由递推关系求通项公式的类型与方法

由递推关系求通项公式的类型与方法递推公式是给出数列的基本方式之一，在近几年高考题中占着不小的比重。

2008年高考数学19份理科试卷，共19道数列部分的解答题，其中有17道涉及递推数列，（福建卷理科有两道题涉及数列问题，江苏卷、江西卷中数列题不涉及递推），说每卷都有数列问题，数列必出递推也不为过。

不能不感受到高考数学试题中“递推”之风的强劲。

为此本文主要以2008年试题为例重点研究由递推关系求数列通公式的类型与求解策略。

一、递推关系形如：1()n n a a f n +=+的数列利用迭加或迭代法得：1(1)(2)(1)n a a f f f n =++++-L ，（2n ≥）例1（08天津文20）在数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠）．（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）略（Ⅰ）证明：由题设11(1)n n n a q a qa +-=+-（2n ≥），得11()n n n n a a q a a +--=-，即1n n b qb -=，2n ≥．又1211b a a =-=，0q ≠，所以{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列． （Ⅱ）解法：由（Ⅰ）211a a -=，32a a q -=，22121321()()()11n n n n a a a a a a a a q q q --=+-+-++-=+++++L L ，（2n ≥）．所以当2n ≥时，11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩上式对1n =显然成立．二、递推关系形如：1()n n a a f n +=的数列利用迭乘或迭代法可得： 1(1)(2)(1)n a a f f f n =-L ，（2n ≥）例2 （2008天津理22）在数列{}n a 与{}n b 中，4,111==b a ，数列{}n a 的前n 项和n S 满足()031=+-+n n S n nS ,12+n a 为n b 与1+n b 的等比中项，*N n ∈.（Ⅰ）求22,b a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； 解：（Ⅰ）易得23a =，29b =．（Ⅱ）由题设 1(3)n n nS n S +=+ ① （2n ≥）时 1(1)(2)n n n S n S --=+ ② ①式减去②式，整理得1(2)n n na n a +=+， 即12n n a n a n++=，2n ≥所以 3n ≥时， 132122114(1)312322n n n n n a a a n n n n n a a a a a n n n ---+-+=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=--- 此式对1,2n =也成立． (1)2n n n a +∴=由题设有2114n n n b b a ++=，所以221(2)(1)n n b b n n +=++，即1221(1)(2)n n b b n n +⋅=++，*n N ∈． 令2(1)n n b x n =+，则11n n x x +=，即11n n x x +=．由11x =得1n x =，1n ≥．所以21(1)n b n =+，即2(1)n b n =+，1n ≥．三、递推关系形如：1n n a pa q +=+（p,q 为常数且1p ≠，0q ≠）的数列（线性递推关系） 利用不动点求出x px q =+的根1qx p =--，递推关系可化为1()11n n q q a p a p p ++=+--，利用等比数列求出1n q a p +-的表达式，进而求出n a 例3（2008安徽文21）设数列{}n a 满足*11,1,,n n a a a ca c c N +==+-∈其中,a c 为实数，且0c ≠（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式解 ：*11,,n n a ca c c N +=+-∈Q 11(1)n n a c a +∴-=-∴当1a ≠时，{}1n a -是首项为1a -，公比为c 的等比数列。

11(1)n n a a c --=-∴，即 1(1)1n n a a c -=-+。

当1a =时，1n a =仍满足上式。

∴数列}{n a 的通项公式为 1(1)1n n a a c -=-+*()n N ∈。

四、递推关系形如：1n n a pa an b +=++（p , a 为常数且10p p ≠≠,，0a ≠）的数列 令1(1)()n n a x n y p a xn y +-++=-+与1n n a pa an b +=++比较解出系数x ，y 构造等比数列 例4（08湖北理21）已知数列{}n a 和{}n b 满足1a λ=,124,(1)(321),3n n n n n a a n b a n +=+-=--+其中λ为实数，n 为正整数，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式（稍加改编）解：124,3n n a a n +=+-Q ① 令()12(1),3n n a x n y a xn y +-++=-+整理后与①式比较对应项系数得113143x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩3,21x y ∴==()123(1)21321,3n n a n a n +-++=-+()11122321321)1833n n n a n a λ--⎛⎫⎛⎫∴-+=-+⋅=+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（,()12321183n n a n λ-⎛⎫∴=-++⋅ ⎪⎝⎭,()12183n n b λ-⎛⎫∴=-+⋅- ⎪⎝⎭五、递推关系形如：1nn n a pa q +=+的数列（p q 、为常数且0q ≠）常化为111n n n n a a p q q q q ++=+ ，利用第三种类型求出nna q 后解出n a ； 例5 ．（2008四川理20） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21nn n ba b S -=- （Ⅰ）证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式 解：由题意知12a =，且()21n n n ba b S -=- ()11121n n n ba b S +++-=-两式相减得()()1121nn n n b a a b a ++--=-即12nn n a ba +=+ ①（Ⅰ）略（Ⅱ）当2b =时，由（Ⅰ）知1122n n n a n ---⋅=，即()112n n a n -=+当2b ≠时，由①得1112222n n n n a a b ++=⋅+ 因此1111()22222n n n na ab b b +++=+-- 1111()2222n n n a b b b -+=+⋅--（）得()1122212n n n a b b n b-⎡⎤=+-≥⎣⎦-六、递推关系形如：11n n n n a a pa a ---=（p 为常数且0p ≠）的数列可化为111n n a a --=p 求出1na 的表达式，再求n a 例6．（2008年山东理19）将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a……记表中的第一列数1247a a a a L ，，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)nn n nb n b S S =-≥． （Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；解：（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，221nn n nb b S S =-，又12n n S b b b =+++L ， 所以1212()1()n n n n n n S S S S S S ---=--112()1n n n n S S S S ---⇒=-11112n n S S -⇒-=， 又1111S b a ===．所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列． 由上可知1111(1)22n n n S +=+-=，21n S n ⇒=+． 所以当2n ≥时，12221(1)n n n b S S n n n n -=-=-=-++．因此1122(1)n n b n n n =⎧⎪=⎨-⎪+⎩， ，，．≥ 七、递推关系形如：1n n n ma a pa q +=+或1()()()nn n f n a a g n a h n +=+的数列可采用取倒数方法转化成为111n n m ma q a p+=+形式利用前面的第三类方法解决。

例7 （2008年高考陕西理22）已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =L ，，．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； 解：（Ⅰ）1321n n n a a a +=+Q ，112133n n a a +∴=+，1111113n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭， 又11213a -=， 11n a ⎧⎫∴-⎨⎬⎩⎭是以23为首项，13为公比的等比数列． ∴112121333n n n a --=⋅=，332n n n a ∴=+． 八、S n 法 求与前n 项和S n 有关的数列通项时，通常用公式⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 作为桥梁，将S n 转化为n a 的关系式求n a 或将n a 转化为S n 的关系式先求S n 进而求得n a 。

例8、（2008年全国Ⅱ20）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ．（Ⅰ）设3nn n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；解：（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123nn n S S +=+，由此得1132(3)n n n n S S ++-=-．因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．九：数学归纳法例9、（2008辽宁理21）在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列.⑴求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论;解析：（Ⅰ）由条件得21112n n n n n n b a a a b b +++=+=， 由此可得2233446912162025a b a b a b ======，，，，，． 猜测2(1)(1)n n a n n b n =+=+，．用数学归纳法证明：①当n =1时，由上可得结论成立．②假设当n =k 时，结论成立，即2(1)(1)k k a k k b k =+=+，，那么当n =k +1时，22221122(1)(1)(1)(2)(2)kk k k k ka ab a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，．所以当n =k +1时，结论也成立．由①②，可知2(1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立．THANKS !!!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。