2011—2020年十年新课标全国卷高考数学分类汇编——14.不等式选讲

2011年—2020年十年新课标全国卷数学分类汇编（含全国Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷、新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷，共8套全国卷）（附详细答案）编写说明：研究发现，新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等有一定套路．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷命题的灵魂．本资料是根据全国卷的特点精心编写，百度文库首发，共包含14个专题，分别是： 1．集合2．复数 3．逻辑、数学文化、新定义 4．平面向量 5．不等式 6．函数与导数7．三角函数与解三角形 8．数列 9．立体几何 10．解析几何 11．概率与统计 12．程序框图 13．坐标系与参数方程 14．不等式选讲2011年—2020年新课标全国卷数学试题分类汇编14．不等式选讲(2020·全国卷Ⅰ，理23)已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．（1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．(2020·全国卷Ⅱ，理23)已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+．（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围．(2020·全国卷Ⅲ，理23)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ．(2019·全国卷Ⅰ，理23) [选修4—5：不等式选讲]（10分）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c ++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++．(2019·全国卷Ⅱ，理23) [选修4-5：不等式选讲]（10分）已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1]x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．(2019·全国卷Ⅲ，理23) [选修4-5：不等式选讲]（10分）设x ，y ，z ∈R ，且x+y +z =1．（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-．（2018·新课标I 卷，23）已知()11f x x ax =+--.（I ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（II ）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.（2018·新课标Ⅱ，23）设函数()52f x x a x =-+--．（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．（2018·新课标Ⅲ，理23）[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()211f x x x =++-．(1)出()y f x =的图像；⑵当[)0x +∞∈，， ()f x ax b +≤，求a b +的最小值．（2017·新课标Ⅰ，23）已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围．（2017·新课标Ⅱ，23）已知330,0,2a b a b >>+=，证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．（2017·新课标Ⅲ，23）已知函数()12f x x x =+--．（1）求不等式()1f x 的解集；（2）若不等式()2–f x x x m +的解集非空，求m 的取值范围．（2016·新课标Ⅰ，24）已知函数321)(--+=x x x f ．（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(x f y =的图像；（Ⅱ）求不等式1)(>x f 的解集．（2016·新课标Ⅱ，24）已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x 的解集. （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b ∈M 时，1ab ab .（2016·新课标Ⅲ，24）已知函数()2f x x a a =-+.(1)当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；(2)设函数()21g x x =-. 当x R ∈时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．（2015·新课标Ⅰ，24）已知函数()12,0f x x x a a =+-->.（I ）当1a =时求不等式()1f x >的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.（2015·新课标Ⅱ，24）设a ，b ，c ，d 均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab >cd >>||||a b c d -<-的充要条件.（2014·新课标Ⅰ，24））若0,0a b >>，且11a b+=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.（2014·新课标Ⅱ，24）设函数1()||||(0)f x x x a a a=++->. （Ⅰ）证明：f (x ) ≥ 2； （Ⅱ）若f (3) < 5，求a 的取值范围.（2013·新课标Ⅰ，24）已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．（2013·新课标Ⅱ，24）设a b c 、、均为正数，且1a b c ++=. 证明：（Ⅰ）13ab bc ca ++≤；（Ⅱ）2221a b c b c a ++≥.（2012·新课标Ⅰ，24）已知函数f (x ) = |x + a | + |x -2|.（Ⅰ）当a =-3时，求不等式f (x ) ≥ 3的解集；（Ⅱ）若f (x ) ≤ | x -4 |的解集包含[1, 2]，求a 的取值范围.（2011·新课标Ⅰ，24）设函数()3f x x a x =-+,其中0a >．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；（Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值．2011年—2020年全国卷（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷）理科数学试题分类汇编15．不等式选讲（逐题解析版）(2020·全国卷Ⅰ，理23)已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．（1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．【解析】（1）因为()3,1151,1313,3x xf x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示： 由()3511x x --=+-，解得76x =-． 所以不等式的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭． (2020·全国卷Ⅱ，理23)已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+．（1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围．【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞．【解析】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-． 当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤； 当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解； 当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭． （2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a aa a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥， a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞．(2020·全国卷Ⅲ，理23)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ． 【解析】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++． ,,a b c 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=．当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c ．(2019·全国卷Ⅰ，理23) [选修4—5：不等式选讲]（10分）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．23．解：（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c++≤++. （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24.所以333()()()24a b b c c a +++++≥.(2019·全国卷Ⅱ，理23) [选修4-5：不等式选讲]（10分）已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1]x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 23．解：（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥． 所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞． （2）因为()=0f a ，所以1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x ----- 所以，a 的取值范围是[1,)+∞．(2019·全国卷Ⅲ，理23) [选修4-5：不等式选讲]（10分）设x ，y ，z ∈R ，且x+y +z =1．（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值； （2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-． 23．解：（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．解法2：由柯西不等式，可得()()()()222222[(1)(1)(1)1111111]3x y x y z z ⎡⎤=--++++++++++⎣⎦()()()()221141111111333x y z x y z ≥-⨯++⨯++⨯=+++=⎡⎤⎣⎦ 当且仅当111x y z -=+=+时，即511,,333x y z ==-=-时，等号成立，所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．解法2：由()()()22222221111213[(2)(1)()]x y z x y z a a ⎡⎤⎡⎤=++-+-+-+--⎣⎦-⎣+⎦ ()()()21211113x y z a ≥-⨯+-⨯+-⨯⎡⎤⎣⎦ ()()221121233x y z a a ≥-+-+-=--当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立． 故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．【方法总结与拓展】本题的背景是柯西不等式 设n a a a ,,,21⋅⋅⋅,n b b b ,,,21⋅⋅⋅为两组实数，则))(()(222222212221121n b b b a a a b a b a b a n n n +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++≤+⋅⋅⋅++，①当且仅当nn b a b a b a =⋅⋅⋅==2211时取等号．（约定n i a i ⋅⋅⋅=≠,2,1,0） 推论1 设R a i ∈，0>i b ),,2,1(n i ⋅⋅⋅=，则nn n n b b b a a a b a b a b a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++≥+⋅⋅⋅++212212222121)(， 当且仅当i i a b λ=时等号成立，推论2 设i a ，i b 不同时为零),,2,1(n i ⋅⋅⋅=，则nn b a b a b a +⋅⋅⋅++2211 nn n b a b a b a a a a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++≥2211221)(,等号成立当且仅当n b b b =⋅⋅⋅==21时成立．（2018·新课标I 卷，23）已知()11f x x ax =+--.（I ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（II ）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围. 解析：（I ）依题意，111x x +-->，该不等式等价于1,111,x x x <-⎧⎨--+->⎩11,111,x x x -≤≤⎧⎨++->⎩或1,111,x x x >⎧⎨+-+>⎩ 解得12x >，即等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（II ）依题意，11x ax x +-->；当()0,1x∈时，该式化为 11x ax x +-->，即11ax -<，即111ax -<-<，即02ax <<，故0,2,ax ax >⎧⎨<⎩在()0,1上恒成立，故02a <≤，即a 的取值范围为(]0,2.（2018·新课标Ⅱ，23）设函数()52f x x a x =-+--．（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．解析：（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩，可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤．（2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立． 故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥， 所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．（2018·新课标Ⅲ，理23）[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()211f x x x =++-．(1)出()y f x =的图像；⑵当[)0x +∞∈，， ()f x ax b +≤，求a b +的最小值．解析：（1）13,21()2,123,1x x f x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩，如下图：（2）由（1）中可得：3a ≥，2b ≥， 当3a =，2b =时，a b +取最小值， ∴a b +的最小值为5.（2017·新课标Ⅰ，23）已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围．解析：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12x =的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >⎧⎪=++-=-⎨⎪-<-⎩，，≤x ≤，，当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++=，解得171x -=，()g x 在()1+∞，上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减，∴此时()()f x g x ≥解集为1711⎛- ⎝⎦，． 当[]11x ∈-，时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-，时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥解集1711⎡--⎢⎣⎦，．（2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-，恒成立．即220x ax --≤在[]11-，恒成立． 则只须()()2211201120a a ⎧-⋅-⎪⎨----⎪⎩≤≤，解出：11a -≤≤．故a 取值范围是[]11-，．（2017·新课标Ⅱ，23）已知330,0,2a b a b >>+=，证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤． 解析：（1）解法一：由柯西不等式得：55222222332()()))()4a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤++=+⋅+≥+=⎣⎦⎣⎦解法二：5566553325533()()()2a b a b a b ab a b a b ab a b a b ++=+++=+++-33233332()2()4a b a b a b ≥++=+=解法三：()()()()()2555533553342a b a b a b a b a b ab a b a b ++-=++-+=+-又0,0a b >>，所以()255332220ab a b a b ab a b+-=-≥．当a b =时，等号成立．所以，()()5540a b a b ++-≥，即55()()4a b a b ++≥．（2）解法一：由332a b +=及2()4a b ab +≤得2222()()()()3a b a b ab a b a b ab ⎡⎤=+⋅+-=+⋅+-⎣⎦2323()()()()44a b a b a b a b ⎡⎤++≥+⋅+-=⎢⎥⎣⎦所以2a b +≤． 解法二：（反证法）假设2a b +>，则2a b >-，两边同时立方得：3323(2)8126a b b b b >-=-+-，即3328126a b b b +>-+，因为332a b +=，所以261260b b -+<，即26(1)0b -<，矛盾，所以假设不成立，即2a b +≤． 解法三：因为332a b +=，所以：()()()3333322333843344a b a b a baa b ab b a b +-=+-+=+++--()()()()222333a b a b a b a b a b =-+-=-+-.又0,0a b >>，所以: ()()230a b a b -+-≤，所以，()38a b +≤，即2a b +≤．解法四：因为33113,113a a b b ++≥=++≥=，所以3311113()a b a b +++++≥+，即63()a b ≥+，即2a b +≤（当且仅当1a b ==时取等号）．（2017·新课标Ⅲ，23）已知函数()12f x x x =+--．（1）求不等式()1f x 的解集；（2）若不等式()2–f x x x m +的解集非空，求m 的取值范围．解析：（1）()12f x x x =+--可等价为()3,121,123,2x f x x x x --⎧⎪=--<<⎨⎪⎩.由()1f x 可得：①当1x -时显然不满足题意； ②当12x -<<时，211x -，解得1x ；③当2x 时，()31f x =恒成立.综上，()1f x 的解集为{}1x x .⑵不等式()2f x x x m -+等价为()2f x x x m -+，令()()2g x f x x x =-+，则()g x m 解集非空只需要()max g x m ⎡⎤⎣⎦.而()2223,131,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩.①当1x -时，()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦； ②当12x -<<时，()2max3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭；③当2x 时，()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦.综上，()max 54g x =⎡⎤⎣⎦，故54m .（2016·新课标Ⅰ，23）已知函数321)(--+=x x x f ． （Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(x f y =的图像； （Ⅱ）求不等式1)(>x f 的解集．解析：⑴如图所示：⑵ ()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥ ,()1f x >, ①1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <,1x -∴≤ ②312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <，113x -<<∴或312x << ③32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <，332x <∴≤或5x >综上，13x <或13x <<或5x >()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，（2016·新课标Ⅱ，24）已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x 的解集.（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b ∈M 时，1a bab .解析：⑴当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．⑵当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->，即22221a b a b +>+， 则2222212a b ab a ab b +++>++，则()()221ab a b +>+，即1a b ab +<+，证毕．（2016·新课标Ⅲ，24）已知函数()2f x x a a =-+.(1)当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；(2)设函数()21g x x =-. 当x R ∈时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围． 解析：(1)当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤.因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤. ………………5分(2)当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+， 当12x =时等号成立， 所以当x R ∈时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① ……7分 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[2,)+∞. ………………10分（2015·新课标Ⅰ，24）已知函数()12,0f x x x a a =+-->.（I ）当1a =时求不等式()1f x >的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 解析：（I ）（方法一）当1a =时，不等式()1f x >可化为1211x x +-->，等价于11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<. （方法二）当1a =时，不等式()1f x >可化为1211x x +-->，结合绝对值的几何意义，不等式的含义为：数轴上一点x 到点1-的距离与它到1的距离的2倍之差大于1.设点x 到1-的距离为1d ，到1的距离为2d ，结合数轴可知：若x 在[1,1]-内，则有1212221d d d d +=⎧⎨->⎩解得213d <；故2(,1]3x ∈. 若x 在(1,)+∞内，则有1212221d d d d -=⎧⎨->⎩解得21d <；故(1,2)x ∈.综上可得223x <<. -11x-1 1x（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩， 所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +.由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >.所以a 的取值范围为（2，+∞）.（2015·新课标Ⅱ，24）设a ，b ，c ，d 均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab >cd>>||||a b c d -<-的充要条件.解析：（Ⅰ）因为22a b c d =++=++由题设,a b c d ab cd+=+>得22>>（Ⅱ）（i ）若||||a b c d -<-，则22()()a b c d -<-，即22()4()4a b ab c d cd +-<+-，因为a b c d +=+，所以ab cd >>（ii>22>，即a b c d ++>++因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是2222()()4()4()a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-，因此||||a b c d -<->||||a b c d -<-的充要条件.（2014·新课标Ⅰ，24））若0,0a b >>，且11a b+=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.解析：(Ⅰ)11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==故3342a b+≥=，且当a b ==∴33a b +的最小值为……5分（Ⅱ）由623a b =+≥32ab ≤，又由(Ⅰ)知2ab ≥，二者矛盾， 所以不存在,a b ，使得236a b +=成立. ……………10分（2014·新课标Ⅱ，24）设函数1()||||(0)f x x x a a a=++->. （Ⅰ）证明：f (x ) ≥ 2；（Ⅱ）若f (3) < 5，求a 的取值范围.解析：（Ⅰ）∵111()|||||()()|||f x x x a x x a a a a a =++-≥+--=+，∵0a >， ∴1()2f x a a≥+≥，当且仅当1a =时，取“=”号. 故()2f x ≥. （Ⅱ）∵(3)5f <，0a >，∴11(3)|3||3|3|3|5f a a a a=++-=++-<， 即：13|3|5a a ++-<，∴31335a a a ≥⎧⎪⎨++-<⎪⎩或031335a a a<<⎧⎪⎨++-<⎪⎩，52a +<<. 故a的取值范围是5)2.（2013·新课标Ⅰ，24）已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.（2013·新课标Ⅱ，24）设a b c 、、均为正数，且1a b c ++=.证明：（Ⅰ）13ab bc ca ++≤；（Ⅱ）2221a b c b c a ++≥. 解析：（Ⅰ）由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. （Ⅱ）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a+≥，故222()a b c a b c b c a +++++≥2(a ＋b ＋c )，即222a b c b c a ++≥a ＋b ＋c . 所以222a b c b c a++≥1.（2012·新课标Ⅰ、Ⅱ，24）已知函数f (x ) = |x + a | + |x -2|.（Ⅰ）当a =-3时，求不等式f (x ) ≥ 3的解集；（Ⅱ）若f (x ) ≤ | x -4 |的解集包含[1, 2]，求a 的取值范围.解析：（Ⅰ） 当3a =-时，不等式3)(≥x f ⇔|3||2|3x x -+-≥()()2323x x x ≤⎧⎪⇔⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩⇔或4x ≥. 所以当3a =-时，不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥.（Ⅱ）()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[，即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立，即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立，即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立，所以2122a a --≤⎧⎨-≥⎩，即30a -≤≤.故a 的取值范围为[]3,0-.（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，24）设函数()3f x x a x =-+,其中0a >．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；（Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值．解析：（I ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为12x -≥由此可得3x ≥或1x ≤-，故不等式()32f x x ≥+的解集为{3x x ≥或}1x ≤-. （II ）由()0f x ≤得30x a x -+≤ 此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩即4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2x a a x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩. 由于0a >，所以不等式组的解集为2a x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎭⎩. 由题设可得12a -=-，故2a =.。