数值代数实验2012

数值代数实验

数值线性代数实验一

一、实验名称：矩阵的LU分解.

二、实验目的：用不选主元的LU分解和列主元LU分解求解线性方程组Ax=b, 并比较这

两种方法.

三、实验内容与要求

（1）用所熟悉的计算机语言将不选主元和列主元LU分解编成通用的子程序，然后用编写的程序求解下面的84阶方程组

将计算结果与方程组的精确解进行比较，并就此谈谈你对Gauss消去法的看法。

（2）写出追赶法求解三对角方程组的过程，并编写程序求该实验中的方程组

数值线性代数实验二

一、实验名称：实对称正定矩阵的A的Cholesky分解.

二、实验目的：用平方根法和改进的平方根方法求解线性方程组Ax=b.

三、实验内容与要求

用所熟悉的计算机语言将Cholesky分解和改进的Cholesky分解编成通用的子程序，然后用编写的程序求解对称正定方程组Ax=b，其中

（1）b随机的选取，系数矩阵为100阶矩阵

（2）系数矩阵为40阶Hilbert矩阵，即系数矩阵A的第i行第j列元素为

，向量b的第i个分量为

（3）用实验一的程序求解这两个方程组，并比较所有的计算结果，然后评价各个方法的优劣。

数值线性代数实验三

一、实验名称：矩阵A 的QR 分解

二、实验目的：应用改进的Gram —Schmidt 方法和Householder 变换的方法计算矩阵A 的

QR 分解. 其中),()(n m R a A n m ij ≥∈=⨯ rank A =n

三、实验内容与要求

输入：A 的各列),,1,],,[(,,,121n j a a a a a a T m j j j n ==

输出：Q 的各列元素（存放在A 的相应位置上）以及R 的元素

),,,,,1(n i j n i r ij ==

数值线性代数实验四

一、实验名称：用迭代法求解方程组及超松弛迭代和最佳松弛因子的确定.

二、实验目的：应用Jacobi 迭代法、Gauss －Seidel 迭代法和超松弛迭代方法求解线性

方程组 Ax=b, 并选择不同的松弛因子ω，观察松弛因子对松弛迭代法计算效果的影响.

三、实验内容与要求

将常微分方程22(0)0,(1)1d y dy a dx dx y y ε⎧+=⎪⎨⎪==⎩

（01a <<）离散化得到差分方程Ax=b ，取

10.5,100,a n h n

===，应用Jacobi 迭代法、Gauss －Seidel 迭代法和超松弛迭代方法求解线性方程组，分别取1,0.1,0.01,0.0001ε=，用SOR 迭代法计算对应的数值解，并与精确解进行比较. 写出这三种迭代法求解线性方程组的步骤，并对计算结果进行分析.

四、实验原理

将[0,1]区间n 等分，方程离散化得差分方程

211()(2)i i i h y h y y ah εεε+-+-++=

差分方程对应的系数矩阵和右端项分别为

20222(1)(1)(1)1(2)(2)(2)(2)()n n n n h h ah y h h ah A b h h ah h ah h y εεεεεεεεεεεε-⨯--⨯⎛⎫-++-⎛⎫ ⎪ ⎪-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==-+ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝

⎭ 其中0(0),(1).n y y y y ==

SOR 迭代法的迭代矩阵和常数项分别为

11()[(1)],()B D L U D f D L b ωωωωωωω--=-+-=-

SOR 迭代法的迭代公式： 1k k y B y f ωω+=+

五、实验过程

利用Matlab 语言实现SOR 迭代公式的计算，分别对于1,0.1,0.01,0.0001ε=，松弛因子在（1，2）范围内，先按步长0.1搜索，在最少迭代步数附近按步长0.01再搜索. 算法终止准则：1410k k y y +--≤ 或者410k y y --≤或者迭代次数1000≥.

记录四种情况下的计算结果，并找出最佳松弛因子ω的值，并观察松弛因子ω与ε间的关系.