初中数学教师解题比赛训练讲义

第2题从正面看 第7题CB A第6题初中数学综合讲义（1）姓名＿＿＿一、选择题1．如图，反比例函数y ＝kx 的图象经过点A (－1,－2)．则当x ＞1时，函数值y 的取值范围是( )A ．y ＞1B ．0＜y ＜1C ．y ＞2D ．0＜y ＜22．如图，是由8个相同的小立方块搭成的几何体的左视图，它的三个视图是2×2的正方形．若拿掉若干个小立方块后（几何体不倒掉．．．），其三个视图仍都为2×2的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．甲、乙两人沿相同的路线由A 地到B 地匀速前进，A 、B 两地间的距离为20千米．他们前进的路程为s (单位：千米)，甲出发后的时间为 t (单位：小时)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是( ) A ．甲的速度是4千米/小时 B ．乙的速度是10千米/小时 C ．乙比甲晚出发1小时 D ．甲比乙晚到B 地3小时4．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a ）(a ＞2)，半径为2，函数y =x 的图象被⊙P 的弦AB的长为a 的值是( ) A．B．2+C．D．2二、填空题5．在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形，你添加的条件是 ．（写出一种即可） 6．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，将△ABC 绕A按逆时针方向旋转15°后得到△A 1B 1C 1，B 1C 1交AC 于点D ，如果AD ＝22，则△ABC 的周长等于 ．DE (第13题图) 7．△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A ＝_ ．8．一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，则这个等腰梯形的对角长为_ ． 9．如图，海边有两座灯塔A 、B ，暗礁分布在经过A 、B 两点的弓形（弓形的弧是⊙O 的一部分）区域内，∠AOB =80°，为了避免触礁，轮船P 与A 、B 的张角∠APB 的最大值为______°．10．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，BE =CF ，连接AE 、BF ，将△ABE 绕正方形的中心按逆时针方向转到△BCF ，旋转角为a （0°＜a ＜180°），则∠a =______．11．甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5、乙报6……按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50时，报数结束； ②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为____________． 12．已知：如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，并与直线 y ＝33x 相切。

设半圆C 1、半圆C 2、半圆C 3的半径分别是r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ ． 三、解答题 13．一枚棋子放在边长为1个单位长度的正六边形ABCDEF 的顶点A 处，通过摸球来确定该棋子的走法，其规则是：在一只不透明的袋子中，装有3个标号分别为1、2、3的相同小球，搅匀后从中任意摸出1个，记下标号后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出1个，摸出的两个小球标号之和是几棋子就沿边按顺时针方向走几个单位长度．棋子走到哪一点的可能性最大？求出棋子走到该点的概率．（用列表或画树状图的方法求解）(第9题)(第10题)ABCDF(第12题)14．如图，有牌面数学都是2，3，4的两组牌．从每组牌中各随机摸出一张，请用画树状图或列表的方法，求摸出的两张牌的牌面数字之和为6的概率．(1)从口袋内任取一张卡片，卡片上数字是偶数的概率是 ；(2)从口袋内任取一张卡片记下数字后放回．搅匀后再从中任取一张，求两张卡片上数字和为5的概率．15．光明中学十分重视中学生的用眼卫生，并定期进行视力检测．某次检测设A 、B 两处检测点，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处检测视力． （1）求甲、乙、丙三名学生在同一处检测视力的概率；（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B 处检测视力的概率．16．如图，自来水厂A 和村庄B 在小河l 的两侧，现要在A ，B 间铺设一知输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A ，B 间的距离．一小船在点P 处测得A 在正北方向，B 位于南偏东24.5°方向，前行1200m ，到达点Q 处，测得A 位于北偏东49°方向，B 位于南偏西41°方向．（1）线段BQ 与PQ 是否相等？请说明理由； （2）求A ，B 间的距离．（参考数据cos41°＝0.75）17．如图，AM为⊙O的切线，A为切点，BD⊥AM于点D，BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB，求∠B的度数．18．已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接EF．将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F ′O E ′（如图2）．（1）探究AE ′与BF ′的数量关系，并给予证明；（2）当α＝30°时，求证：△AO E ′为直角三角形．19．（7分）已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．第22题20．如图，已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3的图象与x 轴的一个交点为A (4,0)，与y 轴交于点B ．（1）求此二次函数关系式和点B 的坐标；（2）在x 轴的正半轴上是否存在点P ，使得△P AB 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，抛物线y ＝12x 2－x ＋a 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C 其顶点在直线y ＝－2x 上． （1）求a 的值； （2）求A ，B 的坐标；（3）以AC ，CB 为一组邻边作□ACBD ，则点D 关于x 轴的对称点D ′ 否在该抛物线上？请说明理由．22．已知∠AOB ＝60°，半径为3cm 的⊙P 沿边OA 从右向左平行移动，与边OA 相切的切点记为点C ．（1）⊙P 移动到与边OB 相切时（如图），切点为D ，求劣弧的长； （2）⊙P 移动到与边OB 相交于点E ，F ，若EF ＝42cm ，求OC 的长；23．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6㎝，BC =8㎝，P 为BC 的中点．动点Q 从点P 出发，沿射线PC 方向以2㎝/s 的速度运动，以P 为圆心，PQ 长为半径作圆．设点Q 运动的时间为t s ．⑴当t =1.2时，判断直线AB 与⊙P 的位置关系，并说明理由； ⑵已知⊙O 为△ABC 的外接圆，若⊙P 与⊙O 相切，求t 的值．24．如图①，P 为△ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，在△P AB 、△PBC 和△P AC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．⑴如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ACB ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点．⑵在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ．①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．BBB CC C①②③(第24题)(第23题)25．小华观察钟面（题27－1图），了解到钟面上的分针每小时旋转360度，时针每小时旋转30度．他为了进一步探究钟面上分针与时针的旋转规律，从下午2:00开始对钟面进行了一个小时的观察．为了探究方便，他将分针与分针起始位置OP （题27－2图）的夹角记为y 1度，时针与OP 的夹角记为y 2度（夹角是指不大于平角的角），旋转时间记为t 分钟．观察结束后，他利用获得的数据绘制成图象（题27－3图），并求出了y 1与t 的函数关系：y 1＝⎩⎨⎧6t （0≤t ≤30）－6t ＋360（30≤t ≤60）．请你完成：（1）求出题27－3图中y 2与t 的函数关系式；（2）直接写出A 、B 两点的坐标，并解释这两点的实际意义； （3）若小华继续观察一个小时，请你在题27－3图中补全图象．26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．当E、F 同时从点P出发，分别沿P A、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，当点E 到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC的重叠部分面积为S（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是▲；当t＝3时，正方形EFGH的边长是▲；（2）当0＜t≤2时，求S与t的函数关系；（3）直接答出：在整个运动过程中．．．．．．．，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？ABC图1P 1 P 2R 2R 1ABC图2P 1 P 2 R 2R 1D12ADCBP 1 P 2 P 3 P 4Q 1 234图3ADP 1 P 2 P 3BQ 12 3C图4S 1 S 2 S 3S 4 27．某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论： （1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比； （2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S 表示面积） 问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC ，P 1，P 2三等分边AB ，R 1，R 2三等分边AC ．经探究知2121R R P P S 四边形＝13S △ABC ，请证明．问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD ，如图2，Q 1，Q 2三等分边DC ．请探究2211P Q Q P S 四边形与S 四边形ABCD 之间的数量关系．问题3：如图3，P 1，P 2，P 3，P 4五等分边AB ，Q 1，Q 2，Q 3，Q 4五等分边DC ．若S 四边形ABCD＝1，求3322P Q Q P S 四边形．问题4：如图4，P 1，P 2，P 3四等分边AB ，Q 1，Q 2，Q 3四等分边DC ，P 1Q 1，P 2Q 2，P 3Q 3将四边形ABCD 分成四个部分，面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．请直接写出含有S 1，S 2，S 3，S 4的一个等式．28．问题情境已知矩形的面积为a （a 为常数，a ＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型设该矩形的长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式为2()(0)a y x x x=+＞．探索研究⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数1(0)y x x x=+＞的图象性质． ① 填写下表，画出函数的图象： ②②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；③在求二次函数y =ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数1y x x=+(x ＞0)的最小值． 解决问题⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．29．已知A (1,0)、B (0,－1)、C (－1,2)、D (2,－1)、E (4,2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k (a ＞0)经过其中三个点．（1）求证：C、E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k (a＞0)上；（2）点A在抛物线y＝a(x－1)2＋k ( a＞0)上吗？为什么？（3）求a与k的值．30．如图，直线l 经过点A (1,0)，且与曲线y ＝mx (x ＞0)交于点B (2,1)．过点P (p ,p －1) (p ＞1)作x 轴的平行线分别交曲线y ＝m x (x ＞0)和y ＝－ mx (x ＜0)于M 、N 两点．（1）求m 的值及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △APM ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．1.D．2.B3. A4.B5.对角线相等．6.3+．7.558. 2 2 9. 40 10. 90°．11. 4 12. 913和为2的有1次，和为3的有2次，和为4的有3次，和为5的有2次，和为6的有1次，所以走到E点的可能性最大？P（走到E点）＝1/314.画树状图：∴共有9种等可能的结果，其中两张牌的牌面数字之和为6的占三种，∴摸出的两张牌的牌面数字之和为6的概率==．15：(1)列出甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处检测视力的所有情况：三人都不选A处，则三人都选B处，计1种情况。