概率论与数理统计》第二次平时测试题答案

鲁东大学2010-2011学年第二学期

2009级 数学与应用数学、统计学、信息与计算科学专业 本 科 卷 A 参考答

案与评分标准

课程名称 概率论与数理统计

课程号（2111900） 考试形式（闭卷笔试） 时间（120分钟）

一、填空题：本题共6小题，每空2分，满分20分。

1、1，3；

2、61，21；

3、13αβ+=，0α≥，0β≥， 29，1

9

；4、2

2

2

1(,)2x y f x y e π+-=；5、

5/7；6、2

/2

t

e -。

二、单项选择题：本题共4小题，每题3分，满分12分。 1、D ； 2、C ； 3、B ； 4、C 。 三、计算题：本题共6小题，满分68分。

1、在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次任取一只。有放回抽样，我们定义随机变量,X Y 如下：

0,1,X ⎧=⎨

⎩若第一次取出的是正品若第一次取出的是次品；0,1,Y ⎧=⎨⎩

若第二次取出的是正品

若第二次取出的是次品。 （1）试写出X 和Y 的联合分布列；（2）求X 的边际分布列；（3）求{0|0}P Y X ==。（14分） 解：有放回抽样情况，由于每次取物是独立的。由独立性定义知。

{,}{}{}P X i Y j P X i P Y j =====

101025{0,0}121236P X Y ===

⋅=， 1025

{0,1}121236

P X Y ===⋅=

， 2105{1,0}121236P X Y ===⋅=， 221

{1,1}121236

P X Y ===⋅=

，………………………………（6分） 或写成

（2）由边际分布与联合分布的关系，知

所以，X 的边际分布列为

………………………………………（4分）

（3）{0,0}25/365

{0|0}{0}5/66

P X Y P Y X P X =====

===。………………………………………（4分）

2、设(,)X Y 在曲线2

y x =，y x =所围成的区域G 内服从均匀分布，求联合概率密度和X 的边际概率密度。（8分）

解：据题意知，区域G 的面积为21

1

6

x

G x

S dydx ==

⎰

⎰， 由于(,)X Y 在区域G 内服从均匀分布，

故(,)X Y 的概率密度函数为1

,(,)6,(,)(,)0,0,G x y G x y G

S f x y ⎧∈∈⎧⎪==⎨⎨

⎩⎪⎩

其它其它。………………………（4分） 226,016(),01

()(,)0,0,

x x X dy x x x x f x f x y dy +∞

-∞

⎧≤≤⎧-≤≤⎪

===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰

其它其它。………………………（4分）

3、设随机变量(,)X Y 的概率密度为()

1(),0,0,(,)20

,.x y x y e

x y f x y -+⎧+>>⎪=⎨⎪⎩其他

求Z X Y =+的密度函数。（8分） 解：()(,)Z f z f x z x dx ∞

-∞

=

-⎰

，由(,)f x y 的表达形式知，当0,0,x y >>时(,)0f x y ≠，

即当0,0x z x >->，也即0x z <<时，(,)0f x y ≠， ………………………………………（4分）

所以，200,0

()(,)11,022

z Z z z

z f z f x z x dx ze dz z e z ∞

---∞

<⎧⎪

=

-=⎨=≥⎪⎩⎰

⎰。……………………………………（4分） 4、设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数为(2),0,0

(,)0,

x y ce x y f x y +⎧>>=⎨⎩其它，

（1）确定常数c ；（2）求联合分布函数(,)F x y ；（3）求条件概率密度函数|(|)X Y f x y ；（4）求

{2|1}P X Y <<；

（5）求{}P Y X ≤。（22分） 解：（1）由概率密度函数的完备性，得(2)0

1

1(,)2

x y f x y dxdy ce dxdy c ∞∞

∞

∞

-+-∞-∞

=

==⎰⎰

⎰

⎰

，

解得2c =； ………………………………………（4分） （2）(2)002,0,0(,)(,)0,x y

x y x y

e

dxdy x y F x y f x y dxdy other

-+-∞-∞

⎧>>⎪=

=⎨

⎪⎩⎰⎰⎰⎰

2(1)(1),0,00,x y e e x y other

--⎧-->>=⎨

⎩； ………………………………………（4分） （3）(2)02,0,0()(,)0,00,0

x y y Y e

dx y e y f y f x y dx y y ∞

-+-∞

-∞

⎧⎧>>⎪=

==⎨⎨

≤⎩⎪≤⎩⎰⎰

……………………………………（3分） 当0y >时，2|2,0

(,)(|)()0,0

x X Y Y e x f x y f x y f y x -⎧>==⎨

≤⎩； ………………………………………（3分） （4）2

1

(2)40

010

2{2,1}

{2|1}1{1}

x y y dx e dy

P X Y P X Y e P Y e dy

-+--<<<<=

=

=-<⎰

⎰⎰

；……………………………（4分）

（5）(2)20

{}(,)22(1)1/3x x y x x y x

P Y X f x y dxdy dx e dy e e dx ∞∞-+--≤≤=

==-=⎰⎰⎰⎰⎰。……………（4分）

5、设(,)X Y 的概率密度为212,01

(,)0,y y x f x y other ⎧≤≤≤=⎨⎩

，求(),()E X E XY 。（8分）

解：12

004()(,)125x E X xf x y dxdy dx x y dy ∞∞

-∞-∞

=

=⋅=⎰⎰⎰⎰，………………………………………（4分） 1

20

1

()(,)122

x

E XY xyf x y dxdy dx xy y dy ∞∞

-∞-∞

=

=⋅=

⎰⎰⎰⎰。 ………………………………………（4分） 6、据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。（8分）

解：令i X 表示第i 只元件的寿命，1,2,

,16i =，据题意知，

~(0.01)i X e ，()100i E X =，2()100i D X =，1216,,

,X X X 相互独立同分布，…………………（3分）

所求概率为

16

16

1

16100

{1920}1i

i i X

P X P =-⨯>=>

≈∑∑。…（5分）