定积分和微积分基本定理

第三节定积分和微积分基本定理

考纲解读

1•了解定积分的实际背景、基本思想及概念 •

2•了解微积分基本定理的含义 .

命题趋势探究

定积分的考查以计算为主， 其应用主要是求一个曲边梯形的面积， 题型主要为选择题和填空

题•

知识点精讲 一、基本概念

1.定积分的极念

一般地，设函效 f (x )在区间［a , b ］上连续.用分点a = x 0 <

x 2< L < x — < x

b - a

< L < X n 二b 将区间［a,b ］等分成n 个小区间，每个小区间长度为

D x ( D x =

)，

n

n

在每个小区间［X i -^X i ］上任取一点\ i =1,2J||,n ，作和式：S^v f(i)C x =：

i 二

n

b _a

f ( i )，当D x 无限接近于0 (亦即n —； • •)时，上述和式S n 无限趋近于常数 S ，

i

i n

b

那么称该常数S 为函数f (x)在区间［a,b ］上的定积分•记为： S 二 f (x)dx , f (x)为

* a

被积函数，X 为积分变量， 需要注意以下几点：

［a, b ］为积分区间，b 为积分上限，a 为积分下限.

b

(1)

定积分 f(x)dx 是一个常数，即S n 无限趋近的常数S (n 时)，称为

a

b

f (x)dx ，而不是 S n .

a

(2) 用定义求定积分的一般方法 .

b n

• b -^a

a

f(x)dx 二［imj f

i -" a - i n b t 2 b

(3)曲边图形面积：S = f x dx ；变速运动路程s 二 v(t)dt ;变力做功S = F(x) dx

2 •定积分的几何意义

b

从几何上看，如果在区间［a ,b ］上函数f (x )连续且恒有f(x)_0，那么定积分a f x dx 表 示由直线

X =a,x =b(a =b), y =0和曲线y = f (x )所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影

①分割：n 等分区间［a ,b ］；②近似代替：取点 n

b — a i •〔x 」，X i 丨；③求和：、• 口 f(i )；

◎ n ④取极限:

b

般情况下，定积分.f(x)dx 的值的几何意义是介于 x 轴、函数f(x)的图像以及直线

a

部分所示)的面积，这就是定积分

b

x = a ,x = b 之间各部分面积的代数和，在 x 轴上方的面积取正号，在 x 轴下方的面积取 负号.

即 F '(x) = f (x)，则 J ： f(x)dx =F(b) — F(a),或记为 J ： f(x)dx= F (x [ b

=

a F(b)-F(a)，

称为牛顿一莱布尼兹公式，也称为微积分基本定理.

该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，只要求出被积函数

f x 的一个原函数

F x •然后计算原函数 F x 在区间la,b 上的增量F(b)-F(a)即可，这一定理提示了 定积分与不定积

分之间的内在联系.

题型归纳及思路提示 题型51定积分的计算 思路提示

对于定积分的计算问题，若该定积分具有明显的几何意义，如圆的面积等(例 3.26及

其变式)，则利用圆面积计算，否则考虑用牛顿

-莱布尼茨公式计算.

1 2

例 3.25 计算 I 〔x ■ sinx dx = ____________ .

4

1

变式1 -dx =

2 x

A.-21 n2

B. 2ln 2

C.-In2

D. In2

1

变式 2 Q (e x 2x)dx = A.1 B e ； C.e D. e+1

性质 性质 性质 性质

基本性质

b

1dx 二 b 「a .

a b

b

kf (x)dx 二k f (x)dx (其中k 是不为0的常数)(定积分的线性性质).

a - a

b

b

b

a[ £(x) 士 f 2(x)]dx

£(x)dx 士； f 2(x)dx (定积分的线性性质)

b

c

b

f (x)dx f (x)dx • f (x)dx (其中a :: c ::: b)(定积分对积分区间的可加性) a a c

推广 1 J [f i (x)±f 2(x)±j|j±f m (x)]dx= J £(x)dx 土 J f 2(x)dx 土卅土 J f m (x)

a a

a

a

b (1

C 2 b

推广 2 f (x)dx f(x)dx 亠 I f (x)dx f (x)dx -

a

• a

_ q

■ Ck

、基本定理

设函数f (x)是在区间[a,b]上连续，且F x 是f (x)是在[a,b]上的任意一个原函数,

2 1

变式3设函数f (x )=ax +c (a 式0 )，若［f (x )dx = f (冷)(0兰冷兰1卜则x °的值 为 .

若对于给定的正数 k ，定义函数

1 2 f x , k =1时，定积分1 f k x dx 的值为 x L

4

D. 2ln2 1

例3.26根据定积分的几何意义计算下列定积分 (1) ： 2 -x dx ;

(2) ： J _x 2dx

b

评注 定积分 x dx 的几何意义是函数和直线 X =a, X =b 以及x 轴所围成的图形面积的

L a

代数和，面积是正值，但积分值却有正值和负值之分， 当函数时，f x 0面积是正值，当函

数f x ：0时，积分值是负值.

变式1根据定积分的几何几何意义计算下列定积分.

4

0 -------------- 2

10 兀 —

(1) J 0(x +2)dx ; (2) J 』V 4-xdx ; (3) J 。 sin xdx ;

(4) J ；sinxdx .

~4

( k, f (x)乞 k

f

k

x

= f ， 则当函数 x , f x k

( )

A. 2ln 2 2

B. 2ln2 -1

C.2

ln2

变式4设函数y 二f x 的定义域为R,