初三奥数精选题

奥数题

一.选择题.(每小题7分,共42分)

()1. 在丄,一,0.2002,- (丁3_2庞 _72),乔_祚_2

(门是大于3的整数) 7

2

2

3

这5个数中,分数的个数为：(A)2 (B)3 (C)4 (D)5

()2.如图1,正方形ABC 啲面积为256,点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线

上,Rt △ CEF 的面积为200,则BE 的长为:(A)10

(B)11 (C)12 (D)15 ()3.已知a,b,c 均为整数，且满足

a 2

b 2

c 2 3 v ab 3b 2c .贝U 以

(B) x 2 2x -8 =0

(C)X 2-4X -5=0 (D) X 2-2X -3=0

()4. 如图 2,在 Rt △ ABC 中 ,AF 是高，/ BAC=90 且

BD=DC=FC 二则 AC 为: (A) 3

2 (B)

(C) & (D) 3 3

2b 亠c

R 丄,则k 的值

a

二、填空题.(每小题7分,共28分)

2

1.方程F 二

10

的实数根是

a ，b~c 为根的一元二次方 程是：(A) x 2 -3x 2 = 0

()5.若 k 二

c

2a b 2c a 为：

(A)1 (B)2 (C)3 ()6. 设 x 亠0, y 丄 0,2 x y = 6 ,则 u 二 (D)

非上述答案

y 2 -6x -3y 的最大值是：

(A)

27

(B)18 (C)20 (D)

2

不存在

x2 +1 x23x

2.女口图3,矩形ABCD中，E,F 分别是BC,CD上的点,且

S LABE-2, S_cEF -3, S_ADF - 4 ,则S AEF =

3.已知二次函数y = x2• （a 1）x b （a,b为常数）.当x = 3时，y=3;

当x为

任意实数时，都有y _ x.则抛物线的顶点到原点的距

离为

4.如图4,半径为2cm,圆心角为90°的扇形OAB的AB

上有一运动的点P.从点P向半径OA引垂线PH交OA

于点巴设厶OPH的内心为I,当点P在AB上从点A

运动到点B时，内心I所经过的路径长为—.

第二试

.（20分）在一个面积为1的正方形中构造一个如下的小正方形；将单位正方形的各边n等分,然后将每个顶点和它相对应顶点最接近的分点连

结起来，如图5所示.若小正方形的面积恰为0

E1

.（25分）一条笔直的公路I穿过草原,公路边有一卫生站A,距公路30km 的地方有一居民点B,A,B之间的距离为90km. 一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点.已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h ,在草地上行驶的最快速度是30km/h .问司机应以怎样的路线行驶,所用的行车时间最短？最短时间是多少？

.（25分）从1, 2, 3,……,3919中任取2001个数。证明: 两

定存在个数之差恰好为98。

参考答案

第一试

一、1・(B)・

y( ^3 - 2^2 -/l) = -y (5/2 - 1 ->/2) = - -y,

当n( n > 3)是整数时,/^与中有一个是无理数，

即71与/1-2不可能同时取到完全平方数. 设 a = 52, n - 2 = t2•有s2 - t2 =2,(s + Z)(5 - z)= 2xl,§ +t = 2,s- t — 1 •因为.$ =咅，/ = + 不是整

数解，所以，五二匸^不是分数•故分数有3个:

+，0.200 2,y(\/3-241 -/2)・

2.(0.

易证RtACDF^RtACSE•故CF = CE・因为Rt △

CEF的面积是200

即*・CF-C£ = 200，故C£ = 20.

而S正方形磁〃 =BC2 = 256,得BC = 16.

由勾股定理得BE = 7~CE2 - BC2 = 12.

3.(D).

因为a、b、t为整数满足

a2 + b2 + c2 + 3< o/> + 3fe + 2c t

所以.

移项、配方得

(«- ) + 3( -y - 1) + (c - l)2 cO-

所以• Q ■ * = 0•寺-1 = O t c - 1 = 0.

解得c=l,6 = 2t a = l.

从而a+6 = 3,c-6 = - !.

因此•求作的方程为X2-2X-3=0.

4.(A).

设AC =「BD 二CD = CF = I, AD =篤-I.由勾股定理得缶二脑-At——1)2.

由射影定理得

M AC22

由勾股定理得

4宀AC2 =脑•

即I2 - (x - 1 )2 + x2 = x4，亦即x4 = 2兀.

又* >0.则/ = 2,故篦=近・•

5.(0.

因为"如乜=玄存二如，■所以,

c b a

2ab f 62 = 2c J + or,

2 or + a2 = 2b2 + be.

2bc - c2 = 2a2 + ab ・

三式相加得

血 + 6c + ar = a? + 沪 + 疋.

等式两边乘以2.移项，配方得

(a — 6)2 4-(6 - c)2 + (c - a)2 = 0・

所以.a - 6= 6- c= c- a = O,

故a= b = c・

因此"如t上二西=3・

c c ・

6・(B)・

由已印得y = 6-2x.代人u=4x2 +3xy + y2 - 力・3八得u = 2t2■ 6x + 18・

而-6-2x>O t M l J 0^x<3・

当“0或x = 3时•= 18・