中级质量专业理论与实务 第九讲 参数估计-点估计
参数估计知识点
参数估计知识点一、知识概述《参数估计》①基本定义：简单说，参数估计就是通过样本数据去猜总体的一些参数。
比如说，想知道全校学生的平均身高，不可能一个一个去量，那就找一部分学生（样本）量出他们的身高，然后根据这部分学生的身高数据来推测全校学生（总体）的平均身高，这个推测的过程就是参数估计。
②重要程度：在统计学里那可相当重要。
就像要了解一个大群体的情况，直接研究整体往往很难，通过参数估计从样本推测整体的情况就变得可行而且高效。
无论是搞市场调查，还是科学研究，这个工具相当好使。
③前置知识：得有点基本的数学知识，像平均数、方差这些概念要能明白，还得对抽样有点概念，知道怎么从一个大群体里抽取样本出来。
④应用价值：在各种实际场景里都有用。
比如企业想了解消费者对产品的满意度，不可能访谈每个消费者，抽样一部分做参数估计就好了。
还有估算农作物亩产量之类的，都可以用到。
二、知识体系①知识图谱：在统计学里，参数估计是推断统计的一部分，是和假设检验等方法相互联系的。
推断统计主要就是根据样本信息推断总体特征，而参数估计是其中很核心的一部分。
②关联知识：和抽样分布密切相关啊。
抽样分布是参数估计的理论基础，如果不知道抽样分布，那参数估计就像无根之木。
还和概率相关，毕竟在样本中各种数值出现是有概率的。
③重难点分析：掌握难度嘛，开始会觉得有点抽象。
关键在于理解样本和总体之间的关系，以及怎么根据不同的条件选择合适的估计方法。
④考点分析：在统计学考试里常考。
考查方式有直接给样本数据让进行参数估计，或者结合其他知识点，像给出抽样分布然后问参数估计的结果之类的。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：参数估计就是根据样本统计量去估计总体参数。
总体参数就是描述总体特征的数值，像总体均值、方差之类的。
样本统计量就是从样本里计算出来的值，比如说样本均值、样本方差等。
②特征分析：不确定性算一个特点吧。
毕竟样本不是总体，根据样本做的估计不可能完全精准。
参数估计知识点总结
参数估计知识点总结一、参数估计的基本概念参数估计是统计学中的一个重要问题，它是指从样本数据中估计总体参数的值。
在实际问题中，我们往往对总体的某个特征感兴趣，比如总体的均值、方差等，而这些特征通常是未知的。
参数估计就是利用样本数据来估计这些未知的总体参数值的方法。
在参数估计中，有两种主要的估计方法：点估计和区间估计。
点估计是指利用样本数据来估计总体参数的一个具体值，它通常用一个统计量来表示。
而区间估计则是利用样本数据来估计总体参数的一个区间范围，通常用一个区间来表示。
二、点估计点估计是参数估计中的一种方法，它是利用样本数据来估计总体参数的一个具体值。
在点估计中，我们通常使用一个统计量来表示参数的估计值，这个统计量通常是样本数据的函数。
1. 无偏估计无偏估计是指估计量的期望值等于所估计的总体参数的真实值。
对于一个无偏估计而言，平均来说，估计值和真实值是相等的。
无偏估计是统计学中一个很重要的性质，在实际问题中，我们希望能够得到一个无偏估计。
2. 一致估计一致估计是指当样本大小趋于无穷时，估计量收敛于真实参数的概率接近于1。
一致性是估计量的另一个重要性质，它保证了在样本较大的情况下，估计值能够越来越接近真实值。
3. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它是利用样本数据来选择最有可能产生观测数据的参数值。
最大似然估计的原理是选择一个参数值，使得样本数据出现的概率最大。
最大似然估计的优点在于它的统计性质良好，且通常具有较好的渐近性质。
4. 贝叶斯估计贝叶斯估计是另一种常用的参数估计方法，它是基于贝叶斯定理的一种参数估计方法。
贝叶斯估计将参数视为随机变量，通过引入先验分布和后验分布来对参数进行估计。
贝叶斯估计的优点在于它能够利用先验知识对参数进行更为准确的估计。
三、区间估计区间估计是另一种常用的参数估计方法，它是利用样本数据来估计总体参数的一个区间范围。
区间估计的优点在于它能够提供参数值的估计范围，同时也能够反映估计的不确定性。
参数的点估计及区间估计
参数的点估计及区间估计点估计的基本思想是根据样本数据，通过统计量来估计总体参数的值。
常用的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是找到一个参数值，使得样本观察值的概率最大。
矩估计是根据样本矩的性质来估计总体参数的值。
例如，如果总体服从正态分布，那么样本均值和样本方差就是总体均值和总体方差的估计量。
区间估计的基本思想是给出一个区间，使得总体参数落在该区间内的概率达到一定的置信水平。
在区间估计中，置信水平通常是根据统计学的理论设定的，常见的有95%和99%置信水平。
区间估计的计算方法主要有正态分布法和t分布法。
正态分布法适用于大样本情况下，而t分布法适用于小样本情况下。
对于点估计，我们需要考虑估计量的偏倚和方差。
偏倚表示估计量的期望值与总体参数的真实值之间的差异。
如果估计量的期望值与总体参数的真实值之间没有差异，就称为无偏估计；否则，就称为有偏估计。
方差表示估计量的离散程度。
我们通常希望找到无偏估计，并且方差越小越好。
对于区间估计，我们需要考虑置信水平和置信区间的宽度。
置信区间的宽度越小，说明估计的精度越高。
但是，要得到一个狭窄的置信区间就需要使用更大的样本量，或者降低置信水平。
在进行区间估计时，需要根据具体需求平衡估计的精度和置信水平。
在实际应用中，点估计和区间估计通常是一起使用的。
点估计提供了一个具体的估计值，而区间估计提供了一个参数值可能的范围。
通过点估计和区间估计，我们可以对总体参数进行合理的估计，并且给出估计的精度和可靠性的度量。
总之，参数的点估计和区间估计是统计学中常用的两种估计方法。
点估计通过选择适当的统计量来估计总体参数的值，而区间估计通过给出参数值可能的范围来表示估计的不确定性。
点估计和区间估计是统计学中重要的概念，对于数据分析和决策制定具有重要的指导意义。
点估计概述
(1) 无偏性 衡量统计量的好坏，有三条标准： (2) 有效性 (3) 相合性(一致性) 这里我们重点介绍前面两个标准 .
二、点估计的无偏性与有效性 ˆ ) ， 1．无偏性 若 E (
ˆ是的无偏估计量 则称 . 定义的合理性 我们不可能要求每一次由样本得到的估计值与真值 都相等，但可以要求这些估计值的均值与真值相等.
例8 设总体 X 的均值 和方差 都存在, 且有
2
2 0, 但 和 2 均为未知, 又设 X 1 , X 2 ,, X n 是
一个样本, 求 和 2 的矩估计量. 解 1. EX ,EX 2 DX [ EX ]2 2 2 , X X 2.令 2 解得 2 2 2 2 2 X X ( X )
ab a b (a b) 2 2 , EX DX ( EX ) 解 1. EX 2 12 2 a b 2 X a b 2 X 2.令 即 2 2 2 2 (a b) a b X 2 b a 12 [ X ( X ) ] 12 2
49 1 9 1 )DX DX D( ˆ 2 ) ( 故 ˆ 3最有效. 72 9 16 144 7 1 1 1 27 DX ，D( ˆ 4 ) DX . D( ˆ 3 ) ( ) DX 18 4 9 36 50
1 无偏估计量 才可讨论有效性.
0
1 2 期望的点估计： X Xi n i 1 在无偏估计量中 X 最有效、 X也为相合估计量 .
2
2
解得 a X 3[ X 2 ( X )2 ] ，b X 3[ X 2 ( X )2 ]
参数估计之点估计和区间估计
作者 | CDA数据分析师参数估计（parameter estimation）是根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数的方法。
人们常常需要根据手中的数据，分析或推断数据反映的本质规律。
即根据样本数据如何选择统计量去推断总体的分布或数字特征等。
统计推断是数理统计研究的核心问题。
所谓统计推断是指根据样本对总体分布或分布的数字特征等作出合理的推断。
它是统计推断的一种基本形式，分为点估计和区间估计两部分。
一、点估计点估计是依据样本估计总体分布中所含的未知参数或未知参数的函数。
简单的来说，指直接以样本指标来估计总体指标，也叫定值估计。
通常它们是总体的某个特征值，如数学期望、方差和相关系数等。
点估计问题就是要构造一个只依赖于样本的量，作为未知参数或未知参数的函数的估计值。
构造点估计常用的方法是：①矩估计法，用样本矩估计总体矩②最大似然估计法。
利用样本分布密度构造似然函数来求出参数的最大似然估计。
③最小二乘法。
主要用于线性统计模型中的参数估计问题。
④贝叶斯估计法。
可以用来估计未知参数的估计量很多，于是产生了怎样选择一个优良估计量的问题。
首先必须对优良性定出准则，这种准则是不唯一的，可以根据实际问题和理论研究的方便进行选择。
优良性准则有两大类：一类是小样本准则，即在样本大小固定时的优良性准则；另一类是大样本准则，即在样本大小趋于无穷时的优良性准则。
最重要的小样本优良性准则是无偏性及与此相关的一致最小方差无偏估计，其次有容许性准则，最小化最大准则，最优同变准则等。
大样本优良性准则有相合性、最优渐近正态估计和渐近有效估计等。
下面介绍一下最常用的矩估计法和最大似然估计法。
1、矩估计法矩估计法也称“矩法估计”，就是利用样本矩来估计总体中相应的参数。
它是由英国统计学家皮尔逊Pearson于1894年提出的，也是最古老的一种估计法之一。
对于随机变量来说，矩是其最广泛，最常用的数字特征，主要有中心矩和原点矩。
由辛钦大数定律知，简单随机样本的原点矩依概率收敛到相应的总体原点矩，这就启发我们想到用样本矩替换总体矩，进而找出未知参数的估计，基于这种思想求估计量的方法称为矩法。
参数的点估计及区间估计
2
1
n i 1
Xi 2X .
n
二、 极大似然估计法 是在总体类型已知的条件下使用的一种参数 估计方法 . 其基本思想是概率最大的事件最可能发生 .
例如: 某位同学与一位猎人一起外出打猎 .一只野兔 从前方窜过 . 只听一声枪响，野兔应声倒下 . 是谁打中的呢？
你很自然地想到: 只发一枪便打中, 猎人命中的 概率一般大于这位同学命中的概率. 这一枪应该 是猎人射中的 .
似然函数 L(a , b )
f ( xi ; a , b )
i 1
n 1 ( b a ) , a x1 , x2 ,, xn b, 0 , 其它.
利用求导方法无法确定未知参数的极大似然估计,
由 L (a, b) 的表达式知: 若 b −a 取最小, 则 L (a, b) 达到最大, 故得 a min { xi } ,
1 n xi x . n i 1
有时用求导方法无法最终确定未知参数的 极大似然估计, 此时用极大似然原则来求 .
例: 设总体 X ~ U [a, b] , ( x1 , x2 ,…, xn ) 为一样本值,
求 a, b 的极大似然估计.
1 (b a ) , a x b, 解: X 的概率密度 f ( x; a , b) 0 , 其它. n
同样是无偏估计量, 有的取值较集中, 有的 取值较分散. 自然是: 取值越集中的越好. 由此 引入了有效性这个标准 . 估计量与样本容量有关, 我们希望: 随着样 本容量的无限增大, 估计量与被估计量任意接近 的可能性越来越大. 由此引入了一致性这个标准.
无偏性: 若 E ( ) , 则称 是 的无偏估计. 有效性: 若 1 及 2 都是 的无偏估计, 且 D( 1 ) D( 2 ) , 则称 1 较 2 有效. 一致性: 若对 0, 有 lim P {| | } 1 , 则称 是 的一致估计.
参数的点估计.ppt
证毕. 返回
退出
例2-3 设 X1, X2 , X3 , X4 是总体 X 容量为4 的样本．则总体均
值的以下无偏估计中, 最有效的点估计量是
(B )
A.
1 3
X1
1 6
X
2
1 6
X
3
1 3
X
4
B.
1 4
X1
1 4
X2
1 4
X3
1 4
X4
4311
C. 9 X1 9 X2 9 X3 9 X4
故 aX1 b是X2总 c体X3期望 的无偏E(估X计) .
证毕.
返回
退出
例2-5 从总体 X 中抽得容量为n1, n2 的两样本. 以 X1, X 2 分别 记二者的样本均值. 试证明两系数 a 和 b 只要满足条件 a b 1 ,
则 Y aX1 就bX是2 总体均值μ的无偏估计;试确定系数 a 和 b 的大小, 可使方差 D(Y ) 取最小值.
退出
对概率分布中的未知参数, 若不能利用分布的归一性、随机变量的独立性、 特定取值概率间的特定联系等条件,对参数的具体大小进行确定, 那就不得不改从总体中抽取适度容量样本的方式、 通过对样本中所含的个体进行恰如其分的数学处理，来
直接猜测和推断参数的具体大小. 怎样的数学处理才叫恰如其分？怎样进行推断才令人可信？
,
D(Xi ) E2(Xi ) 2 2 , E(X 2) D(X ) E2(X )
12
n
2
,
∴ 1
E [
(S2)
n
(
1 n
2 2
[ 1i )
n
1
n
E( (1
X
参数点估计
例 1 设总体 X 服从参数为λ 的指数分布，其中参
数λ 未知， (X1, X2,, Xn) 是来自总体的一个样本，
求参数λ 的矩估计量.
解: 其概率密度函数为
f
(x,
)
e x
,
x0
0, x 0
总体X的期望为 E( X ) xexdx 1
0
从而得到方程
设 (x1, x2,, xn ) 为总体 X 的一个样本观察值,若似然函数
n
L(1 ,2 ,,k ) L( x1 , x2 ,, xk ;1 ,2 ,,k ) f ( xi ;1 ,2 ,,k ) i 1
将其取对数,然后对1,2 ,,k 求偏导数,得
ˆ1 X;
ˆ 2
1 2
X1
1 3
X2
1 6
X3;
ˆ3 X1
且ˆ1较ˆ2 , ˆ3都有效.
证明 显然有 E(ˆ1 ) E(ˆ2 ) E(ˆ3 ) 且 D(ˆ1 ) D( X ) D( X ) / 3
D(ˆ2 ) D( X1 / 2 X 2 / 3 X 3 / 6) 14D( X ) / 36
设总体的分布类型已知,但含有未知参数θ .设 (x1, x2 ,, xn ) 为总体 X 的一个样本观察值，若似然函数 L( ) 关于θ 可导. 令 d L( ) 0
d
解此方程得θ的极大似然估计值ˆ(x1, x2,, xn ) , 从而得到θ的极大似然估计量ˆ(X1, X2,, Xn) .
又由于 X1, X 2 ,, X n 相互独立且都服从泊松分布
于是有
E(ˆ1)
E(
X
参数的点估计
例2 设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本 其中 >0,
求 的最大似然估计值. 解 似然函数为
对数似然函数为
对数似然函数为 求导并令其为0
=0
从中解得
即为 的最大似然估计值 .
=0
得 即为 p 的最大似然估计值 . 从而 p 的最大似然估计量为
求最大似然估计的一般步骤是：
(1) 由总体分布导出样本的联合分布律(或联 合密度);
(2) 把样本联合分布律 ( 或联合密度 ) 中自变 量看成已知常数,而把参数 看作自变量,得到似然 函数L( );
(3) 求似然函数L( ) 的最大值点(常常转化为 求ln L( )的最大值点) ，即 的最大似然估计;
达到最大值的
称 为 的最大似然估计值 . 而相应的统计量 称为 的最大似然估计量 .
说明： 求似然函数L( ) 的最大值点，可以应用 微积分中的技巧。由于ln(x)是 x 的增函数, lnL( ) 与L( )在 的同一值处达到它的最大值，假定 是一实数，且lnL( )是 的一个可微函数。通过 求解方程：
(4) 在最大值点的表达式中, 用样本值代入就 得参数的最大似然估计值 .
例6 设总体 X ~N( ) , 未知 . 是来自 X 的样本值 , 试求 的最大似然估计量 .
解 X 的概率密度为
似然函数为
于是
(2π)n 2(σ 2 )n 2 exp[ 1 n
2σ 2 i1
( xi μ)2]
LnL n ln(2π) n ln σ2 1
这里我们主要介绍前面两种方法 .
1. 矩估计法
矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊 最早提出来的 . 由辛钦大数定律 ,
若总体 的数学期望
参数估计中点估计常见方法
参数估计中点估计常见方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊参数估计里点估计的那些常见方法。
这
可重要着呢，就像咱生活中找路一样，得有合适的办法才能找到正确
的方向呀！
先来说说矩估计法。
这就好比是搭积木，咱通过一些已知的“积木块”来推测整体的形状。
它利用样本矩来估计总体矩，从而得到参数的
估计值。
你想想，这多有意思呀，就像从一些小细节里能看出大乾坤
一样！
还有极大似然估计法。
这就好像侦探破案，根据现场留下的蛛丝马
迹来推断最有可能的情况。
我们根据样本出现的概率，去找到让这个
概率最大的参数值，那这很可能就是我们要找的“真相”啦！
咱再打个比方，矩估计法像是拼图，从局部慢慢拼成整体；而极大
似然估计法呢，就像是寻宝藏，在众多可能性中找到最有可能藏着宝
贝的地方。
那这两种方法有啥优缺点呢？矩估计法简单直接，但有时候可能不
够精确；极大似然估计法呢，往往更能抓住关键，但计算可能会稍微
复杂点。
这就跟咱走路一样，有的路近但不好走，有的路远但平坦呀！
在实际应用中，咱得根据具体情况来选择合适的方法。
可不能瞎用哦，不然就像闭着眼睛走路，那不得撞墙上呀！咱得根据数据的特点、问题的需求来灵活运用。
比如说，要是数据比较简单，矩估计法可能就挺好用；要是数据很复杂，那极大似然估计法说不定能发挥大作用呢！这就跟咱挑工具干活似的，得选对了工具才能干得又快又好呀！
总之呢，参数估计中点估计的常见方法就像是我们手里的武器，我们得了解它们的特点和用途，才能在面对各种问题时游刃有余呀！大家可得好好记住这些方法，说不定啥时候就能派上大用场呢！可别小瞧了它们哦！。
点估计知识点总结
点估计知识点总结在进行点估计时，我们通常会使用样本数据来估计总体参数的值。
在这个过程中，我们会选择一个适当的统计量作为总体参数的估计值。
常见的统计量包括样本均值、样本方差、样本比例等。
我们可以根据这些统计量来估计总体参数的值，并计算出相应的置信区间，以及估计的标准误差等。
点估计的核心是选择一个合适的统计量作为总体参数的估计值。
在选择统计量时，我们通常会考虑其无偏性、一致性和有效性等性质。
一个好的估计量应该是无偏的，即其期望值等于总体参数的真实值。
此外，这个估计量应该是一致的，即当样本容量增大时，估计值应该接近总体参数的真实值。
最后，一个好的估计量应该是有效的，即其方差应该尽可能小。
在选择统计量时，我们通常会考虑这些性质，并选择一个合适的统计量作为总体参数的估计值。
在进行点估计时，我们通常会计算出估计值的置信区间。
置信区间可以帮助我们对估计值的精确性进行评估。
常见的置信区间包括双侧置信区间和单侧置信区间。
双侧置信区间可以帮助我们对总体参数的值进行双边估计，而单侧置信区间则可以帮助我们对总体参数的值进行单边估计。
在计算置信区间时，我们通常会使用统计量的抽样分布来进行计算，以此来评估估计值的精确性。
此外，在进行点估计时，我们还会计算出估计的标准误差。
标准误差可以帮助我们评估估计值的精确性，其值越小表示估计值越精确。
在计算标准误差时，我们通常会使用统计量的标准差来进行计算，以此来评估估计值的精确性。
点估计是统计学中的一个重要概念，它可以帮助我们对总体参数进行估计并做出相应的推断。
在进行点估计时，我们通常会选择一个适当的统计量作为总体参数的估计值，并计算出相应的置信区间和标准误差等。
通过点估计，我们可以对总体参数进行估计，并进行相应的推断，这对于统计学的应用具有重要的意义。
点估计就是以样本的实际值作为相应总体参数的估计值
点估计就是以样本的实际值作为相应总体参数的估计值点估计是统计分析中最基本的估计方法，它通过利用样本信息，给出一个近似总体参数的值，即“点”估计值，来代表总体参数的真实值。
点估计技术是统计学中最简单、最常用的估计方法，它可以帮助统计学者在不了解总体的全部情况下，利用抽样的结果来估计总体的参数。
以及统计学的发展史来看，点估计是统计学的重要组成部分，它是统计学的基础性工具，是估计总体参数的一种有效的方法。
点估计的任务是用几何方法把样本信息估计为参数估计值，以满足数学和统计上的需要。
点估计有几种不同的方法，其中最基本的方法就是简单点估计。
简单点估计是最常用的点估计方法，它使用样本信息中的某项数据来估计总体的参数。
简单点估计的主要思想是，用样本的实际值最优地估计总体的参数。
即简单点估计值就是样本的实际值。
这一估计方法的优势是简单易行，计算速度快，可以获得比较精确的估计结果。
简单点估计方法也有一定的局限性，它往往不能处理复杂的情况，而且也不能让使用者了解估计可能出现的误差情况。
在统计分析中，点估计方法有很多种，其中最常用的有最大似然估计、最小二乘法估计和贝叶斯估计等。
最大似然估计用于估计不确定参数的最可能取值，而最小二乘法估计则用于估计抽样误差较小的参数。
贝叶斯估计则是一种使用经验贝叶斯方程的方法，可以用来估计在小样本情况下的总体参数。
点估计的主要任务是对未知总体参数的估计，而其本质是帮助统计学者在缺乏完整总体信息的情况下，根据样本数据获得总体参数的估计值。
因此，点估计技术在统计分析中非常重要，它可以帮助研究者探索现实世界中有关总体参数的问题。
总之，点估计是一种可以帮助统计学者在不具备完整总体信息的情况下，利用抽样结果对总体参数进行估计的方法。
点估计方法以样本的实际值作为相应总体参数的估计值，不管是简单点估计还是最大似然估计，最小二乘法估计或贝叶斯估计，它们都有一个共同的目标，就是尽可能使估计值接近真实值。
第九章 参数估计
第九章参数估计参数估计，通俗地说，就是根据抽样结果来合理地、科学地估计总体的参数很可能是什么？或者在什么范围。
点估计：根据样本数据算出一个单一的估计值，用来估计总体的参数值。
区间估计：计算抽样平均误差，指出估计的可信程度，进而在点估计的基础上，确定总体参数的所在范围或区间。
第一节点估计点估计：点值估计，是以一个最适当的样本统计值来代表总体参数值。
估计量如果具有无偏性、一致性和有效性，就可以认为这种统计量是总体参数的合理估计或最佳估计。
一、求点估计值的标准无偏性：要求统计量抽样分布的均值恰好等于被估计的参数之值。
比如，中心极限定理告诉我们，样本均值抽样分布的均值恰好等于总体均值，因此用样本均值估计总体均值就满足这个标准。
有效性：要求估计值的抽样分布有较小的分散性，即选择抽样分布的标准差较小的统计量作为估计量。
一致性：要求统计量随着样本容量n的增大以更大的概率接近被估计参数。
二、点估计值的计算1. 总体均值的点估计2. 总体方差的点估计值在统计学中，常常用符号“” 来表示无偏估计量。
数学上可以证明，对于随机样本而言， 才是总体方差 的无偏估计量，它称为修正样本方差 。
[例]研究者要调查某社区居民家庭收入分布的差异情况，现随机抽查了10户，得到样本方差为＝200(元2)。
试以此资料估计总体家庭收入分布的差异情况。
[解] 因为样本容量较小，宜用修正样本方差作为总体方差点估计量。
即＝＝＝222.2第二节 区间估计区间估计的任务是，在点估计值的两侧设置一个区间，使得总体参数被估计到的概率大大增加。
可靠性和精确性(即信度和效度)在区间估计中是相互矛盾的两个方面。
一、有关区间估计的几个概念1. 置信区间：区间估计是求所谓置信区间的方法。
置信区间就是我们为了增加参数被估计到的信心而在点估计两边设置的估计区间。
2. 显著性水平α：用置信区间来估计的不可靠程度。
3. 置信度（水平）1-α：用置信区间估计的可靠性（把握度）4. 抽样平均误差与概率度 Z抽样平均误差：样本均值抽样分布的标准差。
中级质量工程师题库附答案
质量专业理论与实务（中级）一、单选[共5题, 每题1分, 总计5分]1.（）情况下会碰到超几何分布。
A. 在一定期间内或一定区域内或一特定单位内的前提下进行计点B. 从一个有限总体中进行不放回抽样C. 在反复进行某一实验D. 从进行次数无限大的不放回抽样实验2.改变直方图的形状可用（）方法。
A. 精确制图B. 改变组距C. 数据变换D. 组限变换3.以下关于F分布的说法错误的是（）。
A. F分布是两个样本方差比的分布B. F分布的分子的自由度称为分子自由度或第1自由度；分母的自由度称为分母自由度或第2自由度C．构成F分布的两个样本方差来自两个独立的正态总体, 它们的方差相等D. F分布的概率密度函数在整个轴上呈偏态分布4.现已知因子A有3个水平, 在实验中每一水平下进行了4次反复实验, 并求得因子与误差平方和分别为SA＝58.35, Se＝46.85。
在给定α=0.05的水平上因子A的显著性质为（）。
A. 显著的B. 不显著的C. 总是显著的D. 无法判断5.某厂生产白水泥, 对每一窑生产的水泥都需要测定其抗压强度, 以拟定水泥标号, 一般是将水泥出窑后做成的试块养护28天所测得的数据为准。
但是水泥不也许堆放28 天后再出厂, 所以考虑用7天的抗压强度x来预测28天的抗压强度y。
现在记录了26窑的数据, 求得如下结果:=24.177, =30.323, Lxx=41.566, Lxy=37.31, Lyy=65.686, α假定在显著性水平0.05上查表得到相关系数的临界值为0.388, F分布的临界值为4.26。
假如求得7天的抗压强度为26, 那么可以预测28天的抗压强度为（）。
A. 31.96B. 35.576C. 26.738D. 32.3546.在抽样检查中, 通常根据不合格的严重限度必要时将它们进行分类, A类不合格是指（）。
A. 关注限度低于A类和B类的一类不合格B. 认为关注限度比A类稍低的一种类型的不合格C. 认为最被关注的一种不合格D. 认为比较被关注的一种不合格7、已知n=3000的一批产品提交作外观检查, 采用(20, 1)的抽样方案, 当p=1%时, Pa为（）。
参数的点估计及区间估计
参数的点估计及区间估计1.点估计点估计是通过样本数据得出一个单一的数值作为参数的估计值。
常见的点估计方法有最大似然估计、矩估计等。
最大似然估计是通过寻找参数值，使得给定样本出现的可能性最大化，从而估计参数的值。
矩估计则是通过样本矩的估计值来估计参数的值。
点估计的优点是简单直观，计算方便，但它只给出了一个数值，无法反映参数估计的准确程度。
2.区间估计区间估计是通过样本数据得出一个区间，该区间内的值有一定概率包含着未知参数的真实值。
常见的区间估计方法有置信区间、预测区间等。
置信区间是通过样本数据得出一个区间，该区间内的值有一定程度的置信度来包含着未知参数的真实值。
预测区间是通过样本数据得出一个区间，该区间内的值有一定程度的置信度来包含着新的观测值。
区间估计的优点是可以反映参数估计的不确定性，给出了一个范围，但计算复杂，要求样本量较大。
对于点估计和区间估计，我们需要考虑一些概念和原则：1.无偏性：一个点估计量如果在大样本下的期望等于被估计参数的真实值，则称其为无偏估计量。
无偏估计量估计的是总体参数的中心值。
2.有效性：如果两个估计量都是无偏估计量，但一个估计量的方差较小，则称这个估计量为有效估计量。
3.一致性：一个估计量如果在样本量趋向于无穷大时，以概率1收敛于被估计参数的真实值，则称该估计量为一致估计量。
4.置信水平：置信区间是估计参数范围的一种方法，置信水平是指在重复抽样条件下，这个估计参数范围包含真实参数的概率。
总结起来，点估计提供了一个单一的参数估计值，简单直观，但没有反映参数估计的准确程度；区间估计提供了一个范围，可以反映参数估计的不确定性，但计算较复杂。
在实际应用中，可以根据问题的具体要求选择适当的估计方法，或者同时使用点估计和区间估计方法来对参数进行估计。
参数估计公式点估计与区间估计方法的公式整理
参数估计公式点估计与区间估计方法的公式整理在统计学中，参数估计是通过从样本数据中获得的统计量推断总体参数值的方法。
通过参数估计，我们可以利用样本数据来了解总体的特征。
参数估计有两种主要方法，即点估计与区间估计。
本文将对参数估计的公式进行整理，包括点估计和区间估计的常用方法。
一、点估计公式点估计是用样本数据来估计总体参数的方法，其中最常用的是样本均值和样本方差。
下面是一些常见的点估计公式：1. 样本均值的点估计公式总体均值的点估计通常由样本均值给出。
假设我们有一个样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小。
总体均值μ的点估计公式为：μ̂= (x₁ + x₂ + ... + xn) / n2. 样本方差的点估计公式总体方差的点估计通常由样本方差给出。
假设我们有一个样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小。
总体方差σ²的点估计公式为：σ̂² = ((x₁ - μ̂)² + (x₂ - μ̂)² + ... + (xn - μ̂)²) / (n - 1)3. 样本比例的点估计公式总体比例的点估计通常由样本比例给出。
假设我们有一个二分类样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小，p是正例的比例。
总体比例p的点估计公式为：p = (x₁ + x₂ + ... + xn) / n二、区间估计公式区间估计是用来估计参数的可信区间的方法，即给出参数值的一个范围。
下面是一些常见的区间估计公式：1. 总体均值的区间估计公式总体均值的区间估计可以使用置信区间进行。
假设我们有一个样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小，s是样本标准差，Z是对应于所需置信度的Z分位数。
总体均值μ的置信区间估计公式为：μ̂± Z * (s / √n)2. 总体比例的区间估计公式总体比例的区间估计可以使用置信区间进行。
参数估计的基本方法
E(ˆ) ,即满足无偏性。 即方差越小
２．有效性
的估计量就
以抽样指标估计总体指标要求作为越优有良效估计量的
方差应比其它估计量的方差小。
若ˆ1和ˆ2都是的无偏估计量，而
2 ˆ1
2 ˆ2
,则称ˆ1更有效。
一般情况下 均可满足
３．一致性 作为优良估计量的样本容量充分
大时，抽样指标也应充分地靠近总 体指标。
x 148.5 149.5 150.5 151.5 ——
xf 1485 2990 7525 3030 15030
(x x)2 f
32.4 12.8
2 28.8 76
（三）总体比例的区间估计
• 在大样本条件下，若 np 5, nq 5，则样本比例趋近于正态分布。 • 对于给定置信度，有
P { p z / 2
该城市下岗职工
中女性比例的置 信区间
解：已知 n=100，p＝65% , 1-= 95%，
z/2=1.96
p z 2
p(1 p) n
65% 1.96 65%(1 65%) 100
65% 9.35%
55.65%,74.35%
该城市下岗职工中女性比例的置信 区间为55.65%~74.35%
x
n
•
•x
z / 2 x
=1.96×1=1.96（千克）
• 置信下限为58-1.96=57.04，
• 置信上限为58+1.96=59.96
• 故所求置信区间为（57.04，59.96）千克。
（2） 总体方差σ2未知时
用s2代替σ2 ，对于给定的置信度1-α，总体均值的置
信区间为
(x z / 2
lim P(ˆ ) 1 (为任意小的正数)
参数的区间估计和点估计
参数的区间估计和点估计在统计学中，参数是描述总体的量，如总体均值、总体方差等。
当我们研究总体时，除了掌握总体参数的点估计外，我们还需要对总体参数进行区间估计。
本文就对参数的区间估计和点估计进行详细的介绍。
一、参数点估计参数点估计是指用样本数据推断出总体参数的一个近似值。
比如，从总体中抽取一些样本，计算出它们的平均值，把这个平均值作为总体均值的近似值。
常用的参数点估计方法有：1.极大似然估计极大似然估计法是指假设参数值已知，用样本数据来确定这个参数估计值，即找到一个参数估计值，使得这个参数值下，样本的似然函数取得最大值。
例如，抛硬币实验中，随机变量X表示正面出现的次数。
当硬币的正面概率p未知时，用样本求出p的极大似然估计，即：P（X=k|p） = Cnkp^k(1-p)^(n-k)为了找到样本数据下的极大似然估计值，将似然函数求导，令导数等于0，求得估计值。
在实际中，极大似然估计可以被广泛应用于估计均值、方差、参数等。
2.矩估计矩估计是利用样本的矩来推断总体参数的方法。
常见的矩估计方法有：（1）样本均值估计总体均值。
用矩估计法时，对于同一参数，不同样本可能得到不同的结果，但随着样本数的增加，结果会更加接近。
1.基于正态分布的参数区间估计如果总体服从正态分布，且总体方差未知，我们通常采用t分布来进行参数区间估计。
我们假设一个区间，称之为置信区间，该区间可以以某个概率（置信度）包含总体参数，置信度通常取0.9或0.95或0.99等常用值。
置信区间估计是指在某个置信度下，估计出总体参数的一个区间，称这个区间为置信区间。
置信区间可以通过以下步骤计算。
（1）计算样本平均数和标准差，以此估计总体均值和总体标准差，分别记为X和S。
（2）确定置信度和自由度n-1，从t分布表中查找t分布值tα/2。
（3）计算置信区间：X - ts/√n ≤ $\mu$ ≤ X + ts/√n，其中t为样本t统计量，s为标准差，n为样本量，α/2为置信水平。
§9点估计1
P( A2 )P(B
A2 )
1 2
P( A1
B)
P( A1)P(B P(B)
A1 )
99 100
,
P( A2
B)
1 100
.
判断：最有可能是从甲箱取出的.
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例6. 从一批产品中随机抽取n个，得到样本x1, x2, , xn. 求这批产品的次品率p.
解：P( X1 x1, X 2 x2 , , X n xn ) xi
注3：求最大似然估计即为求联合分布L( )的最大值问题.
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例6. 从一批产品中随机抽取n个，得到样本x1, x2, , xn. 求这批产品的次品率p.
解：P( X1 x1, X 2 x2 , , X n xn )
n
p xi (1 p)1 xi pxi (1 p)nxi . i 1
m1
1 n
n i 1
xi
130.55
令 x EX , 1 0.0077.
130.55
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例2 设总体有均值μ 及方差σ 2，今有6个样本 观测值为
-1.20，0.82，0.12，0.45，-0.85，-0.30. 求μ和σ2 的矩估计。
解：1 , 2 E( X 2 ) DX (EX )2 2 2
1 2 ,未知，求1,2的矩估计.
解：EX 1 2 , DX (2 1 )2 .
2
12
令
x
1 n
n i 1
Xi
EX ,
sn2
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第九讲 参数估计——点估计
一、考试要求
1.熟悉点估计的概念
2.掌握矩法估计方法
3.熟悉点估计优良性的标准
4.熟悉二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布参数的点估计
二、 内容讲解
第四节 参数估计
根据样本对总体进行推断是数理统计的核心，参数估计与假设检验是统计推断的两个基本内容。
本节着重讨论参数估计问题。
这里所说的参数主要是指如下几类：
①分布中的未知参数，如二项分布b(n，p)中的p，正态分布中的，或。
②分布的均值E(x)、方差Var(x)等未知特征数。
③其他未知参数，如某事件的概率P(A)等。
上述未知参数都需要根据样本和参数的统计含义选择适宜的统计量并作出估计，这一统计推断过程通称为参数估计。
未知参数通常用表示。
参数估计有两种基本形式：点估计与区间估计。
一、点估计
(一) 点估计的概念
设是总体的一个未知参数，记与总体对应的随机变量为X，从中抽取样本量为n的一个样本。
根据这个样本，构造一个统计量，用来对进行估计，称为的点估计量。
对一个具体的样本，可计算的一个具体的数值，称为的估计值。
在本教材中，除讨论统计量的分布及性质外，不严格区分估计量及具体估计值，通称为估计。
(二)点估计优良性标准
点估计量是随所抽取的样本不同而不同的，它是一个随机变量。
评价一个估计量的优劣不能从一个具体样本获得的估计值来评判，应该从多次使用中来评定。
对于一个特定的样本，估计值与的真值之间总是有偏差的，但由于未知，因此偏差也未知。
但是我们可以通过多次抽样，对不同样本，不同的具体估计值，对实际偏差进行“平均”。
当然这种平均不能直接进
行，因为有正有负，直接平均由于正负抵消反而不能反映误差。
与以前对方差处理的方法相仿，用估计偏差的平方来代替，并对其求均值，于是用来表示估计量的优劣。
这个量称为的均方误差，简记为MSE()，均方误差实际上是平均平方误差的意思。
虽然由于是未知的，MSE()也并不是总能求得的。
但是经过简单的推导，总有
MSE()=。
(交叉乘积项为零)
(1.4-1)
(1.4-1)式中的第一项=表示的是的均值E（）与未知参数的差，称为偏倚；当=0时，也即：
E（）=或
时，称估计量是无偏的，否则称为有偏的。
无偏性是表示估计量优良性的一个重要标准。
只要有可能，应该尽可能选用无偏估计量，或近似无偏估计量。
应该注意，使用无偏估计估计时，每次使用是有偏差的，只是多次使用时其平均偏差为零。
(1.4-1)式中的第二项表示的是对其均值E（）差的平方的均值，它是估计量的方差。
对于无偏估计量，当然方差愈小愈好。
方差愈小，称估计量更有效。
有效性是判定估计量优良性的另一个标准。
(三) 求点估计的方法-一矩法估计
参数估计时，一个直观的思想是用样本均值作为总体均值的估计，用样本方差作为总体方差的估计等。
由于均值与方差在统计学中统称为矩，总体均值与总体方差属于总体矩，样本均值与样本方差属于样本矩。
因此上面的做法可用如下两句话概括：
(1)用样本矩去估计相应的总体矩。
(2)用样本矩的函数去估计相应总体矩的函数。
此种获得未知参数的点估计的方法称为矩法估计。
矩法估计简单而实用，所获得的估计量通常(尽管不总是如此)也有较好的性质。
例如对任何总体，样本均值对总体均值的估计总是无偏的，样本方差对总体方差的估计也总是无偏的。
但是应该注意到矩法估计不一定总是最有效的，而且有时估计也不惟一。
[例l.4-1] 从某厂生产的一批铆钉中随机抽取10个，测得其头部直径分别为：
13.30，13.38，13.40，13.43，13.32，13.48，13.34，
13.47，13.44，13.50
试求铆钉头部直径总体的均值与标准差的估计。
解：用矩法估计可得：
=0.0048771
注意：用样本标准差s来估计总体标准差，估计是有偏的。
(四)对几种分布参数的矩法估计的例子
[例1.4-2] 设样本来自参数为的指数分布，求的矩法估计。
解：指数分布中，E(X)=1／，所以=1／E(X)，用样本均值代E(X)，则得A的矩法估计为。
[例1.4-3] 设样本 来自参数为的泊松分布，由于E(X)=，
Var(X)=，因此与都可以作为的矩法估计，因此的估计不惟一。
遇到这种情况时，常选用低阶矩作为参数的矩法估计。
均值是一阶矩，方差是二阶矩，故在泊松分布场合，选用样本均值作为的估计。
即。
[例1.4-4] 设样本来自两点分布，即n＝1的二项分布。
两点分布只能取0或1两个值，其中“0”表示失败，“1”表示成功，从而样本均值为：
另一方面，两点分布的总体均值是成功概率。
按矩法估计的思想，可得p的矩法估计：，即用成功的频率去估计概率。
[例1.4-5] 设样本来自均匀分布。
其均值为，方差为，由矩法估计的思想可列出如下两个方程：
解之可得与的矩法估计：
例如，从均匀分布随机抽取一个样本量为5的样本：
4.7,4.0,4.5,4.2,
5.0。
计算得，从而可得与的矩法估计为：
(五)正态总体参数的估计
设是来自正态总体的一个样本，参数，和常用的无偏估计分述如下。
正态均值的无偏估计有两个，一个是样本均值，另一个是样本中位数，即：
其中为有序样本，当样本量n为l或2时，这两个无偏估计相同。
当n≥3时，它们一般不同，但总有：
Var() ≤ Var()
这意味着，对正态均值来说，样本均值总比样本中位数更有效。
因此在实际应用中，应优先选用样本均值去估计正态均值。
有时在统计工作现场，为了简便和快捷，选用样本中位数去估计正态均值也是有的，如统计过程控制(见第四章)中的中位数图就是如此。
(2)正态方差的无偏估计常用的只有一个，就是样本方差，即：
理论研究表明，在所有无偏估计中它是最有效的。
(3)正态标准差的无偏估计也有两个，一个是对样本极差进行修偏而得，另一个是对样本标准差s进行修偏而得，具体是：
其中与是只与样本量n有关的常数，其部分值列于表1.4-1，更详细的表参见第四章的表4.2-2。
表1.4-1 修偏系数与的数值表
n2345678910
1.128 1.693
2.059 2.326 2.534 2.704 2.847 2.970
3.078
0.7980.8860.9210.9400.9520.9590.9650.9690.973
当n=2时，上述两个无偏估计相同；当n≥3时，它们不同，但总有：
[例1.4-6] 把钢材弯曲成钢夹，其间隙大小是一个质量特性，现随机从生产线上取5只钢夹，测其间隙，得数据如下：
0.75 , 0.70 , 0.65 , 0.70 , 0.65
已知钢夹间隙X服从正态分布，要对和做出估计。
用样本均值和样本方差分别做出与的估计：
作为标准差的估计选用，其值为：
也可选用：
在本例中两者相差不大。