方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》(课堂PPT)
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第一章 试验设计概述 ppt课件
12
§1.2 试验设计的基本概念
➢1.2.2 试验设计（DOE，Design of Experiments）
• 定义：在明确所要考察的因子及研究目的后，对 试验进行科学合理的安排，以达到最佳的试验效 果，称为试验设计，又称实验设计。
试验设计是试验过程的依据，是试验数据处理 的前提，也是提高科学研究水平的一种重要技术手 段和方法。
第一章 试验设计概述
§1.1 试验设计的发展历程 §1.2 试验设计的基本概念 §1.3 试验设计的类型 §1.4 试验中的误差 §1.5 试验设计的基本原则 §1.6 §1.7 异常数据的处理 §1.8 试验设计的阶段 §1.9 试验方案的制定和实施
1
§1.1 试验设计的发展历程
试验设计（ Design of Experiments ）源于 农业试验，是数理统计学的一个分支，是科学试 验和统计分析方法相互交叉形成的一门学科。
试验结果能够以数值表示的指标为定量指标， 如：作物的株高、茎围、产量、动物的体重、蛋白 质的含量等。
试验结果呈现属性变化，不能用测量或称量 的方法表示，而只能按类别和等级来表示的指标为 定性指标，如：种子的发芽与否、花的颜色、药物 的疗效、风害程度等。
15
§1.2 试验设计的基本概念
➢1.2.3 试验指标
有人夸张地说，日本二战后工业和经济的飞速 发展，“试验设计”占有很大的“功劳”。
田口博士曾经说过，不懂 试验设计的工程师只能算半个 工程师。
5
§1.1 试验设计的发展历程
我国于20世纪50年代前后开始研究“试验设 计”这门学科，1948年范福仁先生在国内出版了 《田间试验设计与分析》一书。
在正交试验设计领域，国内学者创立了简单易 学、行之有效的正交试验设计方法，编制了一套适 用的正交表。
§1.2 试验设计的基本概念
➢1.2.2 试验设计（DOE，Design of Experiments）
• 定义：在明确所要考察的因子及研究目的后，对 试验进行科学合理的安排，以达到最佳的试验效 果，称为试验设计，又称实验设计。
试验设计是试验过程的依据，是试验数据处理 的前提，也是提高科学研究水平的一种重要技术手 段和方法。
第一章 试验设计概述
§1.1 试验设计的发展历程 §1.2 试验设计的基本概念 §1.3 试验设计的类型 §1.4 试验中的误差 §1.5 试验设计的基本原则 §1.6 §1.7 异常数据的处理 §1.8 试验设计的阶段 §1.9 试验方案的制定和实施
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§1.1 试验设计的发展历程
试验设计（ Design of Experiments ）源于 农业试验，是数理统计学的一个分支，是科学试 验和统计分析方法相互交叉形成的一门学科。
试验结果能够以数值表示的指标为定量指标， 如：作物的株高、茎围、产量、动物的体重、蛋白 质的含量等。
试验结果呈现属性变化，不能用测量或称量 的方法表示，而只能按类别和等级来表示的指标为 定性指标，如：种子的发芽与否、花的颜色、药物 的疗效、风害程度等。
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§1.2 试验设计的基本概念
➢1.2.3 试验指标
有人夸张地说，日本二战后工业和经济的飞速 发展，“试验设计”占有很大的“功劳”。
田口博士曾经说过，不懂 试验设计的工程师只能算半个 工程师。
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§1.1 试验设计的发展历程
我国于20世纪50年代前后开始研究“试验设 计”这门学科，1948年范福仁先生在国内出版了 《田间试验设计与分析》一书。
在正交试验设计领域，国内学者创立了简单易 学、行之有效的正交试验设计方法，编制了一套适 用的正交表。
《试验设计》讲义第一部分 [PPT]
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试验设计DOE design Of experiment教材王万中试验的设计与分析高等教育出版社参考书[1] 李云雁等试验设计与数据处理化工业出版社[1][2] 方开泰试验设计高等教育出版社[3] 茆诗松等试验设计中国统计出版社[4] 王颉试验设计与SPSS应用化学工业出版社一、引言试验设计（DOE design Of experiment），也称为实验设计。
试验设计是以概率论和数理统计为理论基础经济地科学地安排试验的一项技术试验设基础，经济地，科学地安排试验的一项技术。
试验设计自20世纪20年代问世至今，其发展大致经历了三个阶段：即早期的单因素和多因素方差分析，传统的正交试验法和近代的调优设计法。
试验设计的概念从20世纪30（20）年代费希尔（R.A.Fisher）在农业生产中使用试验设计方法以来试验设计方在农业生产中使用试验设计方法以来，试验设计方法已经得到广泛的发展，统计学家们发现了很多非常有效的试验设计技术。
20世纪60（50）年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，在方法解说方面深入浅出为试验设计设计表格化在方法解说方面深入浅出为试验设计的更广泛使用作出了巨大的贡献。
试验设计的内容试设计内容产品质量的高低主要是由设计决定的个好产品质量的高低主要是由设计决定的，一个好的试验设计包含几个方面的内容。
第一是明确衡量产品质量的指标，6σ管理强调用数据说话，所以这个质量指标必须是能够量化的指标，在试验设计中称为试验所以个质指标须是能够化的指标在试验设计中称为试验指标，也称为响应变量 (response variable）或输出变量。
第二是寻找影响试验指标的可能因素（factor) ，factor)也称为影响因子和输入变量。
因素变化的各种状态称为水平，要求根据专业知识初步确定因家水平的范围。
第三是根据实际问题，选择适用的试验设计方法。
试验设计的方法有很多，每种方法都有不同的适用条试验设计的方法有很多每种方法都有不同的适用条件，选择了适用的方法就可以事半而功倍，选择的方法不正确或者根本没有进行有效的试验设计就会事倍而功半。
方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-8
一次型
ŷ = b1x1 + b2x2 + + bs xs
二次型 三次型
s
yˆ bi xi
bij xi x j
i 1
1i js
s
yˆ bi xi bij xi x j ij xi x j (xi x j ) bijk xi x j xk
i 1
i j
i j
i jk
5
8.2 常见混料设计
xk (xk1, xk 2 , xk3
0.1210
0.0707
0.0230
0.1454 0.0839 0.1950 0.5384 0.0291 0.5464 0.3844 0.2627 0.7592 0.1267 0.5773
0.0678 0.2853
白糖
水
面粉
如何决混定料各成试分验的设比率计? 试验 3
设有 s 个因素: X1, , Xs 并满足 Xi 0, i = 1, , s 且 X1 + + Xs = 1.
试验区域为单纯形： Ts = {(x1, , xs): xi 0, i = 1, , s , x1 + + xs = 1. }
常见的混料设计方法:
12
例 s=3
13
例 s=3
14
8.3 混料均匀设计
将 n 个试验点，即 n 种不同的试验配方均匀地 散布在Ts 内，而不存在边界上的设计点
怎样设计这些试验点?
逆变换方法 条件法
15
逆变换方法的理论基础
假设随机向量c = (c1, c2, ···, cs−1) 服从 s−1 维立方体 Cs−1 上的均匀分布，则从 Cs−1 到标准单纯形 Ts 上的
实验设计与数据处理第四章均匀试验设计
可以看出用u6的1，3列画格子和1,4列画格子，可以看出左图 试验点比较均匀，右图的点不均匀，从其使用表也可以知道， 因素为2时，安排在1，3列而不是1,4列。
右图说明了使用表安排实验的合理性，及均匀性更好。
右图说明了使用表安排实验的合理性，及均匀性更好。
等水平均匀表的试验次数与水平数是一致的，所以当因素的水平数增加 时，实验数按水平数增加量在增加。
均匀设计是另一种部分实施的试验设计方 法。它可以用较少的试验次数，安排多因素、 多水平的试 验，是在均匀性的度量下最好的析 因试验设计方法。它可以使试验点在试验范围 内充分地均匀分散，不仅可大大减少试验点， 而且仍能得到反映试验体系主要特征的试验结 果。
和正交设计的对比-各自适用范围
均匀设计的特点： 均匀设计和正交设计相似，都是用一套精心设计的
• 最后一列D表示均匀度的偏差，偏差值越小表示均匀性分 散性越好。
从表1和表二中可以看出来，等水平均匀表有以下特点： ✓ 每列不同数字都只出现一次，即每个因素在每个水平仅作
一次实验。
✓ 任意两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有 且只有一个试验点
✓ 均匀设计表任两列组成的实验方案一般不等价。
（1,2）
1
（3,4）
2
………………
（9,10）
5
对第5列采用水平合并（1,2,3,4,5) 改为1， （6,7,8,9,10) 改为2， 得到下表：
若参照使用表，选用该表的1、5、6列，用同样的拟水平方法，便 可得到另一个表如下图所示：
这个表中均衡性不好，为什么？
可见对同一个等水平均匀表进行拟水平设计，可以得到不同的混合均匀 表，这些均匀表的均衡性也不相同，而且参考使用表得到的混合表不一 定都有好的均衡性。
方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-6
15
两次随机实现
16
均匀设计
17
拟合模型
三阶回归模型
用最小二乘法估计系数可得
(−0.0420, 0.2903, 0.8484,−0.5463, −0.5270, −1.2069, 0.4550, 0.2428, 0.2610, 0.5697).
R2 = 0.941，s2 = 0.0002388，
7
中点超拉丁方抽样
8
LHS 的优缺点
优点： 它很容易产生； 它可以处理试验次数n 与因素个数s 较大 的问题； 与完全随机抽样相比，它估计y 的样本 均值的样本方差要小 缺点： 有些 LHS 设计会显得很不均匀
9
B. 随机化正交列
强度为 r 的正交列 ( OA(n,s,q,r) )： 任意m (m ≤ r) 列都构成完全因子设计
18
预测MSE
检验点：x1 = 0.02 ∗ i, x2 = 0.02 ∗ i, (i = 0, 1, · · 50) 构成的总共N = 2601 个网格点 ·, {x1, · · x2601} ·, 预测误差
MSE=0.00022118
19
拟合模型2
逐步回归法
R2 = 0.919，s2 = 2.739×10−4， 拟合 MSE = 2.1972×10−4 预测 MSE = 2.3820×10−4
产生的超拉丁方设计即为随机化正交列， 记为OH(n, ns)。
11
例6.2.
从正交列OA(8, 4, 2, 3) 出发构造OH(8, 84)。
12
C. 正交超拉丁方设计
正交超拉丁方设计：各因子列之间的相 关系数为零。 二阶超拉丁方设计：拉丁方设计满足下 面条件： (i) 设计中的任一列与其它列正交，即相 关 系数为零 (ii) 设计中任一列对应的元素平方列及任两 列的元素点乘列与设计的所有列正交
两次随机实现
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均匀设计
17
拟合模型
三阶回归模型
用最小二乘法估计系数可得
(−0.0420, 0.2903, 0.8484,−0.5463, −0.5270, −1.2069, 0.4550, 0.2428, 0.2610, 0.5697).
R2 = 0.941，s2 = 0.0002388，
7
中点超拉丁方抽样
8
LHS 的优缺点
优点： 它很容易产生； 它可以处理试验次数n 与因素个数s 较大 的问题； 与完全随机抽样相比，它估计y 的样本 均值的样本方差要小 缺点： 有些 LHS 设计会显得很不均匀
9
B. 随机化正交列
强度为 r 的正交列 ( OA(n,s,q,r) )： 任意m (m ≤ r) 列都构成完全因子设计
18
预测MSE
检验点：x1 = 0.02 ∗ i, x2 = 0.02 ∗ i, (i = 0, 1, · · 50) 构成的总共N = 2601 个网格点 ·, {x1, · · x2601} ·, 预测误差
MSE=0.00022118
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拟合模型2
逐步回归法
R2 = 0.919，s2 = 2.739×10−4， 拟合 MSE = 2.1972×10−4 预测 MSE = 2.3820×10−4
产生的超拉丁方设计即为随机化正交列， 记为OH(n, ns)。
11
例6.2.
从正交列OA(8, 4, 2, 3) 出发构造OH(8, 84)。
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C. 正交超拉丁方设计
正交超拉丁方设计：各因子列之间的相 关系数为零。 二阶超拉丁方设计：拉丁方设计满足下 面条件： (i) 设计中的任一列与其它列正交，即相 关 系数为零 (ii) 设计中任一列对应的元素平方列及任两 列的元素点乘列与设计的所有列正交
实验设计与分析讲座(共41张PPT)精选
第二十页，共41页。
（2）实验设计的原则(yuánzé)：
▪ 1、对照性原则 分析实验原理：即实验依据，为完成实验得出实验结论而应用的科学理论知识（源于学习过的基本概念、原理、规律等）。
2、目的(mùdì)要求：观察植物在单侧光照射下的生长情况，验证植物的生长具有向光性。
▪ 在实验设计中，通常设置对照组，通过(tōngguò) 五、回归教材(jiàocái)、注重分析
第六页，共41页。
▪ （一）实验材料和用具： ▪ 正常实验小白鼠2只，生理盐水，用生理
盐水配制的适宜浓度的胰高血糖素溶液， 班氏糖定性试剂，注射器，试管(shìguǎn) ，烧杯等。 ▪ （二）实验步骤： ▪ （实验提示：采用腹腔注射给药，给药剂 量不作实验设计要求；给药1小时后，用注 射器在小鼠膀胱处穿刺取尿液。）
第五页，共41页。
（1）设计探究验证型 依据实验目的，来设计实验过程、预测实验
结果的试题。 例1：(04年全国新课程卷1)31.（20分） 胰高
血糖(xuètáng)素对小白鼠和人具有相同的 生理作用。为了验证“胰高血糖(xuètáng) 素具有升高血糖(xuètáng)的生理作用”， 请以小白鼠为实验对象设计实验步骤，预 测和解释实验应出现的结果，并写出实验 结论。
二、了解高考实验试题(shìtí)类型 ：
▪ 研究(yánjiū)近几年来高考题中的实验题 可以发现，实验设计、评价的理解能力、 实验条件的控制和对实验结果的归纳、总 结能力是现在考察的重点方向。且考察中 学生“未证实过的”实验问题材料是命题 的主要来源，涉及实验的题型主要是设计 探究验证型和分析推理判断型实验题。
三、掌握实验设计的基本(jīběn) 理论
第十三页，共41页。
▪ （1）实验设计的内容 ▪ 一个比较完整的实验设计方案，一般包括(bāokuò)以
（2）实验设计的原则(yuánzé)：
▪ 1、对照性原则 分析实验原理：即实验依据，为完成实验得出实验结论而应用的科学理论知识（源于学习过的基本概念、原理、规律等）。
2、目的(mùdì)要求：观察植物在单侧光照射下的生长情况，验证植物的生长具有向光性。
▪ 在实验设计中，通常设置对照组，通过(tōngguò) 五、回归教材(jiàocái)、注重分析
第六页，共41页。
▪ （一）实验材料和用具： ▪ 正常实验小白鼠2只，生理盐水，用生理
盐水配制的适宜浓度的胰高血糖素溶液， 班氏糖定性试剂，注射器，试管(shìguǎn) ，烧杯等。 ▪ （二）实验步骤： ▪ （实验提示：采用腹腔注射给药，给药剂 量不作实验设计要求；给药1小时后，用注 射器在小鼠膀胱处穿刺取尿液。）
第五页，共41页。
（1）设计探究验证型 依据实验目的，来设计实验过程、预测实验
结果的试题。 例1：(04年全国新课程卷1)31.（20分） 胰高
血糖(xuètáng)素对小白鼠和人具有相同的 生理作用。为了验证“胰高血糖(xuètáng) 素具有升高血糖(xuètáng)的生理作用”， 请以小白鼠为实验对象设计实验步骤，预 测和解释实验应出现的结果，并写出实验 结论。
二、了解高考实验试题(shìtí)类型 ：
▪ 研究(yánjiū)近几年来高考题中的实验题 可以发现，实验设计、评价的理解能力、 实验条件的控制和对实验结果的归纳、总 结能力是现在考察的重点方向。且考察中 学生“未证实过的”实验问题材料是命题 的主要来源，涉及实验的题型主要是设计 探究验证型和分析推理判断型实验题。
三、掌握实验设计的基本(jīběn) 理论
第十三页，共41页。
▪ （1）实验设计的内容 ▪ 一个比较完整的实验设计方案，一般包括(bāokuò)以
方开泰刘民千周永道《试验设计与建模》课件ppt课件
The Usefulness of Experimental Design
Experiments are performed by investigators in virtually all fields of inquiry, usually to discover something about a particulSacriepnrtoicfeiscseoxrpesryismteenmt.s are of essential importance in people’ surviving and exploring of nature.
第一章
试验设计的基本概念
1.1 科学试验
1.1.1 试验的重要性
• 科学试验是人们认识自然、了解自然的重要手段。 • 许多重要的科学规律都通过科学试验发现和证实。 • 随着科学和技术的发展，试验涉及的因素越来越多，
它们之间的关系更加复杂，光凭经验已不能达到预 期要求，于是产生了试验设计这门学科。 • 设计一个试验涉及到试验目的、试验方案、技术保 证、分析数据以及有关组织管理等。这些环节有的 是属于管理科学，有的是需要数学和统计学的方法 来设计试验方案，后者称为统计试验设计, 它是统 计学的一个重要分支。
温度(A): 80oC~120oC； 压力(B): 4~6 大气压； 催化剂用量(C): 0.5%~1.5%；
我们需要选择这三个因素的最佳组合，以达到高 产的目的。
例1.3 加工面包试验
许多产品都是混合多种成分在一起形成的。
香料
乳酸
椰子汁
糖
钙
色素 咖啡粉
盐
发酵粉 蔬菜汁
水 面粉
面包
怎样确经定混验各料种试成分验的试比验例呢？
方开泰刘民千周永道试验设计与建模课件
19
A. SNTO
设 P0 = {yk, k = 1, ···, n} 为 Cs = [0, 1]s 上的设计， 并设
xki = ai + (bi − ai)yki, i = 1, ···, s, xk = (xk1, ···, xks), k = 1, ···, n, 则 P = {xk, k = 1, ···, n} 为试验区域 χ=[a, b]Rs 中 的设计。 在试验中，不同的区域选择同样的设计 P0
30
假设在 k + 1 步试验后响应值满足以下任一条 件，则中止试验： (i) |f(xk+1) − f(x)| < ； (ii) |xk+1 − x| < , 其中 为预先给定的正数。
目的：增大找到全局最优解的概率
31
25
均匀设计求全局最优
26
序贯均匀设计求解
27
比较
用均匀设计求最优问题
不易陷入局部最优解 其收敛速度较慢 试验次数多
序贯均匀设计
不易陷入局部最优解 其收敛速度较快 试验次数少
28
压缩比的影响
29
B. 另一序贯方法
设第一步设计 P1 的试验区域χ1 = χ，其试验次数为 n1。不妨设在n1 个试验点中，x = x1 的响应值 f(x) 达到最大。
对于任意的 k ≥ 1，第 k 步设计 Pk 有nk 个设计点， 其中在 xk 的响应值取值最大。第 k + 1 步的设计点 数nk+1 分为两部分: (1 −αk+1)nk+1 个试验点的均匀设 计Pk+1 在超立方体 χk+1 上布点，其中0 < αk+1 < 1； 其余的αk+1nk+1 个试验点的均匀设计Pk+1,c 在试验区 域 χ 上布点。设χk+1的第 j 个边长为γk+1,j (j = 1, ···, s)，则要求当 k → ∞时，γk+1,j → 0。
A. SNTO
设 P0 = {yk, k = 1, ···, n} 为 Cs = [0, 1]s 上的设计， 并设
xki = ai + (bi − ai)yki, i = 1, ···, s, xk = (xk1, ···, xks), k = 1, ···, n, 则 P = {xk, k = 1, ···, n} 为试验区域 χ=[a, b]Rs 中 的设计。 在试验中，不同的区域选择同样的设计 P0
30
假设在 k + 1 步试验后响应值满足以下任一条 件，则中止试验： (i) |f(xk+1) − f(x)| < ； (ii) |xk+1 − x| < , 其中 为预先给定的正数。
目的：增大找到全局最优解的概率
31
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均匀设计求全局最优
26
序贯均匀设计求解
27
比较
用均匀设计求最优问题
不易陷入局部最优解 其收敛速度较慢 试验次数多
序贯均匀设计
不易陷入局部最优解 其收敛速度较快 试验次数少
28
压缩比的影响
29
B. 另一序贯方法
设第一步设计 P1 的试验区域χ1 = χ，其试验次数为 n1。不妨设在n1 个试验点中，x = x1 的响应值 f(x) 达到最大。
对于任意的 k ≥ 1，第 k 步设计 Pk 有nk 个设计点， 其中在 xk 的响应值取值最大。第 k + 1 步的设计点 数nk+1 分为两部分: (1 −αk+1)nk+1 个试验点的均匀设 计Pk+1 在超立方体 χk+1 上布点，其中0 < αk+1 < 1； 其余的αk+1nk+1 个试验点的均匀设计Pk+1,c 在试验区 域 χ 上布点。设χk+1的第 j 个边长为γk+1,j (j = 1, ···, s)，则要求当 k → ∞时，γk+1,j → 0。
实验设计培训教材.ppt
X1=a+0.618（b-a）
X2=a+b-X1
要求试验结果是单峰函数。
2019-9-5
感谢你D的e欣s赏ign Of Experimen14ts
0.618法举例
例3：铝铸件最佳浇铸温度的优选试验。 某厂铝铸件壳体废品率高达55%，经分 析认为铝水温度对此影响很大，现用 0.618法优选。优选范围在690℃~740℃之 间。
一种安排实验和分析实验数据的数 理统计方法；试验设计主要对试验 进行合理安排，以较小的试验规模 （试验次数）、较短的试验周期和 较低的试验成本，获得理想的试验 结果和正确的结论。
2019-9-5
感谢你D的e欣s赏ign Of Experimen3ts
20世纪20年代由英国学者费舍尔（R.A.Fisher）率先提 出；
2019-9-5
感谢你D的e欣s赏ign Of Experimen11ts
均分法
在试验范围[a，b]内，根据精度要求和实际情 况，均匀的排开试验点，在每个试验点上进行 试验，并相互比较求最优点的方法。
作法是：试验范围L=b-a，试验点间隔为N， 则试验点n为：n=L/N+1
特点：
对试验进行普查，常常应用于对目标函数的性质没 有掌握或很少掌握的情况
2019-9-5
感谢你D的e欣s赏ign Of Experimen21ts
正交试验举例
例5：数字微波中继机是数字微波通讯工程的主要设备， 对该机采用的元器件在机械加工过程中，选择三个因 素作正交试验，每个因素选取两个水平，指标是加工 的合格率，见表2、表3。
表2：因素水平表
水平 1 2
刀具牌号 YG8 YT15
n≥2，F1=F0=1
试验点Gn为1/2，2/3，3/5，5/8……。
X2=a+b-X1
要求试验结果是单峰函数。
2019-9-5
感谢你D的e欣s赏ign Of Experimen14ts
0.618法举例
例3：铝铸件最佳浇铸温度的优选试验。 某厂铝铸件壳体废品率高达55%，经分 析认为铝水温度对此影响很大，现用 0.618法优选。优选范围在690℃~740℃之 间。
一种安排实验和分析实验数据的数 理统计方法；试验设计主要对试验 进行合理安排，以较小的试验规模 （试验次数）、较短的试验周期和 较低的试验成本，获得理想的试验 结果和正确的结论。
2019-9-5
感谢你D的e欣s赏ign Of Experimen3ts
20世纪20年代由英国学者费舍尔（R.A.Fisher）率先提 出；
2019-9-5
感谢你D的e欣s赏ign Of Experimen11ts
均分法
在试验范围[a，b]内，根据精度要求和实际情 况，均匀的排开试验点，在每个试验点上进行 试验，并相互比较求最优点的方法。
作法是：试验范围L=b-a，试验点间隔为N， 则试验点n为：n=L/N+1
特点：
对试验进行普查，常常应用于对目标函数的性质没 有掌握或很少掌握的情况
2019-9-5
感谢你D的e欣s赏ign Of Experimen21ts
正交试验举例
例5：数字微波中继机是数字微波通讯工程的主要设备， 对该机采用的元器件在机械加工过程中，选择三个因 素作正交试验，每个因素选取两个水平，指标是加工 的合格率，见表2、表3。
表2：因素水平表
水平 1 2
刀具牌号 YG8 YT15
n≥2，F1=F0=1
试验点Gn为1/2，2/3，3/5，5/8……。
方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-5
.
22
(b) 可卷偏差:
3 K ( z, t ) | z j t j | | z j t j |2 j 1 2
s w
23
(c) 离散偏差:
K d ( z, t ) K j ( z j , t j )
j 1 s
a, 若 z j t j , K j (z j , t j ) z j , t j {0,, q j 1}, a b 0 b, 若 z j t j ,
(5.2)
T = [a1, b1][as, bs] : 试验区域, 其中 aj xj bj, j = 1,,s
设计：均匀布点 建模：寻找近似模型
4
例1.6 (续)
1 x 3 u y g ( x) u e du , 6 0 0 x 10, ~ N (0, 0.062 ).
j 1 i 1
ki
, x ji ) .
其中 x k ( xk 1 , , xks ) '.
Lp- 星偏差的缺点:
Βιβλιοθήκη Dp(P) 旋转不可逆， 原点 0 占有非常重要的位置 没有考虑投影的均匀性
13
设计的旋转 D(P)
(a) D(P) = 0.1611 (b) D(P) = 0.1500
10
局部偏差函数
| P [0, x) | disc ( x) Fu ( x) FP ( x) Vol [0, x) n
*
其中
[0, x) [0, x1 ) [0, x2 ) [0, xs ) ;
| P [0, x) |: 设计 P 中落入 [0, x) 的点数;
方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-5
25
例 5.2 不同5水平设计的偏差的比较
表5.2. 两因素五水平的设计不同的偏差值
26
27
例 5.3 不同6水平设计的偏差的比较
表5.3. 两因素六水平的设计
28
例 5.3 (续)
29
5.4 均匀设计的构造
均匀设计的基本要素
因素个数和试验个数：s，n 试验范围：超矩形、单纯性 均匀性测度：某种偏差
(5.2)
T = [a1, b1][as, bs] : 试验区域, 其中 aj xj bj, j = 1,,s
设计：均匀布点 建模：寻找近似模型
4
例1.6 (续)
1 x 3 u y g ( x) u e du , 6 0 0 x 10, ~ N (0, 0.062 ).
39
例 当 n = 6, H6 = {1,5}，其元素个数只有 2. 则好格子 点法得到的设计 U6(62) 均匀性不好.
因此, 由 H6 更不可能得到 U6(6s), s > 2
21
(a) 中心化偏差:
1 1 1 1 K ( z , t ) 2 1 | z j | | t j | | z j t j | 2 2 2 2 j 1
c s s
CD( P)
s
2
1 1 1 1 2 13 2 n s 1 | xki | | xki | 2 2 2 2 12 n k 1 i 1 1 n n s 1 1 1 1 1 2 1 | xki | | x ji | xki x ji n k 1 j 1 i 1 2 2 2 2 2
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例 5.2 不同5水平设计的偏差的比较
表5.2. 两因素五水平的设计不同的偏差值
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例 5.3 不同6水平设计的偏差的比较
表5.3. 两因素六水平的设计
28
例 5.3 (续)
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5.4 均匀设计的构造
均匀设计的基本要素
因素个数和试验个数：s，n 试验范围：超矩形、单纯性 均匀性测度：某种偏差
(5.2)
T = [a1, b1][as, bs] : 试验区域, 其中 aj xj bj, j = 1,,s
设计：均匀布点 建模：寻找近似模型
4
例1.6 (续)
1 x 3 u y g ( x) u e du , 6 0 0 x 10, ~ N (0, 0.062 ).
39
例 当 n = 6, H6 = {1,5}，其元素个数只有 2. 则好格子 点法得到的设计 U6(62) 均匀性不好.
因此, 由 H6 更不可能得到 U6(6s), s > 2
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(a) 中心化偏差:
1 1 1 1 K ( z , t ) 2 1 | z j | | t j | | z j t j | 2 2 2 2 j 1
c s s
CD( P)
s
2
1 1 1 1 2 13 2 n s 1 | xki | | xki | 2 2 2 2 12 n k 1 i 1 1 n n s 1 1 1 1 1 2 1 | xki | | x ji | xki x ji n k 1 j 1 i 1 2 2 2 2 2
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方开泰、刘民千、周永道试验设计与建模课件-4
设试验点为 x1, ···, xn , 则信息矩阵为
由此，若采用表4.2 中设计II，可得设计II 的标 准化方差为
因此，在设计点−1，0 或1 上标准化方差达到最
大值3.
8
表4.2 中各设计的结果
9
B. 最优准则
记连续设计 的信息矩阵为
最常见的最优准则为 D-, A- 和 E-准则，分别如下
最优回归设计目标
实际中，有时试验者根据一些先验知识知道真实 模型的类型，例如线性模型、二次线性模型、指 数模型等等，但其中有一些未知参数待估。
y f (x, )
式中，函数 f 形式已知， 为参数。
安排试验使得模型的参数得以最准确的估计
1
4.1 信息矩阵和最优准则
例4.1. (例2.1 续). 在该工业试验中，设因素温度的范围为 [50oC, 90oC]。根据先验知识，试验者知 道响应值y 与因素温度x 之间的模型为二 次线性模型 y = β0 + β1 x +β2 x2 +ε.
29
例4.9
对于一元二次线性模型，设试验区域为 [−1,1]，若只考虑其二阶项的系数，即只考
虑2，而把系数 0, 1 都看成是噪声参数，
此时 s = 1，且
g(x) = (1 x x2) , g1(x) = (x2), g2(x) = (1 x)
则其 D1-最优设计为
*
1 1/ 4
0 1/ 2
1 1/ 4
4
标准化方差
在线性回归模型 y = G + 中，任一点 x 的
响应预测值为 该无偏估计的方差为：
标准化方差
5
例4.2. 一元线性回归模型
E(y) =β0+β1x, x ∈ [−1, 1], 设试验点为 x1, ···, xn, 则信息矩阵为
由此，若采用表4.2 中设计II，可得设计II 的标 准化方差为
因此，在设计点−1，0 或1 上标准化方差达到最
大值3.
8
表4.2 中各设计的结果
9
B. 最优准则
记连续设计 的信息矩阵为
最常见的最优准则为 D-, A- 和 E-准则，分别如下
最优回归设计目标
实际中，有时试验者根据一些先验知识知道真实 模型的类型，例如线性模型、二次线性模型、指 数模型等等，但其中有一些未知参数待估。
y f (x, )
式中，函数 f 形式已知， 为参数。
安排试验使得模型的参数得以最准确的估计
1
4.1 信息矩阵和最优准则
例4.1. (例2.1 续). 在该工业试验中，设因素温度的范围为 [50oC, 90oC]。根据先验知识，试验者知 道响应值y 与因素温度x 之间的模型为二 次线性模型 y = β0 + β1 x +β2 x2 +ε.
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例4.9
对于一元二次线性模型，设试验区域为 [−1,1]，若只考虑其二阶项的系数，即只考
虑2，而把系数 0, 1 都看成是噪声参数，
此时 s = 1，且
g(x) = (1 x x2) , g1(x) = (x2), g2(x) = (1 x)
则其 D1-最优设计为
*
1 1/ 4
0 1/ 2
1 1/ 4
4
标准化方差
在线性回归模型 y = G + 中，任一点 x 的
响应预测值为 该无偏估计的方差为：
标准化方差
5
例4.2. 一元线性回归模型
E(y) =β0+β1x, x ∈ [−1, 1], 设试验点为 x1, ···, xn, 则信息矩阵为
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第一章
试验设计的基本概念
.
4
1.1 科学试验
1.1.1 试验的重要性
• 科学试验是人们认识自然、了解自然的重要手段。 • 许多重要的科学规律都通过科学试验发现和证实。
• 随着科学和技术的发展，试验涉及的因素越来越多， 它们之间的关系更加复杂，光凭经验已不能达到预 期要求，于是产生了试验设计这门学科。
一个好的试验设计是用最少的试验次数获得最多的 有用信息。
.
10
试验设计的目的
水平组合的比较 建模 参数估计 证实猜想 优化 筛选 发现规律 等等…
.
11
The Usefulness of Experimental Design
Experiments are performed by investigators in virtually all fields of inquiry, usually to discover something about a particular process or system.
0.8, 20
1,
2,
4,
05.,0810,,
01~.00,521,020,.11,40, .126, ,01.48,,
0.8, 201,源自2,4,.
9
试验设计的目的
科学试验是人类了解自然的手段，通过试验来了解 因素和指标（响应）之间的关系，希望
• 增加产量 • 提高质量 • 降低成本 • 缩短研究时间
• 设计一个试验涉及到试验目的、试验方案、技术保 证、分析数据以及有关组织管理等。这些环节有的
是属于管理科学，有的是需要数学和统计学的方法 来设计试验方案，后者称为统计试验设计, 它是统 计学的一个重要分支。
.
5
统计试验设计
是统计学的重要分支，它能大量节省试验 的次数。能将试验数据从随机误差的烟幕 中去伪存真，抓住事物的规律。 所以``一个精心设计的试验是认识世界的 有效方法'‘ (Atkinson and Donev (1992))。
0.8, 20
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01~.00,521,020,.11,40, .126, ,01.48,,
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05.,0810,,
01~.00,521,020,.11,40, .126, ,01.48,,
• Douglas C. Montgomery. Design and Analysis of Experiments, 6th Edition，中国邮电出版 社, 2007.
• Hamada, M. and Wu, Jeff C.F., Experiments: Planning, Analysis, and Parameter Design Optimization , Wiley, 2000.
让我们首先通过一个例子来介绍一些重要元素
例 在一个化工试验中, 试验者希望通过如下 的可控变量来增加产量:
x1: 原料品种 {m1, m2, m3} x2: 加酸量 (ml) [10,28] x3: 反应时间 (时) [0.5, 3.5]
.
16
因素(因子)
在试验中可控的并用于考察对试验结果(y)的
试验设计和建模
周永道 四川大学数学学院
.
1
试验设计和分析
教材: 方开泰、刘民千、周永道(2011)，试验设计
和建模。
期末最终成绩构成:
• 期末考试: 70%
• 作业:
10%
• 随堂测试: 10%
• 小课题: 10%
软件: MATLAB， SPSS
.
2
参考书
• 方开泰、马长兴，正交与均勻试验设计， 科学出版社，2001.
变量称为 因素 或 因子 (factor)。
.
6
例1.1 孟德尔豌豆实验
奠定了现代遗传理论的基础
例1.2 化工试验
在某化工产品的合成工艺中，考虑反应温度(A)、 压力(B) 和催化剂用量(C)，并选择了试验范围分 别为：
温度(A): 80oC~120oC； 压力(B): 4~6 大气压； 催化剂用量(C): 0.5%~1.5%；
我们需要选择这三个因素的最佳组合，以达到高
• Cornell, J.A. Experiments with Mixtures, 3nd Ed., Wiley, 2002.
• Fang, K.T., Li, R. and Sudjianto, A. Design and Modeling for Computer Experiments, Chapman & Hall/CRC. Press, London, 2005. 3
Cadmium (Cd)镉 Copper (Cu) 铜 Zinc (ZN) 锌 Nickel (Ni)镍 Chromium(Cr) 铬 Lead (Pb)铅
05.,0810,,
01~.00,521,020,.11,40, .126, ,01.48,,
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1,
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4,
05,.0810,,
10~0.0,251,020,.11,40, .126, ,01.48,,
Scientific experiments are of essential importance in people’s surviving and exploring of nature.
A well designed experiment is an efficient method of learning about the world
Make it your motto day and night.
And it will lead you to the light.
.
12
当代科学试验的复杂性
•多因素 •非线性 •统计模型未知
•响应曲面多峰 •响应曲面无解析表达
.
13
多峰非线性模型
.
14
瞎子摸象
.
15
1.1.2 试验的重要元素
产的目的。
.
7
例1.3 加工面包试验
许多产品都是混合多种成分在一起形成的。
香料
乳酸
椰子汁
糖
钙
色素 咖啡粉
盐
发酵粉 蔬菜汁
水 面粉
面包
怎样确经定混验各料种.试成分验的试比验例呢？
8
例1.4 环保试验
在水及食物中的某些化学元素，吃多了对人体是有 害的，为了研究这些元素对人体健康的影响。
因素
范围 和 水平