弧,弦,圆心角的关系练习题

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中考数学专项练习圆的圆心角、弧、弦的关系(含解析)

中考数学专项练习圆的圆心角、弧、弦的关系（含解析）【一】单项选择题1.如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，，那么的度数是〔〕A.B.C.D.2.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC、那么与的数量关系是〔〕A.=B.＞C.＜D.无法确定3.如果所在圆的半径为3cm，它所对圆心角的度数是120°，那么的长是〔〕cm．A.6πB.3πC.2πD.π4.如下图，正六边形ABCDEF内接于圆O，那么∠ADB的度数为〔〕A.60°B.45°C.30°D.22.5°5.如图，⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且==，那么四边形ABCD的周长等于〔〕A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm6.如图，A，B是⊙O的直径，C、D在⊙O上，，假设∠DAB =58°，那么∠CAB=〔〕A.20°B.22°C.24°D.26°7.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接BC、BD、AC，以下结论中不一定正确的选项是〔〕A.∠ACB=90° B.OE=B E C.BD=BC D.△BDE ∽△CAE8.如下图，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O 的半径为4cm，MN=4 cm，那么∠ACM的度数是〔〕A.45°B.50°C.55°D.60°9.如图，AB是⊙O的直径，= = ，∠COD=34°，那么∠A EO的度数是〔〕A.51°B.56°C.68°D.78°10.如图，在⊙O中，=，那么AC与BD的关系是〔〕A.AC=BD B.AC ＜BDC.AC＞BDD.不确定【二】填空题11.如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=35°，那么∠AOE =________°．12.，半径为4的圆中，弦AB把圆周分成1：3两部分，那么弦AB长是________．13.圆的一条弦分圆成4：5两部分，那么此弦所对的圆心角等于_____ ___．14.如图，⊙O中，弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，那么∠A OC=________度．15.在⊙O中，弦AB∥CD，那么∠AOC________∠BOD、16.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为底边向外作高为AC，BC长的等腰△ACM，等腰△BCN，，的中点分别是P，Q．假设MP+NQ=12，AC+BC=15，那么AB的长是_ _______．17.如下图，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠AOE，那么∠DOE=36度，的度数为________度．18.如图，AB是⊙O的直径，如果∠COA=∠DOB=60°，那么与线段OA相等的线段有________，与相等的弧有________ ．【三】解答题19.：如下图，AD=BC。

圆心角、弧、弦的关系-北京习题集-教师版

圆心角、弧、弦的关系（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2017秋•北京期末）如图，圆心角25AOB ∠=︒，将AB 旋转n ︒得到CD ，则COD ∠等于( )A ．25︒B ．25n ︒+︒C ．50︒D ．50n ︒+︒2．（2017秋•海淀区校级期中）如图，在55⨯正方形网格中，一条圆弧经过A 、B 、C 三点，那么AC 所对的圆心角的大小是( )A ．60︒B ．75︒C ．80︒D ．90︒3．（2016秋•大兴区期末）如图，A ，B ，C 是O 上三个点，2AOB BOC ∠=∠，则下列说法中正确的是( )A ．OBA OCA ∠=∠B ．四边形OABC 内接于O C ．2AB BC =D ．90OBA BOC ∠+∠=︒4．（2016•海淀区校级模拟）如图，用不同颜色的马赛克覆盖一个圆形的台面，估计15︒的圆心角的扇形部分大约需要34片马赛克片．已知每箱装有125片马赛克片，那么应该购买多少箱马赛克片才能铺满整个台面( )A ．56-箱B ．67-箱C ．78-箱D ．89-箱5．（2015•通州区二模）如图，O 中，如果2AB AC =，那么( )A ．AB AC =B ．2AB AC =C ．2AB AC <D ．2AB AC >二．填空题（共6小题）6．（2019秋•西城区校级期中）已知弦AB 的长等于O 的半径，弦AB 所对的圆周角是度．7．（2017秋•西城区期末）如图，O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于．8．（2008秋•怀柔区期末）如图，AC 是O 的直径，AB AC =，AB 交O 于E ，BC 交O 于D ，44A ∠=︒，则DE 的度数是度．9．（2009秋•海淀区期中）一条弦AB 将O 分成两条弧，其中一条弧是另一条弧的4倍，则弦AB 所对的圆心角的度数是度．10．（2007•海淀区校级自主招生）如图，AB 是O 的直径，BC ，CD ，DA 是O 的弦，且BC CD DA ==，则BCD ∠= ．11．（2016秋•西城区期中）如图，CD 是O 的直径，点A 是半圆上的三等分点，B 是弧AD 的中点，P 点为直线CD 上的一个动点，当4CD =时，AP BP +的最小值为．三．解答题（共4小题）12．（2019秋•海淀区期末）如图，在O 中，AC CB =，CD OA ⊥于点D ，CE OB ⊥于点E ．（1）求证：CD CE =；（2）若120AOB ∠=︒，2OA =，求四边形DOEC 的面积．13．（2019秋•西城区校级期中）ABC ∆的三个顶点在O 上，AD BC ⊥，D 为垂足，E 是BC 的中点，求证：12∠=∠（提示：可以延长AO 交O 于F ，连接)BF ．14．（2019秋•西城区校级期中）如图，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作A ，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，交BA 的延长线于G ，判断弧EF 和弧FG 是否相等，并说明理由．15．（2018秋•海淀区校级月考）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图 1 ，AB 和BC 是O 的两条弦（即折线ABC 是圆的一条折弦），BC AB >，M 是ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD AB BD =+．下面是运用“截长法”证明CD AB BD =+的部分证明过程．证明：如图 2 ，在CB 上截取CG AB =，连接MA ，MB ，MC 和MG ．M 是ABC 的中点，MA MC ∴=⋯⋯请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；实践应用：（1）如图 3 ，已知ABC ∆内接于O ，BC AB AC >>，D 是ACB 的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为．（2）如图 4 ，已知等腰ABC ∆内接于O ，AB AC =，D 为AB 上一点，连接DB ，45ACD ∠=︒，AE CD ⊥于点E ，BDC ∆的周长为422+，2BC =，请求出AC 的长．圆心角、弧、弦的关系（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2017秋•北京期末）如图，圆心角25AOB ∠=︒，将AB 旋转n ︒得到CD ，则COD ∠等于( )A ．25︒B ．25n ︒+︒C ．50︒D ．50n ︒+︒【分析】根据旋转的性质得到AB CD =，根据圆心角、弧、弦的关系定理解答．【解答】解：将AB 旋转n ︒得到CD ，∴AB CD =，25COD AOB ∴∠=∠=︒，故选：A ．【点评】本题考查的是旋转变换的性质、圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 2．（2017秋•海淀区校级期中）如图，在55⨯正方形网格中，一条圆弧经过A 、B 、C 三点，那么AC 所对的圆心角的大小是( )A ．60︒B ．75︒C ．80︒D ．90︒【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB ，BC 的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可．【解答】解：作AB 的垂直平分线，作BC 的垂直平分线，如图，它们都经过Q ，所以点Q 为这条圆弧所在圆的圆心．连接AQ ，CQ ，在APQ ∆与CQN ∆中AP QN APQ QNC PQ CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()APQ CQN SAS ∴∆≅∆，AQP CQN ∴∠=∠，PAQ CQN ∠=∠ 90AQP PAQ ∠+∠=︒， 90AQP CQN ∴∠+∠=︒， 90AQC ∴∠=︒，即AC 所对的圆心角的大小是90︒，故选：D ．【点评】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．3．（2016秋•大兴区期末）如图，A ，B ，C 是O 上三个点，2AOB BOC ∠=∠，则下列说法中正确的是( )A ．OBA OCA ∠=∠B ．四边形OABC 内接于O C ．2AB BC =D ．90OBA BOC ∠+∠=︒【分析】过O 作OD AB ⊥于D 交O 于E ，由垂径定理得到AE BE =，于是得到AE BE BC ==，推出AE BE BC ==，根据三角形的三边关系得到2BC AB >，故C 错误；根据三角形内角和得到1(180)902OBA AOB BOC ∠=︒-∠=︒-∠，13(180)9022OCA AOC BOC ∠=︒-∠=︒-∠，推出OBA OCA ∠≠∠，故A 错误；由点A ，B ，C 在O 上，而点O 在圆心，得到四边形OABC 不内接于O ，故B 错误；根据余角的性质得到90OBA BOC ∠+∠=︒，故D 正确；【解答】解：过O 作OD AB ⊥于D 交O 于E ，则AE BE =，AE BE ∴=，12AOE BOE AOB ∠=∠=∠，2AOB BOC ∠=∠， AOE BOE BOC ∴∠=∠=∠，∴AE BE BC ==，AE BE BC ∴==， 2BC AB ∴>，故C 错误； OA OB OC ==，1(180)902OBA AOB BOC ∴∠=︒-∠=︒-∠，13(180)9022OCA AOC BOC ∠=︒-∠=︒-∠，OBA OCA ∴∠≠∠，故A 错误；点A ，B ，C 在O 上，而点O 在圆心，∴四边形OABC 不内接于O ，故B 错误；12BOE BOC AOB ∠=∠=∠，90BOE OBA ∠+∠=︒，90OBA BOC ∴∠+∠=︒，故D 正确；故选：D ．【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键． 4．（2016•海淀区校级模拟）如图，用不同颜色的马赛克覆盖一个圆形的台面，估计15︒的圆心角的扇形部分大约需要34片马赛克片．已知每箱装有125片马赛克片，那么应该购买多少箱马赛克片才能铺满整个台面( )A ．56-箱B ．67-箱C ．78-箱D ．89-箱【分析】设需要x 箱马赛克片，由题意：3603412515x ⨯=，解方程即可．【解答】解：设需要x 箱马赛克片．由题意：3603412515x ⨯=， 6.5x ∴≈．∴需要马赛克片67-箱．故选：B ．【点评】本题考查圆心角、弧弦之间的关系，一元一次方程等知识，解题的关键是学会设未知数列方程解决问题，属于中考常考题型．5．（2015•通州区二模）如图，O 中，如果2AB AC =，那么( )A ．AB AC =B ．2AB AC =C ．2AB AC <D ．2AB AC >【分析】取弧AB 的中点D ，连接AD ，DB ，由已知条件可知AD BD AC ==，在ADB ∆中由三角形的三边关系可知AD BD AB +>，即2AC AB >，问题得解．【解答】解：取弧AB 的中点D ，连接AD ，DB ， 2AB AC =，AD BD AC ∴==，在ADB ∆中由三角形的三边关系可知AD BD AB +>， 2AC AB ∴>，即2AB AC <，故选：C ．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，题目设计新颖，是一道不错的中考题．二．填空题（共6小题）6．（2019秋•西城区校级期中）已知弦AB 的长等于O 的半径，弦AB 所对的圆周角是 30或150 度．【分析】在圆中，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，又因为AB 的长等于半径，所以由弦和半径组成的三角形是等边三角形，根据等边三角形的性质，弦所对的圆心角为60︒，所以弦所对的圆周角为30︒或150︒．【解答】解：如图示，AB OA OB ==， OAB ∴∆是等边三角形， 60AOB ∴∠=︒， 30ACB ∴∠=︒， 150ADB ∴∠=︒．故弦AB 所对的圆周角是 30或150度．故答案为：30或150．【点评】本题极易漏解，需注意圆中的一条弦对着两个圆周角，它们是互补关系．7．（2017秋•西城区期末）如图，O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 2 ．【分析】由圆心角120AOB ∠=︒，可得AOB ∆是等腰三角形，又由OC AB ⊥，再利用含30︒角的直角三角形的性质，可求得OC 的长．【解答】解：如图，圆心角120AOB ∠=︒，OA OB =，OAB ∴∆是等腰三角形， OC AB ⊥，90ACO ∴∠=︒，30A ∠=︒，122OC OA ∴==．故答案为：2【点评】此题考查了垂径定理、含30︒角的直角三角形的性质．注意根据题意作出图形是关键．8．（2008秋•怀柔区期末）如图，AC 是O 的直径，AB AC =，AB 交O 于E ，BC 交O 于D ，44A ∠=︒，则DE的度数是 44 度．【分析】通过A ∠的度数，可求出底角ABC ∠．又通过90AEC ∠=︒，求出ECB ∠．而DE 的度数是ECB ∠的两倍．【解答】解：AB AC =，44A ∠=︒(18044)268ABC ∴∠=︒-︒÷=︒又AC 是O 的直径90AEC ∴∠=︒906822ECD ∴∠=︒-︒=︒∴DE 的度数为44︒．故填44︒．【点评】掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，弧的度数等于它所对的圆周角度数的两倍．9．（2009秋•海淀区期中）一条弦AB 将O 分成两条弧，其中一条弧是另一条弧的4倍，则弦AB 所对的圆心角的度数是 72 度．【分析】根据题意知，弦AB 将圆周分成了5等分，而弦AB 所对的圆心角占了其中的15，由此可求出此圆心角的度数．【解答】解：由于弦AB 将O 分成了1:4两段弧， AB ∴所对的圆心角1360725AOB ∠=⨯︒=︒．【点评】此题主要考查了圆心角、弧的关系．10．（2007•海淀区校级自主招生）如图，AB 是O 的直径，BC ，CD ，DA 是O 的弦，且BC CD DA ==，则BCD ∠= 120︒ ．【分析】由已知可得，弦BC 、CD 、DA 三等分半圆，从而不难求得BCD ∠的度数．【解答】解：连接OC 、OD ，BC CD DA ==，∴AD DC CB ==，∴弦BC 、CD 、DA 三等分半圆，∴弦BC 和CD 和DA 对的圆心角均为60︒， 1(18060)1202BCD ∴∠=︒+︒=︒．故答案是：120︒．【点评】本题利用了弧、弦与圆心角的关系求解，注意半圆对的圆心角为180︒．11．（2016秋•西城区期中）如图，CD 是O 的直径，点A 是半圆上的三等分点，B 是弧AD 的中点，P 点为直线CD上的一个动点，当4CD =时，AP BP +的最小值为 22 ．【分析】本题是要在CD 上找一点P ，使PA PB +的值最小，设A '是A 关于CD 的对称点，连接A B '，与CD 的交点即为点P ．此时PA PB A B +='是最小值，可证△OA B '是等腰直角三角形，从而得出结果．【解答】解：作点A 关于CD 的对称点A '，连接A B '，交CD 于点P ，则PA PB +最小，连接OA '，AA '．点A 与A '关于CD 对称，点A 是半圆上的一个三等分点，60AOD AOD ∴∠'=∠=︒，PA PA ='，点B 是弧AD 的中点，30BOD ∴∠=︒，90AOB AOD BOD ∴∠'=∠'+∠=︒，又2OA OA ='=，22A B ∴'=．22PA PB PA PB A B ∴+='+='=故答案为：2【点评】此题主要考查了轴对称最短线段问题以及垂径定理和勾股定理等知识，正确确定P 点的位置是解题的关键，确定点P 的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．三．解答题（共4小题）12．（2019秋•海淀区期末）如图，在O 中，AC CB =，CD OA ⊥于点D ，CE OB ⊥于点E ．（1）求证：CD CE =；（2）若120AOB ∠=︒，2OA =，求四边形DOEC 的面积．【分析】（1）连接OC ，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到AOC BOC ∠=∠，根据角平分线的性质定理证明结论；（2）根据直角三角形的性质求出OD ，根据勾股定理求出CD ，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接OC ，AC BC =，AOC BOC ∴∠=∠，又CD OA ⊥，CE OB ⊥，CD CE ∴=；（2）解：120AOB ∠=︒，60AOC BOC ∴∠=∠=︒，90CDO ∠=︒，30OCD ∴∠=︒，112OD OC ∴==， 2222213CD OC OD ∴=--OCD ∴∆的面积132OD CD =⨯⨯= 同理可得，OCE ∆的面积132OD CD =⨯⨯= ∴四边形DOEC 的面积333=【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．13．（2019秋•西城区校级期中）ABC∠=∠⊥，D为垂足，E是BC的中点，求证：12∆的三个顶点在O上，AD BC（提示：可以延长AO交O于F，连接)BF．【分析】连接OE，利用垂径定理可得OE BCOE AD，然后即可证明．⊥，可得//⊥，再利用AD BC【解答】证明：连接OE，E是BC的中点，∴弧BE=弧EC，∴⊥，OE BC⊥，AD BC∴，OE AD//∴∠=∠，OEA EADOE OA=，∴∠=∠，OAE OEA∴∠=∠．12【点评】此题主要考查学生对三角形内角和定理和圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，此题难度不大，关键是作好辅助线．14．（2019秋•西城区校级期中）如图，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作A ，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，交BA 的延长线于G ，判断弧EF 和弧FG 是否相等，并说明理由．【分析】要证明EF FG =，则要证明DAE GAD ∠=∠，由AB AE =，得出ABE AEB ∠=∠，由平行四边形的性质得出B GAF ∠=∠，FAE AEB ∠=∠，GAF FAE ∠=∠，由圆心角、弧、弦的关系定理得出EF FG =．【解答】解：EF FG =，理由：连接AE ．AB AE ∴=，B AEB ∴∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，B GAF ∴∠=∠，FAE AEB ∠=∠，GAF FAE ∴∠=∠，∴EF FG =．【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，圆心角、弧、弦的关系定理等知识点的应用，关键是求出DAE GAD ∠=∠，题目比较典型，难度不大．15．（2018秋•海淀区校级月考）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图 1 ，AB 和BC 是O 的两条弦（即折线ABC 是圆的一条折弦），BC AB >，M 是ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD AB BD =+．下面是运用“截长法”证明CD AB BD =+的部分证明过程．证明：如图 2 ，在CB 上截取CG AB =，连接MA ，MB ，MC 和MG ． M 是ABC 的中点，MA MC ∴=⋯⋯请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；实践应用：（1）如图 3 ，已知ABC ∆内接于O ，BC AB AC >>，D 是ACB 的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为 BE CE AC =+ ．（2）如图 4 ，已知等腰ABC ∆内接于O ，AB AC =，D 为AB 上一点，连接DB ，45ACD ∠=︒，AE CD ⊥于点E ，BDC ∆的周长为422+，2BC =，请求出AC 的长．【分析】首先证明()MBA MGC SAS ∆≅∆，进而得出MB MG =，再利用等腰三角形的性质得出BD GD =，即可得出答案；（1）直接根据阿基米德折弦定理得出结论；（2）根据阿基米德折弦定理得出CE BD DE =+，进而求出CE ，最后用勾股定理即可得出结论．【解答】证明：如图 2 ，在CB 上截取CG AB =，连接MA ，MB ，MC 和MG ， M 是ABC 的中点，MA MC ∴=．在MBA ∆和MGC ∆中，BA GC A C MA MC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MBA MGC SAS ∴∆≅∆，MB MG ∴=，又MD BC ⊥，BD GD ∴=，DC GC GD AB BD ∴=+=+；实践应用（1）如图 3 ，依据阿基米德折弦定理可得：BE CE AC =+；故答案为：BE CE AC =+；（2）AB AC =，A ∴是BAC 的中点，AE CD ⊥，根据阿基米德折弦定理得，CE BD DE =+，BCD ∆的周长为422+，422BD CD BC ∴++=+，2422BD DE CE BC CE BC ∴+++=+=+，2BC =，22CE ∴=，在Rt ACE ∆中，45ACD ∠=︒，22AE CE ∴==，4AC ∴=．【点评】此题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，理解和应用阿基米德折弦定理是解题关键．。

《圆心角、弧、弦、弦心距间关系》习题

《圆心角、弧、弦、弦心距、间关系》习题 1．下列说法中正确的是（）．
A ．相等的圆心角所对的弧相等
B ．等弧所对的圆心角相等
C ．相等的弦所对的弦心距相等
D ．弦心距相等，则弦相等
2．在半径为5cm 的圆中，有一条长为6cm 的弦，则圆心到此弦的距离为（）．
A ．3cm
B ．4cm
C ．5cm
D ．6cm
3．下列说法：①等弧的度数相等；②等弧的长度相等；③度数相等的两条弧是等弧；④长度相等的两条弧是等弧，其中正确的有（）．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的3
1，圆的半径为4cm ，则弦AB 的长是（）． A ．3cm B ．2cm C ．32cm D ．34cm
5．弦AB 把⊙O 分成1∶2两部分，AB ＝8cm ，则弦AB 的弦心距等于___________．
6．直径为20cm 的圆中，有一条长为310cm 的弦，则这条弦所对的圆心角的度数是___________，这条弦的弦心距是___________．
7．在⊙O 中，AB 是弦，∠OAB ＝50°，则弦AB 所对的圆心角的度数是___________，弦AB 所对的两条弧的度数是___________．
8．在⊙O 中，OC 是半径，弦EF 过OC 的中点且垂直于OC ，则弦EF 所对的圆心角的度数是___________，弦EF 的弦心距和弦EF 的长的比是___________．
9．如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，弦AE ∥CD ，连结CE 、BC ，求证：BC ＝CE ．（用两种方法加以证明）
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备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_圆_圆心角、弧、弦的关系,单选题专训及答案

A. B. C. D. 28、 (2020长春.中考真卷) 如图，
是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，
，则
的大小为（）
A. B.
C.
D.
29、
(2020茂名.中考模拟) 如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，
，点E是点D关于AB的对称点，M
是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝60°；②∠CED＝ ∠DOB；③DM⊥CE；④CM＋DM的最小值是10，上述结
A . 40° B . 60° C . 80° D . 100° 18、 (2014贵港.中考真卷) 如图，AB是⊙O的直径， = = ，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（）
A . 51° B . 56° C . 68° D . 78° 19、 (2017资中.中考模拟) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且 = ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=110°，∠BAC=20°，则∠E的度数为（）
A . 8 B . 10 C . 11 D . 12 11、 (2018青岛.中考真卷) 如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是
的中点，则∠D的度数是（）
A . 70° B . 55° C . 35.5° D . 35° 12、
(2018咸宁.中考真卷) 如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD 互补，弦CD=6，则弦AB的长为（）
1.答案： A 2.答案： D 3.答案： B 4.答案： B 5.答案： C 6.答案： A 7.答案： C 8.答案： D 9.答案： A 10.答案： A 11.答案： D 12.答案： B 13.答案： D 14.答案： A 15.答案： C 16.答案： D 17.答案： A 18.答案： A 19.答案： C 20.答案： A 21.答案： C 22.答案：

初三数学圆心角试题

初三数学圆心角试题1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，的度数是72°，∠BCD=68°，则∠AED的度数为．【答案】58°【解析】先根据AB是⊙O的直径，的度数是72°得出的度数，由圆心角、弧、弦的关系可求出∠ABC的度数，根据三角形内角和定理可求出∠CEB的度数，再根据对顶角相等即可得出结论．解：∵AB是⊙O的直径，的度数是72°，∴=180°﹣72°=108°，∴∠ABC==×108°=54°，∵∠BCD=68°，∴∠CEB=180°﹣∠BCD﹣∠ABC=180°﹣68°﹣54°=58°．故答案为：58°．点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．2.如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD= ．【答案】120°【解析】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得∠BCD的度数．解：连接OC、OD，∵BC=CD=DA，∴==，∴弦BC、CD、DA三等分半圆，∴弦BC和CD和DA对的圆心角均为60°，∴∠BCD=（180°+60°）=120°．故答案是：120°．点评：本题利用了弧、弦与圆心角的关系求解，注意半圆对的圆心角为180°．3.如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP，则MP+NP的最小值是 cm．【答案】5【解析】作N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于点P，则点P即为所求的点，再根据M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点可求出∠MON′的值，再由勾股定理即可求出MN′的长．解：作N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于点P，则点P即为所求的点，∵M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，∴∠MOB==60°，∠BON′==30°，∴∠MON′=90°，∵AB=10cm，∴OM=ON′=5cm，∴MN′===5cm，即MP+NP的最小值是cm．故答案为：5．点评：本题考查的是最短路线问题及圆心角、弧、弦的关系，根据M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，求出∠MON′=90°是解答此题的关键．4.（2006•昭阳区二模）如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有个．【答案】12个【解析】因为P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，根据题意，x2+y2=25，若x、y都是整数，其实质就是求方程的整数解．解：∵P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，即圆周上的任意一点到原点的距离为5，由题意得：=5，即x2+y2=25，又∵x、y都是整数，∴方程的整数解分别是：x=0，y=5；x=3，y=4；x=4，y=3；x=5，y=0；x=﹣3，y=4；x=﹣4，y=3；x=﹣5，y=0；x=﹣3，y=﹣4；x=﹣4，y=﹣3；x=0，y=﹣5；x=3，y=﹣4；x=4，y=﹣3．共12对，所以点的坐标有12个．分别是：（0，5）；（3，4）；（4，3）；（5，0）；（﹣3，4）；（﹣4，3）；（﹣5，0）；（﹣3，﹣4）；（﹣4，﹣3）；（0，﹣5）；（3，﹣4）；（4，﹣3）．点评：本题结合圆和直角三角形的知识，考查了二元二次方程的整数解和点的坐标问题．5.如下图，弦CD、FE的延长线交于圆外点P，割线PAB经过圆心，请你结合现有图形，添加一个适当的条件：，使结论∠1=∠2能成立．【答案】△COP≌△EOP【解析】本题答案有多种，根据三角形全等原理可填AC=AE或BD=BF，也可根据在“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等”和三角形全等原理，填CD=FE或弧CD与弧EF相等．解：使∠1=∠2能成立，则应有△COP≌△EOP，或△PDB≌△PFB，故可添加AC=AE或BD=BF当AC=AE时，根据圆周角定理知，∠AOC=∠AOE，∵OC=OE，PO=PO，∴△COP≌△EOP，∴∠1=∠2．点评：本题答案不唯一，根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求解．6.下列结论正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧C．相等的圆心角所对的弧相等D．等弧所对的圆心角相等【答案】D【解析】A、只有长度相等的两条弧不一定能重合，所以不是等弧；B、直径、弦的定义进行分析；C、根据圆心角、弧、弦的关系进行分析；D、根据圆心角、弧、弦的关系进行分析．解：A、在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同，故本选项错误；B、同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦为直径，故本选项错误；C、同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；D、等弧所对的圆心角相等，故本选项正确．故选D．点评：此题考查了圆心角、弧、弦的关系；解题时要注意圆心角、弧、弦的关系是在同圆或等圆中才能成立．7.下列命题中，正确的个数是（）①直径是圆中最长的弦；②平分弦的直径垂直于弦；③相等的圆周角所对的弧相等；④圆心角等于圆周角的2倍；⑤圆的内接平行四边形是矩形．A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一解答即可．解：①符合圆周角定理，故本小题正确；②当两条直径相交时互相平分但不一定互相平分但不一定垂直，应为平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本小题错误；③在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故本小题错误；④在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，故本小题错误；⑤符合圆内接四边形的性质，故本小题正确．故选A．点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，解答此类题目时一定要注意此定理使用的条件，即在同圆或等圆中，这是此类题目的易错点．8.下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．三点确定一个圆C．相等的圆心角所对弦相等D．直径为圆中最长的弦【答案】D【解析】画出反例图形即可判断A、C；根据当三点在同一直线上时，过三点不能做一个圆，即可判断B，根据弦和直径的定义即可判断D．解：A、如图，AB为弦时，直径CD和AB不垂直，故本选项错误；B、不在同一条直线上三点确定一个圆，当三点在同一直线上时，过三点不能做一个圆，故本选项错误；C、如图，∠AOB=∠COD，但弦AB≠弦CD，故本选项错误；D、直径是圆中最长的弦，故本选项错误．故选D．点评：本题考查了确定圆的条件，圆的认识，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的运用，主要考查学生的辨析能力．9.如图，在⊙O中，=，∠AOB=122°，则∠AOC的度数为（）A．122°B．120°C．61°D．58°【答案】A【解析】直接根据圆心角、弧、弦的关系求解．解：∵，=，∴∠∠AOB=∠AOC=122°．故选A．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．10.已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（）A．B．1C．D．a【答案】B【解析】此题可通过证△EAC≌△OAB，得AE=OA，从而求出EA的长；△EAC和△OAB中，已知的条件只有AB=AC；由AB=BD，得=，可得∠AED=∠AOB；四边形ABDE内角于⊙O，则∠EAB+∠D=180°，即∠EAC=180°﹣60°﹣∠D=120°﹣∠D；而∠ECA=180°﹣∠ACB﹣∠BCD=120°﹣∠BCD，上述两个式子中，由BD=AB=BC，易证得∠D=∠BCD，则∠ECA=∠EAC，即△EAC、△OAB都是等腰三角形，而两个等腰三角形的顶角相等，且底边AC=AB，易证得两个三角形全等，由此得解．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°；∵AB=BD，∴，∴∠AED=∠AOB；∵BC=AB=BD，∴∠D=∠BCD；∵四边形EABD内接于⊙O，∴∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°；又∵∠ECA+60°+∠BCD=180°，∴∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形；在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC=∠AOB，∵AC=AB，∴△EAC≌△OAB；∴AE=OA=1．故选B．点评：此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大；能够发现并证得△EAC≌△OAB是解答此题的关键．。

初三数学圆心角试题

初三数学圆心角试题1.如图，以Rt△ABC的直角顶点C为圆心，CB为半径作圆交AB于D，若∠A=36°，则弧BD= 度．【答案】72°【解析】连接CD，由∠C=90°∠A=36°，根据互余求得∠B=90°﹣36°=54°，又根据等腰三角形的性质得到∠CDB=∠B=54°，再根据三角形的内角和定理得到∠DCB=180°﹣54°﹣54°=72°，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到即可弧BD的度数．解：连接CD，如图，∵∠C=90°∠A=36°，∴∠B=90°﹣36°=54°，又∵CB=CD，∴∠CDB=∠B=54°，∴∠DCB=180°﹣54°﹣54°=72°，∴弧BD的度数=72°．故答案为72°．点评：本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了三角形的内角和定理以及圆心角的度数等于它所对的弧的度数．2.如图，已知：AB是⊙O的直径，点C、D是弧BE上的三等分点，∠AOE=60°，则弧DE= 度．【答案】40度【解析】先利用平角定义求出∠BOE=180°﹣∠AOE=120°，再用“同弧或等弧所对的圆心角相等”即可得解．解：∵∠AOE=60°，∴∠BOE=180°﹣∠AOE=120°，∵点C、D是弧BE上的三等分点，∴∠EOD=∠BOE=40°，∴弧DE的度数是40度．点评：本题利用了邻补角的概念和圆心角、弧的关系：同弧或等弧所对的圆心角相等．3.（2006•昭阳区二模）如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有个．【答案】12个【解析】因为P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，根据题意，x2+y2=25，若x、y都是整数，其实质就是求方程的整数解．解：∵P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，即圆周上的任意一点到原点的距离为5，由题意得：=5，即x2+y2=25，又∵x、y都是整数，∴方程的整数解分别是：x=0，y=5；x=3，y=4；x=4，y=3；x=5，y=0；x=﹣3，y=4；x=﹣4，y=3；x=﹣5，y=0；x=﹣3，y=﹣4；x=﹣4，y=﹣3；x=0，y=﹣5；x=3，y=﹣4；x=4，y=﹣3．共12对，所以点的坐标有12个．分别是：（0，5）；（3，4）；（4，3）；（5，0）；（﹣3，4）；（﹣4，3）；（﹣5，0）；（﹣3，﹣4）；（﹣4，﹣3）；（0，﹣5）；（3，﹣4）；（4，﹣3）．点评：本题结合圆和直角三角形的知识，考查了二元二次方程的整数解和点的坐标问题．4.已知半径为5的⊙O中，弦AB=5，弦AC=5，则∠BAC的度数是．【答案】15°【解析】易得∠OAC，∠OAB度数，那么∠BAC的度数应为所求的角的和或差．解：如图，连接OC，OA，OB．∵OC=OA=AC=5，∴△OAC是等边三角形，∴CAO=60°，∵OA=OB=5，AB=5，∴OA2+OB2=50=AB2，∴△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=45°，点C的位置有两种情况，如左图时，∠BAC=∠CAO+∠OAB=60°+45°=105°；如右图时，∠BAC=∠CAO﹣∠OAB=60°﹣45°=15°．点评：本题利用了等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理求解．5.在半径为2cm的⊙O中，弦长为2cm的弦所对的圆心角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B【解析】如图，先利用垂径定理得出AD=1，再解直角三角形可得∠AOD=30°，再得∠AOB=60°．解：如图，AB=2，连接OA，作OD⊥AB，垂足为D．则由垂径定理知，点D是AB的中点，AD=1，而AO=2，∴∠AOD=30°（30°所对的直角边是斜边的一半），∴∠AOB=60°．故选B．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系．解答该题时，利用了垂径定理、30°所对的直角边是斜边的一半．6.如图，A是半圆上的一个二等分点，B是半圆上的一个六等分点，P是直径MN上的一个动点，⊙O半径r=1，则PA+PB的最小值是（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】本题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于MN的对称点，连接A′B，与MN的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰三角形，从而得出结果．解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，AA′．作OQ⊥A′B，∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个二等分点，∴∠A′ON=∠AON=90°，PA=PA′，∵B是半圆上的一个六等分点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=120°，又∵OA=OA′=1，∠A′=30°，∴A′Q=OA′cos30°=，∴A′B=．∴PA+PB=PA′+PB=A′B=．故选：C．点评：此题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．7.下列四个命题：①顶点在圆心的角是圆心角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④等弧所对的圆心角相等．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】由圆心角的定义、弧、弦与圆心角的关系，即可确定答案，注意条件：同圆或等圆中．解：①顶点在圆心的角是圆心角，正确；②在同圆或等圆中，两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；错误；③在同圆或等圆中，两条弦相等，它们所对的弧也相等；错误；④等弧所对的圆心角相等．正确．故选C．点评：此题考查了圆心角的定义、弧、弦与圆心角的关系．此题比较简单，注意熟记定理与定义是关键．8.已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（）A．B．1C．D．a【答案】B【解析】此题可通过证△EAC≌△OAB，得AE=OA，从而求出EA的长；△EAC和△OAB中，已知的条件只有AB=AC；由AB=BD，得=，可得∠AED=∠AOB；四边形ABDE内角于⊙O，则∠EAB+∠D=180°，即∠EAC=180°﹣60°﹣∠D=120°﹣∠D；而∠ECA=180°﹣∠ACB﹣∠BCD=120°﹣∠BCD，上述两个式子中，由BD=AB=BC，易证得∠D=∠BCD，则∠ECA=∠EAC，即△EAC、△OAB都是等腰三角形，而两个等腰三角形的顶角相等，且底边AC=AB，易证得两个三角形全等，由此得解．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°；∵AB=BD，∴，∴∠AED=∠AOB；∵BC=AB=BD，∴∠D=∠BCD；∵四边形EABD内接于⊙O，∴∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°；又∵∠ECA+60°+∠BCD=180°，∴∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形；在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC=∠AOB，∵AC=AB，∴△EAC≌△OAB；∴AE=OA=1．故选B．点评：此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大；能够发现并证得△EAC≌△OAB是解答此题的关键．9.现给出以下几个命题：（1）长度相等的两条弧是等弧；（2）相等的弧所对的弦相等；（3）垂直于弦的直线平分这条弦并且平分弦所对的两条弧；（4）钝角三角形的外接圆圆心在三角形外面；（5）矩形的四个顶点必在同一个圆上．其中真命题的个数有（）A．1 个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】根据等弧的定义和圆心角、弧、弦的关系即可判断（1）和（2）；作钝角三角形的外接圆即可判断（3）；由垂径定理可判断（4）；由矩形的性质求出矩形的对角互补即可判断（5）．解：（1）、等弧是指在等圆或同圆中，能够互相重合的弧，故本答案错误；（2）、相等的弧所对的弦相等，故本答案正确；（3）、垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧，故本答案错误；（4）、钝角三角形的外接圆圆心在三角形外面，故本答案正确；（5）矩形的四个角等于90°，即对角互补，所以矩形的四个顶点必在同一个圆上，故本答案正确；正确的有3个．故选C．点评：本题主要考查了三角形的外接圆和外心，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，等弧定义，确定圆的条件等知识点，能根据所学的知识进行判断是解此题的关键．10.已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB=CD，那么与的关系是（）A. B. C. D.不能确定【答案】D【解析】根据在同圆和等圆中相等的弦所对的弧相等分析，从而得到答案．解：在同圆和等圆中相等的弦所对的弧才会相等，要注意同圆和的条件，本题是两个不同的圆，所以无法判断两弦所对的弧的大小，故选D．点评：本题考查了在同圆和等圆中相等的弦所对的弧相等的理解及运用．。

人教版九年级上知识点试题精选--圆心角、弧、弦的关系

圆心角、弧、弦的关系一．选择题（共20小题）1．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=52°，则α的度数是（）A．51.5°B．60°C．72°D．76°2．在半径为1cm的⊙O中，弦长为cm的弦所对的圆心角度数为（）A．60゜B．90゜C．120゜D．45゜3．已知AB，CD是⊙O的两条弦且都不是直径，如果AB=CD，那么下列结论中不一定成立的是（）A．∠AOB=∠COD B．C．∠ABC=∠ADB D．O到两条弦的距离相等4．下列命题中正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．相等的弦所对的弧相等C．垂直于弦的直径必平分弦D．平分弦的直径必垂直于弦5．如图，已知在⊙O中，AB=CD=EF=HG，BC=DE=FG=AH，则∠AHG的度数是（）A．120°B．125°C．130° D．135°6．下列说法：①直径不是弦；②相等的弦所对的弧相等；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④在同圆或等圆中，较长的弧所对的弦也较长．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图：AB是所对的弦，AB的中垂线CD分别交于C，交AB于D，AD的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，交AB于H，下列结论中不正确的是（）A．=B．=C．=D．EF=GH8．在☉O中=2，则弦AB与弦CD的大小关系是（）A．AB＞2CD B．AB=2CD C．AB＜2CD D．AB=CD9．在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A．相等弦所对的弧相等B．相等弦所对的圆心角相等C．相等圆心角所对的弧相等D．相等圆心角所对的弦相等10．下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．A．3个 B．2个 C．1个 D．以上都不对11．如图所示，∠AOB=2∠COD，则下列结论成立的是（）A．＞2B．=2C．＜2D．不能确定与2的大小关系12．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是（）A．∠AOB＞2∠AOMB．∠AOB=2∠AOMC．∠AOB＜2∠AOMD．∠AOB与2∠AOM的大小不能确定13．半径为9cm的圆中有一段长度为6πcm的圆弧，则这段圆弧所对的圆心角的度数为（）A．60°B．120°C．240° D．60°或120°14．如图，弧BE是⊙D的圆周，点C在弧BE上运动（不与B重合），则∠C 的取值范围是（）A．0°≤∠C≤45°B．0°＜∠C≤45°C．45°＜∠C＜90°D．45°≤∠C＜90°15．如图，AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是的中点，则∠DAC的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．70°16．圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（）A．60 B．80 C．100 D．12017．下列命题正确的是（）A．相等的圆周角对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．三点确定一个圆 D．平分弦的直径垂直于弦18．如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．4cm19．P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知、的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（）A．26°B．28°C．30°D．32°20．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC．那么与的数量关系是（）A．=B．＞C．＜D．无法确定二．填空题（共20小题）21．一条弦把圆分成2：1的两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为．22．圆的一条弦分圆为4：5两部分，其中优弧的度数为°．23．一条弦把圆分成3：7两部分，则这条弦所对的圆心角的度数为．24．在同圆中，如果=2，那么弦AB、CD的关系为AB2CD．25．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于度．26．如图，AB是⊙O的直径，弧BC、弧CD与弧DE相等，∠COD=40°，则∠AOE=．27．如图，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=48°，则α的度数是．28．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=56°，则α的度数是．29．⊙O的半径是2cm，弦AB=2cm，则∠AOB=．30．已知△ABC内接于⊙O，AE平分∠BAC交BC于E，的度数为100°，的度数为140°，则∠AEC的度数为．31．如图，在扇形AOB中，∠AOB=60°，AO=6，点D为的中点，C为半径OA 上一动点（点A除外），沿CD对折后点A恰好落在扇形AOB的边线OB或OA上，AC的长可以是．32．下列四种说法：①等弧所对的圆心角相等；②两个圆心角相等，它们所对的弧也相等；③两条弦相等，它们所对的圆心角相等；④在等圆中，圆心角相等，它们所对的弦也相等，其中正确的有（填所有正确答案的序号）33．若一个圆的半径是6cm，则90度的圆心角所对的弦的长度为．34．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=35°，点C为圆心、CA为半径的圆交AB于D点，则弧AD为度．35．如图，PB交⊙O于点A，B，PD交⊙O于点C，D，已知弧DQ=42°，弧BQ=38°，则∠P+∠Q的度数为．36．如图，等腰△ABC的顶角∠A=40°，以AB为直径的半圆与BC、AC分别交于D、E两点，则∠EBC=，的度数为．37．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，的度数是72°，∠BCD=68°，则∠AED的度数为．38．如图所示，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P 为弧AD上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是．39．如图所示，在⊙O中，=，∠B=70°，则的度数=．40．在半径为3的圆中，长度等于3的弦所对的圆心角是度．三．解答题（共10小题）41．如图，在☉O中，AB是直径，C、D是圆上两点，使得AD=BC．求证：AC=BD．42．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，且=．（1）求证：AC∥OD．（2）若∠AOD=110°，求的度数．43．已知⊙O的半径为12cm，弦AB将圆分成的两段弧所对的圆心角度数之比为1：5，求∠AOB的角度及弦AB的长．44．如图，AB是⊙O的直径，CD的是⊙O中非直径的任意一条弦，试比较AB 与CD的大小，并说明理由．45．如图，AD、BE、CF是⊙O的直径，且∠AOF=∠BOC=∠DOE．求证：AB=CD=EF．46．如图，已知P是⊙O外任意一点，过点P作直线PAB，PCD，分别交⊙O于点A，B，C，D．求证：∠P=（的度数﹣的度数）．47．如图，AB是⊙O的直径，AC，CD，DE，EF，FB都是⊙O的弦，且AC=CD=DE=EF=FB，求∠AOC与∠COF的度数．48．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=135°，以A为圆心，AB为半径作⊙A交AD，BC于E，F两点，并交BA延长线于G．求弧BF的度数．49．已知：如图，AE，DB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，∠AOB=60°，且F是的中点．求证：AB=BF．50．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC=20°，=，求：∠BCD的度数．圆心角、弧、弦的关系参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=52°，则α的度数是（）A．51.5°B．60°C．72°D．76°【分析】要求α的度数，只需求出∠AOB的度数，根据已知条件，易证∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，所以可以求出α的度数．【解答】解：连接OD．∵∠BAO=∠CBO=α，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，∵∠AOE=52°，∴∠AOB=（360°﹣52°）÷4=77°，∴α=（180°﹣77°）÷2=51.5°．故选A．【点评】本题考查了与圆有关的性质，在圆中，半径处处相等，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，证明题目时要注意应用．2．在半径为1cm的⊙O中，弦长为cm的弦所对的圆心角度数为（）A．60゜B．90゜C．120゜D．45゜【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理可证明△AOB为直角三角形，进而得到圆心角度数为90°．【解答】解：由题意得：AO=BO=1cm，AB=cm，∵12+12=（）2，∴∠AOB=90°，故选：B．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握勾股定理．3．已知AB，CD是⊙O的两条弦且都不是直径，如果AB=CD，那么下列结论中不一定成立的是（）A．∠AOB=∠COD B．C．∠ABC=∠ADB D．O到两条弦的距离相等【分析】根据圆的圆心角、弧、弦间的关系进行分析、判断并作出选择．【解答】解：A、∵AB=CD，∴=，∴∠AOB=∠COD（等弧所对的圆心角相等）；故本选项正确；B、∵AB=CD，∴=（在同圆中，等弦所对的弧相等）；故本选项正确；C、当≠时，∠ACB≠∠ADB，∴∠ACB=∠ADB这一结论不一定成立；故本选项错误；D、∵AO=CO，BO=DO，AB=CD，∴△AOB≌△COD，∴OE=OF（全等三角形的对应高相等）；故本选项正确；故选C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦间的关系．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．4．下列命题中正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．相等的弦所对的弧相等C．垂直于弦的直径必平分弦D．平分弦的直径必垂直于弦【分析】根据在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，相等的弦所对应的弧相等判断A，B．根据垂径定理及其推论判断C，D．【解答】解：长度相等的弧其弧度不一定相等，所以不等称等弧，A错；在同圆中，一条弦对劣弧和优弧，所以相等的弦所对的弧不一定相等，B错．由垂径定理得C对；任意两直径互相平分但不一定垂直，所以D错．故选C．【点评】理解等弧的定义．熟练掌握垂径定理及其推论．5．如图，已知在⊙O中，AB=CD=EF=HG，BC=DE=FG=AH，则∠AHG的度数是（）A．120°B．125°C．130° D．135°【分析】连结OA、OG、AD、GD，如图，根据圆心角、弧、弦的关系得到===，===，则+=+=+=+，所以∠AOG=90°，然后根据圆周角定理计算出∠ADG=45°，再利用圆内接四边形的性质求∠AHG．【解答】解：连结OA、OG、AD、GD，如图，∵AB=CD=EF=HG，BC=DE=FG=AH，∴===，===，∴+=+=+=+，即+为圆周的，∴∠AOG=360°×=90°，∴∠ADG=∠AOG=45°，∴∠AHG=180°﹣∠ADG=180°﹣45°=135°．故选D．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆周角定理．6．下列说法：①直径不是弦；②相等的弦所对的弧相等；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④在同圆或等圆中，较长的弧所对的弦也较长．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据直径的定义判断①；根据圆心角、弧、弦的关系判断②；根据圆的对称性判断③；根据圆心角、弧、弦的关系判断④．【解答】解：①直径是弦，并且是圆中最长的弦，故说法错误；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故说法错误；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，故说法正确；④在同圆或等圆中，较长的弧所对的弦也较长，故说法错误．故选A．【点评】本题考查的是圆的有关定义及性质，圆心角、弧、弦的关系，解题时一定要注意是在同圆或等圆中此类定理才成立，不要滥用．7．如图：AB是所对的弦，AB的中垂线CD分别交于C，交AB于D，AD的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，交AB于H，下列结论中不正确的是（）A．=B．=C．=D．EF=GH【分析】由AB是所对的弦，AB的中垂线CD分别交于C，交AB于D，AD 的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，根据垂径定理与弦与弧的关系，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：连接EG，AE，∵AB的中垂线CD分别交于C，∴=，故A正确；∵AD的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，∴=，故B正确；∴四边形EFHG是矩形，∴EF=GH，故D正确．∵AE＞AF=DF，∴AE＞EC，∴＞，故C错误．故选C．【点评】此题考查了弦与弧的关系以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．8．在☉O中=2，则弦AB与弦CD的大小关系是（）A．AB＞2CD B．AB=2CD C．AB＜2CD D．AB=CD【分析】根据两弧的关系，作出的中点E，则AE=BE=CD，根据三角形两边之和大于第三边就可以得到结论．【解答】解：AB＜2CD．取的中点E，连接EA、EB，则==，所以EA=EB=CD，在△ABE中，AE+BE＞AB，即2CD＞AB，则AB＜2CD，∴CD＜AB＜2CD，故选C．【点评】本题主要考查了：在同圆或等圆中圆心角相等，弧相等，弦相等，弦心距相等，在这几组相等关系中，只要有一组成立，则另外几组一定成立．9．在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A．相等弦所对的弧相等B．相等弦所对的圆心角相等C．相等圆心角所对的弧相等D．相等圆心角所对的弦相等【分析】利用在同圆和等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，判断出B、C、D三选项都正确；而同圆或等圆中，同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，所以可判断出A选项错误．【解答】解：A、相等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误；B、相等弦所对的圆心角相等，故本选项正确；C、相等圆心角所对的弧相等，故本选项正确；D、相等圆心角所对的弦相等，故本选项正确．故选A．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．10．下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．A．3个 B．2个 C．1个 D．以上都不对【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对①进行判断；根据垂径定理对②进行判断；根据圆的对称性对③进行判断；根据等弧的定义对④进行判断．【解答】解：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以①的说法错误；平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②的说法错误；圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，所以③的说法正确；能完全重合的两条弧是等弧，所以④的说法错误．故选A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．11．如图所示，∠AOB=2∠COD，则下列结论成立的是（）A．＞2B．=2C．＜2D．不能确定与2的大小关系【分析】根据圆心角与弦的关系可直接求解．【解答】解：∵∠AOB=2∠COD，∴=2．故选B．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．12．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是（）A．∠AOB＞2∠AOMB．∠AOB=2∠AOMC．∠AOB＜2∠AOMD．∠AOB与2∠AOM的大小不能确定【分析】根据题意先画出图形，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得出正确的结论．【解答】解：根据题意如图：∵在⊙O中，M为的中点，∴=，∴∠AOM=∠MOB，∴∠AOB=2∠AOM；故选B．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是本题的关键．13．半径为9cm的圆中有一段长度为6πcm的圆弧，则这段圆弧所对的圆心角的度数为（）A．60°B．120°C．240° D．60°或120°【分析】根据弧长的计算公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），代入即可求出圆心角的度数．【解答】解：由题意得，6π=，解得：n=120．故选B．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义．14．如图，弧BE是⊙D的圆周，点C在弧BE上运动（不与B重合），则∠C 的取值范围是（）A．0°≤∠C≤45°B．0°＜∠C≤45°C．45°＜∠C＜90°D．45°≤∠C＜90°【分析】由于是⊙D的圆周，则可计算出∠BDE=90°，再根据等腰三角形的性质由DB=DC，则∠B=∠BCD，于是根据三角形内角和定理得到∠BCD=90°﹣∠BDC，然后根据0≤∠BDC≤90°求∠BCD的取值范围．【解答】解：∵是⊙D的圆周，∴∠BDE=×360°=90°，∵DB=DC，∴∠B=∠C，∴∠C=（180°﹣∠BDC）=90°﹣∠BDC，∵0≤∠BDC≤90°，∴45°≤∠C≤90°，故选D．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．15．如图，AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是的中点，则∠DAC的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．70°【分析】首先连接BC，由AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠C=90°，继而求得∠ABC的度数，然后由D是的中点，根据弧与圆周角的关系，即可求得答案．【解答】解：连接BC，∵AB是半圆的直径，∴∠C=90°，∵∠BAC=20°，∴∠B=90°﹣∠BAC=70°，∵D是的中点，∴∠DAC=∠ABC=35°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．16．圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（）A．60 B．80 C．100 D．120【分析】根据圆内接四边形的对角互补和四边形的内角和为360度进行分析求解．【解答】解：∵内接四边形的对角互补，∴∠A：∠B：∠C：∠D=3：4：6：5设∠A的度数为3x，则∠B，∠C，∠D的度数分别为4x，6x，5x∴3x+4x+6x+5x=360°∴x=20°∴∠D=100°故选C．【点评】本题考查圆内接四边形的对角互补和四边形的内角和为360°的理解及运用．17．下列命题正确的是（）A．相等的圆周角对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．三点确定一个圆 D．平分弦的直径垂直于弦【分析】等弧只有在同圆或等圆中才能出现，因此，等弧所对的弦相等是正确的．【解答】解：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故A错误；等弧只有在同圆或等圆中才能出现，因此，等弧所对的弦相等是正确的，故B 正确；不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故C错误；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故D错误．故选B．【点评】题目考查了圆心角、弧、弦、基本定义等知识，通过知识的考查，学生可以将定义或相关定理理解得更加准确，是不错的题目．18．如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．4cm【分析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB=∠OAC，即证△AOF≌△OED，所以OE=AF=3cm，根据勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD的长．【解答】解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD=∠BAD，∴=，∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，在△AOF和△ODE中，，∴△AOF≌△ODE，∴OE=AF=AC=3，在Rt△DOE中，DE==4，在Rt△ADE中，AD==4，故选：A．【点评】本题考查了翻折变换及圆的有关计算，涉及圆的题目作弦的弦心距是常见的辅助线之一，注意熟练运用垂径定理、圆周角定理和勾股定理．19．P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知、的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（）A．26°B．28°C．30°D．32°【分析】先由圆周角定理求出∠A与∠ADB的度数，然后根据三角形外角的性质即可求出∠P的度数即可．【解答】解：∵和所对的圆心角分别为88°和32°，∴∠A=×32°=16°，∠ADB=×88°=44°，∵∠P+∠A=∠ADB，∴∠P=∠ADB﹣∠P=44°﹣16°=28°．故选B．【点评】此题考查的是圆心角、弧、弦的关系及三角形外角的性质，解题的关键是：熟记并能灵活应用圆周角定理及三角形外角的性质解题．20．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC．那么与的数量关系是（）A．=B．＞C．＜D．无法确定【分析】根据平行线的性质得∠DAC=∠ACB，根据圆周角定理得=．【解答】证明：连接AC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴=．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．二．填空题（共20小题）21．一条弦把圆分成2：1的两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为120°．【分析】根据圆一周上弧的度数为360°，设出弦AB分圆的两部分长，列出方程，求出x值，再由圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到x的值即为要求的劣弧所对圆心角的度数．【解答】解：设弦AB分圆的两部分别为x，2x，∴x+2x=360°，解得：x=120°，则劣弧所对圆心角为120°．故答案为：120°【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，设出适当的未知数，列出方程是解本题的关键．22．圆的一条弦分圆为4：5两部分，其中优弧的度数为200°．【分析】根据在同圆或等圆中，一条弧所对圆心角的度数与这条弧的度数相等解答．【解答】解：∵圆的一条弦分圆为4：5两部分，∴优弧所对圆心角的度数=×360°=200°，∴优弧的度数为200°．故答案为：200°．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即一条弧所对圆心角的度数与这条弧的度数相等．23．一条弦把圆分成3：7两部分，则这条弦所对的圆心角的度数为108°．【分析】先根据弦把圆分成3：7的两部分求出所对圆心角的度数即可求解．【解答】解：∵弦AB把⊙O分成3：7的两部分，∴所对圆心角的度数=360°×=108°．故答案为：108°．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．24．在同圆中，如果=2，那么弦AB、CD的关系为AB＜2CD．【分析】根据题意画出图形，利用弧、弦的关系得出==，AE=BE=CD，再由三角形的三边关系即可求解．【解答】解：如图所示，=2，==，∵==，∴AE=BE=CD，在△ABE中，AE+BE＞AB，∴AB＜2CD．故答案为：＜．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及三角形的三边关系，能根据题意画出图形是解答此题的关键．25．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于40度．【分析】由于点C是弧AB的中点，根据等弧对等角可知：∠BOC是∠BOA的一半；在等腰△AOB中，根据三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数，由此得解．【解答】解：△OAB中，OA=OB，∴∠BOA=180°﹣2∠A=80°；∵点C是弧AB的中点，即=，∴∠BOC=∠BOA=40°．故答案为：40．【点评】此题主要考查了圆心角、弧的关系：在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等．26．如图，AB是⊙O的直径，弧BC、弧CD与弧DE相等，∠COD=40°，则∠AOE= 60°．【分析】由在同圆中等弧对的圆心角相等得，∠BOC=∠COD=∠EOD=40°从而根据平角的定义求得∠AOE的度数．【解答】解：∵，∠COD=40°，∴∠BOC=∠COD=∠EOD=40°，∴∠AOE=180°﹣∠BOE=60°．故答案为60°．【点评】本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．27．如图，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=48°，则α的度数是51°．【分析】要求α的度数，只需求出∠AOB的度数，根据已知条件，易证∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，所以可以求出α的度数．【解答】解：连接OD，∵∠BAO=∠CBO=α，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，∵∠AOE=48°，∴∠AOB==78°，∴α==51°．故答案为：51°．【点评】本题考查了与圆有关的性质，在圆中，半径处处相等，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，证明题目时要注意应用．28．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=56°，则α的度数是52°．【分析】要求α的度数，只需求出∠AOB的度数，根据已知条件，易证∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，所以可以求出α的度数．【解答】解：连接OC、OD，∵∠BAO=∠CBO=α，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，∵∠AOE=56°，∴∠AOB==76°，∴α==52°．故答案为：52°．【点评】本题考查了与圆有关的性质，在圆中，半径处处相等，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，证明题目时要注意应用．29．⊙O的半径是2cm，弦AB=2cm，则∠AOB=90°．【分析】作OC⊥AB于C，利用垂径定理得到直角三角形，解此直角三角形求得圆的半径即可．【解答】解：作OC⊥AB于C，如图所示，则AC=AB=cm，∴OC==，∴AC=OC，∴∠AOC=45°，∴∠AOB=2∠AOC=90°；故答案为：90°．【点评】本题考查的是垂径定理及解直角三角形的知识，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形．30．已知△ABC内接于⊙O，AE平分∠BAC交BC于E，的度数为100°，的度数为140°，则∠AEC的度数为100°．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得出∠B=70°，∠C=50°，然后根据三角形内角和定理得出∠BAC=60°，进而求得∠BAE=30°，根据三角形外角的性质即可求得∠AEC的度数．【解答】解；∵的度数为100°，的度数为140°，∴∠B=70°，∠C=50°，∴∠BAC=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=30°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=100°．故答案为100°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，根据圆心角、弧、弦的关系求得∠B，∠C的度数是解题的关键．31．如图，在扇形AOB中，∠AOB=60°，AO=6，点D为的中点，C为半径OA 上一动点（点A除外），沿CD对折后点A恰好落在扇形AOB的边线OB或OA上，AC的长可以是6﹣3或6或9﹣3．【分析】根据点A′落在半径OA上．可以画出相应的图形，可知点A与点A′关于点CD对称，从而可以得到DA′=DA，由点C为弧AB的中点，∠AOB=60°，OD=OA=6，可以求得OC的长，从而可以求得AC的长；根据点A′落在半径OB上，画出相应的图形，由C为半径OB上一动点（点A除外），设点A关于直线CD的对称点为A′，可知DB=DA′=DA，由点D为弧AB的中点，∠AOB=60°，OD=OA=6，可以求得DF和AF的长，从而可以求得BA′的长，进而得到A′C的长；根据题意A′C的长与AC的长相等，可以求得AC的长．【解答】解：①当点E落在半径OA上时，连接OD，如图1所示，∵∠ACD=90°，∠AOB=60°，点D为弧AB的中点，点A（2，0），∴∠COD=30°，OA=OD=6，∴OC=OD•cos30°=6×=3，∴AC=OA﹣OC=6﹣3；②如图2，沿CD对折后点A恰好落在边线OB上，且A′和B重合时，则C和O重合，此时，AC=OA=6；③沿CD对折后点A恰好落在边线OB上，且A′和B不重合时，如图3；连接OD、BD、AD，作DF⊥OA于F，∵∠AFD=90°，∠AOB=60°，点D为弧AB的中点，∴∠AOD=∠BOD=30°，∠OAD=∠OBD，∵OA=OD=6，∴DF=OD•sin30°=6×=3，∠OAD=75°，∴OF=OD•cos30°=6×=3，∴AF=OA﹣OD=6﹣3，∵DA′=DA=DB，∠OAD=∠OBD=75°，∴BA′=2AF=12﹣6，∠DA′B=∠OBD=75°，∴OA′=OB﹣BA′=6﹣（12﹣6）=6﹣6，∵∠CA′D=∠CAD=75°，∴∠BA′C=150°，∴∠OA′C=30°，∴∠A′CO=90°，∴CA′=OA′•sin60°=（6﹣6）×=9﹣3，∴AC=CA′=9﹣3．故答案为：6﹣3或6或9﹣3．【点评】本题考查圆的综合题、特殊角的三角函数值，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．32．下列四种说法：①等弧所对的圆心角相等；②两个圆心角相等，它们所对的弧也相等；③两条弦相等，它们所对的圆心角相等；④在等圆中，圆心角相等，它们所对的弦也相等，其中正确的有①④（填所有正确答案的序号）【分析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，即可判定④正确；②③少了条件在同圆或等圆中，故错误；而等弧，即是在同圆或等圆中的条件下判定的，所以①正确．【解答】解：①等弧所对的圆心角相等，故正确；②两个圆心角相等，它们所对的弧也相等，故错误；③两条弦相等，它们所对的圆心角相等，故错误；④在等圆中，圆心角相等，它们所对的弦也相等，故正确；故答案为①④．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系．此题比较简单，注意掌握定理的条件（在同圆或等圆中）是解此题的关键．33．若一个圆的半径是6cm，则90度的圆心角所对的弦的长度为6cm．【分析】根据题意得到等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵圆心角为90°，∴所得三角形是等腰直角三角形，又半径为6cm，∴弧所对的弦长6cm．故答案为：6cm．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质、灵活运用勾股定理是解题的关键．34．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=35°，点C为圆心、CA为半径的圆交AB于D点，则弧AD为70度．。

完整版)圆心角圆周角练习题

完整版)圆心角圆周角练习题知识点三：弧、弦、圆心角与圆周角1.定义圆心角为顶点在圆心的角。

2.在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的关系：两个圆心角相等，圆心角所对的弧相等（无论是优弧还是劣弧），圆心角所对的弦相等。

3.一个角是圆周角必须满足两个条件：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆有除顶点外的交点。

4.同一条弧所对的圆周角有两个。

5.圆周角定理：圆周角等于圆心角的一半。

6.圆周角定理的推论：（1）同弦或等弦所对的圆周角相等；（2）半圆或直径所对的圆周角相等；（3）90°的圆周角所对的弦是直径。

需要注意的是，“同弦或等弦”改为“同弧或等弧”结论就不一定成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类，它们是相等或互补关系。

7.圆内接四边形定义为所有顶点都在圆上的多边形，圆心即为这个圆内接四边形的交点。

圆内接四边形的对角线相互垂直，且交点为对角线的中点。

夯实基础1.如果两个圆心角相等，则它们所对的弧相等，选项B正确。

2.不正确的语句为③，因为圆不一定是轴对称图形，只有圆上的任何一条直径所在直线才是它的对称轴。

3.错误的说法是D，相等圆心角所对的弦不一定相等。

4.根据圆心角的性质，∠A=2∠B，所以∠A=140°。

5.∠BAC与∠BCD互补，∠BCD与∠CBD相等，所以与∠BAC相等的角有2个，即∠CBD和∠ABD。

6.因为∠CAB为30°，所以∠ABC为60°，由正弦定理可得BC=5√3.7.根据圆周角定理，∠ACB=40°。

8.设∠A=3x，∠B=4x，∠C=6x，则∠D=360°-3x-4x-6x=120°。

9.∠DCE=∠A。

1、如图，AB是⊙O的直径，C，D是BE上的三等分点，∠AOE=60°，求证∠COE=80°。

证明：由三等分点的性质可知，BC=CD=DE，又∠AOE=60°，所以∠AOC=120°。

专题27 弧弦圆心角的关系-中考数学二轮复习之难点突破+热点解题方法

专题27 弧弦圆心角的关系一、单选题1．下列命题中是真命题的是（）A．1的平方根是1B．等弦所对的圆周角相等C．等腰三角形的高、角平分线、中线重合D．两条直线被第三条直线所截，内错角不一定相等【答案】D【分析】由平方根的含义判断,A由圆的弧，弦，圆心角，圆周角的关系判断,B由等腰三角形的性质判断,C由内错角的含义判断,D从而可得答案．【详解】解：1的平方根是，故A不符合题意；等弦所对的圆周角不一定相等，故B不符合题意；等腰三角形的底边上的高、顶角的角平分线、底边上的中线互相重合，故C不符合题意；两条直线被第三条直线所截，内错角不一定相等，真命题，故D符合题意；故选：.D【点睛】本题考查的是真假命题的判断，同时考查了内错角的含义，平方根的含义，等腰三角形的性质，弧，弦，圆心角，圆周角的关系，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．2．如图，AB是⊙O的直径，C、D是ACB上的三等分点，则⊙A+⊙D＝（）A．120°B．95°C．105°D．150°【答案】A【分析】根据圆周角定理和圆心角、弦、弧的关系求得⊙ACB＝90°，⊙BOD＝60°，⊙A＝60°，再根据OB=OD证得⊙BOD为等边三角形，则有⊙D=60°，即可求解．【详解】解：⊙C、D是ACB上的三等分点，⊙AC CD BD==，⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB＝90°，⊙BOD＝60°，⊙A＝60°，⊙OB＝OD，⊙⊙OBD为等边三角形，⊙⊙D＝60°，⊙⊙A+⊙D＝120°，故选：A．【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角、弦、弧的关系，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键．3．如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（）A．这两条弦所对的圆心角相等B．这两条弦所对的弧相等C．这两条弦都被与它垂直的半径平分D．这两条弦所对的弦心距相等【答案】C【分析】在同圆或等圆中，两条相等的弦所对的圆心角相等，弧相等，据此解答．【详解】解：A. 在同圆或等圆中，两条相等的弦所对的圆心角相等，故A 错误；B. 在同圆或等圆中，两条相等的弦所对弧相等，故B 错误；C. 如果在两个圆中有两条相等的弦，这两条弦都被与它垂直的半径平分，故C 正确；D. 如果在两个圆中有两条相等的弦，这两条弦所对的弦心距不一定相等，故D 错误．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系及垂径定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4．如图，A B C D 、、、是O 上的点，180AOD BOC ∠+∠=︒．若2,6AD BC ==，则BOC ∆的面积为（）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】A【分析】作出辅助线延长BO 交O 于点E ，连接CE ，由此构建圆心角AOD COE ∠=∠，根据圆周角与弧长和弦长的关系得到2AD CE ==，再据此求出BEC △的面积，经由OB OE =即可求出BCE 的面积.【详解】解：如图延长BO 交O 于点E ，连接CE ，⊙B O E 、、三点共线⊙180COE BOC ∠+∠=︒，90BCE ∠=︒，⊙CE BC ⊥，⊙180AOD BOC ∠+∠=︒，⊙AOD COE ∠=∠，⊙AD CE =，⊙2AD CE ==,⊙6BC =， ⊙1162622S BC CE ==⨯⨯=△BCE ， ⊙OB OE =， ⊙116322S S ==⨯=△BOC △BEC . 故选A.【点睛】本题主要考查圆心角所对弧、弦的关系，圆周角定理，关键在于作出OB 的延长线OE ，来构造出圆心角相等，以此来解决问题.5．如图，AB 是O 的直径，,C D 是ACB 上的三等分点，且1sin 2ABC ∠=，则A D ∠+∠等于（）A ．120°B ．95°C ．105°D ．150°【答案】A【分析】由圆心角、弦、弧的关系及圆周角定理可得⊙ACB=90°，⊙BOD=60°，⊙A=60°，通过证明⊙OBD 为等边三角形，即可求⊙D=60°，进而可求解；【详解】⊙ C 、D 是ACB 上的三等分点，⊙ AC CD BD == ，⊙ AB 是圆的直径，⊙ ⊙ACB=90°，⊙BOD=60°，⊙A=60°，⊙OB=OD ，⊙⊙OBD 为等边三角形，⊙⊙D=60°，⊙⊙A+⊙D=120°，故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆心角、弦、弧的关系，等边三角形的判定与性质，圆周角定理等知识点的综合运用； 6．如图，正五边形ABCDE 内接于O ，点P 为DE 上一点（点P 与点D ，点E 不重合），连接PC ，PD ，DG PC ⊥，垂足为G ，则PDG ∠等于（）A ．72°B ．54°C ．36°D ．64°【答案】B【分析】根据正五边形ABCDE 内接于O ，可得COD ∠，再根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系，可得CPD ∠，再根据三角形内角和定理即可得PDG ∠．【详解】解：⊙正五边形ABCDE 内接于O ， ⊙360725COD ︒∠==︒ ⊙CPD ∠与COD ∠所对的弧相同 ⊙1362CPD COD ∠=∠=︒⊙PDG ∠=180903654︒-︒-︒=︒故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆内接正多边形的性质及同弧所对的圆周角和圆心角的性质，解题的关键是求出CD 所对的圆心角．7．如图，AB 为⊙O 直径，CD 为弦，AB⊙CD 于E ，连接CO ，AD ，⊙BAD ＝25°，下列结论中正确的有（） ⊙CE ＝OE ；⊙⊙C ＝40°；⊙ACD ＝ADC ；⊙AD ＝2OEA ．⊙⊙B ．⊙⊙C ．⊙⊙⊙D ．⊙⊙⊙⊙【答案】B【分析】根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及直角三角形边的关系进行判断即可．【详解】解：⊙AB 为⊙O 直径，CD 为弦，AB⊙CD 于E ，⊙CE=DE ，BC BD =，ACB ADB =，⊙⊙BOC=2⊙A=40°，ACB BC ADB BC +=+，即ADC ADC =，故⊙正确；⊙⊙OEC=90°，⊙BOC=40°，⊙⊙C=50°，故⊙正确；⊙⊙C≠⊙BOC ，⊙CE≠OE ，故⊙错误；作OP⊙CD ，交AD 于P ，⊙AB⊙CD ，⊙AE ＜AD ，⊙AOP=90°，⊙OA ＜PA ，OE ＜PD ，⊙PA+PD ＞OA+OE⊙OE ＜OA ，⊙AD ＞2OE ，故⊙错误；故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握性质定理是解题的关键． 8．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是O 上一个动点（点P 不与点A ，B 重合），在点P 运动的过程中，有如下四个结论：⊙至少存在一点P ，使得PA AB >；⊙若2PB PA =，则2PB PA =；⊙PAB ∠不是直角；⊙2POB OPA ∠=∠．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A ．⊙⊙B ．⊙⊙C ．⊙⊙⊙D ．⊙⊙⊙【答案】B【分析】根据圆的直径的性质，直径是圆中最长的弦，直径所对的圆周角是90°，弧，弦，圆心角的关系，以及圆的半径相等，即可得出．【详解】⊙因为直径是圆中最长的弦,故⊙错误，⊙若2=则PB＜2PA ，故⊙错误，PB PA⊙ 因为直径所对的圆周角是90°，⊙APB=90°，所以⊙PAB不可能是90°，故⊙正确，⊙ 连接PA，PO，如图⊙⊙POB=⊙PAO+⊙APO又⊙PAO=⊙APO⊙⊙POB=2⊙OPA故⊙正确，故选：B．【点睛】本题考查了与圆有关的性质，圆的直径的性质，直径是圆中最长的弦，直径所对的圆周角是90°，弧，弦，圆心角的关系，以及圆的半径相等，解题的关键是掌握圆的有关的性质，直径，半径，圆周角，圆心角，弧，等知识是解题的关键．9．下列说法错误的是（）A．等弧所对的弦相等B．圆的内接平行四边形是矩形C．90︒的圆周角所对的弦是直径D．平分一条弦的直径也垂直于该弦【答案】D【分析】根据圆的性质逐项判断即可．【详解】A．等弧所对的弦相等，故A正确，不符合题意．B．根据圆的内接四边形对角互补和平行四边形邻角互补，即可知圆的内接平行四边形是矩形．故B正确，不符合题意．C．90︒的圆周角所对的弦是直径，故C正确，不符合题意．D．平分一条弦（非直径）的直径也垂直于该弦．故D错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及圆内接平行四边形的性质．熟练掌握这些知识是判断此题的关键．10．下列判断正确的个数有（）⊙平分弦的直径垂直于弦；⊙圆内接平行四边形是菱形；⊙一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；⊙如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【分析】根据垂径定理可对⊙进行判断；根据圆内接四边形的性质及矩形的判定定理可对⊙进行判断；根据圆周角定理可对⊙进行判断；根据弧、弦、圆心角的关系可对⊙进行判断；综上即可得答案．【详解】平分弦（非直径）的直径垂直于弦；故⊙错误；⊙四边形内接于圆，⊙四边形的对角互补，⊙四边形是平行四边形，⊙对角相等，⊙四边形的四个内角都是直角，⊙四边形是矩形，故⊙错误，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，故⊙正确，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周心相等，故⊙错误，综上所述：正确的判断为⊙，共1个，故选：A．【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质、矩形的判定及弧、弦、圆心角的关系，平分弦（非直径）的直径垂直于弦；并且平分弦所对的两条弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周心相等；熟练掌握相关定理及性质是解题关键．11．下列命题：⊙垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；⊙在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；⊙在同圆或等圆中如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；⊙圆内接四边形的对角互补．其中正确的命题共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【分析】根据垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、圆内接四边形的性质判断．【详解】解：⊙垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，本小题说法是真命题；⊙在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，本小题说法是真命题；⊙在同圆或等圆中如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，本小题说法是真命题；⊙圆内接四边形的对角互补，本小题说法是真命题；故选：A．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．12．下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等【答案】B【分析】根据弦、弧与圆心角的关系逐一判断即可.【详解】A、等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆，故此选项不符合题意；B、在同圆或等圆中，等弧所对应的弦相等，故此选项正确；C、同圆或等圆中，圆心角相等所对应的弦相等，故此选项不符合题意；D、同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角相等或互补，如果不等的圆，那么弦相等不一定能确定所对圆心角的大小，故此选项不符合题意；故选B【点睛】本题考查弦、弧与圆心角的关系，此类试题难度不大，关键是掌握弦和圆心角等一些基本知识，容易混淆. 13．如图，线段AB 是⊙的直径，弦CD⊙AB ，⊙CAB ＝20°，则⊙BOD 等于（）A ．30°B ．70°C ．40°D ．20°【答案】C【分析】由线段AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，根据垂径定理可得BC BD =，然后由圆周角定理，即可求得答案．【详解】解：连接OC ，线段AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，∴BC BD =，222040BOD BOC CAB ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理，掌握圆的基本性质定理是解题的关键．14．如图，AB 是半圆的直径，点D 是弧AC 的中点，⊙ABC ＝50°，则⊙BCD ＝（）A ．105°B ．110°C ．115°D ．120°【答案】C【分析】连接AC ，然后根据圆内接四边形的性质，可以得到⊙ADC 的度数，再根据点D 是弧AC 的中点，可以得到⊙DCA 的度数，直径所对的圆周角是90°，从而可以求得⊙BCD 的度数．【详解】解：连接AC ，⊙⊙ABC ＝50°，四边形ABCD 是圆内接四边形，⊙⊙ADC ＝130°，⊙点D 是弧AC 的中点，⊙CD ＝AC ，⊙⊙DCA ＝⊙DAC ＝25°，⊙AB 是直径，⊙⊙BCA ＝90°，⊙⊙BCD ＝⊙BCA+⊙DCA ＝115°，故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15．如图，BD 是O 的直径，点A ，C 在O 上，AB AD =，AC 交BD 于点G ．若126COD ∠=︒．则AGB ∠的度数为（）A ．99︒B ．108︒C ．110︒D ．117︒ 【答案】B【分析】先根据圆周角定理得到⊙BAD 90=︒，再根据等弧所对的弦相等，得到AB AD =，⊙ABD 45=︒，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到⊙CAD=63︒，⊙BAG=27︒，即可求解．【详解】解：⊙BD 是O 的直径⊙⊙BAD 90=︒⊙AB AD =⊙AB AD =⊙⊙ABD 45=︒⊙126COD ∠=︒ ⊙⊙1CAD 632COD =∠=︒ ⊙⊙BAG 906327=︒-︒=︒⊙⊙AGB 1802745108=︒-︒-︒=︒故选：B ．【点睛】此题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题关键．16．如图，O 中，AB AC =，70ABC ∠=︒．则BOC ∠的度数为（）A．100°B．90°C．80°D．70°【答案】C【分析】首先根据弧、弦、圆心角的关系得到AB=AC，再根据等腰三角形的性质可得⊙A的度数，然后根据圆周角定理可得⊙BOC=2⊙A，进而可得答案．【详解】解：⊙AB AC，⊙AB=AC，⊙⊙ABC=⊙ACB=70°，⊙⊙A=180°-70°×2=40°，⊙圆O是⊙ABC的外接圆，⊙⊙BOC=2⊙A=40°×2=80°，故选C．【点睛】此题主要考查了弧、弦、圆心角的关系、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，由圆周角定理得出结果是解决问题的关键．17．下列命题中真命题是（）A．平分弦的半径垂直于弦B．垂直平分弦的直线必经过圆心C．相等的圆心角所对的弦相等D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线【答案】B【分析】根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，切线的判定定理判断即可．【详解】A.平分弦（不是直径）的半径垂直于弦，本选项说法是假命题；B.垂直平分弦的直线必经过圆心，本选项说法是真命题；C.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，本选项说法是假命题；D.经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，本选项说法是假命题；故选：B．【点睛】本题主要考查了圆中相关命题正误的判断，熟练掌握垂径定理，圆心角、弦、弧的关系定理，切线的判定定理等知识是解决本题的关键．18．下列命题：⊙长度相等的弧是等弧；⊙任意三点确定一个圆；⊙相等的圆心角所对的弦相等；⊙平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；其中真命题共有( )A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【分析】由等弧的概念判断⊙，根据不在一条直线上的三点确定一个圆，可判断⊙；根据圆心角、弧、弦的关系判断⊙，根据垂径定理判断⊙.【详解】⊙同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，故⊙是假命题；⊙不在一条直线上的三点确定一个圆,若三点共线，则不能确定圆，故⊙是假命题；⊙同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故⊙是假命题；⊙圆两条直径互相平分，但不垂直，故⊙是假命题；所以真命题共有0个，故选A.【点睛】本题考查圆中的相关概念，熟记基本概念才能准确判断命题真假.19．在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是（）A．这两条弦所对的弦心距相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦所对的弧相等D．这两条弦都被垂直于弦的半径平分【答案】D【分析】在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，但在不同圆中则应另当别论．【详解】A. 这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，故本选项错误；B. 这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，故本选项错误；C. 这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，故本选项错误；D. 这两条弦都被垂直于弦的半径平分(垂径定理)，原说法正确，故本选项正确；故选D.【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，解题关键在于掌握其性质定理 .20．已知⊙O的半径为5，弦AB=6⊙P是AB上任意一点，点C是劣弧AB的中点，若⊙POC为直角三角形，则PB的长度（）A．1B．5C．1或5D．2或4【答案】C【分析】由点C是劣弧AB的中点，得到OC垂直平分AB，求得DA=DB=3，根据勾股定理得到OD==1，若⊙POC 为直角三角形，只能是⊙OPC=90°，则根据相似三角形的性质得到PD=2，于是得到结论．【详解】⊙点C是劣弧AB的中点，⊙OC垂直平分AB⊙⊙DA=DB=3⊙4=⊙若⊙POC为直角三角形，只能是⊙OPC=90°⊙则⊙POD⊙⊙CPD⊙⊙PD CD OD PD=⊙⊙PD2=4×1=4⊙⊙PD=2⊙⊙PB=3⊙2=1⊙根据对称性得，当P在OC的左侧时，PB=3+2=5⊙⊙PB的长度为1或5.故选C⊙【点睛】考查了圆周角，弧，弦的关系，勾股定理，垂径定理，正确左侧图形是解题的关键．21．如图，AB是⊙O的弦，OA⊙OC是⊙O的半径，AC BC⊙⊙BAO=37°，则⊙AOC的度数是（）度.A．74B．106C．117D．127【答案】D【分析】连接OB，进而得出⊙AOB的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得⊙AOC 的度数．【详解】连接OB⊙⊙OA=OB⊙⊙BAO=37°⊙⊙⊙AOB=180°-2×37°=106°⊙⊙=AC BC⊙⊙⊙AOC=⊙BOC=3601062︒-︒⊙127°⊙故选D⊙【点睛】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．22．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊙AB⊙ON⊙CD，垂足分别为点M⊙N⊙BA⊙DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：⊙AB CD=⊙⊙OM=ON⊙⊙P A=PC⊙⊙⊙BPO=⊙DPO，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】如图连接OB⊙OD⊙⊙AB=CD⊙⊙AB=CD，故⊙正确⊙OM⊙AB⊙ON⊙CD⊙⊙AM=MB⊙CN=ND⊙⊙BM=DN⊙⊙OB=OD⊙⊙Rt⊙OMB⊙Rt⊙OND⊙⊙OM=ON，故⊙正确，⊙OP=OP⊙⊙Rt⊙OPM⊙Rt⊙OPN⊙⊙PM=PN⊙⊙OPB=⊙OPD，故⊙正确，⊙AM=CN⊙⊙PA=PC，故⊙正确，故选D⊙23．下列说法中，结论错误的是（⊙A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧【答案】B【分析】利用圆的有关定义进行判断后利用排除法即可得到正确的答案；【详解】A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，故选B．【点睛】本题考查了圆的认识，了解圆中有关的定义及性质是解答本题的关键．二、填空题24．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，点P是GH上的任意一点，则⊙CPE的度数为____．【答案】45︒．【分析】连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角⊙COE，根据圆心角与圆周角的关系定理计算即可．【详解】连接OD,OC,OE,⊙八边形ABCDEFGH是正八边形,⊙⊙COD=⊙DOE=3608︒=45°,⊙⊙COE=45°+45°=90°,⊙⊙CPE=12⊙COE=45°.⊙⊙⊙⊙⊙45°⊙【点睛】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键．25．如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是⊙AOB、⊙COD，若⊙AOB与⊙COD互补，弦CD＝4，则弦AB的长为_____．【答案】【分析】作直径AE ，连接BE ，如图，利用等角的补角相等得到⊙BOE ＝⊙COD ，则根据圆心角、弧、弦的关系得到BE ＝CD ＝4，接着利用圆周角定理得到⊙ABE ＝90°，然后利用勾股定理计算AB 的长．【详解】解：作直径AE ，连接BE ，如图，⊙⊙AOB ＋⊙COD ＝180°，⊙AOB ＋⊙BOE ＝180°，⊙⊙BOE ＝⊙COD ，⊙BE ＝CD ＝4，⊙AE 为直径，⊙⊙ABE ＝90°，在Rt⊙ABE 中，AB =故答案为：【点睛】本题主要考查圆的基本性质，解题的关键是应用圆的性质和勾股定理解决问题．26．如图，BAC 是O 的内接三角形，BC 为直径，AD 平分BAC ∠，连接BD 、CD ，若65ACB ∠=︒，则ABD ∠的度数为_________．【答案】70︒【分析】由BC 为直径，可得⊙BAC=⊙BDC=90°由AD 平分BAC ∠，可证BD=DC ，可得⊙DBC=⊙DCB=45°，65ACB ∠=︒，可求⊙ABC=90°-⊙ACB=25°，可求⊙ABD=⊙ABC+⊙DBC=70°即可．【详解】解：⊙BAC 是O 的内接三角形，BC 为直径，⊙⊙BAC=⊙BDC=90°⊙AD 平分BAC ∠，⊙⊙BAD=⊙CAD ，⊙BD DC =，⊙BD=DC ，⊙⊙DBC=⊙DCB=45°，⊙65ACB ∠=︒，⊙⊙ABC=90°-⊙ACB=90°-65°=25°，⊙⊙ABD=⊙ABC+⊙DBC=25°+45°=70°．故答案为：70°．【点睛】本题考查圆的性质，直径所对圆周角性质，角平分线性质，直角三角形性质，掌握圆的性质，直径所对圆周角性质，角平分线性质，直角三角形性质是解题关键．27．如图，若12∠=∠，那么AB 与BC __________相等（填“一定”、“一定不”、“不一定”）．【答案】一定【分析】根据圆心角、弧、弦关系定理进行解答即可．【详解】解：⊙⊙1=⊙2，⊙AB=AC,⊙AB=BC，故答案为：一定．【点睛】本题考查的是圆心角，熟知在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等是解答此题的关键．28．如图，AB为O的直径，2AC BC=，M为BC的中点，过M作//MN OC交AB于N，连接BM，则BMN∠的度数为__________．【答案】45°【分析】连接OM．根据弧与圆心角的度数求得⊙BOC的度数，然后利用M为BC的中点，求得⊙MOB=⊙COM=30°，结合平行线的性质和等腰三角形的性质求得⊙MNB，⊙B，即可解决问题．【详解】解：连接OM．⊙AB是直径，2AC BC=，⊙⊙BOC=13×180°=60°，⊙M为BC的中点，⊙BM CM=⊙⊙MOB=⊙COM=30°，⊙OM=OB，⊙⊙B=⊙OMB=12（180°-30°）=75°，⊙OC⊙MN，⊙⊙MNB=⊙COB=60°，⊙⊙BMN=180°-⊙BNM-⊙NBM=180°-60°-75°=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．29．如图，在⊙O中，若弧AB＝BC＝CD，则AC与2CD的大小关系是：AC ________2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”）【答案】＜【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到AB=BC=CD，然后根据三角形三边的关系可得到AC与2CD之间的关系．【详解】解：连接AB、BC，如图，⊙AB BC CD==，⊙AB=BC=CD，⊙AB+BC＞AC，⊙2CD＞AC，即AC＜2CD．故答案为：＜．【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．30．如图，ABC ∆是O 的内接正三角形，点O 是圆心，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，若DA EB =，则DOE ∠的度数是____度．【答案】120【分析】本题可通过构造辅助线，利用垂径定理证明角等，继而利用SAS 定理证明三角形全等，最后根据角的互换结合同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解本题．【详解】连接OA ，OB ，作OH⊙AC ，OM⊙AB ，如下图所示：因为等边三角形ABC ，OH⊙AC ，OM⊙AB ，由垂径定理得：AH=AM ，又因为OA=OA ，故⊙OAH ≅⊙OAM （HL ）．⊙⊙OAH=⊙OAM ．又⊙OA=OB,AD=EB,⊙⊙OAB=⊙OBA=⊙OAD,⊙⊙ODA ≅⊙OEB （SAS ）,⊙⊙DOA=⊙EOB,⊙⊙DOE=⊙DOA+⊙AOE=⊙AOE+⊙EOB=⊙AOB ．又⊙⊙C=60°以及同弧AB ，⊙⊙AOB=⊙DOE=120°．故本题答案为：120．【点睛】本题考查圆与等边三角形的综合，本题目需要根据等角的互换将所求问题进行转化，构造辅助线是本题难点，全等以及垂径定理的应用在圆综合题目极为常见，圆心角、弧、圆周角的关系需熟练掌握． 31．如图，已知AB 是半圆O 的直径，6AB =，点C ，D 在半圆上，OC AB ⊥，2BD CD =，点P 是OC 上的一个动点，则BP DP +的最小值为_______．【答案】【分析】如图，连接AD ，P A ，OD ．先证明P A ＝PB ，再根据PD +PB ＝PD +P A ≥AD ，求出AD 即可解决问题．【详解】解：如图，连接AD ，P A ，OD ．⊙OC ⊙AB ，OA ＝OB ，⊙P A ＝PB ，⊙COB ＝90°，⊙BD =2CD ，⊙⊙DOB 23=⨯90°＝60°， ⊙OD ＝OB ，⊙⊙OBD 是等边三角形，⊙⊙ABD ＝60°⊙AB 是直径，⊙⊙ADB ＝90°，⊙AD ＝AB •cos⊙ABD ＝，⊙PB +PD ＝P A +PD ≥AD ，⊙PD +PB⊙PD +PB 的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，三角函数等知识，根据OC 为AB 的垂直平分线得到AD 为BP DP +的最小值是解题的关键．32．如图，在扇形BOC 中，60,BOC OD ∠=︒平分BOC ∠交弧BC 于点D ．点E 为半径OB 上一动点若2OB =，则阴影部分周长的最小值为__________．【答案】.3π【分析】如图，先作扇形OCB 关于OB 对称的扇形,OAB 连接AD 交OB 于E ，再分别求解,AD CD 的长即可得到答案．【详解】解：C 阴影＝,CE DE CD ++∴ C 阴影最短，则CE DE +最短，如图，作扇形OCB 关于OB 对称的扇形,OAB 连接AD 交OB 于E ，则,CE AE =,CE DE AE DE AD ∴+=+=此时E 点满足CE DE +最短，60,COB AOB OD ∠=∠=︒平分,CB30,90,DOB DOA ∴∠=︒∠=︒2,OB OA OD ===AD ∴==而CD 的长为：302,1803ππ⨯=∴ C 阴影最短为.3π故答案为：.3π【点睛】本题考查的是利用轴对称求最短周长，同时考查了圆的基本性质，扇形弧长的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．三、解答题33．如图，OA 、OB 、OC 是⊙O 的三条半径，弧AC 等于弧BC ，D 、E 分别是OA 、OB 的中点，CD 与CE 相等吗？为什么？【答案】相等，理由见解析【分析】根据弧与圆心角的关系，可得⊙AOC=⊙BOC ，又由D 、E 分别是半径OA 、OB 的中点，可得OD=OE ，利用SAS 判定⊙DOC⊙⊙EOC ，继而证得结论．【详解】解：CD=CE ，理由如下：⊙弧AC 和弧BC 相等，⊙⊙AOC=⊙BOC ，又⊙OA=OB ，D 、E 分别是OA 、OB 的中点，⊙OD=OE ，在⊙DOC 和⊙EOC 中，OD OE AOC BOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙DOC⊙⊙EOC （SAS ），⊙CD=CE ．【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键． 34．已知⊙O 的直径为10，点A ，点B ，点C 在⊙O 上，⊙CAB 的平分线交⊙O 于点D ．（⊙）如图⊙，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；（⊙）如图⊙，若⊙CAB＝60°，求BD的长．【答案】（⊙）求AC＝8，BD＝CD＝；（⊙）BD＝5【分析】（⊙）利用圆周角定理可以判定⊙CAB和⊙DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知⊙DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD＝CD＝；（⊙）如图⊙，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知⊙OBD是等边三角形，则BD＝OB＝OD＝5．【详解】解：（⊙）如图⊙，⊙BC是⊙O的直径，⊙⊙CAB＝⊙BDC＝90°．⊙在直角⊙CAB中，BC＝10，AB＝6，⊙由勾股定理得到：AC8=⊙AD平分⊙CAB，⊙CD BD=，⊙CD＝BD．在直角⊙BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，⊙易求BD＝CD＝（⊙）如图⊙，连接OB，OD．⊙AD平分⊙CAB，且⊙CAB＝60°，⊙⊙DAB＝12⊙CAB＝30°，⊙⊙DOB＝2⊙DAB＝60°．又⊙OB＝OD，⊙⊙OBD是等边三角形，⊙BD＝OB＝OD．⊙⊙O的直径为10，则OB＝5，⊙BD＝5．【点睛】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得⊙OBD 是等边三角形．35．阿基米德（Archimedes ，公元前287年~公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯A1-Biruni （973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，前苏联在1964年根据A1-Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如图⊙，已知AB 和BC 是O 的两条弦（即折线ABC 是O 的一条折弦），,BC AB M >是ABC 的中点．那么从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD AB BD =+．下面是运用“截长法”证明CD AB BD =+的部分证明思路：证明：如图⊙，在CB 上截取CG AB =，连接,MA MB ，…………（定理证明）按照上面的思路，写出剩余部分的证明过程．（问题解决）如图⊙，等边ABC ∆内接于,3,O AB D =为AC 上一点，45ACD ∠=︒．求BDC ∆的周长．【答案】【定理证明】：见解析；【问题解决】：BDC ∆的周长为3+【分析】（1）首先证明⊙MBA⊙⊙MGC （SAS ），进而得出MB=MG ，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD ，即可得出答案；（2）首先证明⊙ABF⊙ACD （SAS ），进而得出AF=AD ，以及CD+DE=BE ，进而求出DE 的长即可得出答案．【详解】解：（1）如图⊙，连接,MC MG ．可得A C ∠=∠．由M 是ABC 的中点，可求得MA MC =．CG AB =，MBA MGC ∴∆≅∆．MB MG ∴=．MD BC ⊥，BD GD ∴=．CG GD AB BD ∴+=+．即CD AB BD =+．（2）如图⊙，作AE BD ⊥．由AB AC =，可得AB AC =．由阿基米德折弦定理，可得BE ED DC =+．由于45,3ACD ABD AB ∠=∠=︒=，所以，在Rt ABE ∆中，可求得BE =故BDC ∆的周长为3+．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．36．如图，已知AB 是⊙O 的弦，半径OC 、OD 与AB 分别交于点E 、F ，且AE BF =．求证：AC BD =．【答案】见解析【分析】取AB 中点G ，联结OG 并延长与⊙O 交于H ，利用圆心角、弧、弦之间的关系得到AH BH =，再根据AE BF =及垂径定理求解即可；。

圆心角、弧、弦的关系精选题38道

圆心角、弧、弦的关系精选题38道一．选择题（共18小题）1．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．D．∠BCA＝∠DCA 3．如图，已知A，B均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝（）A．80°B．70°C．60°D．40°4．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（）A．8B．10C．11D．125．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（）A．25°B．50°C．65°D．75°6．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若的度数为50°，则∠ADC 的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．50°7．如图，⊙O中，如果＝2，那么（）A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC8．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°9．如图所示，正六边形ABCDEF内接于圆O，则∠ADB的度数为（）A．60°B．45°C．30°D．22.5°10．如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．120°11．下列语句中，正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A．28°B．64°C．56°D．124°13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB ＝40°，则∠ABC的度数是（）A．140°B．40°C．70°D．50°14．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于90°的角）（）A．54°B．55°C．56°D．57°15．如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝3，则⊙O的周长为（）A．6πB．4πC．3πD．4π16．下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等17．如图，AB为半圆⊙O的直径，AB＝10，AC为⊙O的弦，AC＝8，D为的中点，DM ⊥AC于M，则DM的长为（）A．B．C．1D．18．在半径为1的⊙O中，若弦AB的长为1，则弦AB所对的圆心角的度数为（）A．90°B．60°C．30°D．15°二．填空题（共15小题）19．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为．20．如图，在⊙O中，＝，若∠AOB＝40°，则∠COD＝°．21．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为．22．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于．23．如图，半圆O的半径为1，C是半圆O上一点，且∠AOC＝45°，D是上的一动点，则四边形AODC的面积S的取值范围是．24．如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，B为圆上一点，若∠OBC＝26°，则∠AOB的度数为．25．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是．26．如图，AB是⊙O的弦，若∠AOB＝110°，则∠A的大小为（度）．27．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于度．28．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，＝，∠BOD＝32°，则∠COE的度数为度．29．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝2，∠AMC ＝120°，那么OM的长为．30．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在半径OA上，则OE＝．31．在半径为6的⊙O中，长为6的弦所对的圆心角是°．32．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，则AC BD（填“＞”“＜”或“＝”）．33．将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数之间的关系为2：3：4，则这三个扇形中圆心角最小的度数是度．三．解答题（共5小题）34．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．35．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：DF＝DE；（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．36．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．37．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．38．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．圆心角、弧、弦的关系精选题38道参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠AOB＝40°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：连接CO，如图：∵在⊙O中，＝，∴∠AOC＝∠AOB，∵∠AOB＝40°，∴∠AOC＝40°，∴∠ADC＝∠AOC＝20°，故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理；熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．D．∠BCA＝∠DCA 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD，故本选项正确；C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．3．如图，已知A，B均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝（）A．80°B．70°C．60°D．40°【分析】由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得，∠AOB＝2∠ACB，则结果即可得出．【解答】解：由题意得，∠ACB＝∠AOB＝×80°＝40°．故选：D．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，重点是圆周角定理的应用．4．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（）A．8B．10C．11D．12【分析】作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE＝∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE＝BF＝6，再利用勾股定理，继而求得答案．【解答】解：作直径CF，连接BF，如图，则∠FBC＝90°，∵∠BAC+∠EAD＝180°，而∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF，∴＝，∴DE＝BF＝6，∴BC＝＝8．解法二：如图，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N．∵AM⊥BC，AN⊥DE，∴CM＝MB，DN＝NE＝3，∵AC＝AB＝AD＝AE，∴∠BAC＝2∠MAC，∠EAD＝2∠DAN，∵∠BAC+∠EAD＝180°，∴2∠CAM+2∠DAN＝180°，∴∠CAM+∠DAN＝90°，∵∠ACM+∠CAM＝90°，∴∠ACM＝∠DAN，∵∠AMC＝∠AND＝90°，∴△AMC≌△DNA（AAS），∴AM＝DN＝3，∴CM＝＝＝4，∴BC＝2CM＝8．故选：A．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法．5．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（）A．25°B．50°C．65°D．75°【分析】根据圆周角定理得出∠AOC＝2∠ABC，求出∠AOC＝50°，再根据等腰三角形的性质和进行内角和定理求出即可．【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，∵∠ABC+∠AOC＝75°，∴∠AOC＝×75°＝50°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出∠AOC＝2∠ABC是解此题的关键．6．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若的度数为50°，则∠ADC 的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．50°【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠BOC＝50°，利用垂径定理得到＝，然后根据圆周角定理计算∠ADC的度数．【解答】解：∵的度数为50°，∴∠BOC＝50°，∵半径OC⊥AB，∴＝，∴∠ADC＝∠BOC＝25°．故选：B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和圆周角定理．7．如图，⊙O中，如果＝2，那么（）A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC【分析】取弧AB的中点D，连接AD，DB，由已知条件可知AD＝BD＝AC，在△ADB中由三角形的三边关系可知AD+BD＞AB，即2AC＞AB，问题得解．【解答】解：取弧AB的中点D，连接AD，DB，∵＝2，∴AD＝BD＝AC，在△ADB中由三角形的三边关系可知AD+BD＞AB，∴2AC＞AB，即AB＜2AC，故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，题目设计新颖，是一道不错的中考题．8．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】连接OB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB＝∠COB＝∠AOC＝60°，然后根据圆周角定理得到∠D的度数．【解答】解：连接OB，如图，∵点B是的中点，∴∠AOB＝∠AOC＝×120°＝60°，∴∠D＝∠AOB＝30°．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．如图所示，正六边形ABCDEF内接于圆O，则∠ADB的度数为（）A．60°B．45°C．30°D．22.5°【分析】由正六边形ABCDEF，可求出的度数，再得到∠ADB的度数．【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于圆O∴的度数等于360°÷6＝60°∴∠ADB＝30°故选：C．【点评】理解正多边的定义；掌握圆周角定理及其推论．10．如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．120°【分析】先求出∠BOE＝120°，根据点C、D是的三等分点求出的度数是80°，再求出答案即可．【解答】解：∵∠AOE＝60°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，∴的度数是120°，∵点C、D是的三等分点，∴的度数是×120°＝80°，∴∠BOD＝80°，故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，题目比较典型，难度不是很大．11．下列语句中，正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识一一判断即可．【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中．②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等．③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧．④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．正确．故选：A．【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识，解题的关键是理解基本概念，属于中考常考题型．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A．28°B．64°C．56°D．124°【分析】先利用互余计算出∠B＝64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB ＝∠B＝64°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝28°，∴∠B＝62°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝62°，∴∠BCD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，∴的度数为56°．故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB ＝40°，则∠ABC的度数是（）A．140°B．40°C．70°D．50°【分析】连接AC，根据圆周角定理得到∠CAB＝20°，∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质计算即可．【解答】解：连接AC，∵点C为劣弧BD的中点，∠DAB＝40°，∴∠CAB＝∠DAB＝20°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，故选：C．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．14．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于90°的角）（）A．54°B．55°C．56°D．57°【分析】连接O1P，O2P，如图，先根据O1P＝O1O2得到∠O1PO2＝∠O1O2P＝63°，然后根据三角形内角和求出∠PO1O2即可．【解答】解：连接O1P，O2P，如图，∵P在小量角器上对应的刻度为63°，即∠O1O2P＝63°，而O1P＝O1O2，∴∠O1PO2＝∠O1O2P＝63°，∴∠PO1O2＝180°﹣63°﹣63°＝54°，即点P在大量角器上对应的刻度为54°（只考虑小于90°的角）．故选：A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．15．如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝3，则⊙O的周长为（）A．6πB．4πC．3πD．4π【分析】连接AB，AO，DO，根据⊙O的弦AC＝BD求出＝，根据圆周角定理求出∠BAC＝∠ABD，求出∠ABD＝∠BAC＝（180°﹣∠AEB）＝45°，根据圆周角定理求出∠AOD＝2∠ABD＝90°，解直角三角形求出AO，再求出答案即可．【解答】解：连接AB，AO，DO，∵⊙O的弦AC＝BD，∴＝，∴＝，∴∠BAC＝∠ABD，∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠ABD＝∠BAC＝（180°﹣∠AEB）＝45°，∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，即△AOD是等腰直角三角形，∵AD＝3，AO2+OD2＝AD2，∴AO＝3，∴⊙O的周长是2×π×3＝6π，故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰直角三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．16．下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等【分析】根据题意画出符合已知条件的图形，再逐个判断即可．【解答】解：A．如图，弦AB＝弦AB，但是所对的两段弧不相等，故本选项不符合题意；B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，故本选项符合题意；C．如图，∠AOB＝∠COD，但是弦AB和弦CD不相等，故本选项不符合题意；D．如图，弦AB＝弦AB，但是圆心角∠ADB和∠ACB不相等，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，如果其中有一对量相等，那么其余两对量也分别相等．17．如图，AB为半圆⊙O的直径，AB＝10，AC为⊙O的弦，AC＝8，D为的中点，DM ⊥AC于M，则DM的长为（）A．B．C．1D．【分析】如图，连接OD交AC于H，连接BC．利用勾股定理求出BC，再利用相似三角形的性质求出OH，AH，DH，证明△DMH∽△AOH，构建关系式即可解决问题．【解答】解：如图，连接OD交AC于H，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝6，∵＝，∴OD⊥AB，∵∠OAH＝∠CAB，∠AOH＝∠ACB＝90°，∴△AOH∽△ACB，∴＝＝∴＝＝∴OH＝，AH＝，∵DH＝OD﹣OH＝5﹣＝，∵DM⊥AC，∵∠DMH＝∠AOH＝90°，∠DHM＝∠AHO，∴△DMH∽△AOH，∴＝，∴＝，∴DM＝1，故选：C．【点评】本题考查勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．在半径为1的⊙O中，若弦AB的长为1，则弦AB所对的圆心角的度数为（）A．90°B．60°C．30°D．15°【分析】由题意可得△OAB为等边三角形，从而可求得弦AB所对的圆心角的度数．【解答】解：∵在半径为1的⊙O中，弦AB的长为1，∴OA＝OB＝AB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴弦AB所对的圆心角的度数为60°．故选：B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系及等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．二．填空题（共15小题）19．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为y＝．【分析】连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，根据圆周角定理得到∠C＝∠D，∠PBD ＝90°，求得∠P AC＝∠PBD，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，则∠C＝∠D，∠PBD＝90°，∵P A⊥BC，∴∠P AC＝90°，∴∠P AC＝∠PBD，∴△P AC∽△PBD，∴＝，∵⊙O的半径为5，AP＝3，PB＝x，PC＝y，∴＝，∴xy＝30，∴y＝，故答案为：y＝．【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．20．如图，在⊙O中，＝，若∠AOB＝40°，则∠COD＝40°．【分析】先根据在⊙O中，＝，可得出＝，再由∠AOB＝40°即可得出结论．【解答】解：∵在⊙O中，＝，∴＝，∵∠AOB＝40°，∴∠COD＝∠AOB＝40°．故答案为：40．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．21．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为60°．【分析】先画图，由等边三角形的判定和性质求得弦AB所对的圆心角．【解答】解：如图，∵AB＝OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，故答案为60°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，以及等边三角形的判定和性质．22．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于2．【分析】由圆心角∠AOB＝120°，可得△AOB是等腰三角形，又由OC⊥AB，再利用含30°角的直角三角形的性质，可求得OC的长．【解答】解：如图，∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，∴OC＝．故答案为：2【点评】此题考查了垂径定理、含30°角的直角三角形的性质．注意根据题意作出图形是关键．23．如图，半圆O的半径为1，C是半圆O上一点，且∠AOC＝45°，D是上的一动点，则四边形AODC的面积S的取值范围是＜S≤．【分析】根据题意首先得出△AOC的面积，进而得出四边形最小值，要使四边形AODC 面积最大，则要使△COD面积最大．以CO为底DE为高．要使△COD面积最大，则DE 最长，进而得出答案．【解答】解：如图，过点C作CF垂直AO于点F，过点D作DE垂直CO于点E，∵CO＝AO＝1，∠COA＝45°，∴CF＝FO＝，∴S△AOC＝×1×＝，则面积最小的四边形面积为D无限接近点C，所以最小面积无限接近但是不能取到，∵△AOC面积确定，∴要使四边形AODC面积最大，则要使△COD面积最大．以CO为底DE为高．要使△COD面积最大，则DE最长．当∠COD＝90°时DE最长为半径，S四边形AODC＝S△AOC+S△COE＝+×1×1＝．∴＜S≤，故答案为：＜S≤．【点评】此题主要考查了圆心角，弧，弦之间的关系，解直角三角形等知识，正确得出四边形的最大值是解题关键．24．如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，B为圆上一点，若∠OBC＝26°，则∠AOB的度数为52°．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠OBC，求出∠C，再根据圆周角定理求出∠AOB＝2∠C，再求出答案即可．【解答】解：∵∠OBC＝26°，OB＝OC，∴∠C＝∠OBC＝26°，∴∠AOB＝2∠C＝52°，故答案为：52°．【点评】本题考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，注意：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．25．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是8．【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF＝BC＝DF，从而求得BC＝DF＝2，利用勾股定理即可求得AC．【解答】解：连接OD，交AC于F，∵D是的中点，∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°，∵OA＝OB，AF＝CF，∴OF＝BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在△EFD和△ECB中，，∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF＝BC，∴OF＝DF，∵OD＝3，∴OF＝，∴BC＝2，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AC＝＝＝8，故答案为8．【点评】本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．26．如图，AB是⊙O的弦，若∠AOB＝110°，则∠A的大小为35（度）．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，∵∠AOB＝110°，∴∠A＝＝35°，故答案为：35．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键．27．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于40度．【分析】由于点C是弧AB的中点，根据等弧对等角可知：∠BOC是∠BOA的一半；在等腰△AOB中，根据三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数，由此得解．【解答】解：△OAB中，OA＝OB，∴∠BOA＝180°﹣2∠A＝80°；∵点C是弧AB的中点，即＝，∴∠BOC＝∠BOA＝40°．故答案为：40．【点评】此题主要考查了圆心角、弧的关系：在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等．28．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，＝，∠BOD＝32°，则∠COE的度数为64度．【分析】根据对顶角相等求出∠AOC＝32°，根据圆心角、弧、弦之间的关系得出∠AOC ＝∠AOE，求出∠AOE的度数，再求出答案即可．【解答】解：∵∠BOD＝32°，∴∠AOC＝∠BOD＝32°，∵＝，∴∠AOE＝∠AOC＝32°，∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝32°+32°＝64°，故答案为：64．【点评】本题考查了对顶角相等和圆心角、弧、弦之间的关系，能根据圆心角、弧、弦之间的关系得出∠AOC＝∠AOE是解此题的关键．29．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的长为．【分析】根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系以及勾股定理可求出OE、OF，再利用全等三角形可求出∠OME＝60°，进而利用直角三角形的边角关系求解即可．【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F，连接OA，则AE＝BE＝AB＝，CF＝DF＝CD＝，在Rt△AOE中，∵OA＝2，AE＝，∴OE＝＝1，∵AB＝CD，∴OE＝OF＝1，又∵OM＝OM，∴Rt△OEM≌Rt△OFM（HL），∴∠OME＝∠OMF＝∠AMC＝60°，∴OM＝＝，故答案为：．【点评】本题考查圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系，勾股定理，全等三角形以及直角三角形的边角关系，掌握圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系以及勾股定理可求是解决问题的关键．30．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在半径OA上，则OE＝4﹣4．【分析】连接OC，作EF⊥OC于F，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝30°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠ECF＝45°，根据正切的定义列式计算，得到答案．【解答】解：连接OC，作EF⊥OC于F，∵点A关于直线CD的对称点为E，点E落在半径OA上，∴CE＝CA，∵＝，∴∠AOC＝∠AOB＝30°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝75°，∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠CEA＝75°，∴∠CAE＝30°，∴∠ECF＝45°，设EF＝x，则FC＝x，在Rt△EOF中，tan∠EOF＝，∴OF＝＝x，由题意得，OF+FC＝OC，即x+x＝4，解得，x＝2﹣2，∵∠EOF＝30°，∴OE＝2EF＝4﹣4，故答案为：4﹣4．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、解直角三角形的应用、三角形内角和定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．31．在半径为6的⊙O中，长为6的弦所对的圆心角是60°．【分析】根据等边三角形的性质得到∠AOB＝60°，得到答案．【解答】解：∵OA＝OB＝AB＝6，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，故答案为：60．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、等边三角形的判定和性质，掌握圆周角的定义、等边三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．32．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，则AC＝BD（填“＞”“＜”或“＝”）．【分析】根据同圆与等圆中，圆心角、弦、弧的关系得出＝即可．【解答】解：∵＝，∴+＝+，即＝，∴AC＝BD，故答案为：＝．【点评】本题考查圆心角、弦、弧的关系，掌握在同圆与等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么其余两组量也对应相等是正确解答的前提．33．将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数之间的关系为2：3：4，则这三个扇形中圆心角最小的度数是80度．【分析】利用题目中所给的圆心角的度数之比去乘360°，从而可求得圆心角的度数．【解答】解：∵周角的度数是360°，∴这三个扇形中圆心角最小的度数是，故答案为：80．【点评】考查了扇形圆心角的度数问题，注意周角的度数是360°．三．解答题（共5小题）34．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．【分析】（1）要证明CF＝BF，可以证明∠ECB＝∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB ＝90°，又知CE⊥AB，则∠CEB＝90°，则∠DBC＝90°﹣∠ACE＝∠A，∠ECB＝∠A，则∠ECB＝∠DBC；（2）在直角三角形ACB中，AB2＝AC2+BC2，又知，BC＝CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再利用面积法求得CE的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，∴∠ECB＝∠A．又∵C是的中点，∴＝，∴∠DBC＝∠A，∴∠ECB＝∠DBC，∴CF＝BF；（2）解：∵＝，∴BC＝CD＝6，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10，∴⊙O的半径为5，∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AC，∴CE＝＝＝．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及角平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，注意数形结合思想与方程思想的应用．35．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：DF＝DE；（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．【分析】（1）连接AD，通过证得△CAD≌△BAD（SAS），得出∠ACD＝∠ABD，进而根据ASA证得△CED≌△BFD（ASA），即可证得结论；（2）根据圆内接四边形的性质证得∠ABD＝90°，从而证得AD是直径，根据勾股定理求得ED，进而求得AB，然后根据勾股定理求得AD，从而求得半径．【解答】（1）证明：连接AD，∵点D是的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∴CD＝BD，在△CAD和△BAD中，，∴△CAD≌△BAD（SAS），∴∠ACD＝∠ABD，∴∠DCE＝∠DBF，在△CED和△BFD中，，∴△CED≌△BFD（ASA），∴DF＝DE；（2）解：∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠DBF＝∠ACD，∵∠ACD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠DBF，∴∠ABD＝90°，∴∠ECD＝∠ABD＝90°，∴AD是⊙O的直径，∵CD＝BD＝6，CE＝8，∴DE＝＝10，∴EB＝10+6＝16，在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，设AB＝AC＝x，则x2+162＝（x+8）2，解得x＝12，∴AB＝12，在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，∴AD＝＝6，∴⊙O的半径为3．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理的应用以及三角形全等的判定和性质，熟练掌握和灵活应用性质定理是解题的关键．36．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到＝，结合图形得到＝，进而得到∠C＝∠B，根据等腰三角形的判定定理证明结论．【解答】证明：∵AB＝CD，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴∠C＝∠B，∴CE＝BE．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理的推论，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．37．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．【分析】（1）连接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．利用面积法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得结论．【解答】解：（1）如图，连接AD．∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，∴∠ACD＝70°．∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．又∵AD＝AE，∴．（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝5．又∵•AF•BC＝•AC•AB，∴，∴．∵AC＝AD，AF⊥CD，∴．【点评】本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．38．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．【分析】根据弧相等，则对应的弦相等从而证明AB＝AC，则△ABC易证是等边三角形，然后根据同圆中弦相等，则对应的圆心角相等即可证得．【解答】证明：∵＝，∴AB＝AC∴△ABC是等腰三角形∵∠ACB＝60°∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及等边三角形的判定，正确理解圆心角、弧、弦的关系是关键．。

【超级精练】中考数学：圆周角弧弦的关系

圆周角、弧、弦的关系知识梳理教课重、难点作业达成状况典题研究例 1. 如图，过⊙O的直径AB上两点M，N，分别作弦CD，EF，若CD∥EF，AC=BF．求证：（ 1 ）弧 BEC=弧 ADF；（ 2 ） AM=BN．例 2.已知：如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的3倍，C为弧AB的中点．AB、OC订交于 P点，求证：四边形 OACB是菱形．例 3. 如图，AB为半圆的直径，点C、D在半圆上．（2）若点 C、D 在半圆上运动，并保持弧 CD的长度不变，（点 C、D 不与点 A、B重合）．试比较∠DAB 和∠ABC的大小．例 4. 已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB=CD．求证：∠ OBA=∠ ODC．操练方阵A档（稳固专练）1．（ 2011?巴中）以下说法中，正确的有（）① 两边及一内角相等的两个三角形全等；② 角是轴对称图形，对称轴是这个角的均分线；③ 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等；④ 无理数就是无穷小数．A．1个B．2个C．3个D．4个2．（ 2013?厦门）如下图，在⊙O 中，，∠ A=30°，则∠ B=（）A ． 150°B ．75°C． 60°D． 15°3．（ 2008?庆阳）如图， AB 是⊙ O 的直径， CD 为弦， CD ⊥AB 于 E，则以下结论中不必定建立的是（）A ．∠ COE=∠ DOEB ． CE=DE C． OE=BE D ．4．（ 2005?茂名）以下三个命题：① 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；② 垂直于弦的直径均分这条弦；③ 相等圆心角所对的弧相等．此中是真命题的是（）A．① ②B．② ③C．① ③D．① ②③5．（ 2013?奉贤区一模）在两个圆中有两条相等的弦，则以下说法正确的选项是（）A ．这两条弦所对的弦心距相等B ．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦所对的弧相等 D ．这两条弦都被垂直于弦的半径均分6．如图，⊙ O 中，假如=2，那么（）A ．AB=AC B．AB=AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC7．如图，在⊙O 中，若点 C 是的中点，∠ A=50°，则∠ BOC的度数为（）A ．30°B．40°C．50°D．60°8．（ 2013?太仓市二模）如图，直尺ABCD 的一边与量角器的零刻度线重合，若从量角器的中心 O 引射线 OF 经过刻度 120°，交 AD 交于点 E，则∠ DEF= _________°．9．（ 2013?南京二模）如图，点 A 1、A 2、A 3、A 4、 A 5在⊙ O 上，且====，B、C分别是A1A2、A2A3上两点，A1B=A2C，A5B与 A 1C 订交于点D，则∠ A 5DC 的度数为_________．10．如图， AC 是⊙ O 的直径， AB=AC ，AB 交⊙ O 于 E，BC 交⊙ O 于 D，∠ A=44 °，则的度数是 _________ 度．B档（提高精练）11．如图， AB 是半圆的直径，O 是圆心，=2，则∠ ABC=_________度．12．如图，已知圆O 的面积为3π， AB 为直径，弧AC 的度数为80°，弧 BD 的度数为20°，点 P 为直径 AB 上任一点，则PC+PD 的最小值为_________．13．已知半径为 5 的⊙ O 中，弦 AB=5，弦AC=5，则∠ BAC的度数是_________．14．如图，⊙ O 上 B 、D 两点位于弦AC 的双侧，，若∠ D=62°，则∠ AOB=_________．15．如图， PO 是直径所在的直线，且PO 均分∠ BPD ， OE 垂直 AB ， OF 垂直 CD，则：① AB=CD ；② 弧 AB 等于弧 CD；③ PO=PE；④弧 BG 等于弧 DG ；⑤ PB=PD ；其中结论正确的选项是_________（填序号）16．如图是两个半圆，点O 为大部分圆的圆心，AB 平行于半圆的直径且是大部分圆的弦且与小半圆相切，且AB=24 ，则图中暗影部分的面积是_________．17．如图， CD 是半圆的直径，O 为圆心， E 是半圆上一点，且∠EOD=93 °，A 是 DC 延伸线上一点， AE 与半圆订交于点B，假如 AB=OC ，则∠ EAD= _________°，∠ EOB=_________ °，∠ ODE= _________．18．（ 2010?潍坊）如图， AB 是⊙ O 的直径， C、 D 是⊙ O 上的两点，且AC=CD ．（1）求证： OC∥ BD ；（2）若 BC 将四边形OBDC 分红面积相等的两个三角形，试确立四边形OBDC 的形状．19．（ 2008?天津）已知 Rt△ABC 中，∠ ACB=90 °， CA=CB ，有一个圆心角为45°，半径的长等于 CA 的扇形 CEF 绕点 C 旋转，且直线 CE， CF 分别与直线 AB 交于点M，N．（Ⅰ）当扇形 CEF 绕点 C 在∠ ACB 的内部旋转时，如图222 1，求证： MN =AM+BN ；（思路点拨：考虑 MN 2=AM2+BN2切合勾股定理的形式，需转变为在直角三角形中解决．可将△ACM 沿直线 CE 对折，得△DCM ，连 DN ，只要证 DN=BN ，∠ MDN=90 °就能够了．请你达成证明过程．）（Ⅱ）当扇形 CEF 绕点 C 旋转至图 2 的地点时，关系式 MN 2=AM2+BN2能否仍旧建立？若建立，请证明；若不建立，请说明原因．20．（ 2004?泉州）如图，⊙ O 为四边形ABCD 的外接圆，圆心O 在 AD 上， OC∥AB ．（1）求证： AC 均分∠ DAB ；（2）若 AC=8 ， AD ： BC=5 ： 3，试求⊙ O 的半径．C档（超越导练）21．（ 2001?宁夏）用三种方法证明：如图，已知在⊙O 中，半径 OA ⊥ OB，C 是 OB 延伸线上一点， AC 交⊙ O 于 D，求证：弧AD 的度数是∠ C 的 2 倍．22．（ 2007?天河区一模）如图，AB 为半圆的直径，点C、 D 在半圆上．（1）若，求∠ DAB和∠ ABC的大小；（2）若点 C、D 在半圆上运动，并保持弧CD 的长度不变，（点 C、D 不与点 A 、B 重合）．试比较∠ DAB 和∠ ABC 的大小．23．如图，⊙ O 的两条弦 AB 、 CD 相互垂直，垂足为E，且 AB=CD ．（1）求证： AC=BD（2）若 OF⊥CD 于 F，OG ⊥ AB 于 G，问：四边形 OFEG 是何特别四边形？并说明原因．24．小明学习了垂径定理，做了下边的研究，请依据题目要求帮小明达成研究．（1）改换定理的题设和结论能够获得很多真命题．如图1，在⊙ 0中，C是劣弧AB的中点，直线 CD⊥ AB 于点 E，则 AE=BE ．请证明此结论；（2）从圆上随意一点出发的两条弦所构成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA，PB 构成⊙ 0 的一条折弦． C 是劣弧 AB 的中点，直线 CD ⊥PA 于点 E，则 AE=PE+PB ．能够经过延伸 DB 、AP 订交于点 F，再连结 AD 证明结论建立．请写出证明过程；（3）如图 3，PA．PB 构成⊙ 0 的一条折弦，若 C 是优弧 AB 的中点，直线 CD⊥ PA 于点 E，则AE ， PE 与 PB 之间存在如何的数目关系？写出结论，不用证明．25．已知：如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C、D 为圆上两点，且弧 CB= 弧 CD， CF⊥ AB 于点 F，CE⊥ AD 的延伸线于点 E．求证： DE=BF ．26．如图，已知⊙ O 的两条半径OA 与 OB 相互垂直， C 为上的一点，且AB2+OB2=BC2，求∠ OAC 的度数．27．如图，四边形ABCD 中， AB ∥CD ， AD=DC=DB=p ， BC=q ．求对角线AC 的长．28．如图，已知圆内接△ABC 中， AB ＞ AC ， D 为2的中点， DE ⊥ AB 于 E，求证： BD﹣AD 2=AB ?AC ．29．如图，在☉O 中， AB 是直径， C、 D 是圆上两点，使得AD=BC ．求证： AC=BD ．30．如图， AB 为⊙ O 的直径，弦 CD 与 AB 的延伸线交于点 P，且 DP=OB ，若∠ P=29°，求弧AC 的度数．成长踪迹课后检测圆周角弧弦的关系参照答案典题研究例 1.证明：（1）连结OC、OF，∴OC=OF，OA=OB．∵ AC=BF，∴△ COA≌ △ FOB．∴∠ CAO=∠ OBF，∠ ACO=∠ BFO．∴AC∥ BF．连接 CF，则∠ BFC= ∠ ACF，∴弧 BEC=弧 ADF．（2）∵ AC∥ BF，∴ ∠ BFC=∠ ACF．∵CD∥ EF，∴ ∠ EFC=∠ DCF．∴ ∠ ACM=∠ BFN．又 CD∥ EF，∴ ∠ CMA=∠ BNF．∵AC=BF，∴ △ ACM≌ △ BFN．∴AM=BN．例 2.例 3.例 4. 证明：过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F．∵ AB=CD，∴OE=OF．又∵BO=DO，∴Rt △BOE≌Rt △DOF（HL），∴ ∠ OBA=∠ ODC．操练方阵A 档（稳固专练）1．解：① 由于SSA不可以判断三角形全等，故本项错误；② 角是轴对称图形，对称轴是这个角的均分线所在的直线，故本项错误；③ 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，故本项正确；④ 无穷不循环小数是无理数．此说法遗漏了不循环这个条件，故本项错误．应选 A．2．解：∵在⊙ O 中，，∴AB=AC ，∴△ ABC 是等腰三角形，∴∠ B=∠ C；又∠ A=30 °，∴∠ B==75°（三角形内角和定理）．应选 B．3．解：由垂径定理可知B、 D 均建立；由圆心角、弧之间的关系可得 A 也建立．不必定建立的是OE=BE ．应选 C．4．解：正确的选项是①②．一定是同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧相等，因此③ 是错误的．应选 A．5．解：A、这两条弦所对的弦心距不必定相等，原说法错误，故本选项错误；B、这两条弦所对的圆心角不必定相等，原说法错误，故本选项错误；C、这两条弦所对的弧不必定相等，原说法错误，故本选项错误；D 、这两条弦都被垂直于弦的半径均分（垂径定理），原说法正确，故本选项正确；应选 D．6．解：取弧AB 的中等 D，连结 AD ， DB ，∵=2，∴AD=BD=AC ，在△ADB 中由三角形的三边关系可知AD+BD ＞ AB ，∴2AC ＞AB ，即 AB ＜2AC，应选 C．7．解：∵∠ A=50 °， OA=OB ，∴∠ OBA= ∠ OAB=50 °，∴∠ AOB=180 °﹣ 50°﹣50°=80 °，∵点 C是的中点，OC过O，∴AD=BD ，∵ OA=OB ，∴∠ BOC= ∠ AOB=40 °，应选 B．8．解：由已知量角器的一条刻度线OF 的读数为 120°，即∠ BOF=120 °，∴∠ COF=180 °﹣∠ BOF=60 °，∵AD∥BC，∴∠ DEF= ∠ COF=60 °，故答案为： 60．9．解：∵====，∴每段弧的度数是：=72°，则的度数是： 3×72=216 °，∴∠ A 5A 1A 2=108°．∵在△A 1A 5B 和△A 2A 1C 中，，∴△ A 1A 5B≌△ A 2A 1C（ SAS），∴∠ A 1A 5B=∠A2A 1C，∴∠ A 5DC= ∠ A1A 5D+ ∠ A5A 1D= ∠ A 5A 1D+ ∠A 2A 1C=∠ A 5A 1A2=108°．故答案是： 108°．10．解：∵ AB=AC ，∠ A=44 °∴∠ ABC= （ 180°﹣ 44°）÷2=68 °又∵ AC 是⊙ O 的直径∴∠ AEC=90 °∴∠ ECD=90 °﹣ 68°=22 °∴ 的度数为 44°．故填 44°．B 档（提高精练）.11．解：∵ AB 是半圆的直径， O 是圆心，∴∠ AOB=180 °；又∵ =2 ，∴ 2∠ AOC= ∠ BOC ，∴∠ BOC=120 °；∵OB=OC （⊙ O 的半径），∴∠ OBC= ∠ OCB （等边平等角）；∴∠ BOC+ ∠ OBC+ ∠OCB=2 ∠ ABC+ ∠ COB=180 °（三角形内角和定理），∴∠ ABC=30 °．故答案是： 30°．12．解：设圆 O 的半径为 r ，∵⊙ O 的面积为 3π，∴ 3π=πR 2，即 R= ．作点 C 对于 AB 的对称点 C ′，连结 OD ， OC ′， DC ′，则 DC ′的长即为 PC+PD 的最小值，∵的度数为80°，∴= =80°，∴=100 °，∵ =20 °，∴=+ =100°+20°=120°，∵OC′=OD ，∴∠ ODC ′=30 °∴ DC′=2OD ?cos30°=2×=3，即 PC+PD 的最小值为3．故答案为： 3．13．解：如图，连结OC， OA ， OB ．∵OC=OA=AC=5 ，∴△ OAC 是等边三角形，∴ CAO=60 °，∵ OA=OB=5 ， AB=5，∴OA 2+OB2=50=AB2，∴△ OAB 是等腰直角三角形，∠OAB=45 °，点 C 的地点有两种状况，如左图时，∠ BAC= ∠ CAO+ ∠OAB=60 °+45°=105°；如右图时，∠ BAC= ∠ CAO ﹣∠ OAB=60 °﹣ 45°=15 °．14．解：连结OC．∵∠ D=∠ AOC （同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；又∵（已知），∴∠ AOB= ∠ BOC（等弧所对的圆心角相等）；∴∠ AOB= ∠ D=62 °．故答案是： 62°．15．解：PO均分∠ BPD，OE垂直AB，OF垂直CD，则OE=OF，即弦 AB ，CD 的弦心距相等，因此 AB=CD ，弧 AB 等于弧 CD，则弧 EG 等于弧 DG ，则弧BG 等于弧 DG；故①、②、④正确；易证△PEO≌△ PFO，则 PE=PF，依据 AB=CD ，获得 BE=DF ，则 PB=PD ，故⑤正确．16．解：将小圆向右平移，使两圆变为齐心圆，如图，连OB，过 O 作 OC⊥AB 于 C 点，则 AC=BC=12 ，∵ AB 是大部分圆的弦且与小半圆相切，∴ OC 为小圆的半径，2222）∴ S 暗影部分 =S 大部分圆﹣ S 小半圆 =π?OB﹣π?OC =π（ OB ﹣ OC2=πBC =72π．17．解：设∠ A=x，∵AB=OC ，∴∠ BOA=x ，∴∠ EBO=2x ，而 OB=OE ，∴∠ AEO=2x ，∴∠ EOD= ∠ A+ ∠ AEO ，而∠ EOD=93 °，∴x+2x=93 °，∴x=31 °，∴∠ EOB=180 °﹣ 4x=180°﹣ 124°=56 °，∴∠ ODE= （ 180°﹣ 93°）÷2=43.5 °．故答案为31°， 56°， 43.5°．18．（1）证明：∵ AC=CD，∴弧 AC 与弧 CD 相等，∴∠ ABC= ∠ CBD ，又∵ OC=OB （⊙ O 的半径），∴∠ OCB= ∠ OBC，∴∠ OCB= ∠ CBD ，∴OC∥ BD ；（ 2）解：∵ OC∥ BD，不如设平行线OC 与 BD 间的距离为h，又 S△OBC=OC ×h， S△DBC=BD ×h，由于 BC 将四边形OBDC 分红面积相等的两个三角形，即 S△OBC=S△DBC，∴OC=BD ，∴四边形OBDC 为平行四边形，又∵ OC=OB ，∴四边形OBDC 为菱形．19．（Ⅰ）证明：∵将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，∴△ DCM ≌△ ACM （ 1 分）∴CD=CA ， DM=AM ，∠ DCM= ∠ ACM ，∠ CDM= ∠ A又∵ CA=CB ，∴CD=CB （ 2 分），∴∠ DCN= ∠ ECF﹣∠ DCM=45 °﹣∠ DCM∠BCN= ∠ ACB ﹣∠ ECF ﹣∠ ACM=90 °﹣ 45°﹣∠ ACM=45 °﹣∠ ACM∴∠ DCN= ∠ BCN （ 3 分）又∵ CN=CN ，∴△ CDN ≌△ CBN ．（ 4 分）∴DN=BN ，∠ CDN= ∠ B．∴∠ MDN= ∠ CDM+ ∠ CDN= ∠A+ ∠B=90 °．（ 5 分）∴在 Rt△MDN 中，由勾股定理∴MN 2=DM2+DN2，即 MN2=AM2+BN2．（ 6 分）（Ⅱ）解：关系式 MN 2=AM2+BN2仍旧建立．（ 7 分）证明：∵将△ACM 沿直线 CE 对折，得△GCM ，连 GN ，∴△ GCM ≌△ ACM ．（ 8 分）∴CG=CA ， GM=AM ，∠ GCM= ∠ ACM ，∠ CGM= ∠ CAM ，又∵ CA=CB ，得 CG=CB ．∵∠ GCN= ∠ GCM+ ∠ ECF= ∠ GCM+45 °∴∠ BCN= ∠ ACB ﹣∠ ACN=90 °﹣（∠ ECF﹣∠ ACM ） =45 °+∠ ACM 得∠ GCN= ∠ BCN ．（8 分）又∵ CN=CN ，∴△ CGN ≌△ CBN ．∴GN=BN ，∠ CGN= ∠ B=45 °，∠ CGM= ∠CAM=180 °﹣∠ CAB=135 °，∴∠ MGN= ∠ CGM ﹣∠ CGN=135 °﹣45°=90 °，∴在 Rt△MGN 中，由勾股定理，∴ MN 2=GM2+GN2，即 MN2=AM2+BN2．（ 9 分）20．（1）证明：∵ OC∥AB∴∠ OCA= ∠ BAC∵OA=OC∴∠ OAC= ∠ OCA∴∠ OAC= ∠ BAC即 AC 均分∠ DAB ；（2）解：∵ AC 均分∠ DAB ，∴弧 CD= 弧 BC∴CD=BC又 AD ：BC=5 ： 3∴AD ：CD=5 ： 3∵AD 是圆的直径，∴∠ ACD=90 °依据勾股定理，得 AD ： CD：AC=5 ： 3：4因此 AD=10 ，即圆的半径是5．C档（超越导练）11．解：∵ AB是半圆的直径，O 是圆心，∴∠ AOB=180 °；又∵=2，∴2∠AOC= ∠BOC ，∴∠ BOC=120 °；∵ OB=OC （⊙ O 的半径），∴∠ OBC= ∠ OCB（等边平等角）；∴∠ BOC+ ∠ OBC+ ∠ OCB=2 ∠ ABC+ ∠ COB=180 °（三角形内角和定理），∴∠ ABC=30 °．12．解：设圆 O 的半径为 r ，∵⊙ O 的面积为 3π，∴ 3π=πR 2，即 R= ．作点 C 对于 AB 的对称点 C ′，连结 OD ， OC ′， DC ′，则 DC ′的长即为 PC+PD 的最小值，∵的度数为80°，∴= =80°，∴ =100 °，∵ =20 °，∴ =+ =100°+20°=120°，∵ OC ′=OD ，∴∠ ODC ′=30 °∴ DC ′=2OD ?cos30°=2 × =3，即 PC+PD 的最小值为3．故答案为： 3．13．解：如图，连结 OC ， OA ， OB ．∵ OC=OA=AC=5 ，∴△ OAC 是等边三角形，∴ CAO=60 °，∵ OA=OB=5 ， AB=5 ，∴ OA 2+OB 2=50=AB 2，∴△ OAB 是等腰直角三角形，∠ OAB=45 °，点 C 的地点有两种状况，如左图时，∠ BAC= ∠ CAO+ ∠OAB=60 °+45°=105°；如右图时，∠ BAC= ∠ CAO ﹣∠ OAB=60 °﹣ 45°=15 °．14．解：连结 OC ．∵∠ D=∠ AOC （同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；又∵ （已知），∴∠ AOB= ∠ BOC （等弧所对的圆心角相等）；∴∠ AOB= ∠ D=62 °．故答案是： 62°．15．解： PO 均分∠ BPD ，OE 垂直 AB ，OF 垂直 CD ，则 OE=OF ，即弦 AB ，CD 的弦心距相等，因此 AB=CD ，弧 AB 等于弧 CD ，则弧 EG 等于弧 DG ，则弧 BG 等于弧 DG ；故 ① 、② 、④ 正确；易证 △PEO ≌△ PFO ，则 PE=PF ，依据 AB=CD ，获得 BE=DF ，则 PB=PD ，故 ⑤ 正确．16．解：将小圆向右平移，使两圆变为齐心圆，如图，连 OB ，过 O 作 OC ⊥AB 于 C 点，则 AC=BC=12 ，∵ AB 是大部分圆的弦且与小半圆相切，∴ OC 为小圆的半径， ∴ S 暗影部分 =S 大部分圆 ﹣ S 小半圆 =π?OB 2﹣ π?OC 2=π（ OB 2﹣ OC 2） =πBC 2=72π．故答案为 72π．17．解：设∠ A=x ，∵ AB=OC ，∴∠ BOA=x ，∴∠ EBO=2x ，而 OB=OE ，∴∠ AEO=2x ，∴∠ EOD= ∠ A+ ∠ AEO ，而∠ EOD=93 °，∴ x+2x=93 °，∴ x=31 °，∴∠ EOB=180 °﹣ 4x=180°﹣ 124°=56 °，∴∠ ODE= （ 180°﹣ 93°）÷2=43.5 °．故答案为31°， 56°， 43.5°．18．（1）证明：∵ AC=CD，∴弧 AC 与弧 CD 相等，∴∠ ABC= ∠ CBD ，又∵ OC=OB （⊙ O 的半径），∴∠ OCB= ∠ OBC，∴∠ OCB= ∠ CBD ，∴OC∥ BD ；（ 2）解：∵ OC∥ BD，不如设平行线OC 与 BD 间的距离为h，又 S△OBC=OC ×h， S△DBC=BD ×h，由于 BC 将四边形OBDC 分红面积相等的两个三角形，即 S△OBC=S△DBC，∴OC=BD ，∴四边形OBDC 为平行四边形，又∵ OC=OB ，∴四边形OBDC 为菱形．19．（Ⅰ）证明：∵将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，∴△ DCM ≌△ ACM （ 1 分）∴CD=CA ， DM=AM ，∠ DCM= ∠ ACM ，∠ CDM= ∠ A又∵ CA=CB ，∴CD=CB （ 2 分），∴∠ DCN= ∠ ECF﹣∠ DCM=45 °﹣∠ DCM∠BCN= ∠ ACB ﹣∠ ECF ﹣∠ ACM=90 °﹣ 45°﹣∠ ACM=45 °﹣∠ ACM∴∠ DCN= ∠ BCN （ 3 分）又∵ CN=CN ，∴△ CDN ≌△ CBN ．（ 4 分）∴DN=BN ，∠ CDN= ∠ B．∴∠ MDN= ∠ CDM+ ∠ CDN= ∠A+ ∠B=90 °．（ 5 分）∴在 Rt△MDN 中，由勾股定理∴MN 2=DM2+DN2，即 MN2=AM2+BN2．（ 6 分）（Ⅱ）解：关系式222仍旧建立．（ 7分）MN =AM+BN证明：∵将△ACM 沿直线 CE 对折，得△GCM ，连 GN ，∴△ GCM ≌△ ACM ．（ 8 分）∴CG=CA ， GM=AM ，∠ GCM= ∠ ACM ，∠ CGM= ∠ CAM ，又∵ CA=CB ，得 CG=CB ．∵∠ GCN= ∠ GCM+ ∠ ECF= ∠ GCM+45 °∴∠ BCN= ∠ ACB ﹣∠ ACN=90 °﹣（∠ ECF﹣∠ ACM ） =45 °+∠ACM 得∠ GCN= ∠ BCN ．（8 分）又∵ CN=CN ，∴△ CGN ≌△ CBN ．∴GN=BN ，∠ CGN= ∠ B=45 °，∠ CGM= ∠CAM=180 °﹣∠ CAB=135 °，∴∠ MGN= ∠ CGM ﹣∠ CGN=135 °﹣45°=90 °，∴在 Rt△MGN 中，由勾股定理，222222∴ MN=GM +GN，即 MN =AM+BN ．（ 9分）20．（1）证明：∵ OC∥AB∴∠ OCA= ∠ BAC∵OA=OC∴∠ OAC= ∠ OCA∴∠ OAC= ∠ BAC即 AC 均分∠ DAB ；（2）解：∵ AC 均分∠ DAB ，∴弧 CD= 弧 BC∴CD=BC又 AD ：BC=5 ： 3∴AD ：CD=5 ： 3∵AD 是圆的直径，∴∠ ACD=90 °依据勾股定理，得 AD ： CD：AC=5 ： 3：4因此 AD=10 ，即圆的半径是5．C档（超越导练）21．证明：证法一：延伸AO 交圆与点 M ，连结 DM ，∵ AM 是圆的直径，∵∠ ADM=90 °则△OAC 与△ADM 都是直角三角形，且∠A 是公共角，∴∠ M= ∠ C，而∠ AOD=2 ∠ M ．∴∠ AOD=2 ∠C．∵∠ AOD 的度数就等于弧AD 的度数，∴弧 AD 的度数是∠ C 的 2 倍．证法二：连结OD，在直角△AOC 中，∠ C=90 °﹣∠ A ，在△OAD 中，∵ OA=OD ，∴∠ A=∠ADO ．∴∠ AOD=180 ﹣ 2∠ A．∴∠ AOD=2 ∠C．∵∠ AOD 的度数就等于弧AD 的度数，∴弧 AD 的度数是∠ C 的 2 倍．证法三：延伸AO 交圆于点 N ，连结 CN ，交圆于点M ，连结 OM 、 OD ，∵AN ⊥OC， OA=ON ，∴ AC=CN ．∴∠ A= ∠ N∠ ACN=2 ∠ ACO ．∴∠ ACN=180 ﹣∠ A ﹣∠ N=180 ﹣ 2∠ A ．∵△ OAD 中 OA=OD ，∴∠ A= ∠ ADO= ∠N ．∴∠ AOD= ∠ACN=2 ∠ACO ．又∵∠ AOD 的度数就等于弧AD 的度数，弧 AD 的度数是∠ ACO 的 2 倍．22．解：（1）∵∴∠ BOC=3 ∠ AOD ，∠ COD=2 ∠ AOD （ 2 分）∵∠ BOC+ ∠ COD+ ∠ AOD=180 °∴∠ AOD=30 °，∠ BOC=90 °，∠ COD=60 °（ 4 分）∴∠ DAB= ∠ BOD= （∠ BOC+ ∠ COD ）=75 °（ 5 分）∠ABC= ∠ AOC= （∠ AOD+ ∠COD ）=45 °（ 6 分）（ 2）①若，则∠ DAB＞∠ ABC；（8分）②若，则∠ DAB=∠ ABC；（10分）③若，则∠ DAB＜∠ ABC（12分）23．（1）证明：∵ AB=CD，∴=∴﹣=﹣，即=∴AC=BD（2）四边形 OFEG 是正方形．原因：连结 OA 、OD ．∵ AB ⊥ CD ，OF⊥ CD， OG⊥AB ，∴四边形OFEG 是矩形；∵OF⊥CD ，OG⊥AB ，∴ DF=CD ， AG=AB ，∵AB=CD ，∴ DF=AG ；∵OD=OA ，∴Rt△OFD ≌Rt△OGA （ HL ）∴OF=OG ，∴矩形 OFEG 是正方形．24．证明：（1）如图1，连结AD，BD，∵C 是劣弧 AB 的中点，∴∠ CDA= ∠ CDB ，∴△ ADB 为等腰三角形，∵CD⊥ AB ，∴AE=BE ；（2）如图 2，延伸 DB 、 AP 订交于点 F，再连结 AD ，∵ ADBP 是圆内接四边形，∴∠ PBF=∠ PAD，∵ C 是劣弧 AB 的中点，∴∠ CDA= ∠ CDF，∵CD⊥ PA，∴△ AFD 为等腰三角形，∴∠ F=∠ A ， AE=EF ，∴∠ PBF=∠ F，∴PB=PF，∴AE=PE+PB（3） AE=PE ﹣PB．连结 AD ， BD ， AB ，DB 、 AP 订交于点F，∵弧 AC= 弧 BC，∴∠ ADC= ∠ BDC ，∵CD⊥ AP ，∴∠ DEA= ∠ DEF，∠ ADE= ∠ FDE ，∵DE=DE ，∴△ DAE ≌△ DFE ，∴AD=DF ， AE=EF ，∴∠ DAF= ∠ DFA ，∴∠ DFA= ∠PFB ，∠ PBD= ∠DAP ，∴∠ PFB=∠ PBF，∴PF=PB，∴AE=PE ﹣ PB；25．证明：∵弧CB= 弧 CD ，∴CB=CD ，∠ CAE= ∠CAB ，又∵ CF⊥ AB ，CE ⊥AD ，∴CE=CF，∴Rt△CED ≌Rt△CFB，∴DE=BF ．26．解：如图，设圆的半径是r ，则AO=r ， BO=r ，作直径 BD ，作 BC ⊙ O 的弦 BC，使∠ DBC=30 °，作 BC 对于直径 BD 的对称线段 BE，连结 EC， BE，ED ， AC ，在直角△BED 中，能够得∠EBD=30 °，由于线段BE 与线段 BC 对于直线 BD 对称，因此 BC=BE ，因此 BD 垂直均分线段CE，因此=，因此∠ CBD=30 °而∠ BCA= ∠ AOB=45 °．在三角形ABC 中，∠OAC=180 °﹣∠ ABO ﹣∠ CBD ﹣∠ ACB ﹣∠BAO=15 °．同理，当 E 为 C 时，∠ OAC=75 °．故答案为： 15°或 75°．27．解：延伸CD 交半径为p 的⊙ D 于 E 点，连结AE ．明显 A 、 B 、C 在⊙ D 上．∵AB ∥CD∴．∴BC=AE=q ．在△ACE 中，∠ CAE=90 °， CE=2p ， AE=q ，故AC==．故答案为：．28．证明：在BA 上截取 BF=CA ，连 DF ， DC，如图，∵D 为的中点，∴ DB=DC ，又∵∠ DBF= ∠ ACD ，∴△ DBF ≌△ DCA ，∴ DF=DA ，而 DE ⊥AB ，∴ AE=EF ，∴ BF=BE ﹣ EF=BE ﹣ AE=CA ，又∵ BD 2=BE 2+DE 2， AD 2=AE 2+DE 2，∴ BD 2﹣AD 2=BE 2﹣ AE 2=（ BE+AE ）（BE ﹣AE ） =AB ?AC ，即证．29．证明：∵ AD=BC ，∴ = ，∴ = ，∴ AC=BD ．30．解：作直径 DE ．∵ OB=OD ， OB=PD ，∴ DO=DP ，∵∠ P=29°，∴∠ DOP= ∠ DOP=29 °=∠ AOE ， ∴弧 AE 的度数是29°，∠ CDE= ∠ P+∠ DOP=58 °， ∴弧 CAE 的度数是2×58°=116°，∴弧 AC 的度数是 116°﹣ 29°=87°．。

圆心角、弧、弦三者的关系 (恢复)

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。
︵︵如图所示，在⊙O中， AB = AC ， ∠ACB=60°。 A 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC ︵︵证明：∵ AB = AC O ∴AB=AC,△ABC是等腰三角形
( 在同圆中，相等的弧所对的弦相等 )
B
C
又∵∠ACB=60° ∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等
(
)
︵
AC
︵ =
BD
A C （A）
︵︵当 AB =CD时
O B
O1 D（B）
.
在同圆或所对的弦也相等。
.
C （A）
⑵在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？
当AB=CD时 O1 D （B）（A） C
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
24.1.3 弧、弦、圆心角
制作人：瓮安县中坪中学李坤江
1、什么是弦？
连接圆上任意两点的线段叫做弦。即：如右图弦AB 2、什么是弧？什么是等弧？圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧，即：︵如上图 AB ；能够互相重合的弧叫做等弧。
我们把顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫做圆心角。
AB 叫作圆如图3-5所示，∠AOB叫作圆心角，心角∠AOB所对的弧。
︵
3-5
下列各角中，是圆心角的是（
）
(A)
(B)

九上圆心角知识点+例题+练习 5种题型 (分类全面)

知识点、圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所，所对的弦相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

题型1：圆心角性质和推论例1、如图，在△ABC中，∠A=70°，☉O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数为题型2：圆心角性质和推论与综合证明例1、如图，点O在∠MPN 的平分线上，☉O 分别交P N、PM 于点A、B 和点C、D．求证：∠PCO=∠NAO．E D C B A O 题型 1：圆周角性质的综合应用例 1、将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点 C 在半圆上，点 A 、B 的读数分别为 100°、150°，则∠ACB 的大小为度．例 2 、如图，量角器的直径与直角三角板 ABC 的斜边 AB 重合，其中量角器 0 刻度线的端点 N 与点 A 重合，射线 CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 3 度的速度旋转，CP 与量角器的半圆弧交于点 E ，第 24 秒，点 E 在量角器上对应的读数是 °．例3.如图,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.例4、如图，AD 是∆ABC 的高，AE 是∆ABC 的外接圆的直径．试说明弧BE=弧CFDF例5、已知：如图，P 是∠AOB 的角平分线OC 上的一点，⊙P 与OA 相交于E ，F 点，与OB 相交于G ，H 点，试确定线段EF 与GH 之间的大小关系，并证明你的结论．例6、已知：⊙O 的半径OA =1，弦AB 、AC 的长分别为2，3，求∠BAC 的度数．例7、已知：如图，为的直径，交于点，交于点．（1）求的度数；（2）求证：．AB O ⊙AB AC BC =，O ⊙D AC O ⊙45E BAC ∠=，°EBC ∠BD CD =，BF与AD 例8、已知：如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，BA AF 交于E，•求证：AE=BE．例9．已知：如图，∠AOB=90°，C、D是AB的三等分点，AB分别交OC、•OD•于点E、F．求证：AE=BF=CD．题型2：圆中截长补短证线段间数量关系例 1、如图，△ABC 是等边三角形，D 是 B C 上任一点，请判断 BD、CD 和DA 间的关系．题型5：90O的圆周角所对的弦是直径应用例1、下列格点图中都给出了圆，只用直尺就能确定圆心的是( )A B C D例 2 、如图，A、B、E、C 四点都在圆O上，AD 是△ABC 的高，∠EAB＝∠DAC，问：AE 是⊙O 的直径吗？为什么？。

Q9 第9讲弧、弦、角的关系(学生卷)【B4版】

第九讲弧、弦、角的关系本课是在学习了圆的半径、直径的基础上，对圆的弦、弧、圆心角等概念以及圆的对称性进行研究，用推理论证的方法研究圆周角与圆心角关系。

它在与圆有关推理、论证和计算中应用广泛，是本章重点内容之一。

★〓知识纵横〓★一、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1、圆的旋转不变性：把圆绕着圆心旋转角度，都与原来的图形重合，我们把这种性质称为圆的。

则圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

2、圆心角：顶点在的角。

3、弦心距：从圆心到的距离叫作弦心距，弦心距可以说成是圆心到弦的垂线段的长度。

4、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（即四量定理）：在中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个、、或中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．5、1的弧：把顶点在圆心的周角等分成360份时，每1份的圆心角是1的角；把整个圆也被分成360份，我们把每一份这样的弧叫作的弧。

6、圆心角度数定理：圆心角的度数和它所对的弧的度数。

二、圆周角及其相关定理1、圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角。

注意：圆周角必须具备两个特征：①顶点在圆周上；②角的两边都和圆相交。

如图：2、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

圆周角定理的证明：（添加以圆周角的顶点为端点的直径为辅助线分类讨论）因为在⊙O中，同一弧所对的圆周角和圆心角的位置关系有三种情况：(1)心在圆周角的“一边上”（如图⑴）(2)圆心在圆周角的“内部”（如图⑵）(3)圆心在圆周角的“外部”（如图⑶）3、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。

★〓考点例题指导〓★考点一：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的基本理解【例1】判断题:(1)相等的圆心角所对弦相等（）(2)相等的弦所对的弧相等（）(3)相等弦的弦心距相等（）(4)同圆或等圆中，两弦相等，所对弧也相等（）【例2】如图，AB 是O ⊙的直径，点C 、D 在O ⊙上，110BOC ∠=°，AD OC ∥，则AOD ∠= 。

弦,圆心角,弧,弦心距关系定理及内接四边形

四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）例1．如图所示，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D，求证：AB=CD．ABE OOPO 1O 2O例2、已知：如图，EF 为⊙O 的直径，过EF 上一点P 作弦AB 、CD ，且∠APF=∠CPF 。

求证：PA=PC 。

例3．如图所示，在ABC ∆中，∠A=︒72，⊙O 截ABC ∆的三条边长所得的三条弦等长，求∠BOC.例4．如图，⊙O 的弦CB 、ED 的延长线交于点A ，且BC=DE ．求证：AC=AE ．·OAB CO ·CAEBD例5．如图所示，已知在⊙O 中，弦AB=CB ，∠ABC=︒120，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥BC 于E ．求证：ODE ∆是等边三角形．综合练习一、选择题1．下列说法中正确的是（）A 、相等的圆心角所对的弧相等B 、相等的弧所对的圆心角相等C 、相等的弦所对的弦心距相等D 、弦心距相等，则弦相等2．如图，在⊙O 中，AB 的度数是︒50，∠OBC=︒40，那么∠OAC 等于（） A 、︒15 B 、︒20 C 、︒25 D 、︒303．P 为⊙O 内一点，已知OP=1cm ，⊙O 的半径r=2cm ，则过P 点弦中，最短的弦长为（） A 、1cm B 、3cm C 、32cm D 、4cm4．在⊙O 中，AB 与CD 为两平行弦，AB >CD ，AB 、CD 所对圆心角分别为︒︒60,120，若⊙O 的半径为6，则AB 、CD 两弦相距（）A 、3B 、6C 、13+D 、333± 5.如图所示，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E 。

初中数学中考专题复习之圆专题06 圆心角、弧、弦的关系

专题06 圆心角、弧、弦的关系1．AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若的度数为50°，则∠ADC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．50°解析：∵的度数为50°，∴∠BOC＝50°，∵半径OC⊥AB，∴＝，，∴∠ADC＝∠BOC＝25°．选B．2．如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N 在⊙O上．下列结论：①MC＝ND，②＝＝，③四边形MCDN是正方形，④MN＝AB，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解析：连接OM、ON，如图，∵MC⊥AB、ND⊥AB，∴∠OCM＝∠ODN＝90°，∵C、D分别是OA、OB的中点，OA＝OB，∴OC＝OD＝OM＝ON，∴∠OMC＝∠OND＝30°，∴∠COM＝∠DON＝60°，∴∠MON＝60°，∴＝＝，所以②正确；∴△OMN为等边三角形，∴MN＝CD，∠OMN＝60°∴MN∥CD，∴四边形CDNM为矩形，∴MC＝ND，所以①正确；③错误；∵MN＝CD＝OA+OB＝AB，∴④正确．选C．3．如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（）A．32°B．60°C．68°D．64°解析：∵＝，∴∠BOD＝∠AOE＝32°，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠AOC＝32°∴∠COE＝32°+32°＝64°．选D．4．如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°解析：∵∠A＝50°，OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝50°，∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∵点C是弧AB的中点，∴∠BOC＝∠AOB＝40°，选C．5．下列说法正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等B．90°的角所对的弦是直径C．等弧所对的弦相等D．圆的切线垂直于半径解析：A，要强调在同圆或等园，相等的圆心角所对的弧才相等；B，90°的圆周角所对的弦是直径，要强调这个90°的角是圆周角；C，等弧所对的弦相等，这个命题是正确的；D，圆的切线垂直于过切点的半径，不是垂直于所有的半径．选C．6．如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，＝，∠AOB＝58°，则∠BDC的度数是（）A．58°B．42°C．32°D．29°解析：连接OC，∵＝，∴∠BOC＝∠AOB＝58°，由圆周角定理得，∠BDC＝∠BOC＝29°，选D．7．P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知、的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（）A．26°B．28°C．30°D．32°解析：∵和所对的圆心角分别为88°和32°，∴∠A＝×32°＝16°，∠ADB＝×88°＝44°，∵∠P+∠A＝∠ADB，∴∠P＝∠ADB﹣∠A＝44°﹣16°＝28°．选B．8．下列说法正确的是（）A．同弧或等弧所对的圆心角相等B．相等的圆周角所对的弧相等C．弧长相等的弧一定是等弧D．平分弦的直径必垂直于弦解析：A、同弧或等弧所对的圆心角相等，故本选项正确；B、如图，∠EBF＝∠CAD，但是弧EF≠弧CD，故本选项错误；C、在同圆或等圆中，弧长相等的弧是等弧，故本选项错误；D、平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，如图，弦AB和直径CD就不垂直，故本选项错误；选A．9．下列说法正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C．相等的弦所对的圆心到弦的距离相等D．圆心到弦的距离相等，则弦相等解析：A，C，D中没有强调在同圆和等圆中，故错误，只有B正确，选B．10．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC＝30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（）度．A．30 B．45 C．50 D．60解析：∵OD⊥BC，∠ABC＝30°，∴在直角三角形OBE中，∠BOE＝60°（直角三角形的两个锐角互余），即∠DOB＝60°．又∵∠DCB＝∠DOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠DCB＝30°；选A．11．如图所示，AB是所对的弦，AB的垂直平分线CD分别交，AB于C，D，AD 的垂直平分线EF分别交，AB于E，F，DB的垂直平分线GH分别交，AB于G，H，则下面结论不正确的是（）A．B．C．EF＝GH D．解析：A、正确，CD是AB的中垂线，点C也是弧AB的二等分点，B、正确，在同圆中，两直线平行，则直线所夹的弧相等，C、正确，在同圆中，弦心距相等，则弦相等，弦的一半也相等D、错误．点F是AD的中点，但点E不一定是弧AC的二等分点．选D．12．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为40°，则的度数是．解析：连接OD、OE，∵的度数为40°，∴∠AOD＝40°，∵CD＝CO，∴∠ODC＝∠AOD＝40°，∵OD＝OE，∴∠ODC＝∠E＝40°，∴∠DOE＝100°，∴∠AOE＝60°，∴∠BOE＝120°，∴的度数是120°．13．如图，AB是⊙O的直径，点D、C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝2，BC＝，则⊙O的半径长为．解析：延长CO交⊙O于R，连AR，DR，过D作DM⊥AR于M，∵∠DOC＝90°，∴∠DOR＝90°，∴∠DAR＝180°﹣×90°＝135°，∴∠DAM＝45°，∵DM⊥AM，DA＝2，∴DM＝AM＝，∴MR＝2，DR＝，∵2OD2＝DR2，∴OD＝14．如图，多边形ABDEC是由边长为m的等边△ABC和正方形BDEC组成，⊙O过A、D、E三点，则∠ACO＝．解析：∵多边形ABDEC是由边长为m的等边△ABC和正方形BDEC组成，∴AC＝EC，∠ACE＝∠ACB+∠ECB＝60°+90°＝150°，∵⊙O过A，D，E三点，∴AO＝EO，又OC＝OC，∴△ACO≌ECO（SSS），∴∠ACO＝∠ECO＝∠ACE＝1/2×150°＝75°，15．如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，以点B为圆心，BC长为半径作弧AC，点D为弧AC的中点，连接CD，点E为BC上一个动点（不与点B，C重合），连接DE，以DE所在直线为对称轴作△DEC的对称图形，点C的对称点为点F，当点F落在△ABC的边上时（不与端点重合），CE＝．解析：如图1中，当点F蜡烛BC上时，连接BD．此时∠BED＝90°，∠DBE＝30°，BD＝BA＝BC＝2，∴BE＝AB•c o s30°＝，∴CE＝BC﹣BE＝2﹣如图2中，当点F落在AB上时，连接DA．由题意：∠DAF＝∠DFA＝∠EFD＝∠ECD＝75°，∴∠BFE＝30°，∵∠EBF＝60°，∴∠FEB＝90°，∴EF＝EC＝BE，∴BE+BE＝2，∴BE＝﹣1，∴EC＝BC﹣BE＝2﹣（﹣1）＝3﹣，综上所述，满足条件的CE的值为2﹣或3﹣．16．如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若AD＝6，⊙O的半径为5，求BC的长．（1）证明：连接AC，如图1所示：∵C是弧BD的中点，∴∠DBC＝∠BAC，在ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠BCE+∠ECA＝∠BAC+∠ECA＝90°，∴∠BCE＝∠BAC，又C是弧BD的中点，∴∠DBC＝∠CDB，∴∠BCE＝∠DBC，∴CF＝BF．（2）解析：连接OC交BD于G，如图2所示：∵AB是O的直径，AB＝2OC＝10，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝＝8，∵C是弧BD的中点，∴OC⊥BD，DG＝BG＝BD＝4，∵OA＝OB，∴OG是△ABD的中位线，∴OG＝AD＝3，∴CG＝OC﹣OG＝5﹣3＝2，在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC＝＝＝2．17．如图，M为⊙O上一点，OD⊥AM于D，OE⊥BM于E，若OD＝OE．求证：＝．证明：∵OD⊥AM，OE⊥BM，∴∠ODA＝∠OEB＝90°，AD＝DM，ME＝EB，∵OD＝OE，OA＝OB，∴Rt△ODA≌Rt△OEB（HL），∴AD＝BE，∴AM＝BM，∴＝18．如图1，AB、AC为⊙O的两条弦，AO平分∠BAC．（1）求证：＝；（2）如图2，AE⊥直径BD于E①求证：BC＝2AE；②若DE＝2，BC＝8，求AB的长．（1）证明：过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，∵OA平分∠BAC，∴OD＝OE，∴AB＝CD，∴＝；（2）①延长AO交BC于H，连接AD，∵＝；∴AB＝AC，∵AO平分∠BAC，∴AH⊥BC，BH＝CH＝BC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵AE⊥BD，∴∠D+∠DAE＝∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠D，∵∠C＝∠D，∴∠C＝∠BAE，∵∠AHC＝∠AEB＝90°，∴△ABE≌△CAH（AAS），∴CH＝AE，∴BC＝2AE；②∵BC＝8，∴AE＝BC＝4，∵DE＝2，∴AD＝＝2，∵∠D＝∠BAE，∠AED＝∠AEB＝90°，∴△ABE∽△DAE，∴＝，∴＝，∴AB＝4．19．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．证明：（1）∵C是的中点，∴，∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴，∴，∴CD＝BF，在△BFG和△CDG中，∵，∴△BFG≌△CDG（AAS）；（2）解法一：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣22，Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣2）2，∵，∴，∴BD＝CF，∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，即（2r）2﹣22＝4[r2﹣（r﹣2）2]，解得：r＝1（舍）或3，∴BF2＝EF2+BE2＝32﹣（3﹣2）2+22＝12，∴BF＝2；解法二：如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，∵，∴∠HAC＝∠BAC，∵CE⊥AB，∴CH＝CE，∵AC＝AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），∴AE＝AH，∵CH＝CE，CD＝CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），∴DH＝BE＝2，∴AE＝AH＝2+2＝4，∴AB＝4+2＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BEC＝90°，∵∠EBC＝∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴，∴BC2＝AB•BE＝6×2＝12，∴BF＝BC＝2．解法三：如图，连接OC，交BD于H，∵C是的中点，∴OC⊥BD，∴DH＝BH，∵OA＝OB，∴OH＝AD＝1，∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°，∴△COE≌△BOH（AAS），∴OH＝OE＝1，∴CE＝EF＝＝2，∴BF＝＝＝2．20．如图，A、B是⊙O上两点，点C是弧AB的中点，∠AOB＝120°．（1）求证：四边形OACB是菱形；（2）延长OA至P使得OA＝AP，连接PC，PC＝，求⊙O的半径．证明：（1）连结OC，如图，∵C是的中点，∠AOB＝l20°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，又∵OA＝OC＝OB，∴△OAC和△OBC都是等边三角形，∴AC＝OA＝OB＝BC，∴四边形OACB是菱形．（2）∵由（1）知，△OAC是等边三角形，∴AC＝OA，∠OAC＝∠ACO＝60°，∴∠PAC＝120°．又∵OA＝AP，∴AP＝AC，∴∠APC＝∠ACP＝30°，∴∠PCO＝∠PCA+∠ACO＝90°，即PC⊥OC．又∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线，∵PC＝，∴OC＝1，即⊙O的半径是1．。

圆心角、弧、弦的关系（分类汇编含答案经典）

A ． cm B ． cm C ． cm D ．4cm 2013中考全国100份试卷分类汇编份试卷分类汇编圆心角、弧、弦的关系1、（德阳市2013年）如图．圆O 的直径CD 过弦EF 的中点G, ∠DCF=20°.，则∠EOD 等于等于A. 10°B. 20°C. 40°D. 80°答案：C 解析：因为直径过弦EF 的中点G ，所以，CD ⊥EF ，且平分弧EF ，因此，弧ED 与弧BD 的度数都为40°，所以，∠EOD ＝40°，选C 。

2、（2013•内江）如图，内江）如图，半圆半圆O 的直径AB=10cm ，弦AC=6cm ，AD 平分∠BAC ，则AD 的长为（长为（）考点：圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：连接OD ，OC ，作DE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，运用圆周角定理，可证得∠DOB=∠OAC ，即证△AOF ≌△OED ，所以OE=AF=3cm ，根据勾股定理，得DE=4cm ，在直角三角形ADE 中，根据勾股定理，可求AD 的长．解答：解：连接OD ，OC ，作DE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，∵∠CAD=∠BAD （角平分线的性质），∴=，∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD ， ∴△AOF ≌△OED ， ∴OE=AF=AC=3cm ，在Rt △DOE 中，DE==4cm ，在Rt △ADE 中，AD==4cm ．故选A ．点评：本题考查了翻折变换及圆的有关计算，涉及圆的题目作弦的弦心距是常见的辅助线之3、（2013泰安）如图，已知AB ABE ，选项C 正确； AC 不一定垂直于OE ，选项D 错误．解答：解：A ．∵点C 是的中点，∴OC ⊥BE ， ∵AB 为圆O 一，注意熟练运用垂径定理、圆周角定理和勾股定理．是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A ，点C 是的中点，则下列结论不成立的是（列结论不成立的是（）A ．OC ∥AE B ．EC=BC C ．∠DAE=∠ABE D ．AC ⊥OE 考点：切线的性质；：切线的性质；圆心角圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．、弧、弦的关系；圆周角定理．专题：计算题．：计算题．分析：由C 为弧EB 的中点，利用垂径定理的逆定理得出OC 垂直于BE ，由AB 为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到AE 垂直于BE ，即可确定出OC 与AE 平行，选项A 正确；由C 为弧BE 中点，即弧BC=弧CE ，利用等弧对等弦，得到BC=EC ，选项B 正确；由AD 为圆的切线，得到AD 垂直于OA ，进而确定出一对角互余，再由直角三角形ABE中两锐角互余，利用同角的余角相等得到∠DAE=∠的直径， ∴AE ⊥BE ， ∴OC ∥AE ，本选项正确； B ．∵=， ∴BC=CE ，本选项正确； C ．∵AD 为圆O 的切线，∴AD ⊥OA ， ∴∠DAE+∠EAB=90°， ∵∠EBA+∠EAB=90°， ∴∠DAE=∠EBA ，本选项正确； D ．AC 不一定垂直于OE ，本选项错误，故选D 点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及圆心角，弧及弦之间的关系，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．w W w .x K b 1.c o M4、（2013•苏州）如图，AB 是半圆的直径，点D 是AC 的中点，∠ABC=50°，则∠DAB 等于（）A ． 55°B ． 60°C ． 65°D ． 70°分析：连5、（2013•宜昌）如图，DC 是⊙O 直径，弦AB ⊥CD 于F ，连接BC ，DB ，则下列结论错误的是（的是（）A ．B ． A F=BF C ． O F=CF D ． ∠DBC=90°考点：垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．分析：根据垂径定理可判断A 、B ，根据圆周角定理可判断D ，继而可得出答案．解答：解：∵DC 是⊙O 直径，弦AB ⊥CD 于F ，考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．专题：计算题．结BD ，由于点D 是AC 弧的中点，即弧CD=弧AD ，根据圆周角定理得∠ABD=∠CBD ，则∠ABD=25°，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，然后利用三角形内角和定理可计算出∠DAB 的度数．解答：解：连结BD ，如图，∵点D 是AC 弧的中点，即弧CD=弧AD ，∴∠ABD=∠CBD ，而∠ABC=50°， ∴∠ABD=×50°=25°， ∵AB 是半圆的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠DAB=90°﹣25°=65°．故选C ．点评：本题考查了圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角．A ． 4B ． 5C ． 6D ． 7分析：根据圆周角定理∠CAD=∠CDB ，继而证明△ACD ∽△DCE ，设AE=x ，则AC=x+4，利用∴点D 是优弧AB 的中点，点C 是劣弧AB 的中点，A 、=，正确，故本选项错误；B 、AF=BF ，正确，故本选项错误；C 、OF=CF ，不能得出，错误，故本选项错误；D 、∠DBC=90°，正确，故本选项错误；故选C ．点评：本题考查了垂径定理及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容，难度一般．6、（2013•绥化）如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，AC 平分∠BAD ，AC 交BD 于点E ，CE=4，CD=6，则AE 的长为（的长为（）考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质．对应边成比例，可求出x 的值．解答：解：设AE=x ，则AC=x+4，∵AC 平分∠BAD ， ∴∠BAC=∠CAD ， ∵∠CDB=∠BAC （圆周角定理），∴∠CAD=∠CDB ， ∴△ACD ∽△DCE ， ∴=，即=，解得：x=5．故选B ．点评：本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD=∠CDB ，证明△ACD ∽△DCE ．7、（2013台湾、34）如图，是半圆，O 为AB 中点，C 、D 两点在上，且AD ∥OC ，连接BC 、BD ．若=62°，则的度数为何？（的度数为何？（）新课标第一网AB=BC=4，弦CD=DE=4，连结OB ，OD ，则图中两个阴影部分的面积和为，则图中两个阴影部分的面积和为 10π．A ．56 B ．58 C ．60 D ．62 考点：考点：圆心角圆心角、弧、弦的关系；平行线的性质．分析：分析：以以AB 为直径作圆，如图，作直径CM ，连接AC ，根据平行线求出∠1=∠2，推出弧DC=弧AM=62°，即可求出答案．解答：解：以AB 为直径作圆，如图，作直径CM ，连接AC ，∵AD ∥OC ， ∴∠1=∠2， ∴弧AM=弧DC=62°，∴弧AD 的度数是180°﹣62°﹣62°=56°，故选A ．点评：本题考查了平行线性质，圆周角定理的应用，关键是求出弧AM 的度数．8、（2013•宁波）如图，AE 是半圆O 的直径，弦考点：扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．专题：综合题．分析：根据弦AB=BC ，弦CD=DE ，可得∠BOD=90°，∠BOD=90°，过点O 作OF ⊥BC 于点F ，OG ⊥CD 于点G ，在四边形OFCG 中可得∠FCD=135°，过点C 作CN ∥OF ，交OG 于点N ，判断△CNG 、△OMN 为等腰直角三角形，分别求出NG 、ON ，继而得出OG ，在Rt △OGD 中求出OD ，即得圆O 的半径，代入扇形面积公式求解即可．解答：解：OF ⊥BC 于点F，∵弦AB=BC ，弦CD=DE ，∴点B 是弧AC 的中点，点D 是弧CE 的中点，∴∠BOD=90°，过点O 作OG ⊥CD 于点G ，则BF=FG=2，CG=GD=2，∠FOG=45°，在四边形OFCG 中，∠FCD=135°，过点C 作CN ∥OF ，交OG 于点N ，则∠FCN=90°，∠NCG=135°﹣90°=45°， ∴△CNG 为等腰三角形， ∴CG=NG=2，过点N 作NM ⊥OF 于点M ，则MN=FC=2，在等腰三角形MNO 中，NO=MN=4， ∴OG=ON+NG=6，在Rt △OGD 中，OD===2，即圆O 的半径为2，故S 阴影=S 扇形OBD ==10π．故答案为：10π．点评：本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是求出圆0的半径，此题难度较大．9、（2013•常州）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC=120°，AB=AC ，BD 为⊙O 的直径，AD=6，则DC= 2 ．考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．分析：根据直径所对的圆周角是直角可得∠BAD=∠BCD=90°，然后求出∠CAD=30°，利用同弧所对的圆周角相等求出∠CBD=∠CAD=30°，根据圆内接四边形对角互补求出∠BDC=60°再根据等弦所对的圆周角相等求出∠ADB=∠ADC ，从而求出∠ADB=30°，解直角三角形求出BD ，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．解答：解：∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BAD=∠BCD=90°，∵∠BAC=120°，∴∠CAD=120°﹣90°=30°，∴∠CBD=∠CAD=30°，又∵∠BAC=120°，∴∠BDC=180°﹣∠BAC=180°﹣120°=60°，∵AB=AC，∴∠ADB=∠ADC，∴∠ADB=∠BDC=×60°=30°，∵AD=6，∴在Rt△ABD中，BD=AD÷cos60°=6÷=4，在Rt△BCD中，DC=BD=×4=2．故答案为：2．点评：本题考查了圆周角定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，以及圆的相关性质，熟记各性质是解题的关键．10、（2013•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=35，求⊙O的直径．的直径．考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；锐角三角函数的定义．专题：几何综合题．分析：（1）要证明CB∥PD，可以求得∠1=∠P，根据=可以确定∠C=∠P，又知∠1=∠C，即可得∠1=∠P；（2）根据题意可知∠P=∠CAB，则sin∠CAB=，即=35，所以可以求得圆的直径．解答：（1）证明：∵∠C=∠P 又∵∠1=∠C ∴∠1=∠P ∴CB∥PD；（2）解：连接AC ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°又∵CD⊥AB，∴=，∴∠P=∠CAB，∴sin∠CAB=35，即=35，又知，BC=3，∴AB=5，∴直径为5．点评：本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质，解题时细心是解答好本题的关键．。

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弧，弦，圆心角的关系练习题
1．到点O 的距离为5的所有点构成的图形是__________
2. △ABC 中，∠C=90°，AB=cm 4，BC=cm 2，以点A 为圆心，以cm 5.3长为半径画圆，则点C 在圆A___________，点B 在圆A_________；
3、在⊙O 中的两条弦AB 和CD ，AB>CD ，AB 和CD 的弦心距分别为OM 和ON ，则OM__________ON 。

4、如图，在⊙O 中，弦EF ∥直径AB ，若弧AE 的度数为50°，则弧EF 的度数为，弧BF 的度数为，∠EOF= °，∠
EFO= °。

5， ⊙O 中，如果弧AB=2弧BC ，那么下列说法中正确的是（）
A. AB=BC
B. AB=2BC
C. AB ＞2BC
D. AB<2BC
6.、AB 为⊙O 的直径，C 、D 为半圆AB 上两点，且弧AC 、弧CD 、弧DB 的度数的比为3∶2∶5，则∠AOC= °，∠
COD= °，∠DOB= °。

7.. 在⊙O 中，弦AB=8cm ，弦心距为cm 34，则圆心角∠AOB= 。

8.．如图7－34，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆与角的两边分别相交于A 、B 和C 、D ，角平分线PO 和⊙O 相交于G 、H ．下列结论：①AB ＝CD ；②
＝；③PB ＝PD ；④PA ＝PC ，其中正确的有（）．A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
9、已知：如图，AB 、CD 是⊙O 的两条直径，弦AE ∥CD ，求证：．
10. 已知：如图，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D 。

求证：∠OBA=∠OCD 。

11. 已知：如图，∠AOB=90°，C 、D 是弧AB 的三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F 。

求证：AE=BF=CD 。

12、已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上的一点，⊙P与OA相交于E，F点，与OB相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论．。

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