第十六讲金属中自由电子气模型
金属自由自由电子气体模型及基态性质
所以,费米波矢kF为:
kF 3
32 N32n
V
n为电子密度
从而,相关的电子的费米能量F 、费米动量 pF、费米速 度F、费密温度TF等都可以表示为电子密度n的函数,这也就 是前面我们所提到的自由电子气体模型可用电子密度n来描 述,而且,n是仅有的一个独立参量的原因。
F022m kF2
2(32n)23
; 2m
pFkF;vFm kF;TFkF B
2.能态密度
(1)定义: 若在能量 E ~E d E范围内存在Z个单电子态,
lim 则能态密度N()定义为: N()E 0 Z d dZ
(2)计算: 在k空间,代表点均匀分布,则求出能量分别为E和E+E两个
等能面之间的相体积,乘以代表点密度和自旋因子2,便得到能量间隔在 E~E+E范围内的电子态数目Z
三维情形,可想象成L3的立方体在三个方向平移,填满 了整个空间,从而当一个电子运动到表面时并不被反射回来, 而是进入相对表面的对应点。
波函数为行波,表示当一个电子运动到表面时并不被反 射回来,而是离开金属,同时必有一个同态电子从相对表面 的对应点进入金属中来。
二者的一致性,表明周期性边条件的合理性
EdE
E
ky
ds
dk
22Vπ3
E
ds
k
d
kx
能态密度:
N() dZ d
V ds
22π3 E k
例1:求金属自由电子气的能态密度
法1. 金属中自由电子的能量
2k 2 2m
2 2m(kx 2ky 2kz2)
N() dZ d
22Vπ3
E
ds
k
d 2k dk
m
金属电子气体理论
一,金属自由电子气体模型1.1 经典电子论特鲁德电子气模型:特鲁德提出了第一个固体微观理论利用微观概念计算宏观实验观测量自由电子气+波尔兹曼统计→欧姆定律电子平均自由程+分子运动论→电子的热导率特鲁德(Paul Drude )模型的基本假设11.自由电子近似:传导电子由原子的价电子提供,离子实对电子的作用可以忽略不计,离子实的作用维持整个金属晶体的电中性,与电子发生碰撞。
2.独立电子近似:电子与电子之间的相互作用可以忽略不计。
外电场为零时,忽略电子之间的碰撞,两次碰撞(与离子实碰撞)之间电子自由飞行(与经典气体模型不同,电子之间没有碰撞,电子只与离子实发生碰撞,这一点我们将在能带论中证明是错误的。
)特鲁德(Paul Drude )模型的基本假设23.玻尔兹曼统计:自由电子服从玻尔兹曼统计。
4.弛豫时间近似:电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ,τ称为弛豫时间(即平均自由时间)。
每次碰撞时,电子失去它在电场作用下获得的能量,即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。
特鲁德模型的成功之处——成功解释了欧姆定律欧姆定律E j ρ=(或j E σ=),其中E 为外加电场强度、ρ为电阻率、j 为电流密度。
202()1I j nev ne Sj E eEt m v v E j m ne eE m v m τρτστρ⎧==-⎪⎧=⎪⎪-⎪⎪=+⇒⇒=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩=-⎪⎩r1.2.经典模型的另一困难:传导电子的热容根据理想气体模型,一个自由粒子的平均热量为3/2B k T ,故333(),222A B e U U N k T RT C R T ∂====∂33/29v ph e C C C R R =+=+≈(卡/molK.)但金属在高温时实验值只有6(卡/molK.),即3v C R ≈。
1.3 Sommerfeld 的自由电子论1925年:泡利不相容原理1926年:费米—狄拉克量子统计 1927年:索末菲半经典电子论抛弃了特鲁德模型中的玻尔兹曼统计,认为电子气服从费米—狄拉克量子统计得出了费米能级,费米面等重要概念,并成功地解决了电子比热比经典值小等经典模型所无法解释的问题。
电子行业金属自由电子气模型
电子行业金属自由电子气模型引言自由电子气模型是描述金属中电子行为的重要理论模型之一。
在电子行业中,金属材料具有良好的导电性和热导性,这一特性正是由于金属中存在着大量的自由电子。
本文将详细介绍电子行业金属中自由电子气模型的基本原理。
自由电子气模型的基本原理自由电子气模型的基本原理是假设金属中的自由电子在晶体中自由运动,并且彼此之间无相互作用。
这个假设是基于金属中的电子大量和密度较大,使得它们之间的相互作用可以忽略不计。
而晶体的周期性结构对电子运动所产生的影响可以用晶格周期势能来描述。
在自由电子气模型中,每个电子都可以被看作是一个自由粒子,其能量由动能和势能共同决定。
由于假设电子之间无相互作用,并且忽略自旋和磁场的影响,可以将自由电子气模型简化为一维、二维或三维的能带结构。
能带结构能带结构描述了金属中电子的能量分布情况。
根据自由电子气模型,电子能量随动量的变化形成能带。
在一维情况下,能带是连续的,电子在能带中可以具有任意动量。
而在二维和三维情况下,能带则呈现出带状结构,电子在能带中只能具有特定的动量。
根据泡利不相容原理, 每个能级只能容纳两个电子(自旋相反)。
因此,在一维情况下,每个能级只能容纳一个电子,而在二维和三维情况下,每个能级可以容纳多个电子。
能带结构可以分为导带和价带。
导带是指位于较高能量的带,其中的电子具有较高的能量,可以随意运动。
价带是指位于较低能量的带,其中的电子具有较低的能量,并且在金属中形成近满带,起到稳定晶体结构的作用。
费米能级费米能级是能带结构中的一个重要参数,它代表了电子在金属中填充的最高能级。
根据赛曼效应,当温度趋近于绝对零度时,费米能级上方的能级将几乎全部被填充,而费米能级以下的能级将几乎为空。
费米能级决定了电子在金属中的运动性质,对导电性和热导性有很大影响。
在金属中,费米能级附近的能级比较稠密,形成了电子态密度的峰值,使得金属能够有效地传导电流和热量。
自由电子气模型的应用自由电子气模型是研究金属导电性和热导性的基础理论之一。
高二物理竞赛课件:金属中的自由电子模型
dE
dE
hE
E 2kx2 2m
dkx 2
2m dE E
三维情况:
自由电子波函数
(r) A exp(ik r) Aei(kxxky ykzz)
能量
E
2
(k
2 x
k
2 y
kz2 )
2k 2
2m
2m
一个点子占有的“体积” =( 2 )3
密度
( L )3= V
2 8 3
L
能量在E--E+dE范围内的量子态数为:
式中,A1,A2,A3是归一化常数。
电子的波矢分量满足:
kx
nx
L
,ky
ny
L
, kz
nz
L
nx,ny,nz可取任意的正整数。最终结果为:
(x, y, z) Asin(kx x) sin(ky y) sin(kz z)
E
22
2mL2
(nx2
n
2 y
nz2 )
晶体中自由电子的本 征态波函数和能量均有 一组量子数来确定。能 量的取值可以是分立的, 形成能级。当晶体的线 度L很大时,能级成为 准连续的。
其中A是归一化常数。
周期性边界条件----行波解
晶体内部的周期性势场不能忽略,假想所研究的晶体是许许多多首尾相连的 完全相同的晶体中的一个,每块晶体对应出的运动状态相同。只强调晶体的有 限性对内部例子运动状态的影响。
在周期性边界条件下,不限定波函数在边界上的值,而是要求波函数的性 质延续到下一块晶体。
在 k 空间中电子占据区域最后形成一个球,称为费米球。费 米球的半径称为费米波矢,用来 kF 表示。
k空间从原点到半径为kF的球面之间的量子态数正好等于电子数 目,则此球称为费米球。
金属自由电子模型
0 EF
0
3 V 2m 3/2 3/2 3 0 ( 2 ) E dE EF 3eV 2 2 3 5
如果把电子比作费米子的理想气体分子,则在绝对零度,电子基态的平均能 量相当于 T~23077K,对应于平均速度为
3kBT | v | v 2 1106 m / s ~ 1/ 300 光速 me
E TF r C F r dr z
一,金属自由电子气体模型
1.1 经典电子论 特鲁德电子气模型: 特鲁德提出了第一个固体微观理论利用微观概念计算宏 观实验观测量 自由电子气+波尔兹曼统计 欧姆定律 电子平均自由程+分子运动论 电子的热导率 特鲁德(Paul Drude)模型的基本假设 1 1.自由电子近似: 传导电子由原子的价电子提供,离子实对电子的作用可以 忽略不计,离子实的作用维持整个金属晶体的电中性,与电子发生碰撞。 2.独立电子近似: 电子与电子之间的相互作用可以忽略不计。 外电场为零时, 忽略电子之间的碰撞,两次碰撞(与离子实碰撞)之间电子自由飞行(与经典气 体模型不同,电子之间没有碰撞,电子只与离子实发生碰撞,这一点我们将在能 带论中证明是错误的。 ) 特鲁德(Paul Drude)模型的基本假设 2 3.玻尔兹曼统计:自由电子服从玻尔兹曼统计。 4.弛豫时间近似:电子在单位时间内碰撞一次的几率为 1 / , 称为弛豫时 间(即平均自由时间) 。每次碰撞时,电子失去它在电场作用下获得的能量,即 电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。 特鲁德模型的成功之处——成功解释了欧姆定律 欧姆定律 E j (或 j E ) ,其中 E 为外加电场强度、 为电阻率、 j 为 电流密度。
用托马斯一费米模型处理原子中的问题.为方便起见,下面均采用原子单位. 即。e= =μ=1 的单位制。 基于统计的考虑,Thomas 和 Fermi 于 1927 年曾几乎是同时地分别提出,将 多电子运动空间划分为边长为 l 的小容积(立方元胞) v l 3 。其中含有 N 个 电子 (不同的元胞中所含电子数不同) 。假定在温度近于 0K 时每一元胞中电子的 行为是独立的 Fermi 粒子, 并且各个元胞是无关的。则有三维有限势阱中自由里 子的能级公式
金属中的自由电子模型
金属中的自由电子模型在金属中,原子固定在晶格中,共享其外层电子形成金属键。
与共价键不同,金属键不是由两个原子共享电子形成的,而是由整个金属晶体共享所有电子形成的。
因此,金属中的电子是高度移动的,可以在整个晶体中自由移动。
这种高度移动的电子被称为自由电子。
自由电子模型为了更好地理解金属中的自由电子,我们可以使用自由电子模型来进行说明。
自由电子模型假设金属中的所有原子共享它们的外层电子,形成一个巨大的电子气体。
这个电子气体中的电子可以看作是独立的,它们可以在整个晶体中自由移动,没有受到单个原子的束缚。
这种自由运动的电子是金属的导电电子,可以在金属中形成电流。
自由电子模型的一个重要假设是,电子在金属中形成一个连续的能带。
这个能带可以看作是一系列接近的能级,电子可以在其中自由移动。
不同的金属有不同的能带结构,这决定了它们的导电性和其他电学和热学性质。
在自由电子模型中,金属晶体的离子核可以看作是一个均匀的正电荷背景,与电子相互作用形成电子-正离子相互作用。
这种相互作用决定了自由电子的运动和能带结构。
能带结构能带结构是自由电子模型的一个重要概念。
在一个金属晶体中,由于相邻的原子之间形成了化学键,形成了共享电子的状态。
在这种情况下,电子的能量不再被离子核所束缚,而是自由移动。
它们可以在一系列接近的能级上自由移动,形成了能带结构。
概念上,我们可以将能带结构看作单位晶体内的所有电子的哈密顿量,哈密顿量代表所有电子的能量。
根据能带结构理论,所有电子都会填充到有限数量的能带中。
当一个能带被填充满时,下一个更高的能带就变成了空的,这个空的能带就可以被其他电子占据,从而继续导电。
导电性金属的导电性可以通过自由电子模型来解释。
在自由电子模型中,金属中的电子可以以任何方向自由移动,导致电流。
金属中的导电性与其能带结构有关。
金属中的电子被分为价带和导带,价带电子被紧密束缚在原子周围的状态中,电子的运动受到离子核的束缚。
而导带电子则在能带结构中自由移动,不受到束缚。
金属自由电子气模型
(1.2.2)式在一级近似下为
p(t
dt)
p(t)
F (t)dt
P(t)
dt
(1.2.3)
更简练的形式为
dp(t)
F (t )
P(t)
dt
(1.2.4)
引入外场作用下电子的漂移速度(Drift velocity)d
m
d d
(t)
F (t)
• 作为研究金属特性的Drude模型在1900年提出,现在仍 然被用来迅速了解金属及其它一些材料的特性。这个 模型后来经过稍许修改就取得了巨大成功。
1. Drude模型
1)传导电子和芯电子
Na: K L M 1s 2s2p 3s 281
Na 蒸汽 3s 轨道半径 0.19 nm Na 固体 最近邻原子间距 0.365 nm
传导电子密度 n:单位体积的传导电子数
原子数/mole: N0 = 6.022 ∙ 1023,Avogadro常数 mole数/cm3: ρm/A, 其中 m是金属的质量密度(g/cm3),A 是元素的原子量
n
N0
Zm
A
6.022 1023
Zm
A
Z是每个原子贡献的价电子(传导电子)数目
对于金属,n的典型值为1022-1023/cm3。这个值要比理想 气体的密度高上千倍3源自0.22rs a0
1014 sec .
(1.2.10)
其a0为中玻,尔为半金径属。电阻率,rs为一个所占据体积的等效球半径,
金属Cu的室温电阻率ρ=1.56∙10-6Ohm-cm, τ=2.7 ∙10-14 sec
3)金属中电子的平均自由程
l = v0τ ; 而 mv02/2 =3kBT/2
金属自由电子气模型
求(1)电子态密度(考虑自旋); (2)该系统的费米能(只考虑温度为绝对 零度
北京工业大学 固体物理学
第二节 自由电子气的热性质
费米-狄拉克分布函数 T≠0K时,电子在本征态上的分布服从费 米-狄拉克分布
fi
1 e
( i )/ k BT
vF/108cm/s TF/104K
1.29 1.07 0.86 0.81 0.75 1.57 1.39 1.40 2.25 1.58 1.28 1.83 2.03 1.74 1.90 1.83 1.87 5.51 3.77 2.46 2.15 1.84 8.16 6.38 6.42 16.6 8.23 5.44 11.0 13.6 10.0 11.8 11.0 11.5
T=0 T1
北京工业大学 固体物理学
1、化学势随温度的变化 ① T≠0K,自由电子气单位体积的内能
2 u ( k ) f g( ) f ( )d k 0 V k
② T≠0K,分布函数中的化学势可由电子数 密度算出
2 n V
k
fk g( ) f ( )d 0
北京工业大学 固体物理学
代入
f f I Q( ) ( )d Q( ) ( )( )d 1 f 2 Q( ) ( ) ( )d 2
(**)
(**)第一项积分项等于1 (**)第二项
1 ik (r ) e r V
电子的本征能量:
将波函数代入薛定谔方程,得
k (k ) 2m
2
2
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- - -( 7)
3(z L) = 3(z)
用 通 解 的 前 一 种 表 示 , 分 别 假 定 波 沿 x,y,z 负 方 向 传 播 , 可 得
波矢:
kx =
2n x L
ky
=
2n y L
kz
=
2n z L
( 8)
单
电
子
波
函
数
(n :ψ
x, (x
ny, ,y,z
n )
z
为正 = 1(
负整
x ) 2 (
此时费密-狄喇克统计分布为 (见图 p112 图 6.3)
1
lim T 0
f ( E ,T ) 0
E (0) E (0)
其 中 μ (0)为 绝 对 零 度 时 的 化 学 势 。
- - (17)
电 子 气 基 态 :能 量 在 μ (0)以 下 的 状 态 全 被 电 子 占 满 ,能 量超 过 μ (0)
第十六讲 金属中自由电子气模型
第六章 金属电子论 问题:对金属中相互作用、运动着的大量电子,怎样进行理论处理?
如何从理论上说明电子对金属优良的电导、热导和比热的贡献? 如何从电子的运动状态解释电子热发射、光电效应和场电子发 射等重要现象? 本章用 量子的电子气体模型: 金属中的价电子组成电子气体(就象气体分
见 p112 图 6.3 f(E,T) ~ E 曲线
T > 0,
在
kBT
f
(,T
)
1 2
范围内,f (E,T )从 1下降到 0
由能态密度公式(13)
g(E) CE1/ 2
和公式(14)
C 4 ( 2m)3/ 2
h2
∵ n N g(E) f (E,T )dE f (E,T )CE1/ 2dE f (E,T )d( 2 CE 3/ 2 )
道整个电子气系统的状态。只有知道了电子如何占据这些能级,才知道 了整个电子气系统的状态。———利用单电子问题的结果构造多电子系 统的基态。 (一)温度 T 时,电子填充到能量为 E 的波函数的几率分布 上节中我们求得了无限多个周期性排列的无限深势阱箱中自由电子气 系统的波函数、能量和能态密度。
1. 当电子数是有限时,电子将根据泡利不相容原理逐次填充各个允
其中Ax, Ay, Az, Bx, By, Bz,Cx,Cy,Cz, Dx, Dy, Dz 为待 定常数。 解的最后确定(ki的确定,从而能量的确定)有赖于边界条件。
2. 驻波边界条件
1(x) |0 = 1(x) |L = 0 2 ( y) |0 = 2 ( y) |L = 0 3 (z) |0 = 3 (z) |L = 0
(二) 自由电子气的能态密度
在波矢(k)空间讨论。
对平面行进波(9),波矢 k 确定且不变,因此可由一组好量子数
(nx,ny,nz)说明。 k 空间任一点(kx,ky,kz)代表一个许可的状态。 沿 kx 轴相邻两个代表点间距为(2π/L)(见(8)式),沿 ky,kz 轴 情况相同,因此每个点在 k 空间体积为(2π/L)3。
2m
2m L2
L2
L2
=
2 2
2mL2
( nx2
ny2
nz2 )
( h )
2
= h2
8mL2
( nx2
ny2
nz2 )
- - - (6)
3. 行 进 波 边 界 条 件 ( 周 期 性 边 界 条 件 )
设想有无穷多个无限深势阱箱排列,各无限深势阱箱中电子气情
况相同。
1(x L) = 1(x) 2(y L) = 2(y)
层 , 其 体 积 = 4 π k 2d k , 该 体 积 中 的 状 态 数 ( 可 容 纳 的 电 子 数 ):
dZ =
V 4 k 2 dk 4 3
= V 4
4 3
2 mE 2
2 m dE 2E
V 4 ( 2 m ) 3 / 2 E 1 / 2 dE h2
≡ Vg(E)dE
- - - (12)
x
2
ky2
kz2)
代入方程(2),考虑到 2 2 2 2 ,我们有
x 2 y 2 z 2
2 2m
[ 2 ( y)3 (z)
2 x 2
1 ( x)
+1 (x)3 (z)
2 y 2
2
(
y)
+1 ( x)
2
(
y)
2 z 2
3
(z)
]
2
=2m
(k x 2 k y 2 k z 2 ) 1 (x) 2 ( y)3 (z)
0 x, y, z L x, y, z 0 以及
箱内的单电子薛定锷方程(V=0):
x, y, z L
(1)
2 2 (x, y, z) E (x, y, z)
2m
- - -(2)
用分离变量法解,令
ψ(x,y,z)= 1 (x) 2 ( y)3 (z)
E=
2k 2 2m
2 2m
(k
dy2
y)
+ky
22
(y)
=0
- - - (3)
d
23(z)
dz2
+kz23(z)
=0
由常微分方程解法,三个通解可设为 = 1(x) Axeikxx Bxeikxx = Cxsin(kxx+Dx) = 2(y) Ayeikyy Byeikyy = Cysin(kyy+Dy) = 3(z) Azeikzz Bzeikzz = Czsin(kzz+Dz)
∴ 能态密度:晶体单位体积中在单位能量间隔中的状态数(可容
纳 的 电 子 数 ):
g ( E ) dZ VdE
4
(
2m h2
)
3
/
2
E
1
/
2
CE
1/2
这里
C 4 ( 2m ) 3 / 2 h2
这 是 一 条 抛 物 线 ( 见 图 )。
- - - (13) - - - (14)
二.电子气的基态 求出了自由电子气中每个电子可能的单电子波函数和能级,并不知
由 ( 10) 式 , 自 由 单 电 子 能 量 E = 2k 2 。 在 k 空 间, 对 应 于 同
2m
一 个 E 值 的 | k | 值 是 一 个 球 面 ,球 半 径 k = 2 mE ,∴ d k = 2 m dE 。
2E
能 量 介 于 E~ E+dE 的 区 域 , 相 当 于 半 径 介 于 k 和 k+dk 间 的 球 壳
V0
0
0
3
分部积分
=
f
(E,T )
2 3
CE 3/ 2
|0
2C 30
E 3/ 2 f dE E
∴
n N 2 C E 3/ 2 f dE
V 30
E
- - - (22)
(当 kBT <<μ)
n ≈ 2 C 3/ 2[1 2 ( kBT )2 ]
3
8
- - - (23)
从公式(22)到公式(23)利用了以下积分公式:
用通解的后一种表示,可得
- - -(4)
波矢:
kx = nx
L
ky = ny
L
kz = nz
L
(nx, ny, nz 为正整数)
单电子波函数:ψ(x,y,z) = 1(x)2 ( y)3 (z)
= Asin nxx sin nyy sin nzz
L
L
L
- - -(5)
单电子能量:
E = 2 k 2 = 2 ( nx 2 2 + ny 2 2 + nz 2 2 )
1. 单电子薛定锷方程及其通解 由于电子之间无相互作用,各自独立,所有电子感受到的势场是 相同的,运动规律也是一样的。我们可不必计算整个电子气的总 波 函 数( 一 般 解 不 出 ),而 仅 计 算 一 个 电 子 的 波 函 数 。— — — 把 多 电子问题转化为单电子问题。
势能(见图):
0 V
两边除以1(x)2 ( x2
1(x)
+1
2 (y)
2 y2
2
(y)
+1
3(z)
2 z2
3
(z)
]
=
kx2 ky2 kz2
由于方程左边三项各含不同的变量,没有耦合,要使上式成立,
三项必须分别等于3 个常数,得三个方程式:
d
21(x)
dx2
+kx21(x)
=0
d
22 (
许 态 ( k)。 问 题 是 : 怎 样 填 法 ?
对一定的温度 T,在热平衡时,电子填充到能量为 E 的状态的几率
服从费密-狄喇克统计:
f (E,T)
1
exp( E ) 1
kBT
- - - (15)
其中μ为化学势或费密能量:在体积不变的条件下,系统增加一个
电子所需要的自由能。
kB = 1.38×10-23 J/K
)
=
h2 2mL 2
(
nx2
ny2
nz2
)
- - - (10)
4. 讨论: ( (12) )两 行种 进边 平界 面条 波件 (给 9)出有两确种定不的同波的矢单电k 、子动波量函数k 和和单速电度子v 能k量 ;。
m
而驻波(5)无通常意义上的确定波矢和动量(为什么?), 其平均动量 = 0。 (3)势阱宽度 L→∞时,(8)式的 kx,ky,kz 变为连续值,行进平面 波(9)变为无限空间中的平面波;而驻波(5)不能变成平面 波。 以后我们只考虑行进平面波解。