北师大版高中数学必修2课时练习-空间图形的公理

课时练习(四)空间图形的公理(公理1、2、

3)

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作() A．Q∈b∈βB．Q∈bβ

C．Q bβD．Q b∈β

B[∵点Q(元素)在直线b(集合)上，∴Q∈b.又∵直线b(集合)在平面β(集合)内，∴bβ，∴Q∈bβ.]

2．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是()

A．A，B，C，D四点中必有三点共线

B．A，B，C，D四点中不存在三点共线

C．直线AB与CD相交

D．直线AB与CD平行

B[若A，B，C，D四点中有三点共线，则A，B，C，D四点共面，若AB 与CD相交(或平行)，则AB与CD共面，即得A，B，C，D四点共面．] 3．下列叙述中错误的是()

A．若P∈α，P∈β，且α∩β＝l，则P∈l

B．点A和直线l确定一个平面

C．若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面

D．圆上三点A，B，C可以确定一个平面

B[由公理3知，A正确；由公理1的推论可知，C正确；由于圆上三点不共线，根据公理1知，D正确；对于选项B，当A∈l时，不能确定一个平面，故选B.]

4．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面()

A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点

C．仅有两个公共点D．有无数个公共点

D[根据公理3可知，若两个平面有一个公共点，则这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线．故选D.]

5．空间中四点可确定的平面有()

A．1个B．3个

C．4个D．1个或4个或无数个

D[当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面．]

二、填空题

6．对于结论“若aα，且a∩b＝P，则P∈α”，用文字语言可以叙述为________．

若直线a在平面α内，且直线a与直线b相交于一点P，则点P一定在平面α内[若直线a在平面α内，且直线a与直线b相交于一点P，则点P一定在平面α内．]

7．如图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN 与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

②④[观察题图可知①③错误，②④正确．]

8．下列命题：

①若直线a与平面α有公共点，则称aα；

②若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；

③三条平行直线共面；

④若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面．

其中正确的命题是________．(填序号)

②[①错误．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交或aα；

②正确．由公理3知该命题正确；

③错误．三条平行直线不一定共面，例如三棱柱的三条侧棱；

④错误，如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面．]

三、解答题

9．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.

求证：P，Q，R三点共线．

[证明]∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P，

∴AB，CD可确定一个平面，设为β.

∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，

∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β，

∴ACβ，BDβ，平面α，β相交．

∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，

∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点，

∴P，Q，R都在α与β的交线上，

故P，Q，R三点共线．

10．求证：如果两两平行的三条直线都与一条直线相交，那么这四条直线共面．

[证明]设a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.

如图所示，因为a∥b，由公理2可知直线a与b确定一个

平面，设为α.

因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.又因为A∈l，B∈l，所以由公理1可知lα.

因为b∥c，所以由公理2可知，直线b与c确定一个平面β，同理可知，lβ.

因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公理2的推论2

知，经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．

1．下列推理错误的是()

A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒lα

B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB

C．lα，A∈l⇒A∉α

D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合

C[当lα，A∈l时，也有可能A∈α，如l∩α＝A，则C错．]

2．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中()

A．必有三点共线B．可能三点共线

C．至少有三点共线D．不可能有三点共线

B[如图①②所示，A、C、D均不正确，只有B正确．

]

3．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是________．

直线CD[因为平面α∩平面β＝l，

AB∩l＝D，

所以D∈平面β.

因为AB平面ABC，

所以D∈平面ABC.

又C∈平面ABC，C∈平面β，C∉l，

所以平面ABC∩平面β＝CD.]

4．(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面．

(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面．