北师大版高中数学必修2课时练习-空间图形的公理

课时练习(四)空间图形的公理(公理1、2、
3)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作() A．Q∈b∈βB．Q∈bβ
C．Q bβD．Q b∈β
B[∵点Q(元素)在直线b(集合)上，∴Q∈b.又∵直线b(集合)在平面β(集合)内，∴bβ，∴Q∈bβ.]
2．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是()
A．A，B，C，D四点中必有三点共线
B．A，B，C，D四点中不存在三点共线
C．直线AB与CD相交
D．直线AB与CD平行
B[若A，B，C，D四点中有三点共线，则A，B，C，D四点共面，若AB 与CD相交(或平行)，则AB与CD共面，即得A，B，C，D四点共面．] 3．下列叙述中错误的是()
A．若P∈α，P∈β，且α∩β＝l，则P∈l
B．点A和直线l确定一个平面
C．若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面
D．圆上三点A，B，C可以确定一个平面
B[由公理3知，A正确；由公理1的推论可知，C正确；由于圆上三点不共线，根据公理1知，D正确；对于选项B，当A∈l时，不能确定一个平面，故选B.]
4．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面()
A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点
C．仅有两个公共点D．有无数个公共点
D[根据公理3可知，若两个平面有一个公共点，则这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线．故选D.]
5．空间中四点可确定的平面有()
A．1个B．3个
C．4个D．1个或4个或无数个
D[当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面．]
二、填空题
6．对于结论“若aα，且a∩b＝P，则P∈α”，用文字语言可以叙述为________．
若直线a在平面α内，且直线a与直线b相交于一点P，则点P一定在平面α内[若直线a在平面α内，且直线a与直线b相交于一点P，则点P一定在平面α内．]
7．如图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN 与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
②④[观察题图可知①③错误，②④正确．]
8．下列命题：
①若直线a与平面α有公共点，则称aα；
②若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；
③三条平行直线共面；
④若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面．
其中正确的命题是________．(填序号)
②[①错误．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交或aα；
②正确．由公理3知该命题正确；
③错误．三条平行直线不一定共面，例如三棱柱的三条侧棱；
④错误，如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面．]
三、解答题
9．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.
求证：P，Q，R三点共线．
[证明]∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P，
∴AB，CD可确定一个平面，设为β.
∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，
∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β，
∴ACβ，BDβ，平面α，β相交．
∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，
∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点，
∴P，Q，R都在α与β的交线上，
故P，Q，R三点共线．
10．求证：如果两两平行的三条直线都与一条直线相交，那么这四条直线共面．
[证明]设a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
如图所示，因为a∥b，由公理2可知直线a与b确定一个
平面，设为α.
因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.又因为A∈l，B∈l，所以由公理1可知lα.
因为b∥c，所以由公理2可知，直线b与c确定一个平面β，同理可知，lβ.
因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公理2的推论2
知，经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．
1．下列推理错误的是()
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒lα
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．lα，A∈l⇒A∉α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合
C[当lα，A∈l时，也有可能A∈α，如l∩α＝A，则C错．]
2．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中()
A．必有三点共线B．可能三点共线
C．至少有三点共线D．不可能有三点共线
B[如图①②所示，A、C、D均不正确，只有B正确．
]
3．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是________．
直线CD[因为平面α∩平面β＝l，
AB∩l＝D，
所以D∈平面β.
因为AB平面ABC，
所以D∈平面ABC.
又C∈平面ABC，C∈平面β，C∉l，
所以平面ABC∩平面β＝CD.]
4．(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面．
(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面．
(1)4(2)7[(1)由题意可知，在4点中任选3点即可确定一个平面，故可确定4个．
(2)由题意，在共面的四点中任选2点和第5个点可确定6个平面，再加上四个点所在平面共7个平面．]
5．在正方体AC1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF ＝Q，如图，
(1)求证：D，B，E，F四点共面；
(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．
[解](1)证明：由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为O，则OC1＝C1C.同理直线DE与CC1也相交，设交点为O′，则O′C1＝C1C，故O′与O重合．由此可证得DE∩BF＝O，故D，B，F，E四点共面(设为α)．
(2)由于AA1∥CC1，
所以A1，A，C，C1四点共面(设为β)．
P∈BD，而BDα，故P∈α.
又P∈AC，而ACβ，所以P∈β，
所以P∈α∩β.
同理可证得Q∈α∩β，从而有α∩β＝PQ.
又因为A1Cβ，
所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点．
连接A1C，则A1C与PQ的交点R就是所求的交点．。