齐次状态方程的解
浙大控制考研-现代控制理论(浙大)第二章
1 A2t 2 2!
1 k
Aktk
)
b0
t 0 x(0) b0
x(t) (I At 1 A2t 2 1 Akt k )x(0)
2!
k
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k
矩阵指数函数
Φ(t) 状态转移矩阵
x(t) eAtx(0) 描述了状态向量由初始状态x(0)向任意时 刻状态 x(t)转移的内在特性。
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k
1）根据状态转移矩阵的定义求解：
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k!
对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的 。
求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。
例：求解系统状态方程 解：
x1
x2
0 0
-11
6
-6 -11 5
试计算状态转移矩阵 eAt .
解: 1) 特征值
1 1
I A 6 -11 6 1 2 3 0
6 11 5
1 1,2 2,3 3
2) 计算特征向量：
1 1 1 p1 0, p2 2, p3 6
1 4 9
3) 构造变换阵P：
1 1 1 P 0 2 6
(A B)3 A3 B3 3A2B 3AB 2
(9) x Px Φ(t) P-1Φ(t)P P-1eAtP
证明：非奇异线性变换
x Px
n n非奇异矩阵 另一组状态变量
x Px
x P1AP x x(t) eP1AP x(0)
x Ax APx 新的系统矩阵 新的状态转移矩阵
Ax
eAt x(0) Φ(t)x(0)
《自动控制原理》试题3
B3.1 求图B3.1所示网络的输出量i1和i2与输入量u1和u2之间的传递算子。
图B3.1电网络系统B3.2 设系统的齐次方程分别为并已知各系统的初始条件均为，试求各系统的零输入响应。
B3.3 用级数展开法求下列矩阵的指数函数e At：B3.4 用复域法求下列系统的矩阵指数函数e At：B3.5 用化为特征值规范型的方法，求下列矩阵的指数函数e At：B3.6 用凯莱-哈密顿定理计算下列矩阵的指数函数e At：3.7 已知线性定常系统齐次状态方程的解为求系统的状态转移矩阵和状态矩阵A。
B3.8 判断下列矩阵是否是状态转移矩阵。
若是，求对应的状态矩阵A：B3.9 计算下列线性时变系统的状态转移矩阵Φ(t,0)及其逆矩阵Φ-1（t,0）： B3.10 设系统的传递算子为已知试求这两个系统在单位阶跃信号作用下的时间响应。
B3.11 求下列系统在典型输入信号：(1)单位脉冲函数，(2)单位阶跃函数，(3)单位斜坡函数，(4)正弦函数sint，分别作用下系统的状态响应。
B3.12 若对图B3.12所示系统外施一幅值为10V持续时间为1s的矩形脉冲输入电压，且在第三秒时测得该系统的输出电压为0V。
试求输出电压的响应曲线u o(t)和电容器的初始电压u C(0)。
图B3.12RC电路B3.13 已知系统的特征方程如下所列，试分别用劳斯判据和赫尔维茨判据分析系统的稳定性，并确定系统稳定时其可变参数K或T的取值范围。
(1)s3+20s2+9s+100=0 (2)3s4+10s3+5s2+s+2=0 (3)s4+4s3+13s2＋36s+K=0 (4)s4+2s3+Ts2+10s+100=0B3.14 分析下列特征方程以及图B3.14(a)和(b)所示系统的稳定性，并求系统极点的分布： (1)s6+3s5+5s4+9s3+8s2＋6s+4=0 (2)s6+s5-2s4-3s3-7s2-4s-4=0图B3.14题B3.14系统结构图B3.15 分析图B3.15所示的两个系统，引入与不引入反馈时系统的稳定性。
现代控制理论-状态方程的解
3、复频域上
非齐次状态方程的解
2、说明
e At 状态转移矩阵
一般用 t 表示，即 t e At
考虑初始条件拉氏变换
sX ( s ) X (0 ) AX ( s ) BU ( s ) 有 ( sI A) 1 X ( s ) X ( 0 ) BU ( s ) 即 1 X ( s ) ( sI A) X (0) ( sI A) 1 BU ( s ) 则
e
d At e Ae At e At A dt
At 1
e At
[5]、对于 n n的方阵 A、 B 当且仅当 AB BA时 有 e At e Bt e( A B)t , 而当AB BA, e At e Bt e( A B)t。
电气工程学院
几个特殊的矩阵指数eAt
设单变量系统的差分方程为：
y(k n) an1 y(k n 1) a0 y(k ) bnu(k n) bn1u(k n 1) b0u(k )
相应的系统脉冲传递函数为
bn z n bn 1 z n 1 b1 z b0 G( z ) n z an 1 z n 1 a1 z a0
有
d At At AX ] e X e [X dt e At Bu(t )
考虑初始条件 拉氏变换得 sX ( s ) X ( 0 ) AX ( s )
将上式积分有 t t X (t ) 1 ( sI A) 1 X (0) A d A e Bu( ) d d e X ( ) 0 0 d 1 显然 e At 1 t ( sI A) At A X ( 0 ) e X ( t ) e 可得 At Bu( )d
2-1 线性定常系统的解及转移矩阵
A(t t0 )
x(t0 )
（8）
将（8）式代入（1）式验证
x (t )
和
d x (t ) A e A(t t0 ) x (t0 ) Ax (t ) dt x (t ) t t e A(t0 t0 ) x (t0 ) x (t0 )
0
矩阵指数函数
e
A ( t t 0 )
即
(t ) A (t ) (t ) A
e A0 I
即
(0) I
3）可逆性 即 4）传递性
e
(t )
e
1
At 1
e At
1 (t ) (t )
A( t 2 t1 ) A( t1 t0 )
即
5）当且仅当
(t2 t1 ) (t1 t0 ) (t2 t0 )
根据凯莱-哈密顿定理
Δ( A) An an1 An1 a2 A2 a1 A a0 I 0 An an1 An1 a2 A2 a1 A - a0 I
例 解
3 9 用凯莱-哈密顿定理计算 2 6 λ 3 9 Δ( λ) det λ2 9λ 0 2 λ 6
1）A 的特征值互异 应用凯-哈定理， λi 和 A 都满足 A 的特征方程。因此， λi 也可以 满足（13）式。
e λit a0 (t ) a1 (t ) λi a2 (t ) λi2 an1 (t ) λin1
（其中，i 1,2,, n ） 写成矩阵形式 e λ1t 1 λ1 λ2t e 1 λ2 λnt e 1 λn 于是
2
100
现代控制理论第二章
= α n −1 (t ) An −1 + α n − 2 (t ) An − 2 + ⋯ + α1 (t ) A + α 0 (t ) I
【例2-5】见板书
（3）α i (t )的计算公式 A的特征值互异时 α 0 (t ) 1 λ1 α1 (t ) 1 λ2 ⋮ = ⋮ ⋮ α (t ) 1 λ n −1 n
λ λ λ
பைடு நூலகம்
2 1 2 2
⋮
2 n
⋯ λ e λ1t λ2 t ⋯ λ e ⋮ ⋮ λn t n −1 ⋯ λn e
At
2.变换A为约旦标准型 （1）A特征根互异 Λ = T −1 AT 有
例2-2 ，同例2-1
e At = Te ΛtT −1
（2）A特征值有重根
J = T AT e At = Te JtT −1
0 1 0 [例2 - 3]已知A = 0 0 1 , 求e At 2 - 5 4
若
σ ω A= −ω σ
则
cos ωt sin ωt σt e = Φ(t ) = e − sin ωt cos ωt
At
2.2.4 计算
1.根据 e At 或 Φ (t ) 的定义直接计算
1 2 2 1 33 1 n n e = I + At + A t + A t ⋯ A t + ⋯ 2! 3! k! 1 0 [例2 - 1]已知A = , 求e At − 2 − 3
现代控制理论课后答案
前言
本书是为了与张嗣瀛院士等编写的教材《现代控制理论》相配套而编写的习题解答。
本书对该教材中的习题给予了详细解答，可帮助同学学习和理解教材的内容。由于习题数量较多，难易程度不同，虽然主要对象是研究型大学自动化专业本科学生，但同时也可以作使用其它教材的专科、本科、以及研究生的学习参考书。
书中第5、6、8章习题由高立群教授组织编选和解答；第4、7 章由井元伟教授组织编选和解答，第1、2章由郑艳副教授组织编选和解答。
+
若取 ，则有
（2）解 由（1）知
取 ，则有
若取 ，则有 ，
3.11 求下列系统在输入作用为：① 脉冲函数；② 单位阶跃函数；③ 单位斜坡函数下的状态响应。
(1)
(2)
图P2.2
解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。令 为输入量，即 ， ， 的位移量 ， 为输出量，
选择状态变量 ， = ， = ， 。
根据牛顿定律对 有：
对 有：
经整理得：
状态方程为：
输出方程为：
写成矩阵形式为：
2.5 系统的结构如图P2.5所示。以图中所标记的 、 、 作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中， 、 分别为系统的输入、输出， 、 、 均为标量。
图P2.5系统结构图
解 图P2.5给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。
(2) 解 由已知得：
，
令： ，
得：
状态变量图如下：
《现代控制理论》课后习题答案2
( sI − A) −1 =
1 adj( sI − A) det( sI − A)
(1)
式（1）中的 adj( sI − A) 和 det( sI − A) 可分别写成以下形式：
adj( sI − A) = H n −1s n −1 + H n − 2 s n − 2 + " + H 0 det( sI − A) = s + an −1s
故
Φ (t ) = α 0 (t ) I + α1 (t ) A + α 2 (t ) A2
⎡ −2tet + e 2t ⎢ = ⎢ −2(1 + t )et + 2e 2t ⎢ −2(2 + t )et + 4e 2t ⎣
(3t + 2)et − 2e 2t (3t + 5)et − 4e 2t (3t + 8)et − 8e 2t
n n −1
(2) (3) (4)
+ " + a0
，可得 将式（1）两边分别左乘 det( sI − A)( sI − A) ，并利用式（2）和（3）
Is n + an −1 Is n −1 + " + a0 I = H n −1s n + ( H n − 2 − AH n−1 ) s n − 2 + " + ( H 0 − AH1 )s − AH 0
e jt = a0 (t ) + a1 (t ) j ， e − jt = a0 (t ) − a1 (t ) j
而
e jt = cos t + j sin t ， e− jt = cos t − j sin t 因此， a0 (t ) = cos t ， a1 (t ) = sin t 。由此得到状态转移矩阵 ⎡ cos t sin t ⎤ Φ (t ) = e At = a0 (0) I + a1 (t ) A = ⎢ ⎥ ⎣ − sin t cos t ⎦
现代控制理论基础第二章习题答案
第二章 状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。
（1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A （3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110A （4） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A （5）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000100001000010A （6）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ000100010000A 【解】：（1） （2） （3） （4）特征值为：2,1321===λλλ。
由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201P线性变换后的系统矩阵为：（5）为结构四重根的约旦标准型。
（6）虽然特征值相同，但对应着两个约当块。
或}0100010000{])[()(1111----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-=Φλλλλs s s s L A sI L t 3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件 （1）用laplace 法求状态转移矩阵； （2）用化标准型法求状态转移矩阵； （3）用化有限项法求状态转移矩阵； （4）求齐次状态方程的解。
【解】：（1） （2）特征方程为： 特征值为：2,1321===λλλ。
由于112==n n ，所以1λ对应的广义特征向量的阶数为1。
求满足0)(11=-P A I λ的解1P ，得：0110000000312111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011P 再根据0)(22=-P A I λ，且保证1P 、2P 线性无关，解得：对于当23=λ的特征向量，由0)(33=-P A I λ容易求得： 所以变换阵为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==110010001321P P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1100100011P 线性变换后的系统矩阵为：（3）特征值为：2,1321===λλλ。
状态转移矩阵
解为
x(t ) e
y(t ) Ce
A ( t t0 )
x eA (t t ) Bu(t )d t
0 t0
t t0
t
A ( t t0 )
x CeA (t t ) Bu(t )d t Du(t )
0
通 常 假 定 t0=0， 这 时 则 有 t At x(t ) e x(0) eA (t t )Bu(t )d t
证明：反证法。若不然，设有t0，使得基本矩阵
Y (t 0 )为奇异阵。于是，存在非零实向量 ，使得
[Y 1 (t 0 ) Y 2 (t 0 )
由于
Y n (t 0 )]a ai Y i (t 0 ) 0
i 1
n
a Y (t
i i 1 i
n
0
) 0 是微分方程的一个解，故
i
由以上命题知
x A(t ) x B(t )u y C(t ) x D(t )u
x(t ) P(t )x(t )
(1 70)
称为(A(t), B(t), C(t), D(t)) 的代数等价动态方程， 当且仅当存在P(t)，使得
-1 A (t ) P ( t ) A ( t ) P ( t ) P (t )
例：试证明状态转移矩阵是唯一的，即状态转移 矩阵与基本矩阵的选取无关。
三、非齐次方程的解
1. 时变线性系统的解
x A(t )x B(t )u
令
(1 49)
x(t ) Φ t, t0 ξ(t )
(s 1)
则容易得到如下结论：
第2章 状态空间表达式求解
1 T 2. 若A能通过非奇异变换予以对角线化，即 AT
则
e1t e At (t ) T 0
e2t
0 T 1 n t e
证明：根据定义式
A2t 2 A3t 3 Ak t k e I At 2! 3! k 0 k! At
A2t 2 A3t 3 ( I At ) A e At A 信息与控制工程学院 2! 3!
5. 性质五
设有nxn矩阵A和B，当且仅当AB=BA 时，有eAteBt
= e(A+B)t ，而当AB≠BA 时，则eAteBt ≠ e(A+B)t 。
证明：根据定义式
e ( A B ) t ( A B ) 2 2 ( A B )3 3 I ( A B )t t t 2! 3! A2t 2 ABt2 BAt2 B 2t 2 I ( A B )t ( ) 2! 2! 2! 2! A3t 3 A2 Bt3 ABAt3 AB2t 3 BA2t 3 BABt3 ( 3! 3! 3! 3! 3! 3! B 2 At3 B 3t 3 ) 3! 3!
2 2 1 t 2! 1 1t 1 k k 2t At e At k 0 k! nt 1 0 0 k k 1 t k! k 0 0 2 2 2t 2!
(t )( ) (t ) (t )( t ) (t t ) I ( )(t ) ( t )
( t )(t ) ( t t ) I
从而证明了(t)与(-t)互为逆
信息与控制工程学院
4. 性质四
状态空间表达式解
2.1.1 齐次状态方程的解 u=0
X·=AX
1、直接求解 设 n=1
X(t0) =X0
x·=ax 解为x(t)=eatx0
t0=0 且eat=1+at+a2t2/2！+…
对于 n阶， 解为X(t)=eAtX0 eAt=I+At+A2t2/2！+…
证明：设X(t)解的形式为
=(I+At1+A2t12/2！+…) (I+At2+A2t22/2！+…) = (t1) (t2)
1、状态转移矩阵的性质：设t0=0 （4）[(t)]–1= (–t)
证明：由 （1）(0)=I （3） (t1+t2)= (t1) (t2) 得 (t–t)= (t) (–t)=I
(–t +t)= (–t) (t) =I 所以 [(t)]–1= (–t) （5） (t2– t1) (t1– t0) = (t2– t0)
0 0 0… 0 0 0…
e1t tm–1/(m–1)！ e1t tm–2/(m–2)！
Q–1 te1t e1t
以A有三重特征值为例进行证明
1 1 0 J= Q–1AQ= 0 1 1
0 0 1
证明 eAt=I+At+A2t2/2！+… 则 Q–1eAtQ=Q–1IQ+ Q–1 AtQ+ Q–1 A2t2/2！Q+… =I+ Jt+ J2t2/2！+… eAt=Q(I+ Jt+ J2t2/2！+…) Q–1
1 k!
Akb0
2.1.1 齐次状态方程的解
现代控制理论--3控制系统的状态方程求解
7
小结：
1.齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用 下的自由运动，又称为零输入解；
2.系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状
态转移，而转移规律取决于 eAt ，eA(t-t0) 故称其
为状态转移矩阵.一般用
x
(t) eAt (t t0) eA(tt0)
来表示。 x 0
2 ! 3 !
AA2t1A3t2L 2!
A(I At 1 A2t2 L ) 2!
AeAt eAt A
13
所以当 Φ(t)=eAt时， &(t)A(t) 又因为 Φ(t)=eAt (t=0时) eA0 =I+A0+...=I 所以 Φ(0)=I 故 eAt 是状态转移矩阵Φ(t)
（2）状态转移矩阵Φ(t)是A阵同阶的方阵，其元 素均为时间函数.
sX(s)-x0=AX(s)+BU(s)
即
X(s)=(sI-A)-1[x0+BU(s)]
其中X(s)和U(s)分别为x(t)和u(t)的拉氏变换。
对上式两边取拉氏反变换,并利用卷积分公式,则有
x ( t ) L 1 ( s A ) I 1 x 0 L 1 ( s A ) I 1 B ( s )U
1 0 3x1u
试求：x(0)=0,u(t)=1(t) 时的状态解。
解：1.求 eAt ： 由前例得：
eAt
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t et 2e2t
25
2. 求x(t)
x(t)eA tx00 teA (t )B u ()d
t2 e (t )e 2 (t ) e (t ) e 2 (t ) 0
由于状态空间表达式由两部分组成,即 x& Ax Bu y Cx Du
赵明旺版习题解答_现控理论_第3章
习题解答3-1试用直接计算法计算下列矩阵A 的矩阵指数函数e At (即状态转移矩阵)。
⑴ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001A⑵ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=010100001A解 (1) 按矩阵指数函数e At 的展开式，可计算如下:222222e ......2!!101010...0101012!11...02!101...2!e 00e k kAtt t A t A t I At k t t t t t t -=+++++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤-++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(2) 按矩阵指数函数e At 的展开式，可计算如下:222222332e ......2!!100100100010001001...2!00101001011...002!1101......2!3!110...1...3!2!e 000cos sin 0s k kAtt A t A t I At k tt t t t t t t t t t t =+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++-+⎢⎥⎣⎦=-in cos t t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2 3-2 试利用矩阵指数函数的性质计算下列矩阵A 的矩阵值函数e At 。
⑴ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=200020012A⑵ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100001000A解 (1) 因为A 矩阵为由[]1221202A A -⎡⎤==-⎢⎥-⎣⎦2个方块矩阵组成的块对角矩阵，因此矩阵A 的矩阵值函数e At 为1221202222101e 0e 0e 0e e 010010e 0e 0010e t ttt t t t t t t -⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A (2) 因为A 矩阵为由[]1200110A A ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦2个方块矩阵组成的块对角矩阵，其中块矩阵A 1的矩阵指数函数为1TT0001110e =exp =exp =1000011t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦A 因此矩阵A 的矩阵值函数e At 为12100e0e 100e 00e tt t t t ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A A33-3试选择适当的方法计算下列矩阵A 的矩阵指数函数e At 。
(哈工大)2.线性定常系统齐次状态方程的解 gai
对于1 -1 ，有 AP1 -P1 1 0 P11 0 P11 0 P P 0 1 21 21 6 11 6 P31 P31 P21 P11 P31 P21 - 6P 11P 6P P 21 31 31 11 解得
L (sI - A)
1
-1
te t t (1 t )e
1 s2 t 2 2 ( 1 t ) e (s 1) 1 (s 1) L t 1 s te 2 2 (s 1) (s 1) 1 -1 x(t) L (sI - A) x(0)
3.两种方法的关系
I A A2 Ak （sI - A)( 2 3 k 1 ) I s s s s 2 k I A A A -1 (sI - A) 2 3 k 1 s s s s 1 2 2 1 k k 1 -1 L (sI - A) I At A t A t 2! k! e At L1 (sI - A)-1
s - 1 sI A 1 s 2
sI A
Page 11
-1
s2 adj( sI A) (s 1)2 det(sI A) - 1 2 (s 1)
1 2 (s 1) s 2 (s 1)
t x ( t ) 1 (1 t )e x (t ) t 2 te
Page 12
x1 (0) te t (1 t )e x 2 (0)
t
MATLAB
>>a=[0 1;-1 -2] >> s=sym(‘s’) >>sa=inv(s*eye(2)-a) >>ilaplace(sa)
第3章-状态方程的求解
2.2 非齐次状态方程的解
例题:
即
X (t) e At X 0
t e A(t ) B u( )d
0
中第一项已求得。
第二项根据公式计算得:
t e A(t ) B u( )d
0
t 2e(t ) e2(t )
0
2e (t
)
2e 2(t
)
e(t ) e(t )
e2(t ) 2e2(t
s s
1 2
2 2
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t
et
2e2t
2.2 非齐次状态方程的解
1.非齐次状态方程的概念
或写成:
X AX Bu
X AX Bu
（1）u为时间t的函数, 假设为已知的； （2）X(t0)=X0为系统的初始条件。
2.2 非齐次状态方程的解
u~ u~1(t) u~2 (t) T
x1
x1(t1)
2.3 几点说明
6.现代控制理论的一个核心思想
经典控制理论是保持u不变，通过调节参数来使得输出y满足要求。 现代控制理论是保持参数不变，通过调节u来使得输出y满足要求。
具体实现方法是:
对y的要求
对X的要求
对u的要求
对于状态方程而言，其齐次方程的形式为:
X AX 初始条件为: X (t0 ) X0
2.1 齐次状态方程的解
2.齐次状态方程解的形式
已知: X AX
初始条件为: X (t0 ) X0
解方程可得:
X (t) e A(tt0 ) X 0
矩阵指数
说明: （1）求出矩阵指数即可求出方程的解。 （2）矩阵指数计算出来是一个和A同型的矩阵，矩阵的
自动控制原理习题及答案
1. 采样系统结构如图所示，求该系统的脉冲传递函数。
答案:该系统可用简便计算方法求出脉冲传递函数。
去掉采样开关后的连续系统输出表达式为对闭环系统的输出信号加脉冲采样得再对上式进行变量替换得2. 已知采样系统的结构如图所示，，采样周期=0.1s。
试求系统稳定时K的取值范围。
答案:首先求出系统的闭环传递函数。
由求得，已知T=0.1s，e-1=0.368，故系统闭环传递函数为，特征方程为D(z)=1+G(z)=z2+(0.632K-1.368)z+0.368=0将双线性变换代入上式得+1 4 +( 7 -0.632K)=0要使二阶系统稳定，则有K＞0，2.736-0.632K＞0故得到K的取值范围为0＜K＜4.32。
3. 求下列函数的z变换。
(1). e(t)=te-at答案:e(t)=te-at该函数采样后所得的脉冲序列为e(nT)=nTe-anT n=0，1，2，…代入z变换的定义式可得E(z)=e(0)+P(T)z-1+e(2T)z-2+…+e(n )z-n+…= + e-aT z-1+2Te-2aT z-2+…+n e-naT z-n+…= (e-aT z-1+2e -2aT z-2+…+ne-naT z-n+…)两边同时乘以e-aT z-1，得e-aT z-1E(z)=T(e-2aT z-2+2e-3aT z-3+…+ne-a(n+1)T z-(n+1)+…)两式相减，若|e-aT z-1|＜1，该级数收敛，同样利用等比级数求和公式，可得最后该z变换的闭合形式为(2). e( )=答案 e( )=对e( )= 取拉普拉斯变换．得展开为部分分式，即可以得到化简后得(3).答案:将上式展开为部分分式，得查表可得(4).答案:对上式两边进行z变换可得得4. 求下列函数的z反变换(1).答案:由于所以得所以可得(z)的z反变换为e(nT)=10(2n-1)(2).答案:由于所以得所以E(z)的z反变换为e(nT)=-n-1n+2n=2n-n-1(3).答案:由长除法可得E(z)=2z-1-6z-3+10z-5-14z-7+…所以其反变换为e*( )= δ( -T)- δ( - )+1 δ( -5T)-14δ( -7 )+18δ( -9 )+…(4).答案:解法1：由反演积分法，得解法2：由于所以得最后可得z 反变换为5. 分析下列两种推导过程：(1). 令x(k)=k1(k)，其中1(k)为单位阶跃响应，有答案:(2). 对于和(1)中相同的(k)，有x(k)-x(k-1)=k-(k-1)=1试找出(2)与(1)中的结果为何不同，找出(1)或(2)推导错误的地方。
凯莱-哈密尔顿(Caylay-Camilton)定理
第二章 线性控制系统的运动分析2-1 线性定常系统齐次状态方程的解设齐次向量微分方程为：其中A 为n ×n 常系数矩阵，其解为： 写成矩阵形式：式中b 0、b 1、b 2、…b k 均为n 维列向量，则 由待定系数法，得： 考虑到初始条件： 最后得：)0()(0X t X AX Xt === ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++++++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k nk n n n kk k k n t b t b t b b t b t b t b b t b t b t b b t x t x t x t X 2210222221201212111021)()()()(+++++=k k t b t b t b b t X 2210)(+++==++++=-k k k k t Ab t Ab Ab AX t kb t b b X 1012120102301201!11!3131!2121Ab k Ab kb Ab Ab b Ab Ab b Ab b k k =======-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡====)0()0()0()0()0()(2100n t x x x X b X t X现代控制理论基础定义状态转移矩阵：则齐次状态方程的解可写为： 若初始条件为： 可以令：可以求出：关于线性定常齐次状态方程的求解，也可以应用拉氏变换，即： 两边拉氏变换：可见状态转移矩阵：)0()!1!21()(22X t A k t A At I t X k k +++++= +++++==k k At t A k t A At I e t !1!21)(22φ)0()0()()(X e X t t X At ==φ)()(00t X t X t t ==+-++-+-+=k k t t b t t b t t b b t X )()()()(0202010)()()()(0)(000t X e t X t t t X t t A -=-=φ)0()(0X t X AX Xt === )0(])[()()0()()()()0()(111X A sI L t X X A sI s X s AX X s sX ----=-==-])[()(11---==A sI L e t At φ证明：由于：例：设系统状态方程为：试求状态方程的解。
自控原理实验指导书
实验一系统建模与转换一、实验目的1．了解MATLAB软件的基本特点和功能；2．掌握线性系统被控对象传递函数数学模型在MATLAB环境下的表示方法及转换；3．掌握多环节串联、并联、反馈连接时整体传递函数的求取方法；4．掌握在SIMULINK环境下系统结构图的形成方法及整体传递函数的求取方法；5．了解在MATLAB环境下求取系统的输出时域表达式的方法。
二、实验内容1．自确定2个传递函数，实现传递函数的录入和求取串联、并联、反馈连接时等效的整体传递函数。
要求分别采用有理多项式模型和零极点增益模型两种传递函数形式。
2．进行2例有理多项式模型和零极点增益模型间的转换。
3．在Siumlink环境下实现如下系统的传递函数的求取。
各环节传递函数自定。
三、实验报告要求1．写明实验目的和实验原理。
实验原理中简要说明求取传递函数 的途径和采用的语句或函数。
2．在实验过程和结果中，要求按项目写清楚自定的传递函数、画 出系统方框图，从屏幕上复制程序和运行结果，复制系统的 Simulink 方框图，打印报告或打印粘贴在报告上。
不方便打印 的同学，要求手动从屏幕上抄写和绘制。
3．简要写出实验心得和问题或建议。
实验二 线性系统的时域分析一、实验目的1．研究线性系统在典型输入信号作用下的暂态响应； 2．熟悉线性系统的暂态性能指标；3．研究二阶系统重要参数阻尼比ξ对系统动态性能的影响； 4．熟悉在MATLAB 下判断系统稳定性的方法； 5．熟悉在MATLAB 下求取稳态误差的方法。
二、实验内容1〃研究一阶系统对阶跃输入、脉冲输入、斜坡输入、自定义输入的响应及性能指标。
设一阶系统系统具体参数：12.01)(+=s s G 。
2〃研究二阶系统对阶跃输入、脉冲输入、斜坡输入、自定义输入的响应及性能指标。
设：单位反馈系统的：)12.0(s )(+=s Ks G 。
K 参数变化及变化方案自定。
①典型二阶系统在阶跃输入下，阻尼比或自然振荡频率改变对某1项性能指标的影响。
第二章控制系统状态空间表达式的解
a(b0 b1t b2t 2 bkt k )
（1） （2） （3）
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
等式两边t 的同次幂的系数相等，因此有
b1 ab0
b2 bk
1 2
1 k
ab1
abk
1 2!
a
2b0
1 k!
a
（5）
将（5）式代入（1）式
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
b1 2b2t 3b3t 2 kbkt k 1
A(b0 b1t b2t 2 bkt k )
等式两边t 同次幂的系数相等，因此有
b1 Ab0
b2 bk
1 2
1 k
Ab1
Abk
1 2!
A2b0
1 k!
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
1、线性定常系统的运动
1）、自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u＝0时， 由初始状态引起的运动称自由运动。
u0
x
( A, B)
齐次状态方程的解： x Ax , x(t) |t0 x(0)
2）、强迫运动：线性定常系统在控制u作用下的运动，称
为强迫运动。
e1t
0
e At Te AtT1 T
T 1
0
ent
其中： T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。
求状态转移矩阵的步骤：
1）先求得A阵的特征值 。i
2）求对应于 的i 特征向量 ，p并i 得到T阵及T的逆阵。
3）代入上式即可得到状态转移矩阵的值。
即：A det(I A) 0 i (i I A)pi 0 pi T
0 0 0 0 1
江苏大学线性系统理论(现代控制理论)考试必备--第2章
t0 , t 上为时间
为存在且ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一。 x (t )
第2章 线性系统的运动分析
江苏大学电气学院
从数学的观点上看，上述条件可能显得过强而可减弱 为如下3个条件： （1）系统矩阵A(t)的各个元 aij (t )在时间区间 t0 , t 上为 绝对可积，即有：
t aij (t ) dt , i, j 1, 2,, n
性质9 e 的相似变换 如果矩阵A的特征值互不相同，并且存在非奇异变换 矩阵P，使得 A PAP 1，由 e At定义可得到：
At
e At Pe At P 1
第2章 线性系统的运动分析
At e 三. 几种典型的矩阵指数函数
江苏大学电气学院
由于矩阵指数函数 e At在计算线性系统的响应起着十分
第2章 线性系统的运动分析
江苏大学电气学院
二. 状态方程解的存在性和惟一性条件
当所选的状态变量不同时，所得状态方程不同，故状 态方程不是唯一的。对任意的初始状态，只有当线性系统 的状态方程的解存在且唯一时，对系统的分析才有意义。 从数学上看，这就要求状态方程中的系数矩阵和输入作用 满足一定的假设，它们是保证状态方程的解存在且唯一所
上式表明，条件（2）和（3）还可进一步合并为要求
B(t)u(t)的各元在时间区间上绝对可积。 对于连续时间线性定常系统，系数矩阵A和B为常数矩 阵且各元为有限值，条件（1）和（2）自然满足，存在惟
一性条件只归结为条件（3）。 在本章随后各节的讨论中，总是假定系统满足上述存 在性和惟一性的条件，并在这一前提下分析系统状态运动 的演化规律。
At e 性质7 积的关系式
d At e Ae At eAt A dt
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比较以上两式系数有：
b1 Ab0
32bb32
Ab1 Ab2
kb k Abk 1
b1 Ab0
b
2
b 3
1312AA2131!bb!A21A23bb00
b k
1
k
Ab1k k!
A1
k
b0
x(t) b0 b1 (t t0 ) b2 (t t0 )2 bk (t t0 )k
x(0)
ax(0)(t
t0 )
1 a2 x(0)(t 2!
t0 )2
1 ak x(0)(t k!
t0 )k
x(t) Ax(t)
向量
仿照标量 x(t) b0 b1(t t0 ) b2 (t t0 )2 微分方程：
bk (t t0 )k
代入微分方程： x(t) Ax(t) A(b0 b1(t t0 ) b2 (t t0 )2 bk (t t0 )k ) 对 x(t )求导： x(t) b1 2b2 (t t0 ) 3b3 (t t0 )2 kbk (t t0 )k 1
其解即为自由解。
x(t) |t t0 x(0)
非齐次状态方程：
x Ax Bu, x(t) |tt0 x(t0 )
其解为自由运动和强迫运动之和。
2.1.2、齐次状态方程的解：
状态方程
x (t) Ax(t)
求 x(t) ?
启发：一阶标量微分方程 x(t) ax(t), x(t0 ) x(0)
（4） Φ(t) AΦ(t) Φ(t)A Φ (0) A
eAt I At 1 A2t2 1 Aktk
2!
k!
（5）
AB BA e(AB)t eAteBt eBteAt
d eAt A 2 A2t k Akt k 1
dt
2!
Ak
(t
t0
)k
)x(t0)
x(t) eA(tt0 )x(t0 )
eA(tt0 )
I
A(t
t0 )
1 A2 (t 2!
t0 )2
1 k!
A矩k (阵t 指t0数)k函 数
结论：考虑齐次状态方程 x (t) Ax(t)，
若初始状态为x(t0 ) x0, 其解为：x(t) eA(tt0)x0,t t0,
dx
dx
ax dt
a dt x
ln x ln x(0) a(t t0 )
x(t) ea(t t0 ) x(0)
指数函数：
ea(t t0 )
1 a(t t0 )
1 a2 (t 2!
t0 )2
1 ak (t k!
t0 )k
x(t)
b0
Ab0
(t
t0
)
1 2!
A2b0
(t
t0
)2
1Байду номын сангаасk!
A
k
b0
(t
t0 )k
(I
A(t
t0
)
1 2!
A2
(t
t0
)2
1 k!
Ak
(t
t0
)k
) b0
t t0 x(t0 ) b0
x(t
)
(I
A(t
t0
)
1 2!
A2
(t
t0
)2
1 k!
第二章 控制系统状态空间表达式的解
本章主要内容：
• 线性定常齐次状态方程的解（自由解） • 矩阵指数函数——状态转移矩阵 • 线性定常系统非齐次状态方程的解
2.1 线性定常齐次状态方程的解
2.1.1 线性定常系统的运动
1）自由运动（零输入响应）：线性定常系统在没有控制作用，即u＝0时，
由初始状态引起的运动称自由运动。
可视为从 到0，再从 0到t 的组合，即：
(t 0)(0 ( )) (t ( )) (t )
（3）可逆性： Φ1(t) Φ(t)
由（1），(t t) I, 由（2），(t)(t) I.
可依此计算0时刻的状态值
x(t) Φ(t)x(0) x(0) Φ1(t)x(t) Φ(t)x(t)
x(t) eAtx0,t 0.
令：
eAt Φ(t)
e
A
(
t
t0
)
Φ(t
t0 )
则有：
状态转移矩阵
x(t) Φ(t)x(0) x(t) Φ(t t0 )x(t0 )
注1：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指数函数。
注2：状态转移矩阵的物理意义：
从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地
在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵
x2
x(0)
x(t1 )
0
t1
x(t2 )
t t2
x1
(t1 0)
(t2 t1 )
x(t1) (t1 0)x(0)
x(t2) (t2 t1)x(t1)
x(t2) (t2 t1)(t1 0)x(0)
k!
=A(I+At 1 Akt k + ) k!
=(I+At 1 Akt k + )A k!
证明：
u0
x
( A, B)
x Ax , x(t) |t t0 x(0)
2）强迫运动（零初态响应）：线性定常系统在只有输入作用而无初始状态作用
下的运动，称为强迫运动。 u
x
( A, B)
x Ax Bu , x(t ) |tt0 x(t0 ) 0
齐次状态方程： x Ax ,
若 t0 0, 其解为x(t) eAtx0,t 0.
矩阵指数 eAt 把系统的状态 x(0)转移到 x(t)，也把它称为
状态转移矩阵，记为 (t) 。 (t) 是一般的表示形式
2.2 状态转移矩阵
2.2.1、状态转移矩阵的含义 线性定常系统的齐次状态方程的解：
x(t) eA(tt0)x0,t t0,
x(t2) (t2 0)x(0)
(t2 ) (t2 t1)(t1 0)
2.2.2、状态转移矩阵的性质
（1）状态转移矩阵初始条件：
Φ(0) I
也即： (t t) I
意为状态向量从时刻 t 转移到t ，显然保持不变。
（2）组合性： (t)( )=(t )