优选初高中数学几何衔接.docx
初高中数学衔接教材word版含答案
初高中数学衔接教材乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．练习1．填空： （1）221111()9423a b b a -=+（ ）；（2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．（4）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ）（5）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数 （C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数第一讲 因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652x x ________。
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第一讲 数与式1、 绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。
②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。
③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1. 求不等式354x -<的解集 例2.求不等式215x +>的解集 例3.求不等式32x x ->+的解集 例4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集． 例5.解不等式|x －1|＋|2－x |＞3－x ．例6.已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习解下列含有绝对值的不等式： （1）13x x -+-＞4+x （2）|x +1|<|x －2|（3）|x －1|+|2x +1|<4 （4）327x -< (5)578x +> 3、因式分解 乘法公式（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ （4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法 例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）2672x x ++（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．2．提取公因式法例2.分解因式：（1）()()b a b a -+-552（2）32933x x x +++3．公式法例3.分解因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+4．分组分解法例4.（1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+-5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．练习（1）256x x -- （2）()21x a x a -++ （3）21118x x -+（4）24129m m -+ （5）2576x x +- （6）22126x xy y +-（7）()()3211262+---p q q p （8）22365ab b a a +- （9）()22244+--x x （10）1224+-x x （11）by ax b a y x 222222++-+-（12）91264422++-+-b a b ab a (13)x 2－2x －1（14） 31a +； （15）424139x x -+；（16）22222b c ab ac bc ++++； （17）2235294x xy y x y +-++-第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1)根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． (2)根与系数的关系（韦达定理）如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，。
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第一讲数与式1、绝对值（ 1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a, a 0,| a | 0, a 0,a, a 0.（ 2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（ 3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数 a 和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（ 1）含有绝对值的不等式① f (x)a(a0) ,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是a f ( x) a 。
② f (x)a(a0) ,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a 或 f (x) a 。
③f (x)2 2g(x) f (x) g(x)。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例 1.求不等式3x 5 4 的解集例 2.求不等式2x 1 5 的解集例 3.求不等式x 3x 2 的解集例 4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集．1例 5.解不等式|x －1|＋|2－x|＞3－x．例 6.已知关于x 的不等式|x－5|＋|x －3|＜a有解，求a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（ 1）x1x 3 ＞4+x（ 2） |x+1|<|x － 2|（ 3） |x－1|+|2x +1|<4（4）3x 27(5)5x 7 83、因式分解乘法公式（ 1）平方差公式 2 2(a b)( a b) ab （2）完全平方公式（3）立方和公式2 2 2(a b) a 2abb2 2 33(a b)(a ab b ) ab2 2 3（ 4）立方差公式 3(a b)(a ab b ) ab2 2 2 2（ 5）三数和平方公式(a b c) a b c2(ab bcac)3 3 2 2（ 6）两数和立方公式 3(a b) a 3a b 3abb2（ 7）两数差立方公式 3 3 2 23(a b) a 3a b 3abb因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例 1分解因式：2（ 1）x－ 3x＋ 2；（ 3）2()x a b xyy．2．提取公因式法例 2.分解因式：2b 5 a 5 b3．公式法例 3.分解因式：（1）（ 2）26x 7 x22aby ；（ 4）xy 1 x（ 2）x39 3x 23x （1）aa416 （ 2）2 23x 2y xy4．分组分解法2 2 2例 4.（ 1） xxy 3y 3x（ 2） 2xxy y4x 5y65．关于 x 的二次三项式ax2+bx +c ( a ≠ 0) 的因式分解．若关于 x 的方程20(a0)xx2(0)axbx c的两个实数根是、，则二次三项式 axbx c a就可12分解为a(x x )(xx ) .1 2例 5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：（ 1） 2 2 1 2 x x ；x（ 2）y ．4 4 2 xy3练习（ 1）2 5 6 2 1 x x x ax a21118 x x（ 2）（ 3）（ 4）2 2 2 24m 12m 9 （ 5） 5 7x 6x 12x xy 6y（ 6）2 q p 35a2 b 6ab22 2 42（ 7 ）6 2p q 11 2 3 （ 8 ） a （ 9 ）4x x （ 10）x42x 21（11）x2y 2a2b22ax 2by（）a 2 2(13)x212 4ab 4b 6a 12b 9－2x－ 1（） 1 4 214 34x 13xa ；（ 15）9 ；（ 16）22 2 2 2 2 23x 5xy 2yx 9yb c ab ac bc ；4（ 17）第二讲一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程(1)根的判别式2对于一元二次方程ax ＋ bx＋ c＝0（ a≠0），有:（ 1）当＞0时，方程有两个不相等的实数根x ＝1 ， 2， 2＝2 4bb ；ac2a（ 2）当＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝ x 2＝－b；2a（ 3）当＜0时，方程没有实数根．(2)根与系数的关系（韦达定理）2如果 ax ＋ bx＋ c＝0（ a≠0）的两根分别是x1， x2，那么x 1＋ x 2＝定理．2、二次函数 2y axbx c 的性质b， x1· x2＝c．这一关系也被称为韦达a a21. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为x b ，顶点坐标为 b 4ac b2a2a，。
初中竞赛、初高中衔接——几何
第一讲：如何做几何证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。
几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题．2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）分析综合法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的．3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。
在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的．【例题精讲】【专题一】证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。
很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。
证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到．【例1】已知：如图所示，ABC ∆中，90C ∠=，AC BC =，AD BD =，AE CF =．求证：DE DF =．【巩固】如图所示，已知ABC ∆为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE BD =，连结CE 、DE ．求证：EC ED =．DCA BEFE A BCD求证：E F ∠=∠．【专题二】证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置．证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明．证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证． 【例3】如图所示，设BP 、CQ 是ABC ∆的内角平分线，AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线．求证：//KH BC ．A BCE FKABCQPHBD DC =．求证：FD ED ⊥．【专题三】证明线段和的问题（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段．（截长法）【例5】如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，点E 是AB 上一个动点，若60B ∠=，AB BC =，且60DEC ∠=．求证：BC AD AE =+．【巩固】已知：如图，在ABC ∆中，60B ∠=，BAC ∠、BCA ∠的角平分线AD 、CE 相交于O ．求证：AC AE CD =+．DACBEFA BD EBAE DO（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。
初高中数学衔接教材12讲word版配答案
初高中数学衔接教材编者的话高中数学难学，难就难在初中教材与高中教材之间剃度过大，因此我们要认真搞好初高中数学教学的衔接，使初高中的数学教学具有连续性和统一性。
现有初高中数学教材存在以下“脱节”：1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。
而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；9、几何中很多概念（如三角形的四心：重心、内心、外心、垂心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。
高中则在使用。
另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。
高一数学相对于初中数学而言，逻辑推理强，抽象程度高，知识难度大。
初高中数学衔接教材((一) - 中考高考 - 道客巴巴
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初高中ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学教学衔接的思考及教学策略
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搞好初高中数学教学衔接的体会
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2024年度初高中知识衔接数学完整版
概率初步
理解概率的概念和意义，掌握概 率的基本性质和运算法则，以及 事件的概率计算。
统计初步
了解数据的收集与整理方法，掌 握平均数、中位数、众数等统计 量的计算和意义，以及方差和标 准差的应用。
9
数论基础
整数的性质
了解整数的概念和性质， 包括整数的四则运算、因 数和倍数、整数的奇偶性 和质合性等。
性质和应用。
2024/3/23
02 03
方程与不等式的衔接
初中主要学习一元一次方程、一元二次方程和简单的不等式，高中则进 一步学习高次方程、分式方程、无理方程等，以及不等式的性质、证明 和解法。
数列与数学归纳法的衔接
初中学习了等差数列和等比数列的基本概念和性质，高中则进一步学习 数列的通项公式、求和公式以及数学归纳法的原理和应用。
圆的方程
包括圆的标准方程和一般方程，以及圆心坐标和半径的求解方法 。
直线与圆的位置关系
包括直线与圆的相切、相离、相交等位置关系的判定方法。
16
概率与统计深入
2024/3/23
概率的基本概念与事件的关系
01
包括随机事件、必然事件、不可能事件的定义和性质，以及事
件的包含关系、相等关系和互斥关系。
古典概型和几何概型
2024/3/23
7
几何基础
01
02
03
图形的基本性质
包括点、线、面的基本性 质，以及角、三角形、四 边形等的基本概念和性质 。
2024/3/23
相似与全等
掌握相似三角形和全等三 角形的判定定理和性质， 以及它们的应用。
圆
理解圆的定义和性质，掌 握与圆有关的角、弧、弦 等概念和定理。
初升高数学衔接教材(完整)
第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a, a 0,|a|0, a 0,a, a 0.（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数a和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式① f (x) a(a 0), 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。
② f (x) a(a 0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或f (x) a 。
③ 2 2f (x) g(x) f (x)g (x)。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例1. 求不等式3x 5 4的解集例2. 求不等式2x 1 5的解集例3. 求不等式x 3 x 2 的解集例4. 求不等式| x＋2| ＋| x－1| ＞3 的解集．1例5. 解不等式| x－1| ＋|2 －x| ＞3－x．例6. 已知关于x 的不等式| x－5| ＋| x－3| ＜a 有解，求 a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）x 1 x 3 ＞4+x（2）| x+1|<| x－2|（3）| x－1|+|2 x+1|<4（4）3x 2 7(5) 5x 7 83、因式分解乘法公式（1）平方差公式 2 2(a b)( a b) a b（2）完全平方公式 2 2 2(a b) a 2ab b（3）立方和公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（4）立方差公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（5）三数和平方公式 2 2 2 2(a b c) a b c 2(ab bc ac)（6）两数和立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b2（7）两数差立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：2（1）x －3x＋2；（2）26x 7x 2（3） 2 ( ) 2x a b xy aby ；（4）xy 1 x y ．2．提取公因式法例2. 分解因式：2 （2）x3 9 3x2 3x （1）ab 5 a 5 b3．公式法例3. 分解因式：（1）a4 16 （2） 23x 2y x y2 4．分组分解法2例4. （1）x xy 3y 3x （2）2 22x xy y 4x 5y 65．关于x 的二次三项式ax2+bx+c( a≠0) 的因式分解．若关于x 的方程 2 0( 0)ax bx c a 的两个实数根是x1 、x2 ，则二次三项式2 ( 0)ax bx c a 就可分解为a(x x )(x x ).1 2例5. 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1） 2 2 1x x ；（2）2 4 4 2 x xy y ．3练习 （1） 25 6xx （2） 21 x ax a（3） 2 11 18xx （4）24m 12m 9（5）25 7x 6x（6） 2212xxy 6y2q p （ 7） 6 2p q 1123（ 8 ）35a 2b 6ab2a（ 9 ）24 2 4 xx2（10） x 42x 2 1 （11） x 2 y 2 a 2 b 2 2ax 2by（12） a 24ab 4b 2 6a 12b 9(13) x 2－2x －1（14） 31a；（15）4 24x 13x 9 ；（16）2 22 2 2b cab ac bc ；（17）2 23x 5xy 2y x 9y 4第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1) 根的判别式2对于一元二次方程 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝，2＝24 bbac 2a；（2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－ b 2a；（3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根． (2) 根与系数的关系（韦达定理）2如果 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是 x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝b a ，x 1· x 2＝c a．这一关系也被称为韦达 定理．2、二次函数2y ax bx c 的性质1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb 2a，顶点坐标为 2b4ac b ， 。
初高中几何衔接
平行线等分线段定理【知识点精析】1 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
理解这个定理要注意的是：（1）必须有一组平行线存在，平行线至少有三条；（2）在某一条直线上截得的线段相等。
满足上述两个条件，才能保证这组平行线在其他直线上截得的线段相等。
2 平行线等分线段定理的几个基本图形平行线等分线段定理的几个基本图形如图所示，若已知l1//l2//l3，AB=BC，根据定理直接得到A1B1=B1C1。
即被平行线组所截得的两条直线的相对位置，不影响定理的结论。
3 定理的两个推论推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。
推论2 经过三角形一般的中点与另一边平行直线必平分第三边。
4 应用平行线等分线段定理，可以等分任意一条直线。
通过中点的证明，从而转换为梯形或三角形的中位线进行解题，同时作为三角形、梯形中位线定理证明的根据.【温故知新】圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆心角定理: 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角; 90º的圆周角所对的弦是直径.二.圆内接四边形的性质与判定定理圆内接多边形-----所有顶点都在一个圆上的多边形. 这个圆称多边形的外接圆.思考: 任意三角形都有外接圆.那么任意正方形有外接圆吗?为什么? 任意矩形有外接圆吗?等腰梯形呢?一般地, 任意四边形都有外接圆吗?性质定理1 圆内接多边形的对角互补性质定理2 圆内接多边形的外角等于它的内角的对角。
圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆. 推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆. 切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径 推论1: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. .弦切角:顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。
初高衔接知识第五讲：几何部分(含练习+参考答案)
第五讲：几何问题班级：______姓名：__________问题一、三角形的角平分线定理例1．在ABC V 中，AD 为BAC Ð的平分线，求证：AB BD AC DC=．例2．如图，在ABC V 中，AD 是角BAC 的平分线，AB =5cm,AC =4cm,BC =7cm,（1）求BD 的长（2）若O 为ABC ∆的内心，求AOOD．问题二、直角三角形中的射影定理例1．在直角三角形ABC 中，BAC Ð为直角，AD BC D ^于.求证：（1）2AB BD BC =?，2AC CD CB =?；（2）2AD BD CD =?．例2．在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，若34AC AB =，求BDCD的值．问题三、平行四边形中的一个重要结论例1．已知平行四边形ABCD ，求证：22222()AC BD AB AD +=+．D CBA例2．在ABC V 中，中线AD 交BC 于点D ，求证：22222()AB AC AD CD +=+．问题四、三角形的“四心”（1）三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.（2）三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（3）三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（4）过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.例1．求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1． 已知 D 、E 、F 分别为ABC V 三边BC 、CA 、AB 的中点， 求证 AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2：1．例2．已知ABC V 的三边长分别为,,BC a AC b AB c ===，I 为ABC V 的内心，且I 在ABC V 的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c aAE AF +-==．例3．若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形． 已知 O 为三角形ABC 的重心和内心． 求证 三角形ABC 为等边三角形．D CB A参考答案 问题一： 例1 证明： 法一作AB BE = ∵BDECDA ∆∆(SAS)∴BD BE ABDC AC AC== 法二（面积法）作DE AC ⊥,DF AB ⊥∵角平分线上的点到角两边的距离相等 ∴DE DF =令ABC BC h ∆边上的高为∴11221122ABD ADCS AB DF BD h S AC DE CD h ∆∆=⋅=⋅=⋅=⋅即AB DF AB BD AC DE AC CD⋅==⋅例2：解（1）359BD = （2）97AO AB OD BD == 问题二 例1：证明 （1）ABD CBA ∆∆∴AB BDBC AB=∴2AB BD CD =⋅ACD BCA ∆∆ ∴AC BCCD AC= ∴2AC CD BC =⋅（2）ABD CAD ∆∆∴AD CDBD AD=∴2AD BD CD =⋅例2：169BD CD = ABCDE ACBDEF问题三： 例1解：作AE 垂直于CD ，BF 垂直于CD 设AE =h ，CF =DE =x ，DF =y222(2)AC x y h =++ 222BD y h =+ 22()AB x y =+222AD h x =+∴22222()AC BD AB AD +=+例2证明： 中线对长至点E ，连接BE 和CE易知22221(2AB AC AE BC +=+）221=[(2AD)(2]2BD +）222()AD BD =+问题四 例1 证明：∵E 、F 、D 为中点 ∴12EF BC =,EF BC OFE OCB ∆∆ 21BC CO FE OF ==同理可证其它比例也为2:1 下证三线共点 设BE 和CF 交于1O ∵11EO F BOC ∆∆∴111112O F O E O C O B == 设AD 与BE 交于2O ∵22DO E AO B ∆∆∴222212O D O E O A O B ==ABFBE∵121212O E O E O B O B == 即1O 与2O 为同一点 例2证明：易知ID IE IF ==AFI AEI BFI BDI CDI CEI∆≅∆∆≅∆∆≅∆ ∴AE AF =,BF BD =,CD CE =AF AB BF AB BDAE AC EC AC DC=-=-=-=-∴()AE AF AB AC BD CD b c a +=+-+=+- 即2b c aAE AF +-==例3 证明：∵O 为重心和内心BD CDBAD CAD=∠=∠∴(SSA)ADB ADC ∆≅∆AB AC =同理可证AB BC = 即ABC ∆为正三角形高一数学衔接知识讲义五练习班级：________姓名：_________1．到三角形三条边的距离都相等的点（点在三角形内）是这个三角形的 （ ） （A ）三条中线的交点（B ）三条高的交点 （C ）三条边的垂直平分线的交点（D ）三条角平分线的交点2．如图，在Rt ABC ∆中，CD 是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，至少知道（ ）条线段的长，就可以求其他线段的长（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43．已知ABC △的角平分线AD 交BC 于D ，且:AB AC ，则ABD △与ACD △的面积之比为（ ） （A ）3:2（B（C ）2:3（D4．△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6，则△DEB 的周长为 （ ） （A ）4 （B ）6 （C ）10 （D ）不能确定5．若三角形ABC 的面积为S ，且三边长分别为a b c 、、，则三角形的内切圆的半径是___________；6． ABC ∆中，90A ∠=，AD BC ⊥于点D ，AD =6，BD =12，则CD = ，AC = ，22:AB AC = ；7．如图，在R t A B C ∆中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，AC =6，AD =3.6，则BC = ；8．若直角三角形的三边长分别为a b c 、、（其中c 为斜边长），则三角形的内切圆的半径是___________； 9．若三角形ABC 的三边BC ，AC ，AB 所对边分别为a b c 、、，则三角形BC 的中线AD 长为-______________________．10．如图，在△ABC 中，∠A =90，BD 是角平分线，若AD =m ，BC =n ，求△BDC 的面积．11．△ABC 中，AB =5，AC =3，求中线AD 的取值范围．ABCD参考答案1-4 D B B B5-9 2+s a b c +；3；，4:1；8；ab a b c ++()2a b c+-10 解：过点D 作BC 边的高h∵角平分线上的点到角两边的距离相等 ∴h m =12BDCSmn =11 解：法一 令BC x =（28x <<）则2AD ==即14AD <<法二 利用AD “对长” ∵(ADC EDB ∆≅∆∴3AC BE ==则28AE << 即14AD <<。
初高中衔接几何部分
3.1 相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题。
在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比。
在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l （如图3.1-1），直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b 交123,,l l l 于点',','A B C ，不难发现''2.''3A B A B B C B C == 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
如图3.1-2，123////l l l ，有AB DE BC EF =。
当然，也可以得出AB DEAC DF=。
在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例。
例1 如图3.1-2， 123////l l l ，且2,3,4,AB BC DF ===求,DE EF 。
例2 在ABC ∆中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ， 求证：AD AE DEAB AC BC==。
从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
例3 已知ABC ∆，D 在AC 上，:2:1AD DC =，能否在AB 上找到一点E ，使得线段EC 的中点在BD 上。
例4在ABC ∆中，AD 为BAC ∠的平分线，求证：AB BDAC DC=。
图 3.1-1图3.1-2图3.1-3 图3.1-4例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）。
练习1 1．如图3.1-6，123////l l l ，下列比例式正确的是（ ） A ．AD CE DF BC = B ．AD BC BE AF = C ．CE AD DF BC = D.AF BEDF CE= 2．如图3.1-7，//,//,DE BC EF AB 5,AD cm =3,2,DB cm FC cm ==求BF 。
初高中数学衔接教材 word版配答案(精品版)
数学目录阅读材料：1）高中数学与初中数学的联系2）如何学好高中数学3）熟知高中数学特点是高一数学学习关键4）高中数学学习方法和特点5）怎样培养好对学习的良好的习惯？第一课: 绝对值第二课: 乘法公式第三课: 二次根式（1）第四课: 二次根式（2）第五课: 分式第六课: 分解因式（1）第七课: 分解因式（2）第八课:根的判别式第九课:根与系数的关系（韦达定理）（1）第十课:根与系数的关系（韦达定理）（2）第十一课:二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质第十二课:二次函数的三种表示方式第十三课:二次函数的简单应用第十四课：分段函数第十五课: 二元二次方程组解法第十六课: 一元二次不等式解法（1）第十七课: 一元二次不等式解法（2）第十八课:国际数学大师陈省身第十九课: 中华民族是一个具有灿烂文化和悠久历史的民族第二十课: 方差在实际生活中的应用第二十一课: 平行线分线段成比例定理第二十二课：相似形第二十三课：三角形的四心第二十四课：几种特殊的三角形第二十五课：圆第二十六课：点的轨迹1.高中数学与初中数学的联系同学们，首先祝贺你们进入高中数学殿堂继续学习。
在经历了三年的初中数学学习后，大家对数学有了一定的了解，对数学思维有了一定的雏形，在对问题的分析方法和解决能力上得到了一定的训练。
这也是我们继续高中数学学习的基础。
良好的开端是成功的一半，高中数学课即将开始与初中知识有联系，但比初中数学知识系统。
高一数学中我们将学习函数，函数是高中数学的重点，它在高中数学中是起着提纲的作用，它融汇在整个高中数学知识中，其中有数学中重要的数学思想方法；如：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想等，它也是高考的重点，近年来，高考压轴题都以函数题为考察方法的。
高考题中与函数思想方法有关的习题占整个试题的60%以上。
1、有良好的学习兴趣两千多年前孔子说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。
”意思说，干一件事，知道它，了解它不如爱好它，爱好它不如乐在其中。
初升高数学衔接--几何部分验收B(解析版)
初升高数学衔接--几何部分验收B卷（解析版）1．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC【答案】B【解析】∵四边形COED是矩形，∴CE=OD，∵点D的坐标是（1，2），∴OD=，∴CE=，故选：C．3．下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．矩形的对角线互相垂直C．菱形的对角线互相垂直平分D．等腰梯形的对角线相等【答案】B【解析】A．平行四边形的对角线互相平分，正确;B．矩形的对角线相等且互相平分，但不垂直，故错误;C．菱形的对角线互相垂直平分，正确D．等腰梯形的对角线相等, 正确故选B4．如图，四边形纸片ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折得到△FMN.若MF ∥AD，FN∥DC，则∠B等于（）A．70°B．90°C．95°D．100°【答案】C【解析】∵MF ∥AD ，FN ∥DC ，∴∠BMF=∠A=100°，∠BNF=∠C=70°∴∠B+∠F=360°-∠BMF-∠BNF=360°-100°-70°=190° 由折叠可知 ∠B=∠F ∴∠B=95°. 故选C..5．如图，⊙O 中，弧AB =弧AC ，∠C =75°，则∠A =（ ）A ．15B ．20C ．25D ．30【答案】D 【解析】∵⊙O 中， AB AC ，∠C=75°， ∴∠B=∠C=75°， ∴∠A=180°-75°×2=30°． 故选D ．6．如图1，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE→ED→DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是1cm/s ．设P ，Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为y cm 2，已知y 与t 的函数关系的图象如图2（曲线OM 为抛物线的一部分）．则下列结论：①AD=BE=5cm ；②当0＜t≤5时，22y=t 5；③直线NH 的解析式为y=5-2t+27； ④若△ABE 与△QBP 相似，则t=294秒， 其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】①根据图（2）可得，当点P 到达点E 时点Q 到达点C ， ∵点P 、Q 的运动的速度都是1cm/s ， ∴BC=BE=5cm ， ∴AD=BE=5，故①正确；②如图1，过点P 作PF ⊥BC 于点F ，根据面积不变时△BPQ 的面积为10，可得AB=4， ∵AD ∥BC ， ∴∠AEB=∠PBF ， ∴sin ∠PBF=sin ∠AEB= 45AB BE =， ∴PF=PBsin ∠PBF=45t ， ∴当0＜t≤5时，21142y BQ PF t t t 2255=⋅=⋅=，故②正确；③根据5-7秒面积不变，可得ED=2，当点P 运动到点C 时，面积变为0，此时点P 走过的路程为BE+ED+DC=11， 故点H 的坐标为（11，0）， 设直线NH 的解析式为y=kx+b ，将点H （11，0），点N （7，10）代入可得：11k b 07k b 10+=⎧⎨+=⎩，解得：52552k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．故直线NH 的解析式为：55522y t =+，故③错误；④当△ABE与△QBP相似时，点P在DC上，如图2所示：∵tan∠PBQ=tan∠ABE= 34，∴34PQBQ=，即11354t-=，解得：t= 294．故④正确；综上可得①②④正确，共3个．故选：C．7．如图，BD为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝2，ED＝4，延长DB到点F，使得BF＝BO，连接F A．则下列结论中不正确的是（）A．△ABE∽△ADB B．∠ABC＝∠ADBC．AB＝3D．直线F A与⊙O相切【答案】C【解析】∵AB＝AC，∴AB AC=，∴∠ABC＝∠ADB，∵∠BAE＝∠DAB，∴△ABE∽△ADB，选项A、B正确；∴AB：AD＝AE：AB，∴AB2＝AE×AD＝2（2+4）＝12，∴AB ＝23，选项C 错误； 连接OA ，如图所示： ∵BD 为⊙O 的直径， ∴∠BAD ＝90°， ∴BD ＝22123643AB AD +=+=，∴OA ＝OB ＝23＝AB ， ∵BF ＝BO ， ∴AB ＝OB ＝BF ， ∴∠OAF ＝90°，∴直线F A 与⊙O 相切，选项D 正确； 故选：C ．8．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，E ，F 为BD 所在直线上的两点，若AE=102，∠EAF=135°，则下列结论正确的是( )A ．DE 1=B ．1tan AFO 3∠=C ．AF 5=D ．四边形AFCE 的面积为94【答案】C 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，AB CB CD AD 1,AC BD,ADO ABO 452OD OB OA ,ABF ADE 1352︒︒∴====⊥∠=∠=∴===∠=∠=在Rt AEO 中，2251EO 222AE OA =-=-= 22222DE ∴=-=，故A 错误． EAF 135BAD 90∠∠=︒=︒，，BAF DAE 45∠∠∴+=︒，ADO DAE AED 45，∠∠∠=+=︒ BAF AED ∠∠∴=， ABF EDA ∴∽，122BF 2BF ABDA DE BF ∴=∴=∴=在Rt AOF 中，22AF 5OA OF =+=C 正确，212tan AFO 22OA OF ∠===，故B 错误，S AECF ∴四边形11525AC EF 22222=⋅⋅==，故D 错误， 故选：C ．9．如图，在△ABC 中，BC ＞AB ＞AC ，D 是边BC 上的一个动点（点D 不与点B 、C 重合），将△ABC 沿AD 折叠，点B 落在点B'处，连接BB'，B'C ，若△BCB'是等腰三角形，则符合条件的点D 的个数是A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】解：①当BB’=BC时，如下图，以点A为圆心AB为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆交于点B’1，则此时BB’1=BC，△BCB'1是等腰三角形；②当BB’=B’C时，如下图，以点A为圆心AB为半径的圆与BC的垂直平分线交于点B’2，则此时BB’2= B’2C，△BB'2C是等腰三角形；③当BC=B’C时，如下图，以点A为圆心AB为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆交于点B’3，则此时BC= B’3C且D与点C重合，故此情况不合题意；则符合条件的点D的个数有2个，故选：C.10．如图，正八边形各边中点构成四边形，则正八边形边长与AB的比是()A．2﹣2B．322C．1222+D．222+【答案】A【解析】过E作EF⊥AD于F，过G作GH⊥AD于H，则△AEF与△DGH是等腰直角三角形，四边形EFHG是矩形，∴AF＝EF＝DH＝GH，EG＝FH，设AF＝EF＝GH＝DH＝k，∴AE＝DG＝2k，∴EG＝2AE＝22k，∴AB＝AD＝22k+2k，∴正八边形边长与AB的比＝22k22 22k2k=-+，故选A．11．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝8，若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为_____．【答案】5【解析】证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝12AC＝3，OD＝12BD＝4，∴∠AOD＝90°，∴AD＝22OA OD+＝5＝CD∵DE∥AC，CE∥BD∴四边形OCED为平行四边形，又∵AC⊥BD∴四边形OCED为矩形∴CD＝OE＝5故答案为：512．如图，在等腰三角形ACB中，AC＝BC＝10，AB＝16，D为底边AB上一动点(不与点A，B重合)，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，则DE+DF等于_____．【答案】9.6【解析】连接CD，过C点作底边AB上的高CG，∵AC＝BC＝10，AB＝16，∴BG＝12AB＝8，CG22BC BG-22108-6，∵S△ABC＝S△ACD+S△DCB，∴AB•CG＝AC•DE+BC•DF，∵AC＝BC，∴16×6＝10×(DE+DF)，∴DE+DF＝9.6．故答案为：9.6．13．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD=60°，AD=12 AB，连接OE．下列结论：①S▱ABCD=AD•BD；②DB平分∠CDE；③AO=DE；④S△ADE=5S△OFE，其中正确的结论是_____.【答案】①②【解析】∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED，∴△ADE是等边三角形，∴AD=AE=12 AB，∴E是AB的中点，∴DE=BE，∴∠BDE=12∠AED=30°，∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，∴S▱ABCD=AD•BD，故①正确；∵∠CDE=60°，∠BDE30°，∴∠CDB=∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正确；∵Rt△AOD中，AO＞AD，∴AO＞DE，故③错误；∵O 是BD 的中点，E 是AB 的中点， ∴OE 是△ABD 的中位线， ∴OE ∥AD ，OE=12AD ， ∴△OEF ∽△ADF ，∴S △ADF =4S △OEF ，且AF=2OF ， ∴S △AEF =2S △OEF ， ∴S △ADE =6S △OFE ， 故④错误. 故答案为①②．14．如图是一个边长为m 的正方形，它是由①②③④四个完全相同的三角形和图⑤边长为n 的正方形无缝隙拼成.若这个图形不用剪裁，可以无缝隙拼成长方形，则,m n 应满足关系式_________．【答案】1052m n m n ==或 【解析】设直角三角形的长边为a ，短边为b ， ① 如图方式拼接，则有a b n b n -=⎧⎨=⎩，则2a nb n=⎧⎨=⎩，225m a b n ∴=+=② 如图方式拼接，则有2a b n b n -=⎧⎨=⎩，则322a n n b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 22102m a b n ∴=+=综上可知：5m n =或102m n =15．我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这是著名的赵爽弦图（如图1）．它是由四个全等的直角三角形拼成了内、外都是正方形的美丽图案．在弦图中（如图2），已知点O 为正方形ABCD 的对角线BD 的中点，对角线BD 分别交AH ，CF 于点P 、Q ．在正方形EFGH 的EH 、FG 两边上分别取点M ，N ，且MN 经过点O ，若MH ＝3ME ，BD ＝2MN ＝45 ．则△APD 的面积为_____．【答案】5 【解析】如图，连接FH ，作EK ∥MN ，OL ⊥DG∵四边形ABCD 是正方形，且BD ＝2MN ＝5∴MN ＝5AB ＝10 ∵四边形EFGH 是正方形 ∴FO ＝HO ，EH ∥FG∴∠HMO ＝∠FNO ，∠MHO ＝∠NFO ，且FO ＝HO∴△MHO≌△FNO（AAS）∴MH＝FN∵MH＝3ME，∴MH＝FN＝3EM，EH＝EF＝4EM∴EK∥KN，EH∥FG∴四边形EMNK是平行四边形∴MN＝EK＝KN＝EM∴FK＝2EM∵EF2+FK2＝EK2，∴16EM2+4EM2＝20∴EM＝1∴EH＝4，∵AD2＝（AE+4）2+DH2，且AE＝DH ∴DH＝AE＝2∴AH＝6∵PH∥OL∴PH DH1 OL AL2==∴PH＝1 ∴AP＝5∴S△APD＝12×5×2＝5故答案为：5.16．等边三角形外接圆的面积是4π，则该等边三角形的面积是____．【答案】【解析】解：∵外接圆的面积是4π，∴πr2=4π，解得：r=2，如图所示，即OB=OC=OA=2，O为△ABC的外心，连接OB 、OC ，作OD ⊥BC 于D ， ∵∠OBD ＝30°，OB ＝2， ∴OD ＝1，∴BD ＝22OB OD 3-=， 则BC ＝23，∴等边三角形的面积＝2323334⨯=（）， 故答案为：33．17．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别在OD 、OC 上的动点，且DE=CF ，连接DF 、AE ，AE 的延长线交DF 于点M ，连接OM ． （1）求证：△ADE ≌△DCF ； （2）求证：AM ⊥DF ；（3）当CD=AF 时，试判断△MOF 的形状，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.（3）△MOF 是等腰三角形，理由见解析. 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=DC ，∠ADE=∠DCF=45° 在△AED 和△DFC 中，，∴△AED≌△DFC（SAS）；（2）由①中△AED≌△DFC，∴∠EAD=∠FDC，∵∠ADM+∠FDC=90°，∴∠ADM+∠EAD=90°，∴∠AMD=90°，∴AM⊥DF；（3）△MOF是等腰三角形，理由是：∵AD=CD，CD=AF∴AD=AF∵AM⊥DF，∴DM=FM，∵∠DOF=90°，∴OM=DF=FM，∴△MOF是等腰三角形．18．如图，AB是半圆O的直径，以AB为边在半圆同侧作正方形ABCD，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连接DQ，设半圆的半径为a．（1）判断直线DQ与半圆O的位置关系，并说明理由；（2）求sin∠DQP的值．【答案】（1）DQ是半圆的切线，理由见解析；（25 .【解析】解：（1）DC和半圆O相切连接OQ，OD，如图∵DP ∥OB ，DP ＝OB ∴四边形DOBP 是平行四边形 ∴DO ∥BP∴∠AOD ＝∠OBP ，∠DOQ ＝∠OQB ∵OB ＝OQ ∴∠OBP ＝∠OQB ∴∠AOD ＝∠QOD ∴△AOD ≌△QOD （SAS ） ∴∠OQD ＝∠OAD ＝90° ∴OQ ⊥DQ 即DQ 是半圆的切线 （2）由①可知，DO ∥BP ∴∠DQP ＝∠ODQ ∵DQ ＝AD ＝2a ，OQ ＝a ∴∠DQP ＝∠ODQ ∵DQ ＝AD ＝2a ，OQ ＝a ∴OD ＝22DQ OQ +=5a ∴sin ∠DQP ＝sin ∠ODQ ＝5519．如图，在正方形ABCD 中，AF=BE ，AE 与DF 相交于于点O ． （1）求证：△DAF ≌△ABE ； （2）求∠AOD 的度数；（3）若AO=4，DF=10，求tan ADF ∠的值.【答案】（1）见解析；（2）90AOD ；（3）tan ∠ADF 的值为12. 【解析】(1)在正方形ABCD 中，DA=AB,90DAF ABE ∠=∠=︒, 又AF=BE AD AB DAF ABE AF BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴DAF ∆≌ABE ∆ (SAS)（2）由（1）得 DAF ∆≌ABE ∆ ，∴ ∠ADF=∠BAE,又 ∠BAE+∠DAO=90︒,∴∠ADF+∠DAO=90︒90AOD ∴∠=︒（3）由（2）得∠AOD=900 ∴△AOF ∽△DOA ∴AO 2=OF·OD 设OF=x,DO=10-x ∴x(10-x)=16 解得x=2或x=8（舍去） ∴tan ∠ADF=48AO OD = ∴tan ∠ADF 的值为12. 20．如图，在四边形ABCD 中，AB DC AD BC AD CD ==⊥，，. 点E 在对角线CA 的延长线上，连接BD ，BE ．（1）求证：AC BD =；（2）若BC =2，13BE =，2tan 3ABE ∠=，求EC 的长.【答案】（1）详见解析；（2）5. 【解析】（1）证明：∵,AB DC AD BC ==，∴四边形ABCD 是平行四边形. ∵AD CD ⊥， ∴90ADC ∠=︒. ∴四边形ABCD 是矩形. ∴AC BD =.（2）解：过点E 作EF CB ⊥交CB 的延长线于点F ，如图， 则90EFB ∠=︒. ∵ABC EFB ∠=∠. ∴EF AB ∥. ∴ABE FEB ∠=∠. ∴2tan tan 3FEB ABE ∠=∠=. ∴23FB EF =. 设2(0)FB x x =>，则3EF x =. ∵222,13BE EF FB BE =+=. ∴222(13)(3)(2)x x =+，解得1x =. ∴2,3FB EF ==. ∵2BC =，∴4FC FB BC =+=. ∴4FC FB BC =+=. ∴225EC EF FC =+=.21．已知，如图，BD 为⊙O 的直径，点A 、C 在⊙O 上并位于BD 的两侧，∠ABC ＝45°，连结CD 、OA 并延长交于点F，过点C作⊙O的切线交BD延长线于点E．（1）求证：∠F＝∠ECF；（2）当DF＝6，tan∠EBC＝12，求AF的值．【答案】（1）详见解析；（2）25. 【解析】（1）证明：连结OC，∵CE切圆O于C，∴OC⊥CE，∴∠OCF+∠FCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∴∠F+∠OCF＝90°，∴∠F＝∠ECF；（2）设DC＝x，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵BD为圆O的直径∴∠BCO+∠OCD＝90°，∵∠ECD+∠OCD＝90°，∴∠OBC＝∠ECD，∵∠F＝∠ECD，∴∠F＝∠EBC，在Rt△BCD中，tan∠EBC＝12，则BC＝2DC＝2x，BD＝5x，∴OC＝OA＝52x，在Rt△FOC中，tan F＝tan∠EBC＝1 2∴FC＝5OC，即6+x＝5•52x，解得，x＝4，∴OF＝2OC＝45，∴AF＝OF﹣AO＝25．22．如图，在▱ABCD中，CF⊥AB于点F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，且CF＝DE．（1）求证：△BFC≌△CED；（2）若∠B＝60°，AF＝5，求BC的长．【答案】（1）详见解析；（2）BC＝10．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AB＝CD∴∠B＝∠DCE∵CF⊥AB，DE⊥BC，∴∠CFB＝∠DEC＝90°，且CF＝DE，∠B＝∠DCE∴△BFC≌△CED（AAS）（2）∵△BFC≌△CED ∴BC＝DC＝AB设BC＝x，∴CD＝AB＝x在Rt△BCF中，∠B＝60°∴∠BCF＝30°∴FB＝12BC∴（x﹣5）＝1 2 x解得x＝10 ∴BC＝10．。
初高中数学几何衔接
初高中衔接教材编排第一部分相交线1角的定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。
表示方法符号：∠两条相交线出现四个角2余角和补角：两角之和为90°则两角互为余角，两角之和为180°则两角互为补角。
等角的余角相等，等角的补角相等3对顶角的定义如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,且这两个角有公共顶点,那么这两个角是对顶角4同位角，内错角，同旁内角同位角：两条直线被第三条直线所截,在截线的同旁,被截两直线的同一方,我们把这种位置关系的角称为同位角.互为同位角的有：∠1与∠5,∠2与∠6,∠4与∠8,∠3与∠7；内错角：两条直线被第三条直线所截,两个角分别在截线的两侧,且夹在两条被截直线之间,具有这样位置关系的一对角叫做内错角.互为内错角的有：∠3与∠5,∠2与∠8同旁内角：两条直线被第三条直线所截,在两条直线之间,并在第三条直线同旁的两个角称为同旁内角 .互为同旁内角的有：∠3与∠8,∠2与∠5例题【基础题】请找出图中的同位角，内错角，同旁内角例题、【基础题】如图，O是直线AB一点，∠BOD=∠COE=90º，则（1）如果∠1=30º，那么∠2= ，∠3= 。
（2）和∠1互为余角的有。
和∠1相等的角有。
例题【基础】32º的余角为，137º的补角是。
第二部分平行线1．定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.2．特征在同一平面内【必须满足，这是一个难点】不相交说明强调在一个平面内，是因为高中的时候会出现一条线和一个面，那么这个时候存在着线和这个面内的有些直线不平行的问题，这个有点难理解。
3垂线的性质经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线最短。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线的长度。
5.平行线的画法工具：直尺，三角板6.平行公理，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.【推论】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行平行于同一直线的两条直线平行7．平行线的三个性质性质一：两条直线被第三条直线所截，同位角相等简称两直线平行，同位角相等性质二：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等简称两直线平行，内错角相等性质三：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补【相加为180度】简称两直线互补，同旁内角互补。
初高中数学衔接教程(全套)
初高中数学衔接教程(全套)简介本教程旨在帮助初中毕业生顺利过渡到高中数学研究，并建立起坚实的数学基础。
通过本教程，学生将能够更好地理解和应用数学知识，为高中数学研究打下良好的基础。
内容概述本教程包括以下几个主要内容：1. 数的性质与运算- 自然数、整数、有理数、实数的概念与性质- 四则运算及其性质- 开方与指数运算- 计算器的使用技巧2. 代数与方程- 代数式的表示与运算- 一元一次方程与二元一次方程- 一次不等式与二次不等式- 方程与不等式的解法与应用3. 几何与图形- 基本图形的性质（三角形、四边形、圆等）- 几何证明与作图- 平面与空间几何关系- 三视图与投影图4. 函数与图像- 函数及其性质- 一次函数、二次函数与指数函数- 图像的绘制与分析- 函数应用的问题解决5. 统计与概率- 数据的收集与整理- 统计指标的计算与分析- 概率的基本概念与计算- 统计与概率在现实问题中的应用使用方法本教程提供全面而简洁的教学材料，学生可以按照教程的顺序逐章研究，确保掌握每个章节的内容。
每个章节还包括了练题和答案，以便学生巩固所学知识并进行自我评估。
结语通过本教程的研究，初中毕业生将能够充分准备好高中数学研究的挑战。
这将为他们未来的学业和职业发展打下坚实的基础。
同时，本教程也欢迎教师和家长的参与，以促进学生的研究效果和兴趣培养。
*注意：本教程的内容旨在提供数学学习的指导，因此不涉及复杂的法律问题和不可确认的引用内容。
请学生、教师和家长在使用本教程时，务必遵守当地教育政策和规定。
*。
初高中数学衔接教材8.doc
3．3圆3．3．1 直线与圆，圆与圆的位置关系设有直线l 和圆心为O 且半径为r 的圆，怎样判断直线l 和圆O 的位置关系？观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离d r >时，直线和圆相离，如圆O 与直线1l ；当圆心到直线的距离d r =时，直线和圆相切，如圆O 与直线2l ；当圆心到直线的距离d r <时，直线和圆相交，如圆O 与直线3l .在直线与圆相交时，设两个交点分别为A 、B .若直线经过圆心，则AB 为直径；若直线不经过圆心，如图3.3-2，连结圆心O 和弦AB 的中点M 的线段OM 垂直于这条弦AB .且在Rt OMA V 中，OA 为圆的半径r ，OM 为圆心到直线的距离d ，MA 为弦长AB 的一半，根据勾股定理，有222()2AB r d -=.当直线与圆相切时，如图3.3-3，,PA PB 为圆O 的切线，可得P A P B =，.OA PA ⊥，且在R t P O A 中，222P O P A O A =+. 如图3.3-4，PT 为圆O 的切线，PAB 为圆O 的割线，我们可以证得PAT PTB ，因而2PT PA PB =⋅.例1 如图3.3-5，已知⊙O 的半径OB =5cm ，弦AB =6cm ，D 是AB 的中点，求弦BD 的长度。
图3.3-1 图3.3-2 图3.3-3图3.3-4解 连结OD ，交AB 于点E 。
,BD AD O =是圆心，1,3.2OD B BE AE AB cm ∴⊥=== 在Rt BOE 中，OB =5cm,BE=3cm,4.OE cm ∴==5,1.OD cm DE cm =∴= 在Rt BDE 中，BE =3cm,DE=1cm,.BD ∴=例 2 已知圆的两条平行弦的长度分别为6和，且这两条线的距离为3.求这个圆的半径.解 设圆的半径为r ，分两种情况（如图3.3-6）：（1） 若O 在两条平行线的外侧，如图（1），AB =6，CD=则由3OM ON -=，3，解得5r =.（2）若O 在两条平行线的内侧（含线上），AB =6，CD=则由3OM ON +=3，无解.综合得，圆的半径为5.设圆1O 与圆2O 半径分别为,()R r R r ≥，它们可能有哪几种位置关系？观察图3.3-7，两圆的圆心距为12O O ，不难发现：当12O O R r =-时，两圆相图3.3-5图3.3-6图3.3-7内切，如图（1）；当12O O R r =+时，两圆相外切，如图（2）；当12O O R r <-时，两圆相内含，如图（3）；当12R r O O R r -≤≤+时，两圆相交，如图（4）；当12O O R r >+时，两圆相外切，如图（5）.例3 设圆1O 与圆2O 的半径分别为3和2，124O O =，,A B 为两圆的交点，试求两圆的公共弦AB 的长度.解 连AB 交12O O 于C ，则12O O AB ⊥，且C 为AB 的中点，设AC x =，则12O C O C ==124O O ==，解得8x =. 故弦AB的长为24x =.练习 11.如图3.3-9，⊙O 的半径为17cm ，弦AB =30cm ，AB 所对的劣弧和优弧的中点分别为D 、C ，求弦AC 和BD 的长。
初高中数学衔接
( （1）立方和公式： a b)(a ab b ) a b 2 2 3 3 ( （2）立方差公式： a b)(a ab b ) a b （3）三数和平方公式： 2 2 2 2 (a b c) a b c 2(ab bc ac) （4）两数和立方公式：
3．性质： a>0时，开口向上， x=-b/2a时，f(x)有最小值； a<0时，开口向下， x=-b/2a时，f(x)有最大值。
二次函数三个参数作用： a：表明抛物线的开口； b：连同a确定抛物线的对称轴； c：与y轴交点的纵坐标．
4．作图：(1)列表描点连线，(2)图形变换；
5．求函数表达式的常用方法：待定系数法。
初高中数学衔接
几何图形知识要点：
重心定理：△ABC中，中线AD，BE交于 点G，则AG=2GD，BG=2GE。
射影定理： Rt△ABC中，∠C=90°，CD为AB上的高。 CD2 = AD × DB AC2 = AD × AB BC2 = BD × AB
三角形内角平分线性质： △ABC中，AD为角BAC平分线，则 BD/DC=AB/AC；
含绝对值的不等式： 1、|x|>a (a>0)的解集是x>a或x<–a； |x|<a (a>0)的解集是–a<x<a。 2、|ax+b|>c (c>0)的解集是ax+b>c或 ax+b<–c，据此再求出原不等式的解集； |ax+b|<c (c>0)的解集是–c<ax+b<c，据 此再求出原不等式的解集．
c x1·2 = x a
3．一元二次不等式与一元二次函数和一元 二次方程有着密切的关系。
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初高中衔接教材编排第一部分相交线1 角的定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。
表示方法符号：∠两条相交线出现四个角2 余角和补角：两角之和为90°则两角互为余角，两角之和为180°则两角互为补角。
等角的余角相等，等角的补角相等3 对顶角的定义如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线, 且这两个角有公共顶点, 那么这两个角是对顶角如图 1，两条直线相交，构成两对对顶角。
∠ 1 与∠ 3 为一对对顶角，∠ 2 与∠ 4 为一对对顶角。
图1注意：1.对顶角一定相等，但是相等的角不一定是对顶角。
2.对顶角必须有共同顶点。
3.对顶角是成对出现的。
在证明过程中使用对顶角的性质时，以图 1 为例，∴∠ 1=∠ 3，∠ 2=∠ 4( 对顶角相等 ) 。
4 同位角，内错角，同旁内角同位角：两条直线被第三条直线所截, 在截线的同旁, 被截两直线的同一方, 我们把这种位置关系的角称为同位角. 互为同位角的有：∠ 1 与∠ 5, ∠ 2 与∠ 6, ∠ 4 与∠ 8, ∠3 与∠ 7；内错角：两条直线被第三条直线所截, 两个角分别在截线的两侧, 且夹在两条被截直线之间, 具有这样位置关系的一对角叫做内错角. 互为内错角的有：∠ 3 与∠ 5, ∠ 2 与∠ 8同旁内角：两条直线被第三条直线所截, 在两条直线之间, 并在第三条直线同旁的两个角称为同旁内角. 互为同旁内角的有：∠ 3 与∠ 8, ∠ 2 与∠ 5例题【基础题】请找出图中的同位角，内错角，同旁内角例题、【基础题】如图，O是直线 AB一点，∠ BOD=∠ COE=90o，则（ 1）如果∠ 1=30o，那么∠ 2=，∠ 3=。
（2）和∠ 1 互为余角的有。
和∠ 1 相等的角有。
例题【基础】 32o的余角为，137o的补角是。
第二部分平行线1．定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.2．特征在同一平面内【必须满足，这是一个难点】不相交说明强调在一个平面内，是因为高中的时候会出现一条线和一个面，那么这个时候存在着的有些直线不平行的问题，这个有点难理解。
3．表示方法我们通常用‘／／’表示平行比如直线AB 同一平面内两条直线的关系有两种，平相交的情况包括垂直 . 两条直线的夹角为 90 度，就称这两条直线垂直BA垂线的性质经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线最短。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线的长度。
5.平行线的画法工具：直尺，三角板6. 平行公理，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.【推论】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行平行于同一直线的两条直线平行7．平行线的三个性质性质一：两条直线被第三条直线所截，同位角相等简称两直线平行，同位角相等性质二：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等简称两直线平行，内错角相等性质三：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补【相加为180 度】简称两直线互补，同旁内角互补。
【基础题】【基础题】例题【基础题】判断对错在同一平面内两条平行线有且只有一个交点（错）两直线的位置只有相交和平行（错）练习 1. 【基础题】在同一平面内，与已知直线m平行的直线有条，而经过直线m外一点，与已知直线平行的直线有条。
练习 2. 【基础题】已知AB∥CD,CD∥ EF，则 AB∥ EF 根据是。
练习 3. 【基础题】在同一平面内，两条直线的位置关系可能有（）A 两种 : 平行或相交 ;B 、两种 : 平行或垂直；C、三种 : 平行、垂直、相交；D、两种 : 垂直或相交练习 4. 【基础题】已知直线AB 及一点 P，若过 P 点作一直线与AB平行，那么这样的直线（）A、有且只有一条；B、有两条； C 、不存在； D 、不存在或只有一条例题 [ 基础题 ] 如图（ 1），直线 a,b 被直线 c 所截，若∠ 1+∠ 3=180°，则∥。
四边形的内角和是360 度，五边形的内角和是540 度。
n 变形的内角和是180（ n-2 ）在△ ABC中，∠ A+∠ B+∠C=180°.和内角相邻互补的三个角叫做外角。
由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做该三角形的外角.三角形的三个外角之和为360 度。
与三角形的每个内角相邻的外角分别有2个，他们的大小相等，互为对顶角.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和2、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.【基础题】例题【基础题】如图（1）△ BCD的外角是 _____.（2）∠ 2 既是 ______的内角，又是 ______ 的外角 .三角形边的性质三角形两边之和大于第三边三角形两边之和小于第三边根据这个性质我们可以判断三边是否可以构成三角形做题步骤： 1. 先找出最长的一条边2.然后最长边和其他两边的和相比3.如果最长边小于其他两边的和，那么可以组成，如果大于或者等于，则不行。
第三部分三角形例题【基础题】判断下列是否可以构成三角形，并说明理由1.定义：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形三角形的三条边，三个顶点，三个内角三角形的表示方法，可以用符号△ABC来表示三角形的三个内角之和是180 度。
（1）a=, b=3cm, c=5cm ；（2）e=, f=, g=.例题【基础题】由下列长度的三条线段能组成三角形吗?请说明理由 .（1）3，8，10；（2）5，2，7；（3）5，5，11；（4）13，12，20.例题【基础题】现有 4 根木棒 , 长度分别为 12, 10, 8, 4,选择其中3根组成三角形,则能组成三角形的个数是 ( c ).例题【基础题】如图，在△ ABC中，∠ A=45°，∠ B=30°，求∠ C的度数 .例题【基础题】、在△ ABC 中，∠ A=45°，∠ B= 2 ∠ C，求∠ B, ∠ C的度数 .根据三角形内角的大小分为三类锐角三角形【三个角全是锐角】直角三角形【有一个角是直角】钝角三角形【有一个角是钝角】说明我们平时使用的三角尺有两个，是特别的三角形，一个是两个角都是45 度的直角三角形第二个是一个角为30 度，一个角为60 度的直角三角形。
三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，连接这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线。
定理 1角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
三角形的高线从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高。
锐角三角形：从一个顶点向该顶点的对边做垂线；直角三角形的直角边是直角三角形的高，直角顶点向斜边做垂线为斜边高；钝角三角形钝角顶点向对边做垂线为该边的高，锐角向对边外延长线做垂线为该边的高。
三角形的垂心：三角形的三条高或其延长线相交于一点，这点称为三角形的垂心若AD是△ ABC的高，则① AD⊥ BC于 D ②∠ ADC=90°或∠ ADB=90°三角形的面积三角形面积是指一个三角形通过测量和计算而得的平面面积三角形面积（面积 =底×高÷ 2。
其中， a 是三角形的底， h 是底所对应的高）注释：三边均可为底，应理解为：三边与之对应的高的积的一半是三角形的面积。
这是面积法求线段长度的基础。
三角形的边平分线三角形顶点到对应边中点的连线叫做三角形的边平分线，一个三角形有三条边平分线，三条边平分线的交点叫做三角形的重心。
三角形的外心三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心全等三角形全等形能够完全重合的图形，叫做全等形说明，他们的形状形同，大小相同。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形说明必须满足大小相同全等三角形的各个元素对应顶点当两个全等三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点对应边互相重合的边对应角互相重合的角表示方法例如△ ACD≌△ BDC性质 1 全等三角形的对应边相等，对应角相等判定方法 1【简称角边角， ASA】如果一个三角形的两个角及其夹边分别与另一个三角形的两个角及其夹相等，那么这两个三角形全等判定方法 2【简称角角边或 AAS】如果一个三角形的两个角及其中一角的对边分别与另一个三角形的两个中一角的对边对应相等对应相等，那么这两个三角形全等判定方法 3【边角边或者 SAS】如果一个三角形的两条边及其夹角分别与另一个三角形的两条边及其夹相等，那么这两个三角形全等判定方法 4 【简称边边边或SSS】如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应相等，个三角形全等。
【基础题】三角形内的勾股定理，等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形相似三角形如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角分别对应相等，并且他们的对应边成比例，形叫做相似三角形【形状相同，大小不同，对应边成比例】相似三角形的元素对应角对应顶点对应边表示方法，例如△ABC∽△ A‘B’C‘判定方法 1 如果一个三角形的两个角分别与两一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
判定方法 2 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个形相似。
判定方法 3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
推论一两个相似三角形对应高的比等于它们对应边的比推论二两个相似三角形面积的比等于它们对应边的比的平方。
第四部分平行四边形1 定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形四条边，两组对角，两条对角线2 性质定理 1 平行四边形的对边相等定理 2 平行四边形的对角相等定理 3 平行四边形的对角线互相平分两条平行线之间的距离叫做平行四边形的高平行四边的面积等于高乘以垂直的边3 判定定理 1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定定理 2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形定理 4 两组对边分别互相平行的四边形是平行四边形4特殊的平行四边形矩形有一个角是直角的平行四边形矩形的性质定理 1 矩形的四个角都是直角矩形性质定理 2 矩形的对角线相等推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推论：矩形的面积等于相邻边长的乘积矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形菱形：有一组邻边相等的平行四边形性质定理1：菱形的四条边都相等性质定理 2：菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角菱形的面积等于两条对角线乘积的一半判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形判定定理 2 ：对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形：一组邻边相等的矩形推论一有一个角是直角的菱形是正方形正方形的四个角相等，都是九十度，两条对角线相等，平分，且垂直。