广东省深圳市人大附中深圳学校2020-2021学年第一学期高二年级数学学科第13周测试卷
广东省深圳实验学校2020-2021学年第一学期高二第二阶段考试数学试卷
深圳实验学校高中部2020-2021学年度第一学期第二阶段考试高二数学时间：120分钟 满分：150分第一卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈若000()()lim2h f x h f x h h→+--=，则'0()f x =（ ）A ．'0()1f x = B ．'0()2f x = C ．'0()4f x = D ．'0()f x 不确定．2．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前6项的和6S =（ ）A ．84B ．42C ．21D ．143．在ABC ∆中，点()2,0A -、 点()2,0B ，且||AB 是||AC 和||BC 的等差中项，则点C 的轨迹方程是（ ）A ．2211612x y += B ．2211612x y +=(4)x ≠± C ．2216460x y += D ． 2216460x y +=(8)x ≠± 4． 数列,)1n (211,,3211,211+++++++的前2020项和2020S 等于 A ．10102022 B ．20202021 C ．20202022 D ．404020215．某人从2015年起，每年1月1日到银行新存入a 元（一年定期），若年利率为r 保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2020年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数（单位为元）（ ） A ．5(1)a r +B ．)]1()1[(5r r r a+-+C ．6(1)a r +D ．)]1()1[(6r r ra +-+6．)(x f '是)(x f 的导函数，)(x f '的图象如图所示， 则)(x f 的图象只可能是（ ）A B C D 7．已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有481n n S n T n -=+，则()3153111572a a a b b b b ++=++（ ） A. 3B. 6C.327D.80138．()f x 是定义在(0)+∞，上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤．对任意正数a b ，，若a b <，则必有（ ）A. ()()f b f a ≤B. ()()af a f b ≤bC. ()()bf a af b ≤D. ()()af b bf a ≤二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的，得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分 9．在等差数列||,0,0}{10111110a a a a a n >><且中，则下列结论正确的有（ ）A ．10n S S ≥B ．910S S =C ．190S <D ．200S >10．已知不等式222x kx -≥-恒成立，则实数k 的取值可以是（ ）A. 1-B. 1C.2 D. 211．已知倾斜角为θ的直线经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线交于1P 、2P 两点, 直线:2pl x =-，作1PM l ⊥于点M ，2P N l ⊥于点N ，则下列结论正确的有 A.12111||||PF P F p += B. 1||1cos pPF θ=-C. 2||1cos pP F θ=+D. 22sin MONp S θ∆= 12．将全体正奇数排成一个三角形数阵：1 3 5 11 9 7 13 15 17 19 29 27 25 23 21 ． ． ． ． ． ． ． ． ．按照以上排列的规律，前n 行（n ≥3）下列结论正确的是（ ）A ．若n 是偶数，第n 行从左向右的第3 个数是 25n n -+B ．若n 是奇数，第n 行从左向右的第3 个数是 25n n +- C ．若n 是奇数，第n 行从左向右的第3 个数是 23n n +- D ．前n 行所有数的和是2(1)()2n n +第二部分 非选择题（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．曲线ln y x =上的点到直线1y x =+的最短距离是_______． 14．在等差数列}{n a 中, 若1a ，3a ，9a 成等比数列, 则1392410a a a a a a ++=++_____．15．已知数列}{n a 满足-1-21-123+2+2++22(*)n n a a a a n n N =∈，则数列(1)(1)nn n a b n n -=+的前项和为 ．16．在等差数列}{n a 中，若020=a ，则有等式n n a a a a a a a -+++=++++3921321*(38,)n n N ≤∈成立．类比这一性质，相应地在等比数列}{n b 中，若110=b ，则有等式．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知a ∈R ，函数()ln 1af x x x=+-，(]0,e x ∈． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）讨论函数)(x f 的单调性．18．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S -=- (*n N ∈)．(1) 求数列{}n a 的通项n a ；(2) 求数列{||}n a n -的前n 项的和12|1||2||||n n T a a a n =-+-++-．19．（本小题满分12分）一个正三角形被等分成4个相等的小正三角形，将中间的一个涂黑（如图（1）），在将剩下的每一个正三角形都分成4个相等的小正三角形，并将中间的一个涂黑，得图（2），如此继续下去……，若设第n (n ∈N *)个图共涂黑了n a 个三角形，可以发现第2n +个三角形比第1n +个三角形多了13()n n a a +-个涂黑的小正三角形．……（1） （2） （3）（1）试将3a 用2a 和1a 表示出来 ；（2）将2+n a 用1+n a 和n a 表示出来，并求数列}{n a 的通项公式．20．（本小题满分12分）已知直线:l y kx b =+（0b ≠）与抛物线py x 22= (0)p >相交于A ，B 两点，且以弦AB 为直径的圆C 恒经过坐标原点．（1）证明直线l 过定点，并求出这个定点； （2）求动圆C 的圆心C 的轨迹方程．21．（本小题满分12分）设数列{}n a 的首项11a =,前n 项和为n S 满足关系式：t 3S )3t 2(tS 31n n =+--,(0,2,)t n n N >≥∈．（1）求证数列{}n a 是等比数列；（2） 设数列{}n a 的公比为()f t ,构造数列{}n b ，使1112,3()n n b b f b -==(2,)n n N ≥∈，求数列{(21)}n n b -的前n 项和n T .22．（本小题满分12分）已知动点P 到直线4-=x 的距离是动点P 与定点2(-F ，)0倍 （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线分别交曲线E 于A ，B 和C ，D ，求||||CD AB +的最小值．高二数学答案一、选择题： ACBCD DBD二、多选题：9.ACD 10.AB 11. BCD 12. ABD 三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．214． 1316或1 15．1221n n +-+ 16．在等差数列}{n a 中，若020=a ，则有等式n n a a a a a a a -+++=++++3921321*(38,)n n N ≤∈成立．类比这一性质，相应地在等比数列}{n b 中，若110=b ，则有等式n n a a a a a a a -⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅1921321 ．*(18,)n n N ≤∈四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知a ∈R ，函数()ln 1af x x x=+-，(]0,e x ∈． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）讨论函数)(x f 的单调性．解：（1）2()ln 1f x x x =+-22212()x f x x x x--'∴=+=…………………………1分 (1)1f '∴=-，(1)1f = …………………………………………………3分曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为2y x =-+……………………………4分（2）221()a x af x x x x--'=+=，(]0,e x ∈…………………………………………5分 （1）若a e ≥ 221()0a x af x x x x--'=+=≤， 函数)(x f 在区间(]0,e 单调递减（2）若0a ≤ 221()0a x af x x x x--'=+=≥， 函数)(x f 在区间(]0,e 单调递增（3）若0a e <<当x a <时，221()0a x af x x x x--'=+=<， 函数)(x f 在区间(0,)a 单调递减当x a >时，221()0a x af x x x x--'=+=>， 函数)(x f 在区间(,]a e 单调递增所以1）若a e ≥，函数)(x f 在区间(]0,e 单调递减 （2）若0a ≤，函数)(x f 在区间(]0,e 单调递增 （3）若0a e << ，函数)(x f 在区间(0,)a 单调递减，函数)(x f 在区间(,]a e 单调递增 …………………………………………………10分18．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S -=- (*n N ∈)．(1)求数列{}n a 的通项n a ；(2)求数列{||}n a n -的前n 项的和12|1||2||||n n T a a a n =-+-++-．解：（1）当1n =时110a S == …………………………………………………1分 当2n ≥时1221222n n n n n n a S S ----=-=-= …………………………………………………4分20,12,2n n n a n -=⎧∴=⎨≥⎩ …………………………………………………5分（2）数列{||}n a n -前3项都小于0，第4项等于0, 从第5项开始都大于0 当3n ≤时121|1||2||||(1)(12)122n n n n T a a a n n n n S -=-+-++-+=+++-=+- …………………………………………7分 当4n ≥时12|1||2||||n n T a a a n =-+-++-12345(1)(2)(3)(4)(5)()n a a a a a a n =-+-+-+-+-++-12123123)2()(12)2(123)()(12)212(1)6122n n n a a a a a a n a a a n S n n S =+++-++-++++++=+++-+++-++=--+（1(1)252n n n -+=-+ …………………………………………………11分 11(1)12,32(1)25,42n n n n n n T n n n --+⎧+-≤⎪⎪∴=⎨+⎪-+≥⎪⎩ …………………………………………………12分19．（本小题满分12分）一个正三角形被等分成4个相等的小正三角形，将中间的一个涂黑（如图（1）），在将剩下的每一个正三角形都分成4个相等的小正三角形，并将中间的一个涂黑，得图（2），如此继续下去……，若设第n (n ∈N *)个图共涂黑了n a 个三角形，可以发现第2n +个三角形比第1n +个三角形多了13()n n a a +-个涂黑的小正三角形．……（1） （2） （3）（1）试将3a 用2a 和1a 表示出来 ；（2）将2+n a 用1+n a 和n a 表示出来，并求数列}{n a 的通项公式．解：（1）3a =2a +3(2a -1a ) …………………3分 （2）2+n a =1+n a +3(1+n a -n a )； …………………………………………………6分由2+n a -1+n a =3(1+n a -n a )， …………………………………………………7分 ∴{1+n a -n a }是以21a a -为首项，公比为3的等比数列，∴11333n nn n a a -+-=⨯= …………………………………………………8分当2n ≥时113n n n a a ---=2122133n n n a a a a ----=-=累加得：n a -1a =31)31(31---n ∴n a =213-n . …………………10分当1n =时,也满足n a =213-n∴n a =213-n . …………………………………………………12分(注:少了1n =时的说明扣2分) 20．（本小题满分12分）已知直线:l y kx b =+（0b ≠）与抛物线py x 22= (0)p >相交于A ，B 两点，且以弦AB 为直径的圆C 恒经过坐标原点．（1）证明直线l 过定点，并求出这个定点； （2）求动圆C 的圆心C 的轨迹方程．解：（1）直线:l y kx b =+，设1(x A ，)1y ，2(x B ，)2y ，则以弦AB 为直径的圆恒经过坐标原点⇔0=⋅OB OA ⇔02121=+y y x x ．……1分 由22y kx bx py=+⎧⎨=⎩得2220x pkx pb --=，所以pk x x 221=+，122x x pb =-．… 3分2212121212()()()y y kx b kx b k x x bk x x b =++=+++222(2)2k pb bk pk b b =⋅-+⋅+=． ………………………………4分所以2121220x x y y pb b +=-+=，解得2b p =或0b =（舍去） …………5分所以:2l y kx p =+恒经过定点(0，2)p ． ………………………………………6分（2）设(,)C x y ,1(x A ，)1y ，2(x B ，)2y2112x py = 2222x py = …………………………………………7分两式相减得2212122()x x p y y -=-1212122AB y y x x k x x p-+==- ………8分由已知条件， 点C 是的AB 中点且过定点(0，2)p ……………………………9分1222AB x x x y pk p p x+-=== …………………………………………10分 222x py p =-动圆C 的圆心C 的轨迹方程是222x py p =- ……………………………………12分 21．（本小题满分12分）设数列{}n a 的首项11a =,前n 项和为n S 满足关系式：t 3S )3t 2(tS 31n n =+--,(0,2,)t n n N >≥∈．（1）求证数列{}n a 是等比数列；（2）设数列{}n a 的公比为()f t ,构造数列{}n b ，使1112,3()n n b b f b -== (2,)n n N ≥∈，求数列{(21)}n n b -的前n 项和n T . (1) 当2n =时111S a ==,21221S a a a =+=+代入已知得t 3)3t 2()a 1(t 32=+-+，解得t33t 2a 2+=， 所以t33t 2a a 12+=， …………………………………………………2分 当3n ≥时 又⎩⎨⎧=+-=+----t3S )3t 2(tS 3t3S )3t 2(tS 32n 1n 1n n ()3≥n两式相减得到0a )3t 2(ta 31n n =+--，所以t33t 2a a 1n n +=-()3n ≥ …………3分又已证t 33t 2a a 12+=，所以{a n }是以1为首项, t33t 2+为公比的等比数列. ………4分 （2）由题意11112313()=3323n nn n n b b f b b b ----+==+， …………………………5分 得)1b (31b 1n n +=+-，所以数列{1}n b +是以３为首项，以3为公比的等比数列。
深圳市深圳实验学校高中部2020-2021学年高二上学期第三阶段(期末)考试数学试题答案
y2），
由
y kx
x2
4
y2
，联立得
4
x2
4 4k 2 1
，
∴ x1
2 4k 2
, 1
x2
2
，
4k 2 1
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∴ | AB |
1 k 2 | x1 x2 |
1 k2
4
.
1 4k 2
|k1|
又 A 到直线 y kx 的距离 d
2，
1 k2
于是 SABC
1 2
x22
，
②
①×x2－②×x1，得
y
1 2
x1x2
2 ．
即点 M 在直线 l ： y 2 上．
………………………12 分
20．解： (1)如图所示，设直线 EF 与矩形 ABCD 交于 M，N 两点，连接 O1E，O2F，
O1O2，则 ME＝20 米，O1M＝20 3 米．
1
梯形 O1O2FE 的面积为 ×(120+80)×20
(2)设∠AO1E＝θ，θ∈
0，
2
，则
»AE
，
B»C
的长都是
40θ，
EF＝120-2×40sin θ＝120－80sin θ,
高二数学试题 第 3页 共 6页
所以修建费用 f(θ) ＝200×80θ+400×(120－80sin θ) ＝16 000(θ+3－2sin θ),
所以 f'(θ) ＝16 000(1－2cos θ).
，
f
2 3
22 27
，
f
1
1 2
．
∴函数
广东省深圳实验学校高中部2020-2021学年第一学期高二数学作业20201124(数列综合较难)
) A.3 B.2 C. 2 D. 1 33
8． 在 ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ，若 1 , 1 , 1 依次成等差 tanA tanB tanC
数列，则（ ）
A. a, b, c 依次成等差数列
B. a , b, c 依次成等差数列
C. a2 , b2 , c2 依次成等差数列
B. a , b, c 依次成等差数列
C. a2 , b2 , c2 依次成等差数列
D. a3, b3, c3 依次成等差数列
9．设数列 an的前 n 项和为 Sn ．且满足
an Sn
1
1
，则
S
n
的取值范围是
C
A． (,1) B． 0,
C．
1 2
,1
D．
1 2
,
10．成等差数列的三个正数的和等于12 ，并且这三个数分别加上1, 4,11 后成为等比数列
2
1 2
an 1 (n
N)
，且
a1
1 .（1）证明：数列
1 an
为等差数
列，并求数列
an
的通项公式；（2）若记
bn
为满足不等式
1 2n
ak
1 2n1
(n
N
)
的正整
数
k
的个数，设 Tn
1
(1)n bn
bn
bn (1)n
，求数列1 9a2 3n an n2 , (n N * ) .
．（1）求证：数列
1
an
1 是等比数
列；（2）设 bn 2n anan1 ，求数列 bn 的前 n 项和 Sn ．
2. 中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化 速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某 地区 2012 年人口总数为 45 万，专家估计实施 “放开二胎” 新政策后人口总数将发生如下变 化：从 2013 年开始到 2022 年每年人口比上年增加 0.5 万，从 2023 年开始到 2032 年每年人 口为上一年的 99% . (1)求实施新政策后第 n 年的人口总数 an 的表达式(注：2013 年为第一 年)； (2)若新政策实施后 2013 年到 2032 年的人口平均值超过 49 万，则需调整政策，否则 继续实施．问 2032 年后是否需要调整政策？(0.9910＝(1－0.01)10≈0.9)
2020-2021学年广东省深圳实验学校高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年广东省深圳实验学校高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. “ab <0”是方程ax 2+by 2=c 表示双曲线的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 2. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4=20，a 5=10，则a 16= ( )A. −32B. 12C. 16D. 323. 函数f(x)=−lnx +2x 2的递增区间是( )A. (−12,0)和(12,+∞) B. (−12,0)∪(12,+∞) C. (−12,0)D. (12,+∞)4. 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. √3+12D. √5+125. 已知函数f(x)=x 2+xsinx ，x ∈(−π2,π2)，则下列式子成立的是( )A. f(−1)<f(12)<f(32) B. f(12)<f(−1)<f(32) C. f(12)<f(32)<f(−1)D. f(32)<f(−1)<f(12)6. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线与抛物线y 2=2px(p >0)的准线分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为√3，则p =( )A. 1B. 32C. 2D. 37. 已知函数f(x)=x +a2x .若曲线y =f(x)存在两条过(1,0)点的切线，则a 的取值范围是( )A. (−∞,1)∪(2,+∞)B. (−∞,−1)∪(2,+∞)C. (−∞,0)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)∪(0,+∞)8. 已知函数f(x)=e x x+k(ln x −x)，若x =1是函数f(x)的唯一极值点，则实数k 的取值范围是( )A. B. C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 与直线x +y −√2=0仅有一个公共点的曲线是( )A. x 2+y 2=1B.x 22+y 2=1 C. x 2−y 2=1 D. y 2=x10. 对于函数f(x)=lnx x，下列说法正确的有( )A. f(x)在x =e 处取得极大值1e B. f(x)有两个不同的零点 C. f(2)<f(π)<f(3)D. 若f(x)<k −1x 在(0,+∞)上恒成立，则k >111.已知抛物线C：y2=4x，焦点为F，过焦点的直线l抛物线C相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则下列说法一定正确的是()A. |AB|的最小值为2B. 线段AB为直径的圆与直线x=−1相切C. x1x2为定值D. 若M(−1,0)，则∠AMF=∠BMF12.已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n.且满足a n+a n+1=2n，b n⋅b n+1=2n(n∈N∗)，则下列说法正确的有()A. 0<a1<1B. 1<b1<√2C. S2n<T2nD. S2n≥T2n三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(e)+lnx，则f′(e)=______ ．14.数列{a n}满足a1=1，a1+a2+⋯+a n=n2a n，则数列{a n}的通项公式为______ ．215.光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图，一个光学装置由有公共焦点F1，F2的椭圆Γ与双曲线Γ′构成，现一光线从左焦点F1发出，依次Γ′与Γ反射，又回到了点F1，历时t1秒；若将装置中的Γ′去掉，此光线从点F1发出，经Γ两次反射后又回到了点F1，历时t2秒；若t2=4t1，则Γ与Γ′的离心率之比为______ ．16.设a为实数，函数f(x)=x3−ax2+(a2−1)x在(−∞,0)和(1,+∞)都是增函数，则a的取值范围是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）x2−2x．17.已知函数f(x)=x3+12(1)求函数y=f(x)的图象在x=1处的切线方程；(2)求函数y=f(x)在[−2,1]上的最大值与最小值．18.已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=−10(1)求数列{a n}的通项公式}的前n项和．(2)求数列{a n2n−1x2，直线y=kx+2交抛物线C于A，B两点，19.如图，已知抛物线C：y=12O为坐标原点．(1)证明：OA⊥OB；(2)设抛物线C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，证明：l1与l2的交点M在一定直线上．20.如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD，AB=120米，AD=80米，以AD，BC为直径的半圆O1和半圆O2(半圆在矩形ABCD内部)为两个半圆形水上主题乐园，BC，CD，DA都建有围墙，游客只能从线段AB处进出该主题乐园．为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着AE⏜，FB⏜修建不锈钢护栏，沿着线段EF修建该主题乐园大门并设置检票口，其中E，F分别为AD⏜，BC⏜上的动点，EF//AB，且线段EF与线段AB在圆心O1和O2连线的同侧．已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部门的平均修建费用为400元/米．(1)若EF=80米，则检票等候区域(其中阴影部分)面积为多少平方米？(2)试确定点E的位置，使得修建费用最低．21.已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为).F(−√3,0)，且右顶点为D(2,0).设点A的坐标是(1,12(1)求该椭圆的标准方程；(2)过原点O的直线交椭圆于点B、C，求△ABC面积的最大值．ax2−(a+1)x．22.已知函数f(x)=lnx+12(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；ax2有两个不同的零点x1，x2．(2)若函数g(x)=f(x)−12①求实数a的取值范围；②证明：x1⋅x2>e2．答案和解析1.【答案】A【解析】解：若a =1，b =−1，c =0，则不能表示双曲线，不是充分条件， 反之，若方程ax 2+by 2=c 表示双曲线， 则a ，b 异号，是必要条件，故ab <0是方程ax 2+by 2=c 表示双曲线的必要不充分条件， 故选：A ．运用反例，特殊值，结合双曲线的标准方程判断．本题考查了充分必要条件的定义，双曲线的标准方程，属于基础题． 2.【答案】D【解析】 【分析】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和，是基础题．设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知列关于首项与公差的方程组，求出首项与公差，则答案可求． 【解答】解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由S 4=20，a 5=10，得{4a 1+6d =20a 1+4d =10，解得a 1=d =2． ∴a 16=a 1+15d =2+15×2=32． 故选：D ．3.【答案】D【解析】解：f(x)的定义域是(0,+∞)， f′(x)=−1x +4x =(2x+1)(2x−1)x ，令f′(x)>0，解得：x >12， 故f(x)在(12,+∞)递增，故选：D ．求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可． 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是基础题． 4.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想，属于基础题．先设出双曲线方程，则F ，B 的坐标可得，根据直线FB 与渐近线y =ba x 垂直，得出其斜率的乘积为−1，进而求得b 和a ，c 的关系式，进而根据双曲线方程a ，b 和c 的关系进而求得a 和c 的等式，则双曲线的离心率可得． 【分析】解：设双曲线方程为x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，则F(c,0)，B(0,b)直线FB ：bx +cy −bc =0与渐近线y =ba x 垂直， 所以−bc ⋅ba =−1，即b 2=ac 所以c 2−a 2=ac ，即e 2−e −1=0， 所以e =1+√52或e =1−√52(舍去)．故选D ． 5.【答案】B【解析】解：函数f(x)=x 2+xsinx ，x ∈(−π2,π2)，定义域关于原点对称，且f(−x)=(−x)2+(−x)sin(−x)=x 2+xsinx =f(x)．∴函数f(x)为偶函数，∴f(−1)=f(1)．又当x ∈(0,π2)时，f′(x)=2x +sinx +x ⋅cosx >0． ∴f(x)在(0,π2)上为增函数，则f(x)在(−π2,0)上为减函数． ∵12<1<32， ∴f(12)<f(1)<f(32)， 则f(12)<f(−1)<f(32)． 故选：B ．由奇偶性的定义得到函数f(x)为偶函数，求导数得到函数f(x)在(0,π2)上为增函数，则函数在(−π2,0)上为减函数．结合单调性和奇偶性即可判断出答案．本题考查了函数的单调性和奇偶性，考查了函数的单调性与导函数符号之间的关系，是基础题． 6.【答案】C【解析】解：∵双曲线x 2a 2−y 2b 2=1，∴双曲线的渐近线方程是y =±ba x又抛物线y 2=2px(p >0)的准线方程是x =−p2，故A ，B 两点的纵坐标分别是y =±pb2a ，双曲线的离心率为2，所以ca =2， ∴b 2a 2=c 2−a 2a 2=e 2−1=3则ba =√3，A，B两点的纵坐标分别是y=±pb2a =±√3p2，又，△AOB的面积为√3，x轴是角AOB的角平分线∴12×√3p×p2=√3，得p=2．故选：C．求出双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程与抛物线y2=2px(p>0)的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为√3，列出方程，由此方程求出p的值．本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查过某点的切线方程的求法和切线的个数问题，考查转化思想，属于中档题．对函数求导，设切点坐标，写出切线方程，将点(1,0)代入得到2x02+2ax0−a=0，由题意存在两条切线，可得方程有两个不等实数根，由判别式大于0可得答案．【解答】解：由f(x)=x+a2x ，得f′(x)=1−a2x2，设切点坐标为(x0,x0+a2x)，则切线方程为：y−x0−a2x0=(1−a2x02)(x−x0)又切线过点(1,0)，可得−x0−a2x2=(1−a2x02)(1−x0)，整理得2x02+2ax0−a=0，曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足△=4a2−8(−a)>0，解得a>0或a<−2，故选：D．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查由函数的导函数确定极值问题，对参数需要进行讨论，属于中档题．由f(x)的导函数形式可以看出e x−kx=0在(0,+∞)无变号零点，令g(x)=e x−kx，g′(x)=e x−k，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．【解答】解：∵函数f(x)=e xx+k(lnx−x)的定义域是(0,+∞)，∴f′(x)=e x(x−1)x2+k(1−x)x=(e x−kx)(x−1)x2．x=1是函数f(x)的唯一一个极值点∴x=1是导函数f′(x)=0的唯一根．∴e x−kx=0在(0,+∞)无变号零点，令g(x)=e x−kxg′(x)=e x−k ①k≤0时，g′(x)>0恒成立，g(x)在(0,+∞)是单调递增的，g(x)>g(0)=1，g(x)=0无解，②k>0时，g′(x)=0有解为：x=lnk，0<x<lnk时，g′(x)<0，g(x)单调递减，lnk<x时，g′(x)>0，g(x)单调递增，∴g(x)的最小值为g(lnk)=k−klnk，∴k−klnk>0∴k<e，由y=e x和y=ex性质，可得它们切于(1,e)，综上所述，k≤e．故选A．9.【答案】AC【解析】解：直线x+y−√2=0与x2+y2=1相切，所以只有一个公共点；所以A正确；直线x+y−√2=0经过椭圆x22+y2=1的右顶点，经过(0,√2)，所以直线与椭圆x22+y2=1有2个交点，所以B不正确．直线x+y−√2=0平行于双曲线的渐近线，所以直线与双曲线只有一个交点，所以C正确；直线x+y−√2=0与抛物线y2=x有2个交点，所以D不正确；故选：AC．判断直线与圆，椭圆，双曲线已经抛物线的交点个数，即可得到选项．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的判断，是基本知识的考查，基础题．10.【答案】ACD【解析】解：函数的导数f′(x)=1−lnxx2，(x>0)，令f′(x)=0得x=e，则当0<x<e时，f′(x)>0，函数为增函数，当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数，则当x=e时，函数取得极大值，极大值为f(e)=1e，故A正确，当x→0，f(x)→−∞，x→+∞，f(x)→0，则f(x)的图象如图：由f(x)=0得lnx=0得x=1，即函数f(x)只有一个零点，故B错误，由图象知f(2)=f(4)，f(3)>f(π)>f(4)，故f(2)<f(π)<f(3)成立，故C正确，若f(x)<k−1x在(0,+∞)上恒成立，则k>lnxx +1x，设ℎ(x)=lnxx +1x，(x>0)，则ℎ′(x)=−lnxx2，当0<x<1时，ℎ′(x)>0，当x>1时，ℎ′(x)<0，即当x=1时，函数ℎ(x)取得极大值同时也是最大值ℎ(1)═1，∴k>1成立，故D正确故选：ACD．求函数的导数，结合函数单调性，极值，函数零点的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性，极值，函数零点问题，求函数的导数，利用导数研究的性质是解决本题的关键． 11.【答案】BCD【解析】解：抛物线C ：y 2=4x ，焦点为F(1,0)，准线方程为x =−1，过焦点的弦中通径最短，所以|AB|的最小值为2p =4，故A 不正确，如图：设线段AB 的中点为D ，过点A ，B ，D 作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，D 1，由抛物线的定义可得|AA 1|=|AF|，|BB 1|=|BF|， 所以|DD 1|=12(|AA 1|+|BB 1|)=12|AB|，所以以线段AB 为直径的圆与直线x =−1相切，故B 正确； 设直线AB 所在的直线方程为x =ny +1， 由{x =ny +1y 2=4x ，消去x 可得y 2−4ny −4=0， 所以y 1+y 2=4n ，y 1y 2=−4， 所以x 1x 2=(y 1y 2)216=1，故C 正确；所以k AM +k BM =y 1x1+1+y 2x 1+1=y 1(x 2+1)+y 2(x 1+1)(x 1+1)(x 2+1)=y 1(ny 2+2)+y 2(ny 1+2)(x 1+1)(x 2+1)=2ny 1y 2+2(y 1+y 2)(x 1+1)(x 2+1)=0，故D 正确．故选：BCD ．根据抛物线的性质和定义即可判断AB ，根据直线和抛物线的位置关系，利用韦达定理可判断CD ． 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 12.【答案】ABC【解析】解：∵数列{a n }为递增数列； ∴a 1<a 2<a 3； ∵a n +a n+1=2n ， ∴{a 1+a 2=2a 2+a 3=4； ∴{a 1+a 2>2a 1a 2+a 3>2a 2=4−4a 1∴0<a 1<1；故A 正确．∴S 2n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+⋯+(a 2n−1+a 2n )=2+6+10+⋯+2(2n −1)=2n 2； ∵数列{b n }为递增数列； ∴b 1<b 2<b 3；∵b n ⋅b n+1=2n ∴{b 1b 2=2b 2b 3=4； ∴{b 2>b 1b 3>b 2； ∴1<b 1<√2，故B 正确．∵T 2n =b 1+b 2+⋯+b 2n=(b 1+b 3+b 5+⋯+b 2n−1)+(b 2+b 4+⋯+b 2n ) =b 1⋅(1−2n )2+b 2(1−2n )2=(b 1+b 2)(2n −1)≥2√b 1b 2(2n −1)=2√2(2n −1)；∴对于任意的n ∈N ∗，S 2n <T 2n ；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，在求出其前2n 项和的表达式即可判断大小； 本题考查了数列的综合运用，考查学生的分析能力与计算能力．属于中档题．13.【答案】−1e【解析】解：求导得：f′(x)=2f′(e)+1x ， 把x =e 代入得：f′(e)=e −1+2f′(e)， 解得：f′(e)=−e −1， 故答案为：−1e利用求导法则求出f(x)的导函数，把x =e 代入导函数中得到关于f′(e)的方程，求出方程的解即可得到f′(e)的值．本题要求学生掌握求导法则．学生在求f(x)的导函数时注意f′(e)是一个常数，这是本题的易错点．14.【答案】{12,n =12n(n+1),n ≥2【解析】解：∵a 1+a 2+⋯+a n =n 2a n ，∴当n ≥2时，a 1+a 2+⋯+a n−1=(n −1)2a n−1， 两式作差得a n =n 2a n −(n −1)2a n−1，即(n 2−1)a n =(n −1)2a n−1，(n +1)(n −1)a n =(n −1)2a n−1， 即(n +1)a n =(n −1)a n−1， 即a nan−1=n−1n+1，则a 2a 1=13，a3a 2=24，a4a 3=35…a nan−1=n−1n+1，则a 2a 1⋅a 3a 2⋅a4a 3…a nan−1=13⋅24⋅35…n−1n+1=1×2n(n+1)=2n(n+1)，当n =1时，a 1=12，不满足a n ，故a n ={12,n =12n(n+1),n ≥2，故答案为：{12,n =12n(n+1),n ≥2根据条件，利用作差法，以及累积法进行求解即可．本题主要考查数列通项公式的求解，利用作差法以及累积法是解决本题的关键． 15.【答案】1：2【解析】解：在图1中，由椭圆的定义知，BF 1+BF 2=2a 1①， 由双曲线的定义知，AF 2−AF 1=2a 2②，①−②得，BF 1+AF 1+BF 2−AF 2=BF 1+AF 1+AB =2a 1−2a 2， ∴△ABF 1的周长为2a 1−2a 2，在图2中，由椭圆的定义知，△CDF 1的周长为4a 1， ∵光线的速度相同，且t 2=4t 1， ∴t 1t 2=2a 1−2a 24a 1=14， ∴a 1=2a 2，∵椭圆和双曲线共焦点， ∴e 1e 2=c a 1c a 2=a 2a 1=12．故答案为：1：2．在图1中，结合椭圆和双曲线的定义，可推出△ABF 1的周长为2a 1−2a 2，在图2中，由椭圆的定义，可得△CDF 1的周长为4a 1，从而有t1t 2=2a 1−2a 24a 1，再由e =ca ，可得解．本题考查椭圆和双曲线的定义与几何性质，熟练掌握椭圆和双曲线中a 、b 、c 的含义与关系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】(−∞,−√62]∪[1,+∞)【解析】解：f′(x)=3x 2−2ax +(a 2−1)，其判别式△=4a 2−12a 2+12=12−8a 2，(═)若△=12−8a 2=0，即a =±√62，当x ∈(−∞,a3)，或x ∈(a3,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(−∞,+∞)为增函数， 所以a =±√62；(═)若△=12−8a 2<0，恒有f′(x)>0，f(x)在(−∞,+∞)为增函数， 所以a 2>32，即a ∈(−∞,−√62)∪(√62,+∞)(═)若△12−8a 2>0，即−√62<a <√62，令f′(x)=0，解得x 1=a−√3−2a 23，x 2=a+√3−2a 23， 当x ∈(−∞,x 1)，或x ∈(x 2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数；当x ∈(x 1,x 2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数．依题意x 1≥0且x 2≤1． 由x 1≥0得a ≥√3−2a 2，解得1≤a <√62，由x 2≤1得√3−2a 2≤3−a ，解得−√62<a <√62，从而a ∈[1,√62).综上，a 的取值范围为(−∞,−√62]∪[√62,+∞)∪[1，√62)，即a ∈(−∞,−√62]∪[1,+∞)．先对函数f(x)进行求导得到一个二次函数，根据二次函数的图象和性质令f′(x)≥0在(−∞,0)和(1,+∞)成立，解出a 的值．本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．17.【答案】解：(1)∵f(x)=x 3+12x 2−2x ，∴f′(x)=3x 2+x −2，∴f(1)=−12，f′(1)=2，∴函数y =f(x)的图象在x =1处的切线方程为：y −(−12)=2(x −1)， 即4x −2y −5=0．(2)令f′(x)=3x 2+x −2=0，得x 1=−1与x 2=23， 当x 变化时，f′(x)、f(x)的变化如下表：所以，x 1=−1与x 2=23是函数在(−2,1)上的两个极值点， 而f(−2)=−2，f(−1)=32，f(23)=−2227，f(1)=−12，∴函数y =f(x)在[−2,1]上的最大值是f(−1)=32，最小值是f(−2)=−2．【解析】(1)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)的值，求出切线方程即可； (2)解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是中档题． 18.【答案】解：(1)等差数列{a n }的公差设为d ， a 2=0，a 6+a 8=−10，可得a 1+d =0，a 1+5d +a 1+7d =−10， 解得a 1=1，d =−1，则a n =a 1+(n −1)d =1−n +1=2−n ，n ∈N ∗；(2)a n2n−1=(2−n)⋅(12)n−1， 数列{an2n−1}的前n 项和设为S n ，S n =1⋅(12)0+0⋅(12)+(−1)⋅(12)2+⋯+(3−n)⋅(12)n−2+(2−n)⋅(12)n−1，12S n=1⋅(12)+0⋅(12)2+(−1)⋅(12)3+⋯+(3−n)⋅(12)n−1+(2−n)⋅(12)n ， 上面两式相减可得，12S n =1+(−1)[(12)+(12)2+⋯+(12)n−2+(12)n−1]−(2−n)⋅(12)n =1+(−1)⋅12(1−12n−1)1−12−(2−n)⋅(12)n ，可得S n =n ⋅(12)n−1．【解析】(1)等差数列{a n }的公差设为d ，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；(2)求得a n2n−1=(2−n)⋅(12)n−1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用等差数列的通项和方程思想，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．19.【答案】证明：(1)设A(x 1,12x 12)，B(x 2,12x 22)， 把y =kx +2代入y =12x 2，得x 2−2kx −4=0． 由韦达定理得x 1+x 2=2k ，x 1x 2=−4．∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,12x 12)⋅(x 2,12x 22)=x 1x 2+14(x 1x 2)2=0． ∴OA ⊥OB ．(2)∵y =12x 2，∴y′=x ，故经过点A(x 1,12x 12)的切线l 1的方程为：y −12x 12=x 1(x −x 1)， 即y =x 1x −12x 12，①同理，经过点B(x 2,12x 22)的切线l 2的方程为：y =x 2x −12x 22，②①×x 2−②×x 1，得y =12x 1x 2=−2． 即点M 在直线l ：y =−2上．【解析】(1)设A(x 1,12x 12)，B(x 2,12x 22)，把y =kx +2代入y =12x 2，得x 2−2kx −4=0.利用韦达定理，结合向量的数量积求解证明即可．(2)求出导数y′=x ，利用切线方程，求解M 的坐标，即可得到结果．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)如图，ME =20米，O 1M =20√3米， 梯形O 1O 2FE 的面积为12(120+80)×20√3=2000√3平方米． 矩形AO 1O 2B 的面积为4800平方米．∠AO 1E =π6， 扇形O 1AE 和扇形O 2FB 的面积均为12×π6×1600=400π3平方米，所以阴影部分面积为4800−2000√3−800π3平方米．答：检票等候区域(图中阴影部分)面积为4800−2000√3−800π3平方米．(2)设∠AO 1E =θ,θ∈(0,π2)，则AE⏜=FB ⏜，EF =120−2×40sinθ=120−80sinθ， 修建费用f(θ)=200×80θ+400×(120−80sinθ)=16000(θ+3−2sinθ)， f′(θ)=16000(1−2cosθ)，令f′(θ)=0，则θ=π3，所以，当θ=π3时，即∠AO 1E =π3，修建费用最低． 答：当∠AO 1E 为π3时，修建费用最低．【解析】(1)利用已知条件，转化求解检票等候区域(其中阴影部分)面积．(2)设∠AO 1E =θ,θ∈(0,π2)，则AE⏜=FB ⏜，EF =120−2×40sinθ=120−80sinθ，修建费用f(θ)=200×80θ+400×(120−80sinθ)=16000(θ+3−2sinθ)，利用函数是导数转化求解，最小值即可．本题考查函数的实际应用，函数的导数的应用，考查发现问题解决问题的能力． 21.【答案】解：(1)由已知得椭圆的半长轴a =2，半焦距c =√3，则半短轴b =1． 又椭圆的焦点在x 轴上， ∴椭圆的标准方程为x 24+y 2=1(2)当BC 垂直于x 轴时，BC =2，S △ABC =1 当BC 不垂直于x 轴时，设该直线方程为y =kx ，代入x 24+y 2=1解得B(√4k 2+1√4k 2+1)，√4k 2+1√4k 2+1)， 则|BC|=√1+k 2√1+4k 2，又点A 到直线BC 的距离d =|k−12|√1+k 2，∴△ABC 的面积S △ABC =12|BC|⋅d =√1+4k 2于是S △ABC =√4k 2−4k+14k 2+1=√1−4k4k 2+1要使△ABC 面积的最大值，则k <0由4k4k 2+1≥−1，得S △ABC ≤√2，其中，当k =−12时，等号成立．∴S △ABC 的最大值是√2【解析】本题的考点是直线与圆锥曲线的综合问题，主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，求三角形面积的最值，关键是构建模型，利用基本不等式求解．(1)由左焦点为F(−√3,0)，右顶点为D(2,0)，得到椭圆的半长轴a ，半焦距c ，再求得半短轴b ，最后由椭圆的焦点在x 轴上求得方程．(2)当BC 垂直于x 轴时，BC =2，S △ABC =1；当BC 不垂直于x 轴时，设该直线方程为y =kx ，代入椭圆方程，求得B ，C 的坐标，进而求得弦长|BC|，再求原点到直线的距离，从而可得三角形面积模型，再用基本不等式求其最值．22.【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=lnx +12x 2−2x ，x ∈(0,+∞)，f′(x)=1x +x −2，∴f′(1)=0，又f(1)=−32，∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y =−32； (2)函数g(x)=f(x)−12ax 2有两个不同的零点x 1，x 2， 等价于方程a +1=lnx x 有两个不同实根x 1，x 2．①令φ(x)=lnx x，则φ′(x)=1−lnx x 2，∴φ(x)=lnx x 在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，则当x =e 时，φ(x)=lnx x取得最大值1e ，由于φ(1)=0，当x ∈(0,1)时，φ(x)<0；当x ∈(1,+∞)，φ(x)>0，φ(x)的大致图象如图所示．当a +1∈(0,1e )，即−1<a <1e −1时，函数g(x)=f(x)−12ax 2有两个不同的零点x 1，x 2， 故实数a 的取值范围是(−1,1e −1)；②证明：不妨设0<x 1<x 2，lnx 1=(a +1)x 1，lnx 2=(a +1)x 2， 两式相加得ln(x 1x 2)=(a +1)(x 1+x 2)，两式相减得ln x2x 1=(a +1)(x 2−x 1)，∴ln(x 1x 2)ln x 2x 1=x 1+x2x 2−x 1．要证x 1⋅x 2>e 2，只需证ln(x 1x 2)=x 1+x 2x 2−x 1ln x2x 1>2，即证ln x 2x 1>2x 2−x 1x2+x 1=2(x 2x 1−1)1+x 2x 1，设t =x 2x 1(t >1)，令F(t)=lnt +4t+1−2， 则F′(t)=(t−1)2t(t+1)>0，∴函数F(t)在(1,+∞)上单调递增，且F(1)=0，∴F(t)>0，即x 1⋅x 2>e 2．【解析】(1)当a =1时，求得f(x)的导函数，得到f′(1)，再求出f(1)，利用直线方程的点斜式求解； (2)函数g(x)=f(x)−12ax 2有两个不同的零点x 1，x 2，等价于方程a +1=lnx x有两个不同实根x 1，x 2．①构造函数φ(x)=lnx x ，利用导数求最值，把问题转化为求a +1的范围，进一步求得a 的范围；②不妨设0<x 1<x 2，lnx 1=(a +1)x 1，lnx 2=(a +1)x 2，可得ln(x 1x 2)ln x 2x 1=x 1+x2x 2−x 1，要证x 1⋅x 2>e 2，只需证ln x 2x 1>2x 2−x 1x2+x 1=2(x 2x 1−1)1+x 2x 1，换元后再由导数证明．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数零点的判定，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．。
深圳实验学校高中部2020—2021学年度第一学段考试高二数学试卷
深圳实验学校高中部2020-2021学年度第一学段考试高二数学试卷高二数学(理)试卷时刻：120分钟满分：150分第一卷(选择题 满分50分)一、选择题：本大题共10小题，在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确, 请把正确的结论填涂在答题卡上.每小题5分，满分50分.1. 若命题”的逆命题是q ，命题"的逆否命题是r,则g 与厂的关系是(A)互为逆命题.(B)互为否命题. (C)互为逆否命题.(D)不能确定.2. 已知正方体ABCD-A }B {C {D }中，点F 是侧面CDDQ 的中心，若AF = AD+xAB+yAA if 则x-y 等于(A) 一丄.(B) 0・ (C)丄. (D) 1・2 23. 已知4(-4,6,-1八3(432),则下列各向量中是平而AO3的一个法向量的是(A) (0,1,6).(B)(—12—1)・ (0(-15436). (D)(15,4-36)・4. 设M = e R y x 2+ax+\ > o}, N =制玉 wR,(a-3)x+1 = o},若命题 p :a eM ,命题q: u 已N ,那么命题"是命题g 的7.设p 是双曲线二一二=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y = 0, cr 9仟、厲分别是双曲线的左、右焦点.若|P 川=3,则|P/s| =(A)充分不必要条件. (B) 必要不充分条件. (C) 充要条件.5. 若方程2伙$ -2)x 2 +k 2y 2 +k 2-k (A) (-^O ,-A /2) U(A /2,-+<O ). (C) (-2,-72)U(V2,2)U(2,3).2 26.设£为双曲线—+ — = 1的藹心率,2 rn (A) (-6-1)・(B)(0,6)・(D) 既不充分又不必要条件.•6 = 0表示椭圆，则&的取值范畴是(B) (-2,-阿 U (血,3). (D) (-2,3).且e e (1,2),则实数加的取值范畴为(C) (+l). (D) (-6,0).(A) 1 或5・(B)6・(C)7・(D)9・v2 v2h + c& 已知c是椭圆r +亠=1(«>b>0)的半焦距，则——的取值范畴是cr Zr a(A) (1,+s). (B)[运,w). (C)(1,V2] . (D)(1,V2).9. 椭圆C, : —+ — = 1的左准线为/,左.右焦点分别为抛物线C\的4 3准线为/,焦点是竹，6与C?的一个交点为P,则『巧I的值等于4 8(A) 一・(B)-・(C)4・(D)8・3 310. 抛物线y2 = 2px与直线a.x+y-4 = 0交于两点A、其中点A的坐标是(1,2),设抛物线的焦点为F,则\FA\ + \FB\等于(A) 7・(B)3A/5・(C)6・(D)5・深圳实验学校高屮部2005-2006学年度第二学段考试高二数学(理)试卷第二卷(非选择题满分100分)二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.11・写出命题"BxeR^x2-x + 2> 0"的否定：_____________________________________ .12. 已知7 = (1,2,-1), b = (-2,3,0),若(〃叼+5)丄(a-b),则实数〃？ = ______________ :若(na^b)H(a-b),则实数“ =________________ .(第1空2分，第2空3分)213. 以双曲线X2- —= -1的对称中心为顶点，双曲线的焦点为焦点的抛物线的方3程是____________ .14•椭圆—+ -^— = 1的离心率是丄，则两准线间的距离为9 8 + 77? 2三. 解答题：本大题共6小题，共80分.解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. （本题满分12分）设双曲线C的方程为—-y2 =1 ,直线/的方程是4y = kx+1 >当£为何值时，直线/与双曲线C（I）有两个公共点？（1【）仅有一个公共点？（【【【）没有公共点？16. （本题满分12 分）设N = ^x2+（aS）-8a<o}.命x + 3题p:xeM ,命题q ; x已N・（I）当a = -6时，试判泄命题p是命题g的什么条件；（II）求“的取值范畴，使命题〃是命题q的一个必要但不充分条件.17. （本题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底而ABCD为正方形,AB=2, PA = y[2, PD = y/6 , PC =届,BQ 丄PC.(I )求证：平而PCD丄平面QBD：(II )求直线AC与平而PBC所成角的正弦值.18・(本题满分14分)已知正方体ABCD-A^QD,的棱长为3・(I )问在棱上是否存在点E,使异而直线£>£与色(7所成角的余弦为讣、斥, 若存在，指出点E的位置，若不存在，说明理由；(H)当点£在棱GD上，且D\E = 1时，求二面角B\—DE— G的余弦值.19. (本题满分14分)已知点A(LO),动点M到点A的跑离比到y轴的距离多1・（I ）求动点M的轨迹方程；（II）在x轴上是否存在如此的点3,过点8的任意直线与点M的轨迹相交于P、Q两点时，使得线段P0的中点到原点O的距离恒为P0长度的一半？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.20. （本题满分14分）已知椭圆的中心在原点O,焦点在x轴上，过其右焦点F作斜率为1的直线/,交椭圆于A、3两点，若椭圆上存在一点C,使四边形QACB 为平行四边形.（I）求椭圆的离心率：（II）若AOAC的而积为15丫§,求那个椭圆的方程.深圳实验学校高屮部2005-2006学年度第二学段考试高二数学（理）参考答案一、选择题：本大题共10小题，在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确, 请把正确的结论填涂在答题卡上.每小题5分，满分5（）分.二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分（第12题第1空2分，第2空3 分）.12. in = — x /? = —1 ： --- 2_ 14. 12 或三.解答题：本大题共6小题，共80分.解承诺写出文字说明，证明过程或演算步 骤.215. （本题满分12分）设双曲线C 的方程为罕-于=],直线/的方程是4y = kx+\.当k 为何值时，直线/与双曲线C（I ）有两个公共点？ （II ）仅有一个公共点？（III ）没有公共点？ 2解：把y = kx+1 代入—-v 2= 1 得:（1 -4/r 2）x 2 -3kx-8 = 0............. （*）4 当1一4/=0,即k=±丄时，方程（*）为一次方程，只有一解.2/o Fy i当 1一4/ 工0且厶=（一8£）2—4（1一4/）（一8）>0,即一 —<Z:< —且《工± —2 2 2时，方程（*）有两个不等实根.当 1一碌2工0且厶=（一洙）2一4（1一4/：2）（—8） = 0,即k = +—时，方程（*）有2两个相等实根.当 1一 4/H0 且厶=（一洙）2-4（1一4戸）（一8）<0,即 k<- —或二时，方2 2程（*）没有实根.因此，（I ）当—且土丄时，直线/与双曲线c 有两个公共点：2 2 211. Vx e /?,x 2 -x + 2 < 0；13. x 2 = 8yglcx 2 = -8y :(H)当k = ±-或k = ±空时，直线/与双曲线C仅有一个公共点：2 2/J(III)当k<_[或《>丄「时，直线/与双曲线C没有公共点.2 216. (本题满分12 分)设三>1], N =\xx2+(aS)Sa<o},命x + 3题p'.x^M ,命题c/:xe N .(I )当a = -6时，试判定命题p是命题q的什么条件；(II)求"的取值范畴，使命题"是命题g的一个必要但不充分条件.解：M={A|X<-3<¥>5},N = {^(x-8)(x + a)<0}.(I )当a = -6时，N = {Y|6 < x < 8).•.•NuM,二当xeN时，有xwM,但xwM时不能得岀x已N .因此，命题"是命题g的必要但不充分条件.(II)当ov—8时，?/={A-|8<X<-«},有N uM,满足命题”是命题q的必要但不充分条件. 当“>一8 时，/V = {x|-«<x<8),要使N uM,须一a >5,即一8<a<-5.当« = -8时，N = {8},满足命题"是命题q的必要但不充分条件.因此，"的取值范畴是"V—5・17. (本题满分14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD为正方形, PAB=2, PA =迈,PD =屁 PC = V10 , BQ丄PC. A\(I )求证：平而PCD丄平而QBD；(II)求直线AC与平面P3C所成角的正弦值.(I )证明：•・・ AD = AB = ZAC = 2x/2 ,PA =迈,PD =联,PC =、而,・••有PC2 = PA2 + AC2f PD2 = PA2 + AD2.则PA 丄AD, PA±AC.・・・PA丄底而ABCD.・•・BC = CD,・・・MBC竺HPDC・则由30丄PC,得D0丄PC, 因此，PC丄平而QBD.• PC u平面PCD, ••・平面PCD 丄平而I)(II)法一：过A 作AM 丄PB,垂足为M,连CM.•/ PA 丄底而 ABCD, BCu 底面43CD, .•.BC 丄 PA又•.• BC 丄 AB,二 3C 丄平而 PAB ，BC 丄 AM , 则AM 丄平而PBC.因此，ZACM 为AC 与平而PBC 所成的角. 在直角AAMC 中，AM =卜；=半，&C = 2“. siiiZACM = — = 21. /法二：依(I )可知，PA 丄底而ABCD.x '以A 为坐标原点，AB. AD. AP 所在的直线分別为x 轴、y 轴、z 轴建殳空间 直角坐标系，则A(0,0,0).C(2,2,0), P(0,0,V2), B(2,0,0),/. AC = (2,2,0), BC = (0,2,0), ~PB = (2,0,』).设平面PBC 的法向量为n = (x, y, z),BCii = 0・x + 2 ・y + 0・ < =0,・血•历= 2x + 0y -辰=0. 令 x = l,解得 y = 0.z = y[2 ・COS V疋斤 >= “ "- = 和I・・・直线AC 与平而PBC 所成角与向量疋和法向量丘所成角是互余关系. 直线AC 与平而PBC 所成角的正弦值为总.618. （本题满分14分）已知正方体ABCD-A^C^的棱长为3・（I ）问在棱GD 上是否存在点E ，使异而直线DE 与5C 所成角的余弦为讣、/§, 若存在，指出点E 的位置，若不存在，说明理由；（II ）当点E 在棱G9上，且D\E = 1时，求二面角B\—DE — C\的余弦值.解：（I ）如图所示，以点£＞为坐标原点, DA . DC.分别为x、八z轴，建立空间直角坐标系.设存在满足题意的点E,且D 、E = f, 那么 ZXOQO), E(0』,3), C(0,3,0),目(3,3,3). • •旋=(0厶3), 阪= (3,0,3)・ •.•昭％所成角的余弦为箱6 2・••存在点E, E 的坐标为(0丄3)或0£ = 1时，DE 与QC 所成角的余弦为一、你・(II) CB 丄 T 【liiDEC],二 CB = (3,0.0)为丫 [们 DEC 】的法向屋，记为® =(3,0,0)・ 设平而B {ED 的法向屋:为n 2 =(aj^c)»取 c = l,解得 a = 2,b = —3,故 n 2 = (2,—3,1). -* — /?. V14• •COSV 厲” >=—:———= ----- ・I 7 2 —• —• rj> - n /二而角B 厂DE-C,的余弦值为岁.19. (本题满分14分)已知点A(l,0),动点M 到点4的距离比到y 轴的距离多1. (I )求动点M 的轨迹方程；(II)在x 轴上是否存在如此的点B,过点B 的任意直线与点M 的轨迹相交于戶、 0两点时，使得线段P0的中点到原点O 的距离恒为PQ 长度的一半？若存在，求岀 点B 的坐标；若不存在，请说明理由.解：(I )依题意，点M 到点A 的距离等于到直线x = -l 的距离，因此点M 的轨迹/. cos< DE, CB, >=H-H3、伍肿+ 9v DB 、 = (3,33)，DE = (04,3)，/.DBi n 2 =3a + 3b + 3c = 09 DE^=b + 3c = 0 ・是以A 为焦点，以兀=一1为准线的抛物线，方程为y 2 =4x.(II)当线段PQ 的中点到点O 的距离为P0长度的一半时，AAOB 为宜角三角形, ZPOQ =90° .假设存在满足条件的点3 ,点〃坐标为(“,0).当过点3的直线垂直于x 轴时，依题意有BP=BQ=BO,则点P 的坐标为点P(“,d)在抛物线b =4.r±, /. o = 4. 下面证明点3(4,0)满足条件.当过点B 直线不垂直于x 轴时，设该直线的斜率为k 伙H0)，则直线方程为y =心一4),又设P 、0两点的坐标为P (册，》)、g(x 2,y 2).k op 'k OQ =-1 => —• —= -1, + =0. (1)把)1=«(州一4)、y 2 =k(x 2 -4)代入⑴中,得（1 + &［）牙［开三 _4&三（工］+X 2） + 16^2 = 0 ・ (2)2 — A Y 由卜 "' 消去y ,得宀一（加+4）x + 16l =0, ）,=心一4）「则(2)的左边=（1 + 鸟2）・ 16—4*2 肚 宀 + 加=16 + 16^2 —32£2 _16 + 16比2 =0.・•・（2）式对任意k 恒成立.因此，存在满足条件的点3,点B 坐标为(40)・20. (本题满分14分)已知椭圆的中心在原点O,焦点在x 轴上，过其右焦点F 作斜率为1的直线人交椭圆于A 、B 两点，若椭圆上存在一点C,使四边形OAC3为 平行四边形.(I)求椭圆的离心率： (II) 若△O4C 的面积为15、你,求那个椭圆的方程.解：(I )设椭圆方程为二+二=1 (a>b>0),cr b-X] +x 2 = 加+4 ~T~~直线l:y = x-c , B(x 2,y 2), AB 中点为(%儿)・由上+ ^T ，得y = x-c(a 2 +b 2)x 2 -2a 2cx + a 2(c 2 - 庆)=0=>册 +x ? =" I tr +lr_A -+X 2 _ /c 、.― -b 2c 丿吠-一---儿一"一;Th_ 2b 2 f* ・・•四边形OAC3为平行四边形，・・・兀。
2020-2021深圳北大附中深圳南山分校高二数学上期中试题(附答案)
2020-2021深圳北大附中深圳南山分校高二数学上期中试题(附答案)一、选择题1．设,m n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x mx n ++=有实根的概率为（ ） A ．1936B ．1136C ．712D ．122．“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A ．3B ．4C ．5D ．63．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A ．这组新数据的平均数为m B ．这组新数据的平均数为a m + C ．这组新数据的方差为anD ．这组新数据的标准差为a n4．如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A ．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长5．某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （C ︒）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表： 月平均气温x C ︒171382月销售量y （件）24334055由表中数据算出线性回归方程y bx a =+$$$中的2b =-$，气象部门预测下个月的平均气温为6C ︒，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）A ．58件B ．40件C ．38件D ．46件6．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ） A ．25B ．1225C ．1625D ．457．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数50T ≤时，空气质量为优；50100T <≤时，空气质量为良；100150T <≤时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）A ．35B ．1180C ．119D ．568．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出n 的值为 （ ）A．20B．25C．30D．359．在学校组织的考试中，45名学生的数学成绩的茎叶图如图所示，则该45名学生的数学成绩的中位数为（）A．127B．128C．128.5D．12910．我国古代名著《庄子g天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A ．17?,,+1i s s i i i≤=-= B ．1128?,,2i s s i i i≤=-= C ．17?,,+12i s s i i i ≤=-= D ．1128?,,22i s s i i i≤=-= 11．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元）8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元12．运行如图所示的程序框图，若输出S 的值为129，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．4?k <B ．5?k <C ．6?k <D ．7?k <二、填空题13．已知一组数据：87,,90,89,93x 的平均数为90，则该组数据的方差为______． 14．将一枚骰子连续掷两次，点数之积为奇数的概率为__________．15．某校连续5天对同学们穿校服的情况进行统计，没有穿校服的人数用茎叶图表示，如图，若该组数据的平均数为18，则x =_____________.16．执行如下图所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出S 的值为__________．17．根据下图所示的流程图，回答下面问题：若a ＝50.6，b ＝0.65，c ＝log0.65，则输出的数是________．18．执行如图所示的程序框图，如果输出3s =，则正整数M 为__________．19．如图程序框图的输出结果是_________.20．已知方程0.85 2.1ˆ87yx =-是根据女大学生的身高预报其体重的回归方程， ˆ,x y 的单位是cm 和kg ，则针对某个体()160,53的残差是__________．三、解答题21．中国神舟十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，引起全国轰动．开学后，某校高二年级班主任对该班进行了一次调查，发现全班60名同学中，对此事关注的占13，他们在本学期期末考试中的物理成绩如下面的频率分布直方图：（1）求“对此事关注”的同学的物理期末平均分（以各区间的中点代表该区间的均值）． （2）若物理成绩不低于80分的为优秀，请以是否优秀为分类变量， ①补充下面的22⨯列联表：物理成绩优秀 物理成绩不优秀 合计对此事关注 对此事不关注 合计②是否有95%以上的把握认为“对此事是否关注”与物理期末成绩是否优秀有关系？参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．画出解关于x 的不等式0ax b +<的程序框图，并用语句描述.23．自从高中生通过高校自主招生可获得加分进入高校的政策出台后，自主招生越来越受到高中生家长的重视.某机构为了调查A 城市和B 城市的高中家长对于自主招生的关注程度，在这两个城市中抽取了100名高中生家长进行了调查，得到下表：关注 不关注 合计 A 城高中家长2050B 城高中家长20合计100（1）完成上面的列联表；（2）根据上面列联表的数据，是否有95%的把握认为家长对自主招生关注与否与所处城市有关；（3）为了进一步研究家长对自主招生的直法，该机构从关注的学生家长里面，按照分层抽样方法抽取了5人，并再从这5人里面抽取2人进行采访，求所抽取的2人恰好,A B 两城市各一人的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）.24．某乡镇为了发展旅游行业，决定加强宣传，据统计，广告支出费x 与旅游收入y （单位：万元）之间有如下表对应数据：（1）求旅游收入y 对广告支出费x 的线性回归方程y bx a =+，若广告支出费12万元，预测旅游收入；（2）在已有的五组数据中任意抽取两组，根据（1）中的线性回归方程，求至少有一组数据，其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率.（参考公式：1221ni ii nii x y nxyb xnx==-=-∑∑，a y bx =-，其中,x y 为样本平均值，参考数据：521145i i x ==∑，52113500i i y ==∑，511380i ii x y==∑）25．某“双一流A 类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：（1）将同一组数据用该区间的中点值作代表，求这100人月薪收入的样本平均数x ； （2）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：方案一：设区间[)1.85,2.15Ω=，月薪落在区间Ω左侧的每人收取400元，月薪落在区间Ω内的每人收取600元，月薪落在区间Ω右侧的每人收取800元； 方案二：每人按月薪收入的样本平均数的3%收取；用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？26．地球海洋面积远远大于陆地面积，随着社会的发展，科技的进步，人类发现海洋不仅拥有巨大的经济利益，还拥有着深远的政治利益.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”.2019年6月8日，某大学的行政主管部门从该大学随机抽取100名大学生进行一次海洋知识测试，并按测试成绩（单位：分）分组如下：第一组[65，70），第二组[70，75），第二组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到频率分布直方图如下图：（1）求实数a 的值；（2）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生组成中国海洋实地考察小队，出发前，用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副队长，列举出所有的基本事件并求“抽取的2人为不同组”的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A解析：A 【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件数是6×6=36种结果， 方程x 2+mx +n =0有实根要满足m 2−4n ⩾0， 当m =2，n =1 m =3，n =1，2 m =4，n =1，2，3，4 m =5，n =1，2，3，4，5，6， m =6，n =1，2，3，4，5，6 综上可知共有1+2+4+6+6=19种结果 ∴方程x 2+mx +n =0有实根的概率是1936； 本题选择A 选项.2．B解析：B 【解析】 【分析】设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n n P C =-，由21P P …，得10.90.3n-…， 由此能求出n 的最小值． 【详解】Q 李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1， 现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究M ， 设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n nP C =-， 21P P Q …，10.90.3n∴-…， 解得4n ≥．n ∴的最小值是4．故选B ． 【点睛】本题考查实数的最小值的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率的计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．D解析：D 【解析】 【分析】计算得到新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为，结合选项得到答案. 【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为. 故选：D 【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.4．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可. 【详解】对于选项A ： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低， 差值为439724111986-=，接近2000万件，所以A 是正确的；对于选项B ： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月最高，所以B 是正确的；对于选项C ：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．D解析：D 【解析】试题分析：由表格得(),x y 为：()10,38，因为(),x y 在回归方程y bx a =+$$$上且2b =-$，()38102a ∴=⨯-+，解得58a =∴2ˆ58y x =-+，当6x =时，26ˆ5846y=-⨯+=，故选D. 考点：1、线性回归方程的性质；2、回归方程的应用.6．C解析：C 【解析】 【分析】甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概率． 【详解】设甲同学收到李老师的信息为事件A ，收到张老师的信息为事件B ，A 、B 相互独立，42()()105P A P B ===， 则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=．故选C ． 【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率．在求两个事件中至少有一个发生的概率时一般先求其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率．这样可减少计算，保证正确．7．A解析：A 【解析】 【分析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可. 【详解】由表知空气质量为优的概率是110， 由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为111632+=， 所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率1131025P =+=， 故选：A 【点睛】本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题.8．B解析：B 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的n 的值. 【详解】输出20,80,100n m s ==≠；21,79,100n m s ==≠；22,78,100n m s ==≠； 23,77,100n m s ==≠；24,76,100n m s ==≠；25,75,100n m s ===，退出循环，输出25n =，故选B. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9．D解析：D 【解析】分析：由茎叶图得出45名学生的数学成绩，从而求出中位数． 详解：根据茎叶图得出45名学生的数学成绩，可知中位数为129. 故选D.点睛：本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据，进行解答，属基础题.．10．B解析：B 【解析】 【分析】分析程序中各变量的作用，再根据流程图所示的顺序，可得该程序的作用是累加并输出S 的值，由此可得到结论. 【详解】由题意，执行程序框图，可得： 第1次循环：11,42S i =-=； 第2次循环：111,824S i =--=； 第3次循环：1111,16248S i =--==； 依次类推，第7次循环：11111,256241288S i =----==L ， 此时不满足条件，推出循环，其中判断框①应填入的条件为：128?i ≤， 执行框②应填入：1S S i=-，③应填入：2i i =. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中正确理解程序框图的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11．B解析：B 【解析】 试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．12．C解析：C 【解析】 【分析】最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体时要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体． 【详解】0S =，1k =；110121S -=+⨯=，2k =；211225S -=+⨯=， 3k =；3153217S -=+⨯=，4k =；41174249S -=+⨯=， 5k =；514952129S -=+⨯=，6k =，此时输出S ，即判断框内可填入的条件是“6?k <”.故选：C ． 【点睛】本题考查循环结构程序框图. 解决程序框图填充问题的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、执行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 二、填空题13．【解析】该组数据的方差为 解析：4【解析】8790899390591x x ++++=⨯∴=该组数据的方差为222221[(8790)(9190)(9090)(8990)(9390)]45-+-+-+-+-=14．【解析】【分析】先求出总的基本事件的总数再求出点数之积为奇数的基本事件的总数再利用古典概型的概率公式求解【详解】由题得总的基本事件个数为两次点数之积为奇数的基本事件的个数为由古典概型的概率公式得故答 解析：14【解析】 【分析】先求出总的基本事件的总数，再求出点数之积为奇数的基本事件的总数，再利用古典概型的概率公式求解. 【详解】由题得总的基本事件个数为66=36⨯，两次点数之积为奇数的基本事件的个数为33=9⨯，由古典概型的概率公式得91364P ==. 故答案为：14【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15．8【解析】【分析】根据茎叶图计算平均数【详解】由茎叶图得【点睛】本题考查茎叶图以及平均数考查基本运算能力属基础题解析：8 【解析】 【分析】根据茎叶图计算平均数. 【详解】 由茎叶图得1617101920188.5x x +++++=∴=【点睛】本题考查茎叶图以及平均数，考查基本运算能力，属基础题.16．15【解析】程序执行过程为：当i=1s=1i<6s=1当i=3i<6s=3当i=5i<6s=15当i=7i>6退出s=15填15解析：15 【解析】 程序执行过程为：当i=1,s=1,i<6,s=1,当i=3,i<6,s=3,当i=5,i<6，s=15,当i=7，i>6，退出s=15.填15.17．6【解析】因为所以输出解析：6 【解析】因为a b c >>，所以输出50.6.a =18．27【解析】依次运行框图所示的程序可得第一次：不满足条件；第二次：不满足条件；第三次：不满足条件；……第二十四次：不满足条件；故判断框内的条件是答案：27点睛：程序框图的补全及逆向求解问题的解题策略解析：27 【解析】依次运行框图所示的程序，可得第一次：1331log 4log 4,4S k =⨯==，不满足条件； 第二次：2343log 4log 5log 5,5S k =⨯==，不满足条件； 第三次：3353log 5log 6log 6,6S k =⨯==，不满足条件； ……第二十四次：243263log 26log 27log 273,27S k =⨯===，不满足条件； 故判断框内的条件是27?k ≥。
广东省深圳市2020-2021学年高二上学期调研考试数学试题含答案
保密★启用前深圳市普通高中2019级调研考试数学2020.9本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，粘贴好条形码．如果是选择性考试科目，还须将已确定（意向）选考的科目的标识用2B 铅笔涂黑．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，交回答题卡，保留好试卷．一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{04}=≤<A x x ，集合{11}=-<<B x x ，则⋂=A B （）A ．{14}-<<x x B ．{01}≤<x x C ．{10}-<<x x D ．{14}≤<x x 2．函数2()log (3)=-f x x 的定义域为（）A ．(,3]-∞B ．(,3)-∞C ．[3,)+∞D ．(3,)+∞3．在 ABC 中，若60∠=︒A ，45∠=︒B ，=BC ，则=AC （）A ．B ．CD ．24．某高中有三个年级，其中高一学生900人，高二学生860人，现采用分层抽样的方法调查学生的视力情况，在抽取的样本中有高二学生43人、高三学生39人，则该高中的学生总人数应为（）A ．2600B ．2580C ．2540D ．25005．甲、乙两名同学都参加了7场篮球比赛，他们的各场比赛得分的情况用如下茎叶图表示，则A ．甲得分的均值高于乙得分的均值B ．甲得分的均值低于乙得分的均值C ．甲得分的方差高于乙得分的方差D ．甲得分的方差低于乙得分的方差6．已知0.430,43,0.4,log 3===a b c ，则（）A ．<<b c aB ．<<b a cC ．<<c a bD ．<<c b a7．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A ．3πB ．6πC ．7πD ．8π8．在 ABC 中，2=AB ，3=AC ，4=B C ，若12=BD DC ，则⋅= AD BC （）A ．16-B ．16C ．56-D ．56二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知直线:10++=l mx y ，()1,0A ，()3,1B ，则下列结论正确的是（）A ．直线l 恒过定点()0,1B ．当0=m 时，直线l 的斜率不存在C ．当1=m 时，直线l 的倾斜角为34πD ．当2=m 时，直线l 与直线AB 垂直10．已知函数()sin 232=+f x x x ，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．()f x 的图象关于直线512π=-x 对称D ．()f x 的单调递增区间是5,()1212ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z 111．emoji （中文名：绘文字，别称：“小黄脸”）最早源于日本，是指在无线通信中所使用的视觉情感符号，可用来代表多种表情．如今emoji 表情已经风靡全球，大有“无emoji ，不聊天”的趋势．题图1的“微笑脸”是交流沟通中最常使用的表情符号之一．我们可以用一些适当的函数图象或者是方程的曲线来绘制其近似图象，如题图2．其中，可用曲线221+=x y 勾勒脸庞，用曲线12=+y ，12=+y 近似两只眼睛．下列四个函数中，可用其图象来近似描绘嘴巴形状的有（）A ．2111344⎛⎫=--≤≤ ⎪⎝⎭y x x B ．111644+⎛⎫=--≤≤ ⎪⎝⎭y x C ．411cos 2344π⎛⎫⎛⎫=--≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x D ．211cos 2344π⎛⎫⎛⎫=-+-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭yx x 12．如图，已知四棱锥-P ABCD 所有棱长均为4，点M 是侧棱PC 上的一个动点（不与点,P C 重合），若过点M 且垂直于PC 的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（）A ．截面的形状可能为三角形、四边形、五边形B ．截面和底面ABCD 所成的锐二面角为4πC ．当1=PM 时，截面的面积为52D ．当2=PM 时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为()1212,>V V V V ，则123=V V 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量(1,),(1,2)==-a mb ，若⊥ a b ，则=m _____．14．已知某设备的使用年限x （年）与维护费用y （万元）之间有如下数据，且x 与y 之间具有线性相关关系，由下表的统计数据，利用最小二乘法求得y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.70.35=+y x ，则数据=t _____．使用年限x （年）3456维护费用y （万元）2.5t44.515．已知函数()f x 是奇函数，且满足()(3)=-f x f x ，若当30,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 时，()=f x x ，则(2020)=f _____．16．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2=+y k x ，曲线2C 的方程为22(1)4++=x y ，若1C 与2C 有且仅有三个公共点，则实数k 的值为_____．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知1tan 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求tan α的值；（2）求2cos 22sin cos 2πααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭-的值．18．（12分）某地为了解居民家庭的月均用电量，通过抽样获得了100户居民家庭在近一年内的月均用电量（单位：度）数据，将这些数据分成9组：[50,100),[100,150),[150,200),[200,250)，[250,300),[300,350)，[350,400),[400,450),[450,500)，并绘制成如下的频率分布直方图．（1）求a 的值；（2）请估计这100户居民家庭月均用电量的中位数；（3）若从样本中月均用电量在[400,500)的居民家庭中随机抽取2户家庭参与调研座谈，求恰有1户居民家庭的月均用电量在[400,500)的概率．19．（12分）如图，在三棱柱111-ABC A B C 中，1⊥AA 底面111A B C ，1=AC AA ，90︒∠=BAC ，D 是BC 中点，求证：（1）1//A B 平面1AC D ；（2）平面11⊥A B C 平面1AC D ．20．（12分）已知函数()sin()(0,0,0)ωϕωϕπ=+>><<f x A x A的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式：（2）将函数()=y f x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移2π个单位长度，得到函数()=y g x 的图象，求()g x 在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．21．（12分）已知圆22:4+=O x y ，点P 在直线3=-y 上运动．（1）若点P 的横坐标为1-，且过点P 的直线l 被圆O截得的弦长为，求直线l 的方程；（2）若直线PA ，PB 与圆O 相切，且A ，B 为切点，证明：直线AB 恒过定点，并求出定点坐标．22．（12分）已知定义在R 上的函数2()23=-+f x x mx 在(0,)+∞上是增函数．()g x 为偶函数，且当(,0]∈-∞x 时，1()2+=x mg x ．（1）求()g x 在(0,)+∞上的解析式；（2）若函数()f x 与()g x 的值域相同，求实数m 的值；（3）令(),0,()(),0,<⎧=⎨>⎩f x x F x g x x 讨论关于x 的方程()3=+F x m 的实数根的个数．深圳市普通高中2019级调硏考试数学参考答案一、单项选择题：题号12345678答案B D BC CD D A二、多项选择题：题号9101112答案CDBCDADBCD三、填空题13．1214．315．1-16．43-．四、解答题：17．【解答】（1）解法一：∵tan tan44tan tan 441tan tan44ππαππααππα⎛⎫+- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+-= ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦++⋅ ⎪⎝⎭，且1tan 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴1113tan 12113α-==-+⋅．5分解法二：∵tan 1tan 41tan πααα+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭且1tan 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴tan 111tan 3αα+=-，解得1tan 2α=-．5分（2）222222cos 2sin 22sin cos 2tan 22sin cos22sin cos 2sin cos 2tan 1παααααααααααα⎛⎫+ ⎪---⎝⎭====-----．10分18．【解答】（1）易知500.0008500.0016500.003050500.0050500.0030⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+a 500.0012500.0008500.00041⨯+⨯+⨯=，解得0.0042=a ．3分（2）设这100户居民家庭月均用电量的中位数为0x ，∵500.0008500.0016500.0030500.00420.48⨯+⨯+⨯+⨯=，4分∴()02500.00500.50.48-⨯=-x ，6分解得0254=x ，即这100户居民家庭月均用电量的中位数为254．7分（3）由频率分布直方图可知，样本中的月均用电量在[400,450)的居民家庭户数为4，月均用电量在[400,450)的居民家庭户数为2，8分不妨记“从样本中的月均用电量在[400,450)的居民家庭中随杋抽取2户家庭参与调研座谈，恰有1户家庭的月均用电量在[400,450)”为事件A ，且记月均用电量在[400,450)的居民家庭分别为1a ，2a ，3a ，4a 月均用电量在[450,500)的居民家庭分别为1b ，2b 9分从样本中的月均用电量在[400,500)的居民家庭中随机抽取2户家庭参与调研座谈，则有()12,a a ，()()()131411,,,,,a a a a a b ，()()()122324,,,,,a b a a a a ，()()()212234,,,,,a b a b a a ，()()3132,,,a b a b ()()()414212,,,,,a b a b b b 共15个基本事件，10分其中恰有1户居民家庭的月均用电量在[450,500)的基本事件有，()()()()11122122,,,,,,,a b a b a b a b ，()()()()31324142,,,,,,,a b a b a b a b 共8个基本事件，11分∴由古典概型的计算公式可知，事件A 的概率为8()15=P A ．12分19．【解答】（1）解法一：如图，记线段1AC 与线段1A C 相交于点O ，连接O D ，∵侧面11AA C C 为平行四边形，∴O 为线段1A C 的中点，1分∵D 为线段BC 的中点，则O D 为1 A BC 的一条中位线，∴1//OD A B ，3分又∵⊂OD 平面1AC D ，1⊄A B 平面1AC D ，∴1//A B 平面1AC D ．5分解法二：如图，取11B C 的中点1O ，连接1O B ，11O A ，1O D ，∵D 为线段BC 的中点，且四边形11BB C C 为平行四边形，∴111O DCC AA ，∴四边形11O DAA 为平行四边形，∴11//AD O A ，又∵⊂AD 平面1AC D ，11⊄O A 平面1AC D ，∴11//O A 平面1AC D ；2分又∵11BDO C ，∴四边形11BDC O 为平行四边形，∴11//O B C D ，又∵1⊂C D 平面1AC D ，1⊂/O B 平面1AC D ，∴1//O B 平面1AC D ；4分而1111⋂=O B O A O ，1O B ，1⊂O A 平面11O A B ，∴平面11//O A B 平面1AC D ，又∵1⊂A B 平面11O A B ，∴1//A B 平面1AC D ．5分（2）∵在三棱柱111-ABC A B C 中，1⊥AA 平面111A B C ，11⊂A B 平面111A B C ，∴111⊥A B AA ，6分又∵90︒∠=BAC ，∴1111⊥A B A C ，又∵1111⋂=AA AC A ，1AA ，11⊂AC 平面11AA C C ，∴11⊥A B 平面11AA C C ，8分∵1⊂AC 平面11AA C C ，∴111⊥AC A B ，9分又∵侧面11AA C C 为平行四边形，1=AC AA ，∴四边形11AA C C 为菱形，∴11⊥AC AC 10分又∵1111⋂=A B AC A ，11A B ，1⊂A C 平面11A B C ，∴1⊥AC 平面11A B C ，11分又∵1⊂AC 平面1AC D ，∴平面11⊥A B C 平面1AC D ．12分20．【解答】（1）由题设图象可知2=A ，1分∵周期11521212πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭T，2||2πω==T 又0ω>，∴2ω=，3分∴()f x 过点11,212π⎛⎫⎪⎝⎭，∴112sin 2212πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即11sin 16πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4分∴11262ππϕπ+=+k ，即42,3πϕπ=-∈k k Z ．∵0ϕπ<<，∴23πϕ=，5分故函数()f x 的解析式为2()2sin 23π⎛⎫=+⎪⎝⎭f x x ．6分（2）由题意可知()2sin 6π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x ，9分∵,32ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ，∴2,663πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦x ，∴1sin ,162π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x ，故2sin [1,2]6π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x ，∴()g x 在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[1,2]-．12分21．【解答】（1）∵点P 在3=-y 上，且横坐标为1-，∴(1,3)--P ，又∵l被圆截得的弦长为∴圆心O 到直线l 的距离1=d ，1分①当直线l 斜率不存在，即1=-x 时，满足题意；2分②当直线l 斜率存在时，设:(1)3=+-l y k x ，则1==d ，解得43=k ，4分∴4:(1)33=+-l y x ，即l 的方程为4350--=x y ；综上所述，直线l 的方程为1=-x 或4350--=x y 5分（2）解法一：设(,3)-P t ，则OP 的中点坐标为3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭t ，∴以OP，7分∴以OP 为直径的圆的方程为()222319224⎛⎫⎛⎫-++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t x y t 整理得2230LL-++=x tx y y ①，9分又∵,A B 为切点，圆O 的方程224LL +=x y ②，由①-②可得直线AB 的方程为340--=tx y ，11分故直线AB 恒过定点40,3⎛⎫-⎪⎝⎭．12分解法二：设(,3)-P t ，()11,A x y ，()22,B x y ．则22114+=x y ，6分易知直线OA 的斜率存在，其斜率为()1110≠y x x ，当10≠y 时，由⊥PA O A ，由此可知直线PA 的斜率为11-x y ，7分∴直线PA 的方程可表示为()1111-=--x y y x x y ，整理得，直线PA 的方程为114+=x x y y ，当10=y 时，直线PA 的方程也满足上述方程，∴综上所述，直线PA 的方程为114+=x x y y ．8分又∵直线PA 过点P ，∴11340--=tx y ①9分同理可得，直线PB 的方程为224+=x x y y ，易得，22340--=tx y ②，10分由①②可知：直线AB 的方程为340--=tx y ，11分易知直线AB 恒过定点40,3⎛⎫-⎪⎝⎭．12分（注：若第二问设出P 点坐标后，直接写出直线AB 的方程，则该问最多给4分，总分不得超过9分）22．【解答】（1）∵()g x 为偶函数，∴当0>x 时，则0-<x ，∴1()()22--+=-==x m x mg x g x ．2分（2）∵函数2()23=-+f x x mx 在(0,)∞+上单调递增，∴0≤m ，且()f x 的值域为)23,⎡-+∞⎣m ．3分当(,0]∈-∞x 时，()2-≥mg x ，∵()g x 是偶函数，∴()g x 的值域为)2,-⎡+∞⎣m．4分由题232--=mm ．令2()32-=--mh m m ，易知()h m 在(,0]-∞上单调递增，且(1)0-=h ；∴1=-m ．5分（3）解法一：①当0=m 时，33+=m ，23,0,()2,⎧+<=⎨>⎩xx x F x x 此时()3=F x 仅有一个实数根2log 3=x ．6分②当1=-m 时，32+=m ，2123,0,()2,+⎧++<=⎨>⎩x x x x F x x 此时()2=F x 仅有一个实数根1=-x ．7分③当10-<<m 时，则2233,233,122-<+<<-<<<m m m ，而()2(3)3(1)0+--=+<m m m m ，∴2233-<+<-mm m ，∵函数()F x 在(,]-∞m 上单调递减，在[,0)m 上单调递增，在(0,)+∞上单调递增，故此时，方程()3=+F x m 仅有一个实数根0x ，且023-=+x mm ，02log (3)=++x m m ．9分④当1<-m 时，则32+<m ，232-<m ，22->m ，而()2(3)3(1)0+--=+>m mm m ，∴2332--<+<mm m ，∵函数()F x 在(,]-∞m 上单调递减，在[,0)m 上单调递增，在(0,)+∞上单调递增，故此时，方程()3=+F x m 有两个实数根，其根满足方程2233-+=+x mx m ，解之，得=±x m ．11分综上所述，当1<-m 时，方程()3=+F x m 有两个实数根；当10-≤≤m 时，方程()3=+F x m 仅一个实数根．12分（3）解法二：①当1<-m 时，（i ）当0<x 时，2()320=+⇔--=F x m x mx m ．()240∆=+>m m ，方程220--=x mx m 有两个负的实数根=±x m （ii ）当0>x 时，令()23-=--mH m m ，易知()H m 单调递减，且(1)0-=H ．故此时()(1)0>-=H m H ，即23->+mm ．∴()23->>+mg x m ．即方程()3=+F x m 在当0>x 时无实数根．故当1<-m 时，方程()3=+F x m 有两个实数根．7分②当10-<<m 时，当0<x 时，()240∆=+<m m ，方程220--=x mx m 无实数根．当0>x 时，由①可知，此时23-<+mm ．方程()323-=+⇔=+x mF x m m ．解得2log (3)=++x m m ．故当10-<<m 时，方程()3=+F x m 仅有一个实数根．9分③当0=m 时，33+=m ，23,0,()2,⎧+<=⎨>⎩xx x F x x 此时()3=F x 仅有一个实数根2log 3=x ．10分④当1=-m 时，32+=m ，2123,0,()2,0.+⎧++<=⎨>⎩x x x x F x x 此时()2=F x 仅有一个实数根1=-x ．11分综上所述，当1<-m 时，方程()3=+F x m 有两个实数根；当10-≤≤m 时，方程()3=+F x m 仅一个实数根．12分。
2020-2021学年广东省深圳实验学校高二(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年广东省深圳实验学校高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．“ab＜0”是方程ax2+by2＝c表示双曲线的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．设等差数列{a n}的前n项和为S n．若S4＝20，a5＝10，则a16＝（）A．﹣32B．12C．16D．323．函数f（x）＝﹣lnx+2x2的递增区间是（）A．和B．C．D．4．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．已知函数f（x）＝x2+x sin x，x∈（﹣，），则下列式子成立的是（）A．B．C．D．6．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝（）A．1B．C．2D．37．已知函数f（x）＝x+．若曲线y＝f（x）存在两条过（1，0）点的切线，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）8．已知函数，若x＝1是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，e]B．（﹣∞，e）C．（﹣e，+∞）D．[﹣e，+∞）二、多项选择题（共4小题）.9．与直线仅有一个公共点的曲线是（）A．x2+y2＝1B．C．x2﹣y2＝1D．y2＝x10．对于函数f（x）＝，下列说法正确的有（）A．f（x）在x＝e处取得极大值B．f（x）有两个不同的零点C．f（2）＜f（π）＜f（3）D．若f（x）＜k﹣在（0，+∞）上恒成立，则k＞111．已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，过焦点的直线l抛物线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则下列说法一定正确的是（）A．|AB|的最小值为2B．线段AB为直径的圆与直线x＝﹣1相切C．x1x2为定值D．若M（﹣1，0），则∠AMF＝∠BMF12．已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n．且满足a n+a n+1＝2n，b n•b n+1＝2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）A．0＜a1＜1B．1＜b1＜C．S2n＜T2n D．S2n≥T2n三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f′（e）＝．14．数列{a n}满足a1＝，a1+a2+…+a n＝n2a n，则数列{a n}的通项公式为．15．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出．如图，一个光学装置由有公共焦点F1，F2的椭圆Γ与双曲线Γ'构成，现一光线从左焦点F1发出，依次Γ'与Γ反射，又回到了点F1，历时t1秒；若将装置中的Γ'去掉，此光线从点F1发出，经Γ两次反射后又回到了点F1，历时t2秒；若t2＝4t1，则Γ与Γ'的离心率之比为．16．设a为实数，函数f（x）＝x3﹣ax2+（a2﹣1）x在（﹣∞，0）和（1，+∞）都是增函数，则a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝x3+﹣2x．（1）求函数y＝f（x）的图象在x＝1处的切线方程；（2）求函数y＝f（x）在[﹣2，1]上的最大值与最小值．18．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．19．如图，已知抛物线C：y＝，直线y＝kx+2交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点．（1）证明：OA⊥OB；（2）设抛物线C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，证明：l1与l2的交点M在一定直线上．20．如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD，AB＝120米，AD＝80米，以AD，BC为直径的半圆O1和半圆O2（半圆在矩形ABCD内部）为两个半圆形水上主题乐园，BC，CD，DA都建有围墙，游客只能从线段AB处进出该主题乐园．为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着，修建不锈钢护栏，沿着线段EF修建该主题乐园大门并设置检票口，其中E，F分别为，上的动点，EF∥AB，且线段EF与线段AB在圆心O1和O2连线的同侧．已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部门的平均修建费用为400元/米．（1）若EF＝80米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？（2）试确定点E的位置，使得修建费用最低．21．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（﹣，0），且右顶点为D（2，0）．设点A的坐标是（1，）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过原点O的直线交椭圆于点B、C，求△ABC面积的最大值．22．已知函数f（x）＝lnx+﹣（a+1）x．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣有两个不同的零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：x1•x2＞e2．参考答案一、选择题（共8小题）.1．“ab＜0”是方程ax2+by2＝c表示双曲线的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：若a＝1，b＝﹣1，c＝0，则不能表示双曲线，不是充分条件，反之，若方程ax2+by2＝c表示双曲线，则a，b异号，是必要条件，故ab＜0是方程ax2+by2＝c表示双曲线的必要不充分条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件的定义，双曲线的标准方程，属于基础题．2．设等差数列{a n}的前n项和为S n．若S4＝20，a5＝10，则a16＝（）A．﹣32B．12C．16D．32解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4＝20，a5＝10，得，解得a1＝d＝2．∴a16＝a1+15d＝2+15×2＝32．故选：D．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础题．3．函数f（x）＝﹣lnx+2x2的递增区间是（）A．和B．C．D．解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝﹣+4x＝，令f′（x）＞0，解得：x＞，故f（x）在（，+∞）递增，故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是基础题．4．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．解：设双曲线方程为，则F（c，0），B（0，b）直线FB：bx+cy﹣bc＝0与渐近线y＝垂直，所以，即b2＝ac所以c2﹣a2＝ac，即e2﹣e﹣1＝0，所以或（舍去）故选：D．【点评】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想．5．已知函数f（x）＝x2+x sin x，x∈（﹣，），则下列式子成立的是（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝x2+x sin x，x∈（﹣，），定义域关于原点对称，且f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）sin（﹣x）＝x2+x sin x＝f（x）．∴函数f（x）为偶函数，∴f（﹣1）＝f（1）．又当x∈时，f′（x）＝2x+sin x+x•cos x＞0．∴f（x）在上为增函数，则f（x）在上为减函数．∵，∴，则．故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性和奇偶性，考查了函数的单调性与导函数符号之间的关系，是基础题．6．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝（）A．1B．C．2D．3解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程是y＝±x又抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程是x＝﹣，故A，B两点的纵坐标分别是y＝±，双曲线的离心率为2，所以，∴则，A，B两点的纵坐标分别是y＝±＝，又，△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线∴，得p＝2．故选：C．【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．7．已知函数f（x）＝x+．若曲线y＝f（x）存在两条过（1，0）点的切线，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）解：f（x）＝x+．f′（x）＝1﹣，设切点坐标为（x0，x0+），则切线方程为：y﹣x0﹣＝（）（x﹣x0）又切线过点（1，0），可得﹣x0﹣＝（）（1﹣x0），整理得2x02+2ax0﹣a＝0，曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足△＝4a2﹣8（﹣a）＞0，解得a＞0或a＜﹣2，故选：D．【点评】本题考查过某点的切线方程的求法和切线的条数问题，考查转化思想，属于中档题．8．已知函数，若x＝1是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，e]B．（﹣∞，e）C．（﹣e，+∞）D．[﹣e，+∞）解：∵函数的定义域是（0，+∞），∴f′（x）＝＝．x＝1是函数f（x）的唯一一个极值点∴x＝1是导函数f′（x）＝0的唯一根．∴e x﹣kx＝0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）＝e x﹣kxg′（x）＝e x﹣k①k≤0时，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）时单调递增的g（x）的最小值为g（0）＝1，g（x）＝0无解②k＞0时，g′（x）＝0有解为：x＝lnk0＜x＜lnk时，g′（x）＜0，g（x）单调递减lnk＜x时，g′（x）＞0，g（x）单调递增∴g（x）的最小值为g（lnk）＝k﹣klnk∴k﹣klnk＞0∴k＜e，由y＝e x和y＝ex图象，它们切于（1，e），综上所述，k≤e．故选：A．【点评】本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论．属于中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．与直线仅有一个公共点的曲线是（）A．x2+y2＝1B．C．x2﹣y2＝1D．y2＝x解：直线与x2+y2＝1相切，所以只有一个公共点；所以A正确；直线经过椭圆的右顶点，经过（0，），所以直线与椭圆有2个交点，所以B不正确．直线平行于双曲线的渐近线，所以直线与双曲线只有一个交点，所以C正确；直线与抛物线y2＝x有2个交点，所以D不正确；故选：AC．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的判断，是基本知识的考查，基础题．10．对于函数f（x）＝，下列说法正确的有（）A．f（x）在x＝e处取得极大值B．f（x）有两个不同的零点C．f（2）＜f（π）＜f（3）D．若f（x）＜k﹣在（0，+∞）上恒成立，则k＞1解：函数的导数f′（x）＝，（x＞0），令f′（x）＝0得x＝e，则当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数为增函数，当x＞e时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，则当x＝e时，函数取得极大值，极大值为f（e）＝，故A正确，当x→0，f（x）→﹣∞，x→+∞，f（x）→0，则f（x）的图象如图：由f（x）＝0得lnx＝0得x＝1，即函数f（x）只有一个零点，故B错误，由图象知f（2）＝f（4），f（3）＞f（π）＞f（4），故f（2）＜f（π）＜f（3）成立，故C正确，若f（x）＜k﹣在（0，+∞）上恒成立，则k＞+，设h（x）＝+，（x＞0），则h′（x）＝﹣，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，即当x＝1时，函数h（x）取得极大值同时也是最大值h（1）═1，∴k＞1成立，故D正确故选：ACD．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性，极值，函数零点问题，求函数的导数，利用导数研究的性质是解决本题的关键．11．已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，过焦点的直线l抛物线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则下列说法一定正确的是（）A．|AB|的最小值为2B．线段AB为直径的圆与直线x＝﹣1相切C．x1x2为定值D．若M（﹣1，0），则∠AMF＝∠BMF解：抛物线C：y2＝4x，焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，过焦点的弦中通径最短，所以|AB|的最小值为2p＝4，故A不正确，如图：设线段AB的中点为D，过点A，B，D作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，D1，由抛物线的定义可得|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，所以|DD1|＝（|AA1|+|BB1|）＝|AB|，所以以线段AB为直径的圆与直线x＝﹣1相切，故B正确；设直线AB所在的直线方程为x＝ny+1，由，消去x可得y2﹣4ny﹣4＝0，所以y1+y2＝4n，y1y2＝﹣4，所以x1x2＝＝1，故C正确；所以k AM+k BM＝+＝＝＝＝0，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．12．已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n．且满足a n+a n+1＝2n，b n•b n+1＝2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）A．0＜a1＜1B．1＜b1＜C．S2n＜T2n D．S2n≥T2n解：∵数列{a n}为递增数列；∴a1＜a2＜a3；∵a n+a n+1＝2n，∴；∴∴0＜a1＜1；故A正确．∴S2n＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）＝2+6+10+…+2（2n﹣1）＝2n2；∵数列{b n}为递增数列；∴b1＜b2＜b3；∵b n•b n+1＝2n∴；∴；∴1＜b1＜，故B正确．∵T2n＝b1+b2+…+b2n＝（b1+b3+b5+…+b2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）＝；∴对于任意的n∈N*，S2n＜T2n；故C正确，D错误．故选：ABC．【点评】本题考查了数列的综合运用，考查学生的分析能力与计算能力．属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f′（e）＝﹣．解：求导得：f′（x）＝2f'（e）+，把x＝e代入得：f′（e）＝e﹣1+2f′（e），解得：f′（e）＝﹣e﹣1，故答案为：﹣【点评】本题要求学生掌握求导法则．学生在求f（x）的导函数时注意f′（e）是一个常数，这是本题的易错点．14．数列{a n}满足a1＝，a1+a2+…+a n＝n2a n，则数列{a n}的通项公式为．解：∵a1+a2+…+a n＝n2a n，∴当n≥2时，a1+a2+…+a n﹣1＝（n﹣1）2a n﹣1，两式作差得a n＝n2a n﹣（n﹣1）2a n﹣1，即（n2﹣1）a n＝（n﹣1）2a n﹣1，（n+1）（n﹣1）a n＝（n﹣1）2a n﹣1，即（n+1）a n＝（n﹣1）a n﹣1，即＝，则＝，＝，＝…＝，则••…＝••…＝＝，当n＝1时，a1＝，不满足a n，故a n＝，故答案为：【点评】本题主要考查数列通项公式的求解，利用作差法以及累积法是解决本题的关键．15．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出．如图，一个光学装置由有公共焦点F1，F2的椭圆Γ与双曲线Γ'构成，现一光线从左焦点F1发出，依次Γ'与Γ反射，又回到了点F1，历时t1秒；若将装置中的Γ'去掉，此光线从点F1发出，经Γ两次反射后又回到了点F1，历时t2秒；若t2＝4t1，则Γ与Γ'的离心率之比为1：2．解：在图1中，由椭圆的定义知，BF1+BF2＝2a1①，由双曲线的定义知，AF2﹣AF1＝2a2②，①﹣②得，BF1+AF1+BF2﹣AF2＝BF1+AF1+AB＝2a1﹣2a2，∴△ABF1的周长为2a1﹣2a2，在图2中，由椭圆的定义知，△CDF1的周长为4a1，∵光线的速度相同，且t2＝4t1，∴＝＝，∴a1＝2a2，∵椭圆和双曲线共焦点，∴＝＝＝．故答案为：1：2．【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义与几何性质，熟练掌握椭圆和双曲线中a、b、c 的含义与关系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16．设a为实数，函数f（x）＝x3﹣ax2+（a2﹣1）x在（﹣∞，0）和（1，+∞）都是增函数，则a的取值范围是．解：f'（x）＝3x2﹣2ax+（a2﹣1），其判别式△＝4a2﹣12a2+12＝12﹣8a2，（ⅰ）若△＝12﹣8a2＝0，即a＝±，当x∈（﹣∞，），或x∈（，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）为增函数，所以a＝±；（ⅱ）若△＝12﹣8a2＜0，恒有f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）为增函数，所以a2＞，即a∈（﹣∞，﹣）∪（，+∞）（ⅲ）若△12﹣8a2＞0，即﹣＜a＜，令f'（x）＝0，解得x1＝，x2＝，当x∈（﹣∞，x1），或x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数．依题意x1≥0且x2≤1．由x1≥0得a≥，解得1≤a＜，由x2≤1得≤3﹣a，解得﹣＜a＜，从而a∈[1，）．综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）∪[1，），即a∈（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝x3+﹣2x．（1）求函数y＝f（x）的图象在x＝1处的切线方程；（2）求函数y＝f（x）在[﹣2，1]上的最大值与最小值．解：（1）∵，∴f'（x）＝3x2+x﹣2，∴，f'（1）＝2，∴函数y＝f（x）的图象在x＝1处的切线方程为：，即4x﹣2y﹣5＝0．（2）令f'（x）＝3x2+x﹣2＝0，得x1＝﹣1与，当x变化时，f'（x）、f（x）的变化如下表：x（﹣2，﹣1）﹣1f'（x）+0﹣0+f（x）↗↘↗所以，x1＝﹣1与是函数在（﹣2，1）上的两个极值点，而f（﹣2）＝﹣2，，，，∴函数y＝f（x）在[﹣2，1]上的最大值是，最小值是f（﹣2）＝﹣2．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是中档题．18．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，a2＝0，a6+a8＝﹣10，可得a1+d＝0，a1+5d+a1+7d＝﹣10，解得a1＝1，d＝﹣1，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1﹣n+1＝2﹣n，n∈N*；（2）＝（2﹣n）•（）n﹣1，数列{}的前n项和设为S n，S n＝1•（）0+0•（）+（﹣1）•（）2+…+（3﹣n）•（）n﹣2+（2﹣n）•（）n﹣1，S n＝1•（）+0•（）2+（﹣1）•（）3+…+（3﹣n）•（）n﹣1+（2﹣n）•（）n，上面两式相减可得，S n＝1+（﹣1）[（）+（）2+…+（）n﹣2+（）n﹣1]﹣（2﹣n）•（）n＝1+（﹣1）•﹣（2﹣n）•（）n，可得S n＝n•（）n﹣1．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用等差数列的通项和方程思想，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．19．如图，已知抛物线C：y＝，直线y＝kx+2交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点．（1）证明：OA⊥OB；（2）设抛物线C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，证明：l1与l2的交点M在一定直线上．【解答】证明：（1）设，，把y＝kx+2代入，得x2﹣2kx﹣4＝0．由韦达定理得x1+x2＝2k，x1x2＝﹣4．∴．∴OA⊥OB．（2）∵，∴y'＝x，故经过点的切线l1的方程为：，即，①同理，经过点的切线l2的方程为：，②①×x2﹣②×x1，得．即点M在直线l：y＝﹣2上．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20．如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD，AB＝120米，AD＝80米，以AD，BC为直径的半圆O1和半圆O2（半圆在矩形ABCD内部）为两个半圆形水上主题乐园，BC，CD，DA都建有围墙，游客只能从线段AB处进出该主题乐园．为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着，修建不锈钢护栏，沿着线段EF修建该主题乐园大门并设置检票口，其中E，F分别为，上的动点，EF∥AB，且线段EF与线段AB在圆心O1和O2连线的同侧．已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部门的平均修建费用为400元/米．（1）若EF＝80米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？（2）试确定点E的位置，使得修建费用最低．解：（1）如图，ME＝20米，O1M＝20米，梯形O1O2FE的面积为平方米．矩形AO1O2B的面积为4800平方米．∠AO1E＝，扇形O1AE和扇形O2FB的面积均为平方米，所以阴影部分面积为4800﹣2000平方米．答：检票等候区域（图中阴影部分）面积为4800﹣2000平方米．（2）设，则＝，EF＝120﹣2×40sinθ＝120﹣80sinθ，修建费用f（θ）＝200×80θ+400×（120﹣80sinθ）＝16000（θ+3﹣2sinθ），f'（θ）＝16000（1﹣2cosθ），令f'（θ）＝0，则θ＝，θf'（θ）﹣0+f（θ）减函数极小值增函数所以，当θ＝时，即∠AO1E＝，修建费用最低．答：当∠AO1E为时，修建费用最低．【点评】本题考查函数的实际应用，函数的导数的应用，考查发现问题解决问题的能力．21．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（﹣，0），且右顶点为D（2，0）．设点A的坐标是（1，）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过原点O的直线交椭圆于点B、C，求△ABC面积的最大值．解：（Ⅰ）由已知得椭圆的半长轴a＝2，半焦距c＝，则半短轴b＝1．又椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为（II）当BC垂直于x轴时，BC＝2，S△ABC＝1当BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y＝kx，代入解得B（），C（），则，又点A到直线BC的距离d＝，∴△ABC的面积S△ABC＝于是S△ABC＝要使△ABC面积的最大值，则k＜0由≥﹣1，得S△ABC≤，其中，当k＝时，等号成立．∴S△ABC的最大值是【点评】本题的考点是直线与圆锥曲线的综合问题，主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，求三角形面积的最值，关键是构建模型，利用基本不等式求解．22．已知函数f（x）＝lnx+﹣（a+1）x．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣有两个不同的零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：x1•x2＞e2．解：（1）当a＝1时，，x∈（0，+∞），，∴f'（1）＝0，又，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是；（2）函数有两个不同的零点x1，x2，等价于方程有两个不同实根x1，x2．①令，则，∴在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，则当x＝e时，取得最大值，由于φ（1）＝0，当x∈（0，1）时，φ（x）＜0；当x∈（1，+∞），φ（x）＞0，φ（x）的大致图象如图所示．当，即时，函数有两个不同的零点x1，x2，故实数a的取值范围是（﹣1，）；②证明：不妨设0＜x1＜x2，lnx1＝（a+1）x1，lnx2＝（a+1）x2，两式相加得ln（x1x2）＝（a+1）（x1+x2），两式相减得，∴．要证x1•x2＞e2，只需证，即证，设，令，则，∴函数F（t）在（1，+∞）上单调递增，且F（1）＝0，∴F（t）＞0，即x1•x2＞e2．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数零点的判定，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．。
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人大附中2020~2021学年度第一学期高二年级数学阶段检测2020年9月25日说明：本试卷21道题，共150分，考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将答案写在答题纸的相应位置上．一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置） 1.已知复数()z i a i =+，且z z =，那么实数a 的值为 （ ） A ．1- B ．0 C ． 1 D ．2 【答案】B.2.已知i 是虚数单位，复数i i--121的虚部为( )． A. 21-B. 23C. i 21-D.i 23答案：A3.已知三条不同的直线,,l m n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（ ）A ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥B ．若//l m ，m α⊂，则//l αC ．若//l α，//l β，则//αβD ．若//m α，//n α，则//m n【答案】 A4.已知平面向量和a b ，则“||||=-b a b ”是“1()02-=b a a ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：C5. 已知直线m,n 不共面，则过n 且与m 垂直的平面（ ）A ． 有且只有一个B ．有一个或不存在C ．有一个或无数个D ．不存在 答案：B ，当两异面直线不互相垂直时就没有，否则垂直了。
有点意思。
6.已知向量()()()2,3,1,2,0,4,4,6,2=--==--a b c ，则下列结论正确的是（ ） A ．,⊥⊥a c b c B ．//,⊥a b a c C ．//,⊥a c a b D ．以上都不对 答案:C7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B. 13C. 12D.23【答案】A 【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯，可得29AB = ，即3AB =由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =.故选：A.8.在四面体ABCD 中，P 在面ABC 内，Q 在面BCD 内，且满足AP xAB y AC =+，AQ sAB t AC u AD =++，若x sy t=，则下面表述中，线段AQ 与DP 的关系是（ ） A.AQ 与DP 所在直线是异面直线B.AQ 与DP 所在的直线平行C.线段AQ 与DP 必相交D.线段AQ 与DP 延长后相交【答案】 C.9.在三棱锥T ABC -中，,,TA TB TC 两两垂直，点T 在平面ABC 上的射影为D ，O 为三棱锥T ABC -内任意一点，连接OA ，OB ，OC ，OT 并延长，交对面于点',',','A B C T ，则:①,,TA BC TB AC TC AB ⊥⊥⊥； ②ABC ∆是锐角三角形；③()222213ABC TAB TAC TBC S S S S ∆∆∆∆=++； ④''''1''''OA OB OC OT AA BB CC TT +++=； ⑤22221111TD TA TB TC=++. 以上结论中正确结论有（ ）个。
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人大附中2020~2021学年度第一学期高二年级数学阶段检测2020年9月25日说明：本试卷21道题，共150分，考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将答案写在答题纸的相应位置上．一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置） 1.已知i 是虚数单位，复数(i )i z a =+，且z z =，那么实数a 的值为（ ）A ．1-B ．0C ． 1D ．2 2.已知i 是虚数单位，复数12i1i--的虚部为( )． A. 21-B. 23C. 1i 2-D.3i 23.已知三条不同的直线,,l m n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（ ）A ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥B ．若//l m ，m α⊂，则//l αC ．若//l α，//l β，则//αβD ．若//m α，//n α，则//m n4.已知平面向量和a b ，则“||||=-b a b ”是“1()02-=b a a ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5. 已知直线m,n 不共面，则过n 且与m 垂直的平面（ ）A ．有且只有一个B ．有一个或不存在C ．有一个或无数个D ．不存在 6.已知向量()()()2,3,1,2,0,4,4,6,2=--==--a b c ，则下列结论正确的是（ ）A ．,⊥⊥a c b cB ．//,⊥a b a cC ．//,⊥a c a bD ．以上都不对 7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A. 19 B. 13C. 12 D. 238.在四面体ABCD 中，P 在面ABC 内，Q 在面BCD 内，且满足AP xAB y AC =+，AQ sAB t AC u AD =++，若x sy t=，则下面表述中，线段AQ 与DP 的关系是（ ） A.AQ 与DP 所在直线是异面直线B.AQ 与DP 所在的直线平行C.线段AQ 与DP 必相交D.线段AQ 与DP 延长后相交9.在三棱锥T ABC -中，,,TA TB TC 两两垂直，点T 在平面ABC 上的射影为D ，O 为三棱锥T ABC -内任意一点，连接OA ，OB ，OC ，OT 并延长，交对面于点',',','A B C T ，则：①,,TA BC TB AC TC AB ⊥⊥⊥； ②ABC ∆是锐角三角形；③()222213ABC TAB TAC TBC S S S S ∆∆∆∆=++； ④''''1''''OA OB OC OT AA BB CC TT +++=； ⑤22221111TD TA TB TC=++. 以上结论中正确结论有（ ）个. A ．2 B ．3 C ．4 D ．510.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，点,P Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上的动点，则PEQ ∆周长的最小值为（ ）A ．22B ．10C ．11D ．23二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题纸中相应横线上.11. 已知i 是虚数单位，若1i z =+，则22z z -= .12.在平行六面体''''ABCD A B C D -中, ''60BAD A AB A AD ∠=∠=∠=︒,3AB =,4AD =,'5AA =,则'AC = .13.在ABC ∆中，三边长分别为4a =，5b =，6c =，则ABC ∆的最大内角的余弦值为________，ABC ∆的面积为________．14.如图，在棱长均为2的正三棱柱111C B A ABC -中，点M 是侧棱1AA 的中点，点P 、Q 分别是侧面11BCC B 、底面ABC 内的动点，且//1P A 平面BCM ，⊥PQ 平面BCM ，则点Q 的轨迹的长度为_________．15.正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，动点M 在线段CC 1上，动点P 在平面．．A B C D 1111上，且AP ⊥平面MBD 1. (Ⅰ) 当点M 与点C 重合时，线段AP 的长度为 ； （Ⅱ）线段AP 长度的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸中相应位置上. 16.（本小题13分）已知i 是虚数单位，设复数z 满足22z -=， （1）求14i z +-的最小值与最大值； （2）若4z z+为实数，求z 的值.17.（本小题13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知3,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．18.（本小题14分）在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222cos()sin cos b a c A C ac A A--+=. （1）求角A ； （2）若a =bc 的取值范围．CBAD B 1A 1C 1D 119.（本小题15分）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ADE ⊥平面ABCD ,,O M 分别为线段,AD DE 的中点．四边形BCDO 是边长为1的正方形，AE DE =，AE DE ⊥.（1）求证：CM //平面ABE ；（2）求直线CM 与BD 所成角的余弦值；（3）点N 在直线AD 上，若平面BMN ⊥平面ABE ，求线段AN 的长.20.（本小题15分）在四棱锥P ABCD -中， 平面ABCD ⊥平面PCD ， 底面ABCD 为梯形,ABCD ，AD PC ⊥,且,,AB AD DC DP PDC ====∠=12120,M 是棱PA 的中点.（1）求证：AD ⊥平面PCD ；（2）求证：对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行； （3） 设CM 与平面PBD 交于点Q ,求三棱锥Q ABD -的体积.21.（本小题15分）已知*2n n ∈≥N ，，给定n n ⨯个整点()x y ,,其中1x y n x y ≤≤∈*N ,,,.（1）当2n =时,从上面的22⨯个整点中任取两个不同的整点1122()()x y x y ,,,，求12x x +的所有可能值；（2）从上面n n ⨯个整点中任取m 个不同的整点，512n m ≥-.（i ）证明：存在互不相同的四个整点，满足11y y '=,2212y y y y '=≠,； （ii ）证明：存在互不相同的四个整点，满足 , ),(),,(),,(),,(22221111y x y x y x y x ''''),(),,(),,(),,(22221111y x y x y x y x ''2211x x x x '+='+.21y y ≠P。
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⼈⼤附中2020~2021学年度第⼀学期⾼⼆年级数学阶段检测解析版⼈⼤附中2020~2021学年度第⼀学期⾼⼆年级数学阶段检测2020年9⽉25⽇说明：本试卷21道题，共150分，考试时间120分钟；请在答题卡上填写个⼈信息，并将答案写在答题纸的相应位置上．⼀、选择题：（本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置） 1.已知复数()z i a i =+，且z z =，那么实数a 的值为（） A ．1- B ．0 C ． 1 D ．2 【答案】B.2.已知i 是虚数单位，复数i i--121的虚部为( )． A. 21-B. 23C. i 21-D.i 23答案：A3.已知三条不同的直线,,l m n 和两个不同的平⾯α，β，下列四个命题中正确的为（）A ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥B ．若//l m ，m α?，则//l αC ．若//l α，//l β，则//αβD ．若//m α，//n α，则//m n【答案】 A4.已知平⾯向量和a b ，则“||||=-b a b ”是“1()02-=b a a ”的( ) A ．充分⽽不必要条件 B ．必要⽽不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C5. 已知直线m,n 不共⾯，则过n 且与m 垂直的平⾯（）A ．有且只有⼀个D ．不存在答案：B ，当两异⾯直线不互相垂直时就没有，否则垂直了。
有点意思。
6.已知向量()()()2,3,1,2,0,4,4,6,2=--==--a b c ，则下列结论正确的是（） A ．,⊥⊥a c b c B ．//,⊥a b a c C ．//,⊥a c a b D ．以上都不对答案:C7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（） A.19B. 13C. 12D.23【答案】A 【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-??2224322433AB =+-，可得29AB = ，即3AB =由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===故1cos 9B =.故选：A.8.在四⾯体ABCD 中，P 在⾯ABC 内，Q 在⾯BCD 内，且满⾜AP xAB y AC =+，AQ sAB t AC u AD =++，若x sy t=，则下⾯表述中，线段AQ 与DP 的关系是（） A.AQ 与DP 所在直线是异⾯直线B.AQ 与DP 所在的直线平⾏【答案】 C.9.在三棱锥T ABC -中，,,TA TB TC 两两垂直，点T 在平⾯ABC 上的射影为D ，O 为三棱锥T ABC -内任意⼀点，连接OA ，OB ，OC ，OT 并延长，交对⾯于点',',','A B C T ，则:①,,TA BC TB AC TC AB ⊥⊥⊥；②ABC ?是锐⾓三⾓形；③()222213ABC TAB TAC TBC S S S S =++；④''''1''''OA OB OC OT AA BB CC TT +++=；⑤22221111TD TA TB TC=++. 以上结论中正确结论有（）个。
2023-2024学年广东省人大附中深圳学校高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省人大附中深圳学校高二（上）期中数学试卷一、单选题。
1．经过点(1，√3)，倾斜角为120°的直线方程为（ ） A ．√3x +y −2√3=0 B ．√3x −y =0 C ．x +√3y −4=0 D ．x −√3y +2=02．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =n 2，则a 4+a 5＝（ ） A ．48B ．32C ．16D ．83．“k ＞12”是“直线y ＝kx +2k ﹣1经过第二象限”的（ ） A ．充分不必要条 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．要不充分也不必要条性4．已知空间直角坐标系中的三点A （2，0，2），B （0，0，1），C （2，2，2），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．√53B ．23C ．2√53D ．√55．已知圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝2，直线l 过点A （3，4）且与圆C 相切，若直线l 与两坐标轴交点分别为M ，N ，则|MN |＝（ ） A ．5√2B ．6C ．7√2D ．86．已知点P （t ，t ），t ∈R ，点M 是圆x 2+(y −1)2=14上的动点，点N 是圆(x −2)2+y 2=14上的动点，则|PN |﹣|PM |的最大值是（ ） A ．√5−1B ．√5C ．2D ．17．如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ＝AB ，点M 为P A 的中点，BD →=λBN →．若MN ⊥AD ，则实数λ为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，F 1，F 2是平面上的两点，且|F 1F 2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F 1，F 2的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，⋯，A ，B ，C ，D ，E 是图中两组同心圆的部分公共点．若点A 在以F 1，F 2为焦点的椭圆M 上，则（ ）A ．点B 和C 都在椭圆M 上 B ．点C 和D 都在椭圆M 上 C ．点D 和E 都在椭圆M 上 D ．点E 和B 都在椭圆M 上二、多选题。