴ ﹣ ≤ ，且 ≥﹣ ，求得﹣ ≤ ≤ ．。

河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学(解析版)最新修正版

2017~2018学年度上学期高三年级一调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．设集合2{1,2,4},{|40}A B x x x m ==-+=．若{1}A B =，则B =（）A ．{1,3}-B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}1．答案：C解析：由题意可知1B ∈，将1x =代入240x x m -+=，得3m =，所以2430x x -+=，即(1)(3)0x x --=，解得1x =或3x =，所以{1,3}B = 2．已知i 是虚数单位，若复数i12ia -+为纯虚数，则实数a 的值是（） A ．12-B ．0C ．12D ．22．答案：D 解析：设ii,12i a b b R -=∈+，则i i(12i)2i a b b b -=+=-+，所以21a b b =-⎧⎨=-⎩，故2a = 3．执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．23．答案：D解析：1,100,0t M S ===→是100,10,2S M t →==-=→是90,1,3S M t →===→否→输出9091S =<，结束，所以正整数N 的最小值为2．4．已知点(2,0)A -，点(,)M x y 为平面区域220,240,33x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤0上的一个动点，则AM 的最小值是（） A ． 5 B ．3CD．4．答案：C解析：作可行域如图所示，则AM 的最小值为点A 到直线220x y +-=的距离，5d ===5．已知ABC △的三个内角,,A B C 依次成等差数列，BC边上的中线2AD AB ==，则ABC S =△（）A ．3 B．C．D ．65．答案：C解析：因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+，又因为180A B C ++=︒，所以60B =︒，在ABD △中，由余弦定理可得2222cos60AD AB BD AB BD =+-⋅⋅︒，即2230BD BD --=，所以(3)(1)0BD BD -+=，所以3BD =，故26BC BD ==，1sin 602ABC S AB BC =⨯⨯︒=△6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（） A ．3 B．C．D6．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，则1,2,3BC AC CD BD AB AD ======所以最长的棱为3ABCD7．已知数列{}n a满足110,()n a a n N *+==∈，则20a =（）A ．0 B．CD7．答案：B解析：解法1：123410,02a a a a a -======-，周期3T =，所以202a a == 解法2：设tan n n a α=，则1tan 0a =，11tan tan3tan 1tan tan 3n n n a πααπα++-===+tan 3n πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以13n n παα+=-，所以数列{}n α是一个首项为0，公差为3π-的等差数列，13n n απ-=-，所以2020201919,tan tan tan tan 3333a ππαπαπ⎛⎫⎛⎫=-==-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（） A ．110,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．答案：B 解析：当,32x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，,33323x πππππωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，根据题意可得3,2,2,332322k k k Z ππππππωωππ⎛⎫⎛⎫--⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2332,32232k k Z k πππωππππωπ⎧-+⎪⎪∈⎨⎪-+⎪⎩≥≤，解得：125121123k k ω++≤≤，所以1251211023k k ++<≤，所以571212k -<≤，又因为k Z ∈，所以0k =，所以511,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9．设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><．若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（）A ．17,224πωϕ==B ．211,312πωϕ==-C ．111,324πωϕ==-D ．2,312πωϕ==9．答案：D 解析：根据题意1153(21),8844k T k Z πππ+-==∈，所以3,21T k Z k π=∈+，又因为2T π>，所以220,3,3k T T ππω====，当58x π=时，52,,122x k k Z ππωϕϕπ+=+=+∈212k πϕπ∴=+，又因为ϕπ<，所以12πϕ=10．已知函数31()xxf x e x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数a 满足()()20.5log log 2(1)f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（） A ．1,(2,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B ．1,[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10．答案：C解析：函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，0.52log log a a =-，所以()22log 2(1)f a f ≤，所以()2log (1)f a f ≤，所以21log 1a -≤≤，所以122a ≤≤11．已知函数32()1f x x ax =++的图像的对称中心的横坐标为00(0)x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0)-∞ B．,⎛-∞ ⎝⎭ C ．(0,)+∞ D ．(,1)-∞-11．答案：B解析：2()32f x x ax '=+，()f x '的对称轴为3a x =-，所以003ax =->，所以0a <，令 ()0f x '=，得1220,03a x x ==->，所以当0x =时，()f x 取得极大值1，当23ax =-时，()f x 取得极小值34127a +，要想使()f x 有三个零点，则必须341027a +<，解得2a <-12．定义在[1,)+∞内的函数()f x 满足：①当24x ≤≤时，()13f x x =--；②(2)()f x c f x =（c 为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（） A ．1 B ．2±C ．12或3 D ．1或212．答案：D解析：在区间[2,4]上，当3x =时，()f x 取得极大值1，极大值点为(3,1)A ，当[4,8]x ∈时，[2,4]2x ∈，()2x f x cf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以在区间[4,8]上，当32x =，即6x =时，()f x 取得极大值c ，极大值点为(6,)B c ，当[1,2]x ∈时，2[2,4]x ∈，所以1()(2)f x f x c=，所以在区间[1,2]上，当23x =，即32x =时，()f x 取得极大值1c ，所以极大值点为31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意，(3,1)A ，(6,)B c ，31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线，所以111332c c --=，解得1c =或2 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= ．13．答案：85解析：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则(2,2)AC =，(2,1),(1,2)AM BN ==-，因为AC AM BN λμ=+，所以(2,2)(2,2)λμλμ-+=，所以2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得685,255λλμμ⎧=⎪⎪∴+=⎨⎪=⎪⎩AMx14．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)4f =，且()f x 的导函数()3f x '<，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为．14．答案：(0,)e解析：设ln t x =，则()31f t t >+，即()31f t t ->，设()()3g t f t t=-，则(1)(1)31g f =-=，且()()30g t f t ''=-<，所以函数()g t 是一个单调递减函数，不等式()31f t t ->等价于()(1)g t g >，所以1t <，即ln 1x <，解得(0,)x e ∈15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，126,4,0n S S S ==>，且22122,,n n n S S S -+成等比数列，212221,,n n n S S S -++成等差数列，则2016a 等于．15．答案：1009-解析：由题意可得2212222221212n n n n n n S S S S S S -++-+⎧=⎪⎨=+⎪⎩，因为0n S>，所以222n S +所以)n N *=∈，故数列为等差数列，又由126,4S S ==，2124S S S =⋅，可得49S =；4132S S S =+，可得312S =，所以数列2=为首1=1n =+，即22(1)n S n =+，故21(1)(2)n S n n -==++，故2201620151009,10091010S S ==⨯，所以2016201620151009a S S =-=-16．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin ,01,42()11, 1.4xx x f x x π⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤，若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是． 16．答案：01a <≤或54a =解析：由25[()](56)()60f x a f x a -++=可得[5()6][()]0f x f x a -⋅-=，所以6()5f x =或()f x a =，画出()y f x =的图像，当6()5f x =时，因为65154<<，所以该方程有4个根；因2（1）求角A 的大小；（2）求25cos 2sin 22C B π⎛⎫--⎪⎝⎭的取值范围．17．解：（1cos (2)cos C b A =-及正弦定理可得：cos (2sin )cos 2sin cos cos A C B C A B A C A ==，故2sin cos cos sin cos ))B A A C C A A C B =+=+=，0πB <<，sin 0B ∴≠，cos A ∴=0πA <<，所以6πA =（2）25cos 2sin sin cos 1sin cos()122πC B B C B A B ⎛⎫--=+-=-+-⎪⎝⎭3sin coscos sinsin 1sin cos 1166226πππB B B B B B ⎛⎫=-+-=--=-- ⎪⎝⎭ 由6πA =，可得50,6πB ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππB ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而1sin ,162πB ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，116πB ⎛⎤⎛⎫--∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围是1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀．（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望．参考数据：若2(,)XN μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=18．解：因为语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，所以语文成绩特别优秀的概率为11(135)(10.96)0.022p P X =>=-⨯=，数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244p =⨯⨯= 所以语文成绩特别优秀的同学有5000.0210⨯=（人），数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=（人）……………………（5分）（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3321123101061066333316161616327151(0),(1),(2),(3),14565628C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………（12分）19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠=︒==分别为11,AB A B 的中点，现把平行四边形11AAC C 沿1CC 折起，如图②所示，连接1111,,B C B A B A ①②ACBA 1C 1B 1ACBA 1C 1B 1（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB 11C AB A --的余弦值．19．（1）证明：由已知可得，四边形1111,ACC A BCC B 均为边长为2的菱形，且11160ACC B C C ∠=∠=︒，取1CC 的中点O ，连接11,,AO B O AC ，则1ACC △是等边三角形，所以1AO CC ⊥，同理可得11B O CC ⊥．又因为1AOB O O =，所以1CC ⊥平面1AOB ，又因为1AB ⊂平面1AOB ，所以11AB CC ⊥．…………………………（5分）AC BA 1C 1B 1O（2）由已知得1OA OB AB ===2221OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，分别以11,,OB OC OA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得11(0,1,0),C B A A -．设平面1CAB 的法向量111(,,)m x y z =，1(3,0,3),(0,1,AB AC =-=-，11111300AB m xAC m y ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=--=⎪⎩，令11x =，得 111,z y ==1CAB 的法向量(1,m =．设平面11AA B 的法向量222(,,)n x y z =，11(3,0,3),(0,2,0)AB AA =-=，由122123020AB n x AA n y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21x =，得221,0z y ==，所以平面11AA B 的法向量(1,0,1)n =，于是cos ,55m n m n m n⋅===⨯⋅．因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为5-20．（本小题满分12分）已知曲线2()ln f x ax bx x =+在点(1,(1))f 处的切线方程是21y x =-．（1）求实数,a b 的值；（2）若2()(1)f x kx k x +-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值． 20．解：（1）()2ln f x a bx x bx '=++，由(1)1(1)2f a f a b ==⎧⎨'=+=⎩，可得1a b ==……（4分）（2）由22ln (1)x x x kx k x ++-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即2ln 1x x k x ++≤恒成立，令 2ln ()(0)1x x g x x x +=>+，则22(ln 1)(1)2ln ln 1()(1)(1)x x x x x x g x x x ++--+-'==++，显然ln 1y x x =+-单调递增，且有唯一零点1x =，所以()g x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增，所以min ()(1)1g x g ==，所以1k ≤，故k 的最大值为1………………………………（12分）21．（本小题满分12分）已知函数211()ln 22f x ax x ax ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（a 为常数，0a >）．（1）当1a =时，求函数()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）当()y f x =在12x =处取得极值时，若关于x 的方程()0f x b -=在[0,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；（3）若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立，求实数m 的取值范围．21．解：（1）当1a =时，211()ln 22f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，所以13()21,(1)12f x x f x ''=+-=+，又(1)0f =，即切点为(1,0)，所以切线方程为3(1)2y x =-，即3230x y --=．……（3分）（2）()21a f x x a ax '=+-+，依题意，1101212a f a a ⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭+，即220a a --=，因为 0a >，所以2a =，此时2(21)()12x x f x x -'=+，所以()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1135(0)ln ,,(2)ln 2242f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以31ln 42b -<≤．…………（6分）（3）2222(2)2(2)()2111x ax a a ax a x f x x a ax ax ax⎡⎤--+-⎣⎦'=+-==+++，因为12a <<，所以221(2)(1)0222a a a a a --+-=<，即22122a a -<，所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以max 11()(1)ln 122f x f a a ⎛⎫==++- ⎪⎝⎭．问题等价于对任意的(1,2)a ∈，不等式211ln 1(23)22a a m a a ⎛⎫++->+-⎪⎝⎭恒成立，设211()ln 1(23)(12)22h a a a m a a a ⎛⎫=++--+-<< ⎪⎝⎭，则212(41)2()12211ma m a m h a ma m a a --+-'=---=++，又(1)0h =，所以()h a 在1a =右侧需先单调递增，所以(1)0h '≥，即18m -≤．当18m -≤时，设2()2(41)2g a ma m a m =--+-，其对称轴为1114a m=--<，又20m ->，开口向上，且(1)810g m =--≥，所以在(1,2)内，()0g a >，即()0h a '>，所以()h a 在(1,2)内单调递增，()(1)0h a h >=，即211ln 1(23)(12)22a a m a a a ⎛⎫++->+-<< ⎪⎝⎭．于是，对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立．综上可知，18m -≤…………………………（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的非负半轴重合，直线l 的参数方程为1,212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，求PQ 的值．22．解：（1）将4c o s ρθ=化为24cos ρρθ=，由222,c os ρρθx y x =+=，得224x y x +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=．由1,212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t解得10x +=，所以直线l的普通方程为10x +=……………………（5分）（2）把1,212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(2)4x y -+=，整理得250t -+=，设其两根为12,t t ，则12125t t t t +==，所以12PQ t t =-==………………（10分）方法2，圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r =，圆心C 到直线l 的距离32d =，所以PQ ==………………（10分）方法3，将1x =-代入22(2)4x y -+=，化简得：2450y -+=，由韦达定理得：12125,24y y y y +==，PQ === 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()223,()12f x x a x g x x =-++=-+．（1）解不等式()5g x <；（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．23．解：（1）由125x -+<，得5125x -<-+<，所以13x -<，即313x -<-<，解得： 24x -<<，所以原不等式的解集为{|24}x x -<<（2）因为对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()223(2)(23)3f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(23)0x a x -+≤时取等号，()122g x x =-+≥，所以32a +≥，解得：1a -≥或5a -≤，所以实数a 的取值范围是(,5][1,)-∞--+∞。

河北省衡水中学2018-2019学年高三第一次摸底考试数学(理)试卷含答案

2018—2019学年河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．下列命题正确的个数为 ①梯形一定是平面图形；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则 A ．B ．3C ．D ．43．已知双曲线与抛物线有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为A ．B ．C ．D ．4．如图，一只蚂蚁从点出发沿着水平面的线条爬行到点，再由点沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点，则它可以爬行的不同的最短路径有准考证号考场号座位号A．40条B．60条C．80条D．120条5．函数的图象大致是A．B．C．D．6．若，则A．B．2 C．D．7．某县教育局招聘了8名小学教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名全科教师，需要分配到两个学校任教，其中每个学校都需要2名语文教师和2名数学教师，则分配方案种数为A．72 B．56 C．57 D．638．一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．B．C．D．9．已知函数，下列结论不正确的是A．的图象关于点中心对称B．既是奇函数，又是周期函数C．的图象关于直线对称D．的最大值为10．如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为A．B．C．D．11．已知的准线交轴于点，焦点为，过且斜率大于0的直线交于，，则A．B．C．4 D．312．已知是减函数，且有三个零点，则的取值范围为A．B．C．D．二、解答题13．数列满足，（）.（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前999项和.14．在四棱锥，，，，平面平面，分别是中点.（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.15．在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积，且，求.16．如图，直线平面，直线平行四边形，四棱锥的顶点在平面上，，，，，分别是与的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.17．如图，椭圆：的左右焦点分别为，离心率为，过抛物线：焦点的直线交抛物线于两点，当时，点在轴上的射影为，连接并延长分别交于两点，连接，与的面积分别记为，，设.（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）求的取值范围.18．已知函数的图象的一条切线为轴.（1）求实数的值；（2）令，若存在不相等的两个实数满足，求证：.三、填空题19．已知向量夹角为，且，，则_______.20．已知直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为_______.21．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有______种.22．三棱锥中，平面，为正三角形，外接球表面积为，则三棱锥的体积的最大值为______2018—2019学年河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学（理）试题数学答案参考答案1．C【解析】分析：逐一判断每个命题的真假，得到正确命题的个数.详解：对于①，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，所以该命题是真命题；对于②，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或异面或相交，所以该命题是假命题；对于③，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，是真命题；对于④，如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，所以该命题是假命题.故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查空间直线平面的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象能力.(2)对于类似这种空间直线平面位置关系的命题的判断，一般可以利用举反例的方法和直接证明法,大家要灵活选择方法判断.2．C【解析】【分析】利用等差数列前项和公式，代入即可求出，再利用等差数列通项公式就能算出.【详解】∵是公差为1的等差数列，，∴解得，则，故选C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式及其前项和公式的运用，是基础题。

河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学(解析版)

2017~2018学年度上学期高三年级一调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．设集合2{1,2,4},{|40}A B x x x m ==-+=．若{1}AB =，则B =（）A ．{1,3}-B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}1．答案：C解析：由题意可知1B ∈，将1x =代入240x x m -+=，得3m =，所以2430x x -+=，即(1)(3)0x x --=，解得1x =或3x =，所以{1,3}B = 2．已知i 是虚数单位，若复数i12ia -+为纯虚数，则实数a 的值是（） A ．12-B ．0C ．12D ．22．答案：D解析：设ii,12i a b b R -=∈+，则i i(12i)2i a b b b -=+=-+，所以21a b b =-⎧⎨=-⎩，故2a = 3．执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．23．答案：D解析：1,100,0t M S ===→是100,10,2S M t →==-=→是90,1,3S M t →===→否 →输出9091S =<，结束，所以正整数N 的最小值为2．4．已知点(2,0)A -，点(,)M x y 为平面区域220,240,33x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤0上的一个动点，则AM 的最小值是（）A ． 5B ．3C．5D．4．答案：C解析：作可行域如图所示，则AM 的最小值为点A 到直线220x y +-=的距离，d===5．已知ABC△的三个内角,,A B C依次成等差数列，BC边上的中线2AD AB==，则ABCS=△（）A．3 B．C．D．65．答案：C解析：因为,,A B C成等差数列，所以2B A C=+，又因为180A B C++=︒，所以60B=︒，在ABD△中，由余弦定理可得2222cos60AD AB BD AB BD=+-⋅⋅︒，即2230BD BD--=，所以(3)(1)0BD BD-+=，所以3BD=，故26BC BD==，1sin602ABCS AB BC=⨯⨯︒=△6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（）A．3 B．C．D6．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，则1,2,3BC AC CD BD AB AD======所以最长的棱为3ABCD7．已知数列{}na满足110,()na a n N*+==∈，则20a=（）A．0 B．CD7．答案：B解析：解法1：123410,02a a a a a-======-，周期3T=，所以202a a==解法2：设tan n n a α=，则1tan 0a =，11tan tan3tan 1tan tan 3n n n a πααπα++-===+tan 3n πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以13n n παα+=-，所以数列{}n α是一个首项为0，公差为3π-的等差数列，13n n απ-=-，所以2020201919,tan tan tan tan 3333a ππαπαπ⎛⎫⎛⎫=-==-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（）A ．110,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．答案：B解析：当,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,33323x πππππωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，根据题意可得3,2,2,332322k k k Z ππππππωωππ⎛⎫⎛⎫--⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2332,32232k k Z k πππωππππωπ⎧-+⎪⎪∈⎨⎪-+⎪⎩≥≤，解得：125121123k k ω++≤≤，所以1251211023k k ++<≤，所以571212k -<≤，又因为k Z ∈，所以0k =，所以511,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9．设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><．若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（）A ．17,224πωϕ==B ．211,312πωϕ==-C ．111,324πωϕ==-D ．2,312πωϕ==9．答案：D解析：根据题意1153(21),8844k T k Z πππ+-==∈，所以3,21T k Z k π=∈+，又因为2T π>，所以220,3,3k T T ππω====，当58x π=时，52,,122x k k Z ππωϕϕπ+=+=+∈ 212k πϕπ∴=+，又因为ϕπ<，所以12πϕ=10．已知函数31()xxf x e x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数a 满足()()20.5log log 2(1)f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（）A ．1,(2,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10．答案：C解析：函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，0.52log log a a =-，所以()22log 2(1)f a f ≤，所以()2log (1)f a f ≤，所以21log 1a -≤≤，所以122a ≤≤11．已知函数32()1f x x ax =++的图像的对称中心的横坐标为00(0)x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0)-∞ B．,2⎛-∞- ⎝⎭ C ．(0,)+∞ D ．(,1)-∞- 11．答案：B解析：2()32f x x ax '=+，()f x '的对称轴为3a x =-，所以003ax =->，所以0a <，令 ()0f x '=，得1220,03a x x ==->，所以当0x =时，()f x 取得极大值1，当23ax =-时，()f x 取得极小值34127a +，要想使()f x 有三个零点，则必须341027a +<，解得2a <-12．定义在[1,)+∞内的函数()f x 满足：①当24x ≤≤时，()13f x x =--；②(2)()f x c f x =（c 为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（）A ．1B ．2±C ．12或3 D ．1或2 12．答案：D解析：在区间[2,4]上，当3x =时，()f x 取得极大值1，极大值点为(3,1)A ，当[4,8]x ∈时，[2,4]2x∈，()2x f x cf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以在区间[4,8]上，当32x =，即6x =时，()f x 取得极大值c ，极大值点为(6,)B c ，当[1,2]x ∈时，2[2,4]x ∈，所以1()(2)f x f x c=，所以在区间[1,2]上，当23x =，即32x =时，()f x 取得极大值1c ，所以极大值点为31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意，(3,1)A ，(6,)B c ，31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线，所以111332c c --=，解得1c =或2 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= ．13．答案：85解析：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则(2,2)AC =，(2,1),(1,2)AM BN ==-，因为AC AM BN λμ=+，所以(2,2)(2,2)λμλμ-+=，所以2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得685,255λλμμ⎧=⎪⎪∴+=⎨⎪=⎪⎩AMx14．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)4f =，且()f x 的导函数()3f x '<，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为． 14．答案：(0,)e 解析：设ln t x =，则()31f t t >+，即()31f t t ->，设()()3g t f t t =-，则(1)(1)31g f =-=，且()()30g t f t ''=-<，所以函数()g t 是一个单调递减函数，不等式()31f t t ->等价于 ()(1)g t g >，所以1t <，即ln 1x <，解得(0,)x e ∈15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，126,4,0n S S S ==>，且22122,,n n n S S S -+成等比数列，212221,,n n n S S S -++成等差数列，则2016a 等于． 15．答案：1009-解析：由题意可得2212222221212n n n n n n S S S S S S -++-+⎧=⎪⎨=+⎪⎩，因为0nS >，所以222n S +=，所以)n N *=∈，故数列为等差数列，又由126,4S S ==，2124S S S =⋅，可得49S =；4132S S S =+，可得312S =，所以数列2=为首1=1n =+，即22(1)n S n =+，故21(1)(2)n S n n -==++，故2201620151009,10091010S S ==⨯，所以2016201620151009a S S =-=-16．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin ,01,42()11, 1.4xx x f x x π⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤，若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是． 16．答案：01a <≤或54a =解析：由25[()](56)()60f x a f x a -++=可得[5()6][()]0f x f x a -⋅-=，所以6()5f x =或()f x a =，画出()y f x =的图像，当6()5f x =时，因为65154<<，所以该方程有4个根；因22⎪⎝⎭17．解：（1cos (2)cos C b A =-及正弦定理可得：cos (2sin )cos 2sin cos cos A C B C A B A C A ==，故2sin cos cos sin cos ))B A A C C A A C B =+=+=，0πB <<，sin 0B ∴≠，cos A ∴=0πA <<，所以6πA = （2）25cos 2sin sin cos 1sin cos()122πCB BC B A B ⎛⎫--=+-=-+-⎪⎝⎭3sin coscos sinsin 1sin cos 1166226πππB B B B B B ⎛⎫=-+-=--=-- ⎪⎝⎭由6πA =，可得50,6πB ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππB ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而1sin ,162πB ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，21162πB ⎛⎤⎛⎫--∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围是1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀．（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望．参考数据：若2(,)XN μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=18．解：因为语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，所以语文成绩特别优秀的概率为11(135)(10.96)0.022p P X =>=-⨯=，数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244p =⨯⨯= 所以语文成绩特别优秀的同学有5000.0210⨯=（人），数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=（人）……………………（5分）（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3321123101061066333316161616327151(0),(1),(2),(3),14565628C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………（12分）19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠=︒==分别为11,AB A B 的中点，现把平行四边形11AAC C 沿1CC 折起，如图②所示，连接1111,,B C B A B A ①②ACBA 1C 1B 1ACBA 1C 1B 1（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB 11C AB A --的余弦值．19．（1）证明：由已知可得，四边形1111,ACC A BCC B 均为边长为2的菱形，且11160ACC B C C ∠=∠=︒，取1CC 的中点O ，连接11,,AO B O AC ，则1ACC △是等边三角形，所以1AO CC ⊥，同理可得11B O CC ⊥．又因为1AO B O O =，所以1CC ⊥平面1AOB ，又因为1AB ⊂平面1AOB ，所以11AB CC ⊥．…………………………（5分）AC BA 1C 1B1O（2）由已知得1OA OB AB ===2221OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，分别以11,,OB OCOA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得11(0,1,0),3)C B A A -．设平面1CAB 的法向量111(,,)m x y z =，1(3,0,3),(0,1,AB AC =-=-，1111130AB m x AC m y ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩，令11x =，得 111,z y ==1CAB 的法向量(1,3,1)m =-．设平面11AA B 的法向量222(,,)n x y z =，11(3,0,3),(0,2,0)AB AA=-=，由122123020AB n x AA n y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21x =，得221,0z y ==，所以平面11AA B 的法向量(1,0,1)n =，于是cos ,5m n m n m n⋅===⨯⋅．因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为5-20．（本小题满分12分）已知曲线2()ln f x ax bx x =+在点(1,(1))f 处的切线方程是21y x =-．（1）求实数,a b 的值；（2）若2()(1)f x kx k x +-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值．20．解：（1）()2ln f x a bx x bx '=++，由(1)1(1)2f a f a b ==⎧⎨'=+=⎩，可得1a b ==……（4分）（2）由22ln (1)x x x kx k x ++-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即2ln 1x x k x ++≤恒成立，令2ln ()(0)1x xg x x x +=>+，则22(ln 1)(1)2ln ln 1()(1)(1)x x x x x x g x x x ++--+-'==++，显然ln 1y x x =+-单调递增，且有唯一零点1x =，所以()g x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增，所以min ()(1)1g x g ==，所以1k ≤，故k 的最大值为1………………………………（12分）21．（本小题满分12分）已知函数211()ln 22f x ax x ax ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（a 为常数，0a >）．（1）当1a =时，求函数()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）当()y f x =在12x =处取得极值时，若关于x 的方程()0f x b -=在[0,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；（3）若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立，求实数m 的取值范围．21．解：（1）当1a =时，211()ln 22f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，所以13()21,(1)12f x x f x ''=+-=+，又(1)0f =，即切点为(1,0)，所以切线方程为3(1)2y x =-，即3230x y --=．……（3分）（2）()21a f x x a ax '=+-+，依题意，1101212a f a a⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭+，即220a a --=，因为 0a >，所以2a =，此时2(21)()12x x f x x -'=+，所以()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1135(0)ln ,,(2)ln 2242f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以31ln 42b -<≤．…………（6分）（3）2222(2)2(2)()2111x ax a a ax a x f x x a ax ax ax⎡⎤--+-⎣⎦'=+-==+++，因为12a <<，所以221(2)(1)0222a a a a a --+-=<，即22122a a -<，所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以max 11()(1)ln 122f x f a a ⎛⎫==++- ⎪⎝⎭．问题等价于对任意的(1,2)a ∈，不等式211ln 1(23)22a a m a a ⎛⎫++->+- ⎪⎝⎭恒成立，设211()ln 1(23)(12)22h a a a m a a a ⎛⎫=++--+-<< ⎪⎝⎭，则212(41)2()12211ma m a m h a ma m a a --+-'=---=++，又(1)0h =，所以()h a 在1a =右侧需先单调递增，所以(1)0h '≥，即18m -≤．当18m -≤时，设2()2(41)2g a ma m a m =--+-，其对称轴为1114a m=--<，又20m ->，开口向上，且(1)810g m =--≥，所以在(1,2)内，()0g a >，即()0h a '>，所以()h a 在(1,2)内单调递增，()(1)0h a h >=，即211ln 1(23)(12)22a a m a a a ⎛⎫++->+-<< ⎪⎝⎭．于是，对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立．综上可知，18m -≤…………………………（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程x 轴的非负半轴重合，直线l 的参数方程为1,12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，求PQ 的值．22．解：（1）将4c o s ρθ=化为24cos ρρθ=，由222,c o s ρρθx y x =+=，得224x y x +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y-+=．由1,12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t 解得10x+=，所以直线l10x +=……………………（5分）（2）把1,12x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(2)4x y -+=，整理得250t -+=，设其两根为12,t t ，则 12125t t t t +==，所以12PQ t t =-==10分）方法2，圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r =，圆心C 到直线l 的距离32d =，所以PQ ==………………（10分）方法3，将1x =-代入22(2)4x y -+=，化简得：2450y -+=，由韦达定理得：121254y yy y +==，PQ === 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()223,()12f x x a x g x x =-++=-+．（1）解不等式()5g x <；（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．23．解：（1）由125x -+<，得5125x -<-+<，所以13x -<，即313x -<-<，解得： 24x -<<，所以原不等式的解集为{|24}x x -<<（2）因为对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()223(2)(23)3f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(23)0x a x -+≤时取等号，()122g x x =-+≥，所以32a +≥，解得：1a -≥或5a -≤，所以实数a 的取值范围是(,5][1,)-∞--+∞。

(完整word)2018高考数学模拟试卷(衡水中学理科)

2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）第1卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018•衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．∅B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]2．（5分）（2018•衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（）A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.23．（5分）（2018•衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D．4．（5分）（2018•衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）（2018•衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2 C．D．16．（5分）（2018•衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．57．（5分）（2018•衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．8．（5分）（2018•衡中模拟）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（）A．45 B．180 C．﹣180 D．7209．（5分）（2018•衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（）A．16 B．8+6C．16D．16+610．（5分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）（2018•衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0 B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥12．（5分）（2018•衡中模拟）已知数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣4，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N*，n≠6），则p的取值范围（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）第2卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．（5分）（2018•衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2，|﹣|=，则在上的投影为．14．（5分）（2018•衡中模拟）若数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则数列{a n}前2n项和S2n=．15．（5分）（2018•衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为．16．（5分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2（a＜﹣1）对任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，则a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2018•衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0（1）求C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．18．（12分）（2018•衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD ∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．19．（12分）（2018•衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．20．（12分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（﹣1，）．过椭圆E内一点P（1，）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当λ变化时，k AB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．21．（12分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2018•衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018•衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣l|+|x﹣3|．（I）解不等式f（x）≤6；（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018•衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．∅B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]【解答】解：A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={y|y=|x|≥0}，则A∩B=[0，1），故选：C．2．（5分）（2018•衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（）A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.2【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2），∴μ=3，得对称轴是x=3．∵P（ξ＞4）=0.2∴P（3＜ξ≤4）=0.5﹣0.2=0.3．故选：C3．（5分）（2018•衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：复数z=，可得=﹣=cos+isin．则3=cos4π+isin4π=1．故选：A．4．（5分）（2018•衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：如图若∠PFQ=π，则由对称性得∠QFO=，则∠QOx=，即OQ的斜率k==tan=，则双曲线渐近线的方程为y=±x，故选：B5．（5分）（2018•衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2 C．D．1【解答】解：∵2πr1=，∴r1=，同理，∴r1+r2+r3=1，故选：D．6．（5分）（2018•衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：第一次循环，sin＞sin0，即1＞0成立，a=1，T=1，k=2，k＜6成立，第二次循环，sinπ＞sin，即0＞1不成立，a=0，T=1，k=3，k＜6成立，第三次循环，sin＞sinπ，即﹣1＞0不成立，a=0，T=1，k=4，k＜6成立，第四次循环，sin2π＞sin，即0＞﹣1成立，a=1，T=1+1=2，k=5，k＜6成立，第五次循环，sin＞sin2π，即1＞0成立，a=1，T=2+1=3，k=6，k＜6不成立，输出T=3，故选：B7．（5分）（2018•衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，a3=7，a5=11，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，∴，∴b8=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=故选B．8．（5分）（2018•衡中模拟）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（）A．45 B．180 C．﹣180 D．720【解答】解：（x﹣3）10=[（x+1）﹣4]10，∴，故选：D．9．（5分）（2018•衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（）A．16 B．8+6C．16D．16+6【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为2，4，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体．三棱锥的三条边长分别为，∴表面积为4×=16．故选：C．10．（5分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设右焦点为Q，由F（﹣3，0），可得Q（3，0），由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a，即|PF|=2a﹣|PQ|，则|PM|+|PF|=2a+（|PM|﹣|PQ|）≤2a+|MQ|，当P，M，Q共线时，取得等号，即最大值2a+|MQ|，由|MQ|==5，可得2a+5=17，所以a=6，则e===，故选：A．11．（5分）（2018•衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0 B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥【解答】解：由y=f（x）﹣kx=0得f（x）=kx，作出函数f（x）和y=kx的图象如图，由图象知当k≤0时，函数f（x）和y=kx恒有一个交点，当x≥0时，函数f（x）=ln（x+1）的导数f′（x）=，则f′（0）=1，当x＜0时，函数f（x）=e x﹣1的导数f′（x）=e x，则f′（0）=e0=1，即当k=1时，y=x是函数f（x）的切线，则当0＜k＜1时，函数f（x）和y=kx有3个交点，不满足条件．当k≥1时，函数f（x）和y=kx有1个交点，满足条件．综上k的取值范围为k≤0或k≥1，故选：B．12．（5分）（2018•衡中模拟）已知数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣4，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N*，n≠6），则p的取值范围（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）【解答】解：∵a n﹣b n=﹣2n+p﹣2n﹣4，∴a n﹣b n随着n变大而变小，又∵a n=﹣2n+p随着n变大而变小，b n=2n﹣4随着n变大而变大，∴，（1）当（2）当，综上p∈（14，20），故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．（5分）（2018•衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2，|﹣|=，则在上的投影为﹣1．【解答】解：根据条件，==7；∴；∴在上的投影为．故答案为：﹣1．14．（5分）（2018•衡中模拟）若数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则数列{a n}前2n项和S2n=2n+n2﹣1．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，∴n=2k﹣1时，a2k+1﹣a2k﹣1=2，为等差数列；n=2k时，a2k+2=2a2k，为等比数列．∴．故答案为：2n+n2﹣1．15．（5分）（2018•衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为2．【解答】解：由ax+（a﹣2）y+4﹣a=0得a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，则得，即直线恒过C（﹣1，2），若将区域分成面积相等的两部分，则直线过AB的中点D，由得，即A（1，6），∵B（3，0），∴中点D（2，3），代入a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，得4a﹣2=0，则，则的几何意义是区域内的点到点（﹣2，0）的斜率，由图象过AC的斜率最大，此时最大值为2．故答案为：2．16．（5分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2（a＜﹣1）对任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，则a的取值范围为（﹣∞，﹣2] ．【解答】解：由f′（x）=+x，得f′（1）=3a+1，所以f（x）=（a+1）lnx+ax2，（a＜﹣1）在（0，+∞）单调递减，不妨设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）≥4x2﹣4x1，即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，令F（x）=f（x）+4x，F′（x）=f′（x）+4=+2ax+4，等价于F（x）在（0，+∞）上单调递减，故F'（x）≤0恒成立，即+2ax+4≤0，所以恒成立，得a≤﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2018•衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0（1）求C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．【解答】解：（1）cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0可得：cosBsinC﹣（a﹣sinB）cosC=0即：sinA﹣acosC=0．由正弦定理可知：，∴，c=1，∴asinC﹣acosC=0，sinC﹣cosC=0，可得sin（C﹣）=0，C是三角形内角，∴C=．（2）由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC，得1=a2+b2﹣ab又，∴，即：．当时，a2+b2取到最大值为2+．18．（12分）（2018•衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD ∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．【解答】证明：（1）取PC的中点E，则连接DE，∵ME是△PBC的中位线，∴ME，又AD，∴ME AD，∴四边形AMED是平行四边形，∴AM∥DE．∵PA=AB，M是PB的中点，∴AM⊥PB，∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵AM⊂平面PAB，∴BC⊥AM，又PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC，∵AM∥DE，∴DE⊥平面PBC，又DE⊂平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD．（2）以A为原点，以AD，AB，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（0，0，0），B（0，2，0），M（0，1，1），P（0，0，2），C（2，2，0），D（1，0，0）．∴=（1，2，0），=（0，1，1），=（1，0，0），∴=λ=（λ，2λ，0），=（λ+1，2λ，0），==（λ+1，2λ﹣1，﹣1）．∵AD⊥平面PAB，∴为平面PAB的一个法向量，∴cos＜＞=====设MN与平面PAB所成的角为θ，则sinθ=．∴当即时，sinθ取得最大值，∴MN与平面PAB所成的角最大时．19．（12分）（2018•衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（1）记转盘A指针指向1，2，3区域的事件为A1，A2，A3，同理转盘B指针指向1，2，3区域的事件为B1，B2，B3，∴P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（B1）=，P（B2）=，P（B3）=，P=P（A1）P（1﹣P（B1））=×（1﹣）==．…（5分）（2）由已知得ξ的可能取值为2，3，4，5，6，P（ξ=2）=P（A1）P（B1）===，P（ξ=3）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）==，P（ξ=4）=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）==，P（ξ=5）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=+=，P（ξ=6）=P（A3）P（B3）==，∴ξ的分布列为：ξ 2 3 4 5 6PEξ==．…（12分）20．（12分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（﹣1，）．过椭圆E内一点P（1，）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当λ变化时，k AB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设M（m1，n1）、N（m2，n2），则，两式相减，故a2=3b2…（2分）当直线AP平行于x轴时，设|AC|=2d，∵，，则，解得，故点A（或C）的坐标为．代入椭圆方程，得…4分a2=3，b2=1，所以方程为…（6分）（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）由于，可得A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），…①同理可得…②…（8分）由①②得：…③将点A、B的坐标代入椭圆方程得，两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，于是3（y1+y2）k AB=﹣（x1+x2）…④同理可得：3（y3+y4）k CD=﹣（x3+x4），…（10分）于是3（y3+y4）k AB=﹣（x3+x4）（∵AB∥CD，∴k AB=k CD）所以3λ（y3+y4）k AB=﹣λ（x3+x4）…⑤由④⑤两式相加得到：3[y1+y2+λ（y3+y4）]k AB=﹣[（x1+x2）+λ（x3+x4）]把③代入上式得3（1+λ）k AB=﹣2（1+λ），解得：，当λ变化时，k AB为定值，．…（12分）21．（12分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，得，解得m=2，故，则，函数g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），而，又函数g（x）在（1，+∞）上是减函数，∴在（1，+∞）上恒成立，∴当x∈（1，+∞）时，的最大值．而，即右边的最大值为，∴，故实数a的最小值；（Ⅱ）由题可得，且定义域为（0，1）∪（1，+∞），要使函数F（x）无零点，即在（0，1）∪（1，+∞）内无解，亦即在（0，1）∪（1，+∞）内无解．构造函数，则，（1）当k≤0时，h'（x）＜0在（0，1）∪（1，+∞）内恒成立，∴函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内也单调递减．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）时，h（x）＞0，即函数h（x）在（0，1）内无零点，同理，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即函数h（x）在（1，+∞）内无零点，故k≤0满足条件；（2）当k＞0时，．①若0＜k＜2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增．又h（1）=0，∴h（x）在（0，1）内无零点；又，而，故在内有一个零点，∴0＜k＜2不满足条件；②若k=2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h（x）＞0恒成立，故无零点．∴k=2满足条件；③若k＞2，则函数h（x）在内单调递减，在内单调递增，在（1，+∞）内也单调递增．又h（1）=0，∴在及（1，+∞）内均无零点．易知，又h（e﹣k）=k×（﹣k）﹣2+2e k=2e k﹣k2﹣2=ϕ（k），则ϕ'（k）=2（e k﹣k）＞0，则ϕ（k）在k＞2为增函数，∴ϕ（k）＞ϕ（2）=2e2﹣6＞0．故函数h（x）在内有一零点，k＞2不满足．综上：k≤0或k=2．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2018•衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（5分）（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，因此2AD•CD=AC•BC．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018•衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．【解答】解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ=得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴由曲线C的直角坐标方程是：y2=2x．由直线l的参数方程为（t为参数），得t=3+y代入x=1+t中消去t得：x﹣y﹣4=0，所以直线l的普通方程为：x﹣y﹣4=0…（5分）（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y2=2x，得t2﹣8t+7=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|AB|===，因为原点到直线x﹣y﹣4=0的距离d=，所以△AOB 的面积是|AB|d==12．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣l|+|x﹣3|．（I）解不等式f（x）≤6；（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=|x﹣l|+|x﹣3|=的图象如图所示，（I）不等式f（x）≤6，即①或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得3＜x≤5，解③求得﹣1≤x≤3．综上可得，原不等式的解集为[﹣1，5]．（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，则函数f（x）的图象不能在y=ax﹣1的图象的下方．如图所示：由于图中两题射线的斜率分别为﹣2，2，点B（3，2），∴3a﹣1≤2，且a≥﹣2，求得﹣2≤a≤1．第21页（共21页）。

2018年河北省衡水中学高三一模理科数学试题 (1)

河北省衡水中学2018高三第一次模拟理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设全集为实数集R ，{}24M x x =>，{}13N x x =<≤，则图中阴影部分表示的集合是( )AC 2．设,a R i ∈是虚数单位，则”的（） A.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3．若{}n a 是等差数列，首项10,a >201120120a a +>，201120120a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（）A ．2011B ．2012C ．4022D ．40234. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人” ）；②标准差2S ≤；③平均数且标准差2S ≤；2；⑤众数等于1且极差小于或等于1。

A C ．③④⑤D ．④⑤ 5. 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1相交于点E ，则点E 为△A 1BC 1的（）A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心6.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤--,0,,02,063y x y x y x 若目标函数y b axz +=)0,(>b a 的最大值是12，则）B ．CD （）( )A. )0,(-∞B. ()+∞,0C. )1,(-∞D. ()+∞,111.已知圆的方程422=+y x ，若抛物线过点A (0，－1)，B (0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是( ) A.x 23＋y 24＝1(y ≠0) B.x 24＋y 23＝1(y ≠0) C.x 23＋y 24＝1(x ≠0) D.x 24＋y 23＝1 (x ≠0) 12. 设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足 (2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f =（）A.200722006+ B ．200622008+ C ．200722008+ D ．200822006+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）6]，内任取一个元素x O ，若抛物线y=x 2在x=x o 处的切线的倾角为α，则的概率为。

2018年河北省高三数学理第一次摸底考试题及答案

2018年高三上学期第一次模拟考数学试卷(理科)第Ⅰ卷（共60分）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合},1|{2R x xy y M ∈-==，}2|{2x y x N -==，则=N M ( )A. ),1[+∞-B. ]2,1[-C. ),2[+∞D. φ2.命题“存在04,2<-+∈a ax x R x 使”为假命题是命题“016≤≤-a ”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知10<<a ，函数|log |)(x a x f a x-=的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．2或3或44.设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ， b ，c 的大小关系是( )A.b ＞c ＞aB.a ＞b ＞cC.c ＞a ＞bD.a ＞c ＞b5.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++（b 为常数），则(1)f -=( )A.3B. 1C.-1D.-36.设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =( ) A ．2B ．12 C.2- D.12-7.函数2ln(43)y x x =+-的单调递减区间是( )A.3(,]2-∞ B.3[,)2+∞ C.3(1,]2- D.3[,4)28.由直线21=x ，x=2，曲线xy 1=及x 轴所围图形的面积为（） A.2ln 2 B.1ln 22 C.415 D.4179.函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，设).3(),21(),0(f c f b f a ===则( )A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．a c b << 10.对任意的实数a 、b ，记{}()max ,()a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩．若{}()max (),()()F x f x g x x R =∈，其中奇函数y=f(x)在x=l 时有极小值-2，y=g(x)是正比例函数，函数()(0)y f x x =≥与函数y=g(x)的图象如图所示．则下列关于函数()y F x =的说法中，正确的是( )A.()y F x =为奇函数B.()y F x =有极大值(1)F -且有极小值(0)FC.()y F x =在(3,0)-上为增函数D.()y F x =的最小值为-2且最大值为211.正方形ABCD 的顶点(0,2A ，,0)2B ，顶点CD 、位于第一象限，直线:(0l x t t =≤≤将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线左侧阴影部分的面积为()f t ，则函数()s f t =的图象大致是( )A B C D12.对于函数)(x f 与)(x g 和区间E ，如果存在E x ∈0，使1|)()(|00<-x g x f ，则我们称函数)(x f 与)(x g 在区间E 上“互相接近”．那么下列所给的两个函数在区间),0(+∞上“互相接近”的是( )A ．2)(x x f =，32)(-=x x gB ．x x f =)(，2)(+=x x gC ．x e x f -=)(，xx g 1)(-= D ． x x f ln )(=，x x g =)(第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上相应位置．（13）已知函数()f x 满足(1)f =1 且(1)2()f x f x +=，则(1)(2)(10)f f f +++…=_______________。

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