傅里叶变换的性质

− 4π
2π
2π
τ
τ
0
τ
4π
τ
Ω
Ω0 >> 2π /τ
F (Ω)
Aτ / 2
− Ω0
0
Ω0
Ω
4、尺度变换 、 傅里叶变换的尺度变换特性表示为 若 则
f (t ) ↔ F (Ω )
1 Ω f (at ) ↔ F a a
−∞
a≠0
证： F [ f (at )] = ∞ f (at )e − jΩt dt ∫
1 F (Ω ) = πδ (Ω )∫ f (τ )dτ + −∞ jΩ 1 F (Ω ) = πF (0 )δ (Ω ) + jΩ
∞
显然，当
F (0) = 0
时，有
∫
t
−∞
1 f (τ )dτ ↔ F (Ω ) jΩ
从时域上看，一般当 y( t ) 是无限区间可积时，即
y (t )dt < ∞ ，说明无直流分量 则 F (0) = 0 。 ∫−∞
2π
−τ / 2 0 τ / 2 f (t / 2 )
t
τ
τ
0
τ
4π
Ω
A
2 Aτ
−
2F (2Ω)
π τ
τ
π τ
−τ
0
τ
t
f (2t )
wk.baidu.com
−
2π
τ
0
2π
Ω
τ
(1/ 2)F (Ω / 2)
−τ / 4 0 τ / 4
t
−
4π
Aτ / 2
0
4π
τ
τ
Ω
5、时域微分特性 、 傅里叶变换的时域微分特性表示为 若 f (t ) ↔ F (Ω ) 则
，使其频谱
搬移到 Ω = Ω 0 附近。反之，频谱在 Ω = Ω 0 附近的高频 信号乘以 e jΩ0t ，其频谱被搬移到附近，这就是解调。 变频是将频谱在 Ω = Ω c 附近的信号 f (t ) 乘以 e jΩ0t ， 使其频谱搬移到 Ω = Ω c − Ω 0 附近。这些都是频移特性 的应用。
一、傅里叶变换性质 1.线性 线性 傅里叶变换的线性特性表示为 若 则
∞
f 1 (t ) ↔ F1 (Ω )
f 2 (t ) ↔ F2 (Ω )
af 1 (t ) + bf 2 (t ) ↔ aF1 (Ω ) + bF2 (Ω )
式中 a、b 为任意常数。
[af1 (t ) + bf 2 (t )] e − jΩt dt 证 ： ∫−∞
§2.3傅里叶变换性质及定理 傅里叶变换性质及定理 傅氏变换揭示了信号时间特性与频率特性之间的联系。 信号可以在时域中用时间函数 f ( t ) 表示，亦可以在频域 中用频谱密度函数 F (Ω ) 表示；只要其中一个确定，另一 个随之确定，两者是一一对应的。在实际的信号分析 中，往往还需要对信号的时、频特性之间的对应关系、 变换规律有更深入、具体的了解。例如我们希望清楚， 当一个信号在时域中发生了某些变化，会引起频域中 的什么样变化？反之亦然。除了明白信号时频之间的 内在联系，我们也希望能简化变换的运算，为此对傅 氏变换基本性质及定理进行讨论就非常重要。
f (t ) ↔ F (Ω )
f1 (t ) = f (t − t0 ) ↔ F1 (Ω ) = F (Ω )e − jΩt0
∫
∞
−∞
f (t − t0 )e − jΩt dt = ∫
− jΩt0
∞
−∞
f ( x )e − jΩ ( x +t0 )dx
=e
∫
∞
−∞
f ( x )e − jΩx dx
= F ( jΩ )e − jΩt0
实际调制解调的载波信号是正（余）弦信号，借助欧拉 公式正（余）弦信号可以表示为
e jΩ0t + e − jΩ0t cos Ω 0 t = 2
e jΩ0t − e − jΩ0t sin Ω 0 t = 2j
这样，若有 则
f (t ) ↔ F (Ω ) 1 f (t ) cos Ω 0 t ↔ [F (Ω − Ω 0 ) + F (Ω + Ω 0 )] 2 1 [F (Ω − Ω 0 ) − F (Ω + Ω 0 )] f (t ) sin Ω 0 t ↔ j2
f (t ) ↔ F (Ω ) = τSa Ωτ
0
τ
t
(
) 2
−j Ωτ 2
再由线性与时移性，得到
F1 (Ω ) = EF (Ω )e − jΩt0 = EτSa (Ωτ 2 )e
F1 (Ω ) = E F (Ω ) = Eτ Sa Ωτ
(
) 2
ϕ 1 (Ω ) = ϕ (Ω ) − Ωτ / 2
特别地，当 a = −1 时，得到 f ( t ) 的折叠函数 f ( − t ) ， 其频谱亦为原频谱的折叠，即 f (− t ) ↔ F (− Ω )。 尺度特性说明，信号在时域中压缩，频域中就扩展；反 之，信号在时域中扩展，在频域中就一定压缩；即信号 的脉宽与频宽成反比。一般来说时宽有限的信号，其频 宽无限，反之亦然。
a > 0 令 at = x ， 则 dt = (1 / a )dx ， t = x / a 代入上式
Ω
F [ f (at )]
−j x 1 ∞ = ∫ f ( x )e a dx a −∞
1 Ω = F a a
a < 0 令 at = x ， 则 dt = (1 / a )dx ， t = x / a 代入上式
f ′(t )如图2-21(b)所示。
−τ / 2 < t < 0 0 < t <τ /2
−τ / 2
f ′(t )
2E / τ
τ /2
0
Ωτ F1 (Ω ) = ESa 4
Ωτ −j j Ω4τ e − e 4
− 2E /τ (b) f ′′(t ) 2E /τ 2E /τ
∞
−∞
∞ u (t − τ )e − jΩt dt dτ f (τ ) ∫ −∞
−∞
1 − jΩτ f (τ )πδ (Ω ) + dτ e jΩ
=∫
∞
−∞
f (τ )πδ (Ω )e
− jΩτ
dτ + ∫−∞
∞
1 − jΩτ f (τ ) e dτ jΩ
则
Aτ = 2 其中 Ω0 >> 2π /τ
1 F (Ω ) = [F1 (Ω − Ω 0 ) + F1 (Ω + Ω 0 )] 2
(Ω + Ω 0 )τ (Ω − Ω 0 )τ + Sa Sa 2 2
F1 (Ω ) 以及 F (Ω ) 如图2-19所示。
F1 (Ω)
Aτ
−
−τ / 2
t
Ωτ Ωτ = j 2 ESa sin 4 4
0
τ /2
t
f 2 (t ) = f ′′(t ) =
2E
τ
[δ (t + τ 2 )− 2δ (t ) + δ (t − τ 2 )]
− 4E /τ
f ′′(t ) 如图2-21(c)所示
Ωτ −j j Ω2τ 2E 2 e F2 (Ω ) = +e − 2 τ 2E Ωτ = 2 cos − 2 τ 2 8 E 2 Ωτ =− sin τ 4
特别地，当 F (0) = 0 时
y (t ) = ∫
t −∞
1 f (τ )dτ ↔ Y (Ω ) = F (Ω ) jΩ
∞
证： F
[ y (t )] = ∫−∞
=∫
=∫
=∫
∞
t f (τ )dτ e − jΩt dt ∫−∞
∞
−∞
∞ f (τ )u (t − τ )dτ e − jΩt dt ∫−∞
F [ f (at )]
−j x 1 −∞ = ∫ f ( x )e a dx a ∞ Ω
Ω
−j x 1 ∞ = − ∫ f ( x )e a dx a −∞
1 Ω = F a a
综合 a > 0 、 a < 0 两种情况，尺度变换特性表示为
1 Ω f (at ) ↔ F a a
f (t )e jΩ0t e − jΩt dt
∞
=∫
−∞
f (t )e − j (Ω −Ω0 )t dt = F (Ω − Ω 0 )
e jΩ0t 相乘， 频移(调制)特性表明信号在时域中与复因子
则在频域中将使整个频谱搬移 Ω 0 。通信技术中的调制 是将频谱在 Ω = 0 附近的低频信号乘以e
jΩ0t
a 可以理解为信号波形压缩（扩展） 倍，信号随时间
变化加快（慢）a 倍，所以信号所包含的频率分量增加 （减少）a 倍，频谱展宽（压缩） a 倍。又因能量守 恒原理，各频率分量分量的大小减小（增加）a 倍。 图2-20表示了矩形脉冲及频谱的展缩情况。
A
f (t )
Aτ
− − 4π 2π
Ωτ F (Ω) = AτSa 2
−π / 2
Ω0
Ω
例2-5 求如图2.-18所示 f ( t ) 的 F (Ω ) 并作图。
A
f (t )
−
τ
2
τ
-A
2
t
解
图2.3-4
令 f1 (t ) = Agτ (t ) ， f (t ) = f1 (t ) cosΩ0t
Ω0 >> 2π /τ
F1 (Ω ) = AτSa (Ωτ / 2 )
jΩ = [δ (Ω + Ω 0 ) + δ (Ω − Ω 0 )] + 2 2 Ω0 − Ω2
π
f (t ) 的波形以及频谱如图2-17所示。
图2-17 例2-4的波形及振幅、相位频谱 f (t ) F (Ω) 1
0 -1
t
(π / 2)
− Ω0
(π / 2)
0
Ω0
Ω
ϕ (Ω)
π /2
− Ω0
0
时延（移位）性说明波形在时间轴上时延，不改变信号 振幅频谱，仅使信号增加一 − Ωt0 线性相位。
例2.3-1 求如图2-15所示信号 f 1 (t ) 的频谱函数 F1 (Ω )， 并作频谱图。 解
f 1 (t ) 与门函数的关系为
f1 (t ) = Ef t − τ
f 1 (t )
(
) 2
E
由上节门函数的变换
dF (Ω ) ↔ (− jt ) f (t ) 则 dΩ 一般频域微分特性的实用形式为
= a∫
∞ −∞
f1 (t )e
− jΩt
dt + b ∫
∞
−∞
f 2 (t )e − jΩt dt = aF1 (Ω ) + bF2 (Ω )
利用傅氏变换的线性特性，可以将待求信号分解为若干 基本信号之和。
2. 时延（时移、移位）性 时延（时移、移位） 傅里叶变换的时延（移位）特性表示为 若 则 证：
dt
df (t ) ↔ jΩF (Ω ) dt
证： df (t ) =
1 = 2π
∞
∞ 1 d jΩt ∫ F (Ω )e dΩ 2π dt −∞
d F (Ω ) e jΩt dΩ dt
交换微、积分运算次序
−∞
∫
1 = 2π
−∞
∫
∞
jΩF (Ω )e jΩt dΩ
这正是调制解调过程中频谱搬移情况，所以这一性质 也称调制特性。
例2-4 求 f (t ) = cos Ω 0 t ⋅ u (t ) 的频谱函数，并画出频谱 图。
1 ，利用频移性 解： 已知 u (t ) ↔ πδ (Ω ) + jΩ cos Ω 0tu(t ) ↔
π
1 1 [δ (Ω + Ω0 ) + δ (Ω − Ω 0 )] + + 2 2 j (Ω + Ω 0 ) 2 j (Ω − Ω 0 )
因为 F1 (0 ) = F2 (0 ) = 0 1 F2 (Ω ) 最后 F (Ω ) = 2 ( jΩ)
1 8E 2 Ωτ Eτ 2 Ωτ = 2⋅ sin = Sa Ω τ 4 2 4
7、频域微分特性 、 傅里叶变换的频域微分特性表示为 若
f (t ) ↔ F (Ω )
∞
利用积分特性可以简化由折线组成的信号频谱的求解。
例2-6 求如图2-21(a)所示 f (t ) 的频谱函数 F (Ω )。
f (t )
E
−τ / 2
0
τ /2
t
（a）
解：
2 E 1 − t = τ f (t) 0
t < t >
τ τ
2 2
2E / τ f1 (t ) = f ′(t ) = − 2 E / τ
f 1 (t ) 的振幅、相位频谱函数、如图2-16所示。
F (Ω)
τ
Ω
−
4π
τ
−
2π
0
2π
τ
τ
2π
4π
τ
4π
…
− 4π
τ τ
− 2π
τ
τ
0
Ω
…
3、频移性 、 傅里叶变换的频移(调制)特性表示为 若 f (t ) ↔ F (Ω )
f (t )e jΩ0t ↔ F (Ω − Ω 0 ) 则
证：
∫
∞
−∞
所以
df (t ) ↔ jΩF (Ω ) dt
同理，可推广到高阶导数的傅里叶变换 df n (t ) ( )n ( )
dt
n
↔ jΩ F Ω
式中 jΩ 是微分因子。 6、时域积分特性 、 傅里叶变换的时域积分特性表示为 若 f (t ) ↔ F (Ω ) 则 y (t ) = ∫−∞
t
1 f (τ )dτ ↔ Y (Ω ) = πF (0)δ (Ω ) + F (Ω ) jΩ