考点10 基本不等式(教师版) 备战2021年新高考数学微专题补充考点精练

考点10 基本不等式

1、掌握基本不等式2

b

a a

b +≤

。 2、能用基本不等式证明简单不等式。 3、能用基本不等式求最值问题。

基本不等式是江苏数学考纲要求的c 级要求，是江苏高考试卷重点考查的模块之一，在全国各地也经常考查到。基本不等式是求函数最值得一种重要的方式，纵观近五年江苏高考不难发现基本不等式经常与三角函数、直线和圆等结合求函数的最值。在高考中属于中档题或者难题·因此在复习中要引起学生的重视。

在学习中，要掌握运用基本不等式求函数的最值，要注意以下几点： ①掌握基本不等式满足的条件：一正、二定、三相等。

②掌握基本不等式的一些常见变形，最终都要化成 d bx

c

ax ++的形式。

③掌握基本不等式的一些常见题型和方法技巧，如三元变二元，二元变一元。以及双换元等。在多次运用基本不等式的时一定要保证等号成立的条件。

1、【2020年山东卷】.已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A. 2

2

1

2

a b +≥

B. 122

a b ->

C. 22log log 2a b +≥-

D.

≤

【答案】ABD

【解析】对于A ，()

2

2

2

2

2

1221a b a a a a +=+-=-+2

1211222a ⎛

⎫⎪⎭+ ⎝

≥-=，

当且仅当1

2

a b ==

时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以1

1222

a b -->=，故B 正确；

对于C ，2

222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪

⎝⎭

， 当且仅当1

2a b ==时，等号成立，故C 不正确；

对于D ，因为

2

112a b =+≤++=，

≤，当且仅当1

2

a b ==

时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD

2、【2020年江苏卷】已知22451(,)x y y x y R +=∈，则2

2x y +的最小值是_______．

【答案】

4

5

【解析】∵224

51x y y +=

∴0y ≠且4

2

2

15y x y -=

∴422

2

2

221144+5555y y x y y y y -+=+=≥，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴2

2x

y +的最小值为

45

. 故答案为：

4

5

. 3、【2020年天津卷】.已知0,0a b >>，且1ab =，则

118

22a b a b

+++的最小值为_________． 【答案】4 【解析】

0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b

∴

++=++++

88

2422a b a b a b a b

++=

+≥⨯=++，当且仅当a b +=4时取等号， 结合1ab =,解得23,23a b =-=+，或23,23a b =+=-时，等号成立. 故答案为：4

4、【2019年高考天津卷理数】设0,0,25x y x y >>+=，则

xy

的最小值为__________．

【答案】43

【解析】方法一：

(1)(21)221266

2x y xy y x xy xy xy xy xy xy

++++++===+. 因为0,0,25x y x y >>+=， 所以2522x y x y +=≥⋅， 即5252,028xy xy ≤

<≤，当且仅当5

22

x y ==时取等号成立. 又因为66

22243xy xy xy xy +≥⋅=，当且仅当62xy xy =，即=3xy 时取等号，结合

258

xy ≤可知，xy 可以取到3，故(1)(21)x y xy ++的最小值为43.

方法二：

0,0,25,x y x y >>+=

0,

xy ∴>2212=43xy xy xy xy xy

===+≥. 当且仅当3xy =时等号成立，

故xy

的最小值为43.

5、【2018年高考天津卷理数】已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则1

28a

b

+

的最小值为 . 【答案】 【解析】由

可知

，且

，

因为对于任意x ，恒成立，结合基本不等式的结论可得：

.当且仅当

，即

时等号成立.

综上可得的最小值为.

6、【2018年高考江苏卷】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线

交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为___________． 【答案】9

【解析】由题意可知，

,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得

，

因此

当且仅当时取等号，则的最小值为.

7、【2017年高考天津卷理数】若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab

++的最小值为___________．

【答案】4

【解析】4422414111

444a b a b ab ab ab ab ab ab

+++≥=+≥⋅=，

（前一个等号成立的条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =

，两个等号可以同时成立，当且仅当2222

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a b ==时取等号）． 【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①2

2

,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；②,a b +

∈R ，2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．

8、【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存

储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________． 【答案】30

【解析】总费用为600900464()42900240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x

=，即30x =时等号成立．