最新高等数学(理专)资料
高等数学(下)(适用于经济类、管理类各专业)6.1-6.2
称其为空间直线的点向式方程.
特别地， 当l=0时， 直线方程为x=x0， y－y0m=z－z0n，
该直线是平面x=x0上的一条直线.
y=y0，
当l=m=0时， 直线方程为x=x0，
该直线是过点（x0， y0， 0）且平行于z轴的一条直线.
例7
解
求过两点P1（1， 2， -1）与P2（3， -2， 5）的直线方程.
类似于平面直角坐标系，
空间中的任意一点也可与三元有序数组（x， y， z）建立一一对应关系.
图6-2
如图6-3所示，对于空间中任意一点P，
可以过点P分别作垂直于x轴、y轴、z轴的三个平面，
这三个平面与坐标轴分别交于A、 B、 C三点，
这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次记为x、 y、 z.
这样一来， 点P就对应到了三元有序数组（x， y， z）；
即平面Oxy上的单位圆.
思考
平面Oxy上的单位圆还可以用其他的方程组来表示吗？
三、 平面与空间直线
1. 平面的方程
平面是特殊的曲面.
因此空间直角坐标系中的平面方程也是关于x、 y、 z的三元方程，
且平面方程的一般形式为Ax+By+Cz+D=0，
且A、 B、 C不全为零.
其中A、 B、 C、 D是常数，
该平面的方程为A（x－x0）+B（y－y0）+C（z－z0）=0，
称其为平面的点法式方程.
例6
在空间直角坐标系中，
求到两定点A（x1， y1， z1）和B（x2， y2， z2）距离相等的点的轨迹.
解
设P（x， y， z）是轨迹上的任意一点， 则|PA|=|PB|，
高等数学(理专)
高等数学（理专）（1）函数y=|x-1|+2的极小值点是( )••••正确答案:B（2）设函数f(x-2)=x^2+1，则f(x+1)=( )••••正确答案:C（3）已知z= 3cos(cos(xy)),则x=0,y=0时的全微分dz=（）••••正确答案:C（4）y=x+arctanx的单调增区间为••••正确答案:B（5）设函数f(x)={x+1,当0≤x＜1},{x-1,当1≤x≤2}则，F(x)=∫f(t)dt,{积分区间是a->x}，则x=1是函数F(x)的（）••••正确答案:C（6）y=x+arctanx的单调增区间为••••正确答案:B（7）设函数f(x)连续，则积分区间（0->x）, d/dx{∫tf(x^2-t^2)dt} = （）••••正确答案:C（8）设函数f(x)在[-a, a](a>0)上是偶函数，则|f(-x)| 在[-a, a]上是()••••正确答案:B（9）求极限lim_{x->0} tan3x/sin5x = ( )••••正确答案:C（10）直线y=2x,y=x/2,x+y=2所围成图形的面积为()•••正确答案:A（11）计算y= 3x^2在[0,1]上与x轴所围成平面图形的面积=（）••••正确答案:B（12）求极限lim_{x->0} tanx/x = ( )••1••正确答案:B（13）下列函数中（）是奇函数••••正确答案:C（14）直线y=2x, y=x/2, x+y=2 所围成图形的面积为( )••••正确答案:B（15）求极限lim_{n->无穷} n^2/(2n^2+1) = ( )•••正确答案:C（16）已知u= xyz, 则x=0,y=0,z=1时的全微分du=（）••••正确答案:D（17）f(x)是给定的连续函数，t>0,则t∫f(tx)dx , 积分区间（0->s/t）的值（）••••正确答案:A（18）已知z= 3sin(sin(xy)),则x=0,y=0时的全微分dz=（）••••（19）函数y=|sinx|在x=0处( )••••正确答案:C（20）∫f(x)dx=F(x)+C,a≠0, 则∫f(b-ax)dx 等于( )••••正确答案:B（21）∫{(e^x-1)/(e^x+1)}dx 等于( )••••（22）函数在一点附近有界是函数在该点有极限的( )••••正确答案:D（23）x->x0时，a(x)和b(x)都是关于x-x0的n阶无穷小量，而a(x)+b(x)是关于x-x0的m阶无穷小量，则（）••••正确答案:C（24）f(x)=|cosx|+|sinx|的最小正周期是（）••••（25）微分方程y'=2x+sinx的一个特解是（）••••正确答案:B（26）微分方程dx-sinydy=0的一个特解是()••••正确答案:A（27）曲线y=(x-1)^2×(x-3)^2的拐点个数为（）••••正确答案:C（28）微分方程sinxdx-sinydy=0的通解是()••••正确答案:D（29）x=0是函数f(x)=x arctan(1/x)的（）••••正确答案:B（30）对于函数f(x)=[(x^2-1)(x^2-4)]^(2/3),下列能满足罗尔定理条件的区间是（）••••正确答案:B（31）已知z=f(x，y)由隐函数xy+g(z)=0确定,其中g(z)关于z可导且导数恒大于0, 则x=0,y=0时的全微分dz=（）••••正确答案:C（32）设F(x)=∫e^(sint) sint dt,{积分区间是x->x+2π},则F（x）为()••••正确答案:A（33）已知u= xy+yz+zx, 则x=0,y=0,z=1时的全微分du=（）••••正确答案:D（34）设f(x)是可导函数，则（）••••正确答案:C（35）f(x)在（-∞，+∞）上有定义，且0≤f(x)≤M，则下列函数必有界的是（）••••正确答案:D（36）下列集合中为空集的是( )••••正确答案:D（37）若x->x0,lim f(x)=A,则必有（）••••正确答案:C（38）已知函数y= 2cos3x-5e2x, 则x=0时的微分dy=（）••••正确答案:D（39）f(x)=m|x+1|+n|x-1|,在（-∞，+∞）上（）••••正确答案:A（40）已知f(x)的一个原函数是e^(-x),则∫xf'(x)dx等于（）••••正确答案:C（41）已知y= 4x^3-5x^2+3x-2, 则x=0时的二阶导数y"=（）••••正确答案:C（42）∫{lnx/x^2}dx等于（）••••正确答案:D（43）函数y=2008x+cosx-sinx的2008阶导数等于（）••••正确答案:B（44）∫(1/(√x (1+x))) dx••••正确答案:A（45）设I=∫{a^(bx)}dx,则（）••••正确答案:A（46）设f(x)=e^(2+x),则当△x→0时，f(x+△x)-f(x)→( )••••正确答案:D（47）微分方程y'+y=x+1的一个特解是（）••••正确答案:B（48）微分方程dx+2ydy=0的通解是（）••••正确答案:A（49）设函数f(x)是在[-m,m]上的连续偶函数，且f(x)≠0,F(x)=∫f(t)dt,{积分区间是a->x}则F(x)（）••••正确答案:D（50）设函数f(x)是在[-m,m]上的连续偶函数，且f(x)≠0,F(x)=∫f(t)dt,{积分区间是a->x}则F(x)（）••••正确答案:D（51）设函数f(x)，g(x)在[a,b]上连续，且在[a,b]区间积分∫f(x)dx=∫g(x)dx，则（）••••正确答案:C（52）函数y=e^(cx)+1是微分方程yy"=(y')^2+y"的（）••••正确答案:D（53）f(x)={0 (当x=0)} {1(当x≠0)}则（）••••正确答案:C（54）曲线ln(x+y)=xy在（1，0）点处的切线（）••••正确答案:B（55）若F'(x)=f(x),则∫dF=( )••••正确答案:D（56）下列结论正确的是（）••••正确答案:C（57）已知f(x)的原函数是cosx,则f '(x)的一个原函数是（）••••正确答案:B（58）下列集合中为空集的是()••••正确答案:D（59）已知z= 5cos3y+3e4xy, 则x=0,y=1时的全微分dz=（）••••正确答案:B（60）已知函数y= 2xsin3x-5e2x, 则x=0时的导数y'=（）••••正确答案:C（61）函数f(x)=(x^2-x-2)|x^3-x|的不可导点的个数为（）••••正确答案:C（62）微分方程ydx+xdy=0的通解是()••••正确答案:A（63）设分段函数f(x)={x+1,当0≤x＜1},{x-1,当1≤x≤2}则，F(x)=∫f(t)dt,{积分区间是a->x}，则x=1是函数F(x)的（）••••正确答案:C（64）集合B是由能被3除尽的全部整数组成的，则B可表示成••••正确答案:C（65）设f(x)的一个原函数是xlnx,则∫xf(x)dx等于( )••••正确答案:B（66）设a(x)=x^m-1,b(x)=x^n-1,m>n>0,且当x->1时，有（）••••正确答案:D（67）已知z= 2cos3x-5ey, 则x=0,y=1时的全微分dz=（）••••正确答案:D（68）∫{lnx/x^2}dx 等于( )•••正确答案:D（69）设X0是函数f(x)的可去间断点，则()••••正确答案:A（70）f(a)f(b)<0,是方程f(x)=0在（a,b）有解的（）••••正确答案:D（71）∫{lnx/x^2}dx 等于( )•••正确答案:D（72）以下数列中是无穷大量的为（）••••正确答案:A（73）以下数列中是无穷大量的为（）••••正确答案:A（74）以下数列中是无穷大量的为（）••••正确答案:A（75）以下数列中是无穷大量的为（）••••正确答案:A（76）微分方程dy/dx=1+y/x+y^2/x^2是（）••••正确答案:B（77）曲线y=f(x)关于直线y=x对称的必要条件是（）••••正确答案:D（78）由曲面z= x^2+2y^2及z=6 -2x^2-y^2所围成的立体的体积=（）••••正确答案:B（79）由曲面z= x^2+2y^2及z=6 -2x^2-y^2所围成的立体的体积=（）••••正确答案:B（80）由曲线y=cosx (0=<x<=3π/2) 与坐标轴所围成的图形面积=（）••••正确答案:B（81）设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),则f’(0)=( )••••正确答案:A（82）集合A={±2，±3，±4，±5，±6}表示••••正确答案:B（83）一枚硬币前后掷两次所出现可能结果的全部所组成的集合，可表示为••••正确答案:D（84）设函数f(x)=x(x-1)(x-3)，则f ＇( 0 ) = ( )••••正确答案:C（85）曲线y=x^2+x-2在点(1.5,1.75)处的切线方程为( )••••正确答案:A（86）一枚硬币前后掷两次所出现可能结果的全部所组成的集合，可表示为••••正确答案:D（87）集合A={±2，±3，±4，±5，±6}表示••••正确答案:B（88）g(x)=1+x,x不等0时，f[g（x）]=(2-x)/x,则f‘(0)=( )••••正确答案:B（89）曲线y=x^2+x-2在点(1.5,1.75)处的切线方程为( )••••正确答案:A（90）极限等于（）.•A•B•C•正确答案:B（91）正弦函数在区间上的平均值等于（）.•••C•D正确答案:C（92）定积分等于（）.••B••D正确答案:D（93）初等函数在其定义区间内必定（）.••••正确答案:C（94）设函数在点处连续，则等于（）.••••正确答案:B（95）抛物线，与轴所围成的平面图形的面积等于（）. •A•B••D正确答案:B（96）函数的定义域为（）.•A(•B•C•D正确答案:D（97）如果函数与构成复合函数，则的取值区间为（）. •A•B•C•D正确答案:D（98）不定积分（）.•A•B•C•D正确答案:D（99）设函数在点处连续，则常数等于（）.••••正确答案:D（100）下列所给微分方程的解中，是通解的是（）.•A•B•C•D正确答案:D（91）正弦函数在区间上的平均值等于（）.•••C•D正确答案:C（92）定积分等于（）.••B••D正确答案:D（93）初等函数在其定义区间内必定（）.••••正确答案:C（94）设函数在点处连续，则等于（）.••••正确答案:B（95）抛物线，与轴所围成的平面图形的面积等于（）. •A•B••D正确答案:B（96）函数的定义域为（）.•A(•B•C•D正确答案:D（97）如果函数与构成复合函数，则的取值区间为（）. •A•B•C•D正确答案:D（98）不定积分（）.•A•B•C•D正确答案:D（99）设函数在点处连续，则常数等于（）.••••（100）下列所给微分方程的解中，是通解的是（）.•A•B•C•D正确答案:D（101）下列不定积分不正确的是（）.•A•B•C•D正确答案:B（102）函数与为同一函数的范围为（）. •A•B•C•D（103）设定积分则常数等于（）.•A•B•C•D正确答案:D（104）下列微分方程中是可分离变量的微分方程的是（）.•A•B•C•D正确答案:A（105）微分方程的通解中含有的相互独立的任意常数的个数是（）.••••正确答案:B（106）函数的不连续点（）.•A仅有一点•B仅有一点•C仅有一点•D有两点和正确答案:D（107）下列微分方程中，是二阶微分方程的一般形式的是（）. •A•B•C•D正确答案:D（108）不定积分等于（）.•A•B•C•D正确答案:D（109）设是二阶线性常系数齐次微分方程微分方程的两个特解，则函数（）.••••正确答案:B（110）设函数在点处连续，且，则常数等于（）.•A•B•C•正确答案:A（111）设函数在点内连续，则常数分别等于（）.••••正确答案:C（112）下列各组函数中，线性相关的是（）.•A•B•C•D正确答案:B（113）下列微分方程中是一阶线性非齐次微分方程的是（）.•A•B•C•D正确答案:C（114）定积分等于（）.••B•C•D正确答案:C（115）已知，则等于（）. •A•B•C•D正确答案:C（116）设函数，则点是函数的（）.••••正确答案:C（117）定积分等于（）.••••正确答案:C（118）设函数在区间上连续，则 ( ). •A•B•C•D正确答案:B（119）微分方程的通解为（）.•A•B•C•D（1）极值点一定包含在区间的内部驻点或导数不存在的点之中。
高数学习资料(含讲义及全部内容)(一)
第一章 函数与极限函数和极限都是高等数学中最重要、最基本的概念，极值方法是最基本的方法，一切内容都将从这二者开始。
§1、 函 数一、集合、常量与变量1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。
通常用大写字母A 、B 、C ……等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。
若事物a 是集合M 的一个元素，就记a ∈M （读a 属于M ）；若事物a 不是集合M 的一个元素，就记a ∉M 或a ∈M （读a 不属于M ）；集合有时也简称为集。
注 1：若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。
2：集合的表示方法：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++======等。
中在点；为我校的学生；须有此性质。
如：中的元素必中，且，即：有此性质的必在所具有的某种性质合可表示为：，那么该集若知其元素有某种性质不到元素规律的集合，、列不出全体元素或找为全体偶数集；，，，然数集，为全体自，，，写出，如：元素的规律，也可类似、对无限集，若知道其；鸡一只猫，一只狗，一只的方法来表示，如：可用列举出其全体元素、若集合为有限集，就枚举法}),(),{(}{}0375{}{)(}642{}321{)(}{},10,,3,2,1{)(23D y x y x C x x B x x x x A A A x x A iii B A ii B A i 3：全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R 。
以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。
4：集合间的基本关系：若集合A 的元素都是集合B 的元素，即若有A x ∈，必有B x ∈，就称A 为B 的子集，记为B A ⊂,或A B ⊃(读B 包含A)。
显然：R Q Z N ⊂⊂⊂.若B A ⊂,同时A B ⊂,就称A 、B 相等,记为A=B 。
5：当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如：{1,2,2,3}={1,2,3}。
高等数学资料
高等数学资料高等数学是大学理工科专业的一门重要课程，它是数学的一个分支，主要研究微积分、线性代数、概率论等内容。
高等数学的学习对于培养学生的逻辑思维能力、创造思维能力以及解决实际问题的能力都有着重要的作用。
高等数学的内容非常广泛，其中微积分是其重要的组成部分。
微积分主要研究函数的极限、函数的连续性、函数的导数和积分等。
在微积分中，我们学习了导数的定义和性质，通过导数可以求出函数的斜率、切线方程、函数的极值等重要信息。
同时，微积分也研究了函数的积分，通过积分可以求出函数的面积、函数的定积分和不定积分等。
微积分的概念和方法可以应用于各个领域，如物理学、经济学、生物学等。
线性代数也是高等数学中的重要内容之一。
线性代数主要研究向量空间、线性方程组、矩阵和行列式等。
在线性代数中，我们学习了向量的概念和性质，通过向量可以表示多个变量的关系。
线性方程组是线性代数中的重要应用，通过求解线性方程组可以得到多个变量的取值。
矩阵是线性代数中的重要工具，通过矩阵可以表示多个变量的线性关系。
行列式是矩阵的一个重要性质，通过行列式可以判断矩阵的特征和性质。
概率论也是高等数学中的重要内容之一。
概率论主要研究随机事件的概率、随机变量的分布和概率分布函数等。
在概率论中，我们学习了概率的定义和性质，通过概率可以描述随机事件发生的可能性。
随机变量是概率论中的重要概念，通过随机变量可以描述随机事件的数值特征。
概率分布函数是概率论中的重要工具，通过概率分布函数可以描述随机变量的取值规律。
高等数学的学习不仅仅是掌握一些概念和方法，更重要的是培养学生的思维能力和解决问题的能力。
在高等数学的学习过程中，我们需要进行大量的思考和实践，通过解决一些实际问题来巩固所学的知识。
高等数学的学习过程中也需要学生具备一定的抽象思维能力，能够将具体问题抽象为数学模型，然后运用数学方法进行求解。
高等数学作为一门重要的理工科课程，对于培养学生的思维能力和解决问题的能力起着重要的作用。
高等数学复习资料大全1
高等数学复习资料大全1概述高等数学是大学数学中的一门重要课程，它是许多工科和理科专业的基础课程之一。
为了帮助大家更好的掌握高等数学知识和应对考试，本文将提供一些高等数学复习资料，供大家参考。
参考书籍1.《高等数学（下）》（同济大学数学系主编），高等教育出版社，2004年出版。
该书是我国一流大学同济大学的本科教材，《高等数学（下）》系统全面地介绍了高等数学的主要概念、理论和方法，并以对学科发展的最新认识为指导，为读者提供了丰富的例题和习题，帮助学生更好地掌握和应用高等数学知识。
2.《高等数学》（第7版）（周远贵、陈思民主编），高等教育出版社，2015年出版。
该书是一本全面介绍高等数学的教材，既涵盖了理工科的基础知识，又具有与实际应用相关的内容，内容全面而又深入浅出，是高等数学学习者的良师益友。
参考课件1.网易公开课：高等数学网易公开课平台提供了大量高等数学课程，可以帮助学生通过语音、图像等多种形式学习高等数学知识。
每一个视频课程都由专业教师授课，可供学生在家中自由学习。
在学习中，学生还可以利用网易公开课APP进行直播互动，同学们可以将自己的问题发表出来，得到更好的答复。
2.中国大学MOOC：高等数学（上、下）中国大学MOOC是中国高等教育领域顶尖的在线学习平台之一，提供了大量高等数学课程，包括《高等数学（上）》和《高等数学（下）》两个部分，涵盖了高等数学的主要知识点。
该平台提供丰富的课程材料和视频资料，可以随时随地进行学习，同时还可以利用平台的社区群组进行交流和学习。
参考视频1.高等数学部分知识点详解（李永乐）该系列高清视频是著名数学教育者、自媒体人李永乐老师根据自己多年的高等数学教学经验，对高等数学知识点进行详解和阐述，包括导数、微积分、无穷级数、矩阵等多种知识点。
视频语言通俗易懂，同时还有大量实例进行讲解，有利于学生掌握数学应用技巧。
2.高等数学梳理+串讲（曾科峰）该视频是著名数学教育网红曾科峰进行的一次高等数学全面复习，在视频中对高等数学知识点进行了重点梳理和串讲，每个知识点均有相关的例题进行实践操作。
高等数学(理工科)习题课件完整
2. 函数 y 1 图形的水平渐近线为 y 0 ，
x 1
垂直渐近线为 x 1 .
3. 函数 f (x) ln(1 x) arccos x 1 的连续区间是 [4,1) .
3
4.
lim
x0
x2
sin
1 x2
sin 3x x
3
.
5. 设 f (x) ln(x 1) ， g(x) x2 1 ，
lim sin (x) 1 (x)0 (x)
(2)
lim1 x) x e
x0
lim [1 1 ](x) e
(x) (x)
1
lim [1 (x)](x) e
(x)0
高等数学应用教程
一、 基本概念与基本性质
无穷小与无穷大
（1）无穷小量的定义 （2）无穷大量的定义 （3）性质与关系 1）有限个无穷小的和仍是无穷小． 2）有界量与无穷小的积仍是无穷小． 3）在自变量的同一变化过程中，如果函数f(x)为无穷大， 则1/f(x)为无穷小；如果f(x)为无穷小且不为零，则1/f(x) 为无穷大．
h0
2h
D
）.
A. 3
2
B. 3 2
C. 1
D. 1
5. 若 y x2 ln x ，则 y （ D ）.
A. 2ln2 B. 2ln x 1 C. 2ln x 2 D. 2ln x 3
7. 由方程 sin y xey 0 所确定的曲线在点 (0,0) 处的切线斜
率为（ B ）.
A. 1 B. 1
高等数学应用教程
一、 基本概念与基本性质
2、基本导数公式
(C ) 0
(sin x) cos x
(tan x) sec2 x
大学全册高等数学知识点(全)
大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一. 数列函数: 1. 类型:(1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数:(3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤⎧=⎨>⎩; *0()(),x x f x F x x x a ≠⎧=⎨=⎩;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ϕ== (5)隐式(方程): (,)0F x y =(6)参式(数一,二): ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩(7)变限积分函数: ()(,)xaF x f x t dt =⎰(8)级数和函数(数一,三): 0(),nn n S x a xx ∞==∈Ω∑2. 特征(几何):(1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ⇒∀--定号) (2)奇偶性与周期性(应用).3. 反函数与直接函数: 11()()()y f x x f y y f x --=⇔=⇒=二. 极限性质:1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞(含x →±∞); *0lim ()x x f x →(含0x x ±→)2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):3. 未定型:000,,1,,0,0,0∞∞∞-∞⋅∞∞∞4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论:11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)nnn na b c a b c ++→, ()00!na a n >→1(0)x x→→∞, 0lim 1xx x +→=, lim 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=, 0lim ln 0nx x x +→=, 0,xx e x →-∞⎧→⎨+∞→+∞⎩ 四. 必备公式:1. 等价无穷小: 当()0u x →时,sin ()()u x u x :; tan ()()u x u x :; 211cos ()()2u x u x -:; ()1()u x eu x -:; ln(1())()u x u x +:; (1())1()u x u x αα+-:;arcsin ()()u x u x :; arctan ()()u x u x : 2. 泰勒公式:(1)2211()2!xe x x o x =+++; (2)221ln(1)()2x x x o x +=-+;(3)341sin ()3!x x x o x =-+;(4)24511cos 1()2!4!x x x o x =-++;(5)22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++.五. 常规方法: 前提: (1)准确判断0,,1,0M α∞∞∞(其它如:00,0,0,∞-∞⋅∞∞); (2)变量代换(如:1t x=) 1. 抓大弃小()∞∞, 2. 无穷小与有界量乘积 (M α⋅) (注:1sin1,x x≤→∞) 3. 1∞处理(其它如:00,∞)4. 左右极限(包括x →±∞):(1)1(0)x x→; (2)()xe x →∞; 1(0)x e x →; (3)分段函数: x , []x , max ()f x5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子)6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(00最后方法); (注意对比: 1ln lim 1x x x x →-与0ln lim 1x x x x→-)(2)幂指型处理: ()()ln ()()v x v x u x u x e=(如: 1111111(1)x x x x xee e e-++-=-)(3)含变限积分;(4)不能用与不便用7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: ()lim (,)n f x F x n →∞=(⇒分段函数)六. 非常手段 1. 收敛准则:(1)()lim ()n x a f n f x →+∞=⇒(2)双边夹: *?n n n b a c ≤≤, *,?n n b c a →(3)单边挤: 1()n n a f a += *21?a a ≥ *?n a M ≤ *'()0?f x >2. 导数定义(洛必达?): 00lim'()x ff x x→=V V V3. 积分和: 10112lim [()()()]()n nf f f f x dx n n n n→∞+++=⎰L ,4. 中值定理: lim[()()]lim '()x x f x a f x a f ξ→+∞→+∞+-=5. 级数和(数一三):(1)1n n a ∞=∑收敛lim 0n n a →∞⇒=, (如2!lim n n n n n →∞) (2)121lim()n n n n a a a a ∞→∞=+++=∑L ,(3){}n a 与11()nn n aa ∞-=-∑同敛散七. 常见应用:1. 无穷小比较(等价,阶): *(),(0)?nf x kx x →: (1)(1)()(0)'(0)(0)0,(0)n n f f f f a -=====⇔L ()()!!n n na a f x x x x n n α=+: (2)()xxn f t dt kt dt ⎰⎰:2. 渐近线(含斜):(1)()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-()f x ax b α⇒++:(2)()f x ax b α=++,(10x→)3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, '()f x 连续性) 八. [,]a b 上连续函数性质1. 连通性: ([,])[,]f a b m M = (注:01λ∀<<, “平均”值:0()(1)()()f a f b f x λλ+-=)2. 介值定理: (附: 达布定理)(1)零点存在定理: ()()0f a f b <0()0f x ⇒=(根的个数); (2)()0(())'0xaf x f x dx =⇒=⎰.第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一. 基本概念:1. 差商与导数: '()f x =0()()limx f x x f x x→+-V V V ; 0'()f x =000()()lim x x f x f x x x →--(1)0()(0)'(0)limx f x f f x →-= (注:0()lim (x f x A f x→=连续)(0)0,'(0)f f A ⇒==)(2)左右导: ''00(),()f x f x -+;(3)可导与连续; (在0x =处, x 连续不可导; x x 可导)2. 微分与导数: ()()'()()'()f f x x f x f x x o x df f x dx =+-=+⇒=V V V V (1)可微⇔可导; (2)比较,f df ∆与"0"的大小比较(图示); 二. 求导准备:1. 基本初等函数求导公式; (注: (())'f x )2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数1'dx dy y = 三. 各类求导(方法步骤):1. 定义导: (1)'()f a 与'()x a f x =; (2)分段函数左右导; (3)0()()limh f x h f x h h→+--(注: 0()(),x x F x f x x x a ≠⎧=⎨=⎩, 求:0'(),'()f x f x 及'()f x 的连续性) 2. 初等导(公式加法则):(1)[()]u f g x =, 求:0'()u x (图形题); (2)()()xaF x f t dt =⎰, 求:'()F x (注: ((,))',((,))',(())'x b baaaf x t dt f x t dt f t dt ⎰⎰⎰)(3)0102(),()x x f x y x x f x <⎧=⎨≥⎩,求''00(),()f x f x -+及0'()f x (待定系数)3. 隐式((,)0f x y =)导: 22,dy d y dx dx (1)存在定理;(2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法.4. 参式导(数一,二): ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩, 求:22,dy d ydx dx 5. 高阶导()()n f x 公式:()()ax n n axe a e =; ()11!()()n n n b n a bx a bx +=--; ()(sin )sin()2n n ax a ax n π=+⨯; ()(cos )cos()2n n ax a ax n π=+⨯()()1(1)2(2)()'"n n n n n n uv u v C uv C u v --=+++L 注: ()(0)n f与泰勒展式: 2012()nn f x a a x a x a x =+++++L L ()(0)!n n f a n ⇒=四. 各类应用:1. 斜率与切线(法线); (区别: ()y f x =上点0M 和过点0M 的切线)2. 物理: (相对)变化率-速度;3. 曲率(数一二):ρ=曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点0'()0f x =):(1) '()0()f x f x ≥⇒Z ; '()0()f x f x ≤⇒];(2)分段函数的单调性(3)'()0f x >⇒零点唯一; "()0f x >⇒驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点:(1)表格('()f x 变号); (由0002'()'()''()lim0,lim 0,lim 00x x x x x x f x f x f x x x x x→→→≠≠≠⇒=的特点) (2)二阶导(0'()0f x =)注(1)f 与',"f f 的匹配('f 图形中包含的信息);(2)实例: 由'()()()()f x x f x g x λ+=确定点“0x x =”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 3. 不等式证明(()0f x ≥)(1)区别: *单变量与双变量? *[,]x a b ∈与[,),(,)x a x ∈+∞∈-∞+∞? (2)类型: *'0,()0f f a ≥≥; *'0,()0f f b ≤≥*"0,(),()0f f a f b ≤≥; *00"()0,'()0,()0f x f x f x ≥=≥ (3)注意: 单调性⊕端点值⊕极值⊕凹凸性. (如: max ()()f x M f x M ≤⇔=) 4. 函数的零点个数: 单调⊕介值六. 凹凸与拐点(必求导!): 1. "y ⇒表格; (0"()0f x =)2. 应用: (1)泰勒估计; (2)'f 单调; (3)凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点) 1. 结论: ()()'()()0F b F a F f ξξ=⇒== 2. 辅助函数构造实例: (1)()f ξ⇒()()xaF x f t dt =⎰(2)'()()()'()0()()()f g f g F x f x g x ξξξξ+=⇒= (3)()'()()()'()0()()f x fg f g F x g x ξξξξ-=⇒= (4)'()()()0f f ξλξξ+=⇒()()()x dxF x e f x λ⎰=;3. ()()0()n ff x ξ=⇔有1n +个零点(1)()n f x -⇔有2个零点4. 特例: 证明()()n fa ξ=的常规方法:令()()()n F x f x P x =-有1n +个零点(()n P x 待定)5. 注: 含12,ξξ时,分家!(柯西定理)6. 附(达布定理): ()f x 在[,]a b 可导,['(),'()]c f a f b ∀∈,[,]a b ξ∃∈,使:'()f c ξ= 八. 拉格朗日中值定理1. 结论: ()()'()()f b f a f b a ξ-=-; (()(),'()0a b ϕϕξϕξ<⇒∃∍>)2. 估计: '()f f x ξ=V V九. 泰勒公式(连接,',"f f f 之间的桥梁) 1. 结论: 2300000011()()'()()"()()"'()()2!3!f x f x f x x x f x x x f x x ξ=+-+-+-; 2. 应用: 在已知()f a 或()f b 值时进行积分估计十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用] 第三讲: 一元积分学一. 基本概念: 1. 原函数()F x :(1)'()()F x f x =; (2)()()f x dx dF x =; (3)()()f x dx F x c =+⎰注(1)()()xaF x f t dt =⎰(连续不一定可导);(2)()()()()xx aax t f t dt f t dt f x -⇒⇒⎰⎰ (()f x 连续)2. 不定积分性质:(1)(())'()f x dx f x =⎰; (())()d f x dx f x dx =⎰(2)'()()f x dx f x c =+⎰; ()()df x f x c =+⎰二. 不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法: 拆(线性性)1212(()())()()k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎰⎰⎰3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活(221sin cos x x =+)如: 211(),,ln ,2dx dx d ax b xdx dx d x a x =+==2=(1ln )(ln )x dx d x x =+=4. 变量代换:(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换): 1sin ,,,x t t t t x====(2)作用与引伸(化简):x t =5. 分部积分(巧用):(1)含需求导的被积函数(如ln ,arctan ,()xax x f t dt ⎰);(2)“反对幂三指”: ,ln ,n ax nx e dx x xdx ⎰⎰(3)特别:()xf x dx ⎰ (*已知()f x 的原函数为()F x ; *已知'()()f x F x =)6. 特例: (1)11sin cos sin cos a x b x dx a x b x ++⎰; (2)(),()sin kx p x e dx p x axdx ⎰⎰快速法; (3)()()n v x dx u x ⎰ 三. 定积分:1. 概念性质:(1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续) (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)*2(0)8a a π>=⎰; *()02baa bx dx +-=⎰ (3)附:()()baf x dx M b a ≤-⎰,()()()bbaaf xg x dx M g x dx ≤⎰⎰)(4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重2: 变限积分()()xax f t dt Φ=⎰的处理(重点)(1)f 可积⇒Φ连续, f 连续⇒Φ可导 (2)(())'xaf t dt ⎰()f x =; (()())'()x xaax t f t dt f t dt -=⎰⎰;()()()xaf x dt x a f x =-⎰(3)由函数()()xaF x f t dt =⎰参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题3. N L -公式:()()()baf x dx F b F a =-⎰(()F x 在[,]a b 上必须连续!)注: (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性 (2)有理式, 三角式, 根式 (3)含()baf t dt ⎰的方程.4. 变量代换: ()(())'()baf x dx f u t u t dt βα=⎰⎰(1)00()()()aa f x dx f a x dx x a t =-=-⎰⎰,(2)()()()[()()]aaaaaf x dx f x dx x t f x f x dx --=-=-=+-⎰⎰⎰ (如:4411sin dx x ππ-+⎰)(3)2201sin n n n n I xdx I nπ--==⎰,(4)2200(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰;20(sin )2(sin )f x dx f x dx ππ=⎰⎰,(5)(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰,5. 分部积分(1)准备时“凑常数” (2)已知'()f x 或()xaf x =⎰时, 求()baf x dx ⎰6. 附: 三角函数系的正交性: 22200sin cos sin cos 0nxdx nxdx nx mxdx πππ===⎰⎰⎰220sin sin cos cos ()0nx mxdx nx mxdx n m ππ=≠=⎰⎰22220sin cos nxdx nxdx πππ==⎰⎰四. 反常积分: 1. 类型: (1)(),(),()aa f x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰(()f x 连续)(2)()baf x dx ⎰: (()f x 在,,()x a x b x c a c b ===<<处为无穷间断)2. 敛散;3. 计算: 积分法⊕N L -公式⊕极限(可换元与分部)4. 特例: (1)11p dx x +∞⎰; (2)101p dx x⎰ 五. 应用: (柱体侧面积除外)1. 面积, (1)[()()];baS f x g x dx =-⎰(2)1()dcS f y dy -=⎰;(3)21()2S r d βαθθ=⎰; (4)侧面积:2(b a S f x π=⎰ 2. 体积: (1)22[()()]bx aV f x g x dx π=-⎰; (2)12[()]2()d by caV f y dy xf x dx ππ-==⎰⎰(3)0x x V =与0y y V =3. 弧长: ds =(1)(),[,]y f x x a b =∈ as =⎰(2)12(),[,]()x x t t t t y y t =⎧∈⎨=⎩ 21t t s =⎰(3)(),[,]r r θθαβ=∈:s βαθ=⎰4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,5. 平均值(中值定理): (1)1[,]()baf a b f x dx b a =-⎰;(2)0()[0)limx x f t dt f x→+∞+∞=⎰, (f 以T 为周期:0()Tf t dt fT=⎰)第四讲: 微分方程一. 基本概念1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件)2. 变换方程:(1)令()'""x x t y Dy =⇒=(如欧拉方程)(2)令(,)(,)'u u x y y y x u y =⇒=⇒(如伯努利方程) 3. 建立方程(应用题)的能力 二. 一阶方程:1. 形式: (1)'(,)y f x y =; (2)(,)(,)0M x y dx N x y dy +=; (3)()y a b =2. 变量分离型: '()()y f x g y =(1)解法:()()()()dyf x dx G y F x Cg y =⇒=+⎰⎰(2)“偏”微分方程:(,)zf x y x∂=∂; 3. 一阶线性(重点): '()()y p x y q x +=(1)解法(积分因子法): 00()01()[()()]()xx p x dxx x M x e y M x q x dx y M x ⎰=⇒=+⎰ (2)变化: '()()x p y x q y +=;(3)推广: 伯努利(数一) '()()y p x y q x y α+= 4. 齐次方程: '()y y x=Φ (1)解法: '(),()ydu dxu u xu u x u u x =⇒+=Φ=Φ-⎰⎰(2)特例:111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ 5. 全微分方程(数一): (,)(,)0M x y dx N x y dy +=且N Mx y∂∂=∂∂ dU Mdx Ndy U C =+⇒=6. 一阶差分方程(数三): 1*()()x x x x x n xx y ca y ay b p x y x Q x b+=⎧-=⇒⎨=⎩ 三. 二阶降阶方程1. "()y f x =: 12()y F x c x c =++2. "(,')y f x y =: 令'()"(,)dpy p x y f x p dx=⇒== 3. "(,')y f y y =: 令'()"(,)dpy p y y pf y p dy=⇒== 四. 高阶线性方程: ()"()'()()a x y b x y c x y f x ++= 1. 通解结构:(1)齐次解: 01122()()()y x c y x c y x =+(2)非齐次特解: 1122()()()*()y x c y x c y x y x =++ 2. 常系数方程: "'()ay by cy f x ++= (1)特征方程与特征根: 20a b c λλ++=(2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附: ()axf x ke =的算子法) (3)由已知解反求方程.3. 欧拉方程(数一): 2"'()ax y bxy cy f x ++=, 令2"(1),'tx e x y D D y xy Dy =⇒=-= 五. 应用(注意初始条件):1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); 注: 切线和法线的截距2. 积分等式变方程(含变限积分); 可设()(),()0xaf x dx F x F a ==⎰3. 导数定义立方程:含双变量条件()f x y +=L 的方程4. 变化率(速度)5. 22dv d x F ma dt dt === 6. 路径无关得方程(数一): Q Px y∂∂=∂∂ 7. 级数与方程:(1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法:201201,(0),'(0)y a a x a x a y a y =+++==L8. 弹性问题(数三)第五讲: 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1)000000(,),(,),(,)x y f f x x y y f f x x y f f x y y ∆=++∆=+∆=+V V V V (2)lim ,lim,lim y x x y f ff f f x y∆∆∆==∆∆(3),x y f x f y df +V V @ (判别可微性)注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义: 00(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim,(0,0)lim x y x y f x f f y f f f x y→→--==2. 特例:(1)22(0,0)(,)0,(0,0)xyx y f x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩: (0,0)点处可导不连续;(2)(0,0)(,)0,(0,0)f x y ≠==⎩: (0,0)点处连续可导不可微;二. 偏导数与全微分的计算:1. 显函数一,二阶偏导: (,)z f x y = 注: (1)yx 型; (2)00(,)xx y z ; (3)含变限积分2. 复合函数的一,二阶偏导(重点): [(,),(,)]z f u x y v x y =熟练掌握记号''"""12111222,,,,f f f f f 的准确使用3. 隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式: *(,,)0F x y z =; *(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ (存在定理)(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): 0x y z F dx F dy F dz ++= (要求: 二阶导) (3)注: 00(,)x y 与0z 的及时代入 (4)会变换方程. 三. 二元极值(定义?);1. 二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别)2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用)(1)目标函数与约束条件: (,)(,)0z f x y x y ϕ=⊕=, (或: 多条件) (2)求解步骤: (,,)(,)(,)L x y f x y x y λλϕ=+, 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值(重点).(1)(,){(,)(,)0}z f x y M D x y x y ϕ=⊕∈=≤ (2)实例: 距离问题四. 二重积分计算:1. 概念与性质(“积”前工作): (1)Dd σ⎰⎰,(2)对称性(熟练掌握): *D 域轴对称; *f 奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标; (3)“分块”积分: *12D D D =U ; *(,)f x y 分片定义; *(,)f x y 奇偶 2. 计算(化二次积分):(1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“D ”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用(转换): 22()f x y +附: 222:()()D x a y b R -+-≤; 2222:1x y D a b+≤;双纽线222222()()x y a x y +=- :1D x y +≤ 4. 特例:(1)单变量: ()f x 或()f y (2)利用重心求积分: 要求: 题型12()Dk x k y dxdy +⎰⎰, 且已知D 的面积DS与重心(,)x y5. 无界域上的反常二重积分(数三) 五: 一类积分的应用(():;;;;f M d D L σΩ⇒ΩΩΓ∑⎰):1. “尺寸”: (1)D Dd Sσ⇔⎰⎰;(2)曲面面积(除柱体侧面);2. 质量, 重心(形心), 转动惯量;3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.第六讲: 无穷级数(数一,三)一. 级数概念1. 定义: (1){}n a , (2)12n n S a a a =+++L ; (3)lim n n S →∞(如1(1)!n nn ∞=+∑) 注: (1)lim n n a →∞; (2)n q ∑(或1n a∑); (3)“伸缩”级数:1()n n a a +-∑收敛{}n a ⇔收敛. 2. 性质: (1)收敛的必要条件: lim 0n n a →∞=;(2)加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→; 二. 正项级数1. 正项级数: (1)定义: 0n a ≥; (2)特征: n S Z ; (3)收敛n S M ⇔≤(有界)2. 标准级数: (1)1p n∑, (2)ln k n n α∑, (3)1ln k n n ∑3. 审敛方法: (注:222ab a b ≤+,ln ln ba ab =)(1)比较法(原理):n p ka n:(估计), 如10()n f x dx ⎰;()()P n Q n ∑(2)比值与根值: *1limn n nu u +→∞*n (应用: 幂级数收敛半径计算)三. 交错级数(含一般项):1(1)n n a +-∑(0n a >)1. “审”前考察: (1)0?n a > (2)0?n a →; (3)绝对(条件)收敛?注: 若1lim1n n na a ρ+→∞=>,则n u ∑发散2. 标准级数: (1)11(1)n n +-∑; (2)11(1)n p n +-∑; (3)11(1)ln n p n+-∑ 3. 莱布尼兹审敛法(收敛?) (1)前提:na∑发散; (2)条件: ,0n n a a →]; (3)结论:1(1)n n a +-∑条件收敛.4. 补充方法:(1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→. 5. 注意事项: 对比 na∑;(1)n na-∑;na∑;2na∑之间的敛散关系四. 幂级数:1. 常见形式: (1)nna x∑, (2)()nna x x -∑, (3)20()nna x x -∑2. 阿贝尔定理:(1)结论: *x x =敛*0R x x ⇒≥-; *x x =散*0R x x ⇒≤- (2)注: 当*x x =条件收敛时*R x x ⇒=- 3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1),n nn n a na x x n∑∑与n n a x ∑同收敛半径 (2)nna x∑与20()nna x x -∑之间的转换4. 幂级数展开法:(1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域) 23111,2!3!xe x x x R =++++Ω=L 24111()1,22!4!x x e e x x R -+=+++Ω=L 35111(),23!5!x x e e x x x R --=+++Ω=L 3511sin ,3!5!x x x x R =-+-Ω=L 2411cos 1,2!4!x x x R =-++Ω=L ;211,(1,1)1x x x x =+++∈--L ; 211,(1,1)1x x x x=-+-∈-+L 2311ln(1),(1,1]23x x x x x +=-+-∈-L2311ln(1),[1,1)23x x x x x -=----∈-L3511arctan ,[1,1]35x x x x x =-+-∈-L (2)分解: ()()()f x g x h x =+(注:中心移动) (特别: 021,x x ax bx c=++) (3)考察导函数: ()'()g x f x @0()()(0)xf xg x dx f ⇒=+⎰(4)考察原函数: 0()()xg x f x dx ⎰@()'()f x g x ⇒=5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换): (1)(),S x =+∑∑ (2)'()S x =L ,(注意首项变化) (3)()()'S x =∑,(4)()"()"S x S x ⇒的微分方程 (5)应用:()(1)n nn n aa x S x a S ⇒=⇒=∑∑∑.6. 方程的幂级数解法7. 经济应用(数三):(1)复利: (1)nA p +; (2)现值: (1)nA p -+五. 傅里叶级数(数一): (2T π=)1. 傅氏级数(三角级数): 01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑ 2. Dirichlet 充分条件(收敛定理): (1)由()()f x S x ⇒(和函数) (2)1()[()()]2S x f x f x =-++ 3. 系数公式: 01()cos 1(),,1,2,3,1()sin n n a f x nxdx a f x dx n b f x nxdx πππππππππ---⎧=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩⎰⎰⎰L4. 题型: (注: ()(),?f x S x x =∈)(1)2T π=且(),(,]f x x ππ=∈-L (分段表示)(2)(,]x ππ∈-或[0,2]x π∈ (3)[0,]x π∈正弦或余弦 *(4)[0,]x π∈(T π=) *5. 2T l =6. 附产品: ()f x ⇒01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑ 00001()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞=⇒=++∑001[()()]2f x f x =-++第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一)一. 向量基本运算1. 12k a k b +r r ; (平行b a λ⇔=v v)2. a r ; (单位向量(方向余弦) 01(cos ,cos ,cos )a a aαβγ=u u v v @v )3. a b ⋅r r ; (投影:()aa b b a⋅=v v vv v ; 垂直:0a b a b ⊥⇔⋅=v v v v ; 夹角:(,)a b a b a b⋅=v v v v S v v ) 4. a b ⨯r r ; (法向:,n a b a b =⨯⊥v v v v v ; 面积:S a b =⨯Y v v )二. 平面与直线 1.平面∏(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z n A B C ⊕=v(2)方程(点法式): 000:()()()00A x x B y y C z z Ax By Cz D π-+-+-=⇒+++= (3)其它: *截距式1x y za b c++=; *三点式2.直线L(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z s m n p ⊕=v(2)方程(点向式): 000:x x y y z z L m n p---== (3)一般方程(交面式): 111122220A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩(4)其它: *二点式; *参数式;(附: 线段AB 的参数表示:121121121()(),[0,1]()x a a a t y b b b t t z c c c t=+-⎧⎪=+-∈⎨⎪=+-⎩)3. 实用方法:(1)平面束方程: 11112222:()0A x B y C z D A x B y C z D πλ+++++++= (2)距离公式: 如点000(,)M x y到平面的距离d =(3)对称问题;(4)投影问题.三. 曲面与空间曲线(准备) 1. 曲面(1)形式∑: (,,)0F x y z = 或(,)z f x y =; (注: 柱面(,)0f x y =)(2)法向(,,)(cos ,cos ,cos )x y z n F F F αβγ=⇒v (或(,1)x y n z z =--v)2. 曲线(1)形式():()()x x t y y t z z t =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩, 或(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩;(2)切向: {'(),'(),'()}s x t y t z t =r (或12s n n =⨯v u v u u v)3. 应用(1)交线, 投影柱面与投影曲线;(2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转;(3)锥面计算.四. 常用二次曲面1. 圆柱面: 222x y R += 2. 球面: 2222x y z R ++=变形: 2222x y R z +=-,z =,2222x y z az ++=, 2222000()()()x x y y z z R -+-+-=3. 锥面: z =变形: 222x y z +=, z a = 4. 抛物面: 22z x y =+,变形: 22x y z +=, 22()z a x y =-+ 5. 双曲面: 2221x y z +=± 6. 马鞍面: 22z x y =-, 或z xy =五. 偏导几何应用 1. 曲面(1)法向: (,,)0(,,)x y z F x y z n F F F =⇒=v , 注: (,)(,1)x y z f x y n f f =⇒=-v(2)切平面与法线:2. 曲线(1)切向: (),(),()(',',')x x t y y t z z t s x y z ===⇒=v(2)切线与法平面3. 综合: :Γ00F G =⎧⎨=⎩, 12s n n =⨯v uv u u v六. 方向导与梯度(重点)1. 方向导(l v方向斜率):(1)定义(条件): (,,)(cos ,cos ,cos )l m n p αβγ=⇒v(2)计算(充分条件:可微):cos cos cos x y z uu u u lαβγ∂=++∂ 附: 0(,),{cos ,sin }z f x y l θθ==u r cos sin x y zf f lθθ∂⇒=+∂r(3)附: 2222cos 2sin cos sin xx xy yy f f f f lθθθθ∂=++∂2. 梯度(取得最大斜率值的方向) G u r:(1)计算:()(,)(,)x y a z f x y G gradz f f =⇒==u v; ()(,,)(,,)x y z b u f x y z G gradu u u u =⇒==u v(2)结论()a u l∂∂0G l =⋅u r ur ; ()b 取l G =ur v 为最大变化率方向;()c 0()G M u r为最大方向导数值.第八讲: 三重积分与线面积分(数一)一. 三重积分(fdV Ω⎰⎰⎰)1. Ω域的特征(不涉及复杂空间域):(1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心 (2)投影法: 22212{(,)}(,)(,)xy D x y x y R z x y z z x y =+≤⊕≤≤ (3)截面法: 222(){(,)()}D z x y x y R z a z b =+≤⊕≤≤ (4)其它: 长方体, 四面体, 椭球 2. f 的特征:(1)单变量()f z , (2)22()f x y +, (3)222()f x y z ++, (4)f ax by cz d =+++ 3. 选择最适合方法: (1)“积”前: *dv Ω⎰⎰⎰; *利用对称性(重点)(2)截面法(旋转体): ()baD z I dz fdxdy =⎰⎰⎰(细腰或中空, ()f z , 22()f x y +)(3)投影法(直柱体): 21(,)(,)xyz x y z x y D I dxdy fdz =⎰⎰⎰(4)球坐标(球或锥体): 220sin ()RI d d f d παθϕϕρρ=⋅⋅⋅⎰⎰⎰,(5)重心法(f ax by cz d =+++): ()I ax by cz d V Ω=+++ 4. 应用问题:(1)同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力 (2)Gauss 公式二. 第一类线积分(Lfds ⎰)1. “积”前准备:(1)Lds L =⎰; (2)对称性; (3)代入“L ”表达式2. 计算公式:()[,]((),(()b aLx x t t a b fds f x t y t y y t =⎧∈⇒=⎨=⎩⎰⎰3. 补充说明: (1)重心法:()()Lax by c ds ax by c L ++=++⎰;(2)与第二类互换: LLA ds A dr τ⋅=⋅⎰⎰u v v u v v4. 应用范围 (1)第一类积分 (2)柱体侧面积 (),Lz x y ds ⎰三. 第一类面积分(fdS ∑⎰⎰)1. “积”前工作(重点): (1)dS ∑=∑⎰⎰; (代入:(,,)0F x y z ∑=)(2)对称性(如: 字母轮换, 重心) (3)分片 2. 计算公式:(1)(,),(,)(,,(,xyxy D z z x y x y D I f x y z x y =∈⇒=⎰⎰(2)与第二类互换: A ndS A d S ∑∑⋅=⋅⎰⎰⎰⎰u v v u v u v四: 第二类曲线积分(1):(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰ (其中L 有向)1. 直接计算: ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩,2112:['()'()]t t t t t I Px t Qy t dt →⇒=+⎰常见(1)水平线与垂直线; (2)221x y += 2. Green 公式: (1)()LDQ PPdx Qdy dxdy x y∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰Ñ; (2)()L A B →⎰: *P Q y y ∂∂=⇒∂∂换路径; *P Q y y∂∂≠⇒∂∂围路径(3)L⎰Ñ(xy QP =但D 内有奇点)*LL =⎰⎰蜒(变形)3. 推广(路径无关性):P Qy y∂∂=∂∂ (1)Pdx Qdy du +=(微分方程)()BA L AB u →⇔=⎰(道路变形原理)(2)(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关(f 待定): 微分方程.4. 应用功(环流量):I F dr Γ=⋅⎰u v v(Γ有向τv ,(,,)F P Q R =u v ,(,,)d r ds dx dy dz τ==v v ) 五. 第二类曲面积分: 1. 定义: Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰, 或(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰ (其中∑含侧)2. 计算:(1)定向投影(单项):(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰, 其中:(,)z z x y ∑=(特别:水平面);注: 垂直侧面, 双层分隔(2)合一投影(多项,单层): (,,1)x y n z z =--v[()()]xyPdydz Qdzdx Rdxdy P z Q z R dxdy ∑∑⇒++=-+-+⎰⎰⎰⎰(3)化第一类(∑不投影): (cos ,cos ,cos )n αβγ=v(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑∑⇒++=++⎰⎰⎰⎰3. Gauss 公式及其应用:(1)散度计算: P Q RdivA x y z∂∂∂=++∂∂∂u v (2)Gauss 公式: ∑封闭外侧, Ω内无奇点Pdydz Qdzdx Rdxdy divAdv ∑Ω++=⎰⎰⎰⎰⎰u vÒ(3)注: *补充“盖”平面:0∑∑+⎰⎰⎰⎰; *封闭曲面变形∑⎰⎰Ò(含奇点)4. 通量与积分:A d S ∑Φ=⋅⎰⎰u v u v (∑有向n v ,(),,A P Q R =u v,(,,)d S ndS dydz dzdx dxdy ==u v v )六: 第二类曲线积分(2):(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ++⎰1. 参数式曲线Γ: 直接计算(代入)注(1)当0rot A =u v v 时, 可任选路径; (2)功(环流量):I F dr Γ=⋅⎰u v v2. Stokes 公式: (要求: Γ为交面式(有向), 所张曲面∑含侧)(1)旋度计算: (,,)(,,)R A P Q R x y z∂∂∂=∇⨯=⨯∂∂∂u v u v (2)交面式(一般含平面)封闭曲线: 0F G =⎧⇒⎨=⎩同侧法向{,,}x y z n F F F =v 或{,,}x y z G G G ;(3)Stokes 公式(选择): ()A dr A ndS Γ∑⋅=∇⨯⋅⎰⎰⎰u v v u v vÑ(a )化为Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰; (b )化为(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰; (c )化为fdS ∑⎰⎰高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(xa y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。
专升本理工《高等数学(一)》复习资料
9（. arcsinx）' 1 （1 x 1） 1 x2
10（. arctanx）'
1
1 x2
三、导数
（三）导数的四则运算公式
1（. u v）' u' v'
2（. u.v）' u'.v u.v'
3（. cu）' cu（' c为常数）
4（. u ）' v
u'.vv-2u.v（' v
x x0时，函数f（x）的左右极限存在且等于函数值f（x0），即
lim
x x0 -
f（x）
lim
x x0
f（x）
f（x0），则称函数y
f（x）在点x0处连续.
二、连续
考点2：函数间断点
定义：如果函数 f（x）在点x0处不连续，则称点 x0为f（x）的 一个间断点.由函数在某点连续的定 义可知，如果函数 f（x）
即f（， x0）
lim
x0
f（x0
x） x
f（x0）
f（， x0）
lim
x x0
f（x） f（x0） x x0
f（， x0）
lim
h0
f（x0
h） h
f（x0）
三、导数
（二）基本初等函数的导数公式
1（. c ）' 0 2（. x a）' a x a 1
3（. log a x ）'
1 （a x lna
lim f (x) （0 或lim f（x） 0）
x x0
x
在微积分中，常用希腊字母，，来表示无穷小量.
2.无穷大量概念
如果当自变量x x（0 或x ）时，函数f (x)的绝对值可以 变得充分大（即无限得增大），则称在该变化过程中，f (x)为
高等数学资料
高等数学资料高等数学，是大学数学的一门重要课程，也是理工科学生必修的一门基础学科。
本文将从高等数学的定义、内容、应用和学习方法等方面进行论述，以帮助读者更好地了解和掌握这门学科。
一、高等数学的定义高等数学是指在初等数学的基础上，通过引入极限、导数、积分等概念和方法，对函数、曲线、曲面、空间等进行研究的一门学科。
它是数学的一个重要分支，也是理工科学生必修的一门基础学科。
二、高等数学的内容高等数学的内容主要包括微积分、线性代数、概率论与数理统计等几个方面。
1. 微积分：微积分是高等数学的核心内容，包括极限、导数、积分和微分方程等。
通过微积分的学习，我们可以研究函数的变化规律、曲线的切线和曲率等问题。
2. 线性代数：线性代数是研究向量空间和线性变换的一门学科。
它主要包括向量、矩阵、行列式、特征值与特征向量等内容。
线性代数在物理、工程、计算机等领域有着广泛的应用。
3. 概率论与数理统计：概率论与数理统计是研究随机现象和数据分析的一门学科。
它主要包括概率、随机变量、概率分布、参数估计和假设检验等内容。
概率论与数理统计在金融、经济、生物等领域有着广泛的应用。
三、高等数学的应用高等数学在自然科学、工程技术、经济管理等领域有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景。
1. 物理学：高等数学为物理学提供了强有力的工具和方法。
通过微积分和线性代数的应用，可以研究物体的运动、力学、电磁学等问题。
2. 工程技术：高等数学在工程技术领域有着广泛的应用。
例如，通过微积分和线性代数的应用，可以研究电路的分析、信号的处理、图像的处理等问题。
3. 经济管理：高等数学在经济管理领域也有着重要的应用。
例如，通过概率论与数理统计的应用，可以进行市场调研、风险评估、投资决策等分析。
四、高等数学的学习方法高等数学是一门抽象性较强的学科，学习方法至关重要。
以下是一些学习高等数学的方法和技巧。
1. 理论与实践相结合：高等数学的学习既要理解其基本概念和定理，又要注重实际问题的应用。
成人高等教育《高等数学(理工类二)》复习资料
【公式总结】无穷级数（一）常数项级数1、定义：1）无穷级数：ΛΛ+++++=∑∞=n n nu u u u u3211部分和：n nk kn u u u u uS ++++==∑=Λ3211，正项级数：∑∞=1n n u ，0≥n u 交错级数：∑∞=-1)1(n n n u ，0≥n u 2）级数收敛：若S S n n =∞→lim 存在，则称级数∑∞=1n n u 收敛，否则称级数∑∞=1n n u 发散3）条件收敛：∑∞=1n n u 收敛，而∑∞=1n n u 发散；绝对收敛：∑∞=1n n u 收敛。
2、性质：1）改变有限项不影响级数的收敛性；2）级数∑∞=1n n a ，∑∞=1n n b 收敛，则∑∞=±1)(n n n b a 收敛；3）级数∑∞=1n n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛；4）必要条件：级数∑∞=1n n u 收敛⇒0lim =∞→n n u .（注意：不是充分条件！）3、审敛法正项级数：∑∞=1n n u ，0≥n u 1）定义：S S n n =∞→lim 存在；2）∑∞=1n nu收敛⇔{}n S 有界；3）比较审敛法：∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 为正项级数，且),3,2,1(Λ=≤n v u n n 若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；若∑∞=1n n u 发散，则∑∞=1n n v 发散.4）比较法的推论：∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 为正项级数，若存在正整数m ，当m n >时，n n kv u ≤，而∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；若存在正整数m ，当m n>时，n n kv u ≥，而∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散.5）比较法的极限形式：∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 为正项级数，若)0(lim+∞<≤=∞→l l v u nnn ，而∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；若0lim >∞→nnn v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散.6）比值法：∑∞=1n n u 为正项级数，设l u u nn n =+∞→1lim ，则当1<l 时，级数∑∞=1n n u 收敛；则当1>l时，级数∑∞=1n n u 发散；当1=l 时，级数∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散.7）根值法：∑∞=1n n u 为正项级数，设l u n n n =∞→lim ，则当1<l 时，级数∑∞=1n n u 收敛；则当1>l 时，级数∑∞=1n n u 发散；当1=l 时，级数∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散.8）极限审敛法：∑∞=1n n u 为正项级数，若0lim >⋅∞→nn u n 或+∞=⋅∞→n n u n lim ，则级数∑∞=1n n u 发散；若存在1>p ，使得)0(lim +∞<≤=⋅∞→l l u n n pn ，则级数∑∞=1n n u 收敛.交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：∑∞=-1)1(n n n u ，0≥n u 满足：),3,2,1(1Λ=≤+n u u n n ，且0lim =∞→n n u ，则级数∑∞=-1)1(n n n u 收敛。
《高等数学(理工类)》
吉利学院2020年“专升本”考试大纲《高等数学（理工类）》一、考试说明：《高等数学(理工类)》考试总分100分，包括函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学四个部分。
大纲内容要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。
考试采用闭卷、笔试形式，考试时间总计120分钟，试卷满分100分。
二、考试内容及要求：(一)函数、极限和连续1.函数(1)理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值。
会求分段函数的定义域、函数值，并会做出简单的分段函数图像。
会建立简单实际问题的函数关系式。
(2)理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，会判断函数的单调性，奇偶性，有界性。
(3)了解函数与其反函数之间的关系(定义域、值域、图象)，会求单调函数的反函数。
(4)理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。
(5)掌握基本初等函数及其简单性质与图象。
(6)了解初等函数的概念及其性质。
2.极限(1)理解极限的概念，会求数列极限及函数在一点处的左极限、右极限和极限，了解数列极限存在性定理以及函数在一点处极限存在的充分必要条件。
(2)了解极限的有关性质，熟练掌握极限的四则运算法则。
(3)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
(4)了解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量与无穷大量的关系，会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)。
会熟练运用等价无穷小量代换求极限。
3.连续(1)理解函数在一点连续与间断的概念，会判断函数(含分段函数)的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系。
(2)会求函数的间断点及确定其类型。
(3)掌握闭区间上连续函数的性质，会运用零点定理证明方程根的存在性。
(4)了解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。
(二)一元函数微分学1．导数与微分(1)理解导数的概念，了解导数的几何意义以及函数可导性与连续性之间的关系，会用定义判断函数的可导性。
理工类专业山东省考研复习资料高等数学重点章节梳理
理工类专业山东省考研复习资料高等数学重点章节梳理在山东省考研理工类专业的复习中，高等数学是一个重点章节，它涵盖了许多重要的概念和方法。
在本文中，我们将对高等数学的重点章节进行梳理，以帮助考生更好地进行复习。
一、极限与连续在高等数学中，极限与连续是一个基础且重要的概念。
它们是分析和微积分的基石，对于理解数学的发展和应用具有重要意义。
在复习中，要重点掌握极限的定义和性质，了解函数的连续性及其相关定理，如介值定理和最值定理等。
二、一元函数微分学一元函数微分学是高等数学中的一个重要分支，它研究函数的变化率和极值问题。
在复习中，要着重掌握导数的定义和求导法则，了解函数的增减性和凸凹性等概念，并能熟练应用它们解决实际问题。
三、一元函数积分学一元函数积分学是微积分的另一个重要分支，它研究函数的积分与反函数的关系。
在复习中，要重点掌握不定积分和定积分的定义与性质，了解牛顿-莱布尼茨公式和换元积分法等重要定理和方法，并能熟练运用它们求解各种类型的积分。
四、多元函数微分学多元函数微分学是高等数学中的拓展内容，它研究多元函数的变化率和极值问题。
在复习中，要重点掌握偏导数的定义和求导法则，了解多元函数的最值和条件极值等概念，并能熟练应用它们解决实际问题。
五、多元函数积分学多元函数积分学是微积分的另一个拓展分支，它研究多元函数的积分与反函数的关系。
在复习中，要重点掌握二重积分和三重积分的定义与性质，了解坐标变换和重积分的应用等重要定理和方法，并能熟练运用它们求解各种类型的积分。
六、常微分方程常微分方程是高等数学中的一个重要分支，它研究描述变化规律的微分方程。
在复习中，要着重掌握一阶和二阶常微分方程的基本概念和解法，了解线性常微分方程和常系数线性微分方程的特解和通解，以及常微分方程在物理、生物等领域的应用。
综上所述，高等数学在山东省考研理工类专业的复习中占据重要地位。
对于考生来说，理解和掌握高等数学的重点章节是提高复习效果的关键。
高等数学复习资料大全
高等数学复习资料大全高等数学复习资料大全一、函数的极限1、函数极限的定义：当函数f(x)在x趋近于某一值时，函数值无限接近于某一确定的数值A，则称A为函数f(x)在x趋近于这一值时的极限。
2、函数极限的性质：（1）唯一性：若极限存在，则唯一。
（2）局部有界性：在极限附近的函数值有界。
（3）局部保号性：在极限附近，函数值的符号保持不变。
（4）归结原则：若在某一区间内，f(x)恒等于A，则A为f(x)在该区间内的极限。
3、极限的四则运算：设、存在，则、也存在，且、、、。
4、复合函数的极限：设、存在，且g(x)在u=a处连续，则、存在，且、。
5、无穷小与无穷大：（1）无穷小：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的极限为0，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷小。
（2）无穷大：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷大。
6、两个重要极限：（1）sin x / x = 1 （x趋近于0）；（2）(1+k)^ x / kx = e^k （k为常数且k趋近于0）。
二、导数与微分1、导数的定义：设y=f(x)，若增量 / 趋于0时，之间的比值也趋于0，则称f(x)在处可导，称此比值为f(x)在处的导数。
2、导数的几何意义：函数在某一点处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。
3、微分的定义：设y=f(x)，若函数的增量可以表示为，其中A不依赖于，则称在处可微分，为f(x)在处的微分。
4、导数与微分的关系：若函数在某一点处可导，则在该点处必可微分；反之，若函数在某一点处可微分，则在该点处不一定可导。
5、导数的计算方法：（1）四则运算导数公式；（2）复合函数的导数；（3）隐函数求导法；（4）对数求导法；（5）高阶导数。
三、不定积分1、不定积分的定义：设f(x)是一个函数，是一个常数，则对f(x)进行积分所得的结果称为f(x)的不定积分，记为或。
2、不定积分的性质：（1）线性性质：和都存在，且；（2）恒等性质：都存在，且。
高等数学复习资料(含答案)
专升本高等数学复习资料一、函数、极限和连续 1．函数)(x f y =的定义域是（ ）A ．变量x 的取值范围B ．使函数)(x f y =的表达式有意义的变量x 的取值范围C ．全体实数D ．以上三种情况都不是 2．以下说法不正确的是（ ）A ．两个奇函数之和为奇函数B ．两个奇函数之积为偶函数C ．奇函数与偶函数之积为偶函数D ．两个偶函数之和为偶函数 3．两函数相同则（ ）A ．两函数表达式相同B ．两函数定义域相同C ．两函数表达式相同且定义域相同D ．两函数值域相同 4．函数42y x x =-+-的定义域为（ ）A ．(2,4)B ．[2,4]C ．(2,4]D ．[2,4)5．函数3()23sin f x x x =-的奇偶性为（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶D ．无法判断6．设,121)1(-+=-x xx f 则)(x f 等于( )A ．12-x xB ．x x 212--C ．121-+x xD ．xx212--7． 分段函数是( )A ．几个函数B ．可导函数C ．连续函数D ．几个分析式和起来表示的一个函数 8．下列函数中为偶函数的是( ) A ．x e y -= B ．)ln(x y -= C ．x x y cos 3= D ．x y ln =9．以下各对函数是相同函数的有( ) A ．x x g x x f -==)()(与 B ．x x g x x f cos )(sin 1)(2=-=与C ．1)()(==x g x xx f 与 D ．⎩⎨⎧<->-=-=2222)(2)(x xx x x g x x f 与10．下列函数中为奇函数的是( )A ．)3cos(π+=x y B ．x x y sin = C ．2xx e e y --=D ．23x x y +=11．设函数)(x f y =的定义域是[0,1],则)1(+x f 的定义域是( )A ．]1,2[--B ．]0,1[- C ．[0,1] D ． [1,2]12．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<+=<<-+=2020022)(2x x x x x x f 的定义域是( c ) A ．)2,2(- B ．]0,2(- C ．]2,2(- D ． (0,2]13．若=---+-=)1(,23321)(f xx x x x f 则( b )A ．3-B ．3C ．1-D ．1 14．若)(x f 在),(+∞-∞内是偶函数,则)(x f -在),(+∞-∞内是( b )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．0)(≡x f15．设)(x f 为定义在),(+∞-∞内的任意不恒等于零的函数,则)()()(x f x f x F -+=必是( b )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．0)(≡x F16． 设⎪⎩⎪⎨⎧<<≤<-≤<--=42,021,1211,1)(2x x x x x x f 则)2(πf 等于 ( d )A ．12-πB ．182-πC ． 0D ．无意义17．函数x x y sin 2=的图形（ c ）A ．关于ox 轴对称B ．关于oy 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x y =对称18．下列函数中,图形关于y 轴对称的有( )A ．x x y cos = B ．13++=x x yC ．2xx e e y -+=D ．2xx e e y --=19.函数)(x f 与其反函数)(1x f -的图形对称于直线( )A ．0=y B ．0=x C ．x y = D ．x y -=20. 曲线)1,0(log ≠>==a a x y a y a x 与在同一直角坐标系中,它们的图形( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线x y =轴对称D ．关于原点对称21．对于极限)(limx f x →，下列说法正确的是（ ） A ．若极限)(limx f x →存在，则此极限是唯一的 B ．若极限)(limx f x →存在，则此极限并不唯一C ．极限)(limx f x →一定存在D ．以上三种情况都不正确 22．若极限A )(lim=→x f x 存在，下列说法正确的是（ ）A ．左极限)(lim 0x f x -→不存在 B ．右极限)(lim 0x f x +→不存在 C ．左极限)(lim 0x f x -→和右极限)(lim 0x f x +→存在，但不相等 D ．A )(lim )(lim )(lim 00===→→→-+x f x f x f x x x 23．极限ln 1limx e x x e→--的值是( )A ．1B ．1eC ．0D ．e24．极限ln cot lim ln x xx→＋０的值是( )． A ． 0 B ． 1 C ．∞ D ． 1-25．已知2sin lim20=+→xx bax x ，则（ ） A ．0,2==b aB ．1,1==b aC ．1,2==b aD ．0,2=-=b a 26．设b a <<0，则数列极限l i m n n n n a b →+∞+是A ．aB ．bC ．1D ．b a +27．极限xx 10321lim+→的结果是A ．0B ．21C ．51D ．不存在 28．∞→x limxx 21sin为( )A ．2B ．21C ．1D ．无穷大量29． n m nxmxx ,(sin sin lim0→为正整数）等于（ ） A ．nm B ．mn C ．n m nm --)1( D ．mn m n --)1( 30．已知1tan lim230=+→xx bax x ，则（ ） A ．0,2==b aB ．0,1==b aC ．0,6==b aD ．1,1==b a 31．极限xx x x x cos cos lim+-∞→( )A ．等于1B ．等于0C ．为无穷大D ．不存在32．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=010001sin )(x e x x x x f x 则=→)(limx f x ( )A ．1B ．0C ．1-D ．不存在 33．下列计算结果正确的是( )A ．e x x x =+→10)41(lim B ．410)41(lim e xx x =+→ C ．410)41(lim --→=+e x x x D ．4110)41(lim e x x x =+→34．极限x x xtan 0)1(lim +→等于( ) A ． 1 B ．∞ C ．0 D ．2135．极限⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x sin 11sinlim 0的结果是 A ．1- B ．1 C ．0 D ．不存在36．()01sin lim ≠∞→k kxx x 为 ( )A ．kB ．k1C ．1D ．无穷大量37．极限x x sin lim 2π-→=( )A ．0B ．1C ．1-D ．2π-38．当∞→x 时,函数xx)11(+的极限是( ) A ．e B ．e - C ．1 D ．1-39．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=01cos 001sin )(x x x x x x f ，则=→)(lim 0x f xA ．1B ．0C ．1-D ．不存在40．已知a xax x x 则,516lim21=-++→的值是( ) A ．7 B ．7- C ． 2 D ．341．设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=020tan )(x x x xaxx f ,且)(limx f x →存在,则a 的值是( )A ．1B ．1-C ．2D ．2-42．无穷小量就是（ ）A ．比任何数都小的数B ．零C ．以零为极限的函数D ．以上三种情况都不是43．当0→x时，)2sin(3x x +与x 比较是( )A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．同阶无穷小 ，但不是等价无穷小D ．低阶无穷小 44．当0→x 时，与x 等价的无穷小是（ ）A ．xxsin B ．)1ln(x +C ．)11(2x x -++D ．)1(2+x x45．当0→x时，)3tan(3x x +与x 比较是（ ）A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．同阶无穷小 ，但不是等价无穷小D ．低阶无穷小 46．设,1)(,)1(21)(x x g x xx f -=+-=则当1→x 时（ ）A ．)(x f 是比)(x g 高阶的无穷小B ．)(x f 是比)(x g 低阶的无穷小C ．)(x f 与)(x g 为同阶的无穷小 D ．)(x f 与)(x g 为等价无穷小 47．当+→0x 时, 11)(-+=a x x f 是比x 高阶的无穷小,则( ) A ．1>a B ．0>a C ．a 为任一实常数 D ．1≥a 48．当0→x时，x 2tan 与2x 比较是（ ）A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．同阶无穷小 ，但不是等价无穷小D ．低阶无穷小 49．“当0x x→，A x f -)(为无穷小”是“A x f x x =→)(lim 0”的（ ）A ．必要条件，但非充分条件B ．充分条件，但非必要条件C ．充分且必要条件D ．既不是充分也不是必要条件 50． 下列变量中是无穷小量的有( ) A ．)1ln(1lim0+→x x B ．)1)(2()1)(1(lim 1-+-+→x x x x xC ．x x x 1cos 1lim ∞→D ．xx x 1sin cos lim 0→ 51．设时则当0,232)(→-+=x x f x x ( )A ．)(x f 与x 是等价无穷小量B ．)(x f 与x 是同阶但非等价无穷小量C ．)(x f 是比x 较高阶的无穷小量 D ．)(x f 是比x 较低阶的无穷小量 52． 当+→0x时,下列函数为无穷小的是( )A ．x x 1sinB ．x e 1C ．x lnD ．x xsin 153． 当0→x时,与2sin x 等价的无穷小量是 ( )A ．)1ln(x + B ．x tan C ．()x cos 12- D ．1-x e54． 函数,1sin )(xx x f y ==当∞→x 时)(x f ( )A ．有界变量B ．无界变量C ．无穷小量D ．无穷大量 55． 当0→x时,下列变量是无穷小量的有( )A ．xx 3B ．xx cos C ．x ln D ．xe - 56． 当0→x时,函数xxy sec 1sin +=是( )A ．不存在极限的B ．存在极限的C ．无穷小量D ．无意义的量 57．若0x x→时, )(x f 与)(x g 都趋于零,且为同阶无穷小,则( )A ．0)()(lim=→x g x f x x B ．∞=→)()(lim 0x g x f x xC ．)1,0()()(lim≠=→c c x g x f x x D ．)()(lim 0x g x f x x →不存在58．当0→x 时,将下列函数与x 进行比较,与x 是等价无穷小的为( )A ．x 3tan B ．112-+x C ．x x cot csc - D ．xx x 1sin2+ 59．函数)(x f 在点0x 有定义是)(x f 在点0x 连续的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．即非充分又非必要条件 60．若点0x 为函数的间断点，则下列说法不正确的是（ ）A ．若极限A )(lim 0=→x f x x 存在，但)(x f 在0x 处无定义，或者虽然)(x f 在0x 处有定义，但)(A 0x f ≠，则0x 称为)(x f 的可去间断点B ．若极限)(lim 0x f x x +→与极限)(lim 0x f x x -→都存在但不相等，则0x 称为)(x f 的跳跃间断点C ．跳跃间断点与可去间断点合称为第二类的间断点D ．跳跃间断点与可去间断点合称为第一类的间断点 61．下列函数中,在其定义域内连续的为( )A ．x x x f sin ln )(+= B ．⎩⎨⎧>≤=00sin )(x ex xx f xC ．⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=01011)(x x x x x x f D ．⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001)(x x xx f62．下列函数在其定义域内连续的有( ) A ．xx f 1)(=B ．⎩⎨⎧>≤=0cos 0sin )(x xx xx fC ．⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=01001)(x x x x x x f D ．⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001)(x x xx f63．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≠=021a r c t a n )(x x x x f π 则)(x f 在点0=x 处( )A ．连续B ．左连续C ．右连续D ．既非左连续,也非右连续 64．下列函数在0=x处不连续的有( )A ．⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-0)(2x x e x f xB ．⎪⎩⎪⎨⎧=≠=010sin )(21x x xx x f C ．⎩⎨⎧≥<-=00)(2x x x xx f D ．⎩⎨⎧≤->+=0)1ln()(2x xx x x f 65．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=12111)(2x x x x x f , 则在点)(1x f x 处函数=( ) A ．不连续 B ．连续但不可导 C ．可导,但导数不连续 D ．可导,且导数连续 66．设分段函数⎩⎨⎧<+≥+=011)(2x x x x x f ,则)(x f 在0=x 点( )A ．不连续B ．连续且可导C ．不可导D ．极限不存在 67．设函数)(x f y =,当自变量x 由0x 变到y x x ∆∆+相应函数的改变量时,0=( )A ．)(0x x f ∆+ B ．x x f ∆)('0 C ．)()(00x f x x f -∆+ D ．x x f ∆)(068．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<=012000)(x x x x e x f x，则函数)(x f ( )A ．当0→x时,极限不存在 B ．当0→x 时,极限存在C ．在0=x 处连续D ．在0=x 处可导69．函数)1ln(1-=x y 的连续区间是( )A ．),2[]2,1[+∞⋃B ．),2()2,1(+∞⋃C ．),1(+∞D ．),1[+∞ 70．设nxnxx f x -=∞→13lim)(,则它的连续区间是( )A ．),(+∞-∞B ．处为正整数)(1n nx ≠C ．)0()0,(∞+⋃-∞D ．处及n x x 10≠≠71．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-+=031011)(x x x x x f ， 则函数在0=x 处( )A ．不连续B ．连续不可导C ．连续有一阶导数D ．连续有二阶导数72．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00x x xx y ，则)(x f 在点0=x 处( )A ．连续B ．极限存在C ．左右极限存在但极限不存在D ．左右极限不存在 73．设11cot)(2-+=x arc x x f ，则1=x 是)(x f 的（ ）A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．无穷间断点D ．振荡间断点74．函数2x y e x z y-+=的间断点是( )A ．)1,1(),1,1(),0,1(--B ．是曲线y e y -=上的任意点C ．)1,1(),1,1(),0,0(-D ．曲线2x y =上的任意点75．设2)1(42-+=xx y ,则曲线( ) A ．只有水平渐近线2-=y B ．只有垂直渐近线0=x C ．既有水平渐近线2-=y ,又有垂直渐近线0=x D ．无水平,垂直渐近线76．当0>x时, xx y 1sin=( ) A ．有且仅有水平渐近线 B ．有且仅有铅直渐近线C ．既有水平渐近线,也有铅直渐近线D ．既无水平渐近线,也无铅直渐近线 二、一元函数微分学 77．设函数)(x f 在点0x 处可导，则下列选项中不正确的是（ ）A ．x yx f x ∆∆=→∆00lim)(' B ．xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )('0000C ．00)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→ D ．hx f h x f x f h )()21(lim)('0000--=→ 78．若e cos x y x =，则'(0)y =( )A ．0B ．1C ．1-D ．2 79．设x x g e x f x sin )(,)(==，则=)]('[x g f ( )A ．xe sin B ．xecos - C ．xecos D ．xesin -80．设函数)(x f 在点0x 处可导,且2)('0=x f ,则h x f h x f h )()21(lim 000--→等于( )A ．1-B ．2C ．1D ．21-81．设)(x f 在a x =处可导,则xx a f x a f x )()(lim 0--+→=( )A ．)('a fB ．)('2a fC ．0D ．)2('a f 82．设)(x f 在2=x 处可导，且2)2('=f ，则=--+→hh f h f h )2()2(lim（ ）A ．4B ．0C ．2D ．3 83．设函数)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则)0('f 等于（ ）A ．0B ．6-C ．1D ．3 84．设)(x f 在0=x 处可导，且1)0('=f ，则=--→hh f h f h )()(lim（ ）A ．1B ．0C ．2D ．385．设函数)(x f 在0x 处可导,则0lim→h hx f f )()h - x (00-( )A ．与0x ,h 都有关B ．仅与0x 有关，而与h 无关C ．仅与h 有关,而与0x 无关D ．与0x ,h 都无关 86．设)(x f 在1=x 处可导，且21)1()21(lim=--→h f h f h ，则=)1('f （ ）A ．21 B ．21-C ． 41D ．41- 87．设==-)0('')(2f e x f x 则( )A ．1-B ．1C ．2-D ．288．导数)'(log x a等于( )A ．a x ln 1B ．a x ln 1C ．x x a log 1 D ．x189．若),1()2(249102+-++=x x x x y 则)29(y =( )A ．30B ．29!C ．0D ．30×20×10 90．设',)(',)()(y x f e e f y x f x 则存在且==( )A ．)()()()('x f x x f x e e f e e f +B ．)(')(')(x f e e f x f x ⋅C ．)(')()(')()(x f e e f e e f x f x x f x x ⋅++D ．)()('x f x e e f91．设=---=)0('),100()2)(1()(f x x x x x f 则 ( )A ．100B ．100!C ．！100-D ．100-92．若==',y x y x 则( )A ．1-⋅x x x B ．x xxln C ．不可导 D ．)ln 1(x x x +93．处的导数是在点22)(=-=x x x f ( )A ．1B ．0C ．1-D ．不存在 94．设==-',)2(y x y x 则( )A ．)1()2(x x x +-- B ．2ln )2(xx -C ．)2ln 21()2(x x x+- D ．)2ln 1()2(x x x +-- 95．设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,且,0)()(<b f a f 则 ( )A ．)(x f 在),(b a 内必有最大值或最小值B ．)(x f 在),(b a 内存在唯一的0)(,=ξξf 使C ．)(x f 在),(b a 内至少存在一个0)(,=ξξf 使D ．)(x f 在),(b a 内存在唯一的0)(',=ξξf 使96．设,)()(x g x f y =则=dx dy ( ) A ．])()(')()('[2x g x g x f x f y - B ．])(1)(1[2x g x f y - C ．)()('21x g x f y ⋅ D ．)()('2x g x f y ⋅ 97．若函数)(x f 在区间)b a,(内可导，则下列选项中不正确的是（ ）A ．若在)b a,(内0)('>x f ，则)(x f 在)b a,(内单调增加B ．若在)b a,(内0)('<x f ，则)(x f 在)b a,(内单调减少C ．若在)b a,(内0)('≥x f ，则)(x f 在)b a,(内单调增加D ．)(x f 在区间)b a,(内每一点处的导数都存在98．若)(y x f =在点0x 处导数存在，则函数曲线在点))(,(00x f x 处的切线的斜率为（ ）A ．)('0x f B ．)(0x f C ．0 D ．199．设函数)(yx f =为可导函数，其曲线的切线方程的斜率为1k ，法线方程的斜率为2k ，则1k 与2k 的关系为（ ）A ．211k k =B ．121-=⋅k kC ．121=⋅k kD ．021=⋅k k100．设0x 为函数)(x f 在区间()b a ,上的一个极小值点，则对于区间()b a ,上的任何点x ，下列说法正确的是（ ）A ．)()(0x f x f >B ．)()(0x f x f <C ．)()(0x f x f -> D ．)()(0x f x f -<101．设函数)(x f 在点0x 的一个邻域内可导且0)('0=x f （或)('0x f 不存在），下列说法不正确的是（ ） A ．若0x x <时, 0)('>x f ；而0x x >时, 0)('<x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极大值 B ．若0x x <时, 0)('<x f ；而0x x >时, 0)('>x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极小值 C ．若0x x <时, 0)('<x f ；而0x x >时, 0)('>x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极大值D ．如果当x 在0x 左右两侧邻近取值时, )('x f 不改变符号,那么函数)(x f 在0x 处没有极值102．0)('0=x f ,0)(''0≠x f ，若0)(''0>x f ，则函数)(x f 在0x 处取得（ ）A ．极大值B ．极小值C ．极值点D ．驻点 103．b x a<<时，恒有0)(>''x f ，则曲线)(x f y =在()b a ,内（ ）A ．单调增加B ．单调减少C ．上凹D ．下凹 104．数()e x f x x =-的单调区间是( ) ．A ．在),(+∞-∞上单增B ．在),(+∞-∞上单减C ．在(,0)-∞上单增，在(0,)+∞上单减D ．在(,0)-∞上单减，在(0,)+∞上单增 105．数43()2f x x x =-的极值为（ ）． A ．有极小值为(3)f B ．有极小值为(0)f C ．有极大值为(1)f D ．有极大值为(1)f -106．x e y =在点(0,1)处的切线方程为( )A ．x y +=1 B ．x y +-=1 C ．x y -=1 D ．x y --=1 107．函数x x x x x f 处的切线与的图形在点)1,0(162131)(23+++=轴交点的坐标是( ) A ．)0,61(- B ．)0,1(- C ．)0,61( D ．)0,1(108．抛物线x y =在横坐标4=x 的切线方程为 ( )A ．044=+-y x B ．044=++y x C ．0184=+-y x D ．0184=-+y x109．线)0,1()1(2在-=x y 点处的切线方程是( )A ．1+-=x y B ．1--=x y C ．1+=x y D ．1-=x y110．曲线)(x f y =在点x 处的切线斜率为,21)('x x f -=且过点(1,1),则该曲线的方程是( ) A ．12++-=x x y B ．12-+-=x x y C ．12++=x x y D ．12-+=x x y111．线22)121(++=x e y x 上的横坐标的点0=x 处的切线与法线方程( )A ．063023=-+=+-y x y x 与B ．063023=--=++-y x y x 与C ．063023=++=--y x y x 与D ．063023=+-=++y x y x 与112．函数处在点则0)(,)(3==x x f x x f ( )A ．可微B ．不连续C ．有切线,但该切线的斜率为无穷D ．无切线 113．以下结论正确的是( )A ．导数不存在的点一定不是极值点B ．驻点肯定是极值点C ．导数不存在的点处切线一定不存在D ．0)('0=x f 是可微函数)(x f 在0x 点处取得极值的必要条件114．若函数)(x f 在0=x 处的导数,0)0('=f 则0=x 称为)(x f 的( )A ．极大值点B ．极小值点C ．极值点D ．驻点 115．曲线)1ln()(2+=x x f 的拐点是( )A ．)1ln ,1(与)1ln ,1(-B ．)2ln ,1(与)2ln ,1(-C ．)1,2(ln 与)1,2(ln -D ．)2ln ,1(-与)2ln ,1(-- 116．线弧向上凹与向下凹的分界点是曲线的( )A ．驻点B ．极值点C ．切线不存在的点D ．拐点 117．数)(x f y =在区间[a,b]上连续,则该函数在区间[a,b]上( )A ．一定有最大值无最小值B ．一定有最小值无最大值C ．没有最大值也无最小值D ．既有最大值也有最小值 118．下列结论正确的有( )A ．0x 是)(x f 的驻点,则一定是)(x f 的极值点B ．0x 是)(x f 的极值点,则一定是)(x f 的驻点C ．)(x f 在0x 处可导,则一定在0x 处连续D ．)(x f 在0x 处连续,则一定在0x 处可导119．由方程yx exy +=确定的隐函数)(x y y ==dxdy( )A ．)1()1(x y y x -- B ．)1()1(y x x y -- C ．)1()1(-+y x x y D ．)1()1(-+x y y x120．=+=x y y xe y ',1则( )A ．yyxe e -1 B ．1-yy xe e C ．yyxe e -+11 D ．y e x )1(+121．设x x g e x f x sin )(,)(==，则=)]('[x g f （ ）A ．xe sin B ．xecos - C ．xecos D ．xesin -122．设x x g e x f x cos )(,)(-==，则=)]('[x g fA ．xe sin B ．xecos - C ．xecos D ．xesin -123．设)(),(x t t f y φ==都可微，则=dyA ．dt t f )(' B ．)('x φdx C ．)('t f )('x φdt D ．)('t f dx124．设,2sin xey =则=dy （ ）A ．x d e x 2sinB ．x d e x 2sin sin 2C ．xxd e x sin 2sin 2sin D ．x d e x sin 2sin125．若函数)(x f y =有dy x x x x f 处的微分该函数在时则当00,0,21)('=→∆=是( ) A ．与x ∆等价的无穷小量 B ．与x ∆同阶的无穷小量 C ．比x ∆低阶的无穷小量 D ．比x ∆高阶的无穷小量126．给微分式21xxdx -,下面凑微分正确的是( )A ．221)1(xx d ---B ．221)1(xx d -- C ．2212)1(xx d ---D ．2212)1(xx d --127．下面等式正确的有( ) A ．)(sin sin x x x xe d e dx e e= B ．)(1x d dx x=-C ．)(222x d e dx xe x x -=-- D ．)(cos sin cos cos x d e xdx e x x =128．设)(sin x f y =,则=dy ( )A ．dx x f )(sin ' B ．x x f cos )(sin ' C ．xdx x f cos )(sin ' D ．xdx x f cos )(sin '-129．设,2sin xey =则=dyA ．x d e x 2sinB ．x d e x2sinsin 2C ．x xd e xsin 2sin 2sinD ．x d e x sin 2sin三、一元函数积分学130．可导函数)(F x 为连续函数)(x f 的原函数，则( )A ．0)('=x f B ．)()(F'x f x = C ．0)(F'=x D ．0)(=x f131．若函数)(F x 和函数)(x Φ都是函数)(x f 在区间I 上的原函数，则有( )A ．I x x x ∈∀=Φ),(F )('B ．I x x x ∈∀Φ=),()(FC ．I x x x ∈∀Φ=),()(F' D ．Ix C x x ∈∀=Φ-,)()(F132．有理函数不定积分2d 1x x x⎰+等于（ ）． A ．2ln 12x x x C ++++ B ．2ln 12x x x C --++ C ．2ln 12x x x C -+++ D ．2ln 122x xx C -+++ 133．不定积分22d 1x x-⎰-等于（ ）． A ．2arcsin x C + B ．2arccos x C + C ．2arctan x C + D ．2cot arc x C +134．不定积分2e e (1)d xxx x-⎰-等于（ ）．A ．1exC x -++ B ．1e x C x -+ C ．1e x C x ++ D ．1e xC x--+135．函数x e x f 2)(=的原函数是( )A ．4212+xe B ．x e 22 C ．3312+x e D ．x e 231136．⎰xdx 2sin 等于( )A ．c x +2sin 21 B ．c x +2sin C ．c x +-2cos2 D ．c x +2cos 21137．若⎰⎰-=xdx x x dx x xf sin sin )(,则)(x f 等于（ ）A ．x sinB ．xxsin C ．x cos D ．x x cos138． 设x e -是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x xf )('（ ）A ．c x e x+--)1( B ．c x e x ++--)1( C ．c x e x +--)1( D ． c x e x ++-)1(139．设,)(x e x f -= 则⎰=dx xx f )(ln ' ( ) A ．c x +-1 B ．c x+1C ．c x +-lnD ．c x +ln140．设)(x f 是可导函数，则()')(⎰dx x f 为（ ）A ．)(x f B ．c x f +)( C ．)('x f D ．c x f +)('141． 以下各题计算结果正确的是( )A ．⎰=+x x dx arctan 12 B ．c xdx x +=⎰21C ．⎰+-=c x xdx cos sin D ．⎰+=c x xdx 2sectan142． 在积分曲线族⎰dx x x中,过点(0,1)的积分曲线方程为( )A ．12+x B ．1)(525+x C ．x 2 D ．1)(255+x143．⎰dx x 31=( ) A ．c x +--43 B ．c x+-221 C ． c x +-221 D ． c x +-221 144．设)(x f 有原函数x x ln ,则⎰dx x xf )(=( )A ．c x x++)ln 4121(2B ．c x x ++)ln 2141(2C ．c x x +-)ln 2141(2D ．c x x +-)ln 4121(2 145．⎰=xdx x cos sin ( )A ．c x +-2cos 41 B ．c x +2cos 41 C ．c x +-2sin 21 D ．c x +2cos 21146．积分=+⎰dx x ]'11[2( ) A ．211x + B ．c x++211C ．x tan argD ．c x +arctan 147．下列等式计算正确的是( )A ．⎰+-=c x xdx cos sin B ．c x dx x+=---⎰43)4(C ．c x dx x+=⎰32D ．c dx x x +=⎰22148．极限⎰⎰→xxx xdxtdt00sin lim的值为（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．1149．极限⎰⎰→x xx dxx tdt202sinlim的值为（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．1150．极限43sin limxdttxx ⎰→=( )A ．41B ．31 C ．21 D ．1151．=⎰+2ln 01x t dt edxd（ ）A ．)1(2+xe B ．ex C ．ex 2 D ．12+xe152．若⎰=xtdt dx dx f 0sin )(，则（）A ．x x f sin )(=B ．x x f cos 1)(+-=C ．c x x f +=sin )( D ．x x f sin 1)(-=153．函数()⎰+-=xdt t t tx 0213φ在区间]10[，上的最小值为（ ）A ．21 B ．31C ．41D ．0 154．若()⎰+==xtx c dt t e x f e x x g 02122213)(,)(，且23)(')('lim=+∞→x g x f x 则必有（ ）A ．0=cB ．1=cC ．1-=cD ．2=c 155．⎰=+xdt t dx d14)1(( )A ．21x + B ．41x + C ．2121x x+ D ．x x+121 156．=⎰]sin [02dt t dx d x( ) A ．2cos x B ．2cos 2x x C ．2sin x D ．2cos t157．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠=⎰00sin )(20x a x x tdt x f x在0=x 点处连续,则a 等于（ ） A ．2 B ．21C ．1D ．2-158．设)(x f 在区间],[b a 连续, ),()()(b x a dt t f x F xa≤≤=⎰则)(x F 是)(x f 的( )A ．不定积分B ．一个原函数C ．全体原函数D ．在],[b a 上的定积分159．设则为连续函数其中,)(,)()(2x f dt t f ax x x F xa ⎰-=)(lim x F a x →=( ) A ．2a B ．)(2a f a C ． 0 D ．不存在160．函数x2sin 1的原函数是( ) A ．c x +tan B ．c x +cot C ．c x +-cot D ． xsin 1-161．函数)(x f 在[a,b]上连续, ⎰=xadt t f x )()(ϕ,则( )A ．)(x ϕ是)(x f 在[a,b]上的一个原函数B ．)(x f 是)(x ϕ的一个原函数C ．)(x ϕ是)(x f 在[a,b]上唯一的原函数 D ． )(x f 是)(x ϕ在[a,b]上唯一的原函数162．广义积分=⎰+∞-0dx e x ( )A ．0B ．2C ．1D ．发散 163．=+⎰dx x π2cos 1( )A ．0B ． 2C ．22D ．2164．设)(x f 为偶函数且连续,又有等于则)(,)()(0x F dt t f x F x -=⎰( )A ．)(x FB ．)(x F -C ． 0D ． 2)(x F165．下列广义积分收敛的是（ ）A ．⎰+∞1xdx B ．⎰+∞1xxdx C ．dx x ⎰+∞1D ．⎰+∞132xdx166．下列广义积分收敛的是（ ）A ．⎰+∞13x dx B ．⎰+∞1cos xdx C ．dx x ⎰+∞1ln D ．⎰+∞1dx e x167．⎰+∞->apxp dx e )0(等于( )A ．pae- B ．pa e a -1 C ．pa e p -1 D ．)1(1pa e p-- 168．=⎰∞+ex x dx2)(ln ( )A ．1B ．e1C ．eD ．∞+(发散) 169．积分dx e kx-+∞⎰收敛的条件为（ ）A ．0>kB ．0<kC ．0≥kD ．0≤k170．下列无穷限积分中,积分收敛的有( ) A ．⎰∞-0dx e xB ．⎰+∞1xdxC ．⎰∞--0dx exD ．⎰∞-0cos xdx171．广义积分⎰∞+edx xxln 为( ) A ．1 B ．发散 C ．21 D ．2172．下列广义积分为收敛的是( )A ．⎰+∞e dx x xln B ．⎰+∞e x x dx lnC ．⎰∞+e dx x x 2)(ln 1 D ．⎰+∞e dx x x 21)(ln 1173．下列积分中不是广义积分的是( ) A ．⎰+∞+0)1ln(dx x B ．⎰-42211dx x C ．⎰11-21dx x D ．⎰+03-11dx x174．函数()f x 在闭区间[a,b]上连续是定积分⎰badx x f )(在区间[a,b]上可积的（ ）．A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又飞必要条件 175．定积分121sin 1xdx x -+⎰等于（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．1- 176．定积分⎰-122d ||x x x 等于（ ）． A ．0 B ． 1 C ．174 D ．174- 177．定积分x x x d e )15(405⎰+等于（ ）． A ．0 B ．5e C ．5-e D ．52e178．设)(x f 连续函数，则=⎰22)(dx x xf （ ）A ．⎰40)(21dx x f B ．⎰2)(21dx x f C ．⎰40)(2dx x f D ．⎰40)(dx x f 179．积分⎰--=-11sin 2xdx x e e xx （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 180．设)(x f 是以T 为周期的连续函数,则定积分⎰+=Tl ldx x f I )(的值( )A ．与l 有关B ．与T 有关C ．与l ,T 均有关D ．与l ,T 均无关 181．设)(x f 连续函数，则=⎰2)(dx xx f （ ） A ．⎰+210)(21dx x f B ．⎰+210)(2dx x f C ．⎰2)(dx x f D ．⎰2)(2dx x f182．设)(x f 为连续函数,则⎰1)2('dx x f 等于（ ）A ．)0()2(f f - B ．[])0()1(21f f - C ．[])0()2(21f f - D ．)0()1(f f - 183．C 数)(x f 在区间[a,b]上连续,且没有零点,则定积分⎰b adx x f )(的值必定( )A ．大于零B ．大于等于零C ．小于零D ．不等于零 184．下列定积分中,积分结果正确的有( ) A ．c x f dx x f ba +=⎰)()(' B ．)()()('a f b f dx x f ba+=⎰C ．)]2()2([21)2('a f b f dx x f ba-=⎰D ．)2()2()2('a f b f dx x f b a -=⎰185．以下定积分结果正确的是( )A ．2111=⎰-dx x B ．21112=⎰-dx x C ．211=⎰-dx D ．211=⎰-xdx 186．⎰=adx x 0)'(arccos ( )A ．211x-- B ．c x+--211 C ．c a +-2arccos πD ．0arccos arccos -a187．下列等式成立的有( ) A ．0sin 11=⎰-xdx x B ．011=⎰-dx e xC ．a b xdx abtan tan ]'tan [-=⎰D ．xdx xdx d xsin sin 0=⎰188．比较两个定积分的大小( ) A ．⎰⎰<213212dx x dx x B ．⎰⎰≤213212dx x dx xC ．⎰⎰>213212dx x dx x D ．⎰⎰≥213212dx x dx x189．定积分⎰-+22221sin dx x xx 等于( ) A ．1 B ．-1 C ．2 D ．0 190．⎰=11-x dx ( )A ．2B ．2-C ．1D ．1-191．下列定积分中,其值为零的是( ) A ．⎰22-sin xdx x B ．⎰2cos xdx xC ．⎰+22-)(dx x e x D ．⎰+22-)sin (dx x x192．积分⎰-=21dx x ( )A ．0B ．21 C ．23 D ．25193．下列积分中,值最大的是( ) A ．⎰12dx x B ．⎰103dx x C ．⎰104dx x D ．⎰15dx x194．曲线x y -=42与y 轴所围部分的面积为（）A ．[]⎰--2224dy y B ．[]⎰-224dy y C ．⎰-44dx x D ．⎰--444dx x195．曲线x e y =与该曲线过原点的切线及y 轴所围形的为面积（ ）A ．()⎰-exxdx xe e1B ．()⎰-1ln ln dy y y yC ．()⎰-1dx ex exD ．()⎰-edy y y y 1ln ln196．曲线2x y x y ==与所围成平面图形的面积( )A ．31B ．31- C ．1 D ．-1四、常微分方程 197．函数y c x =-（其中c 为任意常数）是微分方程1x y y '+-=的（ ）．A ．通解B ．特解C ．是解，但不是通解，也不是特解D ．不是解 198．函数23x y e =是微分方程40y y ''-=的（ ）． A ．通解 B ．特解 C ．是解，但不是通解，也不是特解 D ．不是解 199．2()sin y y x y x '''++=是（ ）．A ．四阶非线性微分方程B ．二阶非线性微分方程C ．二阶线性微分方程D ．四阶线性微分方程 200．下列函数中是方程0y y '''+=的通解的是（ ）． A ．12sin cos y C x C x =+ B ．x y Ce -=C ．y C =D ．12x y C e C -=+专升本高等数学综合练习题参考答案1．B 2．C 3．C4．B 在偶次根式中，被开方式必须大于等于零，所以有40x -≥且20x -≥，解得24x ≤≤，即定义域为[2,4]．5．A 由奇偶性定义，因为33()2()3sin()23sin ()f x x x x x f x -=---=-+=-，所以3()23sin f x x x =-是奇函数．6．解：令t x-=1，则t t t t t f 21212211)(--=---+=，所以xx x f 212)(--= ，故选D7．解：选D 8． 解：选D 9． 解：选B 10．解：选C 11． 解：110≤+≤x ，所以01≤≤-x ，故选B 12． 解：选C 13． 解：选B 14． 解：选B 15．解：选B 16． 解：)(x f 的定义域为)4,1[-，选D17．解：根据奇函数的定义知选C 18． 解：选C 19. 解：选C 20．解：因为函数)1,0(log ≠>==a a x y a y a x 与互为反函数，故它们的图形关于直线x y =轴对称，选C 21．A 22．D23．解：这是00型未定式ln 1l 1limlim x e x e x x e x e →→-==-,故选B ． 24．解：这是∞∞型未定式 22csc ln cot sin cot lim lim lim lim 11ln sin cos sin cos x x x x xx x x x x x x x x xx→→→→-==-⋅=-=-＋＋＋＋００００ 故选D ．25．解：因为2sin lim20=+→x x b ax x 所以0)(lim 20=+→b ax x ，得0=b ，2sin lim 20=→xx ax x 所以2=a ，故选A 26．解：b b b b b a b b n n n n n n n nn ==+≤+≤=2选B27．解：选D28．解：因为∞→x lim2121lim 21sin==∞→x x x x x ,故选B29．解：nmnx mx nx mx x x ==→→00lim sin sin lim故选A 30．解：因为1tan lim230=+→x x b ax x 所以0)(lim 20=+→b ax x ，得0=b ，1tan lim 230=→xx ax x ,所以1=a ，故选B31．解：1cos 1cos 1limcos cos lim =+-=+-∞→∞→xxx xx x x x x x ，选A32．解：因为01lim )(lim 0=-=++→→）（xx x e x f ，11sin lim )(lim 0=+=--→→）（x x f x x 所以)(limx f x →不存在，故选D33．解：41414010])41(lim [)41(lim e xx x x x x =+=+→→,选D34．解：极限0sin lim cotx lnx - lim )1(lim 200tan 0===+++→→→xxx x x x x ，选C 35．解：110sin 11sinlim 0-=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x ，选A 36．解：kkx x kx x x x 11lim 1sinlim ==∞→∞→选B 37．解：1sin lim 2=-→x x π，选B 38．解：选A 39． 解：选D40．解：06lim 21=++→ax xx ,7-=a ,选B41．解：2),2(lim tan lim 00=+=-+→→a x xaxx x ，选C 42．解：根据无穷小量的定义知：以零为极限的函数是无穷小量，故选C43．解：因为22lim )2sin(lim2020=+=+→→xx x x x x x x ，故选C 44．解：因为11ln(lim0=+→xx x ），故选B45．解：因为33lim )3tan(lim2020=+=+→→xx x x x x x x ，故选C 46．解：因为21)1(21lim1)1(21lim11=++=-+-→→x x xx xx x ，故选C47．解：因为021lim 11lim 00==-+++→→xxx x ax a x ，所以1>a ，故选A 48．解：因为02tan lim 20=→xxx ，故选D 49．解：由书中定理知选C 50．解：因为01cos 1lim=∞→xx x ，故选C51．解：因为6ln 13ln 32ln 2lim 232lim 00=+=-+→→x x x x x x x ，选B52．解：选A 53．解：1sin )cos 1(2lim20=-→xx x ，选C54．解：因为1)(lim =+∞→x f x ，选A55．解：选A 56．解：0sec 1sin lim0=+→xxx ，选C57．解：选C58．解：,11sinlim20=+→xx x x x 选D59．解：根据连续的定义知选B 60．C 61．解：选A 62．解：选A 63．解：)0(2)(lim 0f x f x ≠=+→π, )0(2)(lim 0f x f x =-=-→π,选B64．解：选A65．解：因为21)1)(1(lim 11lim 21=-+-=--++→→x x x x x x x ，21)1)(1(lim 11lim 21-=-+--=----→→x x x x x x x ，选A66．解：因为)0(1)(lim 0f x f x ==+→，又)0(1)(lim 0f x f x ==-→，所以)(x f 在0=x 点连续， 但111lim )0()(lim )0('00=-+=-=--→→-xx x f x f f x x ，011lim )0()(lim )0('200=-+=-=++→→+xx x f x f f x x 所以)(x f 在0=x 点不可导，选C67．解：选C 68．解：因为)0(1)(lim 0f x f x ≠=+→，又)0(1)(lim 0f x f x ≠=-→，所以)(x f 在0=x 点不连续，从而在0=x 处不可导，但当0→x时,极限存在，选B69．解：选B 70．解：313lim)(-=-=∞→nxnxx f x ，选A71．解：)0(2111limf x x x ≠=-+→，选A72．解：选C 73．解：因为0)11cot (lim )(lim 211=-+=++→→x arc x x f x x ， π=-+=--→→)11cot (lim )(lim 211x arc x x f x x 故选B74．解：选D 75．解：因为2lim ,lim-=∞=∞→→y y x x ，曲线既有水平渐近线2-=y ,又有垂直渐近线0=x ，选C76．解：因为11sinlim =+∞→xx x ，所以有水平渐近线1=y ，但无铅直渐近线，选A 77．D 78．C 解：e cos e sin x x y x x '=-，(0)101y '=-=．选C ．79．C 解：x x g cos )('=，所以x e x g f cos )]('[=，故选C ．80．解：=--→h x f h x f h )()21(lim 000 1)('21)21(21)()21(lim0000-=-=----→x f hx f h x f h ，选C 81．解：)('2])()()()([lim )()(lim00a f xa f x a f x a f x a f x x a f x a f x x =---+-+=--+→→，选B 82．解：因为=--+→h h f h f h )2()2(lim0 +-+→h f h f h )2()2([lim 0 ])2()2(hf h f ---=)2('2f ，故选A 83．解：)0('f 6)3)(2)(1(lim )0()(lim00-=---=-=→→x x x x x x f x f x x ，故选B 84．解：因为=--→h h f h f h )()(lim0 +-→h f h f h )0()([lim 0 ])0()(hf h f ---=)0('2f ，故选C 85．解：因为0lim→h )(')()h - x (000x f hx f f -=-,故选B86．解：因为=--→h f h f h )1()21(lim21)1('222)1()21(lim 0=-=----→f h f h f h ）（ ，故选D87．解：222242)('',2)('x x x ex ex f xe x f ---+-=-=，2)0(''-=f 选C88．解：选B 89．解：01282829.....a x a x a x y ++++=，所以!29)29(=y ，选B90．解：)(')()('')()(x f e e f e e f y x f x x f x x ⋅+=+，选C91．解：!100)100()2)(1(lim )0()(lim)0('00=---=-=→→xx x x x x f x f f x x ，选B 92．解：)'('ln x x e y =)ln 1(x x x +=，选D93．解：,1202lim 2)2()(lim )2('22=---=--=++→→+x x x f x f f x x ,1202lim 2)2()(lim )2('22-=---=--=--→→-x x x f x f f x x 选D94．解：[]]1)2ln([)2('')2ln(--==--x x e y x x x ，选D95．解：选C 96．解：])()(')()('[21,)](ln )([ln 21x g x g x f x f y y ey x g x f -⋅='=-，选A97．C 98．A 99．B 100．A 101． C 102．B 103．C。
高等数学(理工)
高等数学（理工）导言高等数学是理工科学生必修的一门基础课程，旨在培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
本文档将介绍高等数学课程的主要内容和学习方法，帮助学生更好地理解和掌握这门课程。
一、微积分1.1 极限与连续•极限的定义•极限的性质与运算法则•连续函数与间断点•导数的定义与计算方法1.2 微分学•函数的导数与导数的几何意义•高阶导数•隐函数的导数•微分中值定理与应用1.3 积分学•不定积分与定积分•定积分的几何意义•反常积分•微积分基本定理二、级数与数列2.1 数列的概念与性质•数列的定义•数列极限的概念与判定•数列的性质与运算法则2.2 级数的概念与运算•级数的定义与收敛性•正项级数与非负项级数•级数的收敛性判别法•常见级数：等比级数、调和级数等2.3 幂级数•幂级数的收敛半径和收敛域•幂级数的和函数•幂级数的运算法则•幂级数在收敛域上的性质2.4 泰勒级数•泰勒级数的定义和性质•泰勒级数展开与应用•函数的典型泰勒展开式•泰勒级数的收敛性分析三、常微分方程3.1 基本概念与解的存在唯一性•常微分方程的定义•解的概念与初值问题•解的存在唯一性定理•分离变量法与线性方程的解法3.2 高阶微分方程•高阶线性微分方程的概念与解法•齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程•常系数线性微分方程的特殊解法•欧拉方程与常系数齐次线性微分方程3.3 变量可分离方程与一阶线性方程•变量可分离方程的概念与解法•一阶线性微分方程的概念与解法•线性微分方程的常数变易法•指数增长与衰减的微分方程3.4 线性方程组与矩阵•线性方程组的基本概念与解法•矩阵的运算法则与性质•初等变换与矩阵的行阶梯形•线性方程组的解的判定与求解四、空间解析几何4.1 点、直线与平面•点的表示与性质•直线的方程与特征•平面的方程与特征•点到直线与平面的距离4.2 空间曲线与曲面•参数方程与曲线方程•曲面的方程与特征•空间曲线与曲面的求交与切线•空间曲线与曲面的长度与曲率4.3 空间向量与坐标系•向量的运算法则与性质•空间直角坐标系与向量的表示•点、直线与平面的向量方程•点到直线与平面的投影五、概率与统计5.1 概率的基本概念与性质•随机试验与样本空间•事件与事件的运算•概率的定义与运算法则•条件概率与独立性5.2 随机变量与概率分布•随机变量的概念与分类•离散型随机变量及其分布•连续型随机变量及其密度函数•期望值与方差的计算5.3 样本统计量与抽样分布•样本均值与样本方差的概念•估计量与抽样分布•正态总体的样本均值分布•极限定理与大样本估计5.4 假设检验与参数估计•假设检验的基本原理与步骤•单侧检验与双侧检验•参数估计的方法与误差分析•假设检验与参数估计的应用六、数学建模6.1 数学建模的基本步骤•问题的分析与理解•建立数学模型•模型的求解与分析•模型的验证与应用6.2 常见数学建模方法•几何建模与数理统计•线性规划与整数规划•动态规划与图论算法•模糊综合评价与神经网络结语高等数学的学习需要时间和耐心，通过合理的学习方法和实践，相信同学们一定能够掌握这门重要的理工科基础课程。
高等数学(理)
高等数学（理）简介高等数学（理）是一门深入研究数学基础概念和数学推理方法的课程。
它在理工科学生的课程中占有重要地位，通过高等数学（理）的学习，学生将掌握数学分析、微积分、线性代数等重要数学理论和方法，为进一步研究应用数学提供基础。
主要内容微积分微积分是高等数学的核心内容之一。
它研究函数的变化规律和极限，包括导数和积分等概念和方法，为后续学习提供了重要的工具。
微积分有两个主要分支：微分学和积分学。
微分学微分学主要研究函数的变化率和极限。
在微分学中，我们学习了导数的定义、导数的计算方法、导数的应用等内容。
导数可以表示函数在某一点的变化率，通过求导数，我们可以研究函数的极值、曲线的凹凸性以及函数图像的特征。
积分学积分学主要研究函数的累积效应和曲线下的面积。
在积分学中，我们学习了定积分的定义、定积分的计算方法和定积分的应用。
通过求定积分，我们可以计算曲线与坐标轴之间的面积、函数的累积效应以及物理学中的一些重要量。
线性代数线性代数是一门研究向量空间和线性变换的数学学科。
在高等数学中，线性代数具有重要的地位。
线性代数的主要内容包括向量、矩阵、线性方程组和特征值等。
向量向量是线性代数的基础，它可以表示一组有序的数。
我们学习了向量的加法、乘法、内积和外积等运算法则，以及向量的长度、方向和投影等概念。
矩阵矩阵是线性代数中另一个重要的概念，它是一个矩形的数表。
我们学习了矩阵的加法、减法、乘法和转置等运算规则，以及矩阵的行列式和逆矩阵等概念。
线性方程组和特征值线性方程组是线性代数的重要应用之一。
我们学习了线性方程组的解的存在性和唯一性，以及线性方程组的解的表示方法。
特征值和特征向量是矩阵的另一个重要概念，它们可以帮助我们研究矩阵的性质和变换。
学习方法理论学习高等数学（理）是一门深入的数学课程，理论学习是学习的基础。
学生需要认真听讲、阅读教材，并做好笔记。
同时，还可以通过刷题来巩固理论知识。
解题思路解题是高等数学学习的重要环节。
(完整版)高等数学复习资料大全1,推荐文档
x0
sin x x
x x et2 dt
3. lim 0
1
x0 1 ex2
（洛必达与微积分性质）
第二讲 导数、微分及其应用
一、理论要求
2
1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理 理解 Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor 定理 会用定理证明相关问题 3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）
x 0
6x
x0
6
216 3y''(0) 0 y''(0) 72 6
lim
x0
6
f (x) x2
lim
x0
y' 2x
lim
x0
y'' 2
72 2
36
（洛必达）
3. lim(
2x
2x
) x1
（重要极限）
x1 x 1
1
4.已知
a、b
为正常数， 求 lim( a x
bx
3
)x
x0
2
解：令 t
7.已知
f
(x)
ln(cos x)x 2 ,
a,
x
0
x
0
在
x=0
连续，求
a
解：令 a lim ln(cos x) / x2 1/ 2 （连续性的概念） x0
三、补充习题（作业）
1. lim e x 1 x 3 （洛必达） x0 1 x cos x
1 2. lim ctgx(
高数大一知识点文经类
高数大一知识点文经类高数大一知识点高等数学（简称高数）是大学理工科专业中常见的一门基础课程。
作为一门抽象概念较多、逻辑性较强的学科，学好高数对于理解和应用其他学科具有重要意义。
本文将介绍高数大一的主要知识点，包括导数、微分、积分以及常用的函数类型。
一、导数在高数中，导数是研究函数变化率的工具。
导数描述了函数在某一点上的瞬时变化率，并可以用来解决各类实际问题。
常见的导数运算法则有：1. 常数法则：若f(x) = C（C为常数），则f'(x) = 0；2. 幂法则：若f(x) = x^n，其中n是任意实数，则f'(x) = nx^(n-1)；3. 指数函数法则：若f(x) = e^x，则f'(x) = e^x；4. 对数函数法则：若f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x；5. 三角函数法则：若f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
二、微分微分是导数的几何意义，是研究曲线在某一点附近的局部性质的工具。
通过微分，我们可以求得曲线的切线斜率，并且揭示曲线在该点周围的近似变化情况。
微分的基本运算法则有：1. 定义法则：若f(x) = y，则f'(x)dx = dy；2. 线性法则：若f(x)和g(x)是可微的函数，且a和b是常数，则(a*f(x) + b*g(x))' = a*f'(x) + b*g'(x)。
三、积分积分是导数的逆运算，是研究曲线下面积以及与相关函数之间的关系的工具。
通过积分，我们可以求得曲线下面的面积，并且可以求得函数的原函数。
积分的基本运算法则有：1. 基本积分表：包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的积分表；2. 变量代换法：适用于含有函数复合、有理函数和代数函数的积分；3. 分部积分法：适用于含有乘积的积分。
四、常用函数类型除了导数、微分和积分的运算法则外，高数还涉及到一些常用函数类型的讨论，例如：1. 幂函数：f(x) = x^n，其中n是常数；2. 指数函数：f(x) = a^x，其中a大于0且不等于1；3. 对数函数：f(x) = log_a(x)，其中a大于0且不等于1；4. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等；5. 反三角函数：包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
高等数学复习资料大全1
高等数学复习资料大全1前言高等数学是大学数学中的一门重要课程，也是理学、工学、经济学、管理学等多个专业的核心课程。
在自然科学和工程技术领域中，高等数学发挥着重要的作用。
掌握高等数学内容对未来学习和工作都有很大的帮助。
为了方便广大学习者复习和提高高等数学水平，本文整理了一些资料供大家参考和使用。
教材高等数学的教材有很多种，可以根据自己的需要和教师推荐选择适合自己的教材。
以下列举一些常用的教材：1. 《高等数学》（第七版）同济大学数学教研室主编该书是同济大学数学教研室主编的高等数学教材，内容详尽全面，且配有大量的例题和练习题供读者使用。
是一本很好的高等数学教材。
2. 《数学分析教程》（第二版）徐永生主编该书是针对高等数学分析部分所编写的专业教材，主要内容包括微积分和初等实数函数论的基础知识。
该教材的特点是紧凑明了，通俗易懂，适合学习和快速复习。
3. 《高等数学》（第三版）周民强主编该书是一本综合性的高等数学教材，所讲的内容涵盖了微积分和线性代数等方面的知识。
该教材内容丰富，但是较为繁琐。
所以在学习的时候需要有一定的耐心和毅力。
视频课程视频课程是一种非常便捷的学习方式，可以根据自己的时间和进度进行学习。
以下是一些高质量的高等数学视频课程：1. 经典公开课：高等数学该公开课由北京大学数学科学学院的教授讲授，课程涵盖了微积分和线性代数等方面的知识，内容详实，易于理解。
2. 高等数学微积分视频教程该视频课程由清华大学数学系刘凤翔老师讲授，涵盖微积分的所有相关知识，包括极限、导数、微分、微分方程等。
该课程深入浅出，非常适合初学者。
3. 高等数学线性代数视频教程该视频课程由北京大学数学科学学院的赵乾老师讲授，涵盖线性代数的所有相关知识，包括矩阵、线性方程组、空间向量等。
该课程内容详实，且配有大量的例题和练习题供读者使用。
练习题高等数学的练习题是巩固知识和提高技能的重要途径。
以下是一些适合高等数学学习者的练习题：1. 《高等数学五百题》该书包含了许多经典的高等数学问题，包括微积分、线性代数、级数等方面的知识。
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1.(4分)微分方程的通解为（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：0知识点：高等数学（理专）考试题,高等数学(理、专)考试题答案 D解析总结拓展：9.(4分)下列微分方程中是一阶线性非齐次微分方程的是（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：0知识点：高等数学(理、专)作业题,高等数学（理专）作业题答案 C解析考查要点：总结拓展：13.(4分)下列二阶微分方程中，是二阶线性非齐次微分方程的为（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：4知识点：高等数学（理专）考试题,高等数学(理、专)考试题答案 B解析总结拓展：20.(4分)下列所给微分方程的解中，是通解的是（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：0知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：21.(4分)极限等于（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. .；∙ D. 1.得分：0知识点：高等数学（理专）考试题,高等数学(理、专)考试题答案 B解析考查要点：试题解答：总结拓展：22.(4分)如果函数与构成复合函数，则的取值区间为（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：4知识点：高等数学（理专）考试题,高等数学(理、专)考试题答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：23.(4分)函数与为同一函数的范围为（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：0知识点：高等数学（理专）考试题,高等数学(理、专)考试题答案 C解析考查要点：试题解答：总结拓展：24.(4分)设函数在处连续，则（）.∙ A. 0；∙ B. ；∙ C. ；D .2.得分：4知识点：高等数学(理、专)考试题,高等数学（理专）考试题答案 C解析一、单选题1.(5分)设函数在点处连续，且，则常数等于（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. 2.得分：0 知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题展开解析答案 A一、单选题1.(4分)下列二阶微分方程中，是二阶线性非齐次微分方程的为（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：0知识点：高等数学(理、专)考试题,高等数学（理专）考试题答案 B解析考查要点：试题解答：总结拓展：2.(4分)设定积分则常数等于（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：3.(4分)设函数在区间上连续，则( ).∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：0知识点：高等数学（理专）考试题,高等数学(理、专)考试题答案 B解析考查要点：试题解答：总结拓展：4.(4分)函数与为同一函数的范围为（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：4知识点：高等数学（理专）考试题,高等数学(理、专)考试题答案 C解析考查要点：试题解答：总结拓展：5.(4分)，则等于（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 C解析考查要点：试题解答：总结拓展：6.(4分)下列微分方程中是一阶线性非齐次微分方程的是（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 C解析考查要点：试题解答：总结拓展：7.(4分)定积分等于（）.∙ A. 100；∙ B. ；∙ C. 200；∙ D. .得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：8.(4分)下列所给微分方程的解中，是通解的是（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：0知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：9.(4分)正弦函数在区间上的平均值等于（）.∙ A. 0；∙ B. 1；∙ C. ；∙ D. .得分：4知识点：高等数学（理专）考试题,高等数学(理、专)考试题答案 C解析考查要点：一、单选题1.(4分)下列命题正确的是（）.∙ A. 函数在点处无定义，则极限不存在；∙ B. 函数在点处有定义，则极限存在；∙ C. 函数在点处有定义，极限存在，则；∙ D. 极限存在与否，与函数在点处是否有定义无关. 得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：2.(4分)定积分等于（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 A解析考查要点：试题解答：总结拓展：3.(4分)不定积分（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：0知识点：高等数学（理专）考试题,高等数学(理、专)考试题答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：4.(4分)函数与为同一函数的范围为（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：4知识点：高等数学（理专）考试题,高等数学(理、专)考试题答案 C解析考查要点：试题解答：总结拓展：5.(4分)极限等于（）.∙ A. 0；∙ B. ；∙ C. .；∙ D. .得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 A解析考查要点：试题解答：总结拓展：6.(4分)抛物线，与轴所围成的平面图形的面积等于（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. 1；∙ D. .得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 B解析考查要点：试题解答：总结拓展：7.(4分)，则等于（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 C解析考查要点：试题解答：总结拓展：8.(4分)函数的定义域为（）.∙ A. (；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：9.(4分)下列微分方程中是一阶线性非齐次微分方程的是（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 C解析考查要点：试题解答：总结拓展：10.(4分)设函数，则点是函数的（）.∙ A. 零点；∙ B. 连续点；∙ C. 可去间断点；∙ D. 不可去间断点.得分：4知识点：高等数学（理专）考试题,高等数学(理、专)考试题答案 C解析考查要点：试题解答：总结拓展：11.(4分)下列所给微分方程的解中，是通解的是（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：12.(4分)设函数在区间上连续，则由曲线与直线所围成的平面图形的面积等于（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. 不确定.得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 C解析考查要点：试题解答：总结拓展：13.(4分)以函数为特解的二阶线性常系数齐次微分方程为（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：4知识点：高等数学(理、专)作业题,高等数学（理专）作业题答案 C解析考查要点：试题解答：总结拓展：14.(4分)设定积分则常数等于（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：15.(4分)设，在处连续，则（）.∙ A. 0；∙ B. ；∙ C. 1；∙ D. .得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 A解析考查要点：试题解答：总结拓展：16.(4分)如果函数与构成复合函数，则的取值区间为（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：4知识点：高等数学(理、专)考试题,高等数学（理专）考试题答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：17.(4分)已知，则等于（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 C解析考查要点：试题解答：总结拓展：18.(4分)设函数在点处连续，则常数等于（）.∙ A. 2；∙ B. 1；∙ C. -1；∙ D. -2.得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：19.(4分)不定积分等于（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：4知识点：高等数学(理、专)作业题,高等数学（理专）作业题答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：20.(4分)微分方程的通解为（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：0知识点：高等数学（理专）考试题,高等数学(理、专)考试题答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：21.(4分)微分方程的通解中含有的相互独立的任意常数的个数是（）.∙ A. 1；∙ B. 2；∙ C. 3；∙ D. 4.得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 B解析考查要点：试题解答：总结拓展：22.(4分)定积分等于（）.∙ A. 1；∙ B. 2；∙ C. 3；∙ D. 4.得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 C解析考查要点：总结拓展：23.(4分)下列二阶微分方程中，是二阶线性非齐次微分方程的为（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：4知识点：高等数学（理专）考试题,高等数学(理、专)考试题答案 B解析考查要点：10.(4分)定积分等于（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 A解析考查要点：试题解答：11.(4分)函数的定义域为（）.∙ A. (；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：12.(4分)已知，则常数等于（）.∙ A. -2；∙ B. 2；∙ C. ；∙ D. .得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 A解析考查要点：试题解答：总结拓展：13.(4分)定积分等于（）.∙ A. 0；∙ B. 1；∙ C. 2；∙ D. 3.得分：0知识点：高等数学（理专）考试题,高等数学(理、专)考试题答案 A解析考查要点：试题解答：总结拓展：14.(4分)下列不定积分不正确的是（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 B15.(4分)设函数在区间上连续，则由曲线与直线所围成的平面图形的面积等于（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. 不确定.得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 C解析15.(4分)设函数在区间上连续，则的值（）.∙ A. 小于零；∙ B. 等于零；∙ C. 大于零；∙ D. 不确定.得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 B解析考查要点：试题解答：总结拓展：16.(4分)微分方程的通解中含有的相互独立的任意常数的个数是（）.∙ A. 1；∙ B. 2；∙ C. 3；∙ D. 4.得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 B解析考查要点：试题解答：总结拓展：17.(4分)设是二阶线性常系数齐次微分方程微分方程的两个特解，则函数（）.∙ A. 是所给方程的解，但不是通解；∙ B. 是所给方程的解，但不一定是通解；∙ C. 是所给方程的通解；∙ D. 不是所给方程的通解.得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 B解析考查要点：试题解答：总结拓展：18.(4分)设函数在点处连续，则等于（）.∙ A. 0；∙ B. 1；∙ C. 2；∙ D. 3.得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 B解析考查要点：试题解答：总结拓展：19.(4分)设函数在处连续，则（）.∙ A. 0；∙ B. ；∙ C. ；D .2.得分：0知识点：高等数学（理专）考试题,高等数学(理、专)考试题答案 C解析考查要点：试题解答：总结拓展：20.(4分)定积分等于（）.∙ A. 0；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：4知识点：高等数学(理、专)作业题,高等数学（理专）作业题答案 C解析考查要点：试题解答：总结拓展：21.(4分)初等函数在其定义区间内必定（）.∙ A. 可导；∙ B. 可微；∙ C. 存在原函数；∙ D. 不确定.得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 C解析考查要点：试题解答：总结拓展：22.(4分)设函数在点内连续，则常数分别等于（）.∙ A. 0，0；∙ B. 1，1；∙ C. 2，3；∙ D. 3，2.得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 C解析考查要点：试题解答：总结拓展：23.(4分)下列命题正确的是（）.∙ A. 函数在点处无定义，则极限不存在；∙ B. 函数在点处有定义，则极限存在；∙ C. 函数在点处有定义，极限存在，则；∙ D. 极限存在与否，与函数在点处是否有定义无关. 得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：24.(4分)如果函数与构成复合函数，则的取值区间为（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：4知识点：高等数学(理、专)考试题,高等数学（理专）考试题答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：25.(4分)设函数在点处连续，且，则常数等于（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. 2.得分：4知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(考查要点：答案A总结拓展：2.(5分)定积分等于（）.∙ A. 100；∙ B. ；∙ C. 200；∙ D. .得分：0 知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题展开解析答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：3.(5分)定积分等于（）.∙ A. 1；∙ B. 2；∙ C. 3；∙ D. 4.得分： 5 知识点：高等数学(理、专)作业题,高等数学（理专）作业题展开解析答案 C解析考查要点：试题解答：总结拓展：4.(5分)初等函数在其定义区间内必定（）.∙ A. 可导；∙ B. 可微；∙ C. 存在原函数；∙ D. 不确定.得分： 5 知识点：高等数学(理、专)作业题,高等数学（理专）作业题展开解析答案 C解析考查要点：试题解答：总结拓展：5.(5分)设定积分则常数等于（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：0 知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题展开解析答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：6.(5分)不定积分等于（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：0 知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题展开解析答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：7.(5分)设是二阶线性常系数齐次微分方程微分方程的两个特解，则函数（）.∙ A. 是所给方程的解，但不是通解；∙ B. 是所给方程的解，但不一定是通解；∙ C. 是所给方程的通解；∙ D. 不是所给方程的通解.得分：0 知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题展开解析答案 B解析考查要点：试题解答：总结拓展：8.(5分)定积分等于（）.∙ A. 0；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分： 5 知识点：高等数学(理、专)作业题,高等数学（理专）作业题展开解析答案 C解析考查要点：试题解答：总结拓展：9.(5分)设函数在点内连续，则常数分别等于（）.∙ A. 0，0；∙ B. 1，1；∙ C. 2，3；∙ D. 3，2.得分： 5 知识点：高等数学(理、专)作业题,高等数学（理专）作业题展开解析答案 C解析考查要点：试题解答：总结拓展：10.(5分)已知，则常数等于（）.∙ A. -2；∙ B. 2；∙ C. ；∙ D. .得分：0 知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题展开解析答案 A解析考查要点：试题解答：总结拓展：11.(5分)函数的不连续点（）.∙ A. 仅有一点；∙ B. 仅有一点；∙ C. 仅有一点；∙ D. 有两点和.得分：0 知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题展开解析答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：12.(5分)下列微分方程中是可分离变量的微分方程的是（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：0 知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题展开解析答案 A解析考查要点：试题解答：总结拓展：13.(5分)设函数在区间上连续，则的值（）.∙ A. 小于零；∙ B. 等于零；∙ C. 大于零；∙ D. 不确定.得分：0 知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题展开解析答案 B解析考查要点：试题解答：总结拓展：14.(5分)，则等于（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分： 5 知识点：高等数学(理、专)作业题,高等数学（理专）作业题展开解析答案 C解析考查要点：试题解答：总结拓展：15.(5分)下列微分方程中，是二阶微分方程的一般形式的是（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：0 知识点：高等数学(理、专)作业题,高等数学（理专）作业题展开解析答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：16.(5分)下列各组函数中，线性相关的是（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：0 知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题展开解析答案 B解析考查要点：试题解答：总结拓展：17.(5分)定积分等于（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：0 知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题展开解析答案 A解析考查要点：试题解答：总结拓展：18.(5分)设函数在区间上连续，则由曲线与直线所围成的平面图形的面积等于（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. 不确定.得分： 5 知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题展开解析答案 C解析考查要点：试题解答：总结拓展：19.(5分)已知，则等于（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分： 5 知识点：高等数学(理、专)作业题,高等数学（理专）作业题展开解析答案 C解析考查要点：试题解答：总结拓展：20.(5分)下列所给微分方程的解中，是通解的是（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：0 知识点：高等数学(理、专)作业题,高等数学（理专）作业题展开解析一、单选题1.(5分)设函数在点处连续，且，则常数等于（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. 2.得分：0 知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题展开解析答案 A解析考查要点：试题解答：总结拓展：2.(5分)下列命题正确的是（）.∙ A. 函数在点处无定义，则极限不存在；∙ B. 函数在点处有定义，则极限存在；∙ C. 函数在点处有定义，极限存在，则；∙ D. 极限存在与否，与函数在点处是否有定义无关. 得分：0 知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题展开解析答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：3.(5分)初等函数在其定义区间内必定（）.∙ A. 可导；∙ B. 可微；∙ C. 存在原函数；∙ D. 不确定.得分：0 知识点：高等数学(理、专)作业题,高等数学（理专）作业题展开解析答案 C解析考查要点：试题解答：总结拓展：4.(5分)函数的定义域为（）.∙ A. (；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：0 知识点：高等数学(理、专)作业题,高等数学（理专）作业题展开解析答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：5.(5分)设定积分则常数等于（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：0 知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题展开解析答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：6.(5分)不定积分等于（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：0 知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题展开解析答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：7.(5分)设是二阶线性常系数齐次微分方程微分方程的两个特解，则函数（）.∙ A. 是所给方程的解，但不是通解；∙ B. 是所给方程的解，但不一定是通解；∙ C. 是所给方程的通解；∙ D. 不是所给方程的通解.得分：0 知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题展开解析答案 B解析考查要点：试题解答：总结拓展：8.(5分)定积分等于（）.∙ A. 0；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：0 知识点：高等数学(理、专)作业题,高等数学（理专）作业题展开解析答案 C解析考查要点：试题解答：总结拓展：9.(5分)函数的不连续点（）.∙ A. 仅有一点；∙ B. 仅有一点；∙ C. 仅有一点；∙ D. 有两点和.得分：0 知识点：高等数学(理、专)作业题,高等数学（理专）作业题展开解析答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：10.(5分)下列微分方程中是可分离变量的微分方程的是（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：0 知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题展开解析答案 A解析考查要点：试题解答：总结拓展：11.(5分)设函数在区间上连续，则的值（）.∙ A. 小于零；∙ B. 等于零；∙ C. 大于零；∙ D. 不确定.得分：0 知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题展开解析答案 B解析考查要点：试题解答：总结拓展：12.(5分)，则等于（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：0 知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题展开解析答案 C解析考查要点：试题解答：总结拓展：13.(5分)下列微分方程中，是二阶微分方程的一般形式的是（）.∙ A. ；∙ B. ；∙ C. ；∙ D. .得分：0 知识点：高等数学（理专）作业题,高等数学(理、专)作业题展开解析答案 D解析考查要点：试题解答：总结拓展：14.(5分)抛物线，与轴所围成的平面图形的面积等于（）.。