几种函数增长快慢的比较

§3.2.1几种函数增长快慢的比较

教学目标：（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法

（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律

教学重点与难点：

重点：函数增长快慢比较的常用途径； 难点：了解影响函数增长快慢的因素. 教学方法：

合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法。

教学过程：

一、提出问题引入课题

观察函数4

x

y y ==与在 [0，+∞）上的图象，说明在不同区间内，

函数增长的快慢情况.在同一坐标中函数图象如右：

结论：若0＜x ＜16

4x > 若x ＞16

4

x

师：增函数的共同特点是函数值y 随自变量x 的增长而增长，但不同函数在同一区间内的增长快慢是

否相同

师生合作观察研究函数4

x y y ==与的增长快慢. ①x ∈(0，16)

时，y =的图象在4

x

y =

图象上方可知y =增长较快 ②(16,)x ∈+∞

时，y 的图在4x y =

图象下方，可知4

x

y =增长较快 二、问题引入课题，激发学习兴趣.

幂、指对函数增长快慢比较形成比较方法. 1．实例探究：

比较函数y =2x ，y = x 2

，y = log 2x 的增长快慢. 方法：①作图，列表比较、验证

②应用二分法求2x = x 2的根，即y = 2x 与y = x 2

的交点横坐标. 2．规律总结

①一般地，对于指数函数y =a x (a ＞1)和幂函数y =x n

(n ＞0)，在区间(0,)+∞上，无论n 比a 大多少，尽管在x 的一定变化范围内，a x

会小于x n

，但由于a x

的增长快于x n

的增长，因此

总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有a x ＞x n

. ②对于对数函数y =log a x (a ＞1)和幂函数y = x n (n ＞0)在区间(0,)+∞上，随着x 的增大，log a x 增长得越来越慢.在x 的一定变化范围内，log a x 可能会大于x n

，但由于log a x 的增长慢于x

n

的增长，因此总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有log a x ＜x n

.

③在区间(0,)+∞上，尽管函数y = a x (a ＞1)，y = log a x (a ＞1)和y = x n

(n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x 的增长，y = a x

(a ＞1)的增长

速度越来越快，会超过并远远大于y = x n

(n ＞0)的增长速度，而y = log a x (a ＞1)的增长速

度则会越来越慢.因此，总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，就有log a x ＜x n ＜a x

. 师生合作：借助计算机作图，列表，进行探究

①列表

x

y =2x2

y =x21

y=log2x––0

x…

y=2x 8…

y=x29…

y=log2x…

②作图

③结论

x∈R时log2x＜x2，且log2x＜2x.

进一步探究y = x2与y = 2x的增长快慢.

①列表

x01234

y=2x124816

y=x2014916

x5678…

y=2x3264128256…

y=x225364964…

②作图

③结论x∈(0，2)时2x＞x2，x∈(2，4)时，2x＜x2，x∈(4,)

时2x＞x2

由特殊到一般探究规律

巩固练习

在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较其的增长情况：

（1）y=–100,x∈[1,10]；

（2）y=20ln x+100,x∈[1,10]；

（3）y=20x, x∈[1,10].

三个函数图象如下：

由图象可以看到，函数（1）

以“爆炸”式的速度增长；函

数（2）增长缓慢，并渐渐趋

于稳定；函数（3）以稳定的

速率增加.进一步熟悉函数增长快慢的比较方法及步骤.