10-02第二类曲线积分的概念和性质

线弧L上连续时, 第二类曲线积分存在. 推广 空间有向曲线弧
Pdx Qdy Rdz
P( x, y, z)dx
Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz
n
lim
0
i 1
(P( i ,i , i )xi
Q( i ,i , i )yi
n
R( i , ,i , i )zi )
10.2 第二类曲线积分的概念与性质
10.2.1 变力沿曲线作功问题
实例 设一个质点在变力F(x, y) P(x, y)i Q(x, y) j
作用下(P(x, y),Q(x, y)在L上连续)沿xOy平面上一条
光滑曲线LAB从点A移动到点B, 求变力F所作的功。
y
B
F
A
B
常力所作的功 W F AB.
续导数, 则曲线 积分
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
{P[ (t), (t)] (t) Q[ (t), (t)] (t)}dt
证明：
xi xi xi1 (ti ) (ti1)
yi yi yi1 (ti ) (ti1)
由于 P(x, y)dx Q(x, y)dy P( x, y)dx Q( x, y)dy
y) ds
lim
0 ni1
F (i ,i ) si
lim
0
i 1
(P(i ,i ) xi
Q(i ,i
)yi )
P(x, y)dx Q(x, y)dy
L
其 ds中 称F为有{P向( x弧 , y)元, Q素 ( x,。y)}叫
做
被
积
函
数,L叫
积
分路
径.
已知： L
F (x,
y)
ds
简单闭曲线 以逆时针还是顺时针来规定其方向。
10.2.2 第二类曲线积分的定义与性质
定义设L为 xoy面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧,
函数 F {P( x, y), Q( x, y)}在 L上有界. 用 L上的点
M1( x1 , y1 ), M2 ( x2 , y2 ),, Mn1( xn1 , yn1 )
A M1
o
x
Wi F (i ,i ) M i1M i
即：Wi P(i ,i )xi Q(i ,i )yi
10.2.1 变力沿曲线作功问题
(3)求和:
n
n
W Wi Pi ,i xi Qi ,i yi
i 1
i 1
(4)取极限：
设为n个小弧段的最大长度,
令 0取上述和的极限:
y
F (i ,i )
P(
x,
y,
z )dx
lim
0
i 1
P ( i
,i
,
i
)xi
.
n
Q( x,
y,
z)dy
lim
0
i 1
Q( i
,i
,
i
)yi .
n
R( x,
y,
z)dz
lim
0
i 1
R( i
,i
,
i
)zi
.
性质 (1) (F G) ds F ds G ds
L
L
L
(2) 如果L分成两段光滑的有向曲线弧L1和 L2, 则
设把L分 si 成 {n个x有i , 向y小i }弧, 其段中Mix1Mi i (ixi
1,2,, n; M0
xi1 , yi
A,
yi
Mn
yi1 ,
B).
点(i ,i )为弧 Mi1Mi 上任意取定的点.如果当各小弧段
长度的最大值
n
m1ianx{si
}
0时 ,
n
极
限
lim
0
i 1
F (i ,i ) si
lim
0
i 1
(
P ( i
,i
)xi
Q(i ,i )yi )
存在,则称F ( x, y)在L上可积, 极限称为向量值函数 F ( x, y)在有向曲线弧 L上的第二类曲线积分(或称
对坐标的曲 线积分）,
F ( x, y百度文库 ds
记作
或 P(
x,
y)dx
Q(
x,
y)dy
即
L
Ln
L
F (x,
lim
0
n i 1
F (i ,i
)
si
P(x, y)dx Q(x, y)dy
L
当F1 {P(x, y),0}, F2 {0,Q(x, y)}时，可得
n
L
F1
(x,
y)
d
s
L
P( x,
y)dx
lim
0
i 1
P( i
, i
)xi .
n
L F2(x, y)d s
Q( x,
L
y)dy
lim
0
i 1
Q( i
, i
)yi
.
n
n
从而，当lim 0
i 1
P ( i
,i
)xi
, lim 0
i 1
Q( i
,i
)xi 存在时，
P( x, y)dx Q( x, y)dy P( x, y)dx Q( x, y)dy
L
L
L
存在条件： 当F {P( x, y), Q( x, y)}在光滑曲
Mi1M i
(xi )i
(yi ) j
来近似代替
M i1M i , 其中xi
xi
xi1,
yi yi yi1,
y
F(i ,i ) B
用M i1M i上任一点(i,i )的力: F(i ,i ) P(i ,i )i Q(i ,i ) j
Mi Mn1
L yi
Mi1 xi
M2
来近似代替小弧段上各点的力, 则功
Myii Mn1
L Mi1xi M2
A M1
o
x
10.2.1 变力沿曲线作功问题 (1)分割:
用点 M1( x1 , y1 ), M2 ( x2 , y2 ),将,LM分n1( xn1 , yn1 ) 成n个小弧段, 取其中一个小弧段 M来i1分M析i ；
10.2.1 变力沿曲线作功问题
(2)近似代替: 用有向线段
B
Mi Mn1
L yi
Mi1 xi
M2
A M1
o
x
n
W
lim 0 i1
P i ,i
xi Q i ,i
yi
W即为变力沿曲线所作的功。
曲线定向：
曲线
x x(t),
L： y y(t), t :
z z(t),
不 自 交 不 封 闭 曲 线L
A
BA
t增加或 减少来 定义方 向
B
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy.
L
L1
L2
(3) 设 L是有向曲线弧, L是与L方向相反的
有向曲线弧, 则
P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy
L
L
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.
第二类曲线积分的物理意义：
变力F Pi Qj Rk沿路径所做的功。
即，W Pdx Qdy Rdz
10.2.3 第二类曲线积分的计算 定理 设P( x, y),Q( x, y)在曲线弧L上有定义且连
续,
L的
参
数
方
程
为
x y
(t), (t),
当参数 t 单调地由 变到 时, 点M ( x, y)从L的
起点A沿L运动到终点B,
(t), (t)在以及为端点的闭区间上具有一阶连