用微积分基本定理推导球的体积公式

推导球的体积公式

设球的半径R ，在直角坐标系中画出y =R 的半圆。

将半圆绕x 轴旋转一周，得到的几何体为半径为R 的球。

其体积应满足定积分222200(2)R R V y dx Rx x dx πππ==-⎰

⎰球 这里我们不妨设2()2f x Rx x ππ=- 根据微积分基本定理()()()b a Q f x dx F b F a ==-⎰，'()()F x f x =

可知积分的区间为[0,2]R 。

因为2'()()2F x f x Rx x ππ==-，所以32()3x F x Rx ππ=-

+ （根据求导法则，若2'()f x x =，则31()3f x x =；同理'()f x x =可得21()2

f x x =） 所以3223330(2)84()(2)(0)(2)4333R

R f x dx F R F R R R R R πππππ=-=-

+=-+=⎰ 因此，343V R π=球