人教版初中数学九年级中考复习专题(中考复习) 相似三角形的模型总结(39张ppt)
相似知识点总结中考
相似知识点总结中考1. 相似三角形相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
当两个三角形的对应角度相等时，它们就是相似三角形。
相似三角形有以下性质：- 对应边的比例相等：如果两个三角形ABC和DEF是相似的，那么它们对应边的长度之比相等，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。
- 相似三角形的高线、中线和角平分线的比例：在相似三角形中，高线、中线和角平分线的比例等于相似三角形任意两条对应边的比例。
2. 相似多边形相似多边形是指具有相同形状但大小不同的多边形。
当两个多边形的对应角度相等且对应边的比例相等时，它们就是相似多边形。
相似多边形的性质与相似三角形类似，对应边的比例相等。
3. 相似图形的应用相似图形在生活和工作中有着广泛的应用，例如地图上的放大和缩小、相似三角形的测量、相似多边形的制图等。
4. 相似比相似比是指两个相似图形中对应边的比值。
在相似图形中，对应边的比值即为相似比。
当两个图形相似时，它们的相似比是相等的。
5. 直角三角形的三线比在直角三角形中，三线比是指三角形的三条高、中线和角平分线之间的比例关系。
在相似直角三角形中，三线比仍然成立。
6. 相似多边形的计算在计算相似多边形的过程中，可以利用相似三角形和相似比的性质，通过对应边的比例关系来求解未知变量。
7. 相似图形的证明在证明相似图形时，可以利用对应角度相等和对应边的比例相等的性质来进行推导和证明。
8. 相似图形的判定判定两个图形是否相似，需要验证它们的对应角度是否相等，对应边的比例是否相等，从而得出相似的结论。
9. 相似图形的变换相似图形的变换是指对已知图形进行等比例放大或缩小，保持图形的形状不变。
通过相似变换，可以得到不同大小的相似图形。
10. 相似图形的应用实例相似图形在生活中有着广泛的应用，例如建筑制图、地图测量、影视特效等方面都有相似图形的应用。
以上是关于相似知识点的总结，希望对你有所帮助。
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∴AADE＝BCDE，AADE＝AABC，BCDE＝AABC.
方法提炼
2.
双A型 ∵DE∥BC，∴DEFF＝BCGG，BDGF＝CEGF .
双X型
方法提炼
3.
反 A 共角型 若已知∠1＝∠B(或∠ADE＝∠C)． 可证得△ADE∽△ACB. ∴AADC＝AABE＝DCBE(或 AD·AB＝AE·AC)．
(1)求证：△ABD∽△DCE； (2)当 DE∥AB 时(如图 2)，求 AE 的长； (3)点 D 在 BC 边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得 DF＝CF？若存 在，求出此时 BD 的长；若不存在，请说明理由．
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6.
方法提炼
燕尾型 过 A，B，C，D，E 和 F 每个点可以作 2 条平行线，共作 12 条辅 助线．每条辅助线得到两个“A 字型”或“X 字型”．
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课堂精讲
【解】(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵∠ADE＋∠CDE＝∠B＋∠ BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE.∴△BAD∽△DCE.
(2)如图，作 AM⊥BC 于 M.在 Rt△ABM 中，设 BM＝4k，
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中考相似模型知识点总结
中考相似模型知识点总结一、相似概念相似是指两个图形，在形状上虽然不同，但其形状结构、比例尺寸、角度大小等方面存在一定的对应关系，因而可以通过某种变换，将一个图形变为另一个图形。
相似图形具有诸如角对应相等、对应边成比例等性质。
相似是几何中的重要概念，不仅在理论研究中有重要应用，而且在实际生活和各类工程设计中也有广泛应用。
二、相似三角形的判定1. AAA判定若两个三角形的对应角相对应相等，则这两个三角形是相似的。
2. AA相似判定若两个三角形中各对应角都相等，则这两个三角形是相似的。
3. SAS相似判定若两个三角形中有一对对应的角相等，而他们的对应的两边成比例，则这两个三角形是相似的。
4. SSS相似判定若两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
三、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角相等在两个相似三角形ABC和A′B′C′中，对应角A和A′、对应角B和B′、对应角C和C′是相等的。
2. 相似三角形的对应边成比例在两个相似三角形ABC和A′B′C′中，AB/AC=A′B′/A′C′、BC/AC=B′C′/A′C′、AB/BC=A′B′/B′C′。
3. 相似三角形的高成比例在两个相似三角形ABC和A′B′C′中，AA′/BB′=CC′/A′C′。
4. 相似三角形的面积成比例在两个相似三角形ABC和A′B′C′中，S(ABC)/S(A′B′C′)=AB²/A′B′²。
四、相似折线的性质1. 相似折线的顶角相等在相似折线中，对应顶点的角相等。
2. 相似折线的对应边成比例在相似折线中，对应边的长度成比例。
五、相似几何图形的相似比相似图形的对应边的成比例值叫做相似比。
相似比在数学中有重要的应用，通过相似比我们可以计算图形的缩放比例、面积比例等。
六、相似变换相似变换是指一个原图形经过某种变换，变为另一个图形。
相似变换包括平移、旋转、放缩等，通过这些变换我们可以得到相似图形。
七、相似图形的应用1. 在建筑设计中在建筑设计中，通过相似图形的知识可以实现建筑设计的比例缩放，确保建筑的各个部分比例协调，美观大方。
初中数学相似三角形模型总结
初中数学相似三角形模型总结数学这门学科，说简单也简单，说难也难。
有时候，一些看似抽象的概念一旦掌握了，就会觉得它们其实挺有趣的。
今天，我们要聊的就是相似三角形这个话题。
别着急，听我慢慢说，相信我，搞懂它们其实比你想象的要容易得多。
1. 相似三角形的基本概念1.1 什么是相似三角形？大家都知道，三角形有各种各样的样子，有的胖，有的瘦，有的高，有的矮。
但不管它们的外形如何，只要它们的角度相同，比例也保持一致，那它们就是相似三角形。
换句话说，就是这些三角形看起来像是放大或缩小版的关系。
1.2 为什么要学习相似三角形？可能有同学会问，这些三角形和我们的生活有什么关系？其实，了解相似三角形能帮助我们解决很多实际问题，比如测量远处物体的高度或距离，甚至能帮助我们设计一些简单的模型。
相似三角形的知识不仅能帮我们在考试中得高分，还能在生活中找到实际的应用。
2. 相似三角形的判定条件2.1 角角相似（AA）这是最基本的相似三角形判定方法。
只要两个三角形的两个角相等，那这两个三角形就是相似的。
这就像两个镜子前的自己，只要你转身的角度一样，镜子中的影像也会一样。
用公式来讲，角角相似就是：如果 (angle A = angle A') 和 (angle B = angle B')，那么△ABC ~ △A'B'C'。
2.2 边角边相似（SAS）另一种情况是，一个三角形的两边分别和另一个三角形的两边成比例，同时夹角也相等。
那么这两个三角形也是相似的。
简单来说，就像你用尺子量了一下两个三角形的边，再确认它们之间的夹角也是一致的，那么这两个三角形就是相似的。
2.3 边边边相似（SSS）如果两个三角形的三边分别成比例，那这两个三角形也是相似的。
想象一下，你有两个相同的形状的三角形，但是一个比另一个大，那它们之间的边的长度比例也应该是一样的。
这种情况下，三角形之间的相似性就完全取决于边的比例关系了。
九年级数学相似三角形知识点汇总参考(搜集整理全面细致)
.
（ 5）平行线分线段成比例定理 ：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例
.
（ 6）平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在
另一条直线上截得的线段也相等 .
这几个定理主要提出由平行线可得到比例式；反之
, 有比例可得到平行线 . 首先要弄清三个基本图形：
九年级数学相似三角形知识点汇总参考
一、比例线段及比例的性质
1.比例线段： （ 1）线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段
a， b 的长度分别是 m， n，那么就说这两条线段的比是
a:b=m:n ，或写成
, 其中 a 叫做比的前项 ;b 叫做比的后项 .
（ 2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比
（ 3）向量平行的 判定定理： a 是一个非零向量，若存在一个实数 m ，使 b ma ，则向量 b 与非零向量 a 平行 .
（ 4）向量平行的性质定理：若向量 b与非零向量 a 平行 ，则存在一个实数 m ，使 b ma .
（ 5） A、 B、 C 三点的共线
AB// BC 若存在实数 λ ，使 AB λBC .
3
诠释： （ 1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （ 2）实数与向量不能进行加减运算；
（ 3） ka 表示向量的数乘运算， 书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，
面；
（ 4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系
.
3.实数与向量相乘的运算律
设 m 、 n 为实数，则：
注意不要将表示向量的箭头写在数字上
, 所截得的三角形的
三边与原三角形三边的对应成比例 .
九年级人教版相似图形知识点归纳
九年级人教版相似图形知识点归纳相似图形是初中数学中一个重要的概念，掌握相似图形的知识可以帮助我们解决许多几何问题。
在九年级数学课程中，我们学习了人教版教材中关于相似图形的知识点，下面对这些知识点进行归纳总结。
1. 相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但大小可以不同的三角形。
两个三角形相似的条件是它们对应的角相等，对应的边成比例。
即如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么三角形ABC与三角形DEF相似，且比例因子为AB/DE=AC/DF=BC/EF。
2. 相似三角形的角与边的性质a. 对应角相等：如果两个三角形相似，则它们对应的角相等。
b. 对应边成比例：如果两个三角形相似，则它们对应的边成比例。
3. 两种用来判断相似三角形的方法a. 三边成比例法：如果两个三角形的三条边长度分别成比例，即AB/DE=AC/DF=BC/EF，那么它们相似。
b. 两角对应相等法：如果两个三角形的两个角分别相等，且它们的第三个角也相等或者两个角分别相等，且它们的第三个角的对方边也成比例，那么它们相似。
4. 相似三角形的性质a. 相似三角形的对应边成比例，比例因子等于任意两边之比。
b. 相似三角形的高线成比例，比例因子等于任意两边之比。
5. 相似三角形与比例a. 两个相似三角形的面积之比等于相似三角形的边长之比的平方。
b. 相似三角形中，对应边的比例等于面积比。
即如果三角形ABC与三角形DEF相似，且比例因子为AB/DE=AC/DF=BC/EF，那么S(ABC)/S(DEF)=(AB/DE)^2=(AC/DF)^2=(BC/EF)^2。
6. 相似图形的面积比如果两个相似图形的边长比为a:b，那么它们的面积比为a^2:b^2。
这一性质适用于各种相似图形，如相似三角形、相似矩形等。
以上是九年级人教版相似图形知识点的归纳总结。
相似图形是几何学中一个非常重要的概念，通过掌握相似图形的性质和判断方法，我们可以在解决几何问题时更加轻松和高效。
人教版九年级 相似三角形的中考复习总结
相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad dc b a =⇔=::；②2::a bb c b a c =⇔=⋅．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c=⇔=．（4）合、分比性质：a c a b c db d b d±±=⇔=． （5）设k 法知识点3 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例B已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
知识点4 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理(1)相似三角形的等价关系：①反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆． ②对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．③传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆知识点5 三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似．3、3大判定定理6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
相似三角形的基本模型归纳总结
相似三角形的基本模型归纳总结
相似三角形是指拥有相似的形状但大小不同的三角形。
在相似三角形中，对应角度相等，而对应边长之间存在比例关系。
以下是一些基本的相似三角形模型：
1. 比例模型：在两个相似三角形中，对应边长之比相等。
例如，若∆ABC与∆DEF相似，则有AB/DE = BC/EF = AC/DF。
2. 三角形高度模型：在两个相似三角形中，对应高度之比等于对应边长之比。
例如，若∆ABC与∆DEF相似，则有h_1/h_2 = AB/DE = BC/EF = AC/DF，其中h_1和h_2分别为∆ABC和
∆DEF的高度。
3. 角平分线模型：在两个相似三角形中，对应角的平分线所延伸的比例相等。
例如，若∆ABC与∆DEF相似，角A和角D相等，则有BD/CE = AB/DE = AC/DF。
4. 底角模型：在两个相似三角形中，底角对应相等。
例如，若∆ABC与∆DEF相似，并且∠A = ∠D，则有∠B = ∠E和∠C
= ∠F。
5. 周长模型：在两个相似三角形中，对应边长之比等于相似三角形的周长比。
例如，若∆ABC与∆DEF相似，则有
(A+B+C)/(D+E+F) = AB/DE = BC/EF = AC/DF。
这些是常见的相似三角形模型，可以根据具体问题选择适合的模型进行求解。
但需要注意的是，在相似三角形中，只有形状
相似，而边长比例相等，因此，对于三角形中角度的求解通常更加重要。
2023年九年级相似三角形知识点总结及例题讲解
3.相似多边形旳性质：假如两个多边形是相似形，那么这两个多边形旳对应角相等，对应边旳长度成比例。
注意：当两个相似旳多边形是全等形时，他们旳对应边旳长度旳比值是1.
知识点二：比例线段有关概念及性质
（1）有关概念
1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b旳长度分别是m、n，那么就说这两条线段旳比是a：b＝m：n（或 ）
②两个位似图形旳位似中心只有一种。
③两个位似图形也许位于位似中心旳两侧，也也许位于位似中心旳一侧。
④位似比就是相似比。
2）性质：①位似图形首先是相似图形，因此它具有相似图形旳一切性质。
②位似图形是一种特殊旳相似图形，它又具有特殊旳性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心旳距离等于位似比（相似比）。
③每对位似对应点与位似中心共线，不通过位似中心旳对应线段平行。
3.推论旳逆定理：假如一条直线截三角形旳两边(或两边旳延长线)所得旳对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形旳第三边. (即运用比例式证平行线)
4.定理:平行于三角形旳一边,并且和其他两边相交旳直线,所截旳三角形旳三边与原三角形三边对应成比例.
5.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线,假如在一条直线上截得旳线段相等，难么在另一条直线上截得旳线段也相等。
三角形相似旳鉴定定理：
鉴定定理1：假如一种三角形旳两个角与另一种三角形旳两个角对应相等，那么这两
个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用旳最多)
鉴定定理2：假如一种三角形旳两条边和另一种三角形旳两条边对应成比例，并且夹
角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
九年级相似三角形知识点总结
九年级相似三角形知识点总结在九年级的数学课堂上，我们学习了很多与几何形状有关的知识，其中一个重要的内容就是相似三角形。
相似三角形是指两个具有相同形状但可能不同大小的三角形。
在本文中，我们将对九年级相似三角形的知识点进行总结，希望能够帮助同学们更好地理解和应用这些知识。
1. 相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边的比例相等。
如果两个三角形满足这两个条件，我们可以说它们是相似的。
2. 相似三角形的判定在判断两个三角形是否相似时，我们可以使用以下几种方法：（1）AA相似判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似的。
（2）SAS相似判定法：如果两个三角形的一个角相等，并且有一个对应边的比例相等，则它们是相似的。
（3）SSS相似判定法：如果两个三角形的三条边的比例都相等，则它们是相似的。
通过掌握这些判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。
3. 相似三角形的性质相似三角形具有一些特殊的性质，这些性质对于解决与相似三角形相关的问题非常有帮助。
（1）相似三角形的对应边比例相等性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应边之间的比例相等。
具体来说，如果两个三角形的对应边分别为a、b、c和d、e、f，那么有a/b=c/d=e/f。
（2）相似三角形的角度比例相等性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应角度之间的比例相等。
具体来说，如果两个三角形的对应角度分别为A、B、C和A'、B'、C'，那么有A/A'=B/B'=C/C'。
（3）相似三角形的高线比例相等性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应高线之间的比例相等。
具体来说，如果两个三角形的对应边分别为a、b、c和d、e、f，那么有h(a)/h(d)=h(b)/h(e)=h(c)/h(f)，其中h(x)表示与边x相对应的高线的长度。
九年级相似三角形知识点总结材料及例题讲解
知识点一：放缩与相似1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或n m b a =）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dc b a =4、比例外项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。
5、比例内项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a bb a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。
8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质: bcad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积）2.反比性质： c da b dc b a =⇒= (把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变）．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a ccd a a b d c b a ．5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ΛΛ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ΛΛ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
九年级相似三角形知识点总结
九年级相似三角形知识点总结
相似三角形是指具有完全相同形状但大小不同的三角形。
其主要知识点总结如下：
1. 相似三角形的定义：若两个三角形的对应角相等，则它们是相似的。
2. 相似三角形的判定：若两个三角形的对应边成比例，则它们是相似的。
3. 相似三角形的性质：
- 对应角相等：对应的角度是相等的。
- 对应边成比例：对应边的长度之比是相等的。
- 对应的高线成比例：对应的高线的长度之比是相等的。
- 对应的面积成比例：对应的面积的大小之比是相等的。
4. 相似三角形的性质推理：
- 两个三角形中，如果两边成比例，则其对应的夹角也相等。
- 两个三角形中，如果两角相等，则其对应的边成比例。
- 如果两个三角形中，对应的角度和边成比例，则这两个三
角形是相似的。
5. 相似三角形的应用：
- 利用相似三角形的性质可以求解两个图形的边或角度之比。
- 利用相似三角形的性质可以求解两个图形的面积之比。
- 利用相似三角形的性质可以进行图形的放大或缩小。
这些是九年级相似三角形的主要知识点总结，掌握了这些知识，可以更好地理解和应用相似三角形的相关概念和性质。
九年级（初三）数学-相似三角形的思维导图知识点梳理导图
九年级（初三）数学-相似三⾓形的思维导图知识点梳理导图
相似三⾓形的思维导图
初三数学-九年级数学-相似三⾓形的思维导图知识点⽬录
相似三⾓形 (1)
1.定义 (2)
1.1.相似 (2)
1.2.位似 (2)
2.相似三⾓形的性质 (3)
2.1.相似三⾓形的对应⾓相等，对应边成⽐例 (3)
2.2.相似三⾓形的周长之⽐等于相似⽐． (3)
2.3.相似三⾓形的⾯积⽐等于相似⽐的平⽅． (3)
2.4.相似三⾓形对应的⾼线、中线、⾓平分线之⽐等于相似⽐． (3)
2.5.相似三⾓形具有传递性． (3)
3.相似三⾓形的判定 (3)
3.1.普通三⾓形 (3)
3.2.直⾓三⾓形 (3)
4.相似模型 (3)
4.1.“A”字模型 (3)
4.2.“8”字模型 (3)
4.3.共边共⾓模型 (3)
4.4.三⾓形内接矩形 (3)
4.5.射影定理模型 (4)
4.6.三垂直模型 (4)
4.7.⼀线三等⾓模型 (4)
4.8.三平⾏模型 (4)
相似三⾓形的思维导图缩略图展⽰
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初三数学：《相似三角形》知识点归纳
初三数学：《相似三角形》知识点归纳
所谓的相似三角形,就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似三角形。
三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形的判定方法有：
平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似，
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似，
如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似，
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似，
直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
射影定理
相似三角形的性质
1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。
2.相似三角形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
人教版初中数学九年级中考复习专题(中考复习) 相似三角形的模型总结(39张ppt)
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(1)求证：△ABD∽△DCE； (2)当 DE∥AB 时(如图 2)，求 AE 的长； (3)点 D 在 BC 边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得 DF＝CF？若存 在，求出此时 BD 的长；若不存在，请说明理由．
图1
图2
课堂精讲
【分析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； (2)解直角三角形求出 BC，由△ABD∽△CBA，推出ACBB＝DABB，可得 DB＝ACBB2 ＝23022＝225，由 DE∥AB，推出AACE＝BBDC，求出 AE 即可； (3)点 D 在 BC 边上运动的过程中，存在某个位置，使得 DF＝CF.作 FH⊥BC 于 H，AM⊥BC 于 M，AN⊥FH 于 N.则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，由△ AFN∽△ADM，可得AAMN＝AADF＝tan∠ADF＝tan B＝34，推出 AN＝34AM＝34×12＝9， 推出 CH＝CM－MH＝CM－AN＝16－9＝7，再利用等腰三角形的性质，求出 CD 即可解决问题．
＝∠MAN，∴∠NAF＝∠MAD.∴△AFN∽△ADM.∴AAMN＝AADF ＝tan∠ADF＝tan
B＝34.∴AN＝34AM＝94×12＝9.∴CH＝CM－MH＝CM－AN＝16－9＝7.当 DF＝CF 时，由点 D 不与点 C 重合，可知△DFC 为等腰三角形，∵FH⊥DC，∴CD＝2CH ＝14.∴BD＝BC－CD＝32－14＝18.∴点 D 在 BC 边上运动的过程中，存在某个位 置，使得 DF＝CF，此时 BD＝18.
人教版初三数学归纳总结笔记-相似三角形
号或 2
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一 相似三⻆形以概念
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二 相似三⻆形心性质
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A．15.5 B．16.5 C．17.5 D．18.5
课后精练
中考·数学
2020版
第二部分 中考专题复习
专题5 相似三角形的模 型总结
考点解读
近5年，中考的考题中常出现四边形中的相似问题，题目难度 较大，分值为3～10分，常见的考题类型为B组填空题及解答题， 综合性强.
方法提炼
1.
A 字型
X 字型
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.
∴AADB＝AACE＝DBCE.∴ABDD＝ACEE，ABDB＝ACEC.
(2)将图 1 中的菱形 AEGH 绕点 A 旋转一定角度，如图 2，求 HD∶GC∶EB； (3)把图 2 中的菱形都换成矩形，如图 3，且 AD∶AB＝AH∶AE＝1∶2，此时 HD∶GC∶EB 的结果与(2)小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化 后的结果(不必写计算过程)；若无变化，请说明理由．
(1)求证：△ABD∽△DCE； (2)当 DE∥AB 时(如图 2)，求 AE 的长； (3)点 D 在 BC 边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得 DF＝CF？若存 在，求出此时 BD 的长；若不存在，请说明理由．
图1
图2
课堂精讲
【分析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； (2)解直角三角形求出 BC，由△ABD∽△CBA，推出ACBB＝DABB，可得 DB＝ACBB2 ＝23022＝225，由 DE∥AB，推出AACE＝BBDC，求出 AE 即可； (3)点 D 在 BC 边上运动的过程中，存在某个位置，使得 DF＝CF.作 FH⊥BC 于 H，AM⊥BC 于 M，AN⊥FH 于 N.则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，由△ AFN∽△ADM，可得AAMN＝AADF＝tan∠ADF＝tan B＝34，推出 AN＝34AM＝34×12＝9， 推出 CH＝CM－MH＝CM－AN＝16－9＝7，再利用等腰三角形的性质，求出 CD 即可解决问题．
课堂精讲
【解】(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵∠ADE＋∠CDE＝∠B＋∠ BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE.∴△BAD∽△DCE.
(2)如图，作 AM⊥BC 于 M.在 Rt△ABM 中，设 BM＝4k， 则 AM＝BM·tan B＝4k×34＝3k，由勾股定理，得到 AB2＝AM2 ＋BM2，∴202＝(3k)2＋(4k)2，解得 k＝4 或－4(舍弃)．∵AB＝ AC，AM⊥BC，∴BC＝2BM＝2·4k＝32.∵DE∥AB，∴∠BAD ＝∠ADE.∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ACB.∵∠ABD＝∠CBA， ∴△ABD∽△CBA.∴ACBB＝DABB.∴DB＝ACBB2＝23022＝225.∵DE∥AB，∴AACE＝BBDC.∴
B＝34.∴AN＝34AM＝94×12＝9.∴CH＝CM－MH＝CM－AN＝16－9＝7.当 DF＝CF 时，由点 D 不与点 C 重合，可知△DFC 为等腰三角形，∵FH⊥DC，∴CD＝2CH ＝14.∴BD＝BC－CD＝32－14＝18.∴点 D 在 BC 边上运动的过程中，存在某个位 置，使得 DF＝CF，此时 BD＝18.
(2)连接 AG，AC，由△ADC 和△AHG 都是等腰三角形，易证△DAH ∽△CAG 与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的性质及菱形的性质可 得结论；
(3)连接 AG，AC，易证△ADC∽△AHG 和△ADH∽△ABE，利用 相似三角形的性质可得结论．
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【解】(1)连接 AG，∵菱形 AEGH 的顶点 E，H 在菱
4．(2019·杭州)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB 和 AC 上，DE
∥BC，M 为 BC 边上一点(不与点 B，C 重合)，连接 AM 交 DE 于点 N，则
( C)
A.AADN＝AANE B.MBDN＝MCEN C.BDMN＝MNEC D.MDNC＝BNME
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5．(2019·哈尔滨)如图，在▱ABCD 中，点 E 在对角线 BD 上，EM∥AD，
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9．(2019·本溪模拟)已知∠BAC＝36°，△A1B1A2，△A2B2A3，
△A3B3A4，…，△AnBnAn＋1 都是顶角 36°的等腰三角形，即∠A1B1A2
＝∠A2B2A3＝∠A3B3A4＝…＝∠AnBnAn＋1＝36°，点 A1，A2，A3，…，
形 ABCD 的边上，且∠BAD＝60°，∴∠GAE＝∠CAB
＝30°，AE＝AH，AB＝AD.∴A，G，C 共线，AB－AE
＝AD－AH，即 HD＝EB.延长 HG 交 BC 于点 M，延长 EG 交 DC 于点
N，连接 MN，交 GC 于点 O，则 GMCN 也为菱形，∴GC⊥MN，∠
NGO＝∠AGE＝30°.∴OGGN＝cos
图1
图2
图3
课堂精讲
【分析】(1)连接 AG，由菱形 AEGH 的顶点 E，H 在菱形 ABCD 的边上，且∠BAD＝60°，易得 A，G，C 共线，延长 HG 交 BC 于点 M，延长 EG 交 DC 于点 N，连接 MN，交 GC 于点 O，则 GMCN 也 为菱形，利用菱形对角线互相垂直，结合三角函数可得结论；
30°＝
23.∵GC＝2OG，∴GGNC＝
1 3.
∵HGND 为平行四边形，∴HD＝GN.∴HD∶GC∶EB＝1∶ 3∶1.
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(2)如图，连接 AG，AC，∵△ADC 和△AHG 都 是等腰三角形，∴AD∶AC＝AH∶AG＝1∶ 3， ∠DAC＝∠HAG＝30°.∴∠DAH＝∠CAG. ∴△DAH∽△CAG.∴HD∶GC＝AD∶AC＝1∶ 3. ∵∠DAB＝∠HAE＝60°，∴∠DAH＝∠BAE.在△DAH 和△BAE 中， AD＝AB，
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7．(2019·淄博)如图，在△ABC 中，AC＝2，BC＝4，D 为 BC 边 上的一点，且∠CAD＝∠B.若△ADC 的面积为 a，则△ABD 的面积 为 3a ．
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8．(2019·广东改编)如图，正方形 ABCD 的边长为 4，延长 CB 至 E 使 EB＝2，以 EB 为边在上方作正方形 EFGB，延长 FG 交 DC 于 M， 连接 AM，AF，H 为 AD 的中点，连接 FH 分别与 AB，AM 交于点 N， K，则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK； ④S△AFN∶S△ADM＝1∶4.其中正确的结论有 ①③④ ．
∠DAH＝∠BAE， ∴ △ DAH ≌ △ BAE(SAS) ． ∴ HD ＝ EB. ∴ HD ∶ AH＝AE， GC∶EB＝1∶ 3∶1.
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(3)有变化．如图，连接 AG，AC，∵AD∶AB＝AH∶ AE＝1∶2，∠ADC＝∠AHG＝90°，∴△ADC∽△AHG. ∴AD∶AC＝AH∶AG＝1∶ 5.∵∠DAC＝∠HAG， ∴∠DAH＝∠CAG.∴△DAH∽△CAG.∴HD∶GC＝ AD∶AC＝1∶ 5.∵∠DAB＝∠HAE＝90°，∴∠DAH＝∠BAE.∵ DA∶AB＝HA∶AE＝1∶2，∴△ADH∽△ABE.∴DH∶BE＝AD∶AB ＝1∶2.∴HD∶GC∶EB＝1∶ 5∶2.
25 AE＝ACB·CBD＝203×22 ＝11265.
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(3)点 D 在 BC 边上运动的过程中，存在某个位置，使得 DF＝CF.
理由：作 FH⊥BC 于 H，AM⊥BC 于 M，AN⊥FH 于 N. 则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，∴四边形 AMHN 为矩 形．∴∠MAN＝90°，MH＝AN.由(2)得，BM＝CM＝16，AM ＝12，∴BC＝32.∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF＝90°＝∠AMD.∵∠DAF＝90° ＝∠MAN，∴∠NAF＝∠MAD.∴△AFN∽△ADM.∴AAMN＝AADF ＝tan∠ADF＝tan
课堂精讲
【方法归纳】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定 和性质，解直角三角形，锐角三角函数等，等腰三角形的判定和性质 知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅 助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
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例 2 (2019·德州)(1)如图 1，菱形 AEGH 的顶点 E，H 在菱形 ABCD 的边上， 且∠BAD＝60°，请直接写出 HD∶GC∶EB 的结果；(不必写计算过程)
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1．(2019·赤峰)如图，D，E 分别是△ABC 边 AB，AC 上的点，∠ADE ＝∠ACB，若 AD＝2，AB＝6，AC＝4，则 AE 的长是( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
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2．如图，已知△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点 O，且△ABC 的面积等于△DEF 面积的49，则 AO∶AD 的值为( B )
①△COE≌△DOF； ②△OGE∽△FGC；
③四边形 CEOF 的面积为正方形 ABCD 面积的14；
④DF2＋BE2＝OG·OC.
其中正确的是( B )
A．①②③④
B．①②③
C．①②④
D．③④
课后精练
【提示】①由正方形证明 OC＝OD，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COM ＝∠DOF，便可得结论；②证明点 O，E，C，F 四点共圆，得∠EOG ＝∠CFG，∠OEG＝∠FCG，进而得△OGE∽△FGC 便可；③先证明 S△COE＝S△DOF，∴S 四边形 CEOF＝S△OCD＝14S 正方形 ABCD；④证明△OEG∽△ OCE，得 OG·OC＝OE2，再证明 OG·AC＝EF2，再证明 BE2＋DF2＝ EF2，得 OG·AC＝BE2＋DF2 便可．
交 AB 于点 M，EN∥AB，交 AD 于点 N，则下列式子一定正确的是( D )