北师大版高中数学必修2课时练习-空间图形的公理
北师大版高中数学必修二课后训练1.4空间图形的基本关系与公理第1课时.docx
课后训练1．下列叙述中错误的是()．A．若P∈α，P∈β且α∩β＝l，则P∈lB．三点A，B，C只能确定一个平面C．若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则lα2．下列说法正确的个数有()．(1)三角形、梯形一定是平面图形；(2)若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；(3)三条平行线最多可确定三个平面；(4)平面α和β相交，它们只有有限个公共点；(5)若A，B，C，D四个点既在平面α内，又在平面β内，则这两平面重合．A．2 B．3 C．4 D．53．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF 与HG交于点M，则()．A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在直线AC上，也可能在BD上D．M不在AC上，也不在BD上4．如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C l.又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是()．A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．以上均错5．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()．A．3 B．4 C．5 D．66．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成()．A．5部分B．6部分C．7部分D．8部分7．四条线段顺次首尾相接，最多可以确定平面的个数是__________．8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列叙述正确的是________．(填序号)(1)直线AC1平面CC1B1B；(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C∩平面BB1D1D＝OO1；(3)点A，O，C只能确定一个平面；(4)由点A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；(5)由点A，C1，B1确定的平面和由点A，C1，D确定的平面是同一平面．9．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．10．如图，已知有公共边AB的两个全等的正方形ABCD和ABEF不在同一平面内，M，N分别是对角线AC，BF上的点．求证：A，C，M，N四点共面，并作出它们所确定的平面与平面CBE的交线．参考答案1答案：B2答案：B解析：只有(1)(2)(3)正确．两平面相交有无数个交点，所以(4)错；对于(5)，若四个点共线，则过四点有无数个平面，所以平面α与平面β就不一定重合．3答案：A解析：因为E，F，G，H是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的四点，EF与HG交于点M，所以M为平面ABC与平面ACD的公共点．而两个平面的交线为AC，所以M一定在直线AC上，故选A.4答案：C解析：∵C∈平面ABC，AB平面ABC，而R∈AB，∴R∈平面ABC.而C∈β，lβ，R∈l，∴R∈β，∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝CR.5答案：C解析：如图，与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．6答案：C解析：如三棱柱的三个侧面，将其延伸可知将空间分为了7部分．7答案：4解析：与不共面的四点可确定的平面个数相同．不妨设四个点为A，B，C，D，则由A，B，C确定一个平面．A，B，D；B，C，D；A，C，D分别可确定一个平面，共计4个．8答案：(2)(4)(5)9答案：证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两腰，∴AB，CD必相交于一点．设AB∩CD＝M，又ABα，CDβ，∴M∈α，M∈β，∴M在α与β的交线上．又∵α∩β＝l，∴M∈l，即AB，CD，l共点．10答案：解：连接AN，CN.由题意可知AC∩AN＝A，∴直线AC与直线AN确定平面ACN.又M∈AC，∴M∈平面ACN，即A，C，M，N四点共面，该平面即为平面ACN.要确定两个平面的交线，可以先确定交线上的两个点，然后连接即可得到．延长AN交BE的延长线于点G.∵G∈BE，BE平面CBE，∴G∈平面CBE.又G∈AN，AN平面ACN，∴G∈平面ACN，即G为平面ACN和平面CBE的公共点．又C∈平面CBE，C∈平面ACN，∴CG为两个平面的交线．。
北师大版高中数学必修2课时练习-空间图形的公理及等角定理
课时练习(五)空间图形的公理4及等角定理(建议用时：40分钟)一、选择题1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是()A．异面B．相交C．平行D．异面或相交D[a与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A矛盾，而a与c异面、相交都有可能．]2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对B[∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，∴∠PQR＝30°或150°.]3．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有()A．3条B．4条C．5条D．6条B[由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．]4．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定相交C ．一定是异面直线D ．平行、相交或异面都有可能D [当a ，b ，c 共面时，a ∥c ；当a ，b ，c 不共面时，a 与c 可能异面也可能相交．]5．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( ) A ．平行或异面 B ．相交或异面 C ．异面D ．相交B [假设a 与b 是异面直线，而c ∥a ，则c 显然与b 不平行(否则c ∥b ，则有a ∥b ，矛盾)．c 与b 可能相交或异面．]二、填空题6．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则下列结论： ①∠BAC ＝∠B ′A ′C ′； ②∠ABC ＋∠A ′B ′C ′＝180°；③∠ACB ＝∠A ′C ′B ′或∠ACB ＋∠A ′C ′B ′＝180°. 一定成立的是________．③ [∵AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，∴∠ACB ＝∠A ′C ′B ′或∠ACB ＋∠A ′C ′B ′＝180°.]7．在空间四边形ABCD 中，如图所示，AE AB ＝AH AD ，CF CB ＝CGCD ，则EH 与FG 的位置关系是________．平行 [如图，连接BD ，在△ABD 中，AE AB ＝AHAD ，则EH ∥BD ， 同理可得FG ∥BD . ∴EH ∥FG .]8．如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥AB ，底面ABCD 是平行四边形，则P A 与CD 所成的角是______．90°[∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠P AB是异面直线P A与CD所成的角．又∵P A⊥AB，∴∠P AB＝90°.]三、解答题9．如图所示，正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．[解]如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1，∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.10．长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠A1ED1.[证明](1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM綊A1B1，∵A 1B1綊C1D1，∴EM綊C1D1，∴四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MB綊C1F，∴BF∥C1M，∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠A1ED1.1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直D[将展开图还原为正方体，如图所示，故AB与CD为不垂直的异面直线．] 2．如图所示，在三棱柱ABC-A 1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A．45°B．60°C．90°D．120°B[连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C，B1C与BC1交于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，在△GHB中，易知GH＝HB＝GB＝22a，故所求的两直线所成的角即为∠HGB＝60°.]3．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号)．①②[结合公理4可知，①②均是平行直线，④中RS和PQ相交，只有③是异面直线．]4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．(1)AA1与C1D1所成的角的度数为________；(2)AA1与B1C所成的角的度数为________．(1)90°(2)45°[(1)∵AA1∥DD1，∴∠DD1C1即为所求的角．∵∠DD1C1＝90°，∴AA1与C1D1所成的角为90°.(2)∵AA1∥BB1，∴∠BB1C即为所求的角．∵∠BB1C＝45°，∴AA1与B1C所成的角为45°.]5．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．[解]取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．在Rt△ABC中，BC＝2，AB＝AC，∴AB＝AC＝1，在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝12AD＝12，∴BE＝52.在Rt△AEF中，AF＝12AC＝12，AE＝12，∴EF＝22.在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝12，∴BF＝52.在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝12EFBE＝2452＝1010，∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为10 10.。
高中数学 1.4 空间图形的基本关系与公理第2课时课后训练 北师大版必修2
高中数学 1.4 空间图形的基本关系与公理第2课时课后训练北师大版必修21．若∠AOB＝∠A′O′B′，OA∥O′A′且OA与O′A′的方向相同，则OB与O′B′()．A．一定平行且方向相同B．一定平行且方向相反C．一定不平行D．不一定平行2．已知直线a，b，c，下列说法正确的是()．A．a∥b，b∥c，则a∥cB．a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．a与b相交，b与c相交，则a与c相交D．a与b所成的角与b与c所成的角相等，则a∥c3．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条()．A．相交B．异面C．相交或异面D．平行4．已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列判断正确的是()．A．M N≥12(AC＋BD) B．MN≤12(AC＋BD)C．MN＝12(AC＋BD) D．MN＜12(AC＋BD)5．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF和CD所成的角是()．A．90°B．45°C．60°D．30°6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1∩D1B1＝O，E，F分别是B1O和C1O的中点，则在长方体各棱中与EF平行的有__________条．(第6题图)7．如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，(1)∠DBC的两边与∠______的两边分别平行且方向相同；(2)∠DBC的两边与∠______的两边分别平行且方向相反．(第7题图)8．如图，在正方体AC1中，AA1与B1D所成角的余弦值是________．9．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．求证：(1)D1E∥BF；(2)∠B1BF＝∠D1EA1.10．如图，P是△ABC所在平面外一点，M，N分别是△P AB和△PBC的重心，AC＝9.(1)求MN的长；(2)若点P，B的位置变化，会影响M，N的位置和MN的长度吗？参考答案1答案：D 解析：由于两角不一定在同一个平面内，或两角所在的平面不一定平行．2答案：A 解析：A 是公理4的内容．如图正方体中，AB ，A 1B 1都与CC 1异面，但AB 与A 1B 1不异面，B 错，AB ，A 1B 1都与BB 1相交，但AB 与A 1B 1不相交，C 错；AB ，BC 都与DD 1成90°角，但AB 与BC 不平行，D 错．3答案：C 解析：如图所示的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AA 1与直线B 1C 1是异面直线，与B 1C 1平行的直线有A 1D 1，AD ，BC ，显然直线AA 1与A 1D 1相交，与BC 异面．4答案：D 解析：如图，取BC 的中点H ，据题意有MH ＝12AC ，MH ∥AC ，HN ＝12BD ，HN ∥BD .在△MNH 中，由两边之和大于第三边知，MN ＜MH ＋HN ＝12(AC ＋BD )．5答案：D 解析：如图，作FG ∥CD 交BC 于G ，连接EG ，则EG ∥AB ，故∠EFG (或其补角)为EF 和CD 所成的角．∵E F ⊥AB ，∴EF ⊥EG . 又∵AB ＝2，CD ＝4， ∴EG ＝1，FG ＝2. ∴sin ∠EFG＝12.∴∠EFG ＝30°. 6答案：4 解析：与EF 平行的棱为B 1C 1，BC ，AD ，A 1D 1. 7答案：(1)D 1B 1C 1 (2)A 1D 1B 1 8答案：33解析：∵B 1B ∥A 1A ，∴∠BB 1D (或其补角)就是异面直线AA 1与B 1D 所成的角，连接BD . 在Rt △B 1BD 中，设棱长为1，则B 1D ＝3. cos ∠BB 1D ＝1113BB B D ＝33.∴AA 1与B 1D 所成的角的余弦值为33. 9答案：证明：(1)取BB 1的中点M ，连接EM ，C 1M .在矩形ABB 1A 1中，易得EM ＝A 1B 1，EM ∥A 1B 1. ∵A 1B 1＝C 1D 1，且A 1B 1∥C 1D 1，∴EM ＝C 1D 1，且EM ∥C 1D 1. ∴四边形EMC 1D 1为平行四边形．∴D 1E ∥C 1M .在矩形BC C 1B 1中，易得MB ＝C 1F ，且MB ∥C 1F . ∴BF ∥C 1M ，∴D 1E ∥BF .(2)由(1)知，ED 1∥BF ，BB 1∥EA 1，又∠B 1BF 与∠D 1EA 1的对应边方向相同， ∴∠B 1BF ＝∠D 1EA 1.10答案：解：(1)如图，连接PM 并延长交BA 于E ，连接PN 并延长交CB 于F ，连接EF .∵M ，N 分别是△ABP 和△BPC 的重心，故E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴EF ＝12AC ，且EF ∥AC . 又23PM PN PE PF ==， ∴MN ＝23EF ，且MN ∥EF .∴MN ＝2113323AC AC ⨯==.(2)由(1)知MN 的长与B ，P 的位置无关，恒是定值．但若P ，B 位置发生变化，M ，N 的位置也会改变．。
北师大版数学高一必修2练习 1.4.2 空间图形的公理(二)
1．下列命题中，真命题的个数是()①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．A．0B．1C．2 D．3解析：选B．①这两个角也可能互补，故①是错误的；②是正确的，它是等角定理的推广和延伸．③空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不互补，故③是错误的．所以结论正确的个数为1.2．已知不同的直线a，b，c，下列说法正确的是()A．a∥b，b∥c，则a∥cB．a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．a与b相交，b与c相交，则a与c相交D．a与b所成的角与b与c所成的角相等，则a∥c解析：选A.A是公理4的内容．如图正方体中，AB，A1B1都与CC1异面，但AB与A1B1不异面，B 错，AB，A1B1都与BB1相交，但AB与A1B1不相交，C错；AB，BC都与DD1成90°角，但AB与BC不平行，D错．3．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形() A．全等B．相似C．仅有一个角相等D．全等或相似解析：选D．由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以选D．4．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条()A．相交B．异面C．相交或异面D．平行解析：选C.如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面．5．已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列判断正确的是()A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD )D ．MN ＜12(AC ＋BD )解析：选D ．如图，取BC 的中点H ，连接MH ，HN ，MN ，据题意有MH ＝12AC ，MH∥AC ，HN ＝12BD ，HN ∥BD ．在△MNH 中，由两边之和大于第三边知，MN ＜MH ＋HN ＝12(AC＋BD )．6. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BD 和B 1D 1分别是正方形ABCD 和A 1B 1C 1D 1的对角线，(1)∠DBC 的两边与∠________的两边分别平行且方向相同； (2)∠DBC 的两边与∠________的两边分别平行且方向相反． 答案：(1)D 1B 1C 1 (2)A 1D 1B 17．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD ．以上结论中正确的是________(填序号)． 解析：把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB ⊥EF ，EF 与MN 是异面直线，AB ∥CM ，MN ⊥CD ，只有①③正确．答案：①③8．如图，在正方体AC 1中，AA 1与B 1D 所成角的余弦值是________．解析：因为B 1B ∥A 1A ，所以∠BB 1D 就是异面直线AA 1与B 1D 所成的角，连接B D ．在Rt △B 1BD 中，设棱长为1，则B 1D ＝ 3. cos ∠BB 1D ＝BB 1B 1D ＝13＝33.所以AA 1与B 1D 所成的角的余弦值为33.答案：339. 在如图所示的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，E 1，F 1分别是棱AB ，AD ，B 1C 1，C 1D 1的中点，求证：(1)EF E 1F 1； (2)∠EA 1F ＝∠E 1CF 1. 证明：(1)连接BD ，B 1D 1， 在△ABD 中，因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF 12BD ．同理，E 1F 112B 1D 1.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， 因为A 1A B 1B ，A 1A D 1D ，所以B 1BD 1D ．所以四边形BDD 1B 1是平行四边形，所以BD B 1D 1.所以EFE 1F 1.(2)取A 1B 1的中点M ，连接BM ，F 1M .因为MF 1B 1C 1，B 1C 1BC ，所以MF 1BC .所以四边形BCF 1M 是平行四边形．所以MB ∥CF 1.因为A 1MEB ，所以四边形EBMA 1是平行四边形．所以A 1E ∥MB ，所以A 1E ∥CF 1.同理可证：A 1F ∥E 1C .又∠EA 1F 与∠F 1CE 1两边的方向均相反， 所以∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.10.如图，ABEDFC 为多面体，点O 在棱AD 上，OA ＝1，OD ＝2，在侧面ACFD 中，△OAC 和△ODF 为正三角形，在底面ABED 中，△OAB 和△ODE 也都是正三角形，求证：直线BC ∥EF .证明：设G 是线段DA 与线段EB 延长线的交点，由于△OAB 与△ODE 都是正三角形，所以OB ∥DE ，OB ＝12DE ，所以OG ＝OD ＝2.同理，设G ′是线段DA 与线段FC 延长线的交点，有OG ′＝OD ＝2，又由于G 与G ′都在线段DA 的延长线上，所以G 与G ′重合，在△GED和△GFD 中，由OB ∥DE ，OB ＝12DE 和OC ∥DF ，OC ＝12DF ，可知B ，C 分别是GE ，GF的中点，所以BC 是△GFE 的中位线，故BC ∥EF .1．已知在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，若AB ＝2，CD ＝4，EF ⊥AB ，则EF 和CD 所成的角是( )A ．90°B ．45°C ．60°D ．30°解析：选D ．如图，作FG ∥CD 交BC 于G ，连接EG ，则EG ∥AB ，故∠EFG (或其补角)为EF 和CD 所成的角．因为EF ⊥AB ，所以EF ⊥EG .又因为AB ＝2，CD ＝4，所以EG ＝1，FG ＝2.所以sin ∠EFG ＝12.所以∠EFG ＝30°.2. 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下结论：①直线AM 与CC 1是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．解析：直线AM 与CC 1是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，直线BN 与MB 1是异面直线，直线AM 与DD 1是异面直线，故①②错误，③④正确．答案：③④3. 如图所示，设E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ，求证：(1)当λ＝μ时，四边形EFGH 是平行四边形； (2)当λ≠μ时，四边形EFGH 是梯形．证明：在△ABD 中，AE AB ＝AHAD ＝λ.所以EH ∥BD ，且EH ＝λBD ．在△CBD 中，CF CB ＝CGCD＝μ，所以FG ∥BD ，且FG ＝μBD ，所以EH ∥FG ， 所以顶点E ，F ，G ，H 在由EH 和FG 确定的平面内． (1)当λ＝μ时，EH ＝FG ，故四边形EFGH 为平行四边形； (2)当λ≠μ时，EH ≠FG ，故四边形EFGH 是梯形．4．(选做题) 如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 12AD ，BE 12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)求证：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？解：(1)证明：因为G ，H 分别为FA ，FD 的中点，所以GH 12AD ．又BC 12AD ，所以GH BC ，所以四边形BCHG 为平行四边形．(2)由BE 12AF ，G 为FA 的中点知，BEFG ，所以四边形BEFG 为平行四边形，所以EF ∥BG . 由(1)知BGCH ，所以EF ∥CH ，所以EF 与CH 共面．又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面．。
北师大高中数学必修二课后作业6 空间图形的公理第2课时 含解析
课后作业(六)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面[解析]可能相交也可能异面，选D.[答案] D2．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()[解析]易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线．[答案] C3．异面直线a，b，有aα，bβ，且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是()A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交[解析]若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由公理4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．[答案] D4．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AE共面C．AE与B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°[解析]由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．[答案] C5．已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列判断正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD ) B ．MN ≤12(AC ＋BD ) C ．MN ＝12(AC ＋BD )D ．MN <12(AC ＋BD )[解析] 取BC 的中点E ，连接ME ，EN ，又M 、N 分别为AB 、CD 的中点，∴ME 綊12AC ，EN 綊12BD ，又在△EMN 中，ME ＋EN >MN ， ∴12(AC ＋BD )>MN . [答案] D6．在四棱锥P －ABCD 中，各棱所在的直线互相异面的有________对.[解析] 以底边所在直线为准进行考查，因为四边形ABCD 是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．[答案] 87．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 与BC 1所成角的大小是________．[解析]连接AD1，则AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.[答案]60°8．如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD 的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为________．[解析]依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF所成的角或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.[答案]60°9．如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F 分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．[解]取AC的中点G，连接EG，FG，则FG∥CD，EG∥AB，所以∠FEG即为EF与AB所成的角(或其补角)，且FG＝12CD，EG＝12AB，所以FG＝EG.又由AB⊥CD得FG⊥EG，所以∠FEG＝45°.故EF和AB所成的角为45°.10．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点．求证：∠NMP＝∠BA1D.[证明]如图，连接CB1、CD1，∵CD綊A1B1∴四边形A1B1CD是平行四边形∴A1D∥B1C.∵M、N分别是CC1、B1C1的中点∴MN∥B1C，∴MN∥A1D.∵BC綊A1D1，∴四边形A1BCD1是平行四边形∴A1B∥CD1.∵M、P分别是CC1、C1D1的中点，∴MP∥CD1∴MP∥A1B∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反∴∠NMP＝∠BA1D.应试能力等级练(时间25分钟)11．若直线a、b分别与直线l相交且所成的角相等，则a、b的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．三种关系都有可能[解析]以正方体ABCD－A1B1C1D1为例．A1B1、AB所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等，A1B1∥AB；A1B1、BC所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等，A1B1与BC是异面直线；AB、BC所在直线与AC所在直线相交且所成的角相等，AB与BC相交，故选D.[答案] D12．如图所示，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于()A．5 B．6C．8 D．10[解析]如图，取AD的中点P，连接PM、PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝12AC＝4，PM＝12BD＝3，∴MN＝5.[答案] A13.如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有________条．[解析]与AD1异面的面对角线分别为：A1C1、B1C、BD、BA1、C1D，其中只有B1C和AD1所成的角为90°.[答案] 114．已知空间四边形ABCD中，AB≠AC，BD＝BC，AE是△ABC的边BC上的高，DF是△BCD的边BC上的中线，则直线AE与DF的位置关系是________．[解析]由已知，得E、F不重合．设△BCD所在平面为α则DFα，A∉α，E∈α，E∉DF∴AE与DF异面．[答案]异面15．梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF 沿EF 翻折起来，使CD 到C ′D ′的位置，G 、H 分别为AD ′和BC ′的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．[证明] ∵梯形ABCD 中，AB ∥CD E 、F 分别为BC 、AD 的中点 ∴EF ∥AB 且EF ＝12(AB ＋CD )又C ′D ′∥EF ，EF ∥AB ，∴C ′D ′∥AB . ∵G 、H 分别为AD ′、BC ′的中点∴GH ∥AB 且GH ＝12(AB ＋C ′D ′)＝12(AB ＋CD ) ∴GH 綊EF ，∴四边形EFGH 为平行四边形．。
(北师大版)数学必修二课时作业：1.4.2空间图形的公理2(含答案)
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课时提升作业(五)空间图形的公理(公理4、定理)一、选择题(每小题3分，共18分)1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交【解析】选B.假设a与b是异面直线，而c∥a，则c显然与b不平行(否则c ∥b，则有a∥b，矛盾)，因此c与b可能相交或异面.2.如图所示，在三棱锥S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.平行或异面【解析】选A.因为E，F分别是SN和SP的中点，所以EF∥PN.同理可证HG∥PN.所以EF∥HG.3.(2014·焦作高一检测)有下面说法：①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是( )A.0B.3C.2D.1【解析】选D.①③中a，c异面、平行、相交都可能，只有②正确.【拓展延伸】学好立体几何的好帮手——长方体模型长方体是立体几何中常见的模型之一，许多点、线和面的关系的例子可以从中寻找，我们的教室就可以抽象成一个长方体，墙角是长方体的顶点，墙面是长方体的面，墙的边就是长方体的棱，学会从长方体中寻找位置关系是学习立体几何必备的数学素养.4.(2014·阜阳高一检测)如图，空间四边形ABCD中，AE=2BE，BF=CF，CG=2GD，DH=AH，则四边形EFGH为( )A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形【解析】选A.由题意=，=，所以==，所以EF AC，同理HG AC，所以EF HG.所以四边形EFGH为平行四边形.5.如图，平面α与平面β交于EF，C∈EF，C′∈EF，ACα，A′C′α，BCβ，B′C′β，且AC∥A′C′，BC∥B′C′，∠BCA=120°，则∠B′C′A′=( )A.0°B.60°C.120°D.60°或120°【解析】选C.结合图形，由AC∥A′C′，BC∥B′C′，根据定理，有∠B′C′A′=∠BCA=120°.6.(2014·济源高一检测)四面体S-ABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于( )A.90°B.60°C.45°D.30°【解析】选C.取SB的中点G，则GE=GF=，在△SFC中，EF=a，所以GE2+GF2=EF2，所以∠EFG=45°.故选C.【拓展延伸】构造异面直线所成的角的方法(1)过其中一条直线上的已知点(往往是特殊点)作另一条直线的平行线，使异面直线所成的角转化为相交直线所成的角(或其补角).(2)当异面直线依附于某几何，且直接对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点.(3)当两条异面直线互相垂直时，欲求它们所成的角，实际上是要通过证明来计算.二、填空题(每小题4分，共12分)7.如果两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥所在的12条直线中，异面直线共有________对.【解析】六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两边相交，与另四条边异面，这样异面直线一共有4×6=24(对).答案：248.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，则异面直线B1C1与AC所成的角为________.【解析】如图，因为BC∥B1C1，所以∠ACB为异面直线B1C1与AC所成的角(或其补角).因为∠ABC=90°，AB=BC=1，所以∠ACB=45°，所以异面直线B1C1与AC所成的角为45°.答案：45°【变式训练】已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，AA1=2，则异面直线BD与AB1所成角的余弦值为________.，AD1.【解析】如图，连结B因为BD∥B1D1，所以∠AB1D1为异面直线BD与AB1所成的角(或其补角).在△AB1D1中AB1=AD1=，B1D1=，所以cos∠AB1D1==.答案：9.四面体P-ABC中，PA⊥BC，E，F分别为PC，AB上任一点，若EF与PA，BC所成的角分别为α，β，则α+β=________.【解析】本题可利用特例法.如图，若E，F为中点时，取AC的中点M，连接EM，FM，所以EM∥PA，FM∥BC，所以∠FEM=α，∠EFM=β，因为PA⊥BC，所以EM⊥FM，所以α+β=90°.答案：90°三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2014·南昌高一检测)在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，G分别是棱CC′，BB′，DD′的中点，求证：∠BGC=∠FD′E.【证明】连接BD，B′D′，在平行四边形BDD′B′中，G，F分别为DD′，BB′的中点，易知GB∥D′F，在平行四边形CC′D′D中，因为G，E分别为DD′，CC′的中点，易知GC∥D′E.又因为∠BGC和∠FD′E方向相同.所以∠BGC=∠FD′E.11.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB，E，F分别是BD1和AD中点，求异面直线CD1，EF所成的角的大小.【解析】取CD1的中点G，连接EG，DG，因为E是BD1的中点，所以EG∥BC，EG=BC.因为F是AD的中点，且AD∥BC，AD=BC，所以DF∥BC，DF=BC，所以EG∥DF，EG=DF，所以四边形EFDG是平行四边形，所以EF∥DG，所以∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角. 又因为A1A=AB，所以四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，所以DG⊥CD1，所以∠D1GD=90°，所以异面直线CD1，EF所成的角为90°.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014·重庆高一检测)在三棱锥A-BCD中，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，若AD与BC所成的角是60°，那么∠FEG为( )A.60°B.30°C.120°D.60°或120°【解析】选D.异面直线AD与BC所成的角可能等于∠FEG，也可能等于∠FEG的补角.2. (2013·南充高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为边B1C1，C1C，A1A，AD的中点，则EF与GH( )A.平行B.相交C.异面D.不能确定与A1D，【解析】选A.连接B因为E，F为中点，所以EF∥B1C.又因为G，H为中点，所以GH∥A1D.容易得出A1D∥B1C，所以EF∥GH.【举一反三】若已知条件不变，求GE与FH的位置关系，则结论如何？【解析】选A.由上面解析知EF B1C，GH A1D，又容易得出B1C A1D，所以EF GH，所以四边形EFHG为平行四边形，所以GE∥FH.3.如图所示是正方体的平面展开图.在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是( )A.①②③B.②④C.③④D.②③④【解题指南】将平面展开图还原为正方体后逐一验证.【解析】选C.将图还原为正方体如图所示.由图可知①BM与ED异面；②CN与BE平行；③CN与BM所成角为60°；④BN⊥DM.4.(2014·广东高考)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定【解题指南】由于l2∥l3，所以l1与l4的位置关系可以通过同垂直于一条直线的两条直线的位置关系加以判断.【解析】选D.因为l2∥l3，所以l1⊥l3，l3⊥l4.实质上就是l1与l4同垂直于一条直线，所以l1⊥l4，l1∥l4，l1与l4既不垂直也不平行都有可能成立，故l1与l4的位置关系不确定.二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图，正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为__________(注：把你认为正确的结论的序号都填上).【解析】直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，直线BN与MB1是异面直线，直线AM与DD1是异面直线，故①②错误，③④正确.答案：③④6.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=BB1，则AB1与BC1所成的角的大小为________.，设B1C∩BC1=D，取AC的中点E，【解析】如图，连结B连结DE，BE，C1E，因为四边形BCC1B1是平行四边形，所以D是B1C的中点，所以DE∥AB1，所以∠BDE(或其补角)是AB1与BC1所成的角.不妨设BB1=1，则AB=BC=AC=，在Rt△CC1E中，C1E===，在Rt△BCE中，BE=BC〃sin60°=×=，所以C1E=BE，又D是BC1的中点，所以ED⊥BC1，所以∠BDE=90°，所以AB1与BC1所成的角为90°.答案：90°三、解答题(每小题12分，共24分)7. (2014·佛山高一检测)如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD= ∠FAB=90°，BC∥AD，BC=AD，BE∥FA，BE=FA，G，H分别为FA，FD的中点.(1)证明：四边形BCHG为平行四边形.(2)C，D，E，F四点是否共面？为什么？【解题指南】(1)只需证BC∥GH，BC=GH.(2)先证四边形BEFG为平行四边形，再证明EF∥CH即得.【解析】(1)由已知FG=GA，FH=HD，可得GH∥AD，GH=AD，又BC∥AD，BC=AD，所以GH∥BC，GH=BC.所以四边形BCHG为平行四边形.(2)C，D，E，F四点共面，证明如下：由BE FA，G为FA中点知，BE FG，所以四边形BEFG为平行四边形.所以EF BG.由(1)知BG CH.所以EF CH，即四边形EFHC为平行四边形.所以CE与HF共面，又D∈直线FH.故C，D，E，F四点共面.【变式训练】如图所示，两个三角形ABC和A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且===.(1)求证：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)求的值.【解析】(1)因为AA′与BB′交于点O，且==.所以AB∥A′B′.同理，AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)因为A′B′∥AB，AC∥A′C′且AB和A′B′，AC和A′C′方向相反，所以∠BAC=∠B′A′C′.同理∠ABC=∠A′B′C′.因此△ABC∽△A′B′C′，且==.所以==.8.如图所示，空间四边形ABCD中，两条对边AB=CD=3，E，F分别是另外两条对边AD，BC上的点，且==，EF=，求AB和CD所成的角的大小.【解析】如图，过E作EO∥AB，交BD于点O，连接OF，所以=，所以=，所以OF∥CD.所以∠EOF(或其补角)是AB和CD所成的角.在△EOF中，OE=AB=2，OF=CD=1，又EF=，所以EF2=OE2+OF2，所以∠EOF=90°.即异面直线AB和CD所成的角为90°.【拓展延伸】利用定义法求异面直线所成的角的四个步骤(1)移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，成为相交直线，这里的点通常选择特殊的点，如线段的中点或端点等.(2)证：证明所作的角为异面直线所成的角.(3)算：寻找或作出含有此角的三角形，解三角形，求出此角.(4)验：因为异面直线所成的角θ的取值范围为0°<θ≤90°，所以当所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.关闭Word文档返回原板块。
北师大版高中数学必修二4.2 空间图形的公理(一).docx
4．2空间图形的公理(一)【课时目标】掌握文字、符号、图形语言之间的转化，理解公理1、公理2、公理3，并能运用它们解决点共线、线共面、线共点等问题．1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．符号：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒lα．2．公理2：经过________________________的三点，____________一个平面(即可以确定一个平面)．3．公理3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有________通过这个点的公共直线．符号：P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l．4．用符号语言表示下列语句：(1)点A在平面α内但在平面β外：________________________________________________________________________．(2)直线l经过面α内一点A，α外一点B：________________．(3)直线l在面α内也在面β内：____________．(4)平面α内的两条直线m、n相交于A：________________________________________________________________________．一、选择题1．两平面重合的条件是()A．有两个公共点B．有无数个公共点C．有不共线的三个公共点D．有一条公共直线2．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作()A．M∈b∈β B．M∈bβC．M bβ D．M b∈β3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有()A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒aβB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合5．空间中可以确定一个平面的条件是()A．两条直线B．一点和一直线C．一个三角形D．三个点6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有() A．2个或3个B．4个或3个C．1个或3个D．1个或4个二、填空题7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．(1)A∉α，．(2)α∩β＝a，P∉α且P∉β________．(3)a⊆α，a∩α＝A________．(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．8．已知α∩β＝m，aα，bβ，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．9．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．三、解答题10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．能力提升12．若空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，求证此三条直线必相交于一点．13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：(1)C1、O、M三点共线；(2)E、C、D1、F四点共面；(3)CE、D1F、DA三线共点．1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．4．2空间图形的公理(一) 答案知识梳理1．两点2．不在同一条直线上有且只有3．一个一条4．(1)A∈α，A∉β(2)A∈α，B∉α且A∈l，B∈l(3)lα且lβ(4)mα，nα且m∩n＝A作业设计1．C[根据公理2，不共线的三点确定一个平面，若两个平面同过不共线的三点，则两平面必重合．]2．B3．D4．C[∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β．由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．故α∩β＝A的写法错误．]5．C6．D[四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．]7．(1)C(2)D(3)A(4)B8．A∈m解析因为α∩β＝m，A∈，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线m上．9．③10．解由题意知，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可证E∈平面SBD．∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．11．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．12．证明∵l1β，l2β，l1P l2，∴l1∩l2交于一点，记交点为P．∵P∈l1β，P∈l2γ，∴P∈β∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B．∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴E、C、D1、F四点共面．(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．又∵EF＝12A1B＝12D1C．∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．则P∈D1F平面ADD1A1，P∈CE平面ADCB．∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．∴CE、D1F、DA三线共点．。
北师大 数学必修2立体几何初步 第4节 空间图形的基本关系与公理
§4 空间图形的基本关系与公理【5分钟训练】 1. 在任何一个平面内的两条直线叫异面直线.答案:不同在2.如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线上所有点都在这个平面内.用符号语言可表示为 .答案:两点,设,A B a ∈, ,A B α∈a ⇒⊂≠α 3.经过不在同一条直线上的三点, 一个平面.答案:有且只有4.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有 . 答案:一条通过这个点的公共直线5.空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角 .答案:相等或互补6.点A 在平面α、β的交线l 上,用符号语言可以表述为 .答案:,l A l αβ=∈【10分钟训练】1.下列推理错误的是( )A. ,,,A a A B a B a ββ∈∈∈∈⇒⊂≠β B. ,,,M M N N MN αβαβαβ∈∈∈∈⇒= 直线C. ,l A l A αα⊄∈⇒∉D. A 、B 、C ,α∈ A 、B 、C β∈且A 、B 、C 不共线α⇒与β重合答案:C解析: l α⊄表示直线l 在平面α外,有两种位置关系,即直线l 与平面α相交或直线l 与平面α平行,而点A 可以为直线l 与平面α的交点.故C 错误.2.空间有四个点，每三个点都可以确定一个平面，则这四个点可以确定的平面数为（ ）A ．0B ．4C ．0或2D ．1或4答案:D解析: 每三点都确定平面，即任三点不共线，但仍可有四点在同一个平面或四点不共面，∴这四个点确定平面的个数为1或4，故应选D.3.空间四点A 、B 、C 、D 共面而不共线，则（ ）A ．四点中必有三点共线B ．四点中必有三点不共线C ．AB 、BC 、CD 、DA 中必有两条互相平行D ．AB 、BC 、CD 、DA 中不可能有平行线答案:B解析: A 、B 、C 、D 共面而不共线，这四点可能有三点共线，也可能任意三点不共线，A 错误，如果四点中没有三点不共线，则四点共线，矛盾，B 正确，AB 、BC 、CD 、DA 中可以有平行线也可以没有平行线，C 、D 错误，故应选B.4.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论错误．．的是 ( ) A. A 、M 、O 三点共线B. A 、M 、O 、A 1四点共面C. A 、O 、C 、M 四点共面图1 图 2 D. B 、B 1、O 、M 四点共面答案:D5.已知如右图所示正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 、G 、H 分别为AB 、AD 、C 1B 1、C 1D 1的中点，试判断下列直线是否平行.(1)AD 1与BC 1；(2)EF 与GH ；(3)DE 与HB 1.解析: (1)平行.∵AB //=D 1C 1, ∵ABC 1D 1是平行四边形，∴AD 1∥BC 1(2)平行. 因为EF ∥BD ∥B 1D 1∥GH(3)平行. 取CD 中点为S ，连BS ，可证DE ∥BS ∥HB 1.6.用符号表示下列语句，并画出图形.(1)三个平面α、β、γ相交于一点P ，且平面α与平面β交于P A ，平面α与平面γ交于PB ，平面β与平面γ交于P C.(2)平面ABD 与平面BDC 相交于BD ，平面ABC 与平面ADC 交于A C.解析: (1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P ，α∩β＝P A ，α∩γ＝PB ，β∩γ＝PC 用图形表示：(如图1所示)(2)符号语言表示：平面ABD ∩平面BDC ＝BD平面ABC ∩平面ADC ＝AC ,图形表示：(如图2所示)7. 如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求证：(1)∠ABC ＝∠A 1B 1C 1；(2)∠A 1D 1A ＝∠B 1C 1B.解: (1)在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，由长方体的性质可得：AB ∥A 1B 1，BC ∥B 1C 1且∠ABC 与∠A 1B 1C 1的两边方向相同，由定理可得∠ABC ＝∠A 1B 1C 1(2)由长方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 的性质可知A 1D 1∥B 1C 1，D 1C 1//=AB ∴四边形ABC 1D 1为平行四边形.∴AD 1∥BC 1且A 1D 1∥B 1C 1 且∠A 1D 1A 与∠B 1C 1B 的两边方向相同∴∠A 1D 1A ＝∠B 1C 1B8.已知如图所示, 点E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边AB ，AD ，CB ，CD 上的点，且直线EF 和HG 交于点P ，求证：点B ，D ，P 在同一条直线上.证明: ∵E ，F 是AB ，AD 上点，∴EF ⊂≠平面ABD ，同理GH ⊂≠面BCD. ∵EF ∩GH ＝P,∴P ∈EF,P ∈GH ，∴P ∈面ABD ，P ∈面BCD.∵面ABD ∩面BCD=BD ，∴P ∈BD 即B,D,P 三点共线.【30分钟训练】1.经过同一直线上的3个点的平面( )A.有且只有一个B.有且只有3个C.有无数个D.不存在答案:C2. (07·河南模)已知m 、n 为异面直线，m ⊂≠平面α,n ⊂平面β，α∩β=l ，则l( ) A ．与m 、n 都相交 B ．与m 、n 中至少一条相交C ．与m 、n 都不相交D ．至多与m 、n 中的一条相交答案:B3.已知直线a 与平面α、β，α∩β=l ，a ⊄α,a ⊄β，a 在α、β内的射影分别为b 、c ，则b 和c 的位置关系为( )A ．相交或平行B ．相交或异面C ．平行或异面D ．相交平行或异面 答案:D解析:当直线a ∥ 时，b ∥c ，当a ⊥ 时，b,c 相交，当 与a 不平行，不相交，不垂直时b 与C 为异面直线.4. a 、b 、c 是空间三条直线，其中a 与b 、c 都相交，那么由这三条直线可以确定的平面个数为( )A. 1B. 1或3C. 2或3D. 1或2或3答案:D解析: b 与c 相交时，确定一个平面，b 、c 为异面直线时，确定两个平面，a 、b 、c 相交于一点，可确定三个平面. 故应选D.5.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P,Q,R 分别是AB,AD,B 1C 1的中点,那么正方体的过P,Q,R 的截面图形是( )A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形答案:D提示:作出过这三点的截面可得一正六边形截面.6.一个平面把空间分成 部分，两个平面把空间分成 或 部分，三个平面把空间分成 或 或 或 部分.答案:2,3或4,4或6或7或8提示: 一个平面把空间分成2部分，两个平面平行时把空间分成3个部分相交时把空间分成4个部分，三个平面两两平行时可把空间分成4部分,若两个平行,另一个与之均相交,可将空间分成6个部分,作三条两两相且不共点的直线,视其视作平面的截面图,可以将空间分成7部分,另外两个平面相交时,第三个平面与它的交线相交,可以将空间分成8个部分.7.“已知α∩β=l ，若点P ∈α且点P ∈β，则P ∈l .”用文字语言应叙述为_____________. 答案:已知平面α与平面β相交于直线l ，如果点P 既在平面α内又在平面β内，那么点P 在直线l 上8. 一条直线和这条直线外不共线的三点，可以确定多少个平面？并说明理由解: 设直线 及 外不共线的三点A ，B ，C ，由公理2，A,B,C 可以确定一个平面α,若 在α内，这时只能确定一个平面α，若 不在α内，(1)若A,B,C 中有两点与 共面，不妨设点A ，B 与 共面β，则C ∉β，否则α，β重合，点C 与 可确定一个平面γ，这时可确定三个平面.(2)若A,B,C 中无任何两点与 共面，这样A,B,C 三点分别可与 确定一个平面，连同α，这时共有4个平面.综上所述，一直线与直线外不共线三点，确定的平面的个数可以是1个，3个，4个.9.如图所示，设A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，求证MN ∥BD.证明：设AM 交BC 于E ，AN 交CD 于F ，∵M 、N 为△ ABC 和△BCD 重心， ∴32==AF AN AE AM ，∴MN ∥EF ， 由重心条件可得：E 、F 分别为BC 、CD 的中点，∴EF ∥BD,∴MN ∥BD.10.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，判断下列命题是否正确，并请说明理由.(1)直线AC 1在平面CC 1B 1B 内；(2)设正方形ABCD 与A 1B 1C 1D 1的中心分别为O 、O 1，则平面AA 1C 1C 与平面BB 1D 1D 的交线为OO 1；(3)由点A 、O 、C 可以确定一个平面；(4)由A 、C 1、B 1确定的平面是ADC 1B 1；(5)若直线l 是平面AC 内的直线，直线m 是平面D 1C 上的直线，若l 与m 相交，则交点一定在直线CD 上；(6)由A 、C 1、B 1确定的平面与由A 、C 1、D 确定的平面是同一平面.解: (1)错误.若AC 1⊂≠平面CC 1B 1B ，又BC ⊂≠平面CC 1B 1B ,∴AB ⊂≠平面CC 1B 1B ，与AB 平面CC 1B 1B 矛盾.(2)正确.O 、O 1是两平面的两个公共点.(3)错误.因为A 、O 、C 共线.(4)正确.A 、C 1、B 1不共线，∴确定平面α,又AB 1C 1D 为平行四边形，AC 1、B 1D 相交于O 3点，而O 3∈α,B 1∈α,∴B 1O 3⊂≠α而D ∈B 1O 3,∴D ⊂≠α. (5)正确.若l 与m 相交，则交点是两平面的公共点，而直线CD 为两平面的交线.所以交点一定在直线CD 上.(6)正确.同(4).11. 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是接AA 1、CC 1的中点，求证：点D 1、E 1、F 1、B 共面．提示：证明空间若干个点共面，通常先由其中三点确定一个平面，再证明其它的点也在这个平面内．本题先连结D 1E 并延长交DA 延长线于G ，连结D 1F 并延长交DC 延长线于H ，可证GH 是D 1、E 、F 三点确定的平面和平面AC 的交线，然后再用平面几何知识证点B 在GH 上．12.如图所示，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点，且有AE ∶EB =AH ∶HD =m ,CF ∶FB =CG ∶GD =n .(1)证明：E 、F 、G 、H 四点共面；(2)m ,n 满足什么条件时EFGH 是平行四边形；(3)在(2)的条件下，若AC ⊥BD ，试证明EG =FH .解: (1)∵AE ∶EB =AH ∶HD ，∴EH ∥B D. CF ∶FB =CG ∶GD ， ∴FG ∥BD ， ∴EH ∥FG ， ∴E 、F 、G 、H 四点共面.(2)当且仅当EH //=FG 时，四边形EFGH 为平行四边形. ∵1+=+=m m EB AE AE BD EH , ∴EH =.1BD m m +同理FG =1+n n BD ,由EH =FG 得m =n . 故当m =n 时，四边形EFGH 为平行四边形. (3)当m =n 时，AE ∶EB =CF ∶FB , ∴EF ∥A C. 又∵AC ⊥BD ，∴∠FEH 是AC 与BD 所成的角， ∴∠FEH =90°，从而EFGH 为矩形， ∴EG =FH .13. 如图所示，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面为边长为a 的正方形，棱AA 1为2a ，M ，N 分别是CD 和AD 的中点，(1)求证：M 、N 、A 1、C 1四点共面且MNA 1C 1是等腰梯形，(2)求梯形MNA 1C 1的面积.解: (1)连结AC ,∵M 、N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN AC∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为长方体 ,∴ACC 1A 1为矩形，ACA 1C 1∴MN 21A ′C ′，于是M ，N ，A 1，C 1共面且MNA 1C 1为等腰梯形. 在△A 1AN 和△C 1CM 中，∠A 1AN ＝∠C 1CM ＝90°，A 1A ＝C 1C ＝2a ，AN ＝CM∴△A 1AN ≌△C 1CM ，∴A 1N ＝C 1M∴MNA 1C 1为等腰梯形.(2)由长方体的性质，可得,22,211a MN a C A == a M C N A 21711==,∴梯形的高,4h a =2111)2MNAC S ==所以梯形的面积14.正方体的棱长为4 cm ，M 、N 分别是A 1B 1和CC 1的中点，(1)画出过点D ，M ，N 的平面与平面BB 1C 1C 及平面AA 1B 1B 的两条交线，(2)设过D 、M 、N 三点的平面与B 1C 1交于P ，求PM ＋PN 的值.解: (1)连结DN 并延长交D 1C 1的延长线于E 点，连结ME 交B 1C 1于P 点，交D 1A 1延长线于Q ，连结DQ 交AA 1于R ，连结RM ，PN ，则DRMPN 为所求作的截面.(2)∵N 为CC 1的中点 ∴310,38432,211=∴=⨯==PN P C N C同理可求3132=PM , ∴313210+=+PN PM .。
高中数学北师大版必修2 1.4 提升练习 《空间图形的公理》(数学北师大必修二)
《空间图形的公理》提升练习本课时编写：崇文门中学 高巍巍一、选择题1．1111ABCD A B C D -是正方体，O 是11B D 的中点，直线1A C 交平面11AB D 于点M ，则下列结论中错误的是（ ）A .,,A M O 三点共线B .1,,,M O A A 四点共面C .,,,A O C M 四点共面D .1,,,B B O M 四点共面2．平面α ∩平面β＝l ，点A ∈α，B ∈α，C ∈β，且C ∉l ， AB ∩l ＝R ，过A 、B 、C 三点确定平面γ，则β ∩ γ＝( )．A ．直线ACB ．直线BC C ．直线CRD ．以上都不对3．正四棱锥P —ABCD 的底面积为3，E 为侧棱PC 的中点，则P A 与BE 所成的角为（ ）A ．6πB ．3πC ．4πD ．2π4. 如图所示，设E 、F 、G 、H 依次是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上除端点外的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CG CD＝μ，则下列结论不正确的是( )．A ．当λ＝μ时，四边形EFGH 是平行四边形B ．当λ≠μ时，四边形EFGH 是梯形C ．当λ＝μ＝12时，四边形EFGH 是平行四边形 D ．当λ＝μ≠12时，四边形EFGH 是梯形二、填空题5.空间有四条交于一点的直线，过其中每两条作一个平面，这样的平面至多有 _____ 个．6. 对于四面体ABCD ，下列命题正确的是 ．（写出所有正确命题的编号）① 相对棱AB 与CD 所在的直线异面② 由顶点A 作四面体的高，其垂足必是△BCD 的三条高线的交点③ 若分别作△ABC 和△ABD 的边AB 上的高，则这两条高所在直线必异面④ 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．7. 已知四面体ABCD 中，AB =CD =2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3π，则EF =________．8. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：① AB ⊥EF ；② AB 与CM 所成的角为60°；③ EF 与MN 是异面直线；④ MN ∥CD ．以上结论中正确结论的序号为________．三、简答题9. 如图，在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且13CG BC =，13CH DC =. 求证：① E 、F 、G 、H 四点共面； ② 直线FH 、EG 、AC 共点.。
2020-2021学年北师大版高中数学必修二《空间图形的公理》课时提高练习1及解析
最新（新课标）北师大版高中数学必修二4．2 空间图形的公理(二)【课时目标】1．理解异面直线所成角的定义；2．能用公理4及定理解决一些简单的相关问题．1．公理4：平行于同一条直线的两条直线________．2．定理：空间中，如果两个角的两边分别对应________，那么这两个角________或________．3．异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的____________叫做异面直线a与b所成的角．如果两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角的取值范围是____________．一、选择题1．若a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，则a 和c 的位置关系是( ) A ．异面或平行 B ．异面或相交C ．异面D ．相交、平行或异面 2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定异面 D ．相交或异面 3．若∠AOB ＝∠A 1O 1B 1，且OA ∥O 1A 1，OA 与O 1A 1的方向相同，则下列结论中正确的是( ) A ．OB ∥O 1B 1且方向相同 B ．OB ∥O 1B 1C ．OB 与O 1B 1不平行D ．OB 与O 1B 1不一定平行 4．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行； ②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a ，b ，c 满足a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；④若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线． 其中假命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．45．如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD)B ．MN ≤12(AC ＋BD)C ．MN ＝12(AC ＋BD)D ．MN<12(AC ＋BD)二、填空题6．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________．7．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．8．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．三、解答题9．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1．10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．能力提升11．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．12．如图所示，正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，则EF和CD 所成的角是( )A．60°B．45°C．30°D．90°4．2 空间图形的公理(二) 答案知识梳理1．平行2．平行相等互补3．锐角(或直角) 直角(0°，90°]作业设计1．D [异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．]2．D3．D [等角定理的实质是角的平移，其逆命题不一定成立，OB与O1B1有可能平行，也可能不在同一平面内，位置关系不确定．]4．B [①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；当点A在直线a上运动(其余三点不动)，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．]5．D[如图所示，取BC 的中点E ，连接ME 、NE ，则ME ＝12AC ，NE ＝12BD ，所以ME ＋NE ＝12(AC ＋BD)．在△MNE 中，有ME ＋NE>MN ，所以MN<12(AC ＋BD)．]6．60°或120° 7．(1)60° (2)45° 解析连接BA ′，则BA ′∥CD ′，连接A ′C ′，则∠A ′BC ′就是BC ′与CD ′所成的角． 由△A ′BC ′为正三角形， 知∠A ′BC ′＝60°，由AD ∥BC ，知AD 与BC ′所成的角就是∠C ′BC ．易知∠C ′BC ＝45°． 8．①③解析 把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB ⊥EF ，EF 与MN 是异面直线，AB ∥CM ，MN ⊥CD ，只有①③正确．9．证明 (1)如图，连接AC ， 在△ACD 中，∵M 、N 分别是CD 、AD 的中点， ∴MN 是三角形的中位线，∴MN ∥AC ，MN ＝12AC ．由正方体的性质得：AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1．∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1．10．解取AC的中点G，连接EG、FG，则EG∥AB，GF∥CD，且由AB＝CD知EG＝FG，∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°．由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°．故EF与AB所成的角为15°或75°．11．②④解析①中HG∥MN．③中GM∥HN且GM≠HN，∴HG、MN必相交．12．B [&知识就是力量&连接B1D1，则E为B1D1中点，连接AB1，EF∥AB1，又CD∥AB，∴∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角，即∠B1AB＝45°．]。
高中数学北师大版必修2 1.4 基础练习 《空间图形的公理》(数学北师大必修二)
《空间图形的公理》基础练习本课时编写：崇文门中学高巍巍一、选择题1.在下列命题中，不是公理的是（）A．经过两条相交直线有且只有一个平面B．平行于同一直线的两条直线互相平行C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线2.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是（）．A．梯形B．矩形C．平行四边形D．正方形3．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中（）A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线4. 下列命题中：①若A∈α，B∈α，C∈AB，则C∈α；②若α∩β＝l，b⊂α，c⊂β，b∩c＝A，则A∈l；③若A、B、C∈α，A、B、C∈β且A、B、C不共线，则α与β重合；④任意三点不共线的四点必共面．其中真命题的个数是()．A ．0B ．1C ．2D ．35. 已知AB ∥PQ ,BC ∥QR ,30ABC ︒∠=,则PQR ∠=（ ）A ．30︒B . 150︒C ．30︒或150︒D ．不确定6.正方体1AC 中，E 、F 分别是面1111A B C D 和11AA D D 的中心，则EF 和CD 所成的角是( )A ．60°B . 45°C ．30°D ．90°二、填空题7. 空间两两相交的四条直线能确定_____个平面.8. 在空间四边形ABCD 中，点,,,E F G H 分别在,,,AB BC CD DA 上，若直线EH 与FG 相交于点P ，则点P 与直线BD 的关系是 ．9. 若直线l 上有两个点在平面α内，则下列说法正确的序号为________.①直线l 上至少有一个点在平面α外；②直线l 上有无穷多个点在平面α外；③直线l 上所有点都在平面α内；④直线l 上至多有两个点在平面α内．10. 已知正方体ABCD A B C D ''''-中：（1）BC '与CD '所成的角为________；（2）AD 与BC '所成的角为________．三、简答题11.画一个正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，再画出平面ACD 1与平面BDC 1的交线，并且说明理由．12.如图，已知长方体ABCD —A ＇B ＇C ＇D 中，AB AD ==AA ＇=2，（1）哪些棱所在直线与直线BA ＇是异面直线？（2）直线BC 与直线A ＇C ＇所成角是多少度？13.如右图所示，△ABC 和△'''A B C 的对应顶点的连线AA'，BB'，CC'交于同一点D ，且。
北师大版必修2高中数学14《第2课时 空间图形的公理》课时训练
【课堂新坐标】（教师用书)2013—2014学年高中数学 1、4 第2课时空间图形的公理（公理4，定理）课时训练北师大版必修2一、选择题1。
(2013·杭州高一检测）一条直线与两条平行线中的一条为异面直线,则它与另一条（)A。
相交 B.异面 C.相交或异面 D.平行【解析】可能相交，如图,A1B1∥C1D1，DD1与A1B1异面,而DD1与C1D1相交；可能异面，E、F为B1C1、BC的中点，则EF与A1B1、EF与C1D1都是异面直线，不可能平行,故选C、【答案】C2.若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是( )A.OB∥O1B1且方向相同B.OB∥O1B1C。
OB与O1B1不平行D。
OB与O1B1不一定平行【解析】OB与O1B1不一定平行，反例如图。
【答案】D3。
已知一对等角,若一个角的一边和另一个角的一边平行,则它的另一边（）A.一定平行B.一定不平行C。
一定相交D。
不一定平行【解析】如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,∠D1A1B1＝∠DAB，AD∥A1D1,AB∥A1B1,但∠D1A1B1＝∠B1C1C、A1D1∥B1C1，A1B1与CC1不平行，故选D、【答案】D图1－4－184。
如图1－4－18，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( ）A。
45° B.60° C.90° D.120°【解析】取A1B1中点I，连接IG、IH,则EF綊IG、易知IG、IH、HG相等，则△HGI 为等边三角形，则IG与GH所成的角为60°,即EF与GH所成的角为60°、【答案】B5。
下列命题中，正确的结论有（)①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行A。
北师大数学必修二课时分层作业 5 空间图形的公理4及等角定理 含解析
课时分层作业(五)空间图形的公理4及等角定理(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是()A．异面B．相交C．平行D．异面或相交D[a与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A矛盾，而a与c异面、相交都有可能．]2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对B[∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，∴∠PQR＝30°或150°.]3．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有()A．3条B．4条C．5条D．6条B[由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．]4．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c()A ．一定平行B ．一定相交C ．一定是异面直线D ．平行、相交或异面都有可能D [当a ，b ，c 共面时，a ∥c ；当a ，b ，c 不共面时，a 与c 可能异面也可能相交．]5．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( ) A ．平行或异面 B ．相交或异面 C ．异面D ．相交B [假设a 与b 是异面直线，而c ∥a ，则c 显然与b 不平行(否则c ∥b ，则有a ∥b ，矛盾)．c 与b 可能相交或异面．]二、填空题6．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则下列结论： ①∠BAC ＝∠B ′A ′C ′； ②∠ABC ＋∠A ′B ′C ′＝180°；③∠ACB ＝∠A ′C ′B ′或∠ACB ＋∠A ′C ′B ′＝180°. 一定成立的是________．③ [∵AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，∴∠ACB ＝∠A ′C ′B ′或∠ACB ＋∠A ′C ′B ′＝180°.] 7．在空间四边形ABCD 中，如图所示，AE AB ＝AH AD ，CF CB ＝CG CD ，则EH 与FG 的位置关系是________．平行 [如图，连接BD ，在△ABD 中，AE AB ＝AHAD ，则EH ∥BD ，同理可得FG ∥BD . ∴EH ∥FG .]8．如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥AB ，底面ABCD 是平行四边形，则P A 与CD 所成的角是______．90°[∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠P AB是异面直线P A与CD所成的角．又∵P A⊥AB，∴∠P AB＝90°.]三、解答题9．如图所示，正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．[解]如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B 1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1，∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.10．长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠A1ED1.[证明](1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM綊A1B1，∵A1B1綊C1D1，∴EM綊C1D1，∴四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MB綊C1F，∴BF∥C1M，∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠A1ED1.[等级过关练]1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直D[将展开图还原为正方体，如图所示，故AB与CD为不垂直的异面直线．]2．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC ＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A．45°B．60°C．90°D．120°B[连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C，B1C与BC1交于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，在△GHB中，易知GH＝HB＝GB＝22a，故所求的两直线所成的角即为∠HGB＝60°.]3．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号)．①②[结合公理4可知，①②均是平行直线，④中RS和PQ相交，只有③是异面直线．]4．如图，在正方体ABCD-A 1B1C1D1中．(1)AA1与C1D1所成的角的度数为________；(2)AA1与B1C所成的角的度数为________．(1)90°(2)45°[(1)∵AA1∥DD1，∴∠DD1C1即为所求的角．∵∠DD1C1＝90°，∴AA1与C1D1所成的角为90°.(2)∵AA1∥BB1，∴∠BB1C即为所求的角．∵∠BB1C＝45°，∴AA1与B1C所成的角为45°.]5．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC ＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．[解]取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF ∥CD ，∴∠BEF 即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角)． 在Rt △ABC 中，BC ＝2，AB ＝AC ，∴AB ＝AC ＝1， 在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，∴BE ＝52. 在Rt △AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22. 在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52. 在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010，∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010.。
北师大版必修2高中数学14《第1课时 空间图形基本关系的认识空间图形的公理》课时训练
【课堂新坐标】(教师用书）2013—2014学年高中数学 1、4 第1课时空间图形基本关系的认识、空间图形的公理(公理1，2,3）课时训练北师大版必修2一、选择题1.（2013·日照高一检测）下列叙述中错误的是（)A。
若P∈α∩β且α∩β＝l,则P∈lB.三点A,B，C只能确定一个平面C.若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面D.若A∈l,B∈l且A∈α,B∈α，则lα【解析】不共线的三点才能确定平面,所以B错。
【答案】B2.（2013·桂林高一检测）下列说法正确的是( ）A.平面α和平面β只有一个公共点B.两两相交的三条直线必共面C.不共面的四点中，任何三点不共线D。
有三个公共点的两平面必重合【解析】四点中,若三点共线，则四点便成了一条直线和直线外一点，则共面，所以与四点不共面矛盾，所以C正确.【答案】C3.已知a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b（）A.一定是异面直线B。
一定是相交直线C.不可能是平行直线D。
不可能是相交直线【解析】若a,b异面，c∥a,则c与b相交或异面,则C正确。
【答案】C图1－4－64.(2013·烟台高一检测)如图1－4－6,平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β,点C∉l、又AB∩l＝R，设A,B,C三点确定的平面为γ,则β∩γ是( )A.直线ACB.直线BCC。
直线CR D。
直线AR【解析】∵C∈平面ABC,AB平面ABC,而R∈AB,∴R∈平面ABC、而C∈β，lβ,R ∈l，∴R∈β，∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝CR、【答案】C5.在四面体ABCD的棱AB,BC，CD,DA上分别取E，F,G，H四点，如果EF与HG交于点M,则（）A。
M一定在直线AC上B.M一定在直线BD上C。
M可能在AC上,也可能在BD上D。
M不在AC上,也不在BD上【解析】因为E,F，G,H分别是四面体ABCD的棱AB,BC，CD，DA上的点，EF与HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点,而两个平面的交线为AC，所以M一定在直线AC上。
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课时练习(四)空间图形的公理(公理1、2、
3)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作() A．Q∈b∈βB．Q∈bβ
C．Q bβD．Q b∈β
B[∵点Q(元素)在直线b(集合)上，∴Q∈b.又∵直线b(集合)在平面β(集合)内，∴bβ，∴Q∈bβ.]
2．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是()
A．A，B，C，D四点中必有三点共线
B．A，B，C，D四点中不存在三点共线
C．直线AB与CD相交
D．直线AB与CD平行
B[若A，B，C，D四点中有三点共线，则A，B，C，D四点共面，若AB 与CD相交(或平行)，则AB与CD共面，即得A，B，C，D四点共面．] 3．下列叙述中错误的是()
A．若P∈α，P∈β，且α∩β＝l，则P∈l
B．点A和直线l确定一个平面
C．若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面
D．圆上三点A，B，C可以确定一个平面
B[由公理3知，A正确；由公理1的推论可知，C正确；由于圆上三点不共线，根据公理1知，D正确；对于选项B，当A∈l时，不能确定一个平面，故选B.]
4．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面()
A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点
C．仅有两个公共点D．有无数个公共点
D[根据公理3可知，若两个平面有一个公共点，则这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线．故选D.]
5．空间中四点可确定的平面有()
A．1个B．3个
C．4个D．1个或4个或无数个
D[当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面．]
二、填空题
6．对于结论“若aα，且a∩b＝P，则P∈α”，用文字语言可以叙述为________．
若直线a在平面α内，且直线a与直线b相交于一点P，则点P一定在平面α内[若直线a在平面α内，且直线a与直线b相交于一点P，则点P一定在平面α内．]
7．如图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN 与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
②④[观察题图可知①③错误，②④正确．]
8．下列命题：
①若直线a与平面α有公共点，则称aα；
②若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；
③三条平行直线共面；
④若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面．
其中正确的命题是________．(填序号)
②[①错误．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交或aα；
②正确．由公理3知该命题正确；
③错误．三条平行直线不一定共面，例如三棱柱的三条侧棱；
④错误，如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面．]
三、解答题
9．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.
求证：P，Q，R三点共线．
[证明]∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P，
∴AB，CD可确定一个平面，设为β.
∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，
∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β，
∴ACβ，BDβ，平面α，β相交．
∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，
∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点，
∴P，Q，R都在α与β的交线上，
故P，Q，R三点共线．
10．求证：如果两两平行的三条直线都与一条直线相交，那么这四条直线共面．
[证明]设a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
如图所示，因为a∥b，由公理2可知直线a与b确定一个
平面，设为α.
因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.又因为A∈l，B∈l，所以由公理1可知lα.
因为b∥c，所以由公理2可知，直线b与c确定一个平面β，同理可知，lβ.
因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公理2的推论2
知，经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．
1．下列推理错误的是()
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒lα
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．lα，A∈l⇒A∉α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合
C[当lα，A∈l时，也有可能A∈α，如l∩α＝A，则C错．]
2．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中()
A．必有三点共线B．可能三点共线
C．至少有三点共线D．不可能有三点共线
B[如图①②所示，A、C、D均不正确，只有B正确．
]
3．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是________．
直线CD[因为平面α∩平面β＝l，
AB∩l＝D，
所以D∈平面β.
因为AB平面ABC，
所以D∈平面ABC.
又C∈平面ABC，C∈平面β，C∉l，
所以平面ABC∩平面β＝CD.]
4．(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面．
(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面．
(1)4(2)7[(1)由题意可知，在4点中任选3点即可确定一个平面，故可确定4个．
(2)由题意，在共面的四点中任选2点和第5个点可确定6个平面，再加上四个点所在平面共7个平面．]
5．在正方体AC1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF ＝Q，如图，
(1)求证：D，B，E，F四点共面；
(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．
[解](1)证明：由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为O，则OC1＝C1C.同理直线DE与CC1也相交，设交点为O′，则O′C1＝C1C，故O′与O重合．由此可证得DE∩BF＝O，故D，B，F，E四点共面(设为α)．
(2)由于AA1∥CC1，
所以A1，A，C，C1四点共面(设为β)．
P∈BD，而BDα，故P∈α.
又P∈AC，而ACβ，所以P∈β，
所以P∈α∩β.
同理可证得Q∈α∩β，从而有α∩β＝PQ.
又因为A1Cβ，
所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点．
连接A1C，则A1C与PQ的交点R就是所求的交点．。