几种函数增长快慢的比较
高中数学人教A版必修一教案：3.2.1几种函数增长快慢的比较
3.2.1 几种函数增长快慢的比较（一）教学目标1．知识与技能（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律2．过程与方程利用函数图象，借助计算机列出自变量和函数值的对照表，比较几种常用函数增长的快慢，从而熟知常见函数增长快慢的一般性结论.3．情感、态度与价值观通过几种常见函数增长快慢的比较，感受“绝对与相对”的内涵和处延，培养思维的发散性.（二）教学重点与难点重点：函数增长快慢比较的常用途径；难点：了解影响函数增长快慢的因素.（三）教学方法合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比是否相同？．实例探究：验证表，进行探究①列表②应用二分法求2x= x2的根，即y = 2x与y = x2的交点横坐标.2．规律总结①一般地，对于指数函数y=a x(a＞1)和幂函数y=x n(n＞0)，在区间(0,)+∞上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0-，当x＞x0时，就会有a x＞x n.②对于对数函数y=log a x(a＞1)和幂函数y= x n(n＞0)在区间(0,)+∞上，随着x的增大，log a x增长得越来越慢.在x的一定变化范围内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.③在区间(0,)+∞上，尽管函数y= a x(a＞1)，y= log a x(a＞1)和y= x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增长，y= a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y= x n(n＞0)的增长速度，而y= log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有log a x＜x n＜a x.y =x20.040.361 1.96 3.24 y=log2x–2.322–0.73700.4850.848 x 2.2 2.6 3.0 3.4…y=2x 4.5956.063810.556…y=x2 4.84 6.76911.56…y=log2x 1.1381.3791.5851.766…②作图③结论x∈R时log2x＜x2，且log2x＜2x.进一步探究y = x2与y = 2x的增长快慢.①列表x01234y=2x124816y=x2014916x5678…y=2x3264128256…y=x225364964…②作图③结论x∈(0，2)时2x＞x2，x∈(2，4)时，2x＜x2，x∈(4,)+∞时2x＞x2巩固练习在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较它们的增长情况：（1）y=0.1e x–三个函数图象如下：进一步熟悉函数增长快慢的比较方法及步骤.100,x ∈[1,10]；（2）y =20ln x +100,x ∈[1,10]；（3）y =20x , x ∈[1,10].由图象可以看到，函数（1）以“爆炸”式的速度增长；函数（2）增长缓慢，并渐渐趋于稳定；函数（3）以稳定的速率增加.课后作业3.2 第一课时 习案学生独立完成巩固知识，培养能力备选例题例1 某人现在一笔资金x 万元用于投资，经过市场调查研究，有三种方案：第一种方案：存入银行，年利润Q 1 = 0.018x ；第二种方案：借给朋友投资，年利润Q 2 = 0.02x + 0.2；第三种方案：办工厂，年利润Q 3 = 0.2x 2 + 2x – 35；问：(1)投资4万元，选择哪种投资方案.(2)投资10万元，选择哪种投资方案.【解析】 (1)投资4万元，则有：Q 1 = 0.072；Q 2 = 0.28；Q 3 = – 23.8，∴Q2＞Q 1＞Q 3∴选择第二种方案(2)投资10万元，则有：Q 1 = 0.18；Q 2 = 0.4；Q 3 = 5，∴Q 3＞Q 2＞Q 1，∴选择第三种方案.例2 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x （分），与通话费y (元)的关系如图所示.（1）分别求出通话费y 1， y 2与通话时间x 之间的函数关系式； （2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.【分析】（1）由图象可设y 1 = k 1x +29，y 2 = k 2x ，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代入y 1，y 2得1211,52k k ==.∴121129,52y x y x =+=.（2）令y 1 = y 2，即112952x x +=，则2963x =.如意卡便民卡当x = 9623时，y1 = y2，两种卡收费一致；当x＜9623时，y1＞y2，即如意卡便宜；当x＞9623时，y1＜y2，即便民卡便宜.【评析】本题中的图形为直线，这就说明变量x，y之间满足一次函数关系，为此可采取待定系数法，求出具体的函数关系式，最后运用方程的思想求出关键点从而使问题得以解决. 图表题目的处理关键就在于正确理解其全部信息，运用合理的方法解决问题.。
函数增长级别
函数增长级别1、阶乘函数阶乘是比指数函数快的函数中增长最慢的。
因为指数函数的增长一直都是以底数的倍数，而阶乘函数的增长是以自然数列为倍数。
0！=1,1！=1,2！=2,3！=6,……n！=n(n-1)！必有3x！>2^x。
2、幂指函数幂指函数就是y=x^x，增长稍快于阶乘，阶乘要从1出发，而幂指直接以底的底次方增长，显然快于阶乘函数。
但是3x！>x^x，而x^x>x！3、幂函数指数函数指y=x^x^n，增长比幂指函数快，其中指数以幂函数的速度增长，而指数函数的指数只是以自然数列增长，说明该函数增长比幂函数快的多。
上面那三个增长率还是菜鸟，还是看下面的。
4、超乘方函数指的是y=x↑↑n，也就是y=x^x^x^x^……^x(n个x相乘方)，其增长速度比幂函数指数函数快。
当n=4,x>3时，该函数值用计算机算不出来。
5、超指数函数指的是y=a↑↑x(a>=2)，x=2时。
y=a^a,x=3时，y=a^a^a,以此下去，超指数函数速度比超乘方要快，y=2↑↑x,x>6,计算机算不出来，而且2↑↑6>1000↑↑3。
6、阶幂函数。
n！(上标)=n^(n-1)^(n-2)^……^2^1，n！=n^(n-1)！阶幂函数的增长率实际上跟超指数是一个等级。
但是3↑↑x已经可以盖往阶幂，而2↑↑x比不过阶幂。
7、阿克曼函数和高德纳函数。
阿克曼函数就是A(m,n)，增长率高，A(4,3)计算机算不出来，实际上阿克曼函数A(m,n)=2(第m级运算)(n+3)-3=2↑(m-2)(n+3)-3，当然，A(a,x)的增长率显然远远不及A(x,a)。
最新湘教版高中数学《几种函数增长快慢的比较》教学课件
一 几种函数增长快慢的比较
当底数a>1时，指数函数y=ax和对数函数y=logax都是增函数；我们早已熟 悉的一次函数y=kx+b，当k>0时也是增函数；幂函数y=xα，当α>0时是［0，+∞) 上的增函数. 这些函数的函数值y都随着自变量x的增长而增长．
增函数的共同特点是，函数值y随着自变量x的增长而增长．同为增长， 但增长的快慢可能不同．这好比赛跑，有冠军亚军，也有排不上名次的．
一 几种函数增长快慢的比较
可见，当幂指数大于1时，不论一次函数的一次项系数和常数项多么大， 只要自变量足够大，幂函数的增长就比一次函数快得多.
类似地，C组的函数总比D组增长得快． 总之，指数增长最快，对数增长最慢．
在区间(0，＋∞)上，a>1， a>0，总会存在一个x0，当x> x0时，就有logax<xa<ax.
一 几种函数增长快慢的比较
同一组的比赛容易分出高低，看图便知分晓． 从图4.5-2(1)看出，A组内，a越大跑得越快；E组内，a越小跑得越快． 从图4.5-2(2)看出，B组和D组一起比赛，都是α越大跑得越快．
图4.5-2
一 几种函数增长快慢的比较
现在来看C组，一次函数y＝kx＋b (k>0). 如果两个一次函数的一次项系数相等，只有常数项不同，则两个函数的差是常 数．起跑时在前面的永远在前面，领先距离永远不变．从图象上看，是两条平行直 线． 如果两个一次函数的一次项系数不相等，系数大的跑得就快．不管起跑时落后 有多少，系数大的总能后来居上，而且将遥遥领先．在方格纸上画几个一次函数的 图象便能看出这个规律. 小组选拔赛的情形一目了然．组与组之间的比赛呢？ 上面已经对B，D两组做了比较．
函数增长速度比较总结
函数增长速度比较总结函数是数学中的一种重要概念，它描述了数值之间的关系和规律。
而函数的增长速度则是衡量函数增长的快慢以及趋势的指标。
在数学和计算机科学领域，我们常常需要比较不同函数的增长速度，以便更好地理解和分析它们的特性。
本文将总结几种常见的函数增长速度，并进行比较和讨论。
一、常数函数常数函数是指函数的输出在任何输入下都保持不变。
它的增长速度非常稳定，不论输入的大小如何，输出都保持不变。
因此，常数函数的增长速度是最慢的，即O(1)。
二、线性函数线性函数是指函数的输出与输入之间存在着一种简单的一比一的关系。
线性函数的增长速度随着输入的增加而线性增长，所以它的增长速度为O(n)，其中n表示输入的大小。
三、对数函数对数函数是指函数的输入与输出之间存在着一种指数关系，即x = log(base, y)。
对数函数的增长速度比线性函数慢，但比常数函数快。
通常来说，对数函数的增长速度被称为次线性增长，记作O(log n)。
四、指数函数指数函数是指函数的输出与输入之间存在着一种指数级别的关系，即y = base^x，其中base是底数。
指数函数的增长速度非常快，随着输入值的增加，输出呈指数级别的增长。
因此，指数函数的增长速度被称为指数增长，记作O(base^n)。
五、多项式函数多项式函数是指由多个项构成的函数，每个项包含一个系数和一个指数幂。
多项式函数的增长速度是根据指数幂的大小来确定的。
在多项式函数中，我们通常关注最高次项，因为它决定了函数的增长趋势。
多项式函数的增长速度随着最高次项的指数增加而增加，因此它的增长速度被称为多项式增长，记作O(n^k)，其中n表示输入的大小，k表示最高次项的指数。
尽管上述函数增长速度有明显的差异，但在实际应用中，它们往往都被用来分析算法的复杂度或者描述问题的规模。
常数函数和线性函数的增长速度相对较慢，适用于处理规模较小的问题。
对数函数的增长速度次于线性函数，适用于处理规模稍大的问题。
几种函数增长快慢的比较正式版.pdf
x在
4
[0 ， +∞）上的图象，说明
在不同区间内， 函数增长的
师：增函数的共同特点是函数值 y 随自变量 x 的增长而增长， 但不同 函数在同一区间内的增长快慢是 否相同？
快慢情况 .
师 生 合作 观 察 研究 函 数
提出问题 引入课题
在同一坐标中函数图象如
下 y
x y
4
y yx
结论O ：若 0＜ x＜1166 则 x
较它们的增长情况： （ 1）y=0.1ex–100,x∈ [1,10] ； （ 2）y=20ln x+100, x∈ [1,10] ； （ 3） y=20x, x∈ [1,10].
由图象可以看到， 函数（ 1）以“爆
进一步熟悉 函数增长快 慢的比较方 法及步骤 .
炸”式的速度增长；函数（ 2）增
长缓慢，并渐渐趋于稳定； 函数（ 3） 以稳定的速率增加 .
x x
4
若 x＞ 16 则 x x 4
x y 与y
4
x 的增长快慢 .
① x∈ (0，16)时， y x 的图象在
x y 图象上方
4 可知 y x 增长较快
② x (16, ) 时， y x 的图在 x
y 图象下方， 4
由问题 引入课题， 激 发学习兴趣 .
可知 y
x 增长较快
4
幂、指对函 数增 长快 慢比 较形 成比 较方 法.
②作图
logax (a＞1) 的增长速度则会 越来越慢 . 因此，总会存在
一个 x0，当 x＞ x0 时，就有
log
ax
＜
xn＜
a
x
.
③结论 x∈(0，2)时 2x＞ x2，x∈ (2， 4)时， 2x＜ x2，x∈ (4, ) 时 2x＞ x2
指数函数对数函数幂函数增长的比较老师版本
1．三种函数的增长特点(1)当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．(2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．2．三种函数的增长比较在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y＝x n(n＞0)，指数函数y＝a x(a＞1)增长的快慢交替出现，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．一般地，若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定有a x＞x n＞log a x.[小问题·大思维]1．2x＞log2x，x2＞log2x，在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：结合图像知一定成立．2．2x＞x2在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：不一定，当0＜x＜2和x＞4时成立，而当2＜x＜4时，2x＜x2.[研一题][例1] 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x0510********关于x呈指数型函数变化的变量是________．[自主解答] 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．[答案] y2[悟一法]解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断．[通一类]1．下面是f(x)随x的增大而得到的函数值列表：试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长的快慢有什么不同？解：(1)随x的增大，各函数的函数值都在增大；(2)由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f(x)＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小.[研一题][例2] 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？[自主解答] 设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N)．＋作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.天数1234567891011…累积收益方案一4080120160200240280320360400440…二，投资十一天及其以上，应选方案三．[悟一法](1)解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系．(2)一般地：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．[通一类]2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本． 解：(1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c ，108＝a ×1102＋b ×110＋c ，150＝a ×2502＋b ×250＋c .解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252；(2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100，∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.若x 2＜logm x 在x ∈(0，12)内恒成立，求实数m 的取值范围．[巧思] 将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在(0，12)内的上下位置关系，再构建不等式求解．[妙解] 设y 1＝x 2，y 2＝log m x ，作出符合题意的两函数的大致图像(如图)，可知0＜m ＜1.当x ＝12时，y 1＝14，若两函数在x ＝12处相交，则y 2＝14.由14＝log m 12得m ＝116，又x 2＜logm x 在x ∈(0，12)内恒成立，因此，实数m 的取值范围为116≤m ＜1.1．下面对函数f (x )＝log 12x 与g (x )＝(12)x 在区间(0，＋∞)上的增减情况的说法中正确的是( )A ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越快B ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越慢C ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越慢D．f(x)的增减速度越来越快，g(x)的增减速度越来越快答案：C2．下列所给函数，增长最快的是( )A．y＝5x B．y＝x5C．y＝log5x D．y＝5x 答案：D3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x) C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x 答案：C4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图像，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图像在函数g(x)＝2x图像的上方，则f(x)＞g(x)．答案：f(x)＞g(x) 5．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%，则(q%)50＝0.9，∴q%＝0.9150，∴x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.9x50.答案：y＝0.9x50·m6．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x；(2)当x＜x1时，g(x)＞f(x)；当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)；当x＞x2时，g(x)＞f(x)．一、选择题1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )A ．y ＝10xB ．y ＝lg xC ．y ＝x 10D ．y ＝10x 答案：D 2．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被的面积可增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的大致图像为( )解析：y ＝f (x )＝(1＋10.4%)x ＝1.104x 是指数型函数，定义域为{0，1，2，3，4…}，由单调性，结合图像知选D.答案：D3．函数y ＝2x －x 2的图像大致是( )解析：由图像可知，y ＝2x 与y ＝x 2的交点有3个，说明函数y ＝2x －x 2与x 轴的交点有3个，故排除B 、C 选项，当x <x 0时，有x 2>2x 成立，即y <0，故排除D.答案：A4．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的大小关系是( ) A ．h (x )＜g (x )＜f (x ) B ．h (x )＜f (x )＜g (x ) C ．g (x )＜h (x )＜f (x )D ．f (x )＜g (x )＜h (x )解析：在同一坐标下作出函数f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的图像，由图像知，D 正确．答案：D二、填空题5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2004年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2014年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________． 答案：y ＝15(1＋x )106．在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y ＝f (x )的图像恰好经过k 个格点，则称函数y ＝f (x )为k 阶格点函数，则下列函数中为一阶格点函数的序号是________．①y ＝x 2；②y ＝x －1；③y ＝e x －1；④y ＝log 2x .解析：这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况．显然①④都有无数个格点；②有两个格点(1，1)，(－1，－1)；而③y ＝e x －1除了(0，0)外，其余点的坐标都与e 有关，所以不是整点，故③符合．答案：③7．若a ＝(35)x ，b ＝x 3，c ＝log 35x ，则当x ＞1时，a ，b ，c 的大小关系是________．解析：∵x ＞1，∴a ＝(35)x ∈(0，1)，b ＝x 3∈(1，＋∞)，c ＝log 35x ∈(－∞，0)．∴c ＜a ＜b .答案：c ＜a ＜b8．已知a ＞0，a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，作出函数y 1＝x 2，y 2＝a x 的图像：要使x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，只要当x ＝－1时有(－1)2－a －1≤12，解得a ≤2，∴1＜a ≤2.当0＜a ＜1时，同理，只需12－a 1≤12，即a ≥12. ∴12≤a ＜1. 综上所述，a 的取值范围是[12，1)∪(1，2]． 答案：[12，1)∪(1，2]三、解答题9．一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事．一个叫吉米的人对他说：“我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍”．迈克非常高兴，他同意订立这样的合同． 试通过计算说明，谁将在合同中获利？解：在一个月(按31天计算)的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到31×10＝310(万元)．而吉米，第一天得到1分， 第二天得到2分， 第三天得到4分， 第四天得到8分， 第20天得到219分， ……第31天得到230分，使用计算器计算可得1＋2＋4＋8＋16＋…＋230＝2 147 483 647分≈214 7.48(万元)． 所以在这份合同中吉米纯获利2 147.48－310＝1 837.48(万元)．所以吉米将在合同中获利．10．某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y (万元)随销售利润x (万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x ，其中哪个模型能符合公司的要求？解：借助计算器或计算机作出函数y ＝5，y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x 的图像(如图)，观察图像发现，在区间[10，1 000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x 的图像都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图像始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万． 对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10，1 000]上单调递增，当x ∈(20，1 000)时，y ＞5，因此该模型不符合要求；对于模型y ＝1.002x ，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10，1 000]上单调递增，因此当x ＞x 0时，y ＞5，因此该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10，1 000]上单调递增，而且当x ＝1 000时，y ＝log 71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈[10，1 000]时，是否有y x＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10，1 000]． 利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像(如图)，由图像可知它是单调递减的，因此f (x )＜f (10)≈－0.316 7＜0，log 7x ＋1＜0.25x .所以，当x ∈[10，1 000]时，log 7x ＋1x＜0.25.说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司要求．。
高一数学几种函数增长快慢的比较
3.2.1 几种函数增长快慢的比较（一）教学目标1．知识与技能（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律2．过程与方程利用函数图象，借助计算机列出自变量和函数值的对照表，比较几种常用函数增长的快慢，从而熟知常见函数增长快慢的一般性结论.3．情感、态度与价值观通过几种常见函数增长快慢的比较，感受“绝对与相对”的内涵和处延，培养思维的发散性.（二）教学重点与难点重点：函数增长快慢比较的常用途径；难点：了解影响函数增长快慢的因素.（三）教学方法合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力..数图象如下则内的增长快慢是否相同？.图象上方增长较快图象下方，.表比较、验证列表，进行探究①列表②作图.．规律总结.③结论.∈(0，2)时.由图象可以看到，函数（以“爆炸”式的速度增长；例1 某人现在一笔资金x万元用于投资，经过市场调查研究，有三种方案：第一种方案：存入银行，年利润Q1 = 0.018x；第二种方案：借给朋友投资，年利润Q2 = 0.02x + 0.2；第三种方案：办工厂，年利润Q 3 = 0.2x 2 + 2x – 35； 问：(1)投资4万元，选择哪种投资方案. (2)投资10万元，选择哪种投资方案. 【解析】 (1)投资4万元，则有： Q 1 = 0.072；Q 2 = 0.28；Q 3 = – 23.8， ∴Q 2＞Q 1＞Q 3 ∴选择第二种方案(2)投资10万元，则有：Q 1 = 0.18；Q 2 = 0.4；Q 3 = 5， ∴Q 3＞Q 2＞Q 1， ∴选择第三种方案.例2 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x （分），与通话费y (元)的关系如图所示.（1）分别求出通话费y 1， y 2与通话时间x 之间的函数关系式； （2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.【分析】（1）由图象可设y 1 = k 1x +29，y 2 = k 2x ，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代入y 1，y 2得1211,52k k ==.∴121129,52y x y x =+=.如意便民（2）令y 1 = y 2，即112952x x +=，则2963x =.当x = 9623时，y 1 = y 2，两种卡收费一致；当x ＜9623时，y 1＞y 2，即如意卡便宜；当x ＞9623时，y 1＜y 2，即便民卡便宜.【评析】本题中的图形为直线，这就说明变量x ，y 之间满足一次函数关系，为此可采取待定系数法，求出具体的函数关系式，最后运用方程的思想求出关键点从而使问题得以解决. 图表题目的处理关键就在于正确理解其全部信息，运用合理的方法解决问题.。
高中教育数学必修第一册湘教版《4.5.1 几种函数增长快慢的比较》教学课件
方案二 5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米).
因为15.386>15，所以方案二较好．
题．(数学抽象)
3．了解拟合函数模型过程并能灵活应用解决实际问题．(数学抽象、
逻辑推理)
4．会建立函数模型解决实际问题，并能对不同的函数模型进行选择、
比较，用最恰当的函数模型解决实际问题．(数学建模、数学运算)
要点
教材要点
三种函数增长快慢的比较
函数
性质
在(0，＋∞)
上的增减性
增长速度
图象的
变化
值得比较
阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，
常称之为“蜗牛式增长”．
基础自测
1.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝log 1 的衰减速度越来越慢．（ √ ）
2
（2）函数y＝lg x的增长速度越来越快．（ × ）
（3）增长速度不变的函数模型是一次函数模型．（
（4）对任意x∈（0，＋∞），总有2x＞x2.（ × ）
（1）指数函数模型：能用指数型函数f（x）＝abx＋c（a，b，c为常
数，a＞0，b＞1）表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增
大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．
（2）对数函数模型：能用对数型函数f（x）＝mlogax＋n（m，n，a
为常数，m＞0，x＞0，a＞1）表达的函数模型，其增长的特点是开始
答案：D
解析：作出y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象(图略).由图象可知，当x>4时，log2x<x2<2x.
函数增长趋势的快慢的性质
函数增长趋势的快慢的性质
函数增长的快慢性质可以通过函数的导数或者导数的性质来判断。
以下是常见的几种情况：
1. 线性增长：当函数的导数为一个常数时，函数的增长是线性的，即函数的增长速度是固定的。
2. 对数增长：当函数的导数是一个常数和函数自身的乘积时，函数的增长是对数的，即函数的增长速度随函数自身的增长而减小。
3. 多项式增长：当函数的导数是一个多项式时，函数的增长是多项式的，即函数的增长速度和函数自身的增长成正比。
4. 指数增长：当函数的导数是函数自身的常数倍时，函数的增长是指数的，即函数的增长速度随函数自身的增长而增加。
需要注意的是，这些性质仅在函数增长趋向无穷的时候成立，对于有界区间内的函数增长情况，可能存在其他的性质。
此外，函数的增长趋势还受其他因素的影响，如函数的定义域、初始条件等。
因此，在分析函数增长趋势时，需要综合考虑多个因素。
幂函数对数函数指数函数增长速度比较
幂函数对数函数指数函数增长速度比较幂函数、对数函数和指数函数是高中数学中经常涉及的三种基本函数类型。
这三种函数具有不同的定义和性质，它们的增长速度也各不相同。
下面，我将从三个方面分别阐述幂函数、对数函数和指数函数的增长速度及其比较。
一、幂函数的增长速度幂函数的一般形式为y=x^a，其中a为正实数，x为自变量，y为因变量。
当a>1时，幂函数的增长速度比线性函数快，而当0<a<1时，则比线性函数慢。
幂函数随着x的增大而增大，增长速度越来越快，但增长速度的大小与指数a的大小有关。
例如，y=x^2和y=x^3的增长速度比y=x和y=x^1.5快，因为x^2和x^3比x和x^1.5的增长速度更快。
另一方面，y=x^0.5和y=x^0.3的增长速度比y=x慢，因为x^0.5和x^0.3比x的增长速度更慢。
二、对数函数的增长速度对数函数的一般形式为y=loga(x)，其中a为正实数且a ≠ 1，x为正实数。
对数函数随着x的增大而增加，但增长速度非常缓慢。
例如，y=log2(x)和y=log3(x)的增长速度比y=log5(x)和y=log10(x)慢，因为以2或3为底的对数的增长速度比以5或10为底的对数慢。
三、指数函数的增长速度指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为正实数且a ≠ 1，x为自变量。
指数函数随着x的增大而快速增加。
例如，y=2^x和y=3^x的增长速度比y=1.5^x和y=1.1^x快，因为2和3比1.5和1.1更大。
比较三种函数的增长速度根据上述三种函数的增长速度特性，我们可以得出以下结论：1. 当x越来越大时，指数函数的增长速度最快，其次是幂函数，最慢的是对数函数。
2. 如果幂函数和指数函数的底相同，那么指数函数的增长速度比幂函数快。
例如，y=2^x的增长速度比y=x^2的增长速度快。
3. 如果对数函数和指数函数的底相同，那么对数函数的增长速度比指数函数慢。
例如，y=log2(x)的增长速度比y=2^x的增长速度慢。
几种函数增长快慢的比较高一数学总结练习含答案解析D
9. 答案 1 000
解析 由R= (lg E-11.4),得E=1 ,所以 =1 =1 000.
三、解答题
10. 解析 (1)证明:当x≥7时,
f(x+1)-f(x)= .
而当x≥7时,函数y=(x-3)(x-4)单调递增,且(x-3)(x-4)>0,
3.(2014云南玉溪一中二模,★☆☆)若a,b∈R,且a>b,则下列不等式成立的是( )
A. >1B.a2>b2
C.lg(a-b)>0D. <
4.(2014广东高三六校第一次联考,★★☆)若x∈(0,1),则下列结论正确的是( )
A.lg x> >2xB.2x>lg x>
C. >2x>lg xD.2x> >lg x
2.随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度⑧.
函数模型及应用
(2014安徽合肥调研,★☆☆)某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )
故f(x+1)-f(x)单调递减,
∴当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)是单调递减的.
(2)由题意可知0.1+15ln =0.85,
整理得 =e0.05,
解得a= ·6≈20.50×6=123.0∈(121,127].
由此可知,该学科是乙学科.
三、解答题
几种函数增长快慢的比较
g(x)=a·
bx+c(a≠0,b>0,且 b≠1).哪个模型能更好地反映该公司生产量 y 与年份 x 的
关系?
方法指导
要选择最能反映该公司生产量 y 与年份 x 的关系式,应该分析各
函数的变化情况,通过研究这些函数的变化趋势与表格提供的实际数据是否相
增长速度
越来越快
不变
图象
本题考查了数学模型和直观想象的数学核心素养.
越来越慢
课前预学
课堂导学
某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 10.4%,要增长到原来
的 x 倍,需经过 y 年,则函数 y=f(x)的图象大致为( D ).
解析 设该林区森林的原有蓄积量为 a,由题意可得 ax=a(1+0.104)y,故 y=log1.104x(x≥1),
B.y=2021
D.y=2021x
(2)下面对函数 f(x)=log 1 x,g(x)=
2
1
2
与 h(x)=-2x 在区间(0,+∞)上的递减情况说法正确的是( C ).
A.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越慢
B.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越快
际问题.
课堂导学
课前预学
某汽车制造商在 2021 年初公告:公司计划 2021 年的生产目标定
为 43 万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示:
年份
2018
产量
8(万) 18(万) 30(万)
2019
2020
【优质文档】必修1教案3.2.1几种函数增长快慢的比较
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
观察函数 y
x 与y
x在
4
[0， +∞）上的图象，说明
在不同区间内，函数增长
师：增函数的共同特点是函数值 y 随自变量 x 的增长而增长， 但不同 函数在同一区间内的增长快慢是 否相同？
的快慢情况 .
师生合作观察研究函数
提出问题 引入课题
在同一坐标中函数图象如
下 y
x y
x0，当 x＞ x0 时，就会有 loga x ＜ xn. ③在区间 (0, ) 上，尽管 函数 y = ax(a ＞ 1) ， y = logax( a＞1)和 y = xn(n＞0)
都是增函数，但它们的增
③结论
x∈R
时
log 2x＜ x2，且
log
2x＜
x
2
.
进一步探究 y = x2 与 y = 2 x 的增长
②作图
在一个 x0，当 x＞ x0 时，就 会有 ax＞ xn.
②对于对数函数 y=log ax( a ＞ 1)和幂函数 y = xn(n＞0) 在区间 (0, ) 上，随着 x
的增大， logax 增长得越来 越慢 .在 x 的一定变化范围 内， log ax 可能会大于 xn， 但由于 logax 的增长慢于 xn 的增长，因此总存在一个
进一步熟悉 函数增长快 慢的比较方 法及步骤 .
（ 3） y=20 x, x∈ [1,10].
由图象可以看到， 函数（ 1）以“爆
炸”式的速度增长；函数（ 2）增 长缓慢，并渐渐趋于稳定； 函数（ 3） 以稳定的速率增加 .
Hale Waihona Puke 课后作业3.2 第一课时 习案
几种函数增长快慢的比较课件
12 345
4.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)， 设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到( A )
A.300只
B.400只
C.500只
D.600只
解析 由已知第一年有100只，得a＝100.
将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，得y＝300.
谢谢！
由(1)(2)可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量 y与年份x的关系.
规律方法 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求 出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进 而求出待定参数. 2.理解“模型能更好反映该公司年销量y与年份x的关系”的 含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣.
跟踪演练2 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图.
(1)指出C1，C2分别对应图中哪一个函数； 解 由函数图象特征及变化趋势，知 曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1， 曲线C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)， g(x)的大小进行比较). 解 当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)； 当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)； 当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x). 函数g(x)＝0.3x－1呈直线增长，函数f(x)随着x的逐渐增大， 其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长.
x 1 5 10 15
20
25
30
y1 2 26 101 226 401
626
901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
函数增长速度口诀
函数增长速度口诀
摘要：
一、函数增长速度的概念
二、常见函数增长速度的比较
1.线性增长
2.指数增长
3.对数增长
三、函数增长速度的应用
1.实际生活中的例子
2.金融领域的应用
四、如何利用函数增长速度进行决策
1.分析发展趋势
2.预测未来变化
正文：
函数增长速度是描述一个变量随时间变化的速度，通常用导数来表示。
在实际生活中，函数增长速度口诀有助于我们更好地理解各种现象的变化趋势。
首先，我们来了解常见的函数增长速度。
线性增长是指函数的增长速度始终保持恒定，即函数图像是一条直线。
指数增长是指函数的增长速度逐渐加快，即函数图像是一条逐渐上升的曲线。
对数增长是指函数的增长速度逐渐减慢，即函数图像是一条逐渐上升的曲线，但上升速度小于指数增长。
在实际生活中，我们可以通过函数增长速度口诀来分析各种现象。
例如，
在生物领域，种群数量的增长可能呈现指数增长，而在资源有限的情况下，种群数量增长会受到限制，呈现S 型曲线。
在金融领域，投资收益的增长可能呈现指数增长，但在风险管理下，收益增长会受到限制，呈现有波动的增长趋势。
如何利用函数增长速度进行决策呢？首先，我们可以通过分析函数的增长速度，了解其发展趋势。
例如，在金融领域，我们可以根据投资产品的增长速度，判断其风险和收益。
其次，我们可以预测未来的变化。
例如，在环境科学领域，我们可以根据种群增长速度，预测生态系统的稳定性。
几种函数增长快慢的比较解读
3.2.1 几种函数增长快慢的比较（一）教学目标1．知识与技能（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律2．过程与方程利用函数图象，借助计算机列出自变量和函数值的对照表，比较几种常用函数增长的快慢，从而熟知常见函数增长快慢的一般性结论.3．情感、态度与价值观通过几种常见函数增长快慢的比较，感受“绝对与相对”的内涵和处延，培养思维的发散性.（二）教学重点与难点重点：函数增长快慢比较的常用途径；难点：了解影响函数增长快慢的因素.（三）教学方法合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力.否相同？图象上方增长较快图象下方，．实例探究：验证进行探究①列表②作图③结论log2x＜x2，且log进一步探究y = x2与y = 20 1 2 3∈(0，2)时2x＞＜x2，x∈(4,+∞三个函数图象如下：由图象可以看到，函数（1）以“爆例1 某人现在一笔资金x 万元用于投资，经过市场调查研究，有三种方案： 第一种方案：存入银行，年利润Q 1 = 0.018x ；第二种方案：借给朋友投资，年利润Q 2 = 0.02x + 0.2； 第三种方案：办工厂，年利润Q 3 = 0.2x 2 + 2x – 35； 问：(1)投资4万元，选择哪种投资方案. (2)投资10万元，选择哪种投资方案. 【解析】 (1)投资4万元，则有： Q 1 = 0.072；Q 2 = 0.28；Q 3 = – 23.8，∴Q 2＞Q 1＞Q 3 ∴选择第二种方案(2)投资10万元，则有：Q 1 = 0.18；Q 2 = 0.4；Q 3 = 5， ∴Q 3＞Q 2＞Q 1， ∴选择第三种方案.例2 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x （分），与通话费y (元)的关系如图所示.（1）分别求出通话费y 1， y 2与通话时间x 之间的函数关系式； （2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜. 【分析】（1）由图象可设y 1 = k 1x +29，y 2 = k 2x ，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代入y 1，y 2得1211,52k k ==.∴121129,52y x y x =+=.（2）令y 1 = y 2，即112952x x +=，则2963x =.当x = 9623时，y 1 = y 2，两种卡收费一致；当x ＜9623时，y 1＞y 2，即如意卡便宜；当x ＞9623时，y 1＜y 2，即便民卡便宜.【评析】本题中的图形为直线，这就说明变量x ，y 之间满足一次函数关系，为此可采取待如意卡便民卡定系数法，求出具体的函数关系式，最后运用方程的思想求出关键点从而使问题得以解决. 图表题目的处理关键就在于正确理解其全部信息，运用合理的方法解决问题.。
《几种函数增长快慢的比较》教学设计
《几种函数增长快慢的比较》教学设计教学设计主题：几种函数增长快慢的比较教学目标：1.理解函数的增长速度与其对应的函数式的关系。
2.掌握常见函数的增长速度。
3.能够通过函数的式子判断其增长速度的快慢。
教学时长：2课时教学内容与步骤：第一课时：步骤1：导入教师可以从生活中的例子引入函数增长速度的概念，例如：小明铺路的速度和小红铺路的速度谁更快？学生分析可能会涉及到铺的道路长度和时间的关系，即铺路速度问题，引出函数增长速度的概念。
步骤2：探究不同函数式的增长速度教师呈现不同函数式，例如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等，以及它们的图像，并让学生观察和分析函数图像的特点。
步骤3：分组探究将学生分为小组，每个小组选一种函数式进行深入探究。
要求学生根据给定的函数式列出函数值的表格，然后绘制函数图像，并观察图像变化的规律。
步骤4：小组讨论每个小组派代表进行汇报，让他们解释他们所选函数式的增长速度快慢的原因，并与其他小组一起讨论函数图像的特点以及与函数式的关系。
步骤5：引导总结引导学生总结不同函数式的增长速度和函数图像的特点，归纳出函数式与增长速度的关系。
第二课时：步骤1：复习复习前一节课学习的内容，引导学生回忆函数式的增长速度与函数图像的特点。
步骤2：应用实例通过给出一些应用实例，让学生利用所学的知识判断函数增长速度的快慢，并解决实际问题。
步骤3：练习与讨论将学生分为小组，每个小组解决一个函数增长速度的问题，并进行小组讨论。
教师可以选择一些学生解答正确且观点独到的问题进行展示和点评。
步骤4：知识归纳与总结教师引导学生根据以上实例和讨论的结果，总结不同函数式增长速度的规律，并与学生进行讨论和验证。
步骤5：拓展与应用给学生提供一些拓展问题，例如：如何判断两个函数哪个增长速度更快？如何利用函数式判断函数的增长速度？让学生进行拓展思考和应用训练。
教学资源和评价方法：资源：教师准备多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数的图像，以及实际应用的问题和例子。
几种函数增长快慢的比较
3.2.1 几种函数增长快慢的比较（一）教学目标1．知识与技能（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律2．过程与方程利用函数图象，借助计算机列出自变量和函数值的对照表，比较几种常用函数增长的快慢，从而熟知常见函数增长快慢的一般性结论.3．情感、态度与价值观通过几种常见函数增长快慢的比较，感受“绝对与相对”的内涵和处延，培养思维的发散性.（二）教学重点与难点重点：函数增长快慢比较的常用途径；难点：了解影响函数增长快慢的因素.（三）教学方法合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力.教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题引入课题观察函数4xy y x==与在[0，+∞）上的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况.在同一坐标中函数图象如下师：增函数的共同特点是函数值y随自变量x的增长而增长，但不同函数在同一区间内的增长快慢是否相同师生合作观察研究函数4xy y x==与的增长快慢.①x∈(0，16)时，y x=的图象在由问题引入课题，激发学习兴趣.y x=y4xy=yxO16结论：若0＜x ＜16则4x x >若x ＞16则4xx <4xy =图象上方可知y x =增长较快②(16,)x ∈+∞时，y x =的图在4xy =图象下方，可知4xy =增长较快 幂、指对函数增长快慢比较形成比较方法.1．实例探究：比较函数y =2x，y = x 2，y = log 2x 的增长快慢.方法：①作图，列表比较、验证②应用二分法求2x = x 2的根，即y = 2x 与y = x 2的交点横坐标.2．规律总结①一般地，对于指数函数y =a x (a ＞1)和幂函数y =x n (n ＞0)，在区间(0,)+∞上，无论n 比a 大多少，尽管在x 的一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x 的增长快于x n 的增长，因此总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有a x＞x n.②对于对数函数y =log a x (a ＞1)和幂函数y = x n(n ＞师生合作：借助计算机作图，列表，进行探究①列表x y =2x2 y =x 2 1 y =log 2x – – 0 x… y =2x 8…y =x 2 9 … y =log 2x…②作图③结论x ∈R 时log 2x ＜x 2，且log 2x ＜2x .进一步探究y = x 2与y = 2x的增长快慢.由特殊到一般探究规律0)在区间(0,)+∞上，随着x 的增大，log a x增长得越来越慢.在x的一定变化范围内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.③在区间(0,)+∞上，尽管函数y = a x(a＞1)，y = log a x(a＞1)和y = x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x 的增长，y= a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y = x n(n＞0)的增长速度，而y= log a x(a ＞1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有log a x ＜x n＜a x.①列表x01234y=2x124816y=x2014916x5678…y=2x3264128256…y=x225364964…②作图③结论x∈(0，2)时2x＞x2，x∈(2，4)时，2x＜x2，x∈(4,)+∞时2x＞x2巩固练习在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较它们的增长情况：（1）y=–100,x∈[1,10]；三个函数图象如下：进一步熟悉函数增长快慢的比较方法及步骤.（2）y =20ln x +100,x ∈[1,10]；（3）y =20x , x ∈[1,10].由图象可以看到，函数（1）以“爆炸”式的速度增长；函数（2）增长缓慢，并渐渐趋于稳定；函数（3）以稳定的速率增加.课后作业第一课时 习案学生独立完成巩固知识，培养能力备选例题例1 某人现在一笔资金x 万元用于投资，经过市场调查研究，有三种方案： 第一种方案：存入银行，年利润Q 1 = ； 第二种方案：借给朋友投资，年利润Q 2 = + ； 第三种方案：办工厂，年利润Q 3 = + 2x – 35； 问：(1)投资4万元，选择哪种投资方案. (2)投资10万元，选择哪种投资方案. 【解析】 (1)投资4万元，则有：Q 1 = ；Q 2 = ；Q 3 = – ，∴Q 2＞Q 1＞Q 3 ∴选择第二种方案(2)投资10万元，则有：Q 1 = ；Q 2 = ；Q 3 = 5， ∴Q 3＞Q 2＞Q 1， ∴选择第三种方案.例2 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x （分），与通话费y (元)的关系如图所示.如意卡便民卡（1）分别求出通话费y 1， y 2与通话时间x 之间的函数关系式； （2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.【分析】（1）由图象可设y 1 = k 1x +29，y 2 = k 2x ，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代入y 1，y 2得1211,52k k ==.∴121129,52y x y x =+=.（2）令y 1 = y 2，即112952x x +=，则2963x =.当x = 9623时，y 1 = y 2，两种卡收费一致；当x ＜9623时，y 1＞y 2，即如意卡便宜；当x ＞9623时，y 1＜y 2，即便民卡便宜.【评析】本题中的图形为直线，这就说明变量x ，y 之间满足一次函数关系，为此可采取待定系数法，求出具体的函数关系式，最后运用方程的思想求出关键点从而使问题得以解决. 图表题目的处理关键就在于正确理解其全部信息，运用合理的方法解决问题.。
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§3.2.1几种函数增长快慢的比较
教学目标：（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法
（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律
教学重点与难点：
重点：函数增长快慢比较的常用途径； 难点：了解影响函数增长快慢的因素. 教学方法：
合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法。
教学过程：
一、提出问题引入课题
观察函数4
x
y y ==与在 [0，+∞）上的图象，说明在不同区间内，
函数增长的快慢情况.在同一坐标中函数图象如右：
结论：若0＜x ＜16
4x > 若x ＞16
4
x
师：增函数的共同特点是函数值y 随自变量x 的增长而增长，但不同函数在同一区间内的增长快慢是
否相同
师生合作观察研究函数4
x y y ==与的增长快慢. ①x ∈(0，16)
时，y =的图象在4
x
y =
图象上方可知y =增长较快 ②(16,)x ∈+∞
时，y 的图在4x y =
图象下方，可知4
x
y =增长较快 二、问题引入课题，激发学习兴趣.
幂、指对函数增长快慢比较形成比较方法. 1．实例探究：
比较函数y =2x ，y = x 2
，y = log 2x 的增长快慢. 方法：①作图，列表比较、验证
②应用二分法求2x = x 2的根，即y = 2x 与y = x 2
的交点横坐标. 2．规律总结
①一般地，对于指数函数y =a x (a ＞1)和幂函数y =x n
(n ＞0)，在区间(0,)+∞上，无论n 比a 大多少，尽管在x 的一定变化范围内，a x
会小于x n
，但由于a x
的增长快于x n
的增长，因此
总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有a x ＞x n
. ②对于对数函数y =log a x (a ＞1)和幂函数y = x n (n ＞0)在区间(0,)+∞上，随着x 的增大，log a x 增长得越来越慢.在x 的一定变化范围内，log a x 可能会大于x n
，但由于log a x 的增长慢于x
n
的增长，因此总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有log a x ＜x n
.
③在区间(0,)+∞上，尽管函数y = a x (a ＞1)，y = log a x (a ＞1)和y = x n
(n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x 的增长，y = a x
(a ＞1)的增长
速度越来越快，会超过并远远大于y = x n
(n ＞0)的增长速度，而y = log a x (a ＞1)的增长速
度则会越来越慢.因此，总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，就有log a x ＜x n ＜a x
. 师生合作：借助计算机作图，列表，进行探究
①列表
x
y =2x2
y =x21
y=log2x––0
x…
y=2x 8…
y=x29…
y=log2x…
②作图
③结论
x∈R时log2x＜x2，且log2x＜2x.
进一步探究y = x2与y = 2x的增长快慢.
①列表
x01234
y=2x124816
y=x2014916
x5678…
y=2x3264128256…
y=x225364964…
②作图
③结论x∈(0，2)时2x＞x2，x∈(2，4)时，2x＜x2，x∈(4,)
时2x＞x2
由特殊到一般探究规律
巩固练习
在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较其的增长情况：
（1）y=–100,x∈[1,10]；
（2）y=20ln x+100,x∈[1,10]；
（3）y=20x, x∈[1,10].
三个函数图象如下：
由图象可以看到，函数（1）
以“爆炸”式的速度增长；函
数（2）增长缓慢，并渐渐趋
于稳定；函数（3）以稳定的
速率增加.进一步熟悉函数增长快慢的比较方法及步骤.。