10-02第二类曲线积分的概念和性质
第二类曲线积分定义式
第二类曲线积分定义式摘要：1.第二类曲线积分的概念2.第二类曲线积分的定义式3.第二类曲线积分的性质与应用正文：在数学中，曲线积分是一种对函数在曲线上的变化进行描述的方法。
根据积分路径的性质，曲线积分可分为两类：第一类曲线积分和第二类曲线积分。
本文将介绍第二类曲线积分的定义式、性质及应用。
一、第二类曲线积分的概念第二类曲线积分是指在平面或空间中的曲线C上，对函数f(x,y,z)的积分。
它可以表示为：∫C f(x,y,z)ds其中，f(x,y,z)是定义在曲线C上的函数，ds表示曲线C上的微小弧长。
二、第二类曲线积分的定义式第二类曲线积分的定义式为：∫C f(x,y,z)ds = ∫[a,b] f(x(t),y(t),z(t))|dx/dt|dt其中，a、b为曲线C的参数，t为参数变量，x(t)、y(t)、z(t)分别为曲线C上点的位置坐标，|dx/dt|表示速度矢量的模。
三、第二类曲线积分的性质与应用1.线性性质：第二类曲线积分具有线性性质，即若f1(x,y,z)、f2(x,y,z)为定义在曲线C上的函数，常数k、l为实数，则有：k∫C f1(x,y,z)ds + l∫C f2(x,y,z)ds = ∫C [kf1(x,y,z) + lf2(x,y,z)]ds2.代数性质：第二类曲线积分满足下列代数性质：(1) ∫C f(x,y,z)ds = ∫C f(x",y",z")ds"，其中(x",y",z")为曲线C上的点坐标。
(2) ∫C f(x,y,z)ds = ∫C f(x",y",z")ds"，其中(x",y",z")为曲线C关于坐标轴旋转得到的曲线坐标。
3.应用于物理、力学等领域：第二类曲线积分广泛应用于物理、力学等领域的求解问题，如求解质点在曲线路径上的位移、速度、加速度等物理量，以及求解曲线上的应力、应变等问题。
第二节第二类曲线积分
x
F
A
W F AB cos
B
F AB
1) 分割 “大化小”. 把L分成 n 个小弧段, F 沿
所做的功为
n
则
k 1
y
F ( k , k )
W Wk
2) 近似 “常代变” 有向小弧段 近似代替, 在 用有向线段 上任取一点
L A
M x k k1
M y kk
B
x
i 1
n
（1）所谓“对坐标的曲线积分”，有两个特征： • 积分和是在有向曲线弧L上作出的； • 积分和中的微元素是有向小弧段所对应的关于 坐标x和y 的增量。 即被积表达式中的微分是关于坐标x和y的微分。 （2）当P (x , y) , Q (x , y)在有向光滑曲线弧L上连续， 第二类曲线积分都存在。
lim
k 1
n
记作
L P( x, y)d x Q( x, y)d y
在有向曲线弧 L 上
都存在, 则称此极限为函数
对坐标的曲线积分, 或第二类曲线积分. 其中, 称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
P( k , k ) xk , L P( x, y)d x lim 0 k 1
类似地, 若 为空间曲线弧 , 记 d s (d x , d y , d z )
F ( x, y, z ) ( P( x, y, z ) , Q( x, y, z ) , R( x, y, z ))
说明：
lim P ( i ,i ) xi L P ( x , y ) d x 0
c
（4）对空间光滑曲线弧 :
x (t ) y (t ) t : , 类似有 z (t )
第二类曲线积分
上限b L的终点B
即计算定积分：
a不一定小于 b ! 即可；
2º如果 L 的方程为 y ψ ( x), x : a b,
b P[ x, ψ ( x)] Q[x, ψ ( x)] ψ( x)dx a
x φ(t)
3º对空间光滑曲线弧
:
y
ψ(t)
z ω(t)
t:α β
{P[ (t), (t), (t)](t) (t)
(t )
格林公式
定理（Green公式）设平面区域 D 是由分段
光滑闭曲线围成, 函数 有连续一阶偏导数, 则
在 D上具
(Q P )dxd y Pdx Qd y
x y
D
D
—— 格林公式
其中D是D的边界曲线正向.
注 1° 区域连通性分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域；
P
LD
dPxdxQ
dQyd
y
.
DP Q
LL
4º格林公式的条件：
① L封闭，取正向;
DD
(负)
② P，Q在L所围区域D上有一阶连续偏导数.
5º对复连通区域 D 应用格林公式，
Q P dxd y D x y
D P dx Qd y
公式右端的D应包括沿区域D的全部边界，
且边界的方向对 D 来说都是正向.
注 1º定理中关于区域的单连通性和函数P、Q
的一阶偏导数的连续性两个条件缺一不可.
缺少一个，定理结论不一定成立.
反例1
I
L
xd y x2
yd y2
x
2
0
L :包围(0,0)的任一条正向闭曲线.
第二类曲线积分奇偶性结论
第二类曲线积分奇偶性结论
1 积分奇偶性
积分奇偶性是积分计算中的一个重要的性质，它是指给定函数的积分和其变换函数的积分之间的关系。
例如，已知函数f(x)，f(-x)是其变换函数，它们在积分计算中满足积分奇偶性，即：
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(-x)dx$$
积分奇偶性可以被称为积分变换法，这种方法可以用来简化复杂的积分计算，减少所需的计算量和时间。
2 第二类曲线
第二类曲线指的是曲线沿着两个坐标轴的分布，其形状是以0，0点为原点和原线段为轴，形成以原点为顶点角，一致增大的两段弧线而构成的曲线。
形状如：。
第二类曲线是分析曲线在图形上比较常见的一种曲线，在积分学中可以将第二类曲线简单的看成是被约分成使被积函数恒等于0的两个部分，从而得到积分的结果。
3 第二类曲线积分奇偶性
第二类曲线积分奇偶性是积分计算中的一个重要概念，它是指给定函数的积分和其变换函数的积分在第二类曲线范围内存在奇偶性。
具体来说，第二类曲线积分奇偶性的结论为：
给定函数 $f(x)$ 经过变换得到函数 $g(x)$，在给定第二类曲线
范围内有：
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}g(x)dx$$
从上面可以得出，第二类曲线积分奇偶性包括了一般积分奇偶性，但是在第二类曲线积分范围内，奇偶性结论更为明确，减少了变换所
需要进行的计算，为积分计算提供便利。
§2 两类曲线积分概述
§2 两类曲线积分(数学二、三不要求)【考试要求】1. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.2. 掌握计算两类曲线积分的方法.3. 掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.4. 会用曲线积分求一些几何量与物理量.153154一、基本概念1. 对弧长的曲线积分(第一类曲线积分) (1) 定义:1(,)d lim (,)ni i i Li f x y s f s λξη→==∆∑⎰，其中L 为xOy 坐标面内的一条光滑曲线， λ为将L 进行任意分割时各小弧段长度中的最大值，(,)i i ξη为各小弧段上任取的一点.155类似地可定义:1(,,)d lim (,,)ni i i i i f x y z s f s λξηζΓ→==∆∑⎰.(2) 性质(与重积分类似) ① 线性: 11221122[(,)(,)]d (,)d (,)d L LLk f x y k f x y s k f x y s k f x y s+=±⎰⎰⎰ (12,k k 为常数).156② 可加性:12(,)d (,)d (,)d LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰，其中12L L L =+.③ 中值定理: 若(,)f x y 在L 上连续，则至少存在一点(,)L ξη∈，使得(,)d (,)Lf x y s f s ξη=⋅⎰， 其中s 为曲线L 的长度.157④ 对称性:若L 关于x 轴对称，则10,(,)(,)(,)d 2(,)d ,(,)(,)LL f x y f x y f x y s f x y s f x y f x y -=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰，，其中1L 为L 对应于0y ≥的部分.若L 关于y 轴对称，则 20,(,)(,)(,)d 2(,)d ,(,)(,)LL f x y f x y f x y s f x y s f x y f x y -=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰，，158其中2L 为L 对应于0x ≥的部分.若L 关于x ，y 具有轮换对称性(即x ，y 互换后，L 不变)，即L 关于直线y x =对称，则(,)d (,)d 1[(,)(,)]d 2LLLf x y s f y x sf x y f y x s ==+⎰⎰⎰.⑤ 积分与积分路径方向的无关性: 若L 的两个端点为A 与B ，则159(,)d (,)d ABBAf x y s f x y s =⎰⎰.注 三元函数在空间曲线Γ上对弧长的曲线积分有类似的结果.2. 对坐标的曲线积分(第二类曲线积分) (1) 定义:1(,)d (,)d lim [(,)(,)],Lni i i i i i i P x y x Q x y y P x Q y λξηξη→=+=∆+∆⎰∑其中L 为xOy 坐标面上的有向光滑曲线弧，λ为160将L 进行任意分割时各小弧段长度的最大值， (,)i i ξη为各有向小弧段上任取的一点. (2) 性质(与对弧长的曲线积分类似，以下仅列出两条)①12(,)d (,)d (,)d (,)d (,)d (,)d LL L P x y x Q x y yP x y x Q x y y P x y x Q x y y+=+++⎰⎰⎰161其中12L L L =+.②(,)d (,)d (,)d (,)d ,LLP x y x Q x y yP x y x Q x y y -+=-+⎰⎰其中L -为L 取反方向的曲线弧.注 类似地可定义d d d P x Q y R z Γ++⎰，并有类似的性质.二、重要结论1. 对弧长的曲线积分的计算方法——化162为定积分(1) 在参数方程下，若 ():()x t L y t ϕψ=⎧⎨=⎩，，t αβ≤≤，则(,)d [(),(d Lf x y s f t t t βαϕψ=⎰⎰.(2) 在直角坐标系下，若 :()x x L y y x =⎧⎨=⎩，，a xb ≤≤，则163(,)d [,(d b L a f x y s f x y x x =⎰⎰. 若():x x y L y y =⎧⎨=⎩，，c yd ≤≤，则(,)d [(),d d L c f x y s f x y y y =⎰⎰. (3) 在极坐标系下，若:()L r r θ=，αθβ≤≤，由于()cos x r θθ=，()sin y r θθ=，所以164(,)d (cos ,sin d L f x y s f r r βαθθθ=⎰⎰.注 1 将L 的参数方程代入被积表达式即可，d s 为弧微分.注2 定积分的下限应小于上限，即αβ≤. 注3 对(,,)d f x y z s Γ⎰有类似的结果. 2. 对坐标的曲线积分的计算方法——化为定积分165(1) 在参数方程下，若():()x t L y t ϕψ=⎧⎨=⎩，，α为起点的参数，β为终点的参数，则 [][]{}d d (),()()(),()()dL P x Q y P t t t Q t t t βαϕψϕϕψψ''+=+⎰⎰(2) 在直角坐标系下，若:()x x L y y x =⎧⎨=⎩，，起点的横坐标为a ，终点的横坐标为b ，则166 [][]{}d d ,(),()()d bL a P x Q y P x y x Q x y x y x x '+=+⎰⎰.特别地，若:L y c =(c 为常数，a x b ≤≤)，则 d d (,)d bL a P x Q y P x c x +=⎰⎰; 若:L x l =(l 为常数，c y d ≤≤)，则 d d (,)d d L c P x Q y Q l y y +=⎰⎰. 注1 将曲线L 的方程代入被积表达式即可.167注 2 定积分的下限是起点的参数，上限是终点的参数，积分下限不一定小于积分上限. 注3 对d d d P x Q y R z Γ++⎰有类似的结果. 注4 两类曲线积分的计算过程:(1) 画出积分曲线L 的图形;(2) 选取适当的坐标系，并写出曲线L 的参数方程;(3) 将L 的方程代入被积表达式化为定积分并计算其值.1683. 两类曲线积分之间的关系()d d d d d d d cos cos d ,L L Lx y P x Q y P Q s ss P Q s αβ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭=+⎰⎰⎰ 其中cos α，cos β是平面上有向曲线弧L 的切向量的方向余弦.类似地有169d d d (cos cos cos )d ,P x Q y R zP Q R s αβγΓΓ++=++⎰⎰其中cos α，cos cos βγ，是空间有向曲线弧Γ的切向量的方向余弦.4. 格林公式设闭区域D 由分段光滑的封闭曲线L 围成，函数(,)P x y 与(,)Q x y 在D 上具有一阶连续的偏导数，则170()d d d d L D Q P x y P x Q y x y ∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰，其中L 是D 的边界曲线取正向.注 1 使用格林公式前要注意验证条件，特别要注意L 的方向.注2 若L 不是封闭曲线，则在使用格林公式时要添加适当的辅助线，一般是添加平行于坐标轴的直线，这样会使计算简单.注3 若D 是由曲线1L 与2L 所围成的复连通171区域，且在D 上Q P x y∂∂≡∂∂，则 12d d d d L L P x Q y P x Q y +=+⎰⎰， 其中1L 与2L 互为反方向.注4 格林公式的几何意义: 1d d 2LA x y y x =-⎰， 其中A 为由L 所围成闭区域的面积.5. 平面上的曲线积分与路径无关的条件172 设函数(,)P x y ，(,)Q x y 在单连通区域D 上具有一阶连续的偏导数，则以下四个命题等价:(1) d d LP x Q y +⎰在D 内与路径无关;(2) 对任意的点(,)x y D ∈，均有Q P x y∂∂≡∂∂; (3) d d 0L P x Q y +=⎰，其中L 为任一简单分段光滑闭曲线;(4) 在D 内存在函数(,)u x y ，使得d (,)d d u x y P x Q y =+，且17300000(,)(,)00(,)d d (,)d (,)d (,)d (,)d x y x y xy x y yxy x u x y P x Q yP x y x Q x y y Q x y y P x y x=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰,此时称(,)u x y 为二元变上限的函数或称为二元函数全微分的原函数，000(,)P x y 是D 内一个适当的点，利用在折线上的第二类曲线积分求得，也可以利用下面的不定积分方法求出.174设(,)(,)d ()u x y P x y x C y =+⎰(将y 看作常数),令(,)uQ x y y∂=∂(将x 看作常数)，解出()C y 代入上式即得(,)u x y .6. 曲线积分的应用(1) d Ls s =⎰表示曲线弧L 的弧长.(2) (,)d LM x y s ρ=⎰表示占有平面上曲线L ，线密度为(,)x y ρ的曲线形构件的质量.175(3) 当(,)0f x y ≥时，(,)d Lf x y s ⎰表示以L 为准线，母线平行于z 轴的柱面的面积. (4) 曲线形构件的质心坐标(,)d (,)d LLx x y sx x y s ρρ=⎰⎰，(,)d (,)d LLy x y sy x y sρρ=⎰⎰.(5) 曲线形构件的转动惯量 2(,)d x LI y x y s ρ=⎰，2(,)d y LI x x y s ρ=⎰，22()(,)d O LI x y x y s ρ=+⎰.176(6) 变力沿曲线所作的功(,)d (,)d LW P x y x Q x y y =+⎰，其中变力(,)(,)(,)F x y P x y i Q x y j =+，L 为质点运动的曲线.注 以上关于平面上的曲线积分的结论都可以推广到空间上的曲线积分.(7) 环流量 向量场(,,)(,,)(,,)(,,)A x y z P x y z i Q x y z j R x y z k=++177沿有向闭曲线Γ的环流量为d d d I P x Q y R z Γ=++⎰，其中Γ为流体流动时经过的曲线.三、典型例题题型1 计算对弧长的曲线积分例 1 计算d L x yI s x y+=+⎰，其中L 为从(1,0)A 经(0,1)C 至(1,0)B -的折线1(0)x y y +=≥.178解 画出L 的图形,利用直角坐标计算.:1,01,:1,10.AC y x x CB y x x =-≤≤=+-≤≤因为在L 上1,x y +=所以()()()d d d L AC CBI x y s x y s x y s =+=+++⎰⎰⎰()()101011d 1d 12d x x x x x x --⎡⎤=⋅+++⋅⎣⎦=++=⎰⎰⎰179例2 计算4433()d LI x y s =+⎰，其中L 为内摆线(星形线)222333(0)x y a a +=>.解 画出L 的图形,利用直角坐标计算较复杂,将L 用参数方程表示为33cos ,sin ,02,x a t y a t t π==≤≤3d 3sin cos d sin2d 2s a t t t a t t ==,于是180()424433cos sin sin 2d 2I at t a t t π=+⋅⎰()77442336cos sin sin 2d 4.at t t t a π=+⋅=⎰注 可利用对称性简化为计算14,I I =其中1I 为沿星形线位于第一象限部分的积分.例 3计算d LI s =⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所181围成图形的边界曲线.解 画出L 的图形,在直线OA 与OB 上选x 为参数, 在AB 上选t 为参数,利用可加性得d d d OAABOBI s s s=++⎰⎰⎰42d e d d aa ax a t xπ=+⋅+⎰⎰⎰()2e 1e .4aaa π=-+182例4 计算222()d I x y z s Γ=++⎰，其中Γ是曲面22292x y z ++=与平面1x z +=的交线.解 取x 为参数,将Γ表示为,11,221.x x y x z x =⎧⎪⎪=±-+≤≤+⎨⎪⎪=-⎩183由方程组确定的隐函数的求导法可得d 12d ,1,d d y x zx y x-==-于是d d s x ==由于被积函数关于y 是偶函数,Γ关于xOz坐标面对称(即用y -代替y 时,被积函数与Γ的184方程都不变), 所以1212121292d 21d 21818.I xx π--=⋅⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦==⎰⎰185例 5 计算d LI y s =⎰，其中L 为222222()()(0)x y a x y a +=->.解 曲线L 的极坐标方程为22cos2,r a θ=即r =因为积分曲线和被积函数均关于,x y 及x 轴,y 轴对称,所以1861404d 4()sin d L I y sr πθθθ==⎰⎰187424024sin d 4sin d 41.2a a aa ππθθθθ==⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰题型2 计算对坐标的曲线积分 例 1 计算1882222()d ()d LI x y x x y y =++-⎰,其中L 为曲线11(02)y x x =--≤≤，其方向从原点(0,0)O 经(1,1)A 到(2,0)B .解 画出L 的图形,:,:01;OA y x x =→:2,:1 2.AB y x x =-→利用可加性得22222222()d ()d ()d ()d OAAB I x y x x y y x y x x y y=++-+++-⎰⎰()()()(){}122222221d 221d x x x x x x x x⎡⎤=+++-+--⋅-⎣⎦⎰⎰189()12220142d 22d .3x x x x =+-=⎰⎰例2 计算d d d Lx x y y z zI ++=⎰， 其中L 是从点(1,1,1)A 到点(4,4,4)B 的直线段.解 L 是空间直线段,它的参数方程为1,1,1,03,x t y t z t t =+=+=+≤≤代入被积表达式得190()331d t I t +==⎰例3 计算222d d d I xy x yz y zx z Γ=+-⎰，其中Γ为曲线2224520x y z x y ⎧++=⎨+=⎩，上由点(3,6,0)A -经点B 到点(2,4,5)C -的有向曲线弧.解 Γ的参数方程为191,2,:32,x t y t z t ==-=→- 代入被积表达式得()()()()222235224552d 1085.4tI t t t tt t -⎡⎤-=⋅-+----⋅⋅⎢⎥⎣⎦=-⎰题型3 格林公式的应用 例1 计算19222(2)d (2)d LI y xy x x x y y =++++⎰，其中L 为沿着224x y x +=的上半圆周从(4,0)A 经(0,0)O 再到A 的闭曲线.解 画出L 的图形,利用格林公式得()()22212d d d d 122.2DDI x x x y x y ππ⎡⎤=+-+=⎣⎦=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰例2 计算193(e 1)cos d (e )sin d x xLI y x x y x y ⎡⎤=+-+-⎣⎦⎰， 其中L 分别为 (1) 连接(0,0)O ,(1,1)A 与(2,0)B 的有向折线OAB ; (2) 抛物线弧OA :2y x =.解 因为积分曲线不是封闭的,所以不能直接使用格林公式,而直接化为定积分计算有较大困难,因此先添加辅助线,与原曲线构成闭合曲线,再使用格林公式及曲线积分的性质即可.(1) :,:01;OA y x x =→194:2,:12,:0,:20.AB y x x BO y x =-→=→ 由格林公式得()02d d e 1d OABOBOxD I Q P x y x x y =-⎛⎫∂∂=---+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰22d de e .xDx y x ⎡⎤=--+=⎣⎦⎰⎰ （2）作辅助线 :1,:10;AC x y =→195:0,:10.CO y x =→由格林公式得 OAOACOACCO=--⎰⎰⎰⎰()()11d d e 1sin 1d e 1d xD x y y y x ⎡⎤=---+--+⎣⎦⎰⎰⎰⎰()()2100d de 1cos11e 1cos1.3x x y =-++=-++⎰⎰196例3 计算22d d 4L x y y xI x y-=+⎰，其中L 是以(1,0)为中心，半径为(1)R >的圆周取逆时针方向. 解 当(,)(0,0)x y ≠时,222224.(4)P y x Qy x y x∂-∂=≡∂+∂ 在L 上的曲线积分不满足格林公式的条件,取一足够小的椭圆(a 足够小) 222:4,l x y a +=使l 位于L 内,且取逆时针方向.由L 与l -构成一条197封闭曲线,利用格林公式有22()d d 0d d 0,4L l Dx y y xx y x y +--==+⎰⎰⎰ 即 2222d d d d 44L l x y y x x y y xI x y x y--==++⎰⎰19822222421d d 12d d 2.2l x y a x y y x a x y a aa a ππ+≤=-==⋅⋅⋅=⎰⎰⎰题型4 曲线积分与路径无关例 1 设曲线积分2d ()d Lxy x y x y ϕ+⎰与199路径无关，其中()x ϕ为连续可导函数，(0)0ϕ=，求(1,1)2(0,0)d ()d I xy x y x y ϕ=+⎰.解 先求()x ϕ,再求.I因为曲线积分与路径无关,所以,P Q y x ∂∂≡∂∂即2(),xy y x ϕ'=2()2,().x x x x C ϕϕ'==+又因为(0)0ϕ=,20,().C x x ϕ∴=∴=取折线OAB 计算20022222110d ()d d d d d 10d d .2OAB OA ABI xy x y x yxy x yx y xy x yx yx y y ϕ=+=+++=+=⎰⎰⎰⎰⎰例 2 设函数(,)Q x y 在xOy 坐标面上具有一阶连续的偏导数，曲线积分2d (,)d Lxy x Q x y y +⎰与路径无关，并且对任意201的t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2d (,)d 2d (,)d t t xy x Q x y y xy x Q x y y +=+⎰⎰，求(,)Q x y .解 因为曲线积分与路径无关,所以,P Q y x ∂∂≡∂∂ 即22,(,)().Q x Q x y x C y x∂=∴=+∂202(,1)(0,0)1122d (,)d (0,)d 2d ()d ,t t xy x Q x y yQ y y x x C y y t +=+=+⎰⎰⎰⎰[](1,)(0,0)002d (,)d (1,)d 1()d ()d ,t ttt xy x Q x y y Q y yC y y t C y y +==+=+⎰⎰⎰⎰。
数学与应用数学毕业论文-第二类曲线积分的计算
数学与应用数学毕业论文-第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算作者：指导老师：摘要：本文结合第二类曲线积分的背景和平面和空间图形第二类曲线积分的定义介绍第二类曲线积分的，重点是利用对称性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。
关键词：第二类曲线积分第一类曲线积分二重积分参数方程对称性原理斯托克斯公式1 引言本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。
1.1 第二类曲线积分的概念介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。
1.2第二类曲线积分的计算方法介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。
2第二类曲线积分的定义2.1第二类曲线积分的物理学背景力场沿平面曲线从点A到点B所作的功一质点受变力的作用沿平面曲线运动,当质点从之一端点移动到另一端时,求力所做功。
大家知道,如果质点受常力的作用从沿直线运动到,那末这个常力所做功为 . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢?为此,我们对有向曲线作分割，即在内插入个分点与一起把曲线分成个有向小曲线段 ,记小曲线段的弧长为.则分割的细度为.设力在轴和轴方向上的投影分别为与,那么由于则有向小曲线段在轴和轴方向上的投影分别为.记从而力在小曲线段上所作的功 +其中为小曲线段上任一点,于是力沿所作的功可近似等于当时,右端积分和式的极限就是所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分。
2.2 第二型曲线积分的定义设,为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线上的函数,对任一分割,它把分成个小弧段；其中 .记各个小弧段弧长为,分割的细度为,又设的分点的坐标为,并记 , . 在每个小弧段上任取一点,若极限。
存在且与分割与点的取法无关,则称此极限为函数,在有向线段上的第二类曲线积分,记为或也可记作或注： 1 若记 ,则上述记号可写成向量形式。
10-02第二类曲线积分的概念和性质
xi P (( tix ), y ) (tdx Q ( ) t , i 1 ) ( x , y )dy i i
L
L
L
i 1
L
A
M2 M1
Mi 1 xi
yi
M i M n 1
o
x
P ( x , y )dx
L
令 max {s i }
i在 . 取 i ( i ), i ( i ), 可得 ti与t i 1之间 Q[ (t ), (t )] (t )dt n [ (t ), (t )] (t )dt n P P ( i , i )x i P ( ( i ), ( i )) ( i )t i
10.2.1 变力沿曲线作功问题 (2)近似代替: 用有向线段
M i 1 M i ( xi )i ( yi ) j 来近似代替 M i 1M i , 其中xi xi xi 1 , y yi yi yi 1 , F (i ,i ) B
用M i 1M i上任一点 (i ,i )的力: F (i ,i ) P(i ,i )i Q(i ,i ) j
2
2
Qx(t ), y(t )
2 2 x(t ) y(t ) y(t )
P ( x , y ) cos Q( x , y ) cos ds
L
2 2 x ( t ) y ( t ) dt
Pdx Qdy Rdz { P[ (t ), (t ), (t )] (t )
Q[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) R[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t )}dt
-第二型曲线积分-资料
CA(x,y,z)T(x,y,z)ds
n
limA(i,i,i)T(i,i,i)sቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
d0i1
可 以 证 明 ， 当 A (x ,y ,z )在 有 向 光 滑 曲 线 C 上 连 续 时 ，
C A (x ,y ,z ) T (x ,y ,z ) d必 s 存 在 。
引例中力 F 所作的功可以表示为
近似： Mi
(i
,i
,
i
)
¼ Ai 1 Ai
，则质点沿曲线 r
C从
点 Ai1 移动到 Ai 时 ， 力F 所作的功的近似值
W i F i [ s i T i ] F ( i , i , i ) [ s i T ( i , i , i )]
其 中 T i T ( i, i, i)是 质 点 在 点 M i处 沿 曲 线 C
若 C 为 平 面 有 向 光 滑 曲 线 弧 ， 向 量 值 函 数
A ( x ,y ) P ( x ,y ) i Q ( x ,y ) j， 则 有
C A d C s P ( x ,y ) d Q x ( x ,y ) d 。 y
（三）、第二型曲线积分的性质
1 ． （ 线 性 性 ） 设 k 1 , k 2 为 常 数 ， 则
（ 2 ） 若 平 面 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 y y ( x ) ， 起 A x a 点 ， 终 B x 点 b ， 则 有
又 设 向 量 值 函 数 A (x ,y ,z ) { P (x ,y ,z )Q ( ,x ,y ,z )R ( ,x ,y ,z )} 在 C 上 连 续 ， 则
C A (x ,y ,z)d s C P d Q x R dy dz
最新102第二型曲线积分
(t), (t)在以及为端点的闭区间上具一有阶连
续导数,且2(t) 2(t) 0,则曲线积分
L P(x, y)dx Q(x, y)dy存在,
且LP(x, y)dxQ(x, y)dy
{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt
特殊情形
(1 )L :yy(x ) x 起a 点 ，为 终 b . 点为
LPd Q x dL y 1Pd Q x dL 2 yPd Q x.dy
(2) 设 L是有向 ,L 曲 是L 线 与 方弧 向相反 有向 曲 , 则线 弧
L P ( x , y ) d Q ( x x , y ) d L y P ( x , y ) d Q ( x x , y ) d
Mi1 x i
M2
A M1
(4) 两类曲线积分之间的联系：
o
x
设有向平面曲 L： 线xy弧 为 ((tt)), L上点 (x, y)处的切线向量为 的 ,方 , 向角
则 L P Q d x L d ( P c y o Q c s o ) ds s
其中cos (t) , cos (t) ,
2(t)2(t)
d s t d { s d ,d x ,d y } 上 z 弧点 (长x,向y,量z)微处元的 ； 单位切向 A t为A 向 在量 t 向 上量 的 . 投影
例 1 ． 计 算 C x dy ， x 其 中 C 为 抛 物 线 y 2 x上 从
点 A ( 1 , 1 )到 点 B ( 1 ,1 )的 一 段 弧 。
L P (x ,y ,z)d x l i0 i m 1 P (i,i, i) x i.
n
L Q (x ,y ,z)d y l i0 i m 1 Q (i,i, i) y i.
第二类曲线积分
B
yy
1) “分割” 把L分成 n 个小弧段, F 沿 M k 1M k 所做的功为 ΔWk , 则
z
F (ξ k , η k , ζ k )
A
L
M k 1
Mk
B
x
F ( x, y, z ) = ( P( x, y, z ) , Q( x, y, z ), R ( x, y, z ))
W = ∑ ΔWk
L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
华东理工大学《数学分析》电子课件(§21.3)
华东理工大学《数学分析》电子课件(§21.3)
7 / 20
3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 Li ( i = 1, 则 ∫L P ( x, y, z ) d x + Q( x, y, z )d y + R( x, y, z ) d z
A(1, 1) 到 B (1, 1) 的一段.
解法1 取 x 为参数, 则 L : AO + OB
y
B ( 1,1 )
y= x
x = x(t ) 定义且连续, L 的参数方程为 y = y (t ) t : α → β , z = z (t )
AO : y = x , x : 1 → 0 OB : y = x , x : 0 →1
称为对 y 的曲线积分;
(其中λ 为 n 个小弧段的 最大长度) 记作
z
∫
L
R( x, y, z ) d z = lim ∑ R(ξ k ,ηk , ζ k )Δzk ,
λ →0
k =1
n
F (ξ k , η k , ζ k )
记作
L
M k 1
Mk
二类型曲线积分——对坐标的线积分
R
0
R Rx 2 2 R2 x dx R 4 2 2x
2 2 故：I I 1 I 2 R 2
x
y
L1
本节结束
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x z R从A出发经第一卦限到 B再经第四卦限回到 A点 解：设L位于第一卦限内的部分 为L1 , 位于第四卦限内的部分
I1
0
R 2 x 2 x( R x) ( R x) x dx R 2 x ( R x )
R Rx 2 R 2 x dx R R 4 2 2x
二、二型线积分的计算
x x(t ) t — 起点参数值 定 设有平面光滑曲线 L: ；如果P( x, y )、 理 y y (t ) t — 终点参数值 1 (t )、y (t )在与之间连续，则： Q( x, y )在L上连续且x Pdx Qdy
第二节
二类(型)曲线积分 ——对坐标的线积分
一、二型线积分的概念与性质 1. 概念 F {P( x, y),Q( x, y)}沿光滑曲线 引例 设在XOY平面内有一变力： L 弧AB从A将物体移至 B，求变力F沿曲线L所作的功W。 解： (1) 已知常力 F0沿直线 l 所作的功 W F l ；
Γ
Γ
Q( x, y, z ) cos ds Q( x, y, z )dy
Γ
Γ
R( x, y, z ) cosds R( x, y, z )dz
Γ
分别叫做对X、Y、Z坐标的二型曲线积分
Γ
Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz
2第二类曲线积分
i =1
n
精确值
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二、对坐标的曲线积分的概念
定义： 设 L 是一条从点 A 到点 B 的定向光滑 r （或分段光滑） 曲线， 向量函数 F (M ) 在 L 上有定义。 用分点 A = A0 , A1 ,L An = B 将 L 按从 A 到 B 的方 向任意分成 n 个小弧段，记每个小弧段的弧长为 r Δsi ，并记 Ai −1 Ai = Δri ，( i = 1,2,L n) ，在每个小弧上 任取一点 M i ，做数量积： r r F ( M i ) ⋅ Δri ，( i = 1,2,L n) ，
则 L 的切向量为 ： τ = { x′( t ), y′( t ), z′( t )}
r 则 dr = { x′( t ), y′( t ), z′( t )}dt = {dx , dy , dz } 也是切向量 ， r ′( t )]2 + [ y′( t )]2 + [ z′( t )]2 dt = ds 又 | dr |= [ x r r dr dr dx dy dz v0 则 τ = r = ={ , , } ds ds ds | dr | ds = {cosα , cos β , cos γ }
Ak ( xk , yk , zk ) 源自 k (ξ k ,ηk , ζ k )
记
则
r Δri = Ai −1 Ai = { xi − xi −1 , yi − yi −1 , zi − zi −1 }
= { Δx i , Δyi , Δz i } n r r ∴ ∑ F ( M i ) ⋅ Δri
AB AC CB
基本性质
注意：第二类曲线积分没有第一类曲线积分的对称 性质及有关不等式的性质。
第二型曲线积分
第二型曲线积分
曲线积分是数学中一个关键的概念，它在很多领域都有重要的应用，特别是在数学物理中有着广泛的使用。
综上所述，了解曲线积分的基础理论和实际应用十分重要。
本文就继承了朱达和白尔兹发展的第二型曲线积分的理论和实际应用进行介绍。
第一，本文着重介绍第二型曲线积分的基础理论，它是由朱达和白尔兹提出的，与传统的曲线积分有着很大的不同，它可以用来描述复杂曲线积分问题。
第二型曲线积分包括：对多个曲线的曲线积分，即在曲线之间联系起来积分问题，比如曲线积分和变分法；多个不同方向的曲线之间积分，即存在复杂关系的曲线之间的积分问题；以及曲线积分复杂曲线的分析等。
其次，第二型曲线积分的实际应用也是非常丰富的。
首先，它可以用来分析复杂的压力场，可以用来精确计算复杂的压力场的分布，这在航空航天工程、汽车制造中具有重要的意义。
其次，它可以用来精准计算弹性问题，如复杂结构的弹性分析、形状变形分析。
此外，它还可用于量子力学，可以用来计算量子问题，如原子结构结构及其能力。
最后，它还可以用来描述复杂的流体动力学，可以用来计算复杂流体的分布、流动及其通量和压力等。
综上所述，朱达和白尔兹提出的第二型曲线积分是继承传统曲线积分的发展，它不仅拓展了是传统曲线积分的范围，而且具有多种实际应用，为解决各类复杂积分问题提供了有效工具。
因此，第二型曲线积分是一种非常有价值的数学工具，在各类工程领域都有重要的应
用。
第二类曲线积分
所以
r F
r0
0，
y
则 I L xdx ydy
r F
r
0ds
L
o
x
0
事实上，容易求得：r0 1 { y, x}
a
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例 1：计算 I xdx ydy，其中 L : x2 y2 a2 L
沿逆时针方向。
解2：设
r F
{x,
y}，r0是指定方向的单位切向量，
第二节
第十章
第二类曲线积分
一、向量场 二、第二类曲线积分的
概念与性质 三、第二类曲线积分的
计算
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一、向量场
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定义：设 D R2，R2上的向量场是一个函数，这个函数将 D r
中的每个点( x, y)映射到一个二维向量F ( x, y)。 定义：设 E R3，R3上的向量场是一个函数，这个函数将 E
r 中的每个点( x, y, z)映射到一个三维向量F ( x, y, z)。
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画向量场 y r rr F 2i j
o
r rr F xi yj
y
o
rr y F xi
x
o
x
r r ry F yi xj
x
o
x
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r rr F yi xj
线积分并计算，其中 L是从点(0,0,0)到点( 2 , 2 ,1)的一条 22
直线段。
解：cos 1 , cos 1 , cos 2
2
2
2
于是
L ydx zdy xdz
10-2第二类曲线积分
(2)
综合(1)、 (2)，得
d
r
e L
d
s
其中
eL
是与L同方向的单位切向量.
e L (cos , cos )
e
r
,
当a b时
e r ， 当a b时
其中 e r r(t ) |r(t ) |
(
(t )
,
(t)
其指向与参数 t 增大时曲线 L上的点移动
的方向一致.
一方面 d r r(t )d t ((t), (t))d t
(d x, d y) | d r | d s (d x)2 (d y)2
另一方面， 1 当a b 时，沿着L的方向移动时，参数 t 增加.
dt 0
Mxk k1
A
x
近似代替,
在上任取一点
则有
Wk F (ξk , ηk ) Mk1Mk P(ξk , ηk ) xk Q(ξk , ηk ) yk
3º 求和
n
W [P(k , k )xk Q(ξk , k ) yk ]
k 1
4º 取极限 变力沿曲线所作的功
解(方法1)
取 x 为参数, 则
L : AO OB
y
B(1,1)
AO : y x, x :1 0
注y意 积x分
OB : y x, x : 0 1
x ydx x ydx x ydx
L
AO
OB
o 路径的 x
表y示 形式x A(1,1)
2
1
x
a不一定小于 b ! 即可；
2º如果 L 的方程为 y ψ ( x), x : a b,
§10.2第二型曲线积分(1)
ab P[x, (x)] Q[x, (x)] (x)dx
• 对空间有向光滑弧 :
x (t) y (t), t : z (t)
P
[
(t
),
(t
)
,
(t)]
(t)
Q[ (t), (t), (t)] (t)
R[ (t), (t), (t)](t)d t
4. 两类曲线积分的联系
L P d x Q d y
单位圆周 C 的参数方程为 y 1 ， z sin t
N (0,1,1)
o
y
起点 M t 0 ，终点 N t ，
M (1,1,0)
2x
W
C
k
( xdx x2 y
ydy)
2
k
2
0
cos t(sint) cos2 t 1
0dt
k [ln(cos2 t 1]2 k ln 2.
例 6．把第二型曲线积分C P(x, y)dxQ(x, y)dy
化为第一型曲线积分，其中 C 为沿抛物线 y x2 从点（0,0）到点（1,1）的弧线段。
解： y x2 ， ds 1[ y(x)]2 dx 1 4x 2 dx ，则
cos dx 1 ， ds 14x2
cos sin
1cos2
2
02
三、两类曲线积分之间的联系
∵单位切向量T
1
{dx,dy,dz}{cos,cos,cos}
，
ds
∴ dx cosds ，dy cosds ，dz cosds 。
∴ C ATds C PdxQdy Rdz 。
C(PcosQcos Rcos)ds
其中 cos , cos , cos 是 C 上点(x, y, z) 处对于
第二类曲线积分的奇偶性
第二类曲线积分的奇偶性
在数学中，曲线积分是一种重要的概念，它可以让我们把曲线的面积、长度等
概念用数学的方法表达出来，使得我们可以确定各种形状的曲线的特征。
在曲线积分中，有一类曲线叫做第二类曲线，它们有一个特殊的性质，叫做奇偶性。
奇偶性的概念很简单，当我们把一条曲线沿着ヤ折叠时（也就是把曲线经过一
次旋转180°），如果曲线两面对称（曲线原点、曲线顶点、曲线底部都是对称的），则称这条曲线为“奇曲”；而若曲线两面不对称，则称为“偶曲”。
第二类曲线积分中只要满足奇偶性，就可以很容易得到最终的结果，无论曲线
有多复杂，它都有可能满足奇偶性的条件。
具体来说，第二类曲线的积分是由一系列坐标描述的，任何一个坐标进行180°旋转后，所得出的坐标都要与原来的坐标
完全一致。
假设原来曲线两个相邻坐标点之间的距离如何，折叠后也必须保持一致，这就是第二类曲线积分的奇偶性特点。
对于比较复杂的曲线，采用第二类曲线积分的奇偶性的计算就会比较简单，因
为我们可以先把曲线折叠后得到一个完全对称的图像，然后再用第二类曲线的积分公式得到最终的结果。
这样看来，第二类曲线积分的奇偶性无疑在减轻计算量方面起到了很大的作用，也为我们研究更复杂形状的曲线提供了很好的帮助。
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P(
x,
y,
z )dx
lim
0
i 1
P ( i
,i
,
i
)xi
.
n
Q( x,
y,
z)dy
lim
0
i 1
Q( i
,i
,
i
)yi .
n
R( x,
y,
z)dz
lim
0
i 1
R( i
,i
,
i
)zi
.
性质 (1) (F G) ds F ds G ds
L
L
L
(2) 如果L分成两段光滑的有向曲线弧L1和 L2, 则
lim
0
n i 1
F (i ,i
)
si
P(x, y)dx Q(x, y)dy
L
当F1 {P(x, y),0}, F2 {0,Q(x, y)}时，可得
n
L
F1
(x,
y)
d
s
L
P( x,
y)dx
lim
0
i 1
P( i
, i
)xi .
n
L F2(x, y)d s
Q( x,
lim
0
i 1
(
P ( i
,i
)xi
Q(i ,i )yi )
存在,则称F ( x, y)在L上可积, 极限称为向量值函数 F ( x, y)在有向曲线弧 L上的第二类曲线积分(或称
对坐标的曲 线积分）,
F ( x, y) ds
记作
或 P(
x,
y)dx
Q(
x,
y)dy
即
L
Ln
L
F (x,
简单闭曲线 以逆时针还是顺时针来规定其方向。
10.2.2 第二类曲线积分的定义与性质
定义设L为 xoy面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧,
函数 F {P( x, y), Q( x, y)}在 L上有界. 用 L上的点
M1( x1 , y1 ), M2 ( x2 , y2 ),, Mn1( xn1 , yn1 )
A M1
o
x
Wi F (i ,i ) M i1M i
即：Wi P(i ,i )xi Q(i ,i )yi
10.2.1 变力沿曲线作功问题
(3)求和:
n
n
W Wi Pi ,i xi Qi ,i yi
i 1
i 1
(4)取极限：
设为n个小弧段的最大长度,
令 0取上述和的极限:
y
F (i ,i )
B
Mi Mn1
L yi
Mi1 xi
M2
A M1
o
x
n
W
lim 0 i1
P i ,i
xi Q i ,i
yi
W即为变力沿曲线所作的功。
曲线定向：
曲线
x x(t),
L： y y(t), t :
z z(t),
不 自 交 不 封 闭 曲 线L
A
BA
t增加或 减少来 定义方 向
B
续导数, 则曲线 积分
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
{P[ (t), (t)] (t) Q[ (t), (t)] (t)}dt
证明：
xi xi xi1 (ti ) (ti1)
yi yi yi1 (ti ) (ti1)
由于 P(x, y)dx Q(x, y)dy P( x, y)dx Q( x, y)dy
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy.
L
L1
L2
(3) 设 L是有向曲线弧, L是与L方向相反的
有向曲线弧, 则
P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy
L
L
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.
第二类曲线积分的物理意义：
变力F Pi Qj Rk沿路径所做的功。
Myii Mn1
L Mi1xi M2
A M1
o
x
10.2.1 变力沿曲线作功问题 (1)分割:
用点 M1( x1 , y1 ), M2 ( x2 , y2 ),将,LM分n1( xn1 , yn1 ) 成n个小弧段, 取其中一个小弧段 M来i1分M析i ；
10.2.1 变力沿曲线作功问题
(2)近似代替: 用有向线段
设把L分 si 成 {n个x有i , 向y小i }弧, 其段中Mix1Mi i (ixi
1,2,, n; M0
xi1 , yi
A,
yi
Mn
yi1 ,
B).
点(i ,i )为弧 Mi1Mi 上任意取定的点.如果当各小弧段
长度的最大值nΒιβλιοθήκη m1ianx{si}
0时 ,
n
极
限
lim
0
i 1
F (i ,i ) si
线弧L上连续时, 第二类曲线积分存在. 推广 空间有向曲线弧
Pdx Qdy Rdz
P( x, y, z)dx
Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz
n
lim
0
i 1
(P( i ,i , i )xi
Q( i ,i , i )yi
n
R( i , ,i , i )zi )
10.2 第二类曲线积分的概念与性质
10.2.1 变力沿曲线作功问题
实例 设一个质点在变力F(x, y) P(x, y)i Q(x, y) j
作用下(P(x, y),Q(x, y)在L上连续)沿xOy平面上一条
光滑曲线LAB从点A移动到点B, 求变力F所作的功。
y
B
F
A
B
常力所作的功 W F AB.
y) ds
lim
0 ni1
F (i ,i ) si
lim
0
i 1
(P(i ,i ) xi
Q(i ,i
)yi )
P(x, y)dx Q(x, y)dy
L
其 ds中 称F为有{P向( x弧 , y)元, Q素 ( x,。y)}叫
做
被
积
函
数,L叫
积
分路
径.
已知： L
F (x,
y)
ds
即，W Pdx Qdy Rdz
10.2.3 第二类曲线积分的计算 定理 设P( x, y),Q( x, y)在曲线弧L上有定义且连
续,
L的
参
数
方
程
为
x y
(t), (t),
当参数 t 单调地由 变到 时, 点M ( x, y)从L的
起点A沿L运动到终点B,
(t), (t)在以及为端点的闭区间上具有一阶连
L
y)dy
lim
0
i 1
Q( i
, i
)yi
.
n
n
从而，当lim 0
i 1
P ( i
,i
)xi
, lim 0
i 1
Q( i
,i
)xi 存在时，
P( x, y)dx Q( x, y)dy P( x, y)dx Q( x, y)dy
L
L
L
存在条件： 当F {P( x, y), Q( x, y)}在光滑曲
Mi1M i
(xi )i
(yi ) j
来近似代替
M i1M i , 其中xi
xi
xi1,
yi yi yi1,
y
F(i ,i ) B
用M i1M i上任一点(i,i )的力: F(i ,i ) P(i ,i )i Q(i ,i ) j
Mi Mn1
L yi
Mi1 xi
M2
来近似代替小弧段上各点的力, 则功