人教版初中数学九年级中考复习专题(中考复习) 相似三角形的模型总结(39张ppt)

形 ABCD 的边上，且∠BAD＝60°，∴∠GAE＝∠CAB
＝30°，AE＝AH，AB＝AD.∴A，G，C 共线，AB－AE
＝AD－AH，即 HD＝EB.延长 HG 交 BC 于点 M，延长 EG 交 DC 于点
N，连接 MN，交 GC 于点 O，则 GMCN 也为菱形，∴GC⊥MN，∠
NGO＝∠AGE＝30°.∴OGGN＝cos
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1．(2019·赤峰)如图，D，E 分别是△ABC 边 AB，AC 上的点，∠ADE ＝∠ACB，若 AD＝2，AB＝6，AC＝4，则 AE 的长是( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
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2．如图，已知△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点 O，且△ABC 的面积等于△DEF 面积的49，则 AO∶AD 的值为( B )
∴AADE＝BCDE，AADE＝AABC，BCDE＝AABC.
方法提炼
2.
双A型 ∵DE∥BC，∴DEFF＝BCGG，BDGF＝CEGF .
双X型
方法提炼
3.
反 A 共角型 若已知∠1＝∠B(或∠ADE＝∠C)． 可证得△ADE∽△ACB. ∴AADC＝AABE＝DCBE(或 AD·AB＝AE·AC)．
中考·数学
2020版
第二部分 中考专题复习
专题5 相似三角形的模 型总结
考点解读
近5年，中考的考题中常出现四边形中的相似问题，题目难度 较大，分值为3～10分，常见的考题类型为B组填空题及解答题， 综合性强.
方法提炼
1.
A 字型
X 字型
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.
∴AADB＝AACE＝DBCE.∴ABDD＝ACEE，ABDB＝ACEC.
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9．(2019·本溪模拟)已知∠BAC＝36°，△A1B1A2，△A2B2A3，
△A3B3A4，…，△AnBnAn＋1 都是顶角 36°的等腰三角形，即∠A1B1A2
＝∠A2B2A3＝∠A3B3A4＝…＝∠AnBnAn＋1＝36°，点 A1，A2，A3，…，
B＝34.∴AN＝34AM＝94×12＝9.∴CH＝CM－MH＝CM－AN＝16－9＝7.当 DF＝CF 时，由点 D 不与点 C 重合，可知△DFC 为等腰三角形，∵FH⊥DC，∴CD＝2CH ＝14.∴BD＝BC－CD＝32－14＝18.∴点 D 在 BC 边上运动的过程中，存在某个位 置，使得 DF＝CF，此时 BD＝18.
双垂直型
(3)线段比：AADC＝AACB＝CBDC，BBAC＝BBDC＝DCAC，ACDD＝CBDD＝ACBC.AC2＝AD·AB，
BC2＝BD·BA，DC2＝DB·DA(射影定理)． (4)面积法：AC·BC＝AB·CD.
面积比：SS△△ACDDBC＝ACDD2＝CBDD2＝ACBC2＝ABDD.
图1
图2
图3
课堂精讲
【分析】(1)连接 AG，由菱形 AEGH 的顶点 E，H 在菱形 ABCD 的边上，且∠BAD＝60°，易得 A，G，C 共线，延长 HG 交 BC 于点 M，延长 EG 交 DC 于点 N，连接 MN，交 GC 于点 O，则 GMCN 也 为菱形，利用菱形对角线互相垂直，结合三角函数可得结论；
25 AE＝ACB·CBD＝203×22 ＝11265.
课堂精讲
(3)点 D 在 BC 边上运动的过程中，存在某个位置，使得 DF＝CF.
理由：作 FH⊥BC 于 H，AM⊥BC 于 M，AN⊥FH 于 N. 则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，∴四边形 AMHN 为矩 形．∴∠MAN＝90°，MH＝AN.由(2)得，BM＝CM＝16，AM ＝12，∴BC＝32.∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF＝90°＝∠AMD.∵∠DAF＝90° ＝∠MAN，∴∠NAF＝∠MAD.∴△AFN∽△ADM.∴AAMN＝AADF ＝tan∠ADF＝tan
(1)求证：△ABD∽△DCE； (2)当 DE∥AB 时(如图 2)，求 AE 的长； (3)点 D 在 BC 边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得 DF＝CF？若存 在，求出此时 BD 的长；若不存在，请说明理由．
图1
图2
课堂精讲
【分析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； (2)解直角三角形求出 BC，由△ABD∽△CBA，推出ACBB＝DABB，可得 DB＝ACBB2 ＝23022＝225，由 DE∥AB，推出AACE＝BBDC，求出 AE 即可； (3)点 D 在 BC 边上运动的过程中，存在某个位置，使得 DF＝CF.作 FH⊥BC 于 H，AM⊥BC 于 M，AN⊥FH 于 N.则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，由△ AFN∽△ADM，可得AAMN＝AADF＝tan∠ADF＝tan B＝34，推出 AN＝34AM＝34×12＝9， 推出 CH＝CM－MH＝CM－AN＝16－9＝7，再利用等腰三角形的性质，求出 CD 即可解决问题．
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7．(2019·淄博)如图，在△ABC 中，AC＝2，BC＝4，D 为 BC 边 上的一点，且∠CAD＝∠B.若△ADC 的面积为 a，则△ABD 的面积 为 3a ．
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8．(2019·广东改编)如图，正方形 ABCD 的边长为 4，延长 CB 至 E 使 EB＝2，以 EB 为边在上方作正方形 EFGB，延长 FG 交 DC 于 M， 连接 AM，AF，H 为 AD 的中点，连接 FH 分别与 AB，AM 交于点 N， K，则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK； ④S△AFN∶S△ADM＝1∶4.其中正确的结论有 ①③④ ．
课堂精讲
【解】(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵∠ADE＋∠CDE＝∠B＋∠ BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE.∴△BAD∽△DCE.
(2)如图，作 AM⊥BC 于 M.在 Rt△ABM 中，设 BM＝4k， 则 AM＝BM·tan B＝4k×34＝3k，由勾股定理，得到 AB2＝AM2 ＋BM2，∴202＝(3k)2＋(4k)2，解得 k＝4 或－4(舍弃)．∵AB＝ AC，AM⊥BC，∴BC＝2BM＝2·4k＝32.∵DE∥AB，∴∠BAD ＝∠ADE.∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ACB.∵∠ABD＝∠CBA， ∴△ABD∽△CBA.∴ACBB＝DABB.∴DB＝ACBB2＝23022＝225.∵DE∥AB，∴AACE＝BBDC.∴
(2)将图 1 中的菱形 AEGH 绕点 A 旋转一定角度，如图 2，求 HD∶GC∶EB； (3)把图 2 中的菱形都换成矩形，如图 3，且 AD∶AB＝AH∶AE＝1∶2，此时 HD∶GC∶EB 的结果与(2)小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化 后的结果(不必写计算过程)；若无变化，请说明理由．
4．(2019·杭州)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB 和 AC 上，DE
∥BC，M 为 BC 边上一点(不与点 B，C 重合)，连接 AM 交 DE 于点 N，则
( C)
A.AADN＝AANE B.MBDN＝MCEN C.BDMN＝MNEC D.MDNC＝BNME
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5．(2019·哈尔滨)如图，在▱ABCD 中，点 E 在对角线 BD 上，EM∥AD，
①△COE≌△DOF； ②△OGE∽△FGC；
③四边形 CEOF 的面积为正方形 ABCD 面积的14；
④DF2Baidu NhomakorabeaBE2＝OG·OC.
其中正确的是( B )
A．①②③④
B．①②③
C．①②④
D．③④
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【提示】①由正方形证明 OC＝OD，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COM ＝∠DOF，便可得结论；②证明点 O，E，C，F 四点共圆，得∠EOG ＝∠CFG，∠OEG＝∠FCG，进而得△OGE∽△FGC 便可；③先证明 S△COE＝S△DOF，∴S 四边形 CEOF＝S△OCD＝14S 正方形 ABCD；④证明△OEG∽△ OCE，得 OG·OC＝OE2，再证明 OG·AC＝EF2，再证明 BE2＋DF2＝ EF2，得 OG·AC＝BE2＋DF2 便可．
方法提炼
4.
反 A 共角共边型 若已知∠1＝∠B(或∠ADC＝∠ACB)． 可证得△ADC∽△ACB. ∴AADC＝AACB＝CBDC(或 AC2＝AD·AB)．
方法提炼
5.若已知 AC⊥BC，CD⊥AB，所以： (1)角：∠1＝∠B，∠BCD＝∠A. (2)相似：△ADC∽△ACB，△CDB∽△ACB， △ADC∽△CDB.
30°＝
23.∵GC＝2OG，∴GGNC＝
1 3.
∵HGND 为平行四边形，∴HD＝GN.∴HD∶GC∶EB＝1∶ 3∶1.
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(2)如图，连接 AG，AC，∵△ADC 和△AHG 都 是等腰三角形，∴AD∶AC＝AH∶AG＝1∶ 3， ∠DAC＝∠HAG＝30°.∴∠DAH＝∠CAG. ∴△DAH∽△CAG.∴HD∶GC＝AD∶AC＝1∶ 3. ∵∠DAB＝∠HAE＝60°，∴∠DAH＝∠BAE.在△DAH 和△BAE 中， AD＝AB，
课堂精讲
【方法归纳】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定 和性质，解直角三角形，锐角三角函数等，等腰三角形的判定和性质 知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅 助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
课堂精讲
例 2 (2019·德州)(1)如图 1，菱形 AEGH 的顶点 E，H 在菱形 ABCD 的边上， 且∠BAD＝60°，请直接写出 HD∶GC∶EB 的结果；(不必写计算过程)
交 AB 于点 M，EN∥AB，交 AD 于点 N，则下列式子一定正确的是( D )
A.ABMM＝NDEE B.AAMB ＝AAND C.MBCE＝BBDE D.BBDE＝EBMC
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6．(2019·东营)如图，在正方形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC，BD 的交点， 过点 O 作射线 OM，ON 分别交 BC，CD 于点 E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF 交 于点 G.给出下列结论：
方法提炼
6.
燕尾型 过 A，B，C，D，E 和 F 每个点可以作 2 条平行线，共作 12 条辅 助线．每条辅助线得到两个“A 字型”或“X 字型”．
方法提炼
7.
K型
一线三等角型
若已知∠B＝∠C＝∠DPE，可证得△BDP∽△CPE.
课堂精讲
例 1 (2019·成都)如图 1，在△ABC 中，AB＝AC＝20，tan B＝34，点 D 为 BC 边上的动点(点 D 不与点 B，C 重合)．以 D 为顶点作∠ADE＝∠B，射线 DE 交 AC 边于点 E，过点 A 作 AF⊥AD 交射线 DE 于点 F，连接 CF.

∠DAH＝∠BAE， ∴ △ DAH ≌ △ BAE(SAS) ． ∴ HD ＝ EB. ∴ HD ∶ AH＝AE， GC∶EB＝1∶ 3∶1.
课堂精讲
(3)有变化．如图，连接 AG，AC，∵AD∶AB＝AH∶ AE＝1∶2，∠ADC＝∠AHG＝90°，∴△ADC∽△AHG. ∴AD∶AC＝AH∶AG＝1∶ 5.∵∠DAC＝∠HAG， ∴∠DAH＝∠CAG.∴△DAH∽△CAG.∴HD∶GC＝ AD∶AC＝1∶ 5.∵∠DAB＝∠HAE＝90°，∴∠DAH＝∠BAE.∵ DA∶AB＝HA∶AE＝1∶2，∴△ADH∽△ABE.∴DH∶BE＝AD∶AB ＝1∶2.∴HD∶GC∶EB＝1∶ 5∶2.
(2)连接 AG，AC，由△ADC 和△AHG 都是等腰三角形，易证△DAH ∽△CAG 与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的性质及菱形的性质可 得结论；
(3)连接 AG，AC，易证△ADC∽△AHG 和△ADH∽△ABE，利用 相似三角形的性质可得结论．
课堂精讲
【解】(1)连接 AG，∵菱形 AEGH 的顶点 E，H 在菱
A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶13
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3．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 CD 边上一点，DE∶ EC＝2∶3，连接 AE，BE，BD，且 AE，BD 交于点 F.若 S△DEF＝2，则 S△ABE＝( C )
A．15.5 B．16.5 C．17.5 D．18.5
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