第五节隐函数的求导公式

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5 第五节隐函数的求导公式 (定理两个方程确定两个一元隐函数定理两个方程确定两个二元隐函数

x 2 y 2 z 2 1, z xy
确定了
1 x2 1 x2 和 , 它们是连续函数, 且有连续 z x 1 x2 1 x2 2x
1 x
3 2 2
1 x
2
, z x
x4 2x2 1
1 x
3 2 2
, 满足
2
1 x
4
解
x
47 6 7 47 5, y 2 . 3 4 3 4 7 6 7 6
例 (补) (1) (2)
x 2 y 2 z 2 1, 设求 z xy.
y x 和 zx ; x 2 y 2 z 2 1, 在点 0, 1, 0 附近所确定的隐 z xy
x 2 y 2 z 2 1, z xy
在点 P x0 , y0 , z0 的某一邻域
内能够唯一确定一对连续且有连续导数的函数 y y x 和
z z x , 它们满足 y0 y x0 , z0 z x0 . 在 x 2 y 2 z 2 1 的两边对 x 求导, 则 x yy x zz x 0 , 从而 yy x zz x x . 在 z xy 的两边对 x 求导, 则 z x y xy x , 从而 xy x z x y .
x0 , y0 , z0

2 y 2z x 1 x , y
0 0 , z0
2 y0 2 x0 z0 0

(这等价于 x0 , y0 , z0 1, 0, 0 , 1, 0, 0 . 理由是: 因
x0 y0 z0 0 , 故 2 y0 2 x0 z0 2 2

大学高数课件 6.5第五节隐函数的求导公式

x y Fx e y y x y , Fy e x dz sec2 ( x y )(1 y ) dx e x y y (1 x y ) sec2 ( x y ). e x
xy y . 说明: 此题中的y还可表示为：y xy x
定理可推广到三元及三元以上方程的情形.
2. F (x, y, z) = 0
隐函数存在定理2 设C(1)类函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)
的某一邻域内满足: ① F(x0, y0, z0)=0, ② Fz(x0, y0,z0)0,
则方程F(x, y, z) =0在点P(x0, y0, z0 )的某一邻域内能唯一
( F , G ) Fy 由 F、G 的偏导数组成的行列式 J ( y, z ) G y 称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
Fz Gz
(1) 隐函数存在定理3 设C(1)类函数F(x,y,z) 、G(x,y,z)
在点P (x0,y0,z0)的某一邻域内满足: ① F(x0,y0,z0)=0, G(x0, y0,z0)=0,
隐函数的求导公式
设 y=y(x) 为F (x,y) =0所确定的隐函数, 则有 F (x, y(x)) 0,
F
x y
dy 上式两边对 x 求导, 得 Fx Fy 0, dx dy Fx 在 (x0 , y0 ) 的某邻域内 Fy 0 , . dx Fy
x
例 1 验证sin y e x y 1 0 在点(0,0)某邻域可唯一确
F ( x, y, z ) 0 则方程组在点(x0,y0,z0)的某一邻域内唯一 G ( x , y , z ) 0 y0 y( x0 ) y y ( x ) , 且满足 , 确定一对C(1)类一元函数 z z( x ) z 0 z ( x0 ) 并有: Fy Fx Fx Fz (F ,G ) (F ,G )

《高等数学》课件5第五节隐函数的求导公式 ppt

① 在点
的某邻域内具有连续偏导数,
② F( x0 , y0 , z0 ) 0,
③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
则方程 F( x, y, z) 0在点
某一邻域内可唯一确定
一个连续且具有连续偏导数的函数 z = f (x , y) ,
满足
并有
z Fx , x Fz
定理证明从略.
它满足条件 y(0) 1, 且
dy Fx x .
dx Fy y y = y (x)
d2 y dx 2
d dx
(
x) y
y
x
y2
y
y
x( y2
x) y
1 y3
,
dy 0,
dx x0
y1
d2 y dx2 x0 1.
y1
II. F( x, y, z) 0
定理2. 若函数 F ( x, y, z) 满足:
zz
zz
fu du fv dv 0
x fu d( z )
fv
d( y ) z
0
f1
(
z
d
x z2
x
dz
)
f2
(
zd
y
z2
y
dz
)
0
x f1 y f2 z2
dz
f1d x f2 d y z
dz z f1 d x z f2 d y
x f1 y f2
x f1 y f
z z F1 , x x F1 y F2
F ( x, G( x,
y, u, v) y, u, v)
0 0
有隐函数组
则
GF
对 x 求导
Fx

9-5 隐函数的求导公式

返回
v v ( x , y ) ，它们满足条件 u0 u( x0 , y0 ) , v0 v ( x0 , y0 ),
并有
Fx Fv
u 1 ( F , G ) G x Gv , x J ( x, v ) Fu Fv G u Gv
v 1 ( F , G ) Fu Fx x J ( u, x ) Gu G x
一个具有连续导数的y f ( x ), 满足y0 f ( x0 )
且
dy Fx dx Fy
返回
y dy 例 2 已知 ln x y arctan , 求 x dx 解令 F ( x , y ) 1 ln( x 2 y 2 ) arctan y 2 x y 2 1 2x x x y Fx ( x , y ) 2 2 x2 y2 x2 y2 y 1 2 x 1 1 2y y x x Fy ( x , y ) 2 2 2 2 2x y x y2 y 1 2 x dy Fx x y y x dx Fy
u ? x
u ? y
v ? x
v ? y
返回
隐函数存在定理 3 设 F ( x , y , u, v ) 、G ( x , y , u, v ) 在点 P ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且 F ( x0 , y0 ,
例5
u v u x x y x 0 解方程两侧同时关于x 求导得 , y u v x v 0 v u x x x y u x x 即 , y u x v v x x
xu yv 0 yu xv 1

隐函数的求导公式

第五节隐函数的求导公式在一元函数中，我们已经提出了隐函数的概念，并且提出了不经过显化真接由方程()0,=y x F （1）求它所确定的隐函数的导数的方法。

现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法则导出多元隐函数的导数公式。

隐函数存在定理 1 设函数()y x F ,在点()00,y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,00=y x F , ()0,00'≠y x F y 。

则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()x f y =，它满足条件()00x f y =，并有''yx F F dx dy-= (2)公式(2)就是隐含数的求导公式这个定理我们不证，现仅就公式)2(作如下推导。

将方程(1)所确定的函数()x f y =代入(1)，得恒等式 ()()0,≡x f x F其左边可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，即有0=⋅∂∂+∂∂dxdy y F x F 由于'y F 连续，且 ()0,00'≠y x F y ,所以存在()00,y x 的一个邻域，在这个邻域内0'≠y F于是得''yx F F dx dy-=隐函数存在定理可以推广到多元函数，既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程()0,,=z y x F 就有可能确定一个二元隐函数。

与定理1相仿，我们同样可以由三元函数()z y x F ,,的性质来断定由方程()0,,=z y x F 所确定的二元函数()y x f z ,=的存在性及这个函数的性质，这就是下面的定理。

隐函数存在定理2 设函数()0,,=z y x F 在点()000,,z y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,,000=z y x F ，()0,,000'≠z y x F z 。

高等数学隐函数的求导公式

3
隐函数的求导公式
隐函数存在定理1 设二元函数 F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内满足:
(1) 具有连续偏导数;
(2) F ( x0 , y0 ) 0; (3)Fy ( x0, y0 ) 0, 则方程 F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数
9
隐函数的求导公式
z Fx , x Fz
z Fy y Fz
例
已知 x2 a2

y2 b2

z2 c2

1,
求 z , z 及 2z . x y xy
解
令 F(x,
y, z)
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
则
Fx

2x a2
,
2y Fy b2 ,
2z Fz c2
z2

c2[
x ( a2z2
c2 y b2z
)]
c4 xy a2b2z3
注对复合函数求高阶偏导数时, 需注意:
导函数仍是复合函数. 故对导函数再求偏导数时,
仍需用复合函数求导的方法.
11
隐函数的求导公式
例
设有隐函数
F(
x z
,
y z
)

0
,其中F的偏导数连续,
求 z , z . x y
u y u v
22
隐函数的求导公式
特别
如果方程组
F ( x, G( x,
y, u, v ) y, u, v )

0 0
为
F ( x,u,v) G( x,u,v)

第五节隐函数求导公式

请看课本第86页, 隐函数存在定理3.
24
隐函数的求导公式
u u v v F ( x , y , u, v ) 0 求 , , , . x y x y G ( x , y , u, v ) 0 F ( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0 将恒等式 G( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0
两边关于x求偏导, 由链导法则得:
F F u F v x u x v x 0
G G u G v 0 x u x v x
u v 解这个以为未知量的线性方程组. , x x
dy Fx ( x , y ) 隐函数的求导公式 dx Fy ( x , y ) (证明从略)仅推导公式. 将恒等式 F ( x , f ( x )) 0
两边关于x求导, 由全导数公式,得
4
隐函数的求导公式
F ( x , f ( x )) 0
dy Fx ( x , y ) Fy ( x, y ) 0 dx 所以存在且Fy ( x0 , y0 ) 0，由于Fy ( x, y)连续，
dz (1, 0, 1) dx 2dy
17
隐函数的求导公式
xyz x 2 y 2 z 2 2
法二用全微分
yzdx xzdy xydz 2 xdx 2 ydy 2 zdz 0 2 x2 y2 z2 将点(1,0,1)代入上式, 得
dz (1, 0 , 1) dx 2dy
并有
Fy z Fx z . , Fz x Fz y
8
隐函数的求导公式
(证明从略)仅推导公式.

隐函数的求导公式63412精品

u y u v
22
隐函数的求导公式
特别
如果方程组
F ( x, G( x,
y, u, v ) y, u, v )

0 0
为
F ( x,u,v) G( x,u,v)

00时, 它可能确定两个一元函数,
现假定它确定 u u( x),v v( x),且两个函数都
F ( x, f ( x)) 0
Fx
(
x
,
y
)

Fy
(
x,
y
)

dy dx

0
由于Fy ( x, y)连续，且Fy ( x0 , y0 ) 0，所以存在
( x0 , y0 )的一个邻域, 在这个邻域内Fy ( x, y) 0,
于是得
dy Fx ( x, y) 或简写: dy Fx .
F( x, y, u( x, y),v( x, y)) 0 G( x, y, u( x, y),v( x, y)) 0
求 u , u , v , v . x y x y
同理,
两边关于y求偏导,得
F y G y

F u G u
u y u y
请看课本第34页, 隐函数存在定理3.
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隐函数的求导公式
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
求 u , u , v , v . x y x y
将恒等式
F ( x, G( x,
y, u( x, y, u( x,
y),v( x, y),v( x,
fv ( xy
xz y), z
整理得
y

隐函数的求导公式

两种方法相比，方法二较简便，因为可避免商
的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，
dy y 1.已知 ln x y arctan ，求 . x dx
2 2
2. 求由方程
x y
y
x
所确定的
隐函数 y f ( x)的导数.
(２)、二元隐函数求导法则
设方程 F ( x, y, z ) =0确定z是x, y的具有连续偏导数的函数 z f ( x, y),将 z f ( x, y) 代入上述方程，得到关于x,y 的恒等式：
F ( x, y, f ( x, y)) 0
，
如果函数 F ( x, y, z ) 具有连续的偏导数，将上述两端对x,y求偏导，根据复合函数求导法则有
F F z 0, x z x
若
F F z 0, y z y
Fz 0 ，得:
z Fx x Fz
②直接法
方程两边连续求导两次
方程两边对x求导得：Fx Fy 方程两边再对x求导得：
dy 0 dx
Fx
x y
x
Fy dy dy Fx Fx dy Fy d2y 1 ( 1 ) Fy 2 0 x y dx x y dx dx dx dy dy 2 d2y Fxx 2 Fxy Fyy ( ) Fy 2 0 dx dx dx 2 2 2 F F 2 F F F F F xy x y yy x 解得： d y xx y dx2 Fy3
dFy dFx Fy Fx 2 d y dx 于是 2 dx dx Fy2
Fy dx Fy dy Fx dx Fx dy ( ) Fy Fx ( ) x dx y dx x dx y dx Fy2

五节隐函数求导法则

P( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z f ( x, y)
，它满足条件 z0 f ( x0 , y0 ) 并有：
z Fx x Fz
z Fy y Fz
例3 设x2 y2 z2 4z 0 ，求2z . x 2
解令 F (x, y, z) x2 y2 z2 4z,
，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）
F F
J
(F ,G) (u, v )
u G
v G
u v
在点 P( x0 , y0 , u0 ,v0 ) 不等于零，则方程组 F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
在点 P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数 u u( x, y)， v v( x, y) ，它们满足条件 u0 u( x0 , y0 ) , v0 v( x0 , y0 ) ，并有
二、方程组的情形
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
隐函数存在定理 3 设 F ( x, y, u,v),G( x, y, u,v) 在
点 P( x0 , y0 , u0 ,v0 ) 的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且 F ( x0 , y0 , u0 ,v0 ) 0 ,G( x0 , y0 , u0 ,v0 ) 0
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续
导数的函数y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 ), 并
有
dy Fx . dx Fy
隐函数的求导公式
例１验证方程x2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且x 0时 y 1 的隐函数y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导数在x 0 的值. 解令 F (x, y) x2 y2 1

第五节隐函数的求导公式

现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法则导出多元隐函数的导数公式。

隐函数存在定理1 设函数()y x F ,在点()00,y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,00=y x F , ()0,00'≠y x F y 。

则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()x f y =，它满足条件()00x f y =，并有''yx FF dxdy -= (2)公式(2)就是隐含数的求导公式这个定理我们不证，现仅就公式)2(作如下推导。

将方程(1)所确定的函数()x f y =代入(1)，得恒等式 ()()0,≡x f x F其左边可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，即有0=⋅∂∂+∂∂dxdy yF xF由于'y F 连续，且 ()0,00'≠y x F y ,所以存在()00,y x 的一个邻域，在这个邻域内 0'≠y F于是得''yx FF dxdy -=隐函数存在定理可以推广到多元函数，既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程()0,,=z y x F 就有可能确定一个二元隐函数。

隐函数存在定理2 设函数()0,,=z y x F 在点()000,,z y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,,000=z y x F ，()0,,000'≠z y x F z 。

高等数学习题-8-5隐函数的求导公式

z Fy . y Fz
例3
设
x2
y2
z2
4z
0
，求
2z x2
.
解令 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z,
则
Fx 2x,
Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
2z x2
(2 z) x z
x (2 z)2
(2 z) x x
2z (2 z)2
F (x,
y, z)
x z
(
y z
)
,则
Fx
1 z
，
Fy
(
y) z
1 z
,
Fz
x z2
(
y z
)
( z
y)
2
,
z Fx
z
,
x Fz x y( y )
z
z Fy
z( y ) z
,
y Fz x y( y )
z
于是 x z y z z . x y
6
y0 f (x0) ，并有
dy Fx . dx Fy
例１验证方程 x2 y2 1 0在点 (0,1) 的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且
x 0 时 y 1的隐函数 y f (x) ，并求这函数的一阶和二阶导数在 x 0 的值.
解令 F(x, y) x2 y2 1，则 Fx 2x, Fy 2y, F (0,1) 0, Fy (0,1) 2 0, 依定理知方程 x2 y2 1 0在点 (0,1) 的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且
xu x2
yv y2
.
三、小结隐函数的求导法则（分以下几种情况）
(1) F(x, y) 0

第五节隐函数的求导公式

则方程导数
的某邻域内可唯一确定一个并有连续
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
Fx dy dx Fy
(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
则
F x, y 0
两边对 x 求导
x
F y
x
在
的某邻域内 Fy 0
Fx dy dx Fy
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,则还有
( F , G ) Fu J Gu (u, v)
Fv Gv
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
定理3. 设函数 ① 在点
导数；
满足:
的某一邻域内具有连续偏
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
③J
( cos y x )
2
3
x0 y0 y 1
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y e x x y 1 0, y y( x)
两边对 x 求导
y
x0
ex y cos y x (0,0)
两边再对 x 求导
sin y ( y) 2 cos y y
例题5 设u, v为x, y的函数，他们由方程组 u v x 0 u u v v 确定，求 , , , 2 x y x y u v y 0
2
例6. 设
是由方程所确定的函数 , 求
(99考研)
和
解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得
(1 y)
x

cos y xdy y e x dx

隐函数的求导公式(20)

5
它满足条件 y(0) 1, 且
y( x) Fx x .
Fy
y
y(
x)
d dx
(
x) y
y
xy y2
x
y x( )
y
1
y2
y3 ,
所以 y(0) 0, y(0) 1.
6
定理2 . 若函数 F( x, y, z) 满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F ( x0 , y0, z0 ) 0 ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
x
y
Fu d( z ) Fv d( z ) 0
F1(
z
d
x
z2
x
d
z
)
F2(
z
d
y
z2
y
d
z
)
0
xF1 yF2 z2
dz
F1d x F2 d y z
dz
z x F1
y F2 (F1d x
F2d y).
15
二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
则
J (F ,G) Fu (u,v) Gu
Fv Gv
x y
y x
x2
y2, 0
(F ,G) Fx (x,v) Gx
Fv u Gv v
y
xu yv,
x
(F ,G) Fu
Fx x
u xv yu,
(u, x) Gu Gx y v
u x
1 J
(F ,G) (x,v)
xu x2
yv y2

第五节隐函数的求导公式

第五节隐函数的求导公式教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数．教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法．教学难点：隐函数的高阶导函数的计算．教学内容：一、一个方程的情形在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程),(y x f =0 (1)求它所确定的隐函数的方法．现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式．隐函数存在定理1 设函数),(y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00=y x F 0),(00≠y x F y ，则方程(,)0F x y =在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有yx F F dx dy -= (2) 公式（2）就是隐函数的求导公式．仅就公式(2)作如下推导．将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式0))(,(≡x f x F ,其左端可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得 0F F dy x y dx∂∂+=∂∂ 由于y F 连续，且0),(00≠y x F y ，所以存在00(,)x y 的一个邻域，在这个邻域内0≠y F ，于是得 x yF dy dx F =-．如果),(y x F 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x 的复合函数而再一次求导，即得22x x y y F F d y dy dx x F y F dx ⎛⎫⎛⎫∂∂=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭.232222y x yy y x xy y xx y x y x yy y xy y x yz y xx F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F +--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----= 例1 验证方程0122=-+y x 在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =，并求这函数的一阶和二阶导数在x =0的值．解设=),(y x F 122-+y x ，则y F x F y x 2,2==,02)1,0(,0)1,0(≠==y F F .因此由定理1可知，方程0122=-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =．y x F F dx dy -==y x -， 00==x dx dy ； 22222233()1x y x d y y xy y x y dx y y y y --'-+=-=-=-=- 2231011y x d y dx y ===--．隐函数存在定理还可以推广到多元函数．既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程(,,)0F x y z = (3)就有可能确定一个二元隐函数．隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点),,(000z y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),,(000=z y x F ，0),,(000≠z y x F z ，则方程(,,)0F x y z =在点),,(000z y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =，它满足条件),(000y x f z =，并有x z ∂∂=z x F F -，y z ∂∂=zy F F -． (4)与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导．由于 (,,(,))0F x y f x y ≡,将上式两端分别对x 和y 求导，应用复合函数求导法则得x F +z F xz ∂∂=0, y F +z F y z ∂∂=0．因为z F 连续，且0),,(000≠z y x F z ,所以存在点),,(000z y x 的一个邻域，在这个邻域内z F ≠0，于是得x z ∂∂=z x F F -,y z ∂∂=zy F F -．例2 设04222=-++z z y x ，求22z x∂∂．解设222(,,)4F x y z x y z z =++-，则x F =2x , z F =42-z ．应用公式(4)，得x z ∂∂=zx -2．再一次对x 求偏导数，得 2222223(2)(2)(2)2(2)(2)(2)x z z x z x z z x z x x z z z ⎛⎫∂-+-+ ⎪∂-+-⎝⎭∂===∂---．二、方程组的情形下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广．我们不仅增加方程中变量的个数．考虑方程组⎩⎨⎧==.0),,,(,0),,,(z u y x G v u y x F (5) 在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数．在这种情形下，我们可以由函数F 、G 的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质．隐函数存在定理3 设函数),,,(v u y x F 、),,,(v u y x G 在点),,,(00000v u y x P 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0),,,(0000=v u y x F ，0),,,(0000=v u y x G ，且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式)：(,)(,)FF FG u v J G G u v u v∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂在点),,,(00000v u y x P 不等于零，则方程组0),,,(=v u y x F ，0),,,(=v u y x G 在点),,,(0000v u y x 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数),(),,(y x v v y x u u ==，它满足条件000000(,),(,)u u x y v v x y ==，并有xu ∂∂-=),(),(1v x G F J ∂∂-=,v uv u v x v x G G F F G G F F xv ∂∂-=),(),(1x u G F J ∂∂-=,v u v u x u x u G G F F G G F F (6)y u ∂∂-=),(),(1v y G F J ∂∂-=,vv v u v yv y G G F F G G F F y v ∂∂-=J 1),(),(y u G F ∂∂-=.u yu y u v u v F F G G F F G G例3 设1,0=+=-xv yu yv xu ，求x u ∂∂,y u ∂∂,x v ∂∂和yv ∂∂．解此题可直接利用公式(6)，但也可依照推导公式(6)的方法来求解．下面我们利用后一种方法来做．将所给方程的两边对x 求导并移项，得⎪⎩⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂.,v x v x xu y u x v y x u x 在022≠+=-=y x x y yx J 的条件下，22u y v x u xu yv x y x x y y x ---∂+==--∂+， 22x uy v v yu xv x y x x yy x--∂-==-∂+将所给方程的两边对y 求导，用同样方法在022≠+=y x J 的条件下可得,22y x yu xv y u +-=∂∂ 22v xu yv y x y ∂+=-∂+ ．小结与思考：本节根据多元复合函数的求导法导出隐函数的求导公式，给出了隐函数存在定理1、2、3，使我们能够用偏听偏信导数的方法计算由一个方程或方程组确定的隐函数的导数．作业：作业卡p14-15。

《高等数学B》第八章多元函数微分学第五节隐函数的求导公式

《高等数学B》第八章多元函数微分学第五节隐函数的求导公式隐函数的求导公式是多元函数微分学中的重要内容，它用于求解由隐函数所表示的依赖关系中各个变量之间的导数关系。

在高等数学B的第八章多元函数微分学的第五节中，我们将对隐函数的求导公式进行详细的讲解。

隐函数求导的基本概念是指，当我们无法将一个方程直接表示为一些变量的函数形式时，采用隐函数的方法来表示。

例如，研究一个平面上的曲线，其方程可能为x^2+y^2=1，这时我们无法将y表示为x的函数形式，需要通过隐函数的方法来描述。

假设我们有一个方程F(x,y)=0。

为了求解这个方程中各个变量之间的导数关系，我们需要使用隐函数的求导公式。

隐函数的求导公式有两个主要的表达形式，分别是全导数形式和偏导数形式。

全导数形式的隐函数求导公式如下：如果F(x,y)=0确定了y作为x的隐函数，则有dy/dx = (-∂F/∂x) / (∂F/∂y)偏导数形式的隐函数求导公式如下：如果F(x,y)=0确定了y作为x的隐函数，则有∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0这两个形式的隐函数求导公式本质上是等价的，只是表达方式不同。

在实际使用中，我们可以根据具体的问题需求选择使用哪种形式。

一般情况下，全导数形式的隐函数求导公式更加方便使用，因为它可以直接得到dy/dx的表达式。

在使用隐函数的求导公式时，需要注意以下几点：1.隐函数的求导公式适用于隐函数与自变量之间存在函数依赖关系的情况。

如果隐函数表达式中各个变量之间不存在函数依赖关系，即不能确定y作为x的隐函数，那么隐函数的求导公式不成立。

2.在使用隐函数的求导公式时，需保证方程F(x,y)=0是连续可导的。

如果方程不满足这个条件，则隐函数的求导公式不适用。

3.在具体计算的过程中，需要注意使用链式法则等导数计算法则进行化简。

隐函数的求导公式是多元函数微分学中的重要工具，它在数学和物理等领域中有广泛的应用。

通过隐函数的求导公式，我们可以推导出很多重要的结果和定理，例如隐函数存在定理、隐函数的导数等。

第五节隐函数的求导公式

x2 y2 z2 6 例 1 设确定 y y( x )， z z ( x )， x y z 0 dy dz 求， . dx dx
解1
直接代入公式.
解2 运用公式推导的方法. 将所给方程的两边分别对 x 求导，视 y y( x ) , z z ( x ).
2. 推广到三元以上
隐函数存在定理 2
F ( x, y, z ) 0
设函数F ( x , y , z ) 在点P ( x0 ,
y0 , z0 ) 的某一邻域内有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ， Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 ，则方程F ( x , y ,
z ) 0 在点 P ( x0 , y0 , z 0 ) 的某一邻域内恒能唯一确
定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z f ( x , y ) ，它满足条件 z0 f ( x0 , y0 ) ，并有
z Fx ， x Fz
Fy z . y Fz
z z 例 3 设方程 x y z 3 xyz 0，求和 . y x
0 的点的某邻域内能唯一确定一个单值可导的函数 y y( x )．
Fx dy 2 . dx Fy 2 cos y
e x y xy 0 前述引例: 令 F ( x,y) e x y xy 0,
当 Fy ( x,y ) e x y x 0 时,
2
2z z 由上式解出 2 并将代入求出结果. x x 2z 2z 类似地，可求得 . 2 及 xy y
二、方程组的情形
隐函数存在定理 3
F ( x, y, z ) 0 (1) G ( x , y , z ) 0

第五节 隐函数的求导公式

5 第五节 隐函数的求导公式 (定理 两个方程确定两个一元隐函数 定理 两个方程确定两个二元隐函数

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