倒易点阵基础与透射电镜计算分析中的应用

* * * * *
v
按上述定义，这个倒易矢量与晶体（112）面垂直，并且有
v v R
*
112
= R
*
112
= 1 d
112
一般指数的倒易矢量 R * hkl 与晶体点阵的关系可表示为：
* ⎧ ⎪ R khl ⊥( hkl ) ⎨ * ⎪ ⎩ R hkl = 1 d hkl v v 倒易空间就是所谓的波矢空间（ k —入射波矢，k 1 ―衍射波矢） ，
sin θ =
1 2 / d λ
并用作图的方法表达了这个方程 和赋予其中一些项以新的含义。 以一晶体为中心（O 点） ，以 为
λ
1
半径，在空间画一个球，这个球即为 爱瓦尔德球或称反射球（衍射可称为 反射，在晶体情况） （图 3） 如图令电子束沿直径 >
* * 射，经过晶体 O 点亦到达 O 点，取 O G 的长度为 1 d ，若直角三角形 hkl
图<2>
各晶面的散射波干涉加强的条件是，波程差为波长的整数倍，即 2d sinθ＝nλ 这就是布拉格方程，式中 n＝0，1，2，3……,称为衍射级数，考 虑到 d hkl / n = d nhnknl , ,则可以把任意（hkl）晶面组的 n 级衍射都看成是 与之平行，但晶面间距小于 n 倍的（nhnknl）晶面组的一级衍射，这 样便使布拉格方程成为更一般的表达式： 2dhkl sin θ hkl = λ 或直接写为 2d sin θ = λ
v v
*
v
有这种关系的方向矢量组合成一个新的点阵， 这样处理衍射几何问题 显然非常方便，这个新的点阵就称为倒易点阵。 我们可以这样理解倒易点阵，即该点阵的方向矢量垂直于同名指 ，它的大小等于同 数（后面将给予证明）的晶体平面； 〔如 Ghkl ⊥(hkl ) 〕 名指数晶面间距的倒数（即
v 1 G = ） 。 d hkl v
r
r
和
，因此有：
v v ⎧a * = A(b × c ) ⎪ v v ⎪ * ⎨b = B ( c × a ) ⎪ * v v c = (a × b ) ⎪ ⎩
[2]
式中 A，B，C 为特定系数，将上式代入定义式[1]第一式中， 则有： a * ⋅ a = 1 = A(b × c ) ⋅ a
v v v
上式也可写成：
v v ⎧a ⋅ N = hd hkl ⎪v v ⎨b ⋅ N = kd hkl ⎪v v ⎩c ⋅ N = ld hkl
[5]
现用 a * , b * , c * 分别乘以上各式，而后相加得
v v v v v v v v v v v v v ( a ⋅ N ) ⋅ a * + (b ⋅ N ) ⋅ b * + (c ⋅ N ) ⋅ c * = d hkl ( ha * + kb * + lc * ) = d hkl G hkl
[a ⋅ bv = a
*
*
v v ⋅ b cos a * , b
v v ( )] ， (a ⋅ b ) = 90°,
cos 90° = 0
（从矢量叉积为 O，可导出两矢量平行， sin 0° = 0 ）
a 从定义式[1]中可知，
*
c 和 b b 垂直于
r
r
r
a 垂于 c c 和 ，
r
r
*
b ， a 垂直于
v
v
（此式在倒空间成立）
定理 1：倒易矢量 Ghkl 垂直于指数为（ hkl ）的晶面，即
v v Ghkl // N
（晶面法线）
v v 1 ，即 Ghkl = 1 d 。 （当 h1k1l1 含 hkl d hkl
定理 2：倒易矢量 Ghkl 的模等于 有公因子 n 时 G =
n ） d hkl
证明： 如图所示， 在正空间中作一最靠近原点 O 而其晶面指数 （密 勒指数） 为 （ hkl ） 的晶面， 显然， 按密勒指数的定义， 这个平面在 a , b , c 轴上的截距矢量分别为
v
在这里波长是晶面间距 d;其波矢即倒易矢量，垂于相应的晶面。下 面我们来讨论一下倒易点阵的定义和几何性质。 2 倒易点阵的定义和性质 如上所述，倒易点阵是从晶体衍射这一客观物理现像中总结出来
的规律。事实上，倒易点阵就是衍射波的方位和强度在空间的分布， 倒空间的每一阵点和正空间相应的晶面族相对应。 一般通过数字表达 式把正空间和倒空间联系起来。 (1) 倒易点阵的基矢及数学定义 设晶体空间 （即正空间） 以三个基矢
ΔAO G 中,AO 与 AG 的夹角为θ，则ΔAO G 满足布拉格方程，即此时 电子束波长λ，晶面间距 dhkl 及取向关系θhkl 之间可用直角三角形表 示出来： 即
AO * =
*
*
*
*
2
λ
, < O * AG = θ ,
O *G =
1 d
沿 AO 方向入射的电子束照射在 O 点处的晶体，一部份电子束透 射过去，一部份使晶面间距为 dhkl 的（hkl）面发生衍射，在 OG 方向 产生衍射束。若入射波卡量用 K 表示，衍射波矢量用 K 表示，含 O G ＝ G ，其方向平行于（hkl）晶面的法线，则有
v * * * v ⎧ ⎪a ⋅ a = b ⋅ b = c ⋅ c = 1 ⎨ * v * v * v * v * v * ⎪ ⎩a ⋅ b = a ⋅ c = b ⋅ a = b ⋅ c = c ⋅ a = c ⋅ b = 0
v
[1]
v
两矢量的点积为 O， 说明这两个矢量相互垂直， 如 a * ⋅ b = 0, 则 a * ⊥b
v v v v
式中 (b × c ) ⋅ a 正好为晶胞的体积，因此 A = 同理 B = C =
1 故倒易基矢也可定义为： V v v ⎧ * b ×c ⎪a = V ⎪ v v ⎪ * c ×a ⎨b = V ⎪ v v ⎪ * a ×b ⎪c = V ⎩
1 V
[3]
从上式即可以正空间基矢求出倒易基矢。 需要注意的一个重要的事实是， 在倒易基矢的定义式中， 正基矢 与倒易基矢处于完全对称的地位， 因此正空间与倒易空间是互为倒易 关系 （即正空间和倒易空间是互为倒易的空间） 。 可不加证明地把[3] 式及其矢写成：
⎧v ⎪a = ⎪ ⎪v ⎨b = ⎪ ⎪v ⎪c = ⎩
＊
v v b* × c* V* v c* × a* V* v a * × b* V*
[4]
式中 V 为倒易空间中的单胞体积： 从公式[3]和[4]还可得：
1 v* v* v v 1 v v (b × c ) ⋅ (b × c ) = a ⋅ a* = 1 = * VV VV * v v v v v v v v v v v v 这儿利用了 ( a ⋅ b ) ⋅ ( c × d ) = (a ⋅ c )(b ⋅ d ) − (a ⋅ d )(b ⋅ c )
v v v K '− K = G v
v
*
这即为布拉格方程的矢量形式。 （3）倒易点阵概念 从图中可知，在满足衍射产生条件时， G 必须与衍射的晶面垂直 对应直径， 晶面平行于 AG） ， 即 G // N hkl（晶面法线） ， （＜O GA 为直角， 且 G 的大小即
v 1 G = d hkl (公式 sin θ = 1 2 / ) d λ
那么有： V =
1 V*
即正空间与倒易空间的单胞体积互为倒数关系。 （2）倒易点阵的性质 前面在引入倒易点阵概念时， 已提到过有关倒易点阵的性质。 现 在再归纳一下倒易点阵的两条重要定理，并给予证明。 我们用 G 表示倒易矢量，利用倒易点阵的基矢，那么 G 矢量为：
v v v G hkl = ha * + kb * + lc *
v v v
[6]
令上式左端等于 L ，即
v v v v v v v v v v L = (a ⋅ N ) ⋅ a * + (b ⋅ N ) ⋅ b * + (c ⋅ N ) ⋅ c *
v v v v
v
[7]
那么根据倒易基矢的定义式， L 与 a , b , c 的点乘将分别为： v v v v v v v v v v v v v v v v L ⋅ a = ( a ⋅ N ) a * ⋅ a + ( b ⋅ N )b * ⋅ a + ( c + N ) ⋅ c * ⋅ a = a ⋅ N 同样： L ⋅ b = b ⋅ N
v v v v L⋅c = c ⋅ N v v v v
v v v v v 因 a , b , c ，为不共面的三个矢量，故 L = N ，代入[6]，[7]
则
v v N = d hkl Ghkl
[9]
晶面（ hkl ） 衍射（ hkl ）
v v N = 1） 到此定理 1 得证。又因为 N 是单位矢量（ ，所以从[9]
图<1>推导一下布拉格方程示意图 （1）布拉格方程 电子衍射与 x 射线衍射一样，都以布拉格方程为基础。现我们来 推导一下布拉格方程。 当一波长为λ的单色平面电子波以λ射角θ（即入射方向与晶面 的夹角，与光学定律不同）照射到晶面间距为 d 的平行晶面组时（如 图） ， 相邻晶面的散射电子束的波程差为： δ＝SR＋RT＝2dsinθ 单几何关系) (简
注意此时公式中 d 为广义的晶面间距，即其中一些晶面上并不包 。则下面我们看一看布拉 含原子。一段 λ 为确定值（加速电压一定） 格方程（英国布拉格父子（W.H.Bragg,W.L.Bragg）于 1912 年研究 X 射线衍射时提出）的图解注表示，并最终引出倒易点阵。 （2）爱瓦尔德球（反射球）(P.P.Ewald) 爱瓦尔德将布拉格方程 2dsinθ＝λ改写为：
通常将晶体点阵称作正点阵，将倒易点阵称倒点阵。为了区分两 者，在书写习惯上将倒易点阵有关的方向指数、平面指数，矢量符号 （213） 、G 、 和单位矢量（基矢）都加以“*”号上角标，如[112] 、 a 等。对于倒易矢量[112] 可写成矢量的形式 R *112 ，它是倒易基矢有 如下关系：