完全平方数和完全平方式
完全平方数和完全平方式
数学知识点：完全平方数和完全平方式填空题1．已知a+b=6，ab=3，则a2+b2=_________．2．若=5，则=_________．3．x2﹣3x+_________=（x﹣_________）2．4．已知a2+b2=13，ab=6，则a+b的值是_________．5．已知x2+y2+4x﹣6y+13=0，那么x y=_________6．已知=6，则=_________．7．若（x﹣m）2=x2+x+a，则m=_________，a=_________．8．x2+kx+9是完全平方式，则k=_________．9．若4x2﹣kxy+y2是一个完全平方式，则k=_________．10．若9x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值是_________．11．若x2+3x+m是一个完全平方式，则m=_________．12．若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m=_________．13．多项式4y2+my+9是完全平方式，则m=_________．14．若4x2+mx+25是一个完全平方式，则m的值是_________．15．已知x2﹣mxy+y2是完全平方式，则m=_________．16．如果x2+mx+16是一个完全平方式，那么m=_________．17．若x2﹣ax+16是一个完全平方式，则a=_________．18．若x2﹣2ax+16是完全平方式，则a=_________．19．若a2+2ka+9是一个完全平方式，则k等于_________．20．若x2+mx+1是完全平方式，则m=_________．21．若x2+mx+4是完全平方式，则m=_________．22．代数式4x2+3mx+9是完全平方式，则m=_________．23．若二次三项式4x2+ax+9是一个完全平方式，则a=_________．24．多项式x2+2mx+64是完全平方式，则m=_________．解答题25．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．26．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）xy．28．已知（x+y）2=18，（x﹣y）2=6，求x2+y2及xy的值．29．图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为_________；（2）观察图②，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是_________；（3）若x+y=﹣6，xy=2.75，则x﹣y=_________；_________（4）观察图③，你能得到怎样的代数恒等式呢？（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．30．阅读材料并回答问题：我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图（1）或图（2）等图形的面积表示．（1）请写出图（3）所表示的代数恒等式：_________；（2）试画一个几何图形，使它的面积表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2；（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．数学知识点：完全平方数和完全平方式参考答案与试题解析填空题1．已知a+b=6，ab=3，则a2+b2=30．2．若=5，则=23．a+=253．x2﹣3x+=（x﹣）2．×（3x+4．已知a2+b2=13，ab=6，则a+b的值是±5．5．已知x2+y2+4x﹣6y+13=0，那么x y=﹣86．已知=6，则=32．+a+=36）2+7．若（x﹣m）2=x2+x+a，则m=﹣，a=．，．8．x2+kx+9是完全平方式，则k=±6．9．若4x2﹣kxy+y2是一个完全平方式，则k=±4．10．若9x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值是±12．11．若x2+3x+m是一个完全平方式，则m=．，）．．12．若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m=±24．13．多项式4y2+my+9是完全平方式，则m=±12．14．若4x2+mx+25是一个完全平方式，则m的值是±20．15．已知x2﹣mxy+y2是完全平方式，则m=±2．16．如果x2+mx+16是一个完全平方式，那么m=±8．17．若x2﹣ax+16是一个完全平方式，则a=±8．18．若x2﹣2ax+16是完全平方式，则a=±4．19．若a2+2ka+9是一个完全平方式，则k等于±3．20．若x2+mx+1是完全平方式，则m=±2．21．若x2+mx+4是完全平方式，则m=±4．22．代数式4x2+3mx+9是完全平方式，则m=±4．23．若二次三项式4x2+ax+9是一个完全平方式，则a=±12．24．多项式x2+2mx+64是完全平方式，则m=±8．解答题25．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．）2a+ab+bab+b+﹣26．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）xy．28．已知（x+y）2=18，（x﹣y）2=6，求x2+y2及xy的值．29．图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）观察图②，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是（m﹣n）2+4mn=（m+n）2；（3）若x+y=﹣6，xy=2.75，则x﹣y=5；﹣5（4）观察图③，你能得到怎样的代数恒等式呢？（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．30．阅读材料并回答问题：我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图（1）或图（2）等图形的面积表示．（1）请写出图（3）所表示的代数恒等式：（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；（2）试画一个几何图形，使它的面积表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2；（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．（答案不唯一）。
完全平方公式
如何用完全平方公式解决实际问题，比如计算房间面积、计算价格等。
用完全平方公式解决实际问题
完全平方公式的证明
解答
用完全平方公式计算代数式的值
验证完全平方公式
用完全平方公式解决实际问题
THANKS
感谢观看
公式表述
$a^2$：一个数的平方是指这个数与自己的平方的乘积。例如，$5^2 = 5 \times 5 = 25$。
平方的含义
$(a \pm b)^2$：一个数的完全平方是指这个数与另一个数的平方和它们两倍的乘积的乘积。例如，$(3 \pm 2)^2 = 3^2 \pm 2 \times 3 \times 2 + 2^2 = 9 \pm 12 + 4 = 13 \pm 12$。
差的平方等于平方的差
公式
$(ab)^2 = a^2b^2$
解释
两个数的乘积的平方等于每个数的平方与另一个数的乘积。
积的乘方等于乘方的积
03
完全平方公式的应用
完全平方公式可以用来简化代数式，将复杂的表达式化为简单的形式。
简化代数式
在解一元二次方程时，完全平方公式可以用来求解方程的根。
解方程
在代数中的应用
完全平方的含义
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$：可以用图形表示完全平方公式。首先画一个矩形，长为$a$，宽为$b$。将矩形分割成两个正方形和四个矩形。两个正方形的面积分别为$a^2$和$b^2$，四个矩形的面积分别为两个$ab$。将这些面积相加得到$(a \pm b)^2$。
公式的图形表示
02
完全平方公式的性质
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$
完全平方公式
完全平方公式【概念】 【推导证明】 【典型例题】 【专项练习】 【相关链接】概念：完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍。
222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式。
运用公式时应注意：①公式中的字母a ，b 可以是任意的代数式，②公式的结果应为三项，注意不要漏项和写错符号。
推导证明：方法一：（代数法）1两数和的平方公式22222()()()2a b a b a b a ab ab b a ab b +=++=+++=++2两数差的平方公式22222()()()2a b a b a b a ab ab b a ab b -=--=--+=-+或(a -b )2=[a +(-b )]2=a 2+2⋅a ⋅(-b )+(-b )2=a 2-2ab +b 2即(a -b )2=a 2-2ab +b 2方法二：（几何法）a b a ba 2ababb 2说明：两数差的完全平方公式几何证法（略）典型例题：【例1】．计算(x+2y)2解：(x+2y)2=x2+2⋅x⋅2y+(2y)2=x2+4xy+4y2【例2】．计算(-x+2y)2解法一：(-x+2y)2=(-x)2+2⋅(-x)⋅2y+(2y)2=x2-4xy+4y2解法二：(-x+2y)2=(2y-x)2=(2y)2-2⋅2y⋅x+x2=4y2-4xy+x2解法三：(-x+2y)2=[-(x-2y)]2=(x-2y)2=x2-4xy+4y2【例3】下列计算中，正确的有（）（1）(b-4c)2=b2-16c2（2）(x-2yz)2=x2+4xyz+4y2z2（3）222 1124 a b a ab b ⎛⎫+=++⎪⎝⎭（4）(4m-n)2=16m2-4mn+n2（5）(-2a-b)2=4a2-4ab+b2解析：只有（3）是正确的（1）(b-4c)2=b2-16c2按平方差公式计算了，结果应为b2-8bc+16c2，（2）(x-2yz)2=x2+4xyz+4y2z2应该是两数差的完全平方公式，结果应为x2-4xyz+4y2z2（4）(4m-n)2=16m2-4mn+n2 , 中间项应该为-8mn而不是-4mn，结果应为16m2-8mn+n2（5）(-2a-b)2=4a2-4ab+b2可以先将(-2a-b)2变形为[-（2a+b）]2=（2a+b)2, 所以结果为4a2+4ab+b2【例4】．运用公式简便计算（1）1032（2）1982解：（1）1032=(100+3)2=1002+2⨯100⨯3+32=10000+600+9=10609（2）1982=(200-2)2=2002-2⨯200⨯2+22=40000-800+4【例5】．解下列各式（1）已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。
数学完全平方公式
03
完全平方公式的证明
证明方法
01
02
03
代数证明
通过代数运算，将完全平 方公式进行展开和重组， 证明其正确性。
几何证明
利用几何图形，如正方形 或矩形，通过面积和边长 的关系证明完全平方公式。
归纳法证明
通过归纳法，对n进行归 纳推理，证明完全平方公 式的通用形式。
证明实例
代数证明实例
利用代数运算，将 $(a+b)^2$展开为 $a^2+2ab+b^2$，证明 其为完全平方公式。
数学完全平方公式
目录
• 完全平方公式定义 • 完全平方公式的推导过程 • 完全平方公式的证明 • 完全平方公式的变种 • 完全平方公式的应用
01
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ完全平方公式定义
公式表述
完全平方公式是数学中一个重要的恒 等式，表示一个二次多项式等于两个 一次多项式的平方和。具体公式为： $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
平方和公式
总结词
表示两个数的平方和，等于它们与这两个数的平均数的平方的积。
公式
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
描述
这个公式用于计算两个数的平方和，通过将和表示为两个因子的平 方的差，简化计算过程。
平方倍数公式
总结词
01
表示一个数的平方乘以另一个数的平方，等于它们与这两个数
几何法实例
考虑边长为$a+b$的正方形，可以将 其划分为多个边长为$a$和$b$的小正 方形，通过计算小正方形的面积之和 ，得到$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 。
完全平方(微课件)
03
完全平方的应用
在代数式简化中的应用
总结词
完全平方在代数式简化中起到关键作用，通过完全平方公式，可以将复杂的代数式转化为易于处理的形式。
详细描述
完全平方公式是数学中的重要工具，它可以用来简化复杂的代数式。例如，对于形如 (a^2+2ab+b^2) 的式子， 我们可以将其转化为 ((a+b)^2) 的形式，从而更方便地进行计算或化简。
和求解。
解决几何问题
在几何问题中，常常需要利用完 全平方公式计算面积和周长。解 题思路是先将几何图形表示为完 全平方形式，再利用公式进行计
算。
解决物理问题
在物理问题中，常常需要利用完 全平方公式计算位移、速度和加 速度等物理量。解题思路是先将 物理量表示为完全平方形式，证明中的应用
总结词
完全平方在不等式证明中起到重要的桥梁作用，通过完全平方，可以将不等式转化为易于证明的形式 。
详细描述
在证明不等式时，我们经常使用完全平方来转化不等式。例如，对于不等式 (a+b geq 2sqrt{ab})，我们 可以利用完全平方将其转化为 ((sqrt{a}-sqrt{b})^2 geq 0)，从而更容易证明其正确性。
例如
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，各项系数之和为1+1+1=3，等于首末两项 平方和$a^2+b^2$，中间项系数2是首末两项系数之和1+1的两倍。
02
完全平方的证明
证明方法一：数学归纳法
总结词
数学归纳法是一种证明完全平方的有效方法，通过归纳步骤和基础步骤，逐步推 导证明结论。
在几何图形中的应用
完全平方公式知识讲解
完全平方公式知识讲解二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中a，b和c是已知常数，而x是未知数。
完全平方公式的形式为 x = (-b ± √(b^2 -4ac)) / 2a。
让我们详细解释一下完全平方公式的推导过程。
首先，我们要将二次方程写成平方的形式。
我们可以通过配方来完成这一步骤。
将二次方程移项，我们得到 ax^2 + bx = -c。
接下来，我们需要创建一个完全平方。
我们可以通过将b的一半平方加入方程的两边来实现这一点。
这意味着我们需要将b/2平方并加入方程两边。
形式上写为(b/2)^2通过这样做，我们可以将方程转变为一个完全平方的形式。
现在方程变为 (ax^2 + bx + (b/2)^2) = (b/2)^2 - c。
简化方程，我们得到 (ax + b/2)^2 = (b^2/4) - c。
将方程再次移项，我们得到 (ax + b/2)^2 - (b^2/4) = -c。
注意到，左边的式子是两个平方的差。
这是一个重要的公式，称为平方差公式。
平方差公式是 (a-b)(a+b) = a^2 - b^2、应用这个公式，我们可以将方程进一步简化为 (ax + b/2)^2 - (b^2/4) = -c。
通过移项，我们得到 (ax + b/2)^2 = (b^2/4) - c。
然后，我们可以开始解方程。
首先，我们要对两边的式子开根号，可以得到ax + b/2 = ±√((b^2/4) - c)。
接下来，我们继续化简。
我们将b/2移项，得到 ax = -b/2 ±√((b^2/4) - c)。
最后，我们将x与a相除，得到 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
这就是完全平方公式的最终形式。
需要注意的是，完全平方公式只适用于二次方程。
对于高次方程，我们需要采用其他方法来求解。
总结起来，完全平方公式是一个用于求解二次方程的重要公式。
五年级下第11讲 完全平方数
第11讲完全平方数一、知识要点1.完全平方数的定义：一个自然数与自身相乘的乘积叫做完全平方数或平方数.2.完全平方数表：3.完全平方数的常用性质：完全平方数乘完全平方数是完全平方数。
二、例题精选【例1】计算：215，225，235，245，255，并说明规律。
【巩固1】计算：162,262,362,462,562，并说明规律。
【例2】试判断下列数是否是完全平方数，若不是请在横线上简述判断理由；若是请在横线上写出它是哪个数的平方。
997：____________________；6983：____________________；5112：____________________；6478：____________________；【巩固2】试判断下列数是否是完全平方数，若不是请在横线上简述判断理由；若是请在横线上写出它是哪个数的平方。
1199：____________________；7886：____________________；1834：____________________；1275：____________________；【例3】A 是由2017个“9”组成的多位数，即920179999个 ，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出B ；如果不是，请说明理由．【巩固3】A 是由2018个“56”组成的多位数，即 5620185656...5656个，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由．【例4】1016与正整数a的乘积是正整数b的平方，则a的最小值是多少？b的最小值是多少？【巩固4】已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是多少？b的最小值是多少？【例5】因为快乐学校的孩子都很喜欢平方数，所以将年份数是平方数的年份定义为“快乐年”。
如公元900年，900=302，所以公元900年是快乐年。
那么从1000年到今年（2018年），有多少个“快乐年”？【巩固5】黑暗世界的小朋友不喜欢年份数是平方数的年份，因为这些年份总会遭遇困恼，其他年份则不会。
完全平方数
完全平方数完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2，3*3等，依此类推。
若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。
完全平方数是非负数，而一个完全平方数的项有两个。
注意不要与完全平方式所混淆。
完全平方数性质推论例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9。
（此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数”，0为整数，故0是完全平方数）性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9分别平方后，得综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之也成立证明已知，证明k为奇数。
因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则或即或∴k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
（奇数：n比那个所乘的数-1；偶数：n比那个所乘的数-2）在性质4的证明中，由k(k+1）一定为偶数可得到是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得（2k)2为8n型或8n+4型的数。
性质6：形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
完全平方数和平方根的计算
完全平方数和平方根的计算完全平方数，即一个数的平方等于另一个整数的情况。
例如，4是完全平方数，因为2的平方等于4。
平方根，则是指一个数的平方等于另一个数的非负数根。
例如，√4 = 2，因为2的平方等于4。
在日常生活和数学中，计算完全平方数和平方根的值非常常见。
本文将介绍一些常见的计算方法和技巧，帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
一、计算完全平方数的方法1. 直接计算法：通过对给定的数进行平方运算，判断结果是否是另一个整数。
例如，判断16是否是完全平方数，我们可以计算4²=16，所以16是完全平方数。
2. 累加法：这是一种更为高效的判断方法。
我们可以从1开始，每次将该数加上连续的奇数（即1、3、5...），并判断累加的结果是否等于给定的数。
如果等于，则该数是完全平方数；如果超过给定的数，则不是完全平方数。
例如，判断36是否是完全平方数，我们可以进行如下计算：1 + 3 = 4 (不等于36)4 +5 = 9 (不等于36)9 + 7 = 16 (不等于36)16 + 9 = 25 (不等于36)25 + 11 = 36 (等于36)因此，36是完全平方数。
3. 公式法：对于一个数n，如果它是完全平方数，那么它可以表示为一个整数x的平方，即n = x²。
我们可以通过求平方根的方法得到x 的值，从而判断是否是完全平方数。
例如，判断100是否是完全平方数，我们可以计算√100 = 10，因此100是完全平方数。
二、计算平方根的方法1. 试探法：通过尝试不同的数值来逼近给定数的平方根。
例如，为了计算√16，我们可以从1开始尝试，直到找到一个数x，使得x²≈16。
可以发现4²=16，因此√16 = 4。
2. 牛顿迭代法：这是一种更为精确的计算平方根的方法。
首先，我们猜测一个初始的平方根近似值x₀，然后通过不断迭代计算来逼近实际的平方根值。
具体步骤如下：a) 计算 x₁ = (x₀ + n / x₀) / 2b) 重复上述计算直到 xₙ 与 xₙ₋₁的差值足够小（通常小于给定的精度要求）例如，我们要计算√16，可以选择一个初始值x₀=4，然后进行如下迭代计算：x₁ = (4 + 16 / 4) / 2 = 6x₂ = (6 + 16 / 6) / 2 = 4.6667x₃ = (4.6667 + 16 / 4.6667) / 2 ≈ 4.5826...迭代若干次后，当计算结果足够接近实际平方根值时，我们可以得到近似的平方根。
北师大版七年级下册数学《第一章 整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解!
北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。
为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。
这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
完全平方公式
THANKS
谢谢您的观看
与完全平方公式相关的定理
勾股定理
在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
均值不等式
对于任意实数a和b，都有(a+b)^2/4≥ab，当且仅当a=b时等号成立。
与完全平方公式相关的数学问题
利用完全平方公式计算某些数的平方
例如，对于一个正整数n，如何利用完全平方公式计算n^2的值。
利用完全平方公式解决几何问题
详细描述
我们先假设存在一个非完全平方数$n$，那么一定存 在一个整数$k$使得$n=k^2+1$。那么我们可以将这 个非完全平方数表示为两个整数的平方和： $(k+1)^2+1=(k^2+1)+2k+1=(k^2+1)+(k+1)^2$ 。但是这与我们的假设矛盾，因为我们已经假设了 $n$是一个非完全平方数，因此它不能表示为两个整 数的平方和
《完全平方公式》
xx年xx月xx日
目录
• 完全平方公式概述 • 完全平方公式的证明 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的扩展知识
01
完全平方公式概述
什么是完全平方公式
完全平方公式定义
完全平方公式是一个数学表达式，它表示一个数的平方等于 另外两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍。
公式形式
a^2 = (a-b)^2 + 2ab 或 a^2 = (a+b)^2 - 2ab
完全平方公式的重要性
数学基础
完全平方公式是初中数学的基础内容，是进行二次根式运算、解一元二次方 程和判断整式乘除运算结果的重要依据。
完全平方公式的定义
完全平方公式的定义
完全平方公式是一种有用的数学工具，可以用来解决多个方程。
它是一个常见的抽象表示形式，由四个变量X、a、b、c和d组成，它的表达式为：X^2+aX+b=cX+d。
这里的X表示一个未知数，a、b、c和d分别表示四个常数。
如果所有变量都是定值（即a,b,c和d都是非零常数），则将上述公式视为一元二次方程（也就是完全平方方程）。
在求解它时，首先必须将它化成一般形式ax²+bx+c=0。
然后应用平方根公式（即X=−b±√b²−4ac2a）来解决这个问题。
此外，如果该方程有不止一个根（即b²-4ac是正数时），则要考虑所有根的情况。
对于复杂的多项式问题来说，使用完全平方公式能够很好地减少问题的复杂度。
例如在求解三次多项式中的根时可以将三次多项式化成三个不含x³成分的完全平方形式。
考虑到这些优势和特性，它成为了很多学生和工作者在数学中使用的一个重要工具。
完全平方数和完全平方式(初三)
初中数学辅导资料完全平方数和完全平方式内容提要一. 定义1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数. 例如0，1，0.36，254，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式. 如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.例如：在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式. 在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数. 又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.三. 完全平方式的性质和判定在实数范围内如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.在有理数范围内当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方数的关系1. 完全平方式（ax+b ）2 中当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.2. 在整系数方程x 2+px+q=0中① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.例题例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.那么S ＝（m －2）2＋（m －1）2＋m 2＋（m+1）2＋（m+2）2＝5（m 2+2）.∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1∴m 2+2不能被5整除.而5（m 2+2）能被5整除，即S 能被5整除，但不能被25整除.∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.例2 m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当⎩⎨⎧>-010m △＝时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式 △=0，即（2m ）2－4(m －1)(3m －2)=0.解这个方程， 得 m 1=0.5, m 2=2.解不等式 m －1>0 ， 得m>1.即⎩⎨⎧>==125.0m m m 或 它们的公共解是 m=2.答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证： a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a解这个方程组，得a=b=c.例4. 已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.可设△= m 2 (m 为整数)，即（－5）2－4k=m 2 (m 为整数)，解得，k=4252m -. ∵ k 是非负整数，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-的倍数是42502522m m 由25－m 2≥0， 得 5≤m ， 即－5≤m ≤5；由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4252m -. 求得k= 6, 4, 0.答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解例5. 求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.证明： （用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.∵△＝（8k ）2－16(k 2+1)＝16（3k 2－1）.设3k 2－1＝m 2 (m 是整数).由3k 2－m 2＝1，可知k 和m 是一奇一偶，下面按奇偶性讨论3k 2＝m 2＋1能否成立.当k 为偶数，m 为奇数时，左边k 2是4的倍数，3k 2也是4的倍数；右边m 2除以4余1，m 2＋1除以4余2.∴等式不能成立.； 当k 为奇数，m 为偶数时，左边k 2除以4余1，3k 2除以4余3右边m 2是4的倍数，m 2＋1除以4余1∴等式也不能成立.综上所述，不论k, m 取何整数，3k 2＝m 2＋1都不能成立.∴3k 2－1不是整数的平方， 16（3k 2－1）也不是整数的平方.∴当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根练习题1. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是＿＿＿＿.2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿＿，3n 2除以4的余数是＿＿.3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.（1990年全国初中数学联赛题）6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？8. a, b, c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.11. 已知四位数aabb 是平方数，试求a, b.12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程x 2－abx+21(a+b)=0的自然数解. (1990年泉州市初二数学双基赛题)15.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( )(A) 17 (B) 18 (C) 35 (D) 36(1990年全国初中数学联赛题)练习题答案1. 1，2，5，6，7，02. 0，3，33. 04. 不是平方数，因为能被3整除而不能被9整除5. 5。
完全平方公式解法
完全平方公式解法完全平方公式是解决一元二次方程的一种方法，它可以帮助我们求解方程的根。
所谓一元二次方程，就是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的实数，x是未知数。
完全平方公式的表达式是x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，其中±表示两个解，√表示开平方，b^2-4ac是判别式。
下面我们来详细介绍一下完全平方公式的使用方法。
我们需要确定方程中的a、b、c的值。
这些值可以由题目中直接给出，或者通过观察方程得到。
接下来，我们计算判别式b^2-4ac的值。
判别式的值可以判断方程的解的情况：如果判别式大于0，说明有两个不相等的实数解；如果判别式等于0，说明有一个实数解；如果判别式小于0，说明没有实数解，只有复数解。
然后，我们根据判别式的值来求解方程的根。
如果判别式大于0，我们可以使用完全平方公式的正负两个根来求解；如果判别式等于0，我们只需要使用完全平方公式的一个根来求解；如果判别式小于0，我们需要使用复数来表示方程的根。
我们将求解出来的根带入原方程，验证我们的答案是否正确。
下面我们通过一个例子来演示一下完全平方公式的使用方法。
例子：解方程x^2-6x+8=0。
我们可以看出a=1，b=-6，c=8。
接下来，计算判别式b^2-4ac的值，即(-6)^2-4*1*8=36-32=4。
由于判别式大于0，我们可以使用完全平方公式来求解。
根据完全平方公式，我们有x=(-(-6)±√4)/(2*1)。
化简得到x=(6±2)/2，即x=4或x=2。
我们将求解出来的根带入原方程验证一下。
将x=4带入方程得到4^2-6*4+8=0，等式成立；将x=2带入方程得到2^2-6*2+8=0，等式成立。
因此，我们得出结论，方程x^2-6x+8=0的解是x=4和x=2。
通过以上例子，我们可以看到完全平方公式简化了一元二次方程的求解过程，提高了求解的效率。
掌握了完全平方公式，我们可以更轻松地解决一元二次方程的问题。
完全平方数和完全平方式
完全平方数和完全平方式第三十一讲完全平方数和完全平方式设n是自然数，若存在自然数m，使得n=m2，则称n是一个完全平方数(或平方数)．常见的题型有：判断一个数是否是完全平方数；证明一个数不是完全平方数；关于存在性问题和其他有关问题等．最常用的性质有：(1)任何一个完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，个位数字是2，3，7，8的数一定不是平方数；(2)个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数，个位数字为6，而十位数字为偶数的数，也一定不是完全平方数；(3)在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数；(4)任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式；(5)任何整数平方之后，只能是3n或3n+1的形式，从而知，形如3n+2的数绝不是平方数；任何整数平方之后只能是5n，5n+1，5n+4的形式，从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数；(6)相邻两个整数之积不是完全平方数；(7)如果自然数n不是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是偶数；如果自然数n是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是奇数；(8)偶数的平方一定能被4整除；奇数的平方被8除余1，且十位数字必是偶数．例题求解【例1】 n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全平方数之和．思路点拨设3n+1=m2，显然3卜m，因此，m=3k+1或m=3k+2(k是正整数)．若rn=3k+1，则．∴ n+1=3k2+2k+1= k2+ k2+( k+1)2．若m=3k+2，则∴ n+1=3k2+4k+2= k2+(k+1)2+( k+1)2．故n+1是3个完全平方数之和．【例2】一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数．思路点拨引入参数，利用奇偶分析求解．设所求正整数为x，则x+ 100=m2 ----①x+168==n2 -----②其中m，n 都是正整数，②—①得n2—m2 =68，即（n—m）(n+m)=22×17．---- ③因n—m，n+m具有相同的奇偶性，由③知n—m，n+m都是偶数．注意到0n—mn+m，由③可得．解得n=18．代人②得x=156，即为所求．【例3】一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如16=52—32，16就是一个“智慧数”．在正整数中从1开始数起，试问第1998个“智慧数”是哪个数?并请你说明理由．思路点拨 1不能表为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=(k+1)2－k2(k=1，2，…)．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．对于被4整除的偶数4k，有4k=(k+1)2—(k—1)2 (k=2，3，…)．即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．对于被4除余2的数4k+2 (k=0，1，2，3，…)，设4k+2=x2—y2=(x+y)(x－y)，其中x，y为正整数，当x，y奇偶性相同时，(x+y)(x－y)被4整除，而4k+2不被4整除；当x，y奇偶性相异时，(x+y)(x－y)为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．所以不存在自然数x，y使得x2—y2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．因为1998=(1+3×665)+2，4×(665+1)=2664，所以2664是第1996个“智慧数”，2665是第1997个“智慧数”，注意到2666不是“智慧数” ，因此2667是第1998个“智慧数”，即第1998个“智慧数”是2667．【例4】(太原市竞赛题)已知：五位数满足下列条件：(1)它的各位数字均不为零；(2)它是一个完全平方数；(3)它的万位上的数字a是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数也都是完全平方数．试求出满足上述条件的所有五位数．思路点拨设，且 (一位数)， (两位数)， (两位数)，则①由式①知②比较式①、式②得n2=2mt．因为n2是2的倍数，故n也是2的倍数，所以，n2是4的倍数，且是完全平方数．故n2=16或36或64．当n2=16时，得，则m=l，2，4，8，t=8，4，2，1，后二解不合条件，舍去；故或41616．当n2=36时，得．则m=2，3，1，t=9，6，18．最后一解不合条件，舍去．故或93636．当n2= 64时，得．则m=1，2，4，8，t=32，16，8，4都不合条件，舍去．因此，满足条件的五位数只有4个：11 664，41 616，43 681，93 636．【例5】 (2002年北京)能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?若能够，请举出一例；若不能够；请说明理由．思路点拨不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数．理由如下：偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，也就是正整数的平方被4除余0或1．若存在正整数满足； =1，2，3，4，rn是正整数；因为2002被4除余2，所以被4除应余2或3．(1)若正整数n1，n2，n3，n4中有两个是偶数，不妨设n1，n2是偶数，则被4除余2，与正整数的平方被4除余0或1不符，所以正整数n1，n2，n3，n4中至多有—个是偶数，至少有三个是奇数．(2)在这三个奇数中，被4除的余数可分为余1或3两类，根据抽屉原则，必有两个奇数属于同一类，则它们的乘积被4除余1，与被4除余2或3的结论矛盾．综上所述，不能找到这样的四个正整数，使得褥它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数．【例6】使得(n2—19n+91)为完全平方数的自然数n 的个数是多少?思路点拨若(n2—19n+91)处在两个相邻整数的完全平方数之间，则它的取值便固定了．∵ n2一19n+91=(n-9)2 +(10一n)当n10时，(n－10)2n2－19n+19(n-9)2∴ 当n10时(n2—19n+19)不会成为完全平方数∴ 当n≤10时，(n2—19n+91)才是完全平方数经试算，n=9和n=10时，n2—19n+91是完全平方数．所以满足题意的值有2个．【例7】(“我爱数学”夏令营)已知的值都是1或—1，设m是这2002个数的两两乘积之和．(1)求m的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；(2 )求m的最小正值，并指出能达到最小正值的条件．思路点拨 (1) ，．当或时，m取最大值2003001．当中恰有1001个1，1001个时，m取最小值—1001．(2)因为大于2002的最小完全平方数为452=2025，且必为偶数，所以，当或；即中恰有1024个1，978个或恰有1024个，978个1时，m取最小值．【例8】 (全国竞赛题)如果对一切x的整数值，x的二次三项式都是平方数(即整数的平方)，证明：(1) 2a、2b都是整数；( 2)a、b、c都是整数，并且c是平方数．反过来，如果(2) 成立，是否对一切x的整数值，的值都是平方数?思路点拨 (1) 令x=0，得c=平方数= ；令x=±1，得，，其中m、n都是整数．所以，，都是整数．(2) 如果2b是奇数2k+l(k是整数)，令x=4得，其中h是整数．由于2a是整数，所以16a被4整除，有除以4余2．而，在h 、l的奇偶性不同时，是奇数；在h、l 的奇偶性相同时，能被4整除．因此，，从而2b是偶数，b是整数， ^也是整数．在(2)成立时，不一定对x的整数值都是平方数．例如，a=2，b=2，c=4，x=1时， =8不是平方数．另解(2)：令x=±2，得4a+2b+c=h2，4a—2b+c=k2，其中h、k为整数．两式相减得4b=h2—k2=(h+k)(h—k)．由于4b=2(2b)是偶数，所以h、k的奇偶性相同，(h+k)(h—k)能被4整除．因此，b是整数，也是整数．学力训练(A级)1．(山东省竞赛题)如果是整数，那么a满足( ) A．a0，且a是完全平方数 B．a0，且－a是完全平方数C．a≥0，且a是完全平方数 D．a≤0，且—a是完全平方数2．设n是自然数，如果n2的十位数字是7，那么n2的末位数字是( )A．1 B．4 C．5 D．63．(五羊杯，初二)设自然数N是完全平方数，N至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2位数字后，剩下的数还是完全平方数，则N的最大值是．4．使得n2—19n+95为完全平方数的自然数n的值是．5．自然数n减去52的差以及n加上37的和都是整数的平方，则n= ．6．两个两位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数分别是．7．是否存在一个三位数 (a，b，c取从1到9的自然数)，使得为完全平方数?8．求证：四个连续自然数的积加l，其和必为完全平方数．（B级）1．若x是自然数，设，则 ( )A．y一定是完全平方数 B．存在有限个，使y是完全平方数C．y一定不是完全平方数 D．存在无限多个，使y是完全平方数2．已知a和b是两个完全平方数，b的个位数字为l，十位数字为x；b的个位数为6，十位数字为y，则( ) A．x，y都是奇数 B．x，y都是偶数C．x是奇数，y是偶数 D．x为偶数，y为奇数3．若四位数是一个完全平方数，则这个四位数是．4．设m是一个完全平方数，则比m大的最小完全平方数是．5．(全国联赛题)设平方数y2是11个连续整数的平方和，则y的最小值是．6．(北京市竞赛，初二)p是负整数，且2001+p是—个完全平方数，则p的最大值为．7．有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列．若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后，都能组成一个正方形队列．问原长方形队列共有多少名战士?8．证明：是一个完全平方数．。
完全平方数和完全平方式
初一人教版七年级下册数学完全平方公式
初一人教版七年级下册数学完全平方公式知识点归纳总结一、完全平方公式的概念完全平方公式是数学中一种重要的恒等式，它描述了一个二次多项式如何表示为一个平方的形式。
具体地说，完全平方公式是形如a²±2ab+b²=(a±b)²的等式。
其中，a和b 是任意实数或代数式，它们可以是数字、字母、单项式或多项式。
二、完全平方公式的定义完全平方公式可以定义为：一个二次多项式，如果它可以表示为(a±b)²的形式，则称该二次多项式为完全平方公式。
其中，a和b可以是任意实数或代数式。
三、完全平方公式的性质唯一性：对于给定的a和b，完全平方公式(a±b)²是唯一的。
这意味着没有其他形式的二次多项式可以表示为完全平方。
展开性：完全平方公式可以展开为a²±2ab+b²的形式。
这是完全平方公式的一个重要性质，它允许我们将一个看似复杂的二次多项式简化为一个更简单的形式。
对称性：完全平方公式具有对称性，即(a+b)²=(b+a)²和(a-b)²=(b-a)²。
这意味着在完全平方公式中，a和b的位置可以互换而不影响公式的值。
四、完全平方公式的特点平方项：完全平方公式的第一项和最后一项都是平方项，即a²和b²。
这两项代表了公式中的主要部分，它们决定了公式的整体形状。
乘积项：完全平方公式的中间项是a和b的乘积的两倍，即±2ab。
这项是公式中的关键部分，它连接了平方项并使整个公式成为一个整体。
正负号：完全平方公式中的正负号取决于中间项是正是负。
如果中间项是正数，则公式为(a+b)²；如果中间项是负数，则公式为(a-b)²。
五、完全平方公式的规律二次项和一次项的关系：在完全平方公式中，二次项（a ²）和一次项（±2ab）之间存在密切的关系。
完全平方数的概念
完全平方数的概念：
一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。
如果一个正整数a是某一个整数b的平方，那么这个正整数a叫做完全平方数。
零也可称为完全平方数。
完全平方数的定义
平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9。
除1外，一个完全平方数分解质因数后，各个质因数的指数都是偶数，如果一个数质分解后，各个指数都为偶数，那么它肯定是个平方数。
完全平方数的所有因数的总个数是奇数个。
因数个数为奇数的自然数一定是完全平方数。
完全平方数的个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数。
完全平方数的个位数字是6时，其十位数字必为奇数。
完全平方数的性质：偶指奇因
1、完全平方数的分解质因数中，每种质因数的指数都是偶数，反之成立。
2、完全平方数的因数个数有奇数个，反之成立。
3、因数个数为3的一定是质数的平方。
完全平方数的判断与运算
完全平方数的判断与运算数学是一门需要逻辑思维和分析能力的学科，其中涉及到很多概念和规律。
在初中阶段，完全平方数是一个重要的概念，对于学生来说，了解如何判断一个数是否为完全平方数以及如何进行完全平方数的运算是非常重要的。
本文将详细介绍完全平方数的判断与运算方法，帮助中学生和家长更好地理解和应用这一概念。
一、完全平方数的判断方法完全平方数是指一个数可以表示为另一个整数的平方的形式，例如1、4、9、16等。
那么如何判断一个数是否为完全平方数呢？下面我们介绍两种常用的判断方法。
方法一：试除法试除法是最常用的判断一个数是否为完全平方数的方法。
具体步骤如下：1. 从2开始，依次将这个数除以2、3、4、5……直到这个数的平方根，如果能整除，则这个数是完全平方数；如果不能整除，则这个数不是完全平方数。
例如，判断25是否为完全平方数，按照试除法的步骤，我们可以将25除以2、3、4、5，发现25除以5等于5，可以整除，所以25是完全平方数。
方法二：数学定理法除了试除法，我们还可以利用数学定理来判断一个数是否为完全平方数。
其中一个重要的定理是：一个数是完全平方数，当且仅当它的质因数分解中，每个质因数的指数都是偶数。
例如，判断36是否为完全平方数，我们可以将36进行质因数分解，得到36=2^2 * 3^2，可以发现每个质因数的指数都是偶数，所以36是完全平方数。
二、完全平方数的运算方法除了判断一个数是否为完全平方数，我们还需要掌握如何进行完全平方数的运算。
下面我们介绍两种常用的运算方法。
方法一：完全平方数的加减法对于两个完全平方数的加减法，我们可以直接对它们进行运算。
例如，计算16+9，我们可以直接将16和9相加，得到25，25是一个完全平方数。
同样地，对于16-9，我们可以直接将16和9相减，得到7，7不是一个完全平方数。
方法二：完全平方数的乘法对于两个完全平方数的乘法，我们可以利用完全平方数的性质进行运算。
具体步骤如下：1. 将两个完全平方数进行质因数分解；2. 将两个完全平方数的质因数分解结果合并，并将相同的质因数的指数相加；3. 将合并后的质因数分解结果重新组合，得到一个新的完全平方数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初中数学竞赛专题选讲（初三.2）
完全平方数和完全平方式
一、内容提要
一定义
1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.
例如0，1，0.36，25
4，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.
2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.
如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.
例如：
在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式.
在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.
二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定
1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.
2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..
若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.
例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.
又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.
三. 完全平方式的性质和判定
在实数范围内
如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；
如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.
在有理数范围内
当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.
四. 完全平方式和完全平方数的关系
1. 完全平方式（ax+b ）2 中
当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；
当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.
2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.
所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.
五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系
1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中
① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；
② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.
2. 在整系数方程x 2+px+q=0中
① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；
② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.
二、例题
例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.
证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.
那么S ＝（m －2）2＋（m －1）2＋m 2＋（m+1）2＋（m+2）2
＝5（m 2+2）.
∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9
∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1
∴m 2+2不能被5整除.
而5（m 2+2）能被5整除，
即S 能被5整除，但不能被25整除.
∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.
例2 m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？
解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得
当且仅当⎩⎨⎧>-0
10m △＝时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式 △=0，即（2m ）2－4(m －1)(3m －2)=0.
解这个方程， 得 m 1=0.5, m 2=2.
解不等式 m －1>0 ， 得m>1.
即⎩
⎨⎧>==125.0m m m 或 它们的公共解是 m=2.
答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.
例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.
求证： a=b=c.
证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得
原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc
∵它是完全平方式，
∴△＝0.
即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.
∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,
(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0.
要使等式成立，必须且只需：
⎪⎩
⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a
解这个方程组，得a=b=c.
例4. 已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.
解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.
可设△= m 2 (m 为整数)，
即（－5）2－4k=m 2 (m 为整数)，
解得，k=4
252
m -. ∵ k 是非负整数，
∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-的倍数
是42502522m m 由25－m 2≥0， 得 5≤m ， 即－5≤m ≤5；
由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.
以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4
252
m -. 求得k= 6, 4, 0.
答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解
例5. 求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.
证明： （用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.
∵△＝（8k ）2－16(k 2+1)＝16（3k 2－1）.
设3k 2－1＝m 2 (m 是整数).
由3k 2－m 2＝1，可知k 和m 是一奇一偶，
下面按奇偶性讨论3k 2＝m 2＋1能否成立.
当k 为偶数，m 为奇数时，
左边k 2是4的倍数，3k 2也是4的倍数；
右边m 2除以4余1，m 2＋1除以4余2.
∴等式不能成立.； 当k 为奇数，m 为偶数时，
左边k 2除以4余1，3k 2除以4余3
右边m 2是4的倍数，m 2＋1除以4余1
∴等式也不能成立.
综上所述，不论k, m 取何整数，3k 2＝m 2＋1都不能成立.
∴3k 2－1不是整数的平方， 16（3k 2－1）也不是整数的平方.
∴当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根
三、练习
1. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是＿＿＿＿.
2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿＿，3n 2除以4
的余数是＿＿.
3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.
4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？
5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.
（1990年全国初中数学联赛题）
6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？
7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？
8. a, b, c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？
9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：
① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.
10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.
11. 已知四位数aabb 是平方数，试求a, b.
12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.
13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.
14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程x 2－abx+2
1(a+b)=0的自然数解. (1990年泉州市初二数学双基赛题)
练习题参考答案
1. 1，2，5，6，7，0
2. 0，3，3
3. 0
4. 不是平方数，因为能被3整除而不能被9整除
5. 5。
因为平方数的个位数是
（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1+0）×12345678＋（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1） 即个位数为5×8＋5
6. 3，5
7. 12，10，6
8. a=b,a=c 且c>b
9. 都不是
10. 1987． ∵⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2213838B
x A x A 2－B 2＝176＝2×2×2×2×11 ⎩⎨⎧=-=+B A B A …… 11. 7744（882）. ∵b a aabb 011⨯=是平方数， a+b 是11的倍数
∴可从⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==9
256473829b a b a b a b a b a 中检验，得出答案. 12 用反证法，设2n －1=A 2,A 必是奇数， 设A ＝2k+1……
13 ⎩⎨⎧==612b a ⎩⎨⎧-=-=6
12b a 14 ⎩⎨
⎧==31b a x 1=1, x 2=2。