(完整版)双曲线练习题
(完整版)《双曲线》练习题经典(含答案)
A．1
B．2
C．3
D．4
16．已知双曲线 C： ﹣ =1（a＞0，b＞0），以原点为圆心，b 为半径的圆与 x 轴正半轴的交点恰好
是右焦点与右顶点的中点，此交点到渐近线的距离为 ，则双曲线方程是（ C ）
A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
17．如图，F1、F2 是双曲线
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与双曲
3．在平面直角坐标系中，双曲线 C 过点 P（1，1），且其两条渐近线的方程分别为 2x+y=0 和 2x﹣y=0，则双曲线 C 的标准方程为（ B ）
A．
B．
C．
或
D．
x2
y2
x2 y2
4.已知椭圆 2a 2 ＋ 2b 2 ＝1（a＞b＞0）与双曲线 a 2 － b 2 ＝1 有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ）
线的左右两支分别交于点 A、B．若△ABF2 为等边三角形，则双曲线的离心率为（ B ）
A．4 B． C．
D．
18．如图，已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为 F1，F2，|F1F2|=4，P 是双曲线右支上的一
点，F2P 与 y 轴交于点 A，△APF1 的内切圆在边 PF1 上的切点为 Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（B ） A．3 B．2 C． D．
14．设双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，以 F2 为圆心，|F1F2|为半径的圆与双曲
线在第一、二象限内依次交于 A，B 两点，若 3|F1B|=|F2A|，则该双曲线的离心率是（ C ）
A．
B．
C．
D．2
15．过双曲线 x 2 y 2 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（ C ）条。 2
双曲线基础题10道-含答案
近距离为 2，则双曲线 C 的方程为（ ）
A． y2 x2 1 34
C． y2 x2 1 49
B． y2 x2 1 9 16
D． y2 x2 1 9 34
3．若双曲线 1 ：
x2 a2
y2 b2
1（ a
0，b
0 ）的离心率为
2，则双曲线
2
：
y2 b2
x2 a2
1
的离心率为（ ）
A． 2 3 3
F
，准线为 l
，且 l 与双曲线
C． 3
【分析】由双曲线的离心率公式求解即可.
D． 5
【详解】因为双曲线 1 的离心率 e1
a2 b2 a2
2 ，所以 b2
3a2 ，
所以双曲线 2 的离心率 e2
a2 b2 b2
4 2 3 ． 33
故选：A
4．已知双曲线
x2 m
y2 8m
1（0
m
8 ）的一条渐近线与直线
x
3 y 1平行，则此 3
F
，准线为 l
，且 l 与双曲线
:
x2 a2
y2 b2
1
（ a 0,b 0 ）的两条渐近线分别交于 A, B 两点，若△ABF 是正三角形，则双曲线 的
离心率为（ ）
A． 21
3
B． 7 2
C． 2 3 3
D． 7 3
试卷第 2页，共 3页
8．已知双曲线 C :
y2 a2
x2 b2
1a
6．若方程
2
x2 m
2
y2 m
1 表示双曲线，则
m
的取值范围是（
）
A． 2 m 2
双曲线习题(含答案)
课后训练1．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1，F 是其右焦点，过F 的直线l 只与双曲线的右支有惟一的交点，则直线l 的斜率等于( )．A ．1B ．－1C ．±1D ．±2 2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )．A ．B ．C 2D 23．双曲线22163xy-=的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )．A ．B ．2C ．3D ．64．设F 1、F 2分别是双曲线2219yx -=的左、右焦点．若P 在双曲线上，且120PF PF ⋅=，则12PF PF +等于( )．A ．B ．C ． D5．双曲线x 2－y 2＝1左支上一点P(a ，b )到直线y ＝x a ＋b ＝________.6．过点A(6,1)作直线l 与双曲线221164xy-=相交于两点B 、C ，且A 为线段BC 的中点．则直线l 的方程为________．7．如图，已知F 1、F 2为双曲线22221x y ab-= (a ＞0，b ＞0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P 且∠PF 1F 2＝30°，求双曲线的渐近线方程．8．已知双曲线2213xymm-=的一个焦点为(2,0)．(1)求双曲线的实轴长和虚轴长；(2)若已知M(4,0)，点N(x ，y )是双曲线上的任意一点，求|MN|的最小值．设直线l ：y ＝ax ＋1与双曲线C ：3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)a 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？(2)是否存在实数a ，使O A O B =且OA OB + ＝λ(2,1)?若存在，求a 的值，若不存在，说明理由．参考答案1. 答案：C解析：由题意知l 与渐近线平行，∴k l ＝b a±＝±1.2. 答案：D解析：∵双曲线一条渐近线过点(4，－2)，∴12b a =⇒2214b a=⇒22214c a a-=⇒2254c a=⇒2e =.3. 答案：A解析：双曲线的渐近线方程为2y x =±，圆心坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式和渐近线与圆相切可得，圆心到渐近线的距离等于r ，即r.4. 答案：C解析：由题意，可知双曲线两焦点的坐标分别为F 1(0)、F 20)．设点P(x ，y )，则1P F ＝(x ，－y )，2PF ＝x ，－y )，∵120PF PF ⋅=，∴x 2＋y 2－10＝0，即x 2＋y 2＝10.∴||21PF PF +.5. 答案：12-解析：由题意知：双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，又P(a ，b )在左支上，∴a ＜b .又P(a ，b )到直线y ＝x，=⇒|a －b |＝2即a －b ＝－2.又P(a ，b )在双曲线上，∴a 2－b 2＝1. ∴(a ＋b )(a －b )＝1，∴a ＋b ＝12-.6. 答案：3x －2y －16＝0解析：设B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，则有2211222211641164x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩⇒12121212()()()()164x x x x y y y y +--+-＝0又A 为BC 的中点，∴x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝2 ∴123()4x x -＝122y y -⇒k BC ＝121232y y x x -=-∴直线l 的方程为：y －1＝32(x －6)，即3x －2y －16＝0.7. 解：设F 2(c ,0)(c ＞0)，P(c ，y 0)，则220221y c ab-=，解得20by a=±.∴|PF 2|＝2ba.在Rt △PF 2F 1中，∠PF 1F 2＝30°，则|F 1F 2||PF 2|，即2c2ba，将c2＝a 2＋b 2代入，解得b 2＝2a 2，故b a =∴双曲线的渐近线方程为y =. 8. 解：(1)由题意可知，m ＋3m ＝4，∴m ＝1. ∴双曲线方程为2213yx -=.∴双曲线实轴长为2，虚轴长为(2)由2213yx -=，得y 2＝3x 2－3，∴|MN|＝.又∵x ≤－1或x ≥1， ∴当x ＝1时，|MN|取得最小值3.解：(1)由22131y ax x y =+⎧⎨-=⎩， 消去y 整理得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0. 依题意得3－a 2≠0，Δ＝4a 2＋8(3－a 2)＞0， ∴a 2＜6且a 2≠3，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由根与系数的关系 得x 1＋x 2＝223a a-，x 1x 2＝223a -，又以AB 为直径的圆过原点， 即x 1·x 2＋y 1·y 2＝0， (a 2＋1)x 1·x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0， ∴a ＝±1.(2)假设存在实数a 满足条件． ∵1212y y a x x -=-，OA OB +＝λ(2,1)，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝λ(2,1)，121212y y x x +=+.又O A O B = ，故22221122x y x y +=+，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 所以12121212y y x x x x y y -+=--+，∴a ＝－2.故存在实数a ＝－2满足题意．。
高中数学 双曲线练习题(含答案)
双曲线检测试题一．选择题1．设P 是双曲线22ax －92y =1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|=3，则|PF 2|等于A.1或5B.6C.7D.92． “ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3．双曲线42x －92y =1的渐近线方程是A.y =±23xB.y =±32xC.y =±49xD.y =±94x4．过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是A.22y －42x =1B.42x －22y =1C.42y －22x =1D.22x －42y =1 5．如果双曲线642x －362y ＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的右准线距离是A.10B.7732 C.27 D.532 二．填空题6．给出问题：F 1、F 2是双曲线162x －202y =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上.______________________________________________________.7．过点A （0，2）可以作____________条直线与双曲线x 2－42y ＝1有且只有一个公共点. 8．已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.9．求与圆A ：（x +5）2+y 2=49和圆B ：（x －5）2+y 2=1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为________________.三．解答题10． 根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线92x －162y =1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；（2）与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.11．设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围.12．如下图，在双曲线122y －132x =1的上支上有三点A （x 1，y 1），B （x 2，6），C （x 3，y 3），它们与点F （0，5）的距离成等差数列.（1）求y 1+y 3的值；（2）证明：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.13．已知双曲线的方程是16x 2－9y 2=144.（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； （2）设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|=32，求∠F 1PF 2的大小.14．已知双曲线x 2－22y =1与点P （1，2），过P 点作直线l 与双曲线交于A 、B 两点，若P 为AB 中点.（1）求直线AB 的方程； （2）若Q （1，1），证明不存在以Q 为中点的弦.15．双曲线kx 2－y 2＝1，右焦点为F ，斜率大于0的渐近线为l ，l 与右准线交于A ，F A 与左准线交于B ，与双曲线左支交于C ，若B 为AC 的中点，求双曲线方程.16．已知l 1、l 2是过点P （－2，0）的两条互相垂直的直线，且l 1、l 2与双曲线y 2－x 2＝1各有两个交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2.（1）求l 1的斜率k 1的取值范围；（2）若｜A 1B 1｜＝5｜A 2B 2｜，求l 1、l 2的方程.17．在双曲线162x －92y ＝1上求一点M ，使它到左右两焦点的距离之比为3∶2，并求M 点到两准线的距离．18．已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线C ′：22a x －22by =1写出具有类似特性的性质，并加以证明.19．已知双曲线22a x －22by =1的离心率e >1+2，左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找一点P ，使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项?20．设双曲线的中心在原点，准线平行于x 轴，离心率为25，且点P （0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线的方程.双曲线必做习题参考答案：一．选择题1．C 2． C 3．A 4．A 5．D 二．填空题6．|PF 2|=17 7．4 8．316 9． 92x －162y =1（x ＞0）三．解答题10．解法一：（1）设双曲线的方程为22a x －22by =1，a b =34， 22)3(a -－22)32(b =1，解得a 2=49，b 2=4. 所以双曲线的方程为492x －42y =1.（2）设双曲线方程为22a x －22b y =1. 由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b =1.又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为122x －82y =1.解法二：（1）设所求双曲线方程为92x －162y ＝λ（λ≠0），将点（－3，23）代入得λ＝41，所以双曲线方程为92x －162y ＝41.（2）设双曲线方程为k x -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1.11．解：设点P 的坐标为（x ，y ），依题意得||||x y =2，即y =±2x （x ≠0）. ①因此，点P （x ，y ）、M （－1，0）、N （1，0）三点不共线，得||PM |－|PN ||<|MN |=2. ∵||PM |－|PN ||=2|m |>0，∴0<|m |<1.因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2|m |的双曲线上.故22mx －221m y -=1.②由题意，得将①代入②，并解得x 2=22251)1(m m m --，∵1－m 2>0，∴1－5m 2>0.解得0<|m |<55， 即m 的取值范围为（－55，0）∪（0，55）.12．（1）解：c =1312+=5，故F 为双曲线的焦点，设准线为l ，离心率为e ，由题设有2|FB |=|F A |+|FC |.①分别过A 、B 、C 作x 轴的垂线AA 2、BB 2、CC 2，交l 于A 1、B 1、C 1，则由双曲线第二定义有|FB |=e |BB 1|，|F A |=e |AA 1|，|FC |=e |CC 1|，代入①式，得2e |BB 1|=e |AA 1|+e |CC 1|，即2|BB 1|=|AA 1|+|CC 1|.于是两边均加上准线与x 轴距离的2倍，有 2|BB 2|=|AA 2|+|CC 2|，此即2×6=y 1+y 3，可见y 1+y 3=12. （2）证明：AC 的中垂线方程为y －231y y +=－3131y y x x --（x －231x x +），即y －6=－3131y y x x --x +)(2312321y y x x --.②由于A 、C 均在双曲线上，所以有1221y －1321x =1，1223y －1323x =1.相减得132321x x -=122321y y -.于是有312321y y x x --=1213（y 1+y 3）=1213·12=13，故②变为y =－3131y y x x --x +225，易知此直线过定点D （0，225）.13．解：（1）由16x 2－9y 2=144得92x －162y =1，∴a =3，b =4，c =5.焦点坐标F 1（－5，0），F 2（5，0），离心率e =35， 渐近线方程为y =±34x . （2）||PF 1|－|PF 2||=6，cos ∠F 1PF 2=||||2||||||212212221PF PF F F PF PF -+=||||2||||||2|)||(|2122121221PF PF F F PF PF PF PF -+-=641006436-+ =0.∴∠F 1PF 2=90°.14．（1）解：设过P （1，2）点的直线AB 方程为y －2=k （x －1），代入双曲线方程得（2－k 2）x 2+（2k 2－4k ）x －（k 4－4k +6）=0. 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x 1+x 2=－22242k k k --，由已知221x x +=x p =1， ∴24222--k k k =2.解得k =1.又k =1时，Δ=16＞0，从而直线AB 方程为x －y +1=0.（2）证明：按同样方法求得k =2，而当k =2时，Δ＜0，所以这样的直线不存在. 15．解：由题意k ＞0，c =k11+， 渐近线方程l 为y =k x ， 准线方程为x =±kc 1，于是A （kc1，kc k ），直线F A 的方程为 y =21)(kcc x k --， 于是B （－kc 1，)1(122-+kc c k kc ）.由B 是AC 中点，则x C =2x B －x A ＝－kc3， y C =2y B －y A ＝)1(322-+kc c k kc .将x C 、y C 代入方程kx 2－y 2＝1，得 k 2c 4－10kc 2＋25＝0.解得k （1+k1）＝5，则k ＝4. 所以双曲线方程为4x 2－y 2＝1．16．解：（1）显然l 1、l 2斜率都存在，否则l 1、l 2与曲线不相交.设l 1的斜率为k 1，则l 1的方程为y ＝k 1（x ＋2）.y ＝k 1（x ＋2）， y 2－x 2＝1，消去y 得 （k 12－1）x 2＋22k 12x ＋2k 12－1＝0. ① 根据题意得k 12－1≠0， ② Δ1＞0，即有12k 12－4＞0. ③ 完全类似地有211k －1≠0，④Δ2＞0，即有12·211k －4＞0， ⑤从而k 1∈（－3，－33）∪（33，3）且k 1≠±1. （2）由弦长公式得 ｜A 1B 1｜＝211k +22121)1(412--k k . ⑥完全类似地有｜A 2B 2｜＝2111k +22121)1(412--k k . ⑦∵｜A 1B 1｜＝5｜A 2B 2｜，∴k 1＝±2，k 2＝22.从而l 1：y ＝2（x ＋2），l 2：y ＝－22（x ＋2）或l 1：y ＝－2（x ＋2），l 2：y ＝22（x ＋2）．17．解：设M （x 1，y 1），左右两焦点F 1、F 2，由双曲线第二定义得 ｜MF 1｜＝ex 1＋a ，｜MF 2｜＝ex 1－a ， 由已知2（ex 1＋a ）＝3（ex 1－a ），把e =45，a =4代入，得x 1＝16，y 1＝±315.∴点M 的坐标为（16，±315）.双曲线准线方程为x =±c a 2=±516.∴M （16，±315）到准线的距离为1254或1951． 18．解：类似的性质为若MN 是双曲线22a x －22by =1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN联立得之积是与点P 位置无关的定值.设点M 的坐标为（m ，n ）， 则点N 的坐标为（－m ，－n ），其中22am －22b n =1.又设点P 的坐标为（x ，y ）， 由k PM =m x n y --，k PN =mx n y ++， 得k PM ·k PN =m x n y --·m x n y ++=2222m x n y --，将y 2=22a b x 2－b 2，n 2=22ab m 2－b 2，代入得 k PM ·k PN =22ab .19．解：设在左支上存在P 点，使|PF 1|2=|PF 2|·d ，由双曲线的第二定义知d PF ||1=||||12PF PF =e ，即|PF 2|=e |PF 1|. ① 再由双曲线的第一定义，得|PF 2|－|PF 1|=2a .②由①②，解得|PF 1|=12-e a ，|PF 2|=12-e ae， ∵|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|，∴12-e a +12-e ae≥2c .③利用e =ac，由③得e 2－2e －1≤0，解得1－2≤e ≤1+2. ∵e >1，∴1<e ≤1+2与已知e >1+2矛盾.∴在双曲线的左支上找不到点P ，使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项.20．解：依题意，设双曲线的方程为22a y －22bx =1（a >0，b >0）.∵e =a c =25，c 2=a 2+b 2，∴a 2=4b 2. 设M （x ，y ）为双曲线上任一点，则 |PM |2=x 2+（y －5）2=b 2（22ay－1）+（y －5）2=45（y －4）2+5－b 2（|y |≥2b ）. ①若4≥2b ，则当y =4时，|PM |min 2=5－b 2=4，得b 2=1，a 2=4.从而所求双曲线方程为42y －x 2=1.②若4<2b ，则当y =2b 时， |PM |min 2=4b 2－20b +25=4，得b =27（舍去b =23），b 2=449，a 2=49.从而所求双曲线方程为492y －4942x =1.。
双曲线练习题
双曲线练习题一、选择题1. 下列关于双曲线的方程中，正确的是（）A. x^2 y^2 = 1B. x^2 + y^2 = 1C. y^2 x^2 = 1D. x^2 y^2 = 02. 双曲线的标准方程为 x^2/a^2 y^2/b^2 = 1（a>0，b>0），则其渐近线方程为（）A. y = ±(a/b)xB. y = ±(b/a)xC. x = ±(a/b)yD. x = ±(b/a)y3. 双曲线的离心率e满足（）A. 0 < e < 1B. e = 1C. e > 1D. e ≤ 14. 下列关于双曲线的焦点坐标，正确的是（）A. (±c, 0)B. (0, ±c)C. (±a, 0)D. (0, ±a)二、填空题1. 双曲线的标准方程为 x^2/a^2 y^2/b^2 = 1，则其焦点到中心的距离是 _______。
2. 已知双曲线的一个焦点为(4, 0)，实轴长为6，则双曲线的方程为 _______。
3. 双曲线的离心率为2，实轴长为4，则双曲线的虚轴长为_______。
三、解答题1. 已知双曲线方程为 x^2/9 y^2/16 = 1，求：（1）焦点坐标；（2）实轴长；（3）渐近线方程。
2. 设双曲线的方程为 y^2 x^2/4 = 1，求：（1）离心率；（2）焦点坐标；（3）渐近线方程。
3. 已知双曲线的两个焦点分别为(±5, 0)，且离心率为2，求双曲线的标准方程。
4. 已知双曲线的实轴长为8，虚轴长为6，求双曲线的离心率。
5. 设双曲线的方程为 x^2/25 y^2/9 = 1，求：（1）焦点坐标；（2）离心率；（3）渐近线方程。
四、计算题1. 已知双曲线的一个焦点为(2, 0)，且经过点P(4, 3)，求双曲线的标准方程。
2. 设双曲线的方程为 4x^2 9y^2 = 36，求该双曲线与直线 y = (2/3)x + 1 的交点。
(完整版)双曲线基础练习题
(完整版)双曲线基础练习题
1. 引言
该练题旨在帮助读者巩固并提高对双曲线的理解。
通过一系列的基础练题，读者将能够熟悉双曲线的基本特征、图像以及相关的数学概念。
2. 练题
2.1 双曲线图像的分析
给定下列双曲线的方程，请绘制出相应的图像，然后回答相关问题。
1. 双曲线方程：$y = \frac{1}{x}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线？如果有，请确定其方程。
- 该双曲线是否对称于原点？解释原因。
2. 双曲线方程：$y = \frac{2}{x+1}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线？如果有，请确定其方程。
- 该双曲线是否对称于原点？解释原因。
2.2 数学概念的应用
回答下列问题，注意要用双曲线的相关概念来解释答案。
1. 为什么双曲线的渐近线可以帮助我们理解双曲线图像的特征？
2. 双曲线的离心率是什么？如何确定一个双曲线的离心率？
3. 通过改变双曲线方程中的参数，如何调整双曲线的形状？
3. 结论
通过完成上述练习题，读者应该能够更深入地理解双曲线的基
本概念和性质。
这些练习题不仅帮助读者熟悉双曲线的图像和方程，还能够加深对双曲线的数学概念的理解。
继续探索和练习双曲线，
将有助于读者在更高级的数学领域中应用这些概念。
双曲线曲线练习题含答案
双曲线曲线练习题含答案1. 求下列双曲线的渐近线方程：（1）$ x^2-4y^2+8x-32=0 $（2）$ x^2-9y^2=81 $（3）$ x^2+4y^2+4x+16=0 $答案：（1）$ y=\frac{x+4}{2} $ 或$ y=\frac{1}{2}x-4 $ （斜渐近线）（2）$ x+3\sqrt{y^2+1}=0 $ 或 $ x-3\sqrt{y^2+1}=0 $ （与 $ y $ 轴垂直的渐近线）、$ y=-\frac{x}{9} $ （斜渐近线）（3）$ y=-1 $ 或 $ y=-\frac{(x+2)^2}{16} $ （与 $ y $ 轴平行的渐近线）2. 求双曲线 $ \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1 $ 的离心率和焦距长度。
答案：离心率为 $ \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\frac{5}{3} $，焦距长度为 $ c=\sqrt{a^2+b^2}=5 $。
3. 求双曲线 $ \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1 $ 与直线$ y=\frac{3}{5}x-2 $ 的交点坐标。
答案：设交点坐标为 $ (x_0, y_0) $，则 $ \frac{x_0^2}{25}-\frac{(\frac{3x_0}{5}-2)^2}{9}=1 $，解得 $ x_0=\frac{50}{7} $ 或$ x_0=-\frac{50}{7} $，代入方程即可得到交点坐标。
4. 判断曲线 $ \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1 $ 是否关于直线$ y=-x $ 对称。
答案：首先求出曲线关于直线 $ y=-x $ 对称的公式为$ y=\frac{y_0}{x_0}x $，其中 $ (x_0,y_0) $ 是曲线上任意一点。
假设 $ A(a, b) $ 是曲线上的一点，则 $ B(-b,-a) $ 是曲线上的对称点。
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双曲线基础训练题（一）1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ D ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（D ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（ C ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的 曲线可能是 （ C ）5．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ B ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x6．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有 （ D ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ． 相同的焦点7．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ A ）A ．28B ．22C ．14D ．128．双曲线方程为152||22=-+-ky k x ，那么k 的取值范围是 （ D ）A ．k ＞5B ．2＜k ＜5C ．－2＜k ＜2D ．－2＜k ＜2或k ＞59．双曲线的渐近线方程是y=±2x ，那么双曲线方程是（ D ）A ．x 2－4y 2=1 B ．x 2－4y 2＝1 C ．4x 2－y 2=－1 D ．4x 2－y 2=110．设P 是双曲线19222=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF（C ）A ．1或5B ． 6C ． 7D ． 911．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则双曲线的离心率e 的最大值为 （ B ）A ．43B ．53C ．2D ．7312．设c 、e 分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线12222=-by a x (a>0, b>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离是 （ D ）A ．caB ．c bC ．ea D ．eb 13．双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为F 1，F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=,22+n 则△PF 1F 2的面积为 （ B ）A ．21 B ．1 C ．2 D ．414．二次曲线1422=+my x ，]1,2[--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ C ）A ．]23,22[B ．]25,23[C ．]26,25[D ．]26,23[15．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =_____6416．设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰好过F17．双曲线122=-by ax 的离心率为5，则a :b= 4或4118．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）[解析]：设双曲线方程为：λ=-22169y x ，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0>∴λ双曲线方程化为：2548161691169222=⇒=+⇒=-λλλλλy x ，∴双曲线方程为：1251442525622=-y x ∴455164==e ．19．(本题12分)已知双曲线12222=-by a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23求双曲线的方程； [解析]∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x双曲线基础练习题（二）一. 选择题1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0),(4,0)-，则双曲线的方程是A. 221412x y -=B. 221124x y -= C. 221106x y -= D. 221610x y -=2.设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 上，长轴长为26，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点距离差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程是A. 2222143x y -=B. 22221135x y -=C. 2222134x y -= D. 222211312x y -=3. 已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率等于A ．53B ．43C ．54D ．324. 已知双曲线22112x y n n+=-，则n = A.2- B .4 C.6 D.8-5.设1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=的两个焦点,若1F 、2F 、(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，那么其离心率是A.32 B. 52C. 2D. 3 6．已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线距离之比等于A C. 2 D.4 7．如果双曲线22142x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 的距离是A.B. C. D. 8.设12F F ，是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,若其右支上存在一点P 使得1290F PF ∠=o,且12PF =,则e =A.B. 1C.D . 19. 若双曲线22221x y a b-=的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2，则双曲线的离心率是A ．3B ．5C D10. 设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=o ，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为A ．221+ B ．231+ C ．21+D ．31+11. 双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30o的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 ABCD ．312. 设1,a >则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是A ．B ．C ．(25)，D ．(213．已知双曲线()222102x y b b-=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，它的一条渐近线方程为y x =，点0)P y 在该双曲线上，则12PF PF =u u u r u u u u rgA ．12-B ．2-C ．0D ．414．双曲线22221x y a b-=的两个焦点为1F 、2F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则离心率e 的取值范围是A ．(1)，3B ．(1，3]C ．(3)∞，+D ．)+[3，∞15．设P 为双曲线22112y x -=上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，若1PF ：2PF =3：2，则12PF F ∆的面积为A ．B ．12C ．D ．2416．设1F 、2F 是双曲线2219y x -=的左、右焦点，P 为该双曲线上一点，且120PF PF =u u u r u u u u r g ，则12PF PF +=u u u r u u u u rA ．B ．CD ．二．填空题17．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程是y x =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为18．以1(60)F -，，2(60)F ，为焦点,离心率2e =的双曲线的方程是19．中心在原点,一个焦点是1(30)F -，20y ±=的双曲线的方程为20．过点(20)N ，且与圆2240x y x ++=外切的动圆圆心的轨迹方程是21．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 22． 已知双曲线22291(0)ym x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =23．已知双曲线2221(2x y a a -=>的两条渐近的夹角为3π，则双曲线的离心率为24．已知双曲线22221x y a b -=的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，OAF ∆的面积为22a ，（O 为坐标原点），则该双曲线的两条渐近线的夹角为25．过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交双曲线的左支于M N ，两点，2F 为其右焦点，则22MF NF MN+-=26． 若双曲线22221x y a b-=的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则e 取值范围是27．.P是曲线22221x y a b-=的右支上一点,F为其右焦点,M 是右准线:x l 与x 轴的交点,若60,PMF ∠=o 45PFM ∠=o ,则双曲线方程是28．过双曲线221916x y -=的右焦点F 且平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B, A 为右顶点，则FAB ∆的面积等于 三．解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方程（1）中心在原点，一条准线方程是x=，离心率e =（2）中心在原点，离心率e =30.已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的两个焦点为1(20)F -，，2(20)F ，，点(3P 在双曲线C 上．⑴求双曲线C 的方程； ⑵记O 为坐标原点，过点(02)Q ，的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，若OEF =△S l 方程．双曲线练习题答案（二）一．选择题1．A 2. A3.A4. B 5. C6．C7．A8D9. D10. B11. B12. B13．C14．B15．B16B 二．填空题17．223144x y-=18．221927x y-=19．22145x y-=20．()22113yx x-=≥21．322．423．324．2π25．826．(11⎤⎦27．2211260x y-=28．3215二．解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方程（1）中心在原点，一条准线方程是5x=，离心率e=2214yx-=（2）中心在原点，离心率2e=顶点到渐近线的距离为5；2214xy-=30. 已知双曲线22221(00)x yC a ba b-=>>：，的两个焦点为1(20)F-，，2(20)F，，点(3P在双曲线C上．⑴求双曲线C的方程；⑵记O为坐标原点，过点(02)Q，的直线l与双曲线C相交于不同的两点E F，，若OEF=△S l方程．⑴解略：双曲线方程为22122x y-=．⑵解：直线:l2y kx=+，代入双曲线C的方程并整理，得22(1)460k x kx---=. ①Q直线l与双曲线C相交于不同的两点E F，，222110(4)46(1)0kkkk k≠±⎧⎧-≠⎪⎪∴⇔⎨⎨<<∆=-+⨯->⎪⎪⎩⎩，，，,(1)(11)(1k∴∈--U U，.②设1122()()E x yF x y，，，，则由①式得12241kx xk+=-，12261x xk=--，EF ∴21k -而原点O 到直线l 的距离d =1122OEFS d EF ∴=⋅==△．若OEFS =△，即422201k k k=⇔--=-，解得k =此满足②故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+双曲线基础练习题（三）一、选择题（每题5分）1．已知a=3,c=5，并且焦点在x 轴上，则双曲线的标准程是（ ）A ．116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 1916.22=-y x D 2．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116922=-y x 3．.双曲线191622=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 184．.双曲线191622=-y x 的焦点坐标是 （ ） A. （5，0）、（-5，0）B. （0，5）、（0，-5） C. （0，5）、（5，0） D.（0，-5）、（-5，0） 5、方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得：A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 6．已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是（ ）A ．.116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和191622=+-y x C.191622=-y x 和191622=+-y x D. 1162522=-y x 和1251622=+-y x 7．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（ ）A ．1222=-y x B ．122=+-y x C ．122=-y x D. 1222=+-y x8．P 为双曲线191622=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直PB ，则三角形PAB 的面积为（ ） A ． 9 B ． 18 C ． 24 D ． 369．双曲线191622=-y x 的顶点坐标是 （ ） A ．（4，0）、（-4，0） B ．（0，-4）、（0，4）C ．（0，3）、（0，-3） D ．（3，0）、（-3，0）10．已知双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．1222=-y x B ．122=-y x C ．122=+-y x D. 1222=+-y x11．双曲线191622=-y x 的的渐近线方程是（ ） A ． 034=±y x B ．043=±y x C ．0169=±y x D ．0916=±y x 12．已知双曲线的渐近线为043=±y x ，且焦距为10，则双曲线标准方程是（ ）A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 二、填空题（每题5分共20分）13．已知双曲线虚轴长10，焦距是16，则双曲线的标准方程是________________. 14．已知双曲线焦距是12，离心率等于2，则双曲线的标准方程是___________________.15．已知16522=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是___________.16.椭圆C 以双曲线122=-y x 焦点为顶点，且以双曲线的顶点作为焦点，则椭圆的标准方程是___________________三、解答题17．（本小题（10分）已知双曲线C ：191622=+-y x ，写出双曲线的实轴顶点坐标，虚轴顶点坐标，焦点坐标，准线方程，渐近线方程。
双曲线典型例题12例(含标准答案)
《双曲线》典型例题12例典型例题一例1 讨论192522=-+-ky k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9<k ，259<<k ，25<k ，分别进行讨论．解：（1）当9<k 时，025>-k ，09>-k ，所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92，16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．（2）当259<<k 时，025>-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时，k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3）25<k ，9=k ，25=k 时，所给方程没有轨迹．说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k 值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．典型例题二例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭⎫⎝⎛-5316，Q 且焦点在坐标轴上． （2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．（3）与双曲线141622=-y x 有相同焦点，且经过点()223，解：（1）设双曲线方程为122=+ny m x ∵ P 、Q 两点在双曲线上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12592561162259nm n m 解得⎩⎨⎧=-=916n m∴所求双曲线方程为191622=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ，∴设所求双曲线方程为：1622=--λλy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴16425=--λλ∴5=λ或30=λ（舍去）∴所求双曲线方程是1522=-y x说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．（3）设所求双曲线方程为：()160141622<<=+--λλλy x ∵双曲线过点()223，，∴1441618=++-λλ ∴4=λ或14-=λ（舍）∴所求双曲线方程为181222=-y x 说明：（1）注意到了与双曲线141622=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为141622=+--λλy x 后，便有了以上巧妙的设法． （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．典型例题三例3 已知双曲线116922=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F∠的大小． 分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形． 解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF∴362212221=-+PF PF PF PF ∴1002221=+PF PF∵()100441222221=+==b a c F F ∴ 9021=∠PF F说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化． （2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．典型例题四例4 已知1F 、2F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．分析：利用双曲线的定义及21PF F ∆中的勾股定理可求21PF F ∆的面积．解：∵P 为双曲线1422=-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点．∴4221==-a PF PF ,52221==c F F ∵ 9021=∠PF F∴在21F PF Rt ∆中，202212221==+F F PF PF ∵()162212221221=-+=-PF PF PF PF PF PF∴1622021=-PF PF ∴221=⋅PF PF ∴1212121=⋅=∆PF PF S PF F 说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．典型例题五例5 已知两点()051，-F 、()052，F ，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹． 解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线． ∵5=c ，3=a∴16435222222==-=-=a c b∴所求方程116922=-y x 为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线． 说明：（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算．（2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解．典型例题六例6 在ABC ∆中，2=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹．分析：要求点A 的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()01，-B ，()01，C ．设()y x A ，，由A B C sin 21sin sin =-及正弦定理可得：121==-BC AC AB ∵2=BC∴点A 在以B 、C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：()0012222>>=-b a by a x ， ∴12=a ，22=c ∴21=a ，1=c ∴43222=-=a c b ∴所求双曲线方程为134422=-y x ∵01>=-AC AB ∴21>x ∴点A 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分典型例题七例7 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：（1）与⊙()2222=++y x C ：内切，且过点()02，A（2）与⊙()11221=-+y x C ：和⊙()41222=++y x C ：都外切．（3）与⊙()93221=++y x C ：外切，且与⊙()13222=+-y x C ：内切．分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙1C 、⊙2C 的半径为1r 、2r 且21r r >，则当它们外切时，2121r r O O +=；当它们内切时，2121r r O O -=．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r（1）∵⊙1C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外 ∴2-=r MC ，r MA =，2=-MC MA∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：22=a ，2=c ，27222=-=a c b∴双曲线方程为()2172222-≤=-x y x （2）∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ，22+=r MC ，112=-MC MC∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，且有：21=a ，1=c ，43222=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛≥=-43134422y x y（3）∵⊙M 与⊙1C 外切，且与⊙2C 内切∴31+=r MC ，12-=r MC ，421=-MC MC∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，且有：2=a ，3=c ，5222=-=a c b∴所求双曲线方程为：()215422≥=-x y x 说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量．（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．典型例题八例8 在周长为48的直角三角形MPN 中，︒=∠90MPN ，43tan =∠PMN ，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．分析：首先应建立适当的坐标系．由于M 、N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知a PN PM 2=-，c MN 2=，所以利用条件确定MPN ∆的边长是关键．解：∵MPN ∆的周长为48，且43tan =∠PMN ，∴设k PN 3=，k PM 4=，则k MN 5=． 由48543=++k k k ，得4=k ． ∴12=PN ，16=PM ，20=MN ．以MN 所在直线为x 轴，以∴MN 的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为12222=+by a x )0,0(>>b a ．由4=-PN PM ，得42=a ，2=a ，42=a ． 由20=MN ，得202=c ，10=c ．由96222=-=a c b ，得所求双曲线方程为196422=-y x ． 说明：坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．典型例题九例9 P 是双曲线1366422=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，求2PF 的值．分析：利用双曲线的定义求解．解：在双曲线1366422=-y x 中，8=a ，6=b ，故10=c ． 由P 是双曲线上一点，得1621=-PF PF ． ∴12=PF 或332=PF ．又22=-≥a c PF ，得332=PF ．说明：本题容易忽视a c PF -≥2这一条件，而得出错误的结论12=PF 或332=PF ．典型例题十例10 若椭圆122=+n y m x )0(>>n m 和双曲线122=-ty s x )0,(>t s 有相同的焦点1F 和2F ，而P 是这两条曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值是( ) ．A ．s m -B ．)(21s m - C ．22s m - D ．s m -分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P 在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到1PF 和2PF的关系式，再变形得结果． 解：因为P 在椭圆上，所以m PF PF 221=+． 又P 在双曲线上，所以s PF PF 221=-．两式平方相减，得)(4421s m PF PF -=⋅，故s m PF PF -=⋅21．选(A)． 说明：(1)本题的方法是根据定义找1PF 与2PF的关系．(2)注意方程的形式，m ，s 是2a ，n ，t 是2b ．典型例题十一例11 若一个动点),(y x P 到两个定点)0,1(-A 、)0,1(1A 的距离之差的绝对值为定值a )0(≥a ，讨论点P 的轨迹．分析：本题的关键在于讨论a ．因21=AA ，讨论的依据是以0和2为分界点，应讨论以下四种情况：0=a ，)2,0(∈a ，2=a ，2>a ．解：21=AA ．(1)当0=a 时，轨迹是线段1AA 的垂直平分线，即y 轴，方程为0=x ． (2)当20<<a 时，轨迹是以A 、1A 为焦点的双曲线，其方程为14142222=--ay a x ． (3)当2=a 时，轨迹是两条射线)1(0≥=x y 或)1(0-≤=x y ．(4)当2>a 时无轨迹． 说明：(1)本题容易出现的失误是对参变量a 的取值范围划分不准确，而造成讨论不全面．(2)轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨迹是何种曲线．典型例题十二例12 如图，圆422=+y x 与y 轴的两个交点分别为A 、B ，以A 、B 为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y 轴左方的交点分别为C 、D ，当梯形ABCD的周长最大时，求此双曲线的方程．分析：求双曲线的方程，即需确定a 、b 的值，而42=c ，又222b a c +=，所以只需确定其中的一个量．由双曲线定义a BC AC 2=-，又BCA ∆为直角三角形，故只需在梯形ABCD 的周长最大时，确定BC 的值即可．解：设双曲线的方程为12222=-bx a y (0,0>>b a )，),(00y x C (00<x ，00>y )，t BC =(220<<t )．连结AC ，则︒=∠90ACB ．作AB CE ⊥于E ，则有AB BE BC ⋅=2．∴4)2(02⨯-=y t ，即4220t y -=．资料 ∴梯形ABCD 的周长0224y t l ++= 即10)2(21822122+--=++-=t t t l ． 当2=t 时，l 最大． 此时，2=BC ，32=AC ． 又C 在双曲线的上支上，且B 、A 分别为上、下两焦点， ∴a BC AC 2=-，即2322-=a ． ∴13-=a ，即3242-=a ． ∴32222=-=a c b ． ∴所求双曲线方程为13232422=--x y ．说明：解答本题易忽视BC 的取值范围，应引起注意．。
(完整版)双曲线练习题(含标准答案)
双曲线及其标准方程习题一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 )1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|-|PB|│=2a(a >0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件2.若双曲线的一个焦点是，，则等于 ． ． ． ．2kx ky =1(04)k [ ]A B C D 22---33258332583.点到点，与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于，则点的轨迹方程是 ． ．． ．P (60)10P [ ]A y 11=1B y 25=1C y 6=1D y 25=12222-----x x x x 2222256125114.k 5+y 6k=1[ ]A B C D 2＜是方程表示双曲线的 ．既非充分又非必要条件 ．充要条件．必要而非充分条件 ．充分而非必要条件x k 25--5. 如果方程x 2sin α-y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角α的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 6.下列曲线中的一个焦点在直线上的是 ． ．． ．4x 5y +25=0[ ]A y 16=1B +y 16=1C x 16=1D +x 16=12222---x x y y 22229259257. 若a ·b <0，则ax 2-ay 2=b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在x 轴上 B ．双曲线且焦点在y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上 D ．椭圆 8.以椭圆的焦点为焦点，且过，点的双曲线方程为． ．． ．x x y y y 2222296109251150+y 25=1P(35)[ ]A y 10=1B x 6=1C x 3=1D x 2=122222----9.到椭圆的两焦点距离之差的绝对值等于椭圆短轴的点的轨迹方程是 ． ．． ．x x x x x 2222225251697+y 9=1[ ]A y 9=1B y 9=1C y 7=1D y 9=122222----10.直线与坐标轴交两点，以坐标轴为对称轴，以其中一点为焦点且另一点为虚轴端点的双曲线的方程是 ． ．． ．或2x 5y +20=0[ ]A y 16=1B y 84=1C y 84=1D y 84=1y 84=122222------x x x x x 2222284161001610011.以坐标轴为对称轴，过，点且与双曲线有相等焦距的双曲线方程是 ．或 ．或．或 ．或A(34)y 20=1[ ]A y 20=1x 20=1B y 15=1x 15=1C y 20=1x 15=1D y 5=1x 10=1222222222x x y x y x y x y 22222222255510105102015---------12.与双曲线共焦点且过点，的双曲线方程是 ． ．． ．x x x x x 2222215520916------y 10=1(34)[ ]A y 20=1B y 5=1C y 16=1D y 9=12222213. 已知ab <0，方程y=-2x +b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ]14.已知△一边的两个端点是、，另两边斜率的积是，那么顶点的轨迹方程是 ． ．． ．ABC A(7,0)B(70)C [ ]A x +y =49B +x 49=1C =1D 5y 147=12222---,x 355147514749492222y y x二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 )1.已知双曲线的焦距是，则的值等于 ．x k 21+-y 5=18k 22.设双曲线，与恰是直线在轴与轴上的截距，那么双曲线的焦距等于 ．x a 22--y b=1(a >0,b >0)a b 3x +5y 15=0x y 22双曲线的标准方程及其简单的几何性质1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－13．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆 C ．抛物线 D ．双曲线4．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y 24＝1D.y 23－x 24＝1 5．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2， |PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1D ．x 2－y 24＝1 7．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( ) A.x 29－y 27＝1 B.x 29－y 27＝1(y >0) C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0) 8．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( )A ．16B ．18C ．21D ．269．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程是( )A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1 D ．－x 24＋y 212＝1 10．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1 C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝1 11．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线12．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±43xD ．y ＝±34x13．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2B. 3C. 2D.3214．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．2二、填空题15．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________． 16．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．17．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1的焦点相同，那么a ＝________.18．双曲线x 24＋y 2b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________．19．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.20．双曲线以椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．双曲线及其标准方程习题答案一、单选题1. B2. C3. A4. D5. B6. C7. B8. B9. C 10. A 11. C 12. A 13. B 14. D 二、填空题1. 10 2.234双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案）1、[答案] D2、[答案] A [解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.3、[答案] A [解析] 设动圆半径为r ，圆心为O ， x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、[答案] B [解析] 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双曲线方程为y 2－x 23＝1. 5、[答案] C [解析] ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、[答案] C [解析] ∵c ＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、[答案] D [解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点， 实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0)8、[答案] D [解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21， ∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.9、[答案] C [解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45，∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1.10、[答案] B [解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，又因为双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y 212－x 224＝1.11、[答案] C [解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.12、[答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34.又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x .13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ，∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝1，∴c 2＝2a 2，e ＝ca＝ 2. 14、[答案] C[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.15、[答案] x 273－y 275＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴⎩⎨⎧ 9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎨⎧a 2＝73b 2＝75.16、[答案]833[解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7， 该弦所在直线方程为x ＝7，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833.17、[答案] 1 [解析] 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1.18、[答案] －12<b <0 [解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b2∈(1,2)，∴－12<b <0. 19、[答案]62 [解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62. 焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45，∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85，∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52，∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394，∴双曲线的方程为y 2254－x 2394＝1.20、[答案]y2254－x2394＝1 [解析]椭圆x29＋y225＝1中，a＝5，b＝3，c2＝16，。
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双曲线单元测试题一．选择题1．到两定点 F 13,0 、 F 2 3,0 的距离之差的绝对值等于6 的点 M 的轨迹（） A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线2． 双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为（）A ． 3B ．3C ．4D ．323x 2y 2 ABF 2（ F 2为右焦点）的周长是（3．过双曲线9 1左焦点 F 1 的弦 AB 长为 6，则 ）16A ． 28B ． 22C ． 14D ． 124. 双曲线 x2 y 21 的焦点到它的渐近线的距离等于( )a 2b 2A. b a 2b 2B.bC. aD.a a 2b 25. 若双曲线x 2y 21 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2, 则双曲线的离a 2b 2心率是（ ）（A ）3（B ）5 （C ） 3（ D ） 56. 双曲线x 2y 2 1 的焦距为（）102A. 3 2B. 4 2C. 3 3D.43x 2 y 21只有一个公共点的直线有（）条 57.过点 P （4， 4）与双曲线916(A) 1（B ） 2（ C ） 3（ D ） 4二．填空题（ 4×5）8. 双曲线 9x 2 16 y 2 144 的实轴长与虚半轴长的和等于, 离心率等于,准线方程是,渐近线的方程,右支上一点 P 到左焦点的距离等于 10,则它到右准线的距离等于___9．双曲线经过点 (-2， 3) ， (7 ，6 ) ，则它的标准方程为 ______________。
10．已知双曲线的离心率为 ，则它的实轴长和虚轴长的比为。
11．焦点为 0,6 ，且与双曲线 x 2 y 2 1 有相同的渐近线的双曲线方程是 _____________ ．12．双曲线x 2 y 221 的右焦点到右准线的距离为 __________________________ ．9 7 13．与椭圆x 2y 21有相同的焦点，且两准线间的距离为 10的双曲线方程为16253____________ ．14．方程x2 y 2k的取值范围是_________________．1 k 11表示双曲线，则k15. 若双曲线的一个顶点坐标为（ 3 ， 0 ），焦距为10，则它的标准方程为．16.设 F1、F2是双曲线的两个焦点，且｜ F1 F2｜＝ 18，过 F1的直线交双曲线的同一支于 M、N 两点，若｜ MN｜＝ 10，△ MF2N 的周长为 48，则满足条件的双曲线的标准方程是．三．解答题17．双曲线的离心率为5/3 ，坐标轴为对称轴，且焦点在y 轴上，求此双曲线的渐近线方程18．求一条渐近线方程是3x 4 y 0 ，一个焦点是4,0 的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．19．已知双曲线的实轴和虚轴都在坐标轴上，离心率为2，且过点 (-2,3) ，求此双曲线的标准方程20.设F1, F2是双曲线x2y 2 1 的两个焦点，点P 在双曲线上，且F1 PF2 600，9 16求△ F1 PF2的面积。
数学双曲线专题测试题(详细答案版)
双曲线专题训练测试卷1．顶点为A 1(0，－25)，A 2(0,25)，焦距为12的双曲线的标准方程是( ) A.x 220－y 216＝1 B.y 220－x 216＝1 C.x 216－y 220＝1 D.y 220－x 2124＝1 2．双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率是( )A.53B.43 C.5＋12 D.6＋123．θ是第三象限角，方程x 2＋y 2sin θ＝cos θ表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线4．经过点M (3，－1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程是( ) A ．y 2－x 2＝8 B ．x 2－y 2＝±8 C ．x 2－y 2＝4 D ．x 2－y 2＝8 5．若ax 2＋by 2＝b (ab <0)，则这个曲线是( )A ．双曲线，焦点在x 轴上B ．双曲线，焦点在y 轴上C ．椭圆，焦点在x 轴上D ．椭圆，焦点在y 轴上6．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．圆 C ．双曲线的一支 D ．椭圆 7．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(0,3)，则k 的值是( )8．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 9．已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A.43B.53 C ．2 D.7310．双曲线x 2n－y 2＝1(n >1)的左、右两焦点分别为F 1、F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，则△PF 1F 2的面积为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4 二、填空11．双曲线x 2－y 2＝1的两条渐近线的夹角为________．12．P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1、F 2是双曲线的两个焦点，且|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________．13.x 24－t ＋y 2t －1＝1表示双曲线，则实数t 的取值范围是____________． 14．F 1、F 2是双曲线y 29－x 216＝1的两个焦点，M 是双曲线上一点，且|MF 1|·|MF 2|＝32，求△F 1MF 2的面积为___________________． 三、解答题：15．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点⎝⎛⎭⎫154，3，且一条渐近线为4x ＋3y ＝0；(2)P (0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.16．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线与双曲线的交点为A ，B ，求线段AB 的长．17．某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A 、A ′是双曲线的顶点，C 、C ′是冷却塔上口直径的两个端点，B 、B ′是下底直径的两个端点，已知AA ′＝14 m ，CC ′＝18 m ，BB ′＝22 m ，塔高20 m ．建立坐标系并写出该双曲线方程．18．已知双曲线的一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．19．设点P 到点M (－1,0)，N (1,0)的距离之差为2m ，到x 轴、y 轴的距离之比为2∶1，求m 的取值范围．20．直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，当a 为何值时，以AB 为直径的圆经过原点1答案 B解析 顶点在y 轴上，a ＝25，c ＝6，得b ＝4.∴标准方程为y 220－x 216＝1.2答案 C 解析 由2a ·2c ＝(2b )2及b 2＝c 2－a 2， 得c 2－ac －a 2＝0，e 2－e －1＝0，解得e ＝1±52，由e >1得，e ＝1＋52.A ．1B ．－1 C.12 D ．－123答案 D解析 方程可化为x 2cos θ＋y 21tan θ＝1，∵θ是第三象限角，∴cos θ<0，1tan θ>0，故选D.4答案 D解析 设双曲线方程为x 2－y 2＝k ，将M 点坐标代入得k ＝8.所以双曲线方程为x 2－y 2＝8. 5答案 B解析 原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab <0，所以ba <0，所以曲线是焦点在y 轴上的双线，故选B.6答案 C解析 由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．7答案 B解析 原方程可化为x 21k －y 28k＝1，由一个焦点坐标是(0,3)可知c ＝3，且焦点在y 轴上，c 2＝(－1k )＋(－8k )＝－9k ＝9，所以k ＝－1，故选B.8答案 B解析 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2－y 25－a 2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y24＝1.故选B.．9答案 B解析 ||PF 1|－|PF 2||＝2a ，即3|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a3≥c －a ，即2a ≥3c －3a ，即5a ≥3c ，则c a ≤53.10答案 B解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2n ， 由|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，解得|PF 1|＝n ＋2＋n ，|PF 2|＝n ＋2－n ， |F 1F 2|＝2n ＋1，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，所以∠F 1PF 2＝90°.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝1.11答案 90°12答案 33解析 在双曲线x 264－y 236＝1中，a ＝8，b ＝6，故c ＝10.由P 是双曲线上一点，得||PF 1|－|PF 2||＝16.因为|PF 1|＝17，所以|PF 2|＝1或|PF 2|＝33.又|PF 2|≥c －a ＝2，得|PF 2|＝33.13答案 t >4或t <1解析 由题意知：(4－t )(t －1)<0，即(t －4)(t －1)>0， ∴t >4或t <1.14答案 16解析 由题意可得双曲线的两个焦点是F 1(0，－5)、F 2(0,5)， 由双曲线定义得：||MF 1|－|MF 2||＝6，联立|MF 1|·|MF 2|＝32得|MF 1|2＋|MF 2|2＝100＝|F 1F 2|2，所以△F 1MF 2是直角三角形，从而其面积为S ＝12|MF 1|·|MF 2|＝16.15解 (1)因直线x ＝154与渐近线4x ＋3y ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫154，－5，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x 轴上， 设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫1542a 2－32b2＝1，b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫432，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16.故所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x 轴上．因为PF 1⊥PF 2，且|OP |＝6， 所以2c ＝|F 1F 2|＝2|OP |＝12，所以c ＝6.又P 与两顶点连线夹角为π3，所以a ＝|OP |·tan π6＝23，所以b 2＝c 2－a 2＝24.故所求的双曲线方程为x 212－y 224＝1.16解 双曲线焦点坐标为F 1(－2,0)、F 2(2,0)，直线AB 的方程为y ＝33(x ＋2)，把该直线方程代入双曲线方程，得8x 2－4x －13＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138.|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋13×(12)2－4×(－138)＝3.∴线段AB 的长为3.17解 (1)如图建立直角坐标系xOy ，以AA ′为x 轴，AA ′的中点为坐标原点O ，CC ′与BB ′平行于x 轴．设双曲线方程为22221x y a b-=(a>0，b>0)，则a=21，AA ′=7.又设B(11，y 1)，C(9，y2)，因为点B 、C 在双曲线上，所以有2212291,7y b-=①9272－y 22b2＝1，② 由题意知y 2－y 1＝20.③由①、②、③得y 1＝－12，y 2＝8，b ＝7 2.故双曲线方程为x 249－y 298＝1.18解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1，且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.①由MN 中点的横坐标为－23知，中点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，－53. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2b 2＝5a 2.② 由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求方程为x 22－y 25＝1.19解 设P 点坐标为(x ，y )，依题意有|y ||x |＝2，即y ＝±2x (x ≠0)①因此点P ，M ，N 三点不共线， ∴||PM |－|PN ||<|MN |＝2.∵||PM |－|PN ||＝2|m |>0，∴0<|m |<1.故点P 在以M ，N 为焦点的双曲线x 2m 2－y 21－m 2＝1②上．由①，②解得x 2＝m 2(1－m 2)1－5m 2.∵1－m 2>0，∴1－5m 2>0,0<|m |<55.∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－55，0∪⎝⎛⎭⎫0，55.20解 将y ＝ax ＋1代入3x 2－y 2＝1可得 (3－a 2)x 2－2ax －2＝0Δ＝4a 2＋8(3－a 2)＝24－4a 2 Δ>0，则a 2<6设A 、B 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)则x 1＋x 2＝2a 3－a 2，x 1x 2＝2a 2－3∠AOB ＝90°，即AO ⊥BO ， ∴k AO ·k BO ＝－1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0， 即(1＋a 2)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0，即(1＋a 2)2a 2－3＋a 2a3－a 2＋1＝0，∴a 2＝1，满足a 2<6且a 2≠3的条件． 所以当a ＝±1时，以AB 为直径的圆经过原点．。
(整理版)双曲线综合训练题
双曲线综合训练题
1. 在双曲线113
122
2=-x y 的一支上有三个点),(11y x A 、)6,(2x B 、),(33y x C 与焦点)5,0(F 的距离成等差数列．(1)求31y y +；(2)求证线段AC 的垂直平分线经过某个定点，并求出定点的坐标．
2. 双曲线122
22=-b
y a x 的离心率21+>e ，左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使得1PF 是
P 到l 的距离d 与2PF 的等比中项？
3. 直线1+=kx y 与双曲线12
2=-y x 的左支相交于A ，B 两点，设过点)0,2(-和AB 中点的直线l 在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．
4.双曲线S 的两条渐近线过坐标原点，且与以)0,2(A 为圆心，1为半径
的圆相切，双曲线S 的一个顶点'A 和A 关于直线x y =对称，设直线l 过
点A ，斜率为k ．(1)求双曲线S 的方程；(2)当1=k 时，在双曲线S 的上支求点B ，使其与直线l 的距离为2；
5. 如下列图，给出定点)0,(a A )0(>a 和直线1-=x l ：，B 是直线l 上的动点，BOA ∠的角平分线交AB 于C ，求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系．
6. 双曲线C 的实轴在直线2=x 上，由点)4,4(-A 发出的三束光线射到x 轴上的点P 、Q 及坐标原点O 被x 轴反射，反射线恰好分别通过双曲线的左、右焦点1F 、2F 和双曲线的中心M ．假设4=PQ ，过右焦点的反射光线与右准线交点的纵坐标为9
8，求双曲线C 的方程和入射光线AP 、AQ 所在直线的方程．。
双曲线试题及答案
双曲线试题及答案1. 已知双曲线的方程为 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1\)，其中 \(a = 3\)，\(b = 4\)，求双曲线的焦点坐标。
答案：双曲线的焦点坐标为 \((\pm\sqrt{a^2 + b^2}, 0)\)，代入 \(a = 3\) 和 \(b = 4\)，得到焦点坐标为 \((\pm 5, 0)\)。
2. 双曲线 \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\) 的渐近线方程是什么？答案：双曲线的渐近线方程为 \(y = \pm\frac{b}{a}x\)，代入\(a = 3\) 和 \(b = 4\)，得到渐近线方程为 \(y =\pm\frac{4}{3}x\)。
3. 如果一个双曲线的中心在原点，且通过点 \((2, 3)\)，并且其一条渐近线方程为 \(y = 2x\)，求双曲线的方程。
答案：设双曲线方程为 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}= 1\)，由于渐近线方程为 \(y = 2x\)，可知 \(\frac{b}{a} = 2\)。
将点 \((2, 3)\) 代入方程得 \(\frac{4}{a^2} - \frac{9}{b^2} =1\)。
联立 \(b = 2a\) 解得 \(a = 1\)，\(b = 2\)，因此双曲线方程为 \(x^2 - \frac{y^2}{4} = 1\)。
4. 已知双曲线 \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\) 与直线\(y = mx + 1\) 相交，求直线的斜率 \(m\) 的取值范围。
答案：将直线方程代入双曲线方程，得到 \(\frac{x^2}{16} -\frac{(mx + 1)^2}{9} = 1\)。
整理得 \((9 - 16m^2)x^2 - 32mx -70 = 0\)。
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a2 k b2 k
a2 b2
A．相同的虚轴 B．相同的实轴 C．相同的渐近线 D． 相同的焦点
x2
7．过双曲线
16
y2 9
1 左焦点 F1 的弦 AB 长为 6，则 ABF2 （F2 为右焦点）的周长
是（ A ）
A．28
B．22
C．14
D．12
8．双曲线方程为 x 2 y 2 1，那么 k 的取值范围是 | k | 2 5 k
（D ）
A．k＞5
传承文明
B．2＜k＜5 C．－2＜k＜2 D．－2＜k＜2 或 k＞5
爱心教育
1
用思维去演绎你的学海生涯
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9．双曲线的渐近线方程是 y=±2x，那么双曲线方程是
（D）
A．x2－4y2=1 B．x2－4y2＝1
一个顶点到它的一条渐近线的距离是
（ D）
a
A．
c
b
B．
c
a
C．
e
b
D．
e
13．双曲线 x 2 y 2 1(n 1) 的两焦点为 F1，F2，P 在双曲线上，且满足 n
|PF1|+|PF2|= 2 n 2, 则△PF1F2 的面积为
（B）
1
A．
B．1
C．2
D．4
2
x2
14．二次曲线
y2
1， m [2,1] 时，该曲线的离心率 e 的取值范围是
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双曲线基础训练题（一）
1．到两定点 F1 3,0、 F2 3,0的距离之差的绝对值等于 6 的点 M 的轨迹
双曲线基础练习题(后附答案)
双曲线基础练习题（后附答案）一、选择题（每题5分）1．已知a=3,c=5，并且焦点在x 轴上，则双曲线的标准程是（ ）A ．116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 1916.22=-y x D 2．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116922=-y x 3．.双曲线191622=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 184．.双曲线191622=-y x 的焦点坐标是 （ ） A. （5，0）、（-5，0）B. （0，5）、（0，-5） C. （0，5）、（5，0） D.（0，-5）、（-5，0）5、方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得：A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 6．已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是（ ）A ．.116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和191622=+-y x C. 191622=-y x 和191622=+-y x D. 1162522=-y x 和1251622=+-y x 7．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（ ）A ．1222=-y xB ．122=+-y xC ．122=-y x D. 1222=+-y x 8．P 为双曲线191622=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直PB ，则三角形PAB 的面积为（ ） A ． 9 B ． 18 C ． 24 D ． 369．双曲线191622=-y x 的顶点坐标是 （ ） A ．（4，0）、（-4，0） B ．（0，-4）、（0，4）C ．（0，3）、（0，-3） D ．（3，0）、（-3，0）10．已知双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（ ） A ．1222=-y x B ．122=-y x C ．122=+-y x D. 1222=+-y x11．双曲线191622=-y x 的的渐近线方程是（ ） A ． 034=±y x B ．043=±y x C ．0169=±y x D ．0916=±y x12．已知双曲线的渐近线为043=±y x ，且焦距为10，则双曲线标准方程是（ ）A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 二、填空题（每题5分共20分）13．已知双曲线虚轴长10，焦距是16，则双曲线的标准方程是________________.14．已知双曲线焦距是12，离心率等于2，则双曲线的标准方程是___________________.15．已知16522=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是___________. 16.椭圆C 以双曲线122=-y x 焦点为顶点，且以双曲线的顶点作为焦点，则椭圆的标准方程是___________________三、解答题 1. 求以椭圆18522=+y x 的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。
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圆锥曲线与方程（双曲线练习题）一、选择题1.已知方程22121x y k k +=--的图象是双曲线，那么 的取值范围是（ ）A .B .C .D .2.双曲线22221(00)x y a b a b->>＝，的左、右焦点分别为12F ,F ,P 是双曲线上一点，满足212|PF F F |=，直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（ ）A.54B.533.过双曲线2212y x -=的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有（ ）A .1条B .2条C .3条D .4条4.等轴双曲线222:C x y a -=与抛物线216y x =的准线交于A,B 两点，AB ＝C 的实轴长等于（ ）5.已知双曲线x y m2219的一条渐近线的方程为yx 5，则双曲线的焦点到直线的距离为( ) A ．2 B . C . D . 6.若直线过点(3,0)与双曲线224936xy 只有一个公共点，则这样的直线有（ ）A .1条B .2条C .3条D .4条7.方程221()23x y k k k -∈-+R ＝表示双曲线的充要条件是（ ）A.2k >或3k <-B.3k <-C.2k >D.32k -<<二、填空题8.过原点的直线，如果它与双曲线22134y x -=相交，则直线的斜率的取值范围是 .9.设为双曲线2214x y 上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是 ．10.过双曲线22221(,0)x y a b a b 的左焦点作垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 .11.已知双曲线22221(00)x y a ,b a b-=>>的渐近线与圆22420x y x +-+=有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．三、解答题（本题共3小题，共41分） 12.求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在轴上,虚轴长为12，离心率为54； （2）顶点间的距离为6，渐近线方程为y x 3213.已知双曲线22221x y a b-＝(a ＞0，b ＞0)的右焦点为(0)F c,．（1）若双曲线的一条渐近线方程为y x =且2c =，求双曲线的方程；（2）以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为求双曲线的离心率．14.已知双曲线x y a b 22221a b （0,0)的离心率23e，原点O 到过点(,0),(0,)A a B b （1）求双曲线的方程；（2）已知直线5(0)y kx k 交双曲线于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求的值一、选择题1.C 解析：由方程的图象是双曲线知，,即2.D 解析：设1PF 与圆相切于点M ，因为212PF F F =，所以12PF F △为等腰三角形，所以1114F M PF =. 又因为在直角1F MO △中，2222211FM FO a c a =-=-，所以1114F M b PF ==.① 又12222PF PF a c a =+=+，②222c a b =+,③由①②③解得53c a =．3.C 解析：由题意知，.当只与双曲线右支相交时，的最小值是通径长，长度为，此时只有一条直线符合条件； 当与双曲线的两支都相交时，的最小值是实轴两顶点间的距离，长度为，无最大值， 结合双曲线的对称性，可得此时有2条直线符合条件. 综上可得，有3条直线符合条件.4.C 解析：设等轴双曲线C 的方程为22x y λ-=．①∵ 抛物线2162168y x p p ===，，，∴ 42p=．∴ 抛物线的准线方程为4x =-． 设等轴双曲线与抛物线的准线4x =-的两个交点为(4),(4)(0)A ,y B ,y y --->，则()2AB |y y |y =--==，∴y =．将4x =-，y =22(4)λ--=，∴ 4λ=.∴ 等轴双曲线C 的方程为224x y -=，即22144x y -＝.∴ 双曲线C 的实轴长为4．5.C 解析：双曲线2219x y m-=的一条渐近线方程为y ，即.不妨设双曲线的右焦点为,则焦点到直线l的距离为d =.6.C 解析：将双曲线化为标准方程为22194x y -=则点(3,0)为双曲线的右顶点.过点(3,0)与x 轴垂直的直线满足题意，过点(3,0)与双曲线渐近线平行的两条直线也满足题意，因此这样的直线共有3条.7.A 解析：方程221()23＝x y k k k R -∈-+表示双曲线，当且仅当(2)(3)>0k k -+，∴ 2k >或3k <-.反之，当2k >或3k <-时，双曲线方程中分母同号，方程221()23＝x y k k k R -∈-+表示双曲线.二、填空题8.3,,⎛⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∞∞ 解析：双曲线22134y x -=的渐近线方程为y =.若直线l 与双曲线相交，则k k >< 9. 解析：设,，则00,22x y xy，即，.将代入双曲线方程，得点的轨迹方程为224414x y ，即. 10.2 解析：设双曲线的左焦点为右顶点为又因为MN 为圆的直径且点A 在圆上，所以F 为圆的圆心，且所以2b c a a =+，即22c a c a a -=+.由c e a=，得2e e - 11.(1,2] 解析：由圆22420x y x +-+=化为22(2)2x y -+=，得到圆心(20)，，半径r∵ 双曲线22221(00)x y a ,b a b -=>>的渐近线b y x a±＝与圆22420x y x +-+=有交点，∴22b a≤．∴ 12c e a ＜＝．∴ 该双曲线的离心率的取值范围是(1,2]． 三、解答题12.解：（1）焦点在轴上，设所求双曲线的标准方程为x y a b a b ()222210,0．由题意，得222212,5,4,b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩解得8,6.a b =⎧⎨=⎩所以双曲线的标准方程为2216436x y ．（2）方法一：当焦点在轴上时，设所求双曲线的标准方程为222210,0x y a b a b->>=()由题意，得2632a b a =⎧⎪⎨=⎪⎩，，解得3,9,2a b ⎧==⎪⎨⎪⎩所以焦点在轴上的双曲线的标准方程为2219814x y ．同理可求焦点在轴上的双曲线的标准方程为22194y x ． 方法二：设以32y x 为渐近线的双曲线的方程为22(0).49x y λλ当λ＞时，6，解得λ94．此时，所求的双曲线的标准方程为2219814x y ． 当λ＜时，96λ，解得λ．此时，所求的双曲线的标准方程为22194y x． 13.解：（1）∵ 双曲线22221x y a b -＝的渐近线方程为b y x a=±，∴ 若双曲线的一条渐近线方程为y x =，可得1ba=，解得a b =.∵2c ==，∴a b ==由此可得双曲线的方程为22122x y -＝.（2）设点A 的坐标为()m,n ，可得直线AO的斜率满足n k m ==m =.① ∵ 以点O 为圆心，c 为半径的圆方程为222x y c +=， ∴ 将①代入圆方程，得2223n n c +=，解得12n c =，m =.将点12A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入双曲线方程，得2222121c a b ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-＝. 化简，得2222223144c b c a a b -=.∵ 222c a b =+，∴ 将222b c a =-代入上式，化简、整理，得42243204c c a a -+=. 两边都除以4a ，整理，得423840e e -+=，解得223e =或22e =. ∵ 双曲线的离心率1e >，∴ 该双曲线的离心率2e =(负值舍去）. 14.解：（1）因为c a ，原点O 到直线：的距离abd ca b 223， 所以1, 3.b a 故所求双曲线的方程为22 1.3x y（2）把5y kx 代入2233x y 中,消去，整理，得22(13)30780k x kx .设C x y D x y CD 1122(,),(,),的中点是00,（）E x y ，则120215213x x k x k，y kx k 00255.13BEy k x k0011，所以000,x ky k 即2215501313k kk k k++=--. 又,所以,即。