数值分析模拟试题
数值分析模拟试卷1,2,3
数值分析模拟试卷1一、填空（共30分，每空3分） 1 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数)(1A cond =________.2 设,2,1,0,,53)(2==+=k kh x xx f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________,],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________.3 设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-++≤≤+=21,1210,)(2323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________.4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则⎰=10)(dx x xq k ________，=)(2x q ________.5 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001aaa a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的.二、（14分）设49,1,41,)(21023====x x x x x f ,（1）试求)(x f 在]49,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='.（2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式.三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3241+=+，（1） 证明R x ∈∀0均有∙∞→=x x n x lim （∙x 为方程的根）；（2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？五、（15分） 设有常微分方程的初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y ，试用Taylor 展开原理构造形如)()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项.六、（15分） 已知方程组b Ax ＝，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21,13.021b A ， （1） 试讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的收敛性. （2） 若有迭代公式)()()()1(b Axa xxk k k ++=+，试确定一个的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛. 七、（8分） 方程组，其中，A 是对称的且非奇异.设A 有误差，则原方程组变化为，其中为解的误差向量，试证明.其中1λ和2λ分别为A 的按模最大和最小的特征值.数值分析模拟试卷2填空题（每空2分，共30分）1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字； 2. 设)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是_______________________________________________；3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________；=]4,3,2,1,0[f ________；4. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond______________________ ；5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为_________，进行二步后根所在区间为_________________；6. 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+04511532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径=)(G ρ_______________；7. 为使两点数值求积公式：⎰-+≈111100)()()(x f x f dx x f ωω具有最高的代数精确度，其求积节点应为=0x _____ , =1x _____,==10ωω__________. 8. 求积公式)]2()1([23)(30f f dx x f +≈⎰是否是插值型的__________，其代数精度为___________。
数值分析模拟试题
数值分析模拟试题1、⽅程组中，，则求解⽅程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代均收敛的a 的范围是___________。
2、，则A 的LDL T 分解中，。
3、，则__________，_______________.4、已知，则⽤复合梯形公式计算求得，⽤三点式求得____________. 5、，则_________，三点⾼斯求积公式______________. 6设* 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则*x 有________位有效数字。
7 3()1,[0,1,2,3]f x x x f =+-=设则差商(均差)_____________，[0,1,2,3,4]f =________________。
8 求⽅程()x f x =根的⽜顿迭代格式是__________________。
9.梯形求积公式和复化梯形公式都是插值型求积公式_____（对或错）。
10.⽜顿—柯特斯求积公式的系数和()0nn k k C ==∑__________________。
11.⽤⼆次拉格朗⽇插值多项式2()sin0.34L x 计算的值。
插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。
12.⽤⼆分法求⽅程3()10[1.0,1.5]f x x x =--=在区间内的⼀个根，误差限210ε-=。
13.⽤列主元消去法解线性⽅程组1231231232346,3525,433032.x x x x x x x x x ++=??++=??++=?14. 确定求积公式012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h -≈-++?。
中待定参数i A 的值(0,1,2)i =，使求积公式的代数精度尽量⾼；并指出此时求积公式的代数精度。
15、试求使求积公式的代数精度尽量⾼，并求其代数精度。
16.证明区间[a,b]上带权()x ρ的正交多项式(),1,2,n P x n = 的n 个根都是单根，且位于区间(a,b)内。
数值分析试题及答案..(优选)
一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。
A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。
5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211yy yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式 .填空题答案1. 9和292.()()0101f x f x x x --3. 18 4. ()()120f f < 5. ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩得 分 评卷人三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案1. 解[]0,1x ∈，()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---()12x L x -=-所以分段线性插值函数为()10.50.80.3x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-⎪⎩()1.50.8L =2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()00,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解 原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m = 高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1011dx x +⎰.计算题4.答案确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明题答案一、 填空（共20分，每题2分）1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。
数值分析练习题加答案(一)
数值分析期末考试一、 设80~=x ，若要确保其近似数的相对误差限为0.1%，则它的近似数x 至少取几位有效数字？（4分）解：设x 有n 位有效数字。
因为98180648=<<=，所以可得x 的第一位有效数字为8（1分） 又因为21101011000110821--⨯=<⨯⨯≤n ε，令321=⇒-=-n n ，可知x 至少具有3位有效数字（3分）。
二、求矩阵A 的条件数1)(A Cond （4分）。
其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4231A 解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-5.05.1121A （1分） 1A =7（1分） 2711=-A （1分）249)(1=A Cond （1分）三、用列主元Gauss 消元法法求解以下方程组（6分）942822032321321321=++-=++--=+-x x x x x x x x x解：→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----5.245.2405.35.230914220321821191429142821120321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---8175835005,245.24091425.33.2305.245.2409142(4分) 等价三角方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+-=++,8175835,5.245.24,942332321x x x x x x （1分）回代得1,3,5123==-=x x x （1分）四、设.0,2,3,1,103)(3210234=-===-+-=x x x x x x x x f 1）求以3210,,,x x x x 为节3次Lagrange 多项式；（6分） 2）求以3210,,,x x x x 为节3次Newton 多项式；（6分）3）给出以上插值多项式的插值余项的表达式（3分）解：由0,2,3,13210=-===x x x x 可得10)(,34)(,1)(,11)(3210-==-=-=x f x f x f x f即得： +------+------=))()(())()(()())()(())()(()()(312101320130201032103x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x L=------+------))()(())()(()())()(())()(()(23130321033212023102x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f+-+--+-⨯-+-+--+-⨯-)03)(23)(13()0)(2)(1()1()01)(21)(31()0)(2)(3(11x x x x x x326610.)20)(30)(10()2)(3)(1()10()02)(32)(12()0)(3)(1(34x x x x x x x x x -+--=+--+--⨯-+---------⨯2）计算差商表如下：i x )(i x f 一阶差商 二阶差商 三阶差商1 -11 3 -1 5 -2 34 -7 4 0-10-225-1则=+-----+-+-=)2)(3)(1()3)(1(4)1(511)(3x x x x x x x N326610x x x -+--3）)2)(3)(1())()()((!4)()(3210)4(3+--=----=x x x x x x x x x x x x f x R ξ五、给定方程组b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100131w w w w A 。
数值分析试卷及答案数值分析模拟试卷(五)
数值分析试卷及答案数值分析模拟试卷（五）数值分析模拟试卷（五）班级学号姓名一、填空题（每空2分，共30分） 1．已知数e=2.718281828...，取近似值 _=2.7182，那麽_具有的有效数字是 ____位；2．若,改变计算式=__________________，使计算结果更精确；3．已知, 则谱半径 __________；4．过节点的插值多项式为 ____________________；5．过四个互异节点的插值多项式p(_)，只要满足__________ ，则p(_)是不超过二次的多项式；6.,；7．利用抛物(Simpson)公式求= __________；8．插值型求积公式的求积系数之和__________；9．已知等距节点的函数值(_i, yi)(i=0,1,2)，由数值微分三点公式，__________；10．为使两点的数值求积公式：具有最高的代数精度，其求积节点应为 ___________________；11．用高斯—切比雪夫求积公式计算，当n=______时，能得到精确值；12．解初值问题近似解的欧拉公式局部截断误差为__________, 是____阶方法．二、（12分）已知方阵，试通过交换A的行，使其能实现(Doolittle)分解，并给出其分解；并用该分解求解方程组A_=b，其中．三、（10分）设,满足，试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使收敛？四、（14分）线性方程组， (1) 请写出解此方程组的赛德尔迭代法的迭代格式，并讨论收敛性；(2) ，给定松弛因子，写出解此方程组的SOR方法迭代格式，讨论收敛性．五、（10分）设函数f(_)在[0,1]上具有3阶连续导数，用基函数方法求一个次数不超过2的多项式H(_)，满足，写出插值余项．六、(10分)用改进的欧拉公式求解初值问题，取步长k = 0.1，计算y(0.1)，y(0.2)的近似值，小数点后保留5位.七、(8分)证明对任意的初值，迭代格式是计算的三阶方法．八、(6分) 若有n个不同实根证明。
数值分析模拟试卷(二)
2
………11 分
2 12 1 4 1 2
1 1 0 ， ( B ) 1 4 2
………15 分
所以 SOR 方法迭代格式收敛． 四、由拉格朗日插值得二次多项式
1 p 2 ( x) ( x 2 3 x) 2
又设 H ( x) p2 ( x) Ax ( x 1)( x 2) 由于 H (1) f (1) 3 ，解出 A 所以 H ( x) p 2 ( x) 余项 R(x)=
1
x3 1 x(1 x)
0
dx ，问当节点数 n 取何值时，能得到
二：
1、0；
一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 2、发散； 3、 f ( x ) 0 ；
*
4、16，90； 6、 3 3 ； 8、b-a；
5、是，因为在 x0 1.5 附近，迭代函数是压缩映射； 7、
0i 2 0 j 2 j i
b a
f ( x)dx
k 0
n
Ak f ( x k ) 的求积系数之和
A
k 0
n
k
__________ .
2 2 1 二、 （15 分）已知方阵 A 1 1 1 ， 3 2 1
(1) 证明： A 不能被分解成一个单位下三角阵 L 和一个上三角阵 U 的乘积； (2) 试通过交换 A 的行，使其能实现(Doolittle)分解，并给出其分解； (3) 用上述分解求解方程组 AX=b，其中 b (3.5,2,4) ．
………4 分
5 2
………9 分 ………12 分
5 5 7 x( x 1)( x 2) x 3 7 x 2 x 2 2 2
数值分析模拟试题(XAUT)(15套)
模拟试题一一、填空（每小题3分，共30分）1. 设2.40315x *=是真值 2.40194x =的近似值，则x *有 位有效数字。
2. 牛顿—柯特斯求积公式的系数和()0nn k k c =∑ 。
3 已知 12,()_________01A A ∞⎛⎫== ⎪⎝⎭则条件数cond 。
4 若332x -1x 1S(x)=1(x -1)+a(x -1)+b(x -1)+c 1x 220⎧≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩是三次样条函数，则a =_______, b =______, c =______.5 以n + 1个 整 数 点k ( k =0,1,2,…,n ) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基函 数 为()k l x ( k =0,1,2,…,n )，则 nk k=0kl (x)=_____.∑6 序列{}n n=0y ∞满足递推关系：n n-1y =10y -1,(n =1,2,...)，若0y 有误差, 这个计算过程____________稳定.7 若42f(x)=2x +x -3, 则f[1,2,3,4,5,6]=_____. 8 数值求积公式10311f(x)dx f()+f(1)434=⎰的代数精度是____________. 9．当x很大时，为防止损失有效数字，应该使= .10．已知A ＝⎢⎢⎢⎣⎡761 852 ⎥⎥⎥⎦⎤943，x ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111，则=1Ax . 二、(10分) 用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据x 0 1.0 2.0 3.0 y 0.2 0.5 1.0 1.2三、(10分)2011A =050,b =3,203-1⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭用迭代公式(1)()()()(0,1,2,)k k k x x Ax b k α+=+-=求解,Ax b =问取什么实数α可使迭代收敛，什么α可使迭代收敛最快。
四、（10）设()f x 四阶连续可导，0,0,1,2,,i x x ih i =+=试建立如下数值微分公式''01212()2()()()f x f x f x f x h -+≈并推导该公式的截断误差。
最新(完美版)数值分析模拟试题 (5)
数值分析模拟试题2解答一、 填空题(每小题3分，共15分)1. a = 3 , b = 3 , c = 0 .2.()nkk klx x ==∑ 3. 不稳定4. [1,2,3,4,5,6]0f =5. ,,,m n n m y Ax y A R x R y R ⨯=+∈∈∈ 二、 简单计算题(每小题6分，共18分) 三、 1解：2. 解：1121513A --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1111()414cond A A A -==⨯=。
3. 解：令()1f x =，左=右=1； ()f x x =，左=右=1/2； 2()f x x =，左=右=1/2； 3()f x x =，左≠右； 故求积公式的代数精度为2。
三、（12分）解、设123(,,)A u u u =，123(0,2,0),(2,1,2),(0,2,1),T T T u u u ===11111(0,2,0),/(0,1,0),T T v u v v ε====2221121222(,)(2,0,2),/T T v u u u v v εεεε=-=-===，434tan ,cos ,sin 35510003/54/504/53/5x C S G θθθ=======⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦333113223121(,)(,)2(1,0,1)2T v u u u u εεεεε=--=-=-，333/1,0,1)T v v ε==-于是可得11212212322u u u εεε⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪=++⎪⎩即21201/1/10001/01/001/A QR ⎡⎡⎤-⎢⎢==⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎣⎦⎣四、（10分）解：依题目可设11H()()()x h x h x =+2'2111'121'2211'121()(),()2(),(1)1,23(1)2()0,()(23)()(1),()(32),(1)1()(1)h x x ax b h x x ax b ax h a b a b h a b a h x x x h x x x h x x x h h x x x λλλ=+=++=+=⎧=-⎧⎪⎨⎨==++=⎪⎩⎩∴=-+=-=-==∴=-令由解得令由从而222311()()()(23)(1)2H x h x h x x x x x x x =+=-++-=- 五、 (10分)解：将01(),()f x f x 分别于2x 处作Taylor 展开，可得2302221231222248()()2'()''()'''()(1)23!()()'()''()'''()(2)23!h h f x f x hf x f x f h h f x f x hf x f x f ξξ=-+-=-+-（1）-4*（2）除以2h 并化简，可得2(3)0122()4()3()'()()23f x f x f x h f x f h ξ-+≈+六、(10分)解：1111011(1111()()2222tf t f x dx f dt ---++===⎰⎰⎰⎰))23(1)2231()21()23(1)2231((622--++-+≈f f f π12220111111122(()())622422960.3600x dx ππ+-≈⨯++⨯=≈⎰故 七、(15分)解：设所求曲线为12()()()s x a x b x ϕϕ=+，其中212(),()x x x x ϕϕ==12000.2110.5,,,24 1.039 1.2Y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Φ=Φ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则法方程为1112121222(,)(,)(,)(,)(,)(,)Y a Y b ΦΦΦΦΦ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ΦΦΦΦΦ⎣⎦⎣⎦⎣⎦即1436 6.1,369815.3a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦解之得0.61840.0711a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦于是所求曲线为2()0.61840.0711s x x x =-。
数值分析
数值分析模拟试题1注：计算题取小数点后四位。
1. (10分)利用Gauss-Legendre 求积公式⎰-++-≈11)7746.0(5556.0)0(8889.0)7746.0(5556.0)(f f f dx x f导出求积分03()f x dx -⎰的三点高斯型求积公式。
2. (15分)写出求解线性代数方程组123121322531272x x x x x x x -+=⎧⎪-+=-⎨⎪+=⎩ 的Gauss-Seidel 迭代格式，并分析此格式的敛散性。
3. (15分)设矩阵21011000201010A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎥⎥⎦， （1）试计算||||A ∞。
（2）用Householder 变换阵H 将A 相似约化为上Hessenberg 阵，即HAH 为上Hessenberg 阵。
4. (10分) 求关于点集{}1,2,3,4的正交多项式{}012(),(),()x x x ϕϕϕ。
5. (10分)用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据1.02.03.04.00.81.51.82.0iix y ⎧⎨⎩6. (20分)给出数据点： 013419156i i x y =⎧⎨=⎩（1）用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ，并计算 1.5x =的近似值2(1.5)L 。
（2）用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ，并计算 1.5x =的近似值2(1.5)N 。
（3）用事后误差估计方法估计2(1.5)L 、2(1.5)N 的误差。
7．(10分) 设矩阵A 可逆，A δ为A 的误差矩阵，证明：当11A Aδ-<时，A Aδ+也可逆。
8．(10分)设()f x 四阶连续可导，0,0,1,2i x x ih i =+=。
试建立如下数值微分公式''01212()2()()()f x f x f x f x h-+≈，并推导该公式的截断误差。
数值分析练习题附答案
目录一、绪论------------------------------------------------------------------------------------- 2-2二、线性方程组直接解法列主元高斯LU LDL T GG T-------------------- 3-6二、线性方程组迭代法----------------------------------------------------------------- 7-10 三、四、非线性方程组数值解法二分法不动点迭代---------------------- 11-13五、非线性方程组数值解法牛顿迭代下山弦截法----------------- 14-15六、插值线性插值抛物线插值------------------------------------------------ 16-18七、插值Hermite插值分段线性插值-----------------------------------------19-22八、拟合------------------------------------------------------------------------------------ 23-24九、数值积分----------------------------------------------------------------------------- 25-29十、常微分方程数值解法梯形欧拉改进----------------------------------- 30-32 十一、常微分方程数值解法龙格库塔------------------------------------------ 33-35绪论1-1 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.X 1 =5.420, X 2 =0.5420, X 3 =0.00542, X 4 =6000, X 5 =0.6×105注：将近似值改写为标准形式X 1 =（5*10-1+4*10-2+2*10-3+0*10-4）*101 即n=4,m=1 绝对误差限｜△X 1｜=｜X *1-X 1｜≤ 12×10m-n ＝12×10-3 相对误差限｜△r X 1｜= ｜X∗1−X1｜｜X∗1｜≤｜X∗1−X1｜｜X1｜= 12×10-3/5.4201-2 为了使101/2 的相对误差小于0.01%, 试问应取几位有效数字?1-3 求方程x 2 -56x+1=0的两个根, 使它们至少具有4位有效数字( √783≈27.982)注：原方程可改写为(x-28)2=783线性方程组解法（直接法）2-1用列主元Gauss消元法解方程组解：回代得解：X1=0 X2=-1 X3=12-2对矩阵A进行LU分解，并求解方程组Ax=b,其中解：(注：详细分解请看课本P25)A=(211132122)→(211(1/2)5/23/2(1/2)3/23/2)→(2111/25/23/21/2(3/5)3/5)即A=L×U=(11/211/23/51)×(2115/23/23/5)先用前代法解L y＝P b 其中P为单位阵（原因是A矩阵未进行行变换）即L y＝P b 等价为(11/211/23/51)(y1y2y3)＝(111)(465)解得 y 1=4 y 2=4 y 3=35再用回代解Ux ＝y ，得到结果x即Ux ＝y 等价为(2115/23/23/5)(x 1x 2x 3)＝(y 1y 2y 3)＝(443/5) 解得 x 1=1 x 2=1 x 3=1即方程组Ax=b 的解为x ＝(111)2-3 对矩阵A 进行LDL T 分解和GG T 分解，求解方程组Ax=b,其中A=(164845−48−422) ， b ＝(123)解：（注：课本 P 26 P 27 根平方法）设L=(l i j )，D=diag(d i )，对k=1,2,…,n,其中d k =a kk －∑l kj 2k−1j=1d jl ik =(a ik −∑l ij l kj k−1j=1d j )/ d k 即d 1=a 11－∑l 1j 20j=1d j =16－0=16因为 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=a 21/ d 1=416=14 所以d 2=a 22－∑l 2j 21j=1d j =5－(14)2d 1=4同理可得d 3=9 即得 D=(1649)同理l 11=(a 11−∑l ij l 1j 0j=1d j )/ d 1=1616=1=l 22=l 33 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=416=14 l 31=(a 31−∑l 3j l 1j 0j=1d j )/ d 1=816=12 l 32=(a 32−∑l 3j l 2j 1j=1d j )/ d 2=−4−12×14×164=−64=－32即L=(114112−321) L T=(114121−321) 即LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321)解解：A=(164845−48−422)→(41212−32−33)故得GG T分解：A=(4122−33)(4122−33) LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321) 由(114112−321)(y 1y 2y 3)＝(123) ，得(y 1y 2y 3)＝(0.250.8751.7083)再由(4122−33)(x 1x 2x 3)＝(0.250.8751.7083) ，得(x 1x 2x 3)＝(−0.54511.29160.5694)2-4 用追赶法求解方程组：解：(4−1−14−1−14−1−14−1−14)→(4−14−1154−415−15615−1556−120956−56209−1780209)由(4−1154−15615−120956−1780209)(y1y2y3y4y5)＝(100200)，得(y1y2y3y4y5)＝(256.66671.785700.4784753.718)再由(1−141−4151−15561−562091)(x1x2x3x4x5)＝(256.66671.785700.4784753.718)，得(x1x2x3x4x5)＝(27.0518.20525.769314.87253.718)线性方程组解法（迭代法）2-1 设线性方程组{4x 1−x 2+2x 3=1−x 1−5x 2+x 3=22x 1+x 2+6x 3=3（1） 写出Jacobi 法和SOR 法的迭代格式（分量形式） （2） 讨论这两种迭代法的收敛性（3） 取初值x (0)=(0，0，0)T ，若用Jacobi 迭代法计算时，预估误差 ｜｜x*-x (10)｜｜∞ （取三位有效数字）解：（1）Jacobi 法和SOR 法的迭代格式分别为Jacobi 法迭代格式SOR（2）因为A 是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi 法收敛,SOR 法当0<ω≤1时收敛.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=-+-=+-=+++216131525151412141)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x xx x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++-=+-+-=+-+-+=++++++)216131()525151()412141()(3)1(2)1(1)(3)1(3)(3)(2)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)(1)1(1k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x ωωω（3）由(1)可见||B ||∞=3/4,且取x (0)=(0,0,0)T ,经计算可得x (1)=(1/4,-2/5,1/2)T ,于是||x (1)-x (0)||∞=1/2,所以有2-2 设方程组为{5x 1+2x 2+x 3=−12−x 1+4x 2+2x 3=202x 1−3x 2+10x 3=3试写出其Jacobi 分量迭代格式以及相应的迭代矩阵，并求解。
数值分析考试题
数值分析考试题一、选择题1. 以下哪个方法不是数值分析中常用的数值积分方法？A. 梯形法则B. 辛普森法则C. 牛顿法D. 龙格-库塔法2. 在求解线性方程组的直接方法中，高斯消元法属于以下哪种类型？A. 列主元消去法B. 行主元消去法C. 完全主元消去法D. 选主元消去法3. 非线性方程求根的二分法属于以下哪种类型的数值方法？A. 迭代法B. 直接法C. 优化算法D. 插值法4. 在数值分析中，用于度量舍入误差的常用指标是：A. 截断误差B. 舍入误差C. 估计误差D. 计算误差5. 插值多项式的最高次数与插值节点的数量关系是：A. 次数多于节点数量B. 次数少于节点数量C. 次数等于节点数量D. 与节点数量无关二、填空题1. 在数值分析中，__________是用来描述一个算法在实际运算中所需步数的度量。
2. 线性方程组的雅可比方法是一种__________消去法。
3. 牛顿法在求解非线性方程时，每次迭代都需要计算__________。
4. 龙格现象是指在数值积分中，由于__________而引起的误差。
5. 在多项式插值中，拉格朗日插值法是通过__________来构建插值多项式的。
三、简答题1. 请简述数值分析中的截断误差和舍入误差的区别。
2. 描述高斯-赛德尔迭代法的基本思想，并与雅可比迭代法进行比较。
3. 解释在数值积分中为什么需要使用自适应方法。
4. 讨论在求解非线性方程时，二分法与牛顿法的适用条件和优缺点。
5. 分析多项式插值与样条插值的主要区别及其各自的应用场景。
四、计算题1. 给定函数f(x) = sin(x)，在区间[0, π]上使用梯形法则计算积分的近似值，取4个等分点。
2. 设线性方程组如下：\[\begin{cases}2x + y + z = 6 \\x + 2y + 4z = 14 \\3x + y + 2z = 10\end{cases}\]使用高斯消元法求解该方程组的解。
数值分析模拟试题(XAUT)(15套)
模拟试题一一、填空（每小题3分，共30分）1. 设2.40315x *=是真值 2.40194x =的近似值，则x *有 位有效数字。
2. 牛顿—柯特斯求积公式的系数和()0nn k k c =∑ 。
3 已知 12,()_________01A A ∞⎛⎫== ⎪⎝⎭则条件数cond 。
4 若332x -1x 1S(x)=1(x -1)+a(x -1)+b(x -1)+c 1x 220⎧≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩是三次样条函数，则a =_______, b =______, c =______.5 以n + 1个 整 数 点k ( k =0,1,2,…,n ) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基函 数 为()k l x ( k =0,1,2,…,n )，则 nk k=0kl (x)=_____.∑6 序列{}n n=0y ∞满足递推关系：n n-1y =10y -1,(n =1,2,...)，若0y 有误差, 这个计算过程____________稳定.7 若42f(x)=2x +x -3, 则f[1,2,3,4,5,6]=_____. 8 数值求积公式10311f(x)dx f()+f(1)434=⎰的代数精度是____________. 9．当x很大时，为防止损失有效数字，应该使 .10．已知A ＝⎢⎢⎢⎣⎡761 852 ⎥⎥⎥⎦⎤943，x ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111，则=1Ax . 二、(10分) 用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据x 0 1.0 2.0 3.0 y 0.2 0.5 1.0 1.2三、(10分)2011A =050,b =3,203-1⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭用迭代公式(1)()()()(0,1,2,)k k k x x Ax b k α+=+-=求解,Ax b =问取什么实数α可使迭代收敛，什么α可使迭代收敛最快。
四、（10）设()f x 四阶连续可导，0,0,1,2,,i x x ih i =+= 试建立如下数值微分公式''01212()2()()()f x f x f x f x h -+≈并推导该公式的截断误差。
数值分析试题及答案汇总
数值分析试题及答案汇总一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 插值法C. 迭代法D. 泰勒展开法答案：C2. 以下哪个选项是数值分析中用于求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 多项式插值D. 辛普森积分法答案：B3. 以下哪个选项是数值分析中用于数值积分的方法？A. 牛顿法B. 辛普森积分法C. 牛顿-拉弗森迭代D. 拉格朗日插值答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解常微分方程的初值问题？A. 欧拉法B. 牛顿法C. 辛普森积分法D. 高斯消元法答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 插值法中，拉格朗日插值法的插值多项式的阶数是______。
答案：n2. 泰勒展开法中，如果将函数展开到第三阶，那么得到的多项式是______阶多项式。
答案：三3. 在数值分析中，牛顿法求解非线性方程的迭代公式为______。
答案：x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)4. 辛普森积分法是将积分区间分为______等分进行近似计算。
答案：偶数三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述数值分析中插值法的基本原理。
答案：插值法的基本原理是根据一组已知的数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在给定的数据点上与数据值相等，以此来估计未知数据点的值。
2. 解释数值分析中误差的概念，并说明它们是如何影响数值计算结果的。
答案：数值分析中的误差是指由于计算方法或计算工具的限制，导致计算结果与真实值之间的差异。
误差可以分为舍入误差和截断误差。
舍入误差是由于计算机表示数值的限制而产生的，而截断误差是由于计算方法的近似性质而产生的。
这些误差会影响数值计算结果的准确性和稳定性。
3. 请说明在数值分析中，为什么需要使用迭代法求解线性方程组。
答案：在数值分析中，迭代法用于求解线性方程组是因为对于大规模的方程组，直接方法（如高斯消元法）的计算成本很高，而迭代法可以在较少的计算步骤内得到近似解，并且对于稀疏矩阵特别有效。
数值分析练习题
数值分析练习题一、数值逼近1.1 利用泰勒公式求函数f(x) = e^x在x=0处的二阶近似表达式。
1.2 给定函数f(x) = sin(x)，在区间[0, π]上，用插值法求三次多项式插值函数。
1.3 设已知点(0, 1)，(1, 2)，(2, 5)，(3, 10)，求通过这四个点的拉格朗日插值多项式。
x: 0, 1, 2, 3, 4y: 1, 3, 7, 11, 171.5 对于函数f(x) = e^(x^2)，在区间[1, 1]上，求最佳平方逼近多项式。
二、数值积分与数值微分2.1 利用梯形公式计算定积分I = ∫(0, 1) e^x dx。
2.2 给定函数f(x) = x^3 3x，使用辛普森公式计算定积分I =∫(0, 2) f(x) dx。
2.3 对函数f(x) = 1/(1+x^2)，在区间[5, 5]上，使用高斯勒让德求积公式计算定积分。
2.4 利用数值微分公式求函数f(x) = sin(x)在x=π/4处的导数。
2.5 给定数据点(x, y)，其中x = 0, 1, 2, 3, 4, y = 1, 3, 7, 11, 17，求y在x=2处的导数。
三、常微分方程数值解法3.1 用欧拉法求解初值问题y' = x + y，y(0) = 1，步长h=0.1，计算y(0.5)的近似值。
3.2 对于初值问题y' = y + x^2，y(0) = 1，使用改进的欧拉法（梯形法）求解y(1)。
3.3 利用龙格库塔方法求解初值问题y' = 2xy，y(0) = 1，计算y(0.5)的近似值。
3.4 给定边值问题y'' + 4y = 0，y(0) = 0，y(π) = 1，使用有限差分法求解。
四、线性方程组数值解法4.1 利用高斯消元法求解线性方程组：3x + 4y z = 72x 3y + 5z = 8x + 2y + 3z = 35x + 2y z = 102x 6y + 3z = 4x + 0.5y + 4z = 74.3 给定矩阵A，使用共轭梯度法求解线性方程组Ax = b，其中：A = [[4, 1, 0], [1, 4, 1], [0, 1, 4]]b = [12, 9, 3]A = [[2, 1, 0], [1, 2, 1], [0, 1, 2]]b = [1, 0, 1]五、非线性方程数值解法5.1 使用二分法求解方程f(x) = x^3 2x 5 = 0在区间[2, 3]内的根。
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1、
方程组中，，则求解方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代均收敛的a 的范围是___________。
2、，则A 的LDL T 分解中，。
3、，则__________，_______________.
4、已
知，则用复合梯形公式计算求
得，用三点式求得____________. 5、，则_________
，三点高斯求积公式______________. 6设* 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则*
x 有________位有效数字。
7 3()1,[0,1,2,3]f x x x f =+-=设 则差商(均差)_____________，[0,1,2,3,4]f =________________。
8 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是__________________。
9.梯形求积公式和复化梯形公式都是插值型求积公式_____（对或错）。
10.牛顿—柯特斯求积公式的系数和()0n
n k k C ==∑__________________。
11.用二次拉格朗日插值多项式2()sin0.34L x 计算的值。
插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。
12.用二分法求方程3()10[1.0,1.5]f x x x =--=在 区间内的一个根，误差限
210ε-=。
13.用列主元消去法解线性方程组
1231231
232346,3525,433032.x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
14. 确定求积公式
012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h -≈-++⎰。
中待定参数i A 的值(0,1,2)i =，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。
15、 试求使求积公式的代数精度
尽量高，并求其代数精度。
16.证明区间[a,b]上带权()x ρ的正交多项式(),1,2,n P x n = 的n 个根都是单根，且位于区间(a,b)内。
17.设()()[,],max ()n n a x b
f x C a b M f x ≤≤∈=，若取 21cos ,1,2,,222k a b a b k x k n n
+--=+= 作节点，证明Lagrange 插值余项有估计式21()max ()!2n
n n a x b M b a R x n -≤≤-≤
18用n=10的复化梯形公式计算时，
（1）试用余项估计其误差
（2）用n=10的复化梯形公式计算出该积分的近似值。
19已知方程组AX ＝f,其中
（1）列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。
（2）求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径，SOR 迭代法的最佳松弛参数
和SOR 法
的谱半径(可直接用现有结论)
20试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式
有尽可能高的代数精度。
试问所得的数值积分公式代数精度是多少？
21证明方程=)(x f x 2-x -3=0在区间(2,3)内有且仅有一个根,并用迭代法求方程在区间(2,3)内的根,精确到小数点后4位。
22设f (1)=2，f (3)=4，f (4)=6，用拉格朗日插值法求f (x )的二次插值多项式P 2(x )，并求f (2)的近似值。
23用LU 分解方法求方程组 201131114⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=363⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的解 24求一次数≤ 3的多项式)(x p ,使得1)1()0(==p p ,2)1()0(='='p p .。