数值分析(计算方法)总结

第一章 绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x 是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=|x ∗−x||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。

例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。

科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m−n 。

由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为12（a 1+1）×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值，且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y)1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）和的误差（限）等于误差（限）的和2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)|y ∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|< 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。

2.二分法设f (x )的有根区间为[a ,b ]= [a 0,b 0], f (a )<0, f (b )>0.将[a 0,b 0]对分，中点x 0= ((a 0+b 0)/2),计算f (x 0)。

对于给定精度ε，即b−a 2k<ε，可得所需步数k ，k >[ln (b−a )−ln (ε)ln23.比例法一般地，设 [a k ,b k ]为有根区间，过(a k , f (a k ))、 (b k , f (b k ))作直线，与x 轴交于一点x k ,则：x =a −f(a)f (b )−f(a)∗(b −a)1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。

2.比例法不是通过使求根区间缩小到0来求根，而是在一定条件下直接构造出一个点列（递推公式），使该点列收敛到方程的根。

——这正是迭代法的基本思想。

事先估计:|x ∗−x k |≤L1−L |x 1−x 0| 事后估计|x ∗−x k |≤11−L |x k+1−x k |局部收敛性判定定理：设x ∗为方程x =φ(x )的根，φ(x)′在x ∗的某一邻域内连续， 且|φ(x ∗)′|<1，则该迭代局部收敛局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱，但对初始点要求较高，即初始点必须选在精确解的附近Steffensen 迭代格式：x ̃k+1=φ(x k ) x ⃗ k+1=φ(x ̃k+1)x k+1=x k −(x ̃k+1−x k )2x ⃗ k+1−2x ̃k+1+x kNewton 法：x k+1=x k −f(x k )f′(x k )Newton 下山法：x k+1=x k −λf(x k )f′(x k ),λ是下山因子弦割法：x k+1=x k −f (x k )∗(x k −x k−1)f (x k )−f(x k−1)抛物线法：令t =x −x k ,h 0=x k−2−x k ,h 1=x k−1−x k ,可化为y (t )=at 2+bt +c其中：a =(f (x k−2)−c )∗h 1−(f (x k−1)−c )∗h 0h 1∗h 02−h 0∗h 12b =(f (x k−1)−c )∗h 02−(f (x k−2)−c )∗h 12h 1∗h 02−h 0∗h 12c =f(x k )则：x k+1={ x k b +√b 2−4acb >0x k +2c b +√b 2−4acb ≤0设迭代 x k +1 = g (x k ) 收敛到g (x ) 的不动点（根） x * 设 e k = x k x *若lim k→∞|e k+1||e k |p=C ，则称该迭代为p （不小于1）阶收敛，其中 C (不为0)称为渐进误差常数 第三章 解线性方程组直接法列主元LU 分解法：计算主元S i =a ik −∑l ir u rk ，i =k,k +1…n k−1r=1选主元|S ik |=max k≤i≤n{|S i |}{u 1j =a 1j ，（j =1,2…n)l i1=a i1u 11，（i =2,3…n){u kj =a kj −∑l km u mj ，(j =k,k +1,…n )，即为上式主元k−1m=1l ik =1u kk(a ik −∑l im u mk k−1m=1)，(i =k +1,k +2,…n )对于Ax=b ，三角分解A=LU ，Doolittle 分解：L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵；Crout 分解：L 为下三角矩阵，U 为单位上矩阵。

可分解为： {Ly =b ，下三角方程组Ux =y ，上三角方程组若利用紧凑格式可化为：Ux =y{y 1=b 1y k =b k −∑l km y m ，（k =2,3…n ）k−1m=1Cholesky 平方根法：系数矩阵A 必须对称正定AX =b ⇔{Ly =bL T x =y(其中A =L L T ){l 11=√a 11，l i1=a i1l 11(i =2,3…n)l kk =√a kk −∑l km 2k−1m=1，l ik =1l kk (a ik−∑l im l km )(i =k +1,k +2…n ，k =2,3…n)k−1m=1改进Cholesky 分解法：A =LDL TL =[ 1l 211l 31l 321………⋱l n1l n2…l n(n−1)1]，D =[ d1d 2⋱⋱d n ]。

由A =L(DL T ) A =[ 1l 211l 31l 321………⋱l n1l n2…l n(n−1)1]，D =[d 1d 1l 21d 1l 31…d 1l n1d 2d 2l 32…d 2l n2⋱…d 3l n3⋱⋮d n ]，逐行相乘 {l ij =1d j (a ij −∑l ik d k l jk )，（j =1,2…i −1)j−1k=1d i =a ii −∑l ik 2j−1k=1d k ，（i =1,2…n)为减少计算量，令c ij =l ij d j ，可改为：{c ij =a ij −∑c ik l jk j−1k=1l ij =c ij d j d j =a ii −∑c ik l ik i−1k=1(i =2,3…n ，j =1,2…i −1)，等价于{Ly =bL T x =D −1y 其中：D−1=[1d 11d 2⋱1d n ] 追赶法：Ax=d(A=LU),可化为Ly=d,Ux=y A =[a 1c 1b 1a 2c 2⋱⋱⋱a n−1b n−1c n−1a nb n ] =[1l 21⋱⋱l n−11l n1] [u 1c 1u 2c 2⋱⋱u n−1c n−1u n ]{u 1=b 1l i =a iu i−1u i =b i −l i c i−1，（i =2,3…n)向量范数：：{‖A ‖1=∑|x i |n i=1，1−范数‖A ‖2=√∑x i 2n i=1，2−范数或欧氏范数‖A ‖∞=lim p→+∞‖x ‖p =max 1≤i≤n{|x i |}，∞−范数矩阵范数：{‖A ‖1=max 1≤j≤n ∑|a ij |n i=1，列范数‖A ‖2=√λmax (A T A )，谱范数‖A ‖∞=max 1≤i≤n∑|a ij |nj=1，行范数谱半径:ρ(A )=max 1≤i≤n{|λi |}λ为特征值,且ρ(A )≤‖A ‖,若A 为对称阵则：ρ(A )=‖A ‖2收敛条件：谱半径小于1条件数：Cond =‖A −1‖∗‖A ‖，Cond 2(A )=|λmax ||λmin |第四章 解线性方程组的迭代法Jacobi 迭代：x i (k+1)=1a ii(b i −∑a ij x j (k )−∑a ij x j (k ))nj=i+1i−1j=1,(i =1,2…n;k =0,1,2…)基于Jacobi 迭代的Gauss-Seidel 迭代:x i (k+1)=1a ii(b i −∑a ij x j (k+1)−∑a ij x j (k ))nj=i+1i−1j=1,(i =1,2…n;k =0,1,2…) 迭代收敛：谱半径小于1，范数小于1能推出收敛但不能反推逐次超松弛迭代（SOR ）:x i (k+1)=x i(k)−ϖa ii(b i −∑a ij x j (k+1)−∑a ij x j (k ))nj=i+1i−1j=1,(i =1,2…n;k =0,1,2…) 或：x i(k+1)=(1−ϖ)x i (k )+ϖa ii(b i −∑a ij x j (k+1)−∑a ij x j (k ))nj=i+1i−1j=1,(i =1,2…n;k =0,1,2…)当ϖ=1时，就是基于Jacobi 迭代的Gauss-Seidel 迭代（加权平均）。