信号与系统 冲激响应和阶跃响应【精选】
信号与系统 2.2 冲激响应和阶跃响应
系统冲激响应的求解方法(两种)
方法一： 按照求系统零状态响应的方法来求 例：描述某二阶LTI的微分方程为：
y (t ) 5 y (t ) 6 y(t ) f (t ) 2 f (t ) 3 f (t )
'' ' '' '
求其冲激响应h(t)
系统冲激响应的求解方法二
方法二： 设置中间变量来求解 一般而言，若描述LTI系统的微分方程为：
§2.2 冲激响应和阶跃响应
• 冲激响应 • 阶跃响应
一、冲激响应 h(t)
1．定义
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲 激响应，简称冲激响应，记为h(t)。 h(t)=T[{0},δ(t)]
t
ht
T {0}
2．系统冲激响应的求解
•冲激响应的数学模型
对于LTI系统,可以用一n阶微分方程表示
g(t)= T [ε(t) ，{0}]
(t )
1
0
g (t )
(t )
t
g (t )
LTI
0
t
零状态
阶跃响应
◆阶跃响应和冲激响应之间的关系 线性时不变系统满足微、积分特性
(t ) (t ) d t
t
g (t ) h( ) d
t
d g (t ) , h(t ) dt
yn (t ) an1 yn1 (t ) ..... a0 y(t ) bm f m (t ) bm1 f m1(t ) .... b0 f (t )
求解系统的冲激响应h(t)可分为两步进行： ①选新变量h1(t),使它满足方程式左端相同，而右端只含 f(t),即满足方程：
说明系统零状态响应、冲激响应、阶跃响应的定义及三者之间的联系
说明系统零状态响应、冲激响应、阶跃响应的定义及三者之间的联系：
1.零状态响应：
零状态响应是系统在没有初始储能（即系统处于零状态）下，由外部激励引起的系统响应。
它可以通过系统的传递函数或冲激响应来描述。
在零状态响应中，系统的储能不随时间变化，只与外部激励有关。
2.冲激响应：
冲激响应是系统在单位冲激函数激励下的响应，它是系统的传递函数的冲激函数形式。
冲激响应描述了系统对单位冲激函数的响应，可以看作是时间域上的积分运算的结果。
冲激响应是系统固有的特性，与外部激励无关。
3.阶跃响应：
阶跃响应是系统在单位阶跃函数激励下的响应。
阶跃响应描述了系统在阶跃信号作用下随时间变化的动态过程，包括上升、稳定和下降等阶段。
阶跃响应可以通过系统的传递函数或冲激响应来求解。
三者之间的联系：
零状态响应、冲激响应和阶跃响应之间存在密切的联系。
对于线性时不变系统，零状态响应可以通过冲激响应和阶跃响应来描述。
具体来说，系统的零状态响应等于冲激响应和阶跃响应的卷积，即y(t)=h(t)*u(t)，其中y(t)表示零状态响应，h(t)表示冲激响应，u(t)表示阶跃响应。
这个公式表明，系统的零状态响应可以通过冲激响应和阶跃响应的卷积运算来获得。
阶跃响应、冲激响应
计算方法
对于线性时不变系统，可以通过求解微分方程或传递函数来 计算阶跃响应。
对于离散系统，可以通过差分方程或Z变换来计算阶跃响应。
阶跃响应的特点
1
阶跃响应具有非周期性和非振荡性。
2
阶跃响应的初始值和终值取决于系统的初始状态 和稳态值。
3
阶跃响应的变化速度取决于系统的动态特性和输 入幅度。
02
CATALOGUE
冲激响应
定义
冲激响应是指在单位冲激函数激励下 系统的输出，它是系统对输入信号的 瞬态响应。
冲激响应描述了系统在单位冲激函数 作用下的动态特性，是分析系统稳定 性和性能的重要依据。
计算方法
01
对于线性时不变系统，冲激响应可以通过系统的传 递函数进行计算。
02
对于离散时间系统，冲激响应可以通过系统的差分 方程进行计算。
阶跃响应、冲激响 应
目 录
• 阶跃响应 • 冲激响应 • 阶跃响应与冲激响应的联系与区别 • 阶跃响应与冲激响应的应用 • 阶跃响应与冲激响应的实验分析
01
CATALOGUE
阶跃响应
定义
阶跃响应是指系统在阶跃信号输入下 ，其输出量随时间的变化情况。
阶跃响应是系统对突然变化输入的响 应，其输出量由初始状态逐渐变化到 稳态值。
CATALOGUE
阶跃响应与冲激响应的联系与区别
联系
01 阶跃响应和冲激响应都是系统对输入信号的响应 方式，用于描述系统的动态特性。
02 阶跃响应和冲激响应都是系统对单位阶跃函数和 单位冲激函数的响应，具有相似性。
03 阶跃响应和冲激响应在一定程度上可以相互转换 ，例如通过积分或微分运算。
区别
定义
信号检测
冲激响应和阶跃响应
§2.6 冲激响应和阶跃响应
信号与系统
一．冲激响应
1．定义
系统在单位冲激信号 (t) 作用下产生的零状态响应，称为单位
冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
(t)
h(t)
H
说明: 在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 (t)
如果冲激响应 h(t) 不同，说明其系统特性不同，
(k1 k2 ) (t ) (k1e t 3k2e 3t )u(t )
d2h(t) dt 2
(k1
k2 )
(t)
(k1et
3k2e3t )
(t)
(k1et
9k2e3t )u(t)
(k1 k2 ) (t) (k1 3k2 ) (t) (k1et 9k2e3t )u(t)
信号与系统
4.求法
g(t
)
n
Ciei
t
u(t)
mn1
Dk
k
(t)
B0u(t)
i1
k 0
i) 先求h(t)，再积分求g(t)
ii) 直接代入求待定系数
信号与系统
二．阶跃响应
例：求下列g(t):
d2
d
d
r(t) 3 r(t) 2r(t) e(t) 3e(t)
dt 2
dt
dt
解： i)直接代入求待定系数法
信号与系统
一．冲激响应
3. h(t) 解的形式 由于δ(t) 及其导数在 t > 0+ 时都为零，因而方程式右端的自由
项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。
①与特征根有关 设特征根为简单根（无重根的单根）
②与n, m相对大小有关
第二章第2讲_冲激响应与阶跃响应
2
将r(t)=h(t)及e(t)=(t)代入给定微分方程
(k1 k2 ) (t ) (3k1 k2 ) (t ) (t ) 2 (t )
k1 k2 1 3k1 k 2 2
将h(t)、h’(t)和(t)代入微分方程两端
ke (t ) ke u(t ) ke u(t ) (t )
k e (t ) (t )
t
t
duc (t ) uc (t ) e(t ) dt
t
t
h (t ) e u (t ) rzs (t ) uczs (t ) e(t ) h(t )
d h (t ) t 3t t 3t ( k1e k2e ) (t ) (k1e 9k2e )u(t ) 2 dt t 3t ( k1e 3k2e ) (t )
(k1 k2 ) (t ) ( k1 3k2 ) (t ) (k1et 9k2e3t )u(t )
当n＝m时， h ( t )
ki e
i 1
i t
u (t ) kn 1 (t )
当n<m时，h(t)中还应包含(t)的导数
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
三、确定h(t)中的系数ki 将h(t)及其各阶导数代入系统方程左端，(t)及其各 级导数代入 方程右端，令对应项系数相等。
k 0
n
2、系统的零状态响应
( t ) h ( t )
对于线性时不变系 统 n
k (t t0 ) kh(t t0 )
rzs (t )
k 0
e ( k t ) t h ( t k t )
信号与系统阶跃信号和冲激信号
O
2
2
sgn t
1
O
t
-1
1 sgn( t ) u ( t ) u ( t ) 2 u ( t ) 1 u ( t) [sgn( t) 1 ] 2
三．单位冲激δ(t)（难点）
概念引出 定义1 定义2 冲激函数的性质
冲激导数的抽样情况：利用分部积分运算
(t)f(t) d t
f ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) d t f
f(0 )
3.冲激偶（冲激的导数）
s( t )
1
(t )
1
成为
(1)
O
o
求导
s( t )
集美大学信息工程学院201041414阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号信号函数本身有不连续点跳变点或其导数与积分有不连续点的一类信号函数统称为奇异信号或奇异函数
§1.4 阶跃信号和冲激信号
集美大学信息工程学院 2010.4
本节介绍
信号（函数）本身有不连续点(跳变点)或其导 数与积分有不连续点的一类信号（函数）统称为 奇异信号或奇异函数。 主要内容： •单位斜变信号 •单位阶跃信号 •单位冲激信号 •冲激偶信号
0 u ( t t ) 0 1
t
u( t t 0 )
1
O
1
t t 0 , t 0 0 t t 0
0
t0 u(t t0 )
t
由宗量 t O t t 0 可 t 知 t , 即 时 0 0 ，函数有断点，跳变点 间为 t0 时 宗量>0 函数值为1 宗量<0 函数值为0
信号与系统复习题之冲击响应
二、阶跃响应 由于δ(t) 与ε(t) 为微积分关系，故
g(t)= T [ε(t) ，{0}]
g(t) th()d
,h(t)dg(t) dt
5
例3 如图所示的LTI系统，求其阶跃响应及冲激响应。
1
f (t) + x(t)
∑ -
-
x(t)
求其冲激响应h(t)。 解 根据h(t)的定义 有
h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1) h’(0-) = h(0-) = 0 先求h’(0+)和h(0+)。 由方程可知， h(t) 中含δ(t) 故令 h(t) = aδ(t) + p1(t) [pi(t) 为不含δ(t) 的某函数] h’(t) = aδ’(t) + bδ(t) + p2(t) h”(t) = aδ”(t) + bδ’(t) + cδ(t)+ p3(t) 代入式(1)，有
10
即 h1(0) h1(0) 0 h1(0) h1(0)+11
代入(5)式，有 h1(0)C3C4 0 h1(0)C32C4=1
可 解 得 ： C 3 1 ， C 4 1 于是
h1(t)=(et e2t ) (t)
11
其一阶导数
h1 (t)=(et e2t ) (t) (et 2e2t ) (t)=(et 2e2t ) (t)
6
右 端 加 法 器 的 输 出 y(t)＝ -x(t)2x(t)
所 以 ， 系 统 的 微 分 方 程 为 y(t)3y(t)2y(t)＝ -f(t)2f(t)
信号与系统 冲激响应和阶跃响应
信号与系统
一．冲激响应
将r(t)=h(t)及e(t)=(t)代入给定微分方程
( k1 k 2 ) ( t ) ( 3k1 k 2 ) ( t ) ( t ) 2 ( t )
k1 k 2 1 3k 1 k 2 2
1 1 k1 , k 2 2 2
可计算得 A 0 ，即 则冲激响应为 h(t ) 由 可得
g (t ) et u(t )
d g (t ) (t ) e t u (t ) dt
y1 (t ) 2et u(t ) yzi (t ) yzs (t ) yzi (t ) g (t ) yzi (t ) y1 (t ) g (t ) 2et u(t ) et u(t ) et u(t )
t 0 时， h(t ) 0
冲激响应的求解至关重要。
用变换域(拉氏变换)方法求冲激响应和阶跃响应简捷方便，但时域求 解方法直观、物理概念明确。
信号与系统
作业 13-04-09
P46 2-2(1）, 2-3(2) , 2-5 , 2-6
A1 2, A2
1 3 , A3 2 2
故：
1 3 g(t ) (2e t e 2t )u(t ) u(t ) 2 2
信号与系统
二．阶跃响应
h(t ) (2e t e 2t )u(t )
ii)先求h(t)再积分法
g (t ) h( )d (2e e2 )d
冲激响应为：
h(t ) (k1e t k2e 3t )u(tt ) (k1e t k2e 3t )u(t )
对h(t)求各阶导数：
dh( t ) ( k1e t k 2 e 3 t ) ( t ) ( k1e t 3k 2 e 3 t )u( t ) dt (k1 k2 ) (t ) (k1e t 3k2e 3t )u(t )
信号与系统冲激响应和阶跃响应
r t
t2
t
t
a t a t
b
bu
t t
c
u
t
rt aut
h 0 1 ,h '0 2
代入h(t),得
hh'00A A113AA2212
h(t)1ete3t u(t)
A A121212
2
X
12
第
用奇异函数项相平衡法求待定系数 页
h ( t ) A 1 e t A 2 e 3 tu ( t )
RC (t)A (t)
1 RCA1 A
RC
X
波形
htvC(t)R 1C eR 1C tu(t)
vC (t) h(t) 1 RC
iC(t)
CdvC(t) dt
O
注意！
iC (t)
R12CeR1Ctu(t)
1 (t)
R
1
O R
电容器的电流在
t =0时有一冲激， 这就是电容电压突
1 R 2C
变的原因 。
•当nm时 ， ht中 应 包 t含 ；
•当nm时 ， ht应 包含 t及 其 各 阶 导 数 。 X
10
第
例2-5-2 页
求系统 d d 2r t(2 t)4d d r(tt)3 r(t)的 冲d d e 激(tt响) 应2 e 。(t) 解：
将e(t)→(t)， r(t)→h(t)
d 2 d h t( 2 t) 4d d h (tt)3 h (t)d d ( tt)2 (t)
CtR1CeR1Ctut
X
6
方法2：奇异函数项相平衡原理
第 页
已知方程 冲激响应 求导 代入原方程
RC dvdCt(t)vC(t)(t) t vC(t)Ae RCu(t)
§2.3 冲激响应和阶跃响应
§2.3 冲激响应和阶跃响应通信与信息工程学院江帆系统在单位冲激信号作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h (t )表示。
一．冲激响应)(t δ)(t h 1．定义)(t δh(t)=T[{0},δ(t)]例2-3-1描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。
根据h(t)的定义有h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ(t)h’(0-) = h(0-) = 0先求h’(0+)和h(0+)。
因方程右端有δ(t)，故利用系数平衡法。
h”(t)中含δ(t)，h’(t)含ε(t)，h’(0+)≠h’(0-)，h(t)在t=0连续，即h(0+)=h(0-)。
积分得[h’(0+) -h’(0-)] + 5[h(0+) -h(0-)] + 6 = 1∫+−00)(dt t h考虑h(0+)= h(0-)，由上式可得h(0+)=h(0-)=0 , h’(0+) =1 + h’(0-) = 1对t>0时，有h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = 0故系统的冲激响应为一齐次解。
微分方程的特征根为-2，-3。
故系统的冲激响应为h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)ε(t)代入初始条件求得C1=1,C2=-1, 所以h(t)=( e-2t-e-3t)ε(t)例2-3-1续例2-3-2描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t)求其冲激响应h(t)。
根据h(t)的定义有h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1)h’(0-) = h(0-) = 0先求h’(0+)和h(0+)。
由方程可知，h(t) 中含δ(t)故令h(t) = aδ(t) + p1(t) [p i(t) 为不含δ(t) 的某函数] h’(t) = aδ’(t) + bδ(t) + p2(t)h”(t) = aδ”(t) + bδ’(t) + cδ(t)+ p3(t)代入式(1)，有aδ”(t) + bδ’(t)+ cδ(t) + p3(t) + 5[aδ’(t) + bδ(t) + p2(t) ] + 6[aδ(t) + p1(t) ] = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t)整理得aδ”(t)+(b+5a)δ’(t)+(c +5b+6a)δ(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t) = δ”(t) + 2δ’(t) + 3δ(t)利用δ(t) 系数匹配，得 a =1 ，b = -3，c = 12所以h(t) = δ(t) + p1(t) （2）h’(t) = δ’(t) -3δ(t) + p2(t) （3）h”(t) = δ”(t) -3 δ’(t) + 12δ(t)+ p3(t) （4）对式(3)从0-到0+积分得h(0+) –h(0-) = –3对式(4)从0-到0+积分得h’(0+) –h’(0-) =12故h(0+) = –3，h’(0+) =12微分方程的特征根为–2，–3。
信号与系统 §2.5 冲激响应和阶跃响应
C0hn(t ) C1hn1(t ) Cn1h1(t ) Cnh(t )
E0 m(t ) E1 m1(t ) Em1 1(t ) Em (t )
(2)h(t)解答的形式
由于 t 及其导数在t 0 时都为零，因而方程式右
当n m时，ht 应包含 t 及其各阶导数。
二．阶跃响应
1．定义
系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单 位阶跃响应，简称阶跃响应。
et
H
r t
ut
gt
H
系统的输入 et ut ，其响应为 rt gt 。系统 方程的右端将包含阶跃函数 ut ，所以除了齐次解外，
还有特解项。
我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激相应于 阶跃相应的关系求阶跃响应。
2．阶跃响应与冲激响应的关系
线性时不变系统满足微、积分特性
t
u(t) (t)d t
t
g(t) h(t)d t
阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限：
t , 对因果系统：t
－
§2.5 冲激响应和阶跃响应
•冲激响应 •阶跃响应
一．冲激响应
1．定义
系统在单位冲激信号 (t) 作用下产生的零状态响应，
称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
t
ht
H
3．n阶系统的冲激响应
(1)冲激响应的数学模型
对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示
C0
dn r(t dtn
)
C1
dn1 r(t) d t n1
Cn1
d r(t) dt
Cnr(t)
2.2、冲击响应与阶跃响应
信号与系统电子教案信号与系统西安电子科技大学信号与系统电子教案 2.2 冲激和阶跃响应－概念2.2 冲激响应和阶跃响应一、冲激响应由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。
二、阶跃响应对LTI 系统，当输入为单位阶跃函数时系统的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为g(t)。
()t ε(){}()[],0T t g t ε=(){}()[],0T t h t δ=2.2 冲激响应和阶跃响应一、冲激响应由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。
h(t)=T[{0},δ(t)]例1描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。
分析：按照定义要求，求解系统的冲激响应，即在下列条件下求系统响应（以h(t)表示）f(t) = δ(t)h(n-1)(0-)=…=h’(0-) = h(0-) = 0例1描述某系统的微分方程为y ”(t)+5y ’(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。
解根据h(t)的定义有h ”(t) + 5h ’(t) + 6h(t) = δ(t)h ’(0-) = h(0-) = 0因方程右端有δ(t)，故利用奇异函数匹配法。
h ”(t)中含δ(t)，h ’(t)含ε(t)，h ’(0+)≠h’(0-)，h(t)在t=0连续，即h(0+)=h(0-)。
积分得[h ’(0+) -h ’(0-)] + 5[h(0+) -h(0-)] + 6 = 1考虑h(0+)= h(0-)，由上式可得h(0+)=h(0-)=0 , h’(0+) =1 + h ’(0-) = 1⎰+-00)(dt t h a.求初始值h ’(0+)和h(0+)。
()-+∈0,0t对t>0时，有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=0故系统的冲激响应为一齐次解。
微分方程的特征根为-2，-3。
信号与系统冲激响应和阶跃响应
对系统的微分方程进行拉普拉斯变换
01
将时域中的微分方程转换为复平面上的代数方程。
求解代数方程
02 根据复平面上的代数方程，求解系统的输出响应的拉
普拉斯变换式。
对输出响应的拉普拉斯变换式进行反变换
03
将复平面上的输出响应的拉普拉斯变换式反变换回时
域，得到系统的阶跃响应。
频域分析法求解阶跃响应
确定系统的频率响应函数
02 冲激响应与阶跃响应概述
冲激函数定义及性质
定义
冲激函数是一种特殊的信号，它在某一时刻取值为无穷大，而在其他时刻取值 为零。
性质
冲激函数具有筛选性、可加性、奇偶性等性质，其中筛选性是指冲激函数与任 何函数相乘的结果都等于该函数在冲激时刻的值。
阶跃函数定义及性质
定义
阶跃函数是一种在某一时刻发生跳变的信号，它的取值在跳变前为0，跳变后为1 （或其他常数）。
卷积积分法求解冲激响应
确定系统单位冲激响应。
利用卷积积分公式，将输入信号与系统单位冲激响应进 行卷积运算。
将输入信号表示为冲激函数的线性组合。
对卷积结果进行积分，得到系统的零状态响应，即为冲 激响应。
04 离散时间系统冲激响应分 析
差分方程求解方法
迭代法
通过逐步代入差分方程，求解系统的冲激响应。
区别
冲激响应描述的是系统在极短时间内对输入信号的响应，而阶跃响应描述的是系统在长时间内对输入信号的响应。 此外，冲激响应可以通过卷积运算得到系统的零状态响应，而阶跃响应则可以通过对冲激响应进行积分得到。
03 连续时间系统冲激响应分 析
微分方程求解方法
经典法
01
通过求解系统微分方程的通解，并根据初始条件确定特解，从
实验三系统的冲激响应和阶跃响应分析
实验三系统的冲激响应和阶跃响应分析一、实验目的掌握系统的冲激响应和阶跃响应的概念及其时域求解方法二、原理说明在L TI系统的时域分析中，除了可以利用经典方法求解某些系统的零状态响应外，还可以利用卷积积分求解系统的零状态响应。
这就需要求解系统的单位冲激响应和单位阶跃响应。
单位冲激响应h(t) 定义为系统初始状态为零，系统在冲激函数δ(t)作用下所产生的零状态响应.即h(t)=T[{0},δ(t)]其中T 为系统的变换算子。
而系统在任意激励f(t)作用下所形成的零状态响应Yf(t)=f(t)*h(t).单位冲激响应不仅在此有重要意义，而且对于描述系统的时域特性也有非常重要的意义。
单位阶跃响应g(t)定义为系统初始状态为零且在单位阶跃信号ε(t)作用下产生的零状态响应，即g(t)═ T[{0},ε(t)]。
二阶系统是工程中最常见的系统,在不同阻尼比ξ下，系统的阶跃响应不同。
三、预习要求单位冲激响应及阶跃响应的经典求解方法四、内容和步骤1. 二阶系统的传递函数为：2222)(nn n s s s H ωξωω++= 可用如下程序作出其单位阶跃响应和冲激响应波形曲线.(简单起见令n ω=1).参考程序一、CloseHold onzeta=[0.1 0.2 0.4 0.7 1.0];num=[1];t=0:0.01:12;for k=1:5den1=[1 2*zeta(k) 1];printsys (num,den1,’s’);[y1(:,k),x]=step(num,den1,t);den2=[1 zeta(k) 1];[y2(:,k),x]=impulse(num,den2,t);subplot(2,1,1),plot(t,y1(:,k));hold onsubplot(2,1,2),plot(t,y2(:,k));hold onend2. 自己构造一四阶以上连续系统系统函数,并求其阶跃响应和冲激响应波形.五、报告要求1.调试四1中程序,记录运行结果.2.用解析法求解步骤四1中系统的冲激响应和阶跃响应.3.若步骤四1中给定系统增加一个0 s处零点，系统时域特性有什么变化？4.写出步骤四1程序中各主要部分的功能5.分析系统时域响应波形，得出系统时域参数（上升时间和误差）永磁交流伺服电机位置反馈传感器检测相位与电机磁极相位的对齐方式2008-11-07 来源：internet 浏览：504主流的伺服电机位置反馈元件包括增量式编码器，绝对式编码器，正余弦编码器，旋转变压器等。
阶跃响应与冲激响应的关系
阶跃响应与冲激响应的关系1. 引言嘿，大家好！今天咱们来聊聊“阶跃响应”和“冲激响应”这两位老兄。
这两个概念在信号处理和系统分析里可是风头正劲的角色。
可能你听过它们，却不知道它们之间到底有什么关系。
别急，咱们慢慢来，保证让你听得津津有味。
2. 什么是冲激响应？2.1 冲激响应的定义首先，咱得了解一下“冲激响应”。
可以把它想象成一个超级短暂的信号，就像是你在派对上对朋友大喊“嗨！”然后瞬间安静下来了。
这种瞬间的信号就叫做冲激信号，而系统对这个信号的响应就是冲激响应。
听起来是不是很简单？2.2 冲激响应的特性而且，冲激响应的一个特性就是它能完全描述一个线性时不变系统的行为。
也就是说，只要你知道了冲激响应，你就能推导出系统对任何输入信号的响应，简直是信号处理界的万金油！所以，冲激响应就像是一张藏宝图，指引我们找到信号处理的宝藏。
3. 阶跃响应的魅力3.1 阶跃响应的定义接下来，咱们来看看“阶跃响应”。
它是系统对一个阶跃信号的响应，就像你突然把一个开关打开，整个房间立刻亮起来。
阶跃信号的特点就是它在某一时刻突然变得不一样，从0到1的变化就好比一瞬间的蜕变。
3.2 阶跃响应的重要性阶跃响应在很多实际应用中可是大显身手的，尤其是在控制系统中。
比如说，想象一下你在开车，突然踩下油门，车辆的加速反应就是阶跃响应在起作用。
通过阶跃响应，你可以了解系统的稳定性和动态特性，简直是开车必备的“老司机技巧”。
4. 冲激响应与阶跃响应的关系4.1 从冲激响应到阶跃响应那么，冲激响应和阶跃响应之间又是怎样的关系呢？简单来说，阶跃响应可以通过冲激响应“推导”出来。
你可以把冲激响应看作是一种基本的“调味料”，而阶跃响应就是这道菜的成品。
通过数学上的卷积操作，我们能把冲激响应变成阶跃响应，没错，就像把原料变成美味佳肴！4.2 直观的理解想象一下，你在做蛋糕。
冲激响应就像是准备蛋糕的面糊，而阶跃响应就是烤好的蛋糕，香喷喷的出炉了！当然，不同的配方会让蛋糕的味道有所不同，但最终都是通过面糊这个基础材料变成的。
冲激响应和阶跃响应
信号与系统说明: 在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励如果冲激响应 不同，说明其系统特性不同， 冲激响应可以衡量系统的特性。
()t δ()h t 1．定义系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h (t )表示。
()t δ响应及其各阶导数(最高阶为n 次)2.冲激响应的数学模型1011110111d ()d ()d ()()d d d d ()d ()d ()()d d d n n n n n n m m m m m m r t r t r t C C C C r t t t te t e t e t E E E E e t t t t------++++=++++对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示()(1)(1)011()(1)(1)011()()()()()()()()n n n n m m m m C h t C h t C h t C h t E t E t E t E t δδδδ----++++=++++激励及其各阶导数(最高阶为m 次)令 e (t )=δ(t ) 则 r (t )=h (t )设特征根为简单根（无重根的单根）1()e ()()i nt i i h t A u t f t λ=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ 由于δ(t ) 及其导数在 t > 0+ 时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。
②与n, m 相对大小有关①与特征根有关3. h (t ) 解的形式4.求法:直接代入确定待定系数()()n m h t t δ>不包含 及其各阶导数。
1()e ()i nt i i h t A u t λ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑()()n mh t t δ=包含 。
01()e ()()int i i h t C u t D t λδ=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑()()n mh t t δ<包含 及其各阶导数，最阶次为m - n()∑∑-==+⎪⎭⎫ ⎝⎛=nm k k k n i t i t D t u C t h i 01)()(e )(δλ例: 系统微分方程为)(2d )(d )(3d )(d 4d )(d 22t e tt e t r t t r t t r +=++试求其冲激响应。
2-3冲激响应和阶跃响应 《信号与系统》课件
2．阶跃响应与冲激响应的关系
线性时不变系统满足微、积分特性
t
u(t) (t) d t
t
g(t) h(t) d t
阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限：
t , 对因果系统：t
－
0
三．齐次解法求冲激响应（补充）
令方程左端系数为1，右端只有一项 (t)时，冲激
响应为 hˆ t
dn hˆ(t)
二．阶跃响应
1．定义 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为 单位阶跃响应，简称阶跃响应。
系统的输入e(t) u(t)，其响应为 r(t) g(t)。系统 方程的右端将包含阶跃函数 u(t)，所以除了齐次 解外，还有特解项。 我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响 应与阶跃响应关系求阶跃响应
dn1 hˆ(t)
d t n an1 d t n1
a0hˆ(t) (t)
左端最高阶微分中含有 (t)项
(n-1)阶微分中含有u (t)项。
可以由此定初始条件
h (n1) (0 ) 1, h(0 ) h(0 ) h(0 ) h (n2) (0 ) 0
此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统 更有优越性。
式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响 应形式与齐次解的形式相同。
①与特征根有关
设特征根为简单根（无重根的单根）
h(t)
n i 1
Ai ei t
u(t)
②与n, m相对大小有关
•当n m时，h t 不含 t 及其各阶导数；
•当n m时，h t 中应包含 t ；
•当n m时，h t 应包含 t 及其各阶导数。
说明其系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特 性。
§2.2 冲激响应和阶跃响应
▲ ■ 第 10 页
信号与系统
二、阶跃响应
由单位阶跃信号 (t)所引起的零状态响应，
简称阶跃响应，记为g(t)。 g(t)= T [(t) ，{0}]
1
0
(t )
g (t )
t
t
(t )
LTI
g (t )
0
t
t
(t ) (t )dt
h(t ) (C1 C2 ) (t ) (C1 3C2 ) (t ) (C1et 9C2e3t ) (t )
代入方程 (C1 C2 ) (t ) (3C1 C2 ) (t ) (t ) 2 (t )
1 C1 C2 1 C1 C2 2 3C1 C2 2
h(0 ) h(0 ) 0
h(0 ) h(0 ) 12, h(0 ) h(0 ) 3
h(0 ) 3, h(0 ) 12
t 0 时, h(t ) 5h(t ) 6h(t ) 0
h(t ) (C1e 2t C2e 3t ) (t )
(1) (t)所引起的零状态响应；h(t)=T[{ (t) }, {0}] 待定系数---奇异函数项平衡法 (2) 也可视为t＞0时，以 (t)作用为初始条件的 零输入响应 。 h(t)=T[{0} , {h[ (0)] }] 待定系数---0+初值法
h( n ) (t ) a1h ' (t ) a0 h(t ) bm ( m) (t ) b1 ' (t ) b0 (t )
代入方程得： d (t ) (C1 C2 5) (t ) (3C1 2C2 6) (t ) () (t ) (t ) 2 (t ) 3 (t ) 据系数平衡得 d 1
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dh(t ) dt
(k1e t
k2e 3t
) (t )
(k1e t
3k2e 3t
)u(t )
(k1 k2 ) (t ) (k1e t 3k2e 3t )u(t )
d2h(t) dt 2
(k1
k2 )
(t)
(k1et
3k2e3t
)
(t)
B0u(t)
i1
k 0
i) 先求h(t)，再积分求g(t)
ii) 直接代入求待定系数
信号与系统
二．阶跃响应
例：求下列g(t):
d2
d
d
r(t) 3 r(t) 2r(t) e(t) 3e(t)
dt 2
dt
dt
解： i)直接代入求待定系数法
设 g(t ) ( A1e t A2e 2t )u(t ) A3u(t ) g , (t ) 3( A1 A2 ) (t ) A3 (t ) ( A1e t 2 A2e 2t )u(t ) g ,, (t ) ( A1 A2 A3 ) , (t ) ( A1 2 A2 ) (t ) ( A1e t 4 A2e 2t )u(t )
冲激响应可以衡量系统的特性。
信号与系统
一．冲激响应
2.冲激响应的数学模型
对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示
C0
dn r(t) dtn
C1
dn1 r(t) d t n1
Cn1
d
r(t dt
)
Cn
r
(t
)
E0
dm e(t) dtm
E1
dm1 e(t) d t m1
信号与系统
二．阶跃响应
3.解的形式
i) 满足 c0
dn dt n
g(t) ..... cn g(t)
E0u(m) (t)
E1u(m1) (t).....
Emu (t )
n
ii) 有齐次解与特解，即 g(t) ( Aieit )u(t) f (t) B(t)，特解 B(t) B0u(t)
代入左端，u(t)代入右端
( A1 A2 A3 ) , (t) (2A1 A2 A3 ) (t) 2A3u(t) (t) 3u(t)
k1 k2 1
3k1
k2
2
k1
1, 2
k2
1 2
h(t ) 1 (e t e 3t )u(t ) 2
信号与系统
二．阶跃响应
1．定义 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应， 简称阶跃响应。
u (t )
g (t )
H
系统方程的右端包含阶跃函数 ，所以除了齐次解外，还有特解项。 我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃响应关 系求阶跃响应。
(k1et
9k2e3t
)u(t)
(k1 k2 ) (t) (k1 3k2 ) (t) (k1et 9k2e3t )u(t)
信号与系统
一．冲激响应
将r(t)=h(t)及e(t)=(t)代入给定微分方程 (k1 k2 ) (t) (3k1 k2 ) (t) (t) 2 (t)
i1
nm nm
h(t
)不包含
(t
)及其各阶导数。h(t
)
n
Ai ei t
u(t)
h(t)
包含
(t)
。h(t)
n
i1
Ciei t u(t) D0 (t)
i1
n m h(t) 包含 (t) 及其各阶导数，最阶次为m - n
信号与系统
§2.3 冲激响应和阶跃响应
信号与系统
一．冲激响应
1．定义
系统在单位冲激信号 (t)作用下产生的零状态响应，称为单位
冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
(t)
h(t)
H
说明: 在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 (t)
如果冲激响应 h(t)不同，说明其系统特性不同，
解： n=2，m=1 所以h(t)中不包含 (t)。
特征方程为： 2 4 3 0
1 1, 2 3
冲激响应为：
h(t ) (k1et k2e3t )u(t )
信号与系统
一．冲激响应
对h(t)求各阶导数： h(t ) (k1et k2e3t )u(t )
信号与系统
一．冲激响应
3. h(t) 解的形式 由于δ(t) 及其导数在 t > 0+ 时都为零，因而方程式右端的自由
项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同之处。
①与特征根有关
设特征根为简单根（无重根的单根）
h(t
)
n
Aieit
u(t)
f
(t)
②与n, m相对大小有关
h(t) n Ciei t u(t) mn Dk k (t)Biblioteka 4.求法:直接代入确定待定系数
i1
k 0
信号与系统
一．冲激响应
例:
系统微分方程为
d2r(t ) dr(t )
de(t )
dt 2 4 dt 3r(t ) dt 2e(t )
试求其冲激响应。
i 1
iii)当n≥m时，g(t)无 (t) 项。
n
g(t) ( Aieit )u(t) B(t) i 1
iv)当n<m时，g(t)含有 (t )及其导数项，导数的最高阶次为m-n-1。
4.求法
g(t)
n
Ciei
t
u(t)
mn1
Dk
k
(t)
Em1
d
e(t dt
)
Eme(t
)
响应及其各 阶导数(最 高阶为n次)
令 e(t)=(t)
则 r(t)=h(t)
激励及其各 阶导数(最高 阶为m次)
C0h(n) (t) C1h(n1) (t) Cn1h(1) (t) Cnh(t)
E0 (m) (t) E1 (m1) (t) Em1 (1) (t) Em (t)
信号与系统
二．阶跃响应
2．阶跃响应与冲激响应的关系 线性时不变系统满足微、积分特性
t
u(t) ( ) d
(t) d u(t)
dt
t
g(t) h( ) d
h(t) = dg(t) dt
t
t
阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限 对因果系统：
－
0