学而思培优之一元一次方程—解法大比拼含答案

第六讲

一元一次方程—解法大比拼

等式的概念：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式。 等式的类型：恒 等 式

条件等式 矛盾等式

等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），所得结果仍是等式。

若a b =，则a c b c ±=±。

等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0），结果仍是等式。

若a b =，则ac bc =，若a b =且0c ≠，则a b

c c

=。

方程：含有未知数的等式。

方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

解方程：求方程的解的过程。

一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次

方程。

一元一次方程的最简形式：ax b =（0a ≠，a ，b 为已知数） 一元一次方程的标准形式：0ax b +=（0a ≠，a ，b 是已知数）

注意：⑴判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证。如方程

22216x x x ++=-是一元一次方程。 ⑵对于方程ax b =的解要分类讨论：

①当0a ≠时，方程的解是b

x a

=；

②当0a =且0b =时，方程的解是任意数；

③当0a =且0b ≠时，方程无解。

一元一次方程的基本解法

解一元一次方程的一般步骤： ⑴去分母； ⑵去括号； ⑶移项；

⑷合并同类项；

⑸未知数的系数化为1。

易错点1——去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号。 易错点2——去分母：漏乘不含分母的项。 易错点3——移项忘记变符号。

【例1】下列方程是一元一次方程的是（ ）

A ．2237x x x +=+

B ．3435322x x -+=+

C ．22(2)3y y y y +=--

D ．3813x y -=

【例2】（海淀期末复习）已知关于x 的方程22()mx m x +=-的解满足方程1

02

x -

=，则m = 。

【例3】（西城期末）某书中有一道解方程的题：

113

x

x ++=， 处在印刷时被墨盖住了，查后面的答案，

得知这个方程的解是2x =-，那么 处应该是数字（ ） A.7 B ．5 C ．2 D ．2-

【例4】（东城教学评估）已知方程1

(2)40a a x --+=是一元一次方程，则a = ，x = 。

【例5】（2009人大附中初一期中第14题2分）方程||(1)2m m x m n -=+是关于x 的一元一次方程，若n 是

它的解，则n m -=（ ）

A ．14

B ．54

C ．34

D ．54-

【例6】解方程7110.251

0.0240.0180.012

x x x --+=-

解：原方程可化为7110.251

432

x x x --+=-

根据等式的性质（ ） 去分母，得 。 去括号，得 。 移项，得 。 合并同类项，得 。

系数化为1，得 。根据等式的性质（ ）

【例7】253164x x

---=

【例8】0.130.41

20

0.20.5x x +--=

例题精讲

板块一：一元一次方程相关概念及基本解法

若两个一元一次方程的解有等量关系，先分别求出这两个方程的解，再通过数量关系列等式。 两个解的数量关系很多，比如相等、互为相反数、多1、2倍等等。

【例9】（2009-2010北京四中期中考试附加题33题2分）当m =________时，方程5443x x +=-的解和

方程2(1)2(2)x m m +-=-的解相同。

【例10】（人大附中期中练习）已知：333n x m n p ++-=与2321m x m np --+=-都是关于x 的一元一次方程，

且它们的解互为相反数，求关于x 的方程

115

x p -+=的解。

对于复杂的一元一次方程，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法

【例11】解方程： 1111

23452345x x x x +++=+++

【例12】解方程：2009122320092010

x x x

+++=⨯⨯⨯

【例13】解方程：1123

(23)(32)11191313x x x -+-+=

板块二：两个一元一次方程解的关系问题

板块三：复杂的一元一次方程

【例14】解方程：2018161412

5357911x x x x x -----++++=

方程ax b =的解要分类讨论：

①当0a ≠时，方程有唯一解b x a

=

。 ②当0a =且0b =时，方程有无数个解，解是任意数。 ③当0a =且0b ≠时，方程无解。

【例15】已知关于x 的方程2(1)(5)3a x a x b -=-+有无数多个解，那么a = ，b = 。

【例16】已知：关于x 的方程32ax x b +=-有无数多个解，试求2011()5ab

a b x x a b a b

+-

=-++的解。

【例17】（北师大附中期中考试）若a 、b 为定值，关于x 的一元一次方程

2236kx a x bk

+--=，无论k 为 何值时，它的解总是1x =，求23a b +的值。

1．形如ax b c +=的方程，可分如下三种情况讨论： ⑴0c <，则方程无解；

⑵0c =，则根据绝对值的定义可知，0ax b +=； ⑶0c >，则根据绝对值的定义可知，ax b c +=±。

板块四：含字母系数的一元一次方程

板块五：绝对值方程