电磁学与电动力学(上) 4

第四章
目
稳恒电流
录
1、电流 电流密度 、 2、电源 电动势 、 3、复杂电路与基尔霍夫定律 、
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经过多年的研究， 年春， 经过多年的研究，1800年春，意大利的伏打（Count Alessa 年春 意大利的伏打（ －Ndro Volta，1745－1827）制成了伏打电池，从而获得持续 ， － ）制成了伏打电池， 的电流。有了稳定的电源，就为人类从研究静电现象过渡到研 的电流。有了稳定的电源，就为人类从研究静电现象过渡到研 究动电现象提供了坚实的技术基础。 究动电现象提供了坚实的技术基础。
一、电源
电源是不断地将其它形式的能量转换 为电能的装置。 为电能的装置。电源中非静电力的存在是 形成恒定电流的根本原因。 形成恒定电流的根本原因。 I
R
ε
B
A 不同类型电源中，非静电力不同： 不同类型电源中，非静电力不同： •发电机：电机作用将机械能转化为电能； 发电机： 发电机 电机作用将机械能转化为电能； •化学电池：化学作用将化学能转化为电能； 化学电池： 化学电池 化学作用将化学能转化为电能； •温差电源：扩散作用将热能转化为电能； 温差电源： 温差电源 扩散作用将热能转化为电能； •太阳能电池：直接将光能转化为电能； 太阳能电池： 太阳能电池 直接将光能转化为电能； •核能电池：直接将核能转换为电能。 核能电池： 核能电池 直接将核能转换为电能。
五、焦耳－楞次定律 焦耳－
电流通过一段电路时， 电流通过一段电路时，电场力要对移动电荷做功
∆A = IU∆t
U2 2 Q = ∆A = I R∆t = ∆t R
在一段纯电阻电路中，电功等于电热。 在一段纯电阻电路中，电功等于电热。但在非纯电阻电路 如含有电动机等输出设备）电功和电热两者不相等。 中（如含有电动机等输出设备）电功和电热两者不相等。 电功率则为
连续性方程积分形式
左侧：单位时间内由 面流出的电量； 左侧：单位时间内由S 面流出的电量； 右侧：单位时间内S 面的电量减少量。 右侧：单位时间内 面的电量减少量。 r r dq 当 > 0时,有∫ j ⋅ dS < 0，则流入 面内电荷量多于流出量。 则流入S面内电荷量多于流出量 面内电荷量多于流出量。 S dt r r dq 则流出S面内电荷量多于流入量 面内电荷量多于流入量。 当 < 0时,有∫ j ⋅ dS > 0，则流出 面内电荷量多于流入量。 S dt
r e r a=− E me
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自由电子同原子实碰撞， 自由电子同原子实碰撞，只能在连续两次碰撞的时间间隔内 得以定向加速，从统计角度考虑， 得以定向加速，从统计角度考虑，平均定向运动速度为
r 1 e r 1 e λ r u=− Eτ = − E 2 me 2 me v
若导体内自由电子（载流子）密度为 ， 若导体内自由电子（载流子）密度为n，则
2
15
不变， 改变 设r不变，R改变 ∆R时，则 Rab 的改变为 不变
(∆Rab )r
两者之比为
r∆R rR∆R r ≈ − = ∆R 2 r + R (r + R) r + R
2
(∆Rab )R = R (∆Rab )r r
2
∆r ∆R
2
当 ∆R = ∆r 时，便有
解：两根铜管分别作为一个等势面，电流 两根铜管分别作为一个等势面， 沿着径向由一个圆筒流向另一个圆筒， 沿着径向由一个圆筒流向另一个圆筒， 根据对称性
b
a
l
r r I = ∫ j(r ) ⋅ dS = j(r ) ⋅ 2πrL
s
通过各柱面的I是相等的， 通过各柱面的 是相等的，故 是相等的
I 1 j= 2πL r
二、电流强度 与电流密度
1. 电流强度：单位时间内通过导体任一横截面的电量 电流强度：单位时间内通过导体任一横截面的电量.
∆q I= ∆t
取 ∆t →0，则得
∆q dq I = lim = ∆t →0 ∆t dt
单位： 单位： 1A = 103 mA = 106 µA 电流强度是标量,它只能描述导体中通过某一截面的整体特征 电流强度是标量 它只能描述导体中通过某一截面的整体特征. 它只能描述导体中通过某一截面的整体特征 为反映导体中各处电荷定向运动的情况，需引入电流密度概念. 电流密度概念 为反映导体中各处电荷定向运动的情况，需引入电流密度概念 3
(∆Rab )R = R (∆Rab )r r
因R>>r,故得 故得
(∆Rab )R >> (∆Rab )r
16
㈡
电源 电动势
为维持恒定电流，除了静电场外，必须有非静电力， 为维持恒定电流，除了静电场外，必须有非静电力，使正电 荷逆着电场力的方向运动，从低电势处返回高电势处，同时， 荷逆着电场力的方向运动，从低电势处返回高电势处，同时，用 其它形式的能量补偿焦耳热的损失。 其它形式的能量补偿焦耳热的损失。
r r r ne2λ r j = n(− e) u = E = σE 2mev
ne2λ σ= 2mev
由经典电子论导出的结果只能定性说明金属导电的规律由 上式计算出的电导率与实际相差甚远.这些困难需要量子理论 上式计算出的电导率与实际相差甚远 这些困难需要量子理论 来解决. 来解决
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例题4-1-1 两同轴铜质圆形套管，长为 ，内圆柱的 两同轴铜质圆形套管，长为L， 例题 半径a，外圆柱的半径为b， 半径 ，外圆柱的半径为 ，两圆柱间充以电阻率为 ρ 的石墨.若以内 外圆柱分别为一个电极， 若以内、 的石墨 若以内、外圆柱分别为一个电极，求石墨的 电阻. 电阻
ρdl
S
σ = 1ρ
−1
ρ电阻率，单位： ⋅ m . 电阻率，单位： Ω
电导率，单位： . σ 电导率，单位：Ω⋅ m） （
注意：欧姆定律在某些情况下会失效，其主要表现是 与 注意：欧姆定律在某些情况下会失效，其主要表现是I与U 的比例关系遭到破坏，而代之以非线性关系。 的比例关系遭到破坏，而代之以非线性关系。 7
㈠
一、电流
电流 电流密度
电荷的定向运动形成电流。电流分为传导电流和运流电流 电荷的定向运动形成电流。 电流的微观机制： 电流的微观机制：导体内自由电子在电场力作用下在原来 不规则的热运动上附加了定向漂移运动. 不规则的热运动上附加了定向漂移运动 热运动速度： 热运动速度：105 m.s-1 定向漂移运动速度： 定向漂移运动速度：10−4 m.s-1 电流方向：正电荷的定向运动方向，即沿电场方向， 电流方向：正电荷的定向运动方向，即沿电场方向，从高 电势流向低电势。 电势流向低电势。 2
r 2. 电流密度矢量 j
∆S0
∆S
定义
r dI r dI r j= n= n dS⊥ dS cosθ
r ∆S r n
r j
电流密度是一个矢量， 电流密度是一个矢量，其方向和该点正电荷运动的方向 一致，数值上等于通过该点单位垂直截面的电流强度. 一致，数值上等于通过该点单位垂直截面的电流强度 电流密度矢量构成的矢量场称之为电流场。 电流密度矢量构成的矢量场称之为电流场。 3. 电流线：用电流线描述电流场 电流线： 曲线方向：该点电流密度方向； 曲线方向：该点电流密度方向； 曲线密度：与该点电流密度的大小成正比。 曲线密度：与该点电流密度的大小成正比。 4. 电流强度和电流密度矢量关系
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二、电源的电动势
表示作用在单位正电荷上的非静电力， 设K表示作用在单位正电荷上的非静电力，其方向在电源 表示作用在单位正电荷上的非静电力 内与电场E的方向相反 量纲、单位相同。在有电场E和非电 的方向相反， 内与电场 的方向相反，量纲、单位相同。在有电场 和非电 场力K同时存在的电路中 如电源内）， 同时存在的电路中（ ），应把欧姆定律推广为 场力 同时存在的电路中（如电源内），应把欧姆定律推广为 普遍形式的欧姆定律： 普遍形式的欧姆定律：
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利用数学上的高斯定理
r r r ∫∫ j ⋅ dS = ∫∫∫ ∇⋅ j dV
s v
(
)
dq ∂ρ = ∫∫∫ dV dt ∂t v
得
r ∂ρ ∇⋅ j + =0 电流连续方程微分形式 ∂t
r ∇⋅ j = 0
2. 电流的恒定条件
∂ρ =0 ∂t
∫
S
r r j ⋅ dS = 0
恒定电流的电流线不可能在任何地方中断，它们永远是闭合曲线。 恒定电流的电流线不可能在任何地方中断，它们永远是闭合曲线。 6
r r Iρ 1 E = jρ = 2πL r
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两极间的电势差为
r r b Iρ dr ρI b U1 − U2 = ∫ E ⋅ dl = ∫ ln = a2 L r 2πL a π
∴ U1 − U2 b ρ R= ln = I 2πL a
例题4-1-2 图中所示是电学仪器中调节电阻的装置 其 图中所示是电学仪器中调节电阻的装置,其 例题 是一个较大的电阻， 是一个较小的电阻， 和 都 中R是一个较大的电阻，r是一个较小的电阻，R和r都 是一个较大的电阻 是一个较小的电阻 可以改变.试证明 试证明R>>r时，r是粗调，R是微调（即r改 是粗调， 是微调 是微调（ 改 可以改变 试证明 时 是粗调 变某一数值时， 间电 变某一数值时，ab间电 R 改变较大； 阻 Rab改变较大；而R改 改 a b Rab改 变同一数值时， 变同一数值时，则 变较小） 变较小）.
2.欧姆定律的微分形式 欧姆定律的微分形式 将欧姆定律应用于微圆柱体， 将欧姆定律应用于微圆柱体，有
dU dl dI = , R= ρ , dS R dI j= , dU = Edl dS
得
j= E
ds
r r j E dl
ρ
r r E r j= = σE