复变函数西安交大版
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1-5复变函数课件 西安交通大学
消去参数 y 得 : v 2 42 (2 u),
以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)
同理直线 y 的象为:
v 2 4 2 ( 2 u),
以原点为焦点,开口相右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
14
4. 反函数的定义:
设 w f ( z ) 的定义集合为z 平面上的集合G , 函数值集合为w 平面上的集合G*, 那末 G * 中的 每一个点 w 必将对应着G 中的一个(或几个)点. 于是在 G * 上就确定了一个单值(或多值)函数 z ( w ), 它称为函数 w f ( z ) 的反函数, 也称 为映射 w f ( z ) 的逆映射.
5
2.映射的定义:
如果用 z 平面上的点表示自变量z 的值, 而用另一个平面w 平面上的点表示函数w 的 值, 那末函数 w f ( z ) 在几何上就可以看作 是把 z 平面上的一个点集G (定义集合) 变到 w 平面上的一个点集G * (函数值集合)的映射 (或变换).
6
这个映射通常简称为由 函数 w f ( z ) 所构成的映射.
2
π π 故线段 0 r 2, 映射为 0 4, , 4 2
17
例1 在映射 w z 下求下列平面点集在w 平面
2
上的象 :
(2) 双曲线 x 2 y 2 4;
解 令 z x iy, w u iv ,
则 u iv x 2 y 2 2 xyi,
放映结束，按Esc退出.
24
映射 w z 2 将 z 的辐角增大一倍 .
y
v
o
x
o
2
u
将 z 平面上与实轴交角为 的角形域映射成w 平面上与实轴交角为2 的角形域.
《复变函数》(西安交大 第四版)第7章 拉普拉斯变换
f (t T ) f (t) (t 0)
当 f (t)在一个周期上连续或分段连续时,则有
ℒ
f
(t)
1
1 es
T
T f (t)es tdt
0
这是求周期函数拉氏变换公式
例8 设f (t)是以2 为周期的函数，且在一个
周期内 的表达式 为f (t)
cos
0
t
0
t t
2
求: ℒ f (t)
est dt
k
k2
sin k t estdt
0
s2 s2 0
所以
sin
k
t
s2
k
k2
Res 0
即
k sin kt s2 k 2 (Re(s) 0)
同理可得
cos kt
s s2 k2
(Re(s) 0)
如
ℒ
sin
2t
s2
2
4
Res 0
ℒ
cos
3t
s2
s
9
Res 0
例7 求: f (t) e t (t) e tu(t) ( 0)
函数可写为 F(s) f (t) estdt 0
我们称上式为函数 f (t)的拉普拉斯变换式 ,记做
F (s) ℒ f (t)
F(s) 叫做 f (t) 的拉氏变换,象函数.
f (t) 叫做 F(s) 的拉氏逆变换,象原函数,f (t) =ℒ 1 F(s)
7.1.2 拉普拉斯变换存在定理
d ds
s2
s
k
2
s2 k2 s2 k2 2
例13 求: f (t) te t cos t 的Laplace变换。
当 f (t)在一个周期上连续或分段连续时,则有
ℒ
f
(t)
1
1 es
T
T f (t)es tdt
0
这是求周期函数拉氏变换公式
例8 设f (t)是以2 为周期的函数，且在一个
周期内 的表达式 为f (t)
cos
0
t
0
t t
2
求: ℒ f (t)
est dt
k
k2
sin k t estdt
0
s2 s2 0
所以
sin
k
t
s2
k
k2
Res 0
即
k sin kt s2 k 2 (Re(s) 0)
同理可得
cos kt
s s2 k2
(Re(s) 0)
如
ℒ
sin
2t
s2
2
4
Res 0
ℒ
cos
3t
s2
s
9
Res 0
例7 求: f (t) e t (t) e tu(t) ( 0)
函数可写为 F(s) f (t) estdt 0
我们称上式为函数 f (t)的拉普拉斯变换式 ,记做
F (s) ℒ f (t)
F(s) 叫做 f (t) 的拉氏变换,象函数.
f (t) 叫做 F(s) 的拉氏逆变换,象原函数,f (t) =ℒ 1 F(s)
7.1.2 拉普拉斯变换存在定理
d ds
s2
s
k
2
s2 k2 s2 k2 2
例13 求: f (t) te t cos t 的Laplace变换。
复变函数西安交大 第四版第六讲PPT课件
---级数的部分和
▪ 若z0 D ln i m sn (z0 ) s(z0 ),称 级 数(1)在z0收 敛, 其 和 为s(z0 ), ln i m sn (z0 )不 存 在 ， 称 级 数(1)在z0发 散 。
且
u u ( ) ( )
y y x x
v x
dx
v y
dy
u y
dx
u x
dy
v
d v(
x,
y)
( x, y)
u
u
v(x, y)
( dx dy) c ()
y ( x0 , y0 )
x
第7页/共47页
v u v u 满 足C R方 程. x y y x
u iv在D内 解 析.
n0 n! n0 n!
n0 n!
(3)
n1
(1)n
收
敛
，
n
n1
1 2n
收
敛
，
n1
(
(1)n n
i 2n
)收 敛.
又 (1)n 条 件收 敛，原 级数 非 绝对 收 敛. n1 n
第24页/共47页
例3
讨论
z
n
的
敛散性。
n0 n!
解
令 z r,
zn
rn er
n0 n! n0 n!
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
第17页/共47页
1. 复数列的极限
定义 设复数列{：n}(n 1,2,),其中n＝an ibn,
又设复常数： a ib，
若 0, N 0, n N , 恒 有n ，
那 么称 为 复 数 列{n }当n 时 的 极 限 ，
记
▪ 若z0 D ln i m sn (z0 ) s(z0 ),称 级 数(1)在z0收 敛, 其 和 为s(z0 ), ln i m sn (z0 )不 存 在 ， 称 级 数(1)在z0发 散 。
且
u u ( ) ( )
y y x x
v x
dx
v y
dy
u y
dx
u x
dy
v
d v(
x,
y)
( x, y)
u
u
v(x, y)
( dx dy) c ()
y ( x0 , y0 )
x
第7页/共47页
v u v u 满 足C R方 程. x y y x
u iv在D内 解 析.
n0 n! n0 n!
n0 n!
(3)
n1
(1)n
收
敛
，
n
n1
1 2n
收
敛
，
n1
(
(1)n n
i 2n
)收 敛.
又 (1)n 条 件收 敛，原 级数 非 绝对 收 敛. n1 n
第24页/共47页
例3
讨论
z
n
的
敛散性。
n0 n!
解
令 z r,
zn
rn er
n0 n! n0 n!
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
第17页/共47页
1. 复数列的极限
定义 设复数列{：n}(n 1,2,),其中n＝an ibn,
又设复常数： a ib，
若 0, N 0, n N , 恒 有n ，
那 么称 为 复 数 列{n }当n 时 的 极 限 ，
记
西安交大工程数学复变函数第四版第三章复变函数的积分
显然曲线 AEBBEAA,AAFBBFA均为封闭曲线.
因为它们的内部全含于D,
故 f (z)dz 0, AEBBEAA
CF A A F
B
f (z)dz 0.
D1 E C1 B
AAF BBFA
︵︵
D
︵
E
︵
︵ ︵ AEBBEAA AEB BB BEA AA,
︵
︵
AAFBBFA AA AFB BB BFA,
22
2 不定积分 f z 的原函数的一般表达式 F z C（其中C为 任意常数），称为 f z 的不定积分，即
f zdz Fz c （其中C为任意常数）
例如 sinzdz cos z c 其中c为任意常数
（换元积分法 分部积分法）
例 z sinzdz z d cos z z cos z cos zdz
二、复合闭路定理
设 f z在多连通域D内解析，C是D内的一条简单闭曲线，
C1, C2 , , Cn是在C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互
不相交，且以C, C1, C2 , , Cn 为边界的区域全包含于D，
则
n
⑴
f zdz
C
k 1 Ck
f zdz
C1
n
⑵ f zdz f zdz 0
设f z在单连通域B内解析，则F z在B内是一解析函数，
且Fz f z, 即F z为f z的原函数. 证明
24
定理三
设f z在单连通域B内解析，Gz为f z的一个原函数，
则
z1 z0
f
zdz
Gz1 Gz0 .
解析函数的积分计算公式
证
z z0
f zdz,Gz均为f
工程数学复变函数西安交通大学出版社§3.5-3.6-new
故 f (z) 2i(6z 7), 而 1 i 在 C 内,
所以 f (1 i) 2(6 13i).
12
例5 求积分 ez dz, 并证明 π ecos cos(sin )d π .
z 1 z
0
解 根据柯西积分公式知,
ez dz 2i ez 2i;
z 1 z
z0
令 z rei , (π π ) z r 1,
2i 1 z(z i) zi
2
2
2i
1 2i 2
i.
11
例４ 设 C 表示正向圆周x2 y2 3,
f (z)
C
3
2 7 z
1d ,
求
f (1 i).
解 根据柯西积分公式知, 当 z 在 C 内时,
f (z) 2πi (3 2 7 1) 2i(3z2 7z 1), z
(2) 不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的 一种方法, 而且给出解析函数的一个积分表达式.
(这是研究解析函数的有力工具)
(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上
的平均值. 如果 C 是圆周z z0 R ei ,
f
( z0
)
1 2π
2π 0
f (z0
R ei )d .
7
三、典型例题
K z z0
K
R K
ds
2π .
f (z) f (z0 ) ds z z0
则
C
f (z) z z0
dz
2if
(z0 )
2
根据闭路变形原理知, 上式成立与 R 无关, 故有
f
( z0
)
1 2i
f (z) dz C z z0
所以 f (1 i) 2(6 13i).
12
例5 求积分 ez dz, 并证明 π ecos cos(sin )d π .
z 1 z
0
解 根据柯西积分公式知,
ez dz 2i ez 2i;
z 1 z
z0
令 z rei , (π π ) z r 1,
2i 1 z(z i) zi
2
2
2i
1 2i 2
i.
11
例４ 设 C 表示正向圆周x2 y2 3,
f (z)
C
3
2 7 z
1d ,
求
f (1 i).
解 根据柯西积分公式知, 当 z 在 C 内时,
f (z) 2πi (3 2 7 1) 2i(3z2 7z 1), z
(2) 不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的 一种方法, 而且给出解析函数的一个积分表达式.
(这是研究解析函数的有力工具)
(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上
的平均值. 如果 C 是圆周z z0 R ei ,
f
( z0
)
1 2π
2π 0
f (z0
R ei )d .
7
三、典型例题
K z z0
K
R K
ds
2π .
f (z) f (z0 ) ds z z0
则
C
f (z) z z0
dz
2if
(z0 )
2
根据闭路变形原理知, 上式成立与 R 无关, 故有
f
( z0
)
1 2i
f (z) dz C z z0
西安交大版复变函数第一章课件
1.1 复数的代数形式的定义: 满足：i2=-1
对于∀ x, y ∈ R, 称 z = x + yi或 z = x + iy 为复数.
实部 记做：Rez=x
虚部 记做：Imz=x
当 x = 0, y ≠ 0 时, z = iy 称为纯虚数;
当 y = 0 时, z = x + 0i, 我们把它看作实数 x.
10
1.4 极坐标表示（三角表示） y
复数 z = x + iy 可以用复平
y
z = x + iy
z = (x, y)
面上的点向量oz 表示.
uur
o
x
x
z = x + iy ⇔ 向量oz ⇔（r,θ）
x = r cosθ y = r sinθ z = r(cosθ + i sinθ )
1.5 指数表示
15
关于 ∞ 的四则运算规定如下 :
(1) 加法 : α + ∞ = ∞ + α = ∞, (α ≠ ∞)
(2) 减法 : α − ∞ = ∞ − α = ∞, (α ≠ ∞)
(3) 乘法 : α ⋅ ∞ = ∞ ⋅α = ∞, (α ≠ 0)
(4)除法 :
α ∞
=
0,
∞ α
=
∞,
(α
≠
∞),Biblioteka α = ∞,(α ≠ 0) 0
用来表示复数 , 通常把横轴叫实轴或 x 轴, 纵轴
叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平 面叫复平
面.
复数的向量表示法
复数 z = x + iy 可以用复平 面上的点 ( x, y) 表示 .
y z = x + iy
对于∀ x, y ∈ R, 称 z = x + yi或 z = x + iy 为复数.
实部 记做：Rez=x
虚部 记做：Imz=x
当 x = 0, y ≠ 0 时, z = iy 称为纯虚数;
当 y = 0 时, z = x + 0i, 我们把它看作实数 x.
10
1.4 极坐标表示（三角表示） y
复数 z = x + iy 可以用复平
y
z = x + iy
z = (x, y)
面上的点向量oz 表示.
uur
o
x
x
z = x + iy ⇔ 向量oz ⇔（r,θ）
x = r cosθ y = r sinθ z = r(cosθ + i sinθ )
1.5 指数表示
15
关于 ∞ 的四则运算规定如下 :
(1) 加法 : α + ∞ = ∞ + α = ∞, (α ≠ ∞)
(2) 减法 : α − ∞ = ∞ − α = ∞, (α ≠ ∞)
(3) 乘法 : α ⋅ ∞ = ∞ ⋅α = ∞, (α ≠ 0)
(4)除法 :
α ∞
=
0,
∞ α
=
∞,
(α
≠
∞),Biblioteka α = ∞,(α ≠ 0) 0
用来表示复数 , 通常把横轴叫实轴或 x 轴, 纵轴
叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平 面叫复平
面.
复数的向量表示法
复数 z = x + iy 可以用复平 面上的点 ( x, y) 表示 .
y z = x + iy
复变函数第4版西安交通大学高等数学教研室编1-1
证明 z1 z2 z1 z2 2 Re( z1 z2 ).
证
z1 z2 z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) 2( x1 x2 y1 y2 ) 2 Re( z1 z2 ).
第一节
复数及其代数运算
一、复数的概念 二、复数的代数运算
三、小结与思考
一、复数的概念
1. 虚数单位:
实例 : 方程 x 2 1在实数集中无解 .
为了解方程的需要ห้องสมุดไป่ตู้, 引入一个新数 i , 称为虚数单位.
对虚数单位的规定:
(1) i 2 1;
( 2) i 可以与实数在一起按同 样的法则进行 四则运算.
1. 两复数的和: z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ).
2. 两复数的积: z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ). 3. 两复数的商: z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i . 2 2 2 2 z2 x 2 y2 x 2 y2
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数; 当 y 0 时, z x 0i , 我们把它看作实数x .
4
2 ( m 3m 4) 例1 实数m取何值时, 复数
(m 2 5m 6)i 是(1)实数; ( 2)纯虚数.
解
令 x m 3m 4,
一般地，如果n是正整数, 则
证
z1 z2 z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) 2( x1 x2 y1 y2 ) 2 Re( z1 z2 ).
第一节
复数及其代数运算
一、复数的概念 二、复数的代数运算
三、小结与思考
一、复数的概念
1. 虚数单位:
实例 : 方程 x 2 1在实数集中无解 .
为了解方程的需要ห้องสมุดไป่ตู้, 引入一个新数 i , 称为虚数单位.
对虚数单位的规定:
(1) i 2 1;
( 2) i 可以与实数在一起按同 样的法则进行 四则运算.
1. 两复数的和: z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ).
2. 两复数的积: z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ). 3. 两复数的商: z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i . 2 2 2 2 z2 x 2 y2 x 2 y2
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数; 当 y 0 时, z x 0i , 我们把它看作实数x .
4
2 ( m 3m 4) 例1 实数m取何值时, 复数
(m 2 5m 6)i 是(1)实数; ( 2)纯虚数.
解
令 x m 3m 4,
一般地，如果n是正整数, 则
复变函数(西交大版)课件第一章
n 0, 1, 2,
2
2n
Arg ( z1 z2 ) 2k k 0, 1, 2, 2 3 代入上式 2m n 2k 2 2
要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.
定理2
两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差。
a
b
二、复球面
1. 南极、北极的定义
取一个与复平面切于原 z 0 的球面, 点 球面上一点S 与原点重合,
记作
可用向量OP表示z x iy .
x2 y2 ,
y
P(x,y)
z r
z 0 OP 0
o
x
x
z tan( z=0时，辐角不确定。 0时， Argz ) y / x
辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z， 把其中满足 0 的θ0称为辐角Argz的主值， 记作θ0=argz。 y x 0, y R arctan x 计算 x 0, y 0 arg z argz(z≠0) 2 y 的公式 arctan x 0, y 0 x y x 0, y 0 arctan 2 x 2
当z落于一,四象限时，不变。
P4 例1.1
当z落于第三象限时，减
当z落于第二象限时，加
。
。
由向量表示法知
z2 z1 — 点z1与z2之间的距离
由 此 得: z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1
y
(z)
z1
2
2n
Arg ( z1 z2 ) 2k k 0, 1, 2, 2 3 代入上式 2m n 2k 2 2
要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.
定理2
两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差。
a
b
二、复球面
1. 南极、北极的定义
取一个与复平面切于原 z 0 的球面, 点 球面上一点S 与原点重合,
记作
可用向量OP表示z x iy .
x2 y2 ,
y
P(x,y)
z r
z 0 OP 0
o
x
x
z tan( z=0时，辐角不确定。 0时， Argz ) y / x
辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z， 把其中满足 0 的θ0称为辐角Argz的主值， 记作θ0=argz。 y x 0, y R arctan x 计算 x 0, y 0 arg z argz(z≠0) 2 y 的公式 arctan x 0, y 0 x y x 0, y 0 arctan 2 x 2
当z落于一,四象限时，不变。
P4 例1.1
当z落于第三象限时，减
当z落于第二象限时，加
。
。
由向量表示法知
z2 z1 — 点z1与z2之间的距离
由 此 得: z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1
y
(z)
z1
西安交通大学复数与复变函数教学PPT
a 2 b2 1 ab x x 2 1
解得 a x, 所以
b x2 1
1 2ix x 2 1 ( x i x 2 1)
西安交通大学
例3.证明 | z1 z2 |2 | z1 z2 |2 2(| z1 |2 | z2 |2 ), 并说明几何意义 证：| z1 z2 |2 ( z1 z2 )( z1 z2 )
y Im( z )
所以，2）的方程为
Im( z ) 5
z z 10i 0
zz zz ,y 方程较复杂时，一般用： x 2 2i
西安交通大学
例6 说明下列方程所表示的平面图形.
1. z 2i z 2 2. z 1, Im z 0
解：
1. z 2i z 2
再将模变到原来的r2倍
y
r1r2
z1 z2
r2
2
z2 1 2
r1 z1
1 2
o
1
x
西安交通大学
类似得
z1 r1 i (1 2 ) e . z2 r2
从而
两个复数商的模等于它们模的商； 两个复数商的辐角等于它们辐角的差.
西安交通大学
2）复数的乘幂与方根 n次幂
z r e z .z ...z
西安交通大学
例1.计算 3 8 ，并说明几何意义。 解：3 8 3 8e i 2e
k 0,1,2 2k 2k 2 cos( ) i sin( ) , k 0,1,2 3 3 1 i 3 k0 y 2 k 1 w1 k2 1 i 3 ,
18世纪： 1. 欧拉（L.Euler）建立复数理论，
解得 a x, 所以
b x2 1
1 2ix x 2 1 ( x i x 2 1)
西安交通大学
例3.证明 | z1 z2 |2 | z1 z2 |2 2(| z1 |2 | z2 |2 ), 并说明几何意义 证：| z1 z2 |2 ( z1 z2 )( z1 z2 )
y Im( z )
所以，2）的方程为
Im( z ) 5
z z 10i 0
zz zz ,y 方程较复杂时，一般用： x 2 2i
西安交通大学
例6 说明下列方程所表示的平面图形.
1. z 2i z 2 2. z 1, Im z 0
解：
1. z 2i z 2
再将模变到原来的r2倍
y
r1r2
z1 z2
r2
2
z2 1 2
r1 z1
1 2
o
1
x
西安交通大学
类似得
z1 r1 i (1 2 ) e . z2 r2
从而
两个复数商的模等于它们模的商； 两个复数商的辐角等于它们辐角的差.
西安交通大学
2）复数的乘幂与方根 n次幂
z r e z .z ...z
西安交通大学
例1.计算 3 8 ，并说明几何意义。 解：3 8 3 8e i 2e
k 0,1,2 2k 2k 2 cos( ) i sin( ) , k 0,1,2 3 3 1 i 3 k0 y 2 k 1 w1 k2 1 i 3 ,
18世纪： 1. 欧拉（L.Euler）建立复数理论，
《复变函数》第一讲
1. 复数的乘积与商 复数的乘积与商 2. 复数的乘幂 复数的乘幂 3.复数的 3.复数的方根 复数的方根
1. 乘积与商
定理1 定理 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2 则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2e i(θ1+θ2) 因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
课程简介
课程名称 复变函数 教 材 《复变函数》(四版) 复变函数》
西安交通大学高等数学教研室 编
总 学 时 教师姓名
54学时
__张广亮 张广亮__ 张广亮
对
复变函数（自变量为复数的函数） 象 复变函数（自变量为复数的函数）
研究复变数之间的相互依赖关系， 主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系， 具体地就是复数域上的微积分。 具体地就是复数域上的微积分。 复数与复变函数、解析函数、 主要内容 复数与复变函数、解析函数、 复变函数的积分、级数、留数、 复变函数的积分、级数、留数、 共形映射等。 共形映射等。
3.共轭复数 共轭复数
的共轭复数. 定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数 •共轭复数的性质
(1) ( z1 ± z 2 ) = z1 ± z 2
( z1 z 2 ) = z1 z 2
(conjugate)
1. 乘积与商
定理1 定理 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2 则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2e i(θ1+θ2) 因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
课程简介
课程名称 复变函数 教 材 《复变函数》(四版) 复变函数》
西安交通大学高等数学教研室 编
总 学 时 教师姓名
54学时
__张广亮 张广亮__ 张广亮
对
复变函数（自变量为复数的函数） 象 复变函数（自变量为复数的函数）
研究复变数之间的相互依赖关系， 主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系， 具体地就是复数域上的微积分。 具体地就是复数域上的微积分。 复数与复变函数、解析函数、 主要内容 复数与复变函数、解析函数、 复变函数的积分、级数、留数、 复变函数的积分、级数、留数、 共形映射等。 共形映射等。
3.共轭复数 共轭复数
的共轭复数. 定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数 •共轭复数的性质
(1) ( z1 ± z 2 ) = z1 ± z 2
( z1 z 2 ) = z1 z 2
(conjugate)
2-1复变函数课件 西安交通大学
解
f ′( z ) = lim f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆z
Байду номын сангаас
∆z → 0
( z + ∆z ) 2 − z 2 = lim ∆z → 0 ∆z = lim ( 2 z + ∆z ) = 2z .
∆z → 0
′ = 2z (z )
2
4
例2 解
讨论 f ( z ) = Im z的可导性 .
特别地, 特别地 当 w = f ( z ) = z 时,
dw = dz = f ′( z0 ) ⋅ ∆z = ∆z ,
dw dw d w = f ′ ( z 0 ) ⋅ ∆ z = f ′ ( z 0 ) ⋅ d z , 即 f ′( z 0 ) = dz z = z0
数 = 函 w= f (z)在z0可 与 z0可 是 价 . 导 在 微 等 的
当点沿不同的方向使 ∆z → 0时, 极限值不同 ,
故f ( z ) = Im z在复平面上处处不可导 .
6
例3 问f ( z ) = x + 2 yi是否可导？ 是否可导？ 解
f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆f lim = lim ∆z → 0 ∆ z ∆z → 0 ∆z ( x + ∆x ) + 2( y + ∆y )i − x − 2 yi = lim ∆z → 0 ∆z y
所以 f ( z ) = x + 2 yi的导数 不存在 .
o
∆x = 0
y
z
∆y = 0
x
8
2.可导与连续 可导与连续: 可导与连续 处一定连续, 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续 但 处可导. 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导 证
f ′( z ) = lim f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆z
Байду номын сангаас
∆z → 0
( z + ∆z ) 2 − z 2 = lim ∆z → 0 ∆z = lim ( 2 z + ∆z ) = 2z .
∆z → 0
′ = 2z (z )
2
4
例2 解
讨论 f ( z ) = Im z的可导性 .
特别地, 特别地 当 w = f ( z ) = z 时,
dw = dz = f ′( z0 ) ⋅ ∆z = ∆z ,
dw dw d w = f ′ ( z 0 ) ⋅ ∆ z = f ′ ( z 0 ) ⋅ d z , 即 f ′( z 0 ) = dz z = z0
数 = 函 w= f (z)在z0可 与 z0可 是 价 . 导 在 微 等 的
当点沿不同的方向使 ∆z → 0时, 极限值不同 ,
故f ( z ) = Im z在复平面上处处不可导 .
6
例3 问f ( z ) = x + 2 yi是否可导？ 是否可导？ 解
f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆f lim = lim ∆z → 0 ∆ z ∆z → 0 ∆z ( x + ∆x ) + 2( y + ∆y )i − x − 2 yi = lim ∆z → 0 ∆z y
所以 f ( z ) = x + 2 yi的导数 不存在 .
o
∆x = 0
y
z
∆y = 0
x
8
2.可导与连续 可导与连续: 可导与连续 处一定连续, 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续 但 处可导. 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导 证
大学复变函数西安交通大学出版社
2π (cos n i sin n )d
0
0;
所以
z z0
r
(z
1 z0
)n1
dz
2i, 0,
n 0, n 0.
结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.
20
三、积分的性质
复积分与实变函数的定积分有类似的性质.
(1) f (z)dz f (z)dz;
{u[x(t), y(t)]x(t) v[x(t), y(t)]y(t)}dt
i {v[x(t), y(t)]x(t) u[x(t), y(t)]y(t)}dt
{u[
x(t
),
y(t
)]
iv[
x(t
),
y(t
)]}{x(t
)
iy(t )}dt
由f (z) ux ivx vy iuy在 D 内连续,可知
ux，vx，vy，uy在 D 内连续 由f (z) 在 D 内解析，可知 uy vx，vy ux
f (z)dz 0 c
G (vx uy )dxdy 0 G (ux vy )dxdy 0
k 1
10
由于f (z)在C上连续，从而 u, v 在C上连续,
且
0 时,
有max 1k n
xk
0, max 1k n
yk
0
于是下式右端极限存在,且有
n
n
f ( k )zk [u(k ,k )xk v(k ,k )yk ]
k 1
k 1
n
3) C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy.
简论复变函数 西安交大版
题目：简论复变函数刘乃通机械工程学院测控102班 201006401关键词：新的数学复变函数的意义复变函数的发展史复变函数的广泛应用最早接触复数是在高中时，当时对于这种数感到陌生与迷惑，也曾觉得它只是数学家们没事琢磨出来没用的东西，由于当时对于复数的意义完全停留在i*i=1上，限制了对于数学的理解，现在经过近一学期的学习，发现复数的意义不至于此，它是二维函数的代表，在电学，光学等科学的研究上有着广泛的应用。
自变量为复数的函数就是复变函数。
由于解代数方程的需要，人们引出了复数。
复数的出现，使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况，n此多项式也不再存在增根，这为人类在某些逻辑领域的运算提供了帮助。
复平面是一个二维平面，但却并非仅仅是我们所在的三维世界中的一个二维平面，可以说复平面在现实世界中难以找到具体的一一对应，所以复变函数抽象到难于理解，是需要用心思考的一门抽象学问。
16世纪意大利米兰学者卡当在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。
他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家。
给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔，他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。
数系中发现一颗新星——虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数。
德国数学家菜不尼茨在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。
瑞士数学大师欧拉说；“一切形如，的数字都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。
对于这类数，我们只能断言，它们纯属虚幻。
”然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地。
法国数学家达兰贝尔在1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是的形式（a、b都是实数）。
法国数学家棣莫佛在1730年发现著名的探莫佛定理。
2-3复变函数课件 西安交通大学
( 2) 幂函数 z 是多值函数 , 具有n个分支 .
1 n
它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面 内是解析的, 内是解析的, ′ 1 1 1 ′ 1 Lnz Lnz n 1 = 1 zn−1. ′ n = en ⋅ z = (n z ) = e nz n
24
e +e , 我们定义余弦函数为 cos z = 2 e iz − e − iz . 正弦函数为 sinz = 2i
b bLna
a b 也是多值的 . (1) 当 b 为整数时 ,
a b = e bLna = e b[ln a + i ( arga + 2 kπ )] b (ln a + iarga )+ 2 kbπi = e b ln a , a b具有单一的值 . =e
16
p ( 2) 当 b = ( p与q为互质的整数 , q > 0)时, q
x
Arge z = y + 2kπ ( k为整数 )
其辐角主值 arg e z 为区间(-π, π]内的一个辐角.
求出下列复数的辐角主值: 例2 求出下列复数的辐角主值
(1)e 2+ i ; ( 2)e 2− 3 i ; ( 3)e 3+ 4 i ; (4)e − 3−4 i ; (5)e iα − e iβ (0 ≤ β < α ≤ 2 π ).
a =e
1 n
1 Lna n
=e
1 ln a n
cos arga + 2kπ i sin arga + 2kπ + n n
18
cos arga + 2kπ i sin arga + 2kπ n =a + = a, n n
1 n
它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面 内是解析的, 内是解析的, ′ 1 1 1 ′ 1 Lnz Lnz n 1 = 1 zn−1. ′ n = en ⋅ z = (n z ) = e nz n
24
e +e , 我们定义余弦函数为 cos z = 2 e iz − e − iz . 正弦函数为 sinz = 2i
b bLna
a b 也是多值的 . (1) 当 b 为整数时 ,
a b = e bLna = e b[ln a + i ( arga + 2 kπ )] b (ln a + iarga )+ 2 kbπi = e b ln a , a b具有单一的值 . =e
16
p ( 2) 当 b = ( p与q为互质的整数 , q > 0)时, q
x
Arge z = y + 2kπ ( k为整数 )
其辐角主值 arg e z 为区间(-π, π]内的一个辐角.
求出下列复数的辐角主值: 例2 求出下列复数的辐角主值
(1)e 2+ i ; ( 2)e 2− 3 i ; ( 3)e 3+ 4 i ; (4)e − 3−4 i ; (5)e iα − e iβ (0 ≤ β < α ≤ 2 π ).
a =e
1 n
1 Lna n
=e
1 ln a n
cos arga + 2kπ i sin arga + 2kπ + n n
18
cos arga + 2kπ i sin arga + 2kπ n =a + = a, n n
复变函数辅导上 第四版 (西安交通大学高等数学教研室 著) .
&" 平面点集
"!##, 的"’邻域%满足关系&#’#,&’" 的 点# 的 全 体 称 为 点 #, 的一个"’邻域!而 满 足 ,’&#’#,&’" 的 点# 的 全 体 称为点#, 的一个去心"’邻域%
"&#内点%设 . 是一平面点集!#,*.!若存在#, 的 某 个 邻 域 也 包含于 .!则称#, 为 . 的内点%
在 三 角 表 式 示 中 !利 用 欧 拉 公 式 %)$! #456!$$678! 可 得 ##))$! !
称 为 复 数# 的 指 数 表 示 式 % 以上复数的不同表示法仅是形 式上的差异!它们 各 有 其 特
点%复数及其运算 的 几 何 解 释 可 以 从 向 量 表 示 法 得 到!复 数运算中模与幅角的变化规律可以由三角或指数表示法
记为####!& !即
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".#复 数 的 共 轭 及 性 质
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称 为 复 数# 的 指 数 表 示 式 % 以上复数的不同表示法仅是形 式上的差异!它们 各 有 其 特
点%复数及其运算 的 几 何 解 释 可 以 从 向 量 表 示 法 得 到!复 数运算中模与幅角的变化规律可以由三角或指数表示法
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《复变函数》(西安交大 第四版第三讲.
当x 0时, eiy cos y i sin y , 从而得到: eiy cos y i sin y
e iy e iy
eiy eiy
sin y
cos y
2i
2
推广到复变数情形
y R (2)
定义
e zi ezi sinz
e zi ezi cos z
且 f '(z) u i v e x cos y ie x sin y f (z)
x x
解 (3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则
u 2x u 2 y v 0 v 0
x
y
x
y
仅在点z = 0处满足C-R条件，故
§2.3 初等函数
1. 指数函数 2. 三角函数和双曲函数 3. 对数函数 4. 乘幂与幂函数 5. 反三角函数与反双曲函数
内容简介
本节将实变函数的一些常用的初等函数 推广到复变函数情形，研究这些初等函数的 性质，并说明它的解析性。
一. 指数函数
定义 对z x iy定义复变数z的指数函数expz如下: f (z) expz e x (cos y i sin y) (1)
解(2)∵ f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny
u e x cos y x v e x sin y x
u e x sin y
y v
ex
cos
y
u
x y
故 f (z) e x (cos y i sin y)在全平面可导，解析。
《复变函数与积分变换》(西安交大-第四版)课后答案
所以
Arg i8 − 4i 21 + i = arg i8 − 4i 21 + i + 2kπ = arg(1 − 3i ) + 2kπ
(
)
(
答
= −arctan3 + 2kπ
2．如果等式 解：由于
ww
w.
解得 x = 1, y = 11 。 4．证明
比较等式两端的实、虚部，得
⎧ 5 x + 3 y − 4 = 34 ⎧ 5 x + 3 y = 38 或⎨ ⎨ ⎩− 3x + 5 y − 18 = 34 ⎩− 3x + 5 y = 52
3．证明虚单位 i 有这样的性质：-i=i-1= i 。
பைடு நூலகம்
kh
1) | z |2 = zz # 6) Re( z ) =
x + 1 + i(y − 3) [x + 1 + i(y − 3)](5 − 3i ) = 5 + 3i (5 + 3i )(5 − 3i ) =
da
2
课
后
x + 1 + i(y − 3) = 1 + i 成立，试求实数 x, y 为何值。 5 + 3i
⎛ 1 3i ⎞ ⎛ 1 3i ⎞ Arg⎜ − ⎟ = arg⎜ − ⎟ + 2kπ ⎝ i 1− i ⎠ ⎝ i 1− i ⎠
5 = − arctan + 2kπ , k = 0,±1,±2, " . 3 (3 + 4i )(2 − 5i ) = (3 + 4i )(2 − 5i )(− 2i ) = (26 − 7i )(− 2i ) （3） (2i )(− 2i ) 2i 4
复变函数(西交大)第三讲
一. 解析函数的充要条件
设函数w f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )在点 z x iy可导, 则
f ( z z ) f ( z ) z
[u( x x, y y ) iv( x x, y y )] [u( x, y ) iv( x, y )] x iy
故 w z在 全 平 面 不 可 导 ， 不 析 解。
解(2)∵ f (z)=ex(Байду номын сангаасosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny
u e x cos y x v e x si n y x
u e x si n y y v e x cos y y
利用C-R方程 ux=vy, uy=-vx 有 k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：两族曲线互相正交.
ii) uy，vy中有一为零时，不妨设uy=0，则k1=∞， k2=0（由C-R方程）
即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另
一条是铅直的, 它们仍互相正交。 练习:
若 f ( z ) x 2 axy by2 i (cx 2 dxy y 2 ) 问 常 数a , b, c , d 取 何 值 时 , f ( z )在 复 平 面 内 处 处 解 析 ?
利用该定理可以判断那些函数是不可导的.
使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性， ii) 验证C-R条件. iii) 求导数：
u v 1 u v f '(z) i x x i y y
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两 个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
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所以
lim
z0
f (z0 z)
f (z0),
即f (z)在 z0 连续.
[证毕]
例3 问f (z) x 2 yi是否连续？是否可导？
解 由上章知识易知，f(z)是连续的.
lim f lim f (z z) f (z)
z0 z z0
z
lim ( x x) 2( y y)i x 2 yi
如果函数在z0 的微分存在, 则称函数 f (z) 在 z0 可微.
特别地, 当 f (z) z 时,
dw dz f (z0 ) z
dw f (z0 ) z f (z0 ) dz, 即
f
( z0
)
dw dz
z z0
函数w f (z)在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
2z
(z2 ) 2z
Hale Waihona Puke 例2 讨论f (z) Im z的可导性.
解 f f (z z) f (z)
z
z
Im z Im z Im z Im z
z
z
Im(x iy) y , x iy x iy
当点沿平行于实轴的方向(y 0)而使z 0时,
所以f (z) x 2 yi的导数 不存在. 因此，连续不一定可导.
x 0 y
z o
y 0 x
3.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函
数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则: (1) (c) 0, 其中c为复常数.
z0 z z0
z
y0 x iy i
x0
当点沿不同的方向使z 0时,极限值不同,
故f (z) Im z在复平面上处处不可导.
2.可导与连续:
函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.
证 根据在 z0 可导的定义,
lim f lim f (z z) f (z) lim y 0,
z0 z z0
z
x0 x iy
y0
当点沿平行于虚轴的方向(x 0)而使z 0时,
lim f lim f (z z) f (z) lim y 1,
如果函数 f (z)在区域 D内处处可微, 则称
f (z)在区域 D内可微.
二 解析函数的概念
函数的微分概念完全一致. 定义 设函数w f (z)在 z0 可导, 则 w f (z0 z) f (z0 ) f (z0 ) z (z)z, 式中 lim (z) 0, (z)z 是 z 的高阶无穷
z0
小, f (z0 ) z 是函数 w f (z)的改变量 w 的 线性部分. f (z0 ) z 称为函数 w f (z)在点 z0 的微分, 记作 dw f (z0 ) z.
f z)
(
z
)
g(
z
)
.
(g(z) 0)
(6) f [g(z)] f (w)g(z). 其中w g(z)
(7) f (z) 1 , 其中 w f (z)与z (w)是 ( w )
两个互为反函数的单值函数, 且(w) 0
4.微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一元实变
z
如果函数 f (z) 在区域 D内处处可导, 我们 就称 f (z) 在区域内D 可导.
例1 求f (z) z2的导数.
解 f (z) lim f (z z) f (z)
z0
z
lim (z z)2 z2
z0
z
lim (2z z) z0
z0
z
lim x 2yi z0 x yi
设z z沿着平行于 x 轴的直线趋向于 z，
lim x 2yi lim x 1, z0 x yi x0 x
设z z沿着平行于 y 轴的直线趋向于 z，
lim x 2yi lim 2yi 2, z0 x yi y0 yi
z0
z
那末就称 f (z) 在z0可导.这个极限值称为 f (z) 在 z0
的导数,
记作
f (z0 )
dw dz
z z0
lim
z0
f
( z0
z) z
f
(z0 ) .
在定义中注意:
z0 z z0(即z 0)的方式是任意的. 即z0 z在区域D内以任意方式趋于z0时, 比值 f (z0 z) f (z0 ) 都趋于同一个数.
0, 0, 使得当 0 | z | 时,
有
f
( z0
z) z
f
(z0 )
f
(z0 )
,
令 (z)
f (z0 z) z
f (z0 )
f (z0 )
则 lim (z) 0, z0
因为 f (z0 z) f (z0 ) f (z0 )z (z)z,
(2) (zn ) nzn1, 其中n为正整数.
(3) f (z) g(z) f (z) g(z).
(4) f (z)g(z) f (z)g(z) f (z)g(z).
(5)
f (z) g(z)
f
(
z
)
g(
z) g2(
第一节 解析函数的概念
◇ 一 复变函数的导数与微分 ◇ 二 解析函数的概念 ◇ 三 本节小结
一复变函数的导数与微分
1.导数的定义:
设函数 w f (z) 定义于区域 D, z0 为D中的一
点,点 z0 z 不出 D 的范围,
如果极限 lim f (z0 z) f (z0 ) 存在,