暨南大学 代数结构与图论 09(B)答案

[B]
共 8 专业
页 班(级)
考 生 填 写
题 得
学院(校) 姓名 学号
内招[ ] 外招[ ]
号 分
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总
分
得分
评阅人
一、填空题（共 10 空，每空 2 分，共 20 分）
1.
设 A={2，4，6，8}，A 上的二元运算*定义为：a*b=max{a，b}，则在独异 点<A，*>中，单位元是 2 ，零元是 n(n-1)/2 n K3,3 。 ，它是否存 8 。 ，其点色数是
考生姓名、
学号：
3.
（10 分）有向图 G 如图所示。 （1）求 a 到 d 的最短路和距离； （2）求 d 到 a 的最短路和距离； （3）判断 G 是哪类连通图，是强连通的？是单向(侧)连通 的？还是弱连通的？（4）求出全部的初级回路和全部的简单回路。 （5）求出长度为 3 的初级通路数 解： （1）aed，距离 2.（1 分） （2）deba,距离无穷.（1 分） （3）单向连通 （1 分）弱连通（1 分） （4）初级回路：长度为 2 的和长度为 3 的（1 分） 长度为 2 的 ede(1 分), 长度为 3 的 bdeb(1 分) 的简单回路：ede baeb (1 分), （5）10 种(2 分)
5. 一颗树有两个 2 度结点，1 个 3 度结点和 3 个 4 度结点，则 1 度结点数为 （ A、7； D B、8； ）。 C、5； D、9。
6. 集合
对（
C
）运算封闭。
A、减法；
B、乘法；
C、加法；
D、
。
7. 设
是偏序格，其中 N 是自然数集合，“≧”是普通的数间“大于等
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得分 1.
评阅人
四、计算题（共 3 小题，每小题 8~10 分，共 26 分）
（8 分）设 M = {1,2,3,4}，M 上的置换 1 , 1 2 3 4 ， 1 2 3 4 ，试计算 并将结果写成对换 2 4 3 1 4 3 2 1 和轮换的形式。 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 3 2 1 (2分） 4 1 3 2
2.
设（G，*）是 n 元有限群，e 为单位元，a1,a2,…,an 是 G 的任意 n 个元素， 不一定两两不同。 试证： 存在正整数 p 和 q， 1≦p≦q≦n,使得 ap*ap+1*…*aq=e.
证明： （2 分）设 Mi= a1*a2*…ai
则有 n 个值，如果存在某个 p 使得 Mp=e 则结论成立。 （2 分） 如果不存在这样的 p，那么由于 n 元群中只有 n-1 中取值可能 利用鸽巢定理 必存在 i<j,使得 Mi=Mj（2 分） 即 a1*a2*…ai= a1*a2*…aj 利用群的性质（2 分） 消去 a1*a2*…ai
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于” 关系，则 A、a ； 得分 B、b ； 评阅人
有
（
D D、min(a，b)。
）。
C、max(a，b) ；
三、证明题（共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）
1. 设（G，*）是群， （A，*）和（B，*)是它的两个子群，C={a*b|a∈A,b∈B}. 证明：若*满足交换律，则（C，*）也是(G，*）的子群。 证明：显然 C 非空（2 分） 设 a,c 属于 A, b,d 属于 B， 由 a*b 属于 C,c*d 属于 C, （1 分） 由*满足结合律（2 分） a*b*(c*d)-1= a*b*d-1*c-1 由*满足交换律（2 分） a*b*(c*d)-1= a*c-1*b*d-1= （a*c-1）*（b*d-1） 因此，由子群判定定理知它也是子群（1 分）
B、（1，3，4，4，5）； D、（1，1，2，2，2）。 C ） 。
2. 以下各图，其中存在哈密顿回路的图是（
a
b
c )是群。
d
3. 下列代数系统（S，*）中，( B (A) S 是整数集合，*是普通乘法
(B) S={1,3,5},*是模 6 的乘法
(C) S 是有理数集合，*运算是普通乘法 (D) S={0,1,3,5},*是模 7 的乘法 4. 设 G 是简单有向图，关联矩阵 P(G)刻画下列 （ 关系。 A、点与边； B、边与点； C、点与点； D、边与边。 A ）
暨
教 师 填 写
Leabharlann Baidu
南
大 学
考
试
试
卷
2009 – 2010 学年度第___1______学期 课程名称：_____代数结构与图论______________ 授课教师姓名：____ 陈双平_____________
课程类别 必修[√ ] 选修[ ] 考试方式 开卷[ ] 闭卷[√ ] 试卷类别
考试时间:____2010_____年__1______月_21___日
2. n 个结点的无向完全图 K n 的边数为 n ，如 n 为奇数，其边色数是
3. 用于判断非平面图的一个特殊的完全二部图是 在完美匹配？ 是 。
4. 设 G 是 n(n≧3)阶 m 条边的简单平面图，这 m 和 n 之间满足什么关系？ m<=3n-6 5. 什么是消去律？ 。
任意 x,y,z, x 不等于零元，则 xy=xz=>y=z,且 yz=zx=>y=z
1 2 3 4 解： 2 3 1 4（ 2分） （ 123）（4）（2分） (12)(13)(2分）
2.
（8 分）画出 3 阶有向完全图有 3 条或 4 条边的所有非同构的生成子图。 解：都是有个 3 个点 每个图 1 分
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a1+i*a2+i*…aj=e. 故知结论成立
3.
设 G 为 n 阶有向简单图，每个点的出度大于等于 3，证明 G 中存在长度大于 等于 4 的圈。
证明：任取点 v1
由 v1 的出度大于等于 3（1 分） ，又 G 是简单图（1 分） ，那么存在 v2 使得 v1v2 为一条边（1 分） 同样，由 v2 的出度大于等于 3，又 G 是简单图，则必存在不同于 v1 的点 v3 使得 v2 v3 为一条边（2 分） 。 同样对于 v3 而言其出度大于等于 3，则其存在不同于 v1 和 v2 的点 v4 使得 v3v4 为一条边（1 分） 。而对于 v4，要么 v4 v1 为边，此时就是长度为 4 的圈。 要么这个过程可以继续下去， 类推可知最后必形成一个长度至少为 4 的圈 （2 分） 。
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考生姓名、
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2.
(6 分)什么是环？什么是整环？什么是域？什么是格？什么是布尔代数？ 答：环就是加法构成交换群，乘法构成半群，乘法对加法适合分配率的代数 系统。（2 分） 整环既是交换环、含幺环、也是无零因子环。（1 分） 域就是除零意外的所有元素都有逆的整环。（1 分） 格是任意两个元素都有最小上界和最大上界的偏序集。（1 分） 布尔代数就是有补分配格。（1 分）
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得分
评阅人 五、简答题（共 2 小题，每小题 6~10 分，共 16 分）
1. （10 分）对以下定义的集合和运算判别它们能否构成代数系统？如果能，请 说明是构成哪一种代数系统，并说明理由。 （1） S1 {0,1,2,,n} ， 为普通加法。 （2） S 2 1,0,1, 为普通乘法。 （3）S 3 {0,1,n 1}, n 为任意给定的正整数且 n 2,* 为模 n 乘法， 为模 n 加法。 （4） S 4 {0,1,2,3}, 为大于等于关系。 （5） S 5 {1,2,3,6}, ﹡和+分别表示最小公倍数和最大公约数。 解：(1)不是代数系统(1 分)，不封闭, n n 不在集合中(1 分) (2)是独异点（1 分） ，封闭，可结合，有单位元 1，但是 0 的逆元不存在（0.5 分） (3) n 为素数时，S3 是整环和域(1 分)，n 不是素数时，S3 是交换环、含幺环 但不是无零因子环,如 n=62*3=0(1 分). (4)分配格（1 分） ，但不是有补格（1 分） 。 (5)布尔代数（2 分）
6.
什么是幂等律？
任意 x,n 为正整数 xn=x
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评阅人
二、选择题（共 7 小题，每小题 2 分，共 14 分） D ）可以构成无向简单图的结点次数
1. 给定下列序列，（ 序列。 A、（0，1，3，3，3）； C、 （1，1，2，2，3）；