中级质量专业理论与实务 第九讲 参数估计-点估计

第九讲 参数估计——点估计

一、考试要求

1.熟悉点估计的概念

2.掌握矩法估计方法

3.熟悉点估计优良性的标准

4.熟悉二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布参数的点估计

二、 内容讲解

第四节 参数估计

根据样本对总体进行推断是数理统计的核心，参数估计与假设检验是统计推断的两个基本内容。本节着重讨论参数估计问题。

这里所说的参数主要是指如下几类：

①分布中的未知参数，如二项分布b(n，p)中的p，正态分布中的，或。

②分布的均值E(x)、方差Var(x)等未知特征数。

③其他未知参数，如某事件的概率P(A)等。

上述未知参数都需要根据样本和参数的统计含义选择适宜的统计量并作出估计，这一统计推断过程通称为参数估计。未知参数通常用表示。

参数估计有两种基本形式：点估计与区间估计。

一、点估计

(一) 点估计的概念

设是总体的一个未知参数，记与总体对应的随机变量为X，从中抽取样本量为n的一个样本。根据这个样本，构造一个统计量，用来对进行估计，称为的点估计量。对一个具体的样本，可计算的一个具体的数值，称为的估计值。在本教材中，除讨论统计量的分布及性质外，不严格区分估计量及具体估计值，通称为估计。

(二)点估计优良性标准

点估计量是随所抽取的样本不同而不同的，它是一个随机变量。评价一个估计量的优劣不能从一个具体样本获得的估计值来评判，应该从多次使用中来评定。

对于一个特定的样本，估计值与的真值之间总是有偏差的，但由于未知，因此偏差也未知。但是我们可以通过多次抽样，对不同样本，不同的具体估计值，对实际偏差进行“平均”。当然这种平均不能直接进

行，因为有正有负，直接平均由于正负抵消反而不能反映误差。与以前对方差处理的方法相仿，用估计偏差的平方来代替，并对其求均值，于是用来表示估计量的优劣。这个量称为的均方误差，简记为MSE()，均方误差实际上是平均平方误差的意思。虽然由于是未知的，MSE()也并不是总能求得的。但是经过简单的推导，总有

MSE()=

。 (交叉乘积项为零)

(1.4-1)

(1.4-1)式中的第一项=表示的是的均值E（）与未知参数的差，称为偏倚；当=0时，也即：

E（）=或

时，称估计量是无偏的，否则称为有偏的。无偏性是表示估计量优良性的一个重要标准。只要有可能，应该尽可能选用无偏估计量，或近似无偏估计量。应该注意，使用无偏估计估计时，每次使用是有偏差的，只是多次使用时其平均偏差为零。

(1.4-1)式中的第二项表示的是对其均值E（）差的平方的均值，它是估计量的方差。对于无偏估计量，当然方差愈小愈好。方差愈小，称估计量更有效。有效性是判定估计量优良性的另一个标准。

(三) 求点估计的方法-一矩法估计

参数估计时，一个直观的思想是用样本均值作为总体均值的估计，用样本方差作为总体方差的估计等。由于均值与方差在统计学中统称为矩，总体均值与总体方差属于总体矩，样本均值与样本方差属于样本矩。因此上面的做法可用如下两句话概括：

(1)用样本矩去估计相应的总体矩。

(2)用样本矩的函数去估计相应总体矩的函数。

此种获得未知参数的点估计的方法称为矩法估计。

矩法估计简单而实用，所获得的估计量通常(尽管不总是如此)也有较好的性质。例如对任何总体，样本均值对总体均值的估计总是无偏的，样本方差对总体方差的估计也总是无偏的。但是应该注意到矩法估计不一定总是最有效的，而且有时估计也不惟一。

[例l.4-1] 从某厂生产的一批铆钉中随机抽取10个，测得其头部直径分别为：

13.30，13.38，13.40，13.43，13.32，13.48，13.34，

13.47，13.44，13.50

试求铆钉头部直径总体的均值与标准差的估计。

解：用矩法估计可得：

=0.0048771

注意：用样本标准差s来估计总体标准差，估计是有偏的。

(四)对几种分布参数的矩法估计的例子

[例1.4-2] 设样本来自参数为的指数分布，求的矩法估计。

解：指数分布中，E(X)=1／，所以=1／E(X)，用样本均值代E(X)，则得A的矩法估计为。

[例1.4-3] 设样本 来自参数为的泊松分布，由于E(X)=，

Var(X)=，因此与都可以作为的矩法估计，因此的估计不惟一。遇到这种情况时，常选用低阶矩作为参数的矩法估计。均值是一阶矩，方差是二阶矩，故在泊松分布场合，选用样本均值作为的估计。即。

[例1.4-4] 设样本来自两点分布，即n＝1的二项分布。两点分布只能取0或1两个值，其中“0”表示失败，“1”表示成功，从而样本均值为：

另一方面，两点分布的总体均值是成功概率。按矩法估计的思想，可得p的矩法估计：，即用成功的频率去估计概率。

[例1.4-5] 设样本来自均匀分布。其均值为，方差为，由矩法估计的思想可列出如下两个方程：

解之可得与的矩法估计：

例如，从均匀分布随机抽取一个样本量为5的样本：

4.7,4.0,4.5,4.2,

5.0。计算得，从而可得与的矩法估计为：

(五)正态总体参数的估计

设是来自正态总体的一个样本，参数，和常用的无偏估计分述如下。

正态均值的无偏估计有两个，一个是样本均值，另一个是样本中位数，即：

其中为有序样本，当样本量n为l或2时，这两个无偏估计相同。当n≥3时，它们一般不同，但总有：

Var() ≤ Var()

这意味着，对正态均值来说，样本均值总比样本中位数更有效。因此在实际应用中，应优先选用样本均值去估计正态均值。有时在统计工作现场，为了简便和快捷，选用样本中位数去估计正态均值也是有的，如统计过程控制(见第四章)中的中位数图就是如此。

(2)正态方差的无偏估计常用的只有一个，就是样本方差，即：

理论研究表明，在所有无偏估计中它是最有效的。

(3)正态标准差的无偏估计也有两个，一个是对样本极差进行修偏而得，另一个是对样本标准差s进行修偏而得，具体是：

其中与是只与样本量n有关的常数，其部分值列于表1.4-1，更详细的表参见第四章的表4.2-2。

表1.4-1 修偏系数与的数值表

n2345678910

1.128 1.693

2.059 2.326 2.534 2.704 2.847 2.970

3.078

0.7980.8860.9210.9400.9520.9590.9650.9690.973

当n=2时，上述两个无偏估计相同；当n≥3时，它们不同，但总有：

[例1.4-6] 把钢材弯曲成钢夹，其间隙大小是一个质量特性，现随机从生产线上取5只钢夹，测其间隙，得数据如下：

0.75 , 0.70 , 0.65 , 0.70 , 0.65

已知钢夹间隙X服从正态分布，要对和做出估计。

用样本均值和样本方差分别做出与的估计：

作为标准差的估计选用，其值为：

也可选用：

在本例中两者相差不大。