由递推关系求通项公式的类型与方法

由递推关系求通项公式的类型与方法

递推公式是给出数列的基本方式之一，在近几年高考题中占着不小的比重。2008年高考数学19份理科试卷，共19道数列部分的解答题，其中有17道涉及递推数列，（福建卷理科有两道题涉及数列问题，江苏卷、江西卷中数列题不涉及递推），说每卷都有数列问题，数列必出递推也不为过。不能不感受到高考数学试题中“递推”之风的强劲。为此本文主要以2008年试题为例重点研究由递推关系求数列通公式的类型与求解策略。 一、递推关系形如：1()n n a a f n +=+的数列

利用迭加或迭代法得：1(1)(2)(1)n a a f f f n =++++-L ，（2n ≥）

例1（08天津文20）在数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠）．

（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列；

（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）略

（Ⅰ）证明：由题设11(1)n n n a q a qa +-=+-（2n ≥），得

11()n n n n a a q a a +--=-，即1n n b qb -=，2n ≥．

又1211b a a =-=，0q ≠，所以{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列． （Ⅱ）解法：由（Ⅰ）211a a -=，32a a q -=，

22121321()()()11n n n n a a a a a a a a q q q --=+-+-++-=+++++L L ，（2n ≥）．

所以当2n ≥时，1

1,,.

1,111n n q q q a n q

-≠=⎧-+

⎪=-⎨⎪⎩

上式对1n =显然成立．

二、递推关系形如：1()n n a a f n +=的数列

利用迭乘或迭代法可得： 1(1)(2)(1)n a a f f f n =-L ，（2n ≥）

例2 （2008天津理22）在数列{}n a 与{}n b 中，4,111==b a ，数列{}n a 的前n 项和n S 满足()031=+-+n n S n nS ,12+n a 为n b 与1+n b 的等比中项，*N n ∈.

（Ⅰ）求22,b a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； 解：（Ⅰ）易得23a =，29b =．

（Ⅱ）由题设 1(3)n n nS n S +=+ ① （2n ≥）时 1(1)(2)n n n S n S --=+ ② ①式减去②式，整理得1(2)n n na n a +=+， 即

12

n n a n a n

++=，2n ≥所以 3n ≥时， 132122114(1)

312322

n n n n n a a a n n n n n a a a a a n n n ---+-+=

⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=--- 此式对1,2n =也成立． (1)

2

n n n a +∴=

由题设有2114n n n b b a ++=，所以22

1(2)(1)n n b b n n +=++，即

1

22

1(1)(2)

n n b b n n +⋅=++，*n N ∈． 令2(1)n n b x n =

+，则11n n x x +=，即11

n n x x +=．由11x =得1n x =，1n ≥．所以2

1(1)

n b n =+，即2

(1)n b n =+，1n ≥．

三、递推关系形如：1n n a pa q +=+（p,q 为常数且1p ≠，0q ≠）的数列（线性递推关系） 利用不动点求出x px q =+的根1

q

x p =-

-，递推关系可化为1()11n n q q a p a p p ++

=+--，利用等比数列求出1

n q a p +-的表达式，进而求出n a 例3（2008安徽文21）设数列{}n a 满足*

11,1,,n n a a a ca c c N +==+-∈其中,a c 为实数，

且0c ≠

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式

解 ：*

11,,n n a ca c c N +=+-∈Q 11(1)n n a c a +∴-=-

∴当1a ≠时，{}1n a -是首项为1a -，公比为c 的等比数列。

1

1(1)n n a a c --=-∴，即 1(1)1n n a a c -=-+。当1a =时，1n a =仍满足上式。

∴数列}{

n a 的通项公式为 1(1)1n n a a c -=-+*

()n N ∈。

四、递推关系形如：1n n a pa an b +=++（p , a 为常数且10p p ≠≠,，0a ≠）的数列 令1(1)()n n a x n y p a xn y +-++=-+与1n n a pa an b +=++比较解出系数x ，y 构造等比数列 例

4

（

08

湖

北

理

21

）

已

知

数

列

{}

n a 和

{}

n b 满足

1a λ=,12

4,(1)(321),3

n n n n n a a n b a n +=

+-=--+其中λ为实数，n 为正整数，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式（稍加改编）

解：124,3n n a a n +=

+-Q ① 令()12

(1),3

n n a x n y a xn y +-++=-+整理后与①式比较对应项系数得1

13143

x x y ⎧=⎪⎪⎨

⎪-=-⎪⎩

3,21x y ∴==

()12

3(1)21321,3

n n a n a n +-++=

-+()1

1

122321321)1833n n n a n a λ--⎛⎫

⎛⎫

∴-+=-+⋅=+⋅ ⎪

⎪

⎝⎭⎝⎭

（,

()1

2321183n n a n λ-⎛⎫

∴=-++⋅ ⎪

⎝⎭

,()1

2183n n b λ-⎛⎫

∴=-+⋅- ⎪

⎝⎭

五、递推关系形如：1n

n n a pa q +=+的数列（p q 、为常数且0q ≠）

常化为

111n n n n a a p q q q q ++=+ ，利用第三种类型求出n

n

a q 后解出n a ； 例5 ．（2008四川理20） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n

n n ba b S -=- （Ⅰ）证明：当2b =时，{}

12n n a n --⋅是等比数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式 解：由题意知12a =，且

()21n n n ba b S -=- ()11121n n n ba b S +++-=-