暨南大学 代数结构与图论 09(B)答案
图论B有答案
xxxx2014 - 2015学年度第一学期试卷 B (闭卷)课程 图论 院系 专业 年级、班级11 学号 姓名一、填空题：（每空3分，共21分）1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 ．2．若图G=<V , E>中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V 的每个非空子集S ，在G 中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W ，则S 中结点数|S|与W 满足的关系式为 ． 3．设有向图D 为欧拉图，则图D 中每个结点的入度 ．4．设G 是连通平面图，v , e , r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ，e 和r 满足的关系式 ．5．结点数v 与边数e 满足 关系的无向连通图就是树． 6．已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为 ． 7．给定一个序列集合{000，001，01，10，0}，若去掉其中的元素 ，则该序列集合构成前缀码．二、选择题：（每题3分，共15分）1．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ ）时，K n 中存在欧拉回路。
A ．m 为奇数B ．n 为偶数C ．n 为奇数D ．m 为偶数 （ ） 2．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图四所示，则下列结论成立的是 。
A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的 （ ） 3．设图G ＝<V ,E >，则下列结论成立的是。
A ．deg(V )=2∣E ∣B ．E v Vv 2)deg(=∑∈C ．deg(V )=∣E ∣D ．E v Vv =∑∈)deg( （ ）4．图G 如图一所示，以下说法正确的是。
A ．{(d , e )}是边割集 B ．{(a , d )}是边割集 C ．{(a , d )}是割边D ．{(a, d ) ,(a, c )}是边割集 （ ） 5．无向简单图G 是棵树，当且仅当。
代数结构与图论暨南大学2009年考试题答案
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暨南大学《代数结构与图论》试卷
考生姓名、
学号：
2.
(6 分)什么是环？什么是整环？什么是域？什么是格？什么是布尔代数？ 答：环就是加法构成交换群，乘法构成半群，乘法对加法适合分配率的代数 系统。（2 分） 整环既是交换环、含幺环、也是无零因子环。（1 分） 域就是除零意外的所有元素都有逆的整环。（1 分） 格是任意两个元素都有最小上界和最大上界的偏序集。（1 分） 布尔代数就是有补分配格。（1 分）
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2.
设（G，*）是 n 元有限群，e 为单位元，a1,a2,…,an 是 G 的任意 n 个元素， 不一定两两不同。 试证： 存在正整数 p 和 q， 1≦p≦q≦n,使得 ap*ap+1*…*aq=e.
证明： （2 分）设 Mi= a1*a2*…ai
则有 n 个值，如果存在某个 p 使得 Mp=e 则结论成立。 （2 分） 如果不存在这样的 p，那么由于 n 元群中只有 n-1 中取值可能 利用鸽巢定理 必存在 i<j,使得 Mi=Mj（2 分） 即 a1*a2*…ai= a1*a2*…aj 利用群的性质（2 分） 消去 a1*a2*…ai
1 2 3 4 解： 2 3 1 4（ 2分） （ 123）（4）（2分） (12)(13)(2分）
2.
（8 分）画出 3 阶有向完全图有 3 条或 4 条边的所有非同构的生成子图。 解：都是有个 3 个点 每个图 1 分
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暨南大学《代数结构与图论》试卷
5. 一颗树有两个 2 度结点，1 个 3 度结点和 3 个 4 度结点，则 1 度结点数为 （ A、7； D B、8； ）。 C、5； D、9。
暨南大学线性代数测试题
暨南大学线性代数测试题第一篇：暨南大学线性代数测试题线性代数测试练习题一、选择与填空（每题2分，共40分）a111、若行列式D=a21a12a22a32a134a112a11-3a122a21-3a222a31-3a32a13a2 3=。
a33a31a23=1，则H=4a21a334a31（A）-12（B）12（C）-24（D）242、n级排列p1p2Λpn的逆序数与顺序数分别为p与q，则p+q=。
⎧2x1-x2+x3=0⎪3、齐次线性方程组⎨x1+kx2-x3=0有非零解，则。
⎪kx+x+x=0⎩123（A）k=4（B）k=-1（C）k≠-1且k≠4（D）k=-1或k=41042-1-14、四阶行列式D=0-6024-102，Aij是相应的代数余子式，则2A41-A42-A43+2A44=02kk5、A、B、C是n阶矩阵，则下列结论错误的是：（A）I-A2=(I-A)(I+A)（B）(AB)k=AB22（C）如果A=B，则A=B或A=-B（D）A+BTT=A+B⎛OA⎫=6、A、B为n阶可逆矩阵，则 ⎪⎝BO⎭⎛O（A） -1⎝B⎛OA-1⎫（B）⎪-1O⎭⎝A⎛OB-1⎫（A）⎪-1O⎭⎝-A⎛A-1-B-1⎫⎪（D） O⎭⎝OO⎫-1⎪B⎭-17、A为n阶矩阵，且r(A)≤n-1，则r(A*)=（A）1 或n-1（B）0 或n-1（C）1或0（D）以上都不对。
8、A、B为3阶可逆矩阵，且A=2，B=3。
则-2(AB)=。
9、已知向量β=(-1,-1,0)被向量组α1=(1,0,1)，α2=(0,1,0)，α3=(0,0,1)线性表出，则相应的表出系数是（A）-1，-1，-1（B）1，-1，-1（C）-1，1，-1（D）-1，-1，110、A是m⨯n矩阵，r(A)=r(0≤r<n)，则下列结论不正确的是：（A）Ax=0的任何一个基础解系都含n-r个线性无关解向量；（B）X 是n⨯s矩阵，且AX=0，则r(X)≤n-r；T-1（C）β是m维列向量，r(A,β)=r，则β可被A的列向量组线性表示；（D）非齐次线性方程组Ax=b比有无穷多组解；11、已知m⨯n齐次方程组Ax=0，且r(A)=r，ξ1,ξ2,Λ,ξn-r是方程组的n-r个线性无关解向量，则Ax=0的基础解系为（A）ξ1,ξ2,Λ,ξn-r,ξ1+ξ2+Λ+ξn-r（B）ξ1，ξ2-ξ1，ξ3-ξ2，…，ξn-r-ξn-r-1，ξn-r（C）ξ1-ξ2，ξ2-ξ3，…，ξn-r-1-ξn-r，ξn-r-ξ1（D）ξ1,ξ2,Λ,ξn-r,ξ1-ξ2-Λ-ξn-r，12、A为n阶矩阵，下列结论中不正确的是：（A）A可逆的充分必要条件是r(A)=n；（B）A可逆的充分必要条件是A的列秩为n；（C）A可逆的充分必要条件是当x≠0时，Ax≠0；（D）A可逆的充分必要条件是A的每一行都是非零向量。
代数结构与图论教学日历2007-2008
暨南大学全日制本科教学日历2007 ～2008 学年第一学期课程名称代数结构与图论课程性质专业必修课学时 54 学分 3 适用专业（方向）计算机科学与技术学生类别及人数内招生开课单位信息科学技术学院计算机系软件工程教研室授课教师邹先霞暨南大学教务处制二00七年九月《暨南大学全日制本科教学日历》填写说明一、本表格相关内容必须与教学计划一致，填写时，统一用宋体、5号字；可视需要放大或缩小，页面不够可以另外加页，但不能改变基本格式；课程教学不涉及表中相关栏目的，可不填写。
二、教研室主任、系主任只需在最后一页签章，即“教研室主任（签章）”、“系主任（签章）”放在最后一页。
三、“课程性质”指必修课、专业选修课或公共选修课；“学生类别”指外招生，内招生或内、外招生，外校选课的学生算作内招学生；“开课单位”填写授课教师所在学院、系和教研室，无教研室只填学院和学系；“学时分配”栏中，各种类别所占学时的总和应等于总学时。
四、“考试（考核）”方式填写开卷考试、闭卷考试、实验操作、操行评定、撰写论文、其他等。
采用多种考试（考核）方式的，可以填写其中两种主要形式。
五、“教材特点”填写面向21世纪规划教材、（教育部或相关部委、行业协会）推荐教材、（获省部级）奖励教材、公开出版教材、自编教材等。
推荐教材、奖励教材应写明推荐单位、奖励单位。
六、“多媒体技术”指利用计算机综合处理文字、声音、图像、图形、动画等信息技术，不包括纯文字的powerpoint；“授课语言”中的“全英语”指用全英语编写的教材并且采用全英语教学；“中、英双语”指用全英语编写的教材并且用英语授课课时至少达到该课程总学时的50%。
七、某一门课程由多名教师共同讲授，应在封面“授课教师”栏目中列出所有授课教师姓名，并在第1页“教学任务安排”相关栏目中填写教学分工情况，各教师填写“课程教学进程”表格后集中装订。
一人讲授一门课程的，应填写“教学任务安排”中与本课程相关的栏目，“教学的主要内容（章节）”栏目不填写。
09级离散数学参考答案及评分标准B (1)
离散数学参考答案及评分标准(B)09级计算机学院各专业 2011年1月 一、判断题（每小题2分，共10分）判断下面论述是否正确，并在括号内填“对”或“错”。
1、设R 和S 是集合A 上的关系，若R 和S 是自反的，则R ￮S 也是自反的。
（ 对）2、公式p →(q →r ) 与(p ∧q )→r 等值。
（ 对 ）3、集合{Z n n∈|2}关于普通加法运算能构成半群。
（ 对） 4、无向完全图是每对顶点之间都有一条边的无向图。
（ 错） 5、公式(∀x )(∃y )P (x , y )与公式(∃ y )(∀ x )P (x , y ) 等值 。
（ 错） 二、填空题（每小题2分，共10分）1、设R ={<1,2>,<2,3>,<1,4>}，则R -1 = {<2,1>,<3,2>, 4,1>}2、设A ，B 为有限集合，f 是从A 到B 的函数，则：f 是单射的必要条件为|A|≤|B|；3、无向图G 是欧拉图当且仅当G 是连通的且无奇度顶点。
4、设公式A ⇔（p ∧q ）∨r 的主析取范式为m 1 ∨m 3 ∨m 5 ∨ m 6∨m 7，则A 的主合取范式为M 0 ∧ M 2∧ M 45、设Z 4={ 0,1, 2,3}，⊗为模4乘法，即x ⊗y =(xy )mod 4，则<Z 4, ⊗>的运算表为三、 试解下列各题（每小题5分，共20分）1、设集合A ={a ,b ,c }，R 是A 上的二元关系，已知R 的关系矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110110001R M(1) 写出R 的集合表达式；(2) 画出R 的关系图.；(3) 说明R 具有哪些性质。
解 (1)R={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<b,c>,<c,b>} (2) R 的关系图(3) R 是自反的，对称的，传递的。
高等代数(北大版)第9章习题参考答案
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j i ijy x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
计科09离散数学B参考答案
=a-1*(a*c)
=a-1*a*c
=e*c
=c
当b*a=c*a时，可同样证得b=c。
3.证明：因为a≤a∨b≤(a∨b)∨c
b≤a∨b≤(a∨b)∨c
c≤(a∨b)∨c
b∨c≤(a∨b)∨c
a∨(b∨c)≤(a∨b)∨c (上确界≤上界）
类似可证：(a∨b)∨c≤a∨(b∨c)
结论：a∨(b∨c)=(a∨b)∨c
由对偶定理：a∧(b∧c)=(a∧b)∧c
4．解：（1）deg(r1)＝3，deg(r2)＝3，deg(r3)＝5，deg(r4)＝4，deg(r5)＝3
（2）点色数为3 B为一色F A C为一色D一色
（3）面色数为3r2、r5为一色r1、r3为一色r4为一色
9．（G）<=（G）<=（G）10．b ( a c d e)
三．判断题
1．×2．×3．×4．√5．×6．×7．8．×9．×10．×
四．计算和证明
1．证明：<S,*>是一个半群。
对于任意bS,由*是封闭性可知
b2=b*b∈S,
b3=b2*b=bgt;i,使得bi=bj
令p=j-i便有bi= bp* bi= bj
因p>=1，故总可以找到k>=1，使得kp>=1
对于S中的元素bkp，就有
bkp= bp*bkp
= bp*(bp*bkp)
= b2p*bkp
= b2p*(bp*bkp)
=…
= bkp*bkp
2.证明：设a*b=a*c,且a的逆元是a-1，则有
b=e*b
=(a-1*a)*b
对于任意bs由是封闭性可知pji便有因p1故总可以找到k1使得kp1对于s中的元素bkp就有kpbkp的逆元是a1则有上确界上界类似可证
大学_《离散数学》课后习题答案
《离散数学》课后习题答案《离散数学》简介1、集合论部分：集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数2、图论部分：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3、代数结构部分：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4、组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理5、数理逻辑部分：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理离散数学被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。
教学方式以课堂讲授为主，课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。
《离散数学》学科内容随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。
离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。
由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型;又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。
离散数学是传统的逻辑学，集合论(包括函数)，数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数(包括代数系统，群、环、域等)，布尔代数，计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。
离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯格思里提出的，他在进行地图着色时，发现了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。
2018年暨南大学数据结构考研试题答案
一、选择题1. B【解答】由n0=n2+1可得，n2=10,所以分支数为：2*10+1*2=222. D【解答】满二叉树的结点最多3. A【解答】可以直接画出二叉树如下所示，从而直接得到结果4. B【解答】看清楚题目所要求的，为逆邻接表，根据定义，所以为出度5. A6. B7. C8. B9. A【解答】根据数组给出的顺序，可以将之画成完全二叉树，看哪一个选项满足情况。
10. B【解答】在本题中，因为是对称矩阵，那么直接存储下三角元素即可。
存储方法为a11a12 a22a13 a23 a33a14 a24 a34 a44a15 a25 a35 a45 a55...a18 a28 a38 a48 a58一共1+2+3+4+5+6+7+5=3311. D【解答】可能该队列只存在一个节点12. C【解答】画出Huffman树的得，可以得到带权路径长度为：7*1+5*2+（2+4）*3=3513. C14. C15. D二、填空题1. 为了保证处理第一个节点和后面的节点的时候设计的算法相同，实现程序的高效性。
2. 队列3. 是有序的顺序表4. 遍历其右子树时第一个访问的结点，即右子树的最左下结点。
5. 最小近6. m-17. O(n)8. 题目说的不是很清楚，若是采用邻接矩阵存储，那么时间复杂度为O(n^2)，若是采用邻接表存储，那么时间复杂度为O(n+e)9. 距离源点路径长度小的三、判断题1. X2. X3. √4. X5. √6. √（最小生成树的形态可能不唯一）7. √8. √9. √10. √四、解答题1. 拓扑排序的序列可能为：a) 1、2,、3、4、5、6b) 1、2、4、3、5、6c) 2、1、3、4、5、6d) 2、1、4、3、5、6对于有向无环图，还可以采用深度优先遍历算法。
2. 该二叉树为：3. 第一趟：12 2 4 3 6 13 18 9 19 8第二趟：3 2 4 8 6 13 12 9 19 18第三趟：3 2 4 8 6 9 12 13 19 18第四趟：2 3 4 6 8 9 12 13 18 194. 构造的散列表如下：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1033 41 30 1 20 24 13 67查找成功的平均查找长度为：（1+1+2+2+1+1+1+6）/8=15/85. 该问题的实质：单源最短路径，需要一个个的进行分析再得到结果a) 假设学校建在ab->a 的路径长度为6c ->a 的路径长度为2+1+6=9d->a 的路径长度为1+6=7e->a 的路径长度为5+1+6=12那么总共需要的距离之和为：6+9+7+12=34b) 假设学校建在ba->b 的路径长度为1c->b 的路径长度为2+1=3d ->b 的路径长度为1e ->b 的路径长度为5+1=6那么总共需要的距离之和为：1+3+1+6=11c) 假设建在ca->c 1+2=3;b->c 2;d->c 3 e->c 5+3=8那么总共需要的距离之和为:3+2+3+8=16d) 假设建在da->d 1+2+2=5; b->d 2+2=4; c->d 2; e->d 5那么总共需要的距离之和为:5+4+2+5=16e) 假设建在ea->e 1+2+4=7; b->e 2+4=6; c->e 4; d->e 3+4=7那么总共需要的距离之和为:7+6+4+7=24综上比较可知，建在b较好。
2019年广东暨南大学数据结构考研真题
2019年广东暨南大学数据结构考研真题一、单项选择题(每题2分，共30分)1.在任意一棵二叉树的先序序列和后序序列中，各叶子之间的相对次序关系()。
A.不一定相同B.互为逆序C.都不相同D.都相同2.深度为4的二叉树至多有结点数为()。
A.18B.14C.15D.163.在一个具有n个顶点的有向图中，若所有顶点的入度数之和为m，则所有顶点的度数之和为()。
A.mB.m-1C.m+1D.2m4.快速排序在()情况下最不利于发挥其长处。
A.被排序的数据量太大.B.被排序数据中含有多个相同的关键字C.被排序的数据完全无序D.被排序的数据已基本有序5.一组记录的关键字为(45,80,55,40,42,85),则利用堆排序的方法建立的初始堆为()。
A.(80,45,55,40,42,85)B.(85,80,55,40,42,45)C.(85,80,55,45,42,40)D.(85,55,80,42,45,40)6.对有18个元素的有序表(下标为1~18)作折半查找,则查找A[3]的比较序列的下标为()。
A.1,2,3B.9,5,2,3C.9,5,3D.9,4,2,37.具有n个顶点的完全有向图的边数为()。
A.n(n-1)/2B.n(n-1)C.n2D.n2-18.利用逐点插入法建立序列(50,72,43,85,75,20,35,45,65,30)对应的二叉排序树以后，查找元素35要进行()。
A.4次B.5次C.3次D.2次9.判定一个有向图是否存在回路除了可以利用拓扑排序方法外，还可以用()。
A.求最短路径的Floyd方法B.求最短路径的Dijkstra方法C.广度优先遍历算法D.深度优先遍历算法10.对于一个具有n个顶点的无向连通图，它包含的连通分量的个数为()。
A.0B.1C.nD.n+111.在一个单链表中,若p所指的结点不是最后一个结点,在p之后插入s所指的结点,则执行()。
A.s->next=p;p->next=sB.p->next=s;s->next=pC.p=s;s->next=p->nextD.s->next=p->next;p->next=s12.设F是由T1、T2和T3三棵树组成的森林，与F对应的二叉树为B，T1、T2和T3的结点数分别为N1、N2和N3，则二叉树B的根结点的左子树的结点数为()。
大学集合论与图论期末考试复习资料
集合论与图论JK211009——在线考试复习资料2021版一、单选题1.设G是简单有向图,可达矩阵P(G)刻画下列关系中的是()A.点与边B.边与点C.点与点D.边与边答案：C2.A.6B.5C.4D.3答案：B3.图中满足以下哪个条件?()A.有欧拉回路和哈密尔顿回路B.有欧拉回路,但无哈密尔顿回路C.无欧拉回路,但有哈密尔顿回路D.既无欧拉回路,又无哈密尔顿回路答案：D4.A.B.C.D.答案：B5.下面不能成为图的度数序列是()A.(1,2,3,4)B.(1,2,3,6)C.(1,3,5,7)D.(1,3,4,9)答案：D6.设简单无向图G有15条边,有3个4度结点,有4个3度结点,其余结点的度数均为2,那么G的结点总数为()A.9B.10C.11D.12答案：B7.如图所示,以下说法正确的是()A.e是割点B.{a,e}是点割集C.{b,e}是点割集D.{d}是点割集答案：A8.图G和G1的结点以及边分别存在一一对应关系,此对应关系是两图同构的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也非必要条件答案：B9.设顶点集为V={a,b,c,d,e},下列几个无向图是简单图的有()A.G1=(V,E1),E1={(a,b),(b,c),(c,b),(a,e)}B.G2=(V,E2),E2={(a,b),(b,c),(c,a),(a,d),(d,e)}C.G3=(V,E3),E3={(a,b),(b,c),(c,d),(e,e)}D.G4=(V,E4),E4={(a,a),(a,b),(c,c),(c,e)}答案：B10.若R是集合A上的等价关系,则下面哪个不一定满足()A.B.R2=RC.t(R)=RD.R-1=R答案：A11.A.B.C.D.答案：A12.A.B.C.D.答案：A13.下列哪个关系矩阵具有反自反性?()A.B.C.D.答案：A14.设集合A={1,2,3,4},A上的等价关系R={<1,3>,<3,1>,<2,4>,<4,2>}∪I A,则对应于R的A划分是()A.B.C.D.答案：B15.设集合A={1,2,3,4}上的二元关系,R={<1,1>,<2,2>,<2,3>,<4,4>},S={<1,1>,<2,2>,<2,3>,<3,2>,<4,4>},则S是R的()A.自反闭包B.传递闭包C.对称闭包D..不是任何闭包答案：C16.哈密尔顿回路是()A.只是简单回路B.是基本回路,但不是简单回路C.既是基本回路也是简单回路D.既非基本回路也非简单回路答案：C17.设A={1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上的整除关系,B={2,4,6},则集合的最大元、最小元、上界、下界依次为()A.8、2、8、2B.无、2、无、2C.6、2、6、2D.8、1、6、1答案：B18.下列各组数中不能构成无向图的度数序列的是()A.(1,1,2,3,5)B.(1,3,1,3,2)C.(1,2,3,4,5)D.(1,2,3,4,6)答案：C19.A.自反的B.对称的C.传递且对称的D.反自反且传递的答案：B20.图中满足以下哪个条件?()A.有欧拉回路和哈密尔顿回路B.有欧拉回路,但无哈密尔顿回路C.无欧拉回路,但有哈密尔顿回路D.既无欧拉回路,又无哈密尔顿回路答案：B21.设A={a,{a}},下列命题错误的是()A.B.C.D.答案：A22.设G1、G2、G3、G4都是(4,3)的简单无向图,则它们之间至少有几个是同构的?()A.2个B.3个C.4个D.可能都不同构答案：B23.若集合A的元素个数为4,则其幂集的元素个数为()A.1个B.4个C.8个D.16个答案：D24.设结点集V={a,b,c,d},则下列与V构成强连通图的边集的是()A.E1={<a,d>,<b,a>,<b,d>,<c,b>,<d,c>}B.E2={<a,d>,<b,a>,<b,c>,<b,d>,<d,c>}C.E3={<a,c>,<b,a>,<b,c>,<d,a>,<d,c>}D.E4={<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d>}答案：A25.在0()之间写上正确的符号。
图论习题参考答案
二、应用题题0 : (1996年全国数学联赛)有n (n_6)个人聚会，已知每个人至少认识其中的［n/2］个人，而对任意的［n/2］个人，或者其中有两个人相互认识，或者余下的n-［n/2］个人中有两个人相互认识。
证明这n个人中必有3个人互相认识。
注：［n/2］表示不超过n/2的最大整数。
证明将n个人用n个顶点表示，如其中的两个人互相认识，就在相应的两个顶点之间连一条边，得图G。
由条件可知，G是具有n个顶点的简单图，并且有(1)对每个顶点x, N G(X)工［n/2］;(2)对V的任一个子集S,只要S = ［n/2］, S中有两个顶点相邻或V-S中有两个顶点相邻。
需要证明G中有三个顶点两两相邻。
反证，若G中不存在三个两两相邻的顶点。
在G中取两个相邻的顶点X i和y i,记N G(X I)={y i,y2, ,y t}和N G(y i)={x i,X2, ,X k},贝U N G(X I)和N G(y i)不相交，并且N G(X I) (N G(y i)) 中没有相邻的顶点对。
情况一；n=2r:此时［n/2］=「，由(i)和上述假设，t=k=r 且N G(y i) = V-N G(X I)，但N G(X I)中没有相邻的顶点对，由(2), N G(y i)中有相邻的顶点对，矛盾。
情况二；n=2r+i:此时［n/2］= r,由于N G(X I)和N G(y i)不相交，t亠r,k ",所以r+i 亠t,r+i 丄k。
若t=r+i,则k=r，即N G(y i)=r, N G(X I)= V-N G(y i)，由(2), N G(X I)或N G(y i)中有相邻的顶点对，矛盾。
故k z r+i，同理r+i。
所以t=r,k=r。
记w^V- N G(X I) U N G(y i),由(2), w 分别与N G(X I)和N G(y i)中一个顶点相邻，设wx io，E, wy jo，E。
若X io y jo・E,则w , X io, y jo两两相邻，矛盾。
《图论与代数结构》(戴一奇,清华大学出版社)习题解答
习题一1. 一个工厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。
若每点的度数为3，则总度数为27，与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，从而总度数为奇数，仍与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
2. 若存在孤立点，则m 不超过K n-1的边数, 故 m <= (n-1)(n-2)/2, 与题设矛盾。
3.4. 用向量(a 1,a 2,a 3)表示三个量杯中水的量, 其中a i 为第i 杯中水的量, i = 1,2,3.以满足a 1+a 2+a 3 = 8 (a 1,a 2,a 3为非负整数)的所有向量作为各结点, 如果(a 1,a 2,a 3)中某杯的水倒满另一杯得到 ( a’1, a’2, a’3 ) , 则由结点到结点画一条有向边。
这样可得一个有向图。
本题即为在此图中找一条由( 8, 0, 0 )到( 4, 4, 0 )的一条有向ni i ni in i ni ni ni i ini ini iii a an n a a a n n n a n a v v 1111121212/)1()1(2)1(])1[(。
， 所以 因为 ，＋ 的负度数，则为结点的正度数，为结点记－－－－－22 222i i C a a路，以下即是这样的一条：5. 可以。
7. 同构。
同构的双射如下：v V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 f (v) bacedf( 8, 0, 0 )( 5, 3, 0 ) ( 5, 0, 3 ) ( 2, 3, 3 ) ( 2, 5, 1 ) (7, 0, 1 )( 7, 1, 0 )( 4, 4, 0 )( 4, 1, 3 )8. 记e 1= (v 1,v 2), e 2= ( v 1,v 4), e 3= (v 3,v 1), e 4= (v 2,v 5), e 5= (v 6,v 3), e 6= (v 6,v 4), e 7= (v 5,v 3), e 8= (v 3,v 4), e 9 = (v 6,v 1), 则邻接矩阵为：关联矩阵为：边列表为：A= (1,1,3,2,6,6,5,3,6), B= (2,4,1,5,3,4,3,4,1). 正向表为：A= (1,3,4,6,6,7,10), B= (2,4,5,1,4,3,3,4,1).习题二1. 用数学归纳法。
暨南大学考试试卷
《高等代数上》试卷及答案五一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。
共8小题，每小题3分，共24分）1．设n 维向量组12345,,,,ααααα的秩为3，且满足135230,ααα+-=242,αα=则向量组的一个极大无关组为（ ）A ． 125,,ααα；B ． 124,,ααα； C. 245,,ααα； D. 135,,ααα.2. A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则（ ）A ． 当m n >时，必有行列式0AB ≠； B ． 当m n >时，必有行列式0AB =；C ． 当n m >时，必有行列式0AB ≠；D ． 当n m >时，必有行列式0AB =. 3. 已知()p x 是数域P 上的不可约多项式，(),()[],f x g x P x ∈ 则下列命题中错误的是（ ） A ．若()|(),p x f x 则((),())1p x f x =； B ．若((),())1,p x f x =则()|()p x f x ；C ．若()()(),p x f x g x 且()|(),p x f x 则((),())1p x g x ≠；D ．若()()(),p x f x g x 则((),())1f x g x =.4.记矩阵A 的秩为)(A r ，则下列命题中错误的是（ ）。
A ．)()(00B r A r B A r +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛； B ．)()(0B r A r B A A r +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；C ．)()(00B r A r AB A r +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛； D ．)()()(B r A r B A r +≤+。
5．111122220000000a b c d a b c d =( )。
A. 11222121a c b d a b c d - B. 22112211()()a b a b c d c d -- C. 12121212a a bb c c d d D. ()12211221()a b a b c d c d --6. 设向量组123,,σσσ中是齐次线性方程组0AZ =的一个基础解系，则向量组（ ）也是0AZ =的一个基础解系。
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2. n 个结点的无向完全图 K n 的边数为 n ，如 n 为奇数，其边色数是
3. 用于判断非平面图的一个特殊的完全二部图是 在完美匹配？ 是 。
4. 设 G 是 n(n≧3)阶 m 条边的简单平面图，这 m 和 n 之间满足什么关系？ m<=3n-6 5. 什么是消去律？ 。
任意 x,y,z, x 不等于零元，则 xy=xz=>y=z,且 yz=zx=>y=z
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2.
设（G，*）是 n 元有限群，e 为单位元，a1,a2,…,an 是 G 的任意 n 个元素， 不一定两两不同。 试证： 存在正整数 p 和 q， 1≦p≦q≦n,使得 ap*ap+1*…*aq=e.
证明： （2 分）设 Mi= a1*a2*…ai
则有 n 个值，如果存在某个 p 使得 Mp=e 则结论成立。 （2 分） 如果不存在这样的 p，那么由于 n 元群中只有 n-1 中取值可能 利用鸽巢定理 必存在 i<j,使得 Mi=Mj（2 分） 即 a1*a2*…ai= a1*a2*…aj 利用群的性质（2 分） 消去 a1*a2*…ai
6.
什么是幂等律？
任意 x,n 为正整数 xn=x
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得分
评阅人
二、选择题（共 7 小题，每小题 2 分，共 14 分） D ）可以构成无向简单图的结点次数
1. 给定下列序列，（ 序列。 A、（0，1，3，3，3）； C、 （1，1，2，2，3）；
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a1+i*a2+i*…aj=e. 故知结论成立
3.
设 G 为 n 阶有向简单图，每个点的出度大于等于 3，证明 G 中存在长度大于 等于 4 的圈。
证明：任取点 v1
由 v1 的出度大于等于 3（1 分） ，又 G 是简单图（1 分） ，那么存在 v2 使得 v1v2 为一条边（1 分） 同样，由 v2 的出度大于等于 3，又 G 是简单图，则必存在不同于 v1 的点 v3 使得 v2 v3 为一条边（2 分） 。 同样对于 v3 而言其出度大于等于 3，则其存在不同于 v1 和 v2 的点 v4 使得 v3v4 为一条边（1 分） 。而对于 v4，要么 v4 v1 为边，此时就是长度为 4 的圈。 要么这个过程可以继续下去， 类推可知最后必形成一个长度至少为 4 的圈 （2 分） 。
1 2 3 4 解： 2 3 1 4（ 2分） （ 123）（4）（2分） (12)(13)(2分）
2.
（8 分）画出 3 阶有向完全图有 3 条或 4 条边的所有非同构的生成子图。 解：都是有个 3 个点 每个图 1 分
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[B]
共 8 专业
页 班(级)
考 生 填 写
题 得
学院(校) 姓名 学号
内招[ ] 外招[ ]
号 分
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十总分源自得分评阅人一、填空题（共 10 空，每空 2 分，共 20 分）
1.
设 A={2，4，6，8}，A 上的二元运算*定义为：a*b=max{a，b}，则在独异 点<A，*>中，单位元是 2 ，零元是 n(n-1)/2 n K3,3 。 ，它是否存 8 。 ，其点色数是
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2.
(6 分)什么是环？什么是整环？什么是域？什么是格？什么是布尔代数？ 答：环就是加法构成交换群，乘法构成半群，乘法对加法适合分配率的代数 系统。（2 分） 整环既是交换环、含幺环、也是无零因子环。（1 分） 域就是除零意外的所有元素都有逆的整环。（1 分） 格是任意两个元素都有最小上界和最大上界的偏序集。（1 分） 布尔代数就是有补分配格。（1 分）
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得分
评阅人 五、简答题（共 2 小题，每小题 6~10 分，共 16 分）
1. （10 分）对以下定义的集合和运算判别它们能否构成代数系统？如果能，请 说明是构成哪一种代数系统，并说明理由。 （1） S1 {0,1,2,,n} ， 为普通加法。 （2） S 2 1,0,1, 为普通乘法。 （3）S 3 {0,1,n 1}, n 为任意给定的正整数且 n 2,* 为模 n 乘法， 为模 n 加法。 （4） S 4 {0,1,2,3}, 为大于等于关系。 （5） S 5 {1,2,3,6}, ﹡和+分别表示最小公倍数和最大公约数。 解：(1)不是代数系统(1 分)，不封闭, n n 不在集合中(1 分) (2)是独异点（1 分） ，封闭，可结合，有单位元 1，但是 0 的逆元不存在（0.5 分） (3) n 为素数时，S3 是整环和域(1 分)，n 不是素数时，S3 是交换环、含幺环 但不是无零因子环,如 n=62*3=0(1 分). (4)分配格（1 分） ，但不是有补格（1 分） 。 (5)布尔代数（2 分）
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得分 1.
评阅人
四、计算题（共 3 小题，每小题 8~10 分，共 26 分）
（8 分）设 M = {1,2,3,4}，M 上的置换 1 , 1 2 3 4 ， 1 2 3 4 ，试计算 并将结果写成对换 2 4 3 1 4 3 2 1 和轮换的形式。 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 3 2 1 (2分） 4 1 3 2
5. 一颗树有两个 2 度结点，1 个 3 度结点和 3 个 4 度结点，则 1 度结点数为 （ A、7； D B、8； ）。 C、5； D、9。
6. 集合
对（
C
）运算封闭。
A、减法；
B、乘法；
C、加法；
D、
。
7. 设
是偏序格，其中 N 是自然数集合，“≧”是普通的数间“大于等
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考生姓名、
学号：
3.
（10 分）有向图 G 如图所示。 （1）求 a 到 d 的最短路和距离； （2）求 d 到 a 的最短路和距离； （3）判断 G 是哪类连通图，是强连通的？是单向(侧)连通 的？还是弱连通的？（4）求出全部的初级回路和全部的简单回路。 （5）求出长度为 3 的初级通路数 解： （1）aed，距离 2.（1 分） （2）deba,距离无穷.（1 分） （3）单向连通 （1 分）弱连通（1 分） （4）初级回路：长度为 2 的和长度为 3 的（1 分） 长度为 2 的 ede(1 分), 长度为 3 的 bdeb(1 分) 的简单回路：ede baeb (1 分), （5）10 种(2 分)
B、（1，3，4，4，5）； D、（1，1，2，2，2）。 C ） 。
2. 以下各图，其中存在哈密顿回路的图是（
a
b
c )是群。
d
3. 下列代数系统（S，*）中，( B (A) S 是整数集合，*是普通乘法
(B) S={1,3,5},*是模 6 的乘法
(C) S 是有理数集合，*运算是普通乘法 (D) S={0,1,3,5},*是模 7 的乘法 4. 设 G 是简单有向图，关联矩阵 P(G)刻画下列 （ 关系。 A、点与边； B、边与点； C、点与点； D、边与边。 A ）
暨
教 师 填 写
南
大 学
考
试
试
卷
2009 – 2010 学年度第___1______学期 课程名称：_____代数结构与图论______________ 授课教师姓名：____ 陈双平_____________
课程类别 必修[√ ] 选修[ ] 考试方式 开卷[ ] 闭卷[√ ] 试卷类别
考试时间:____2010_____年__1______月_21___日
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考生姓名、
学号：
于” 关系，则 A、a ； 得分 B、b ； 评阅人
有
（
D D、min(a，b)。
）。
C、max(a，b) ；
三、证明题（共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）
1. 设（G，*）是群， （A，*）和（B，*)是它的两个子群，C={a*b|a∈A,b∈B}. 证明：若*满足交换律，则（C，*）也是(G，*）的子群。 证明：显然 C 非空（2 分） 设 a,c 属于 A, b,d 属于 B， 由 a*b 属于 C,c*d 属于 C, （1 分） 由*满足结合律（2 分） a*b*(c*d)-1= a*b*d-1*c-1 由*满足交换律（2 分） a*b*(c*d)-1= a*c-1*b*d-1= （a*c-1）*（b*d-1） 因此，由子群判定定理知它也是子群（1 分）