第2章平稳随机信号的功率谱-频域特征教学案例

平均功率为：
T l i 2 m 1 T T T E [X 2 (t)d ] t2 1 S X ()d
利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函 数的性质，又可将维纳—辛钦定理表示成：
SX()2 R X()co d s
R X()1 SX()co sd
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3．单边功率谱
由于实平稳过程x(t)的自相关函数 RX() 是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函
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设 则 所以：
t2 T
t2t1 ut2t1
t1
u
2
t2
2
u
1
J
(t1,t2)(,u)2源自1212 1
1 2
2
u
u 2T
2T
u 2T
-T
-2T
t1
2T
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u 2T
u 2T
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则 S X () T l i2 1 T m { 0 2 T d 2 2 T T 1 2 R X ()e jd u
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xT*(t)yT(t)d t 2 1 X* X(T,)Y Y(T,)d
xT(t)yT(t)dt
QXY (T)21 T T Tx(t)y(t)dt
21 X* X(T, 2)T YY(T,)d
注意到上式中，x(t)和 y(t) 是任一样本函数，因 此具有随机性，取数学期望，并令T得：
注意：（1）Q为确定性值，不是随机变量 （2）SX()为确定性实函数。
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两个结论：
1 QAE [X2(t) ] A.lim1. T 2T
若平稳
表示时间平均
Q A E [ X 2 ( t ) ] E [ X 2 ( t ) ＝ R ] X ( 0 )
2 Q21 SX()d
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例2：平稳随机信号的自相关函数为 RX()Ae，
A>0， 0 ，求过程的功率谱密度。
解：应将积分按＋和－分成两部分进行
S X () 0 A e e jd 0 A e e jd
Ae(j j ) 0 Ae( ( jj) )
0
A1j1j
2 A 2 2
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X X *(T ,)X X (T ,) XX(T,)2
又 SX()T l i m E[XX2(T T,)2]
SX()SX( )
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4. 功率谱密度可积，即 SX()d
证明：对于平稳随机信号，有：
E [X2(t) ]21 SX()d
平稳随机信号的均方值有限
SX()d
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且
QXYQYX
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二、互谱密度和互相关函数的关系
对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳)的 实随机信号，它们的互谱密度与其互相关函 数互为傅里叶变换。
求X(t)的功率谱密度。
R X () E X * t X t
a2Eej
a2 fejd RX()21 SXejd
S X 2 a 2f
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四、平稳随机信号功率谱密度的性质
1. 功率谱密度为非负的,即 SX()0 证明： SX()T l i m E[XX2(T T,)2]
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例4：设随机信号 Y(t)a(X t)sin 0t，其中a,0 皆
为常数，X (t)为具有功率谱密度 SX()的平稳随
机信号。求过程Y (t) 的功率谱密度。
解：R Y (t,t ) E [ Y (t) Y (t )]
E [ a ( t ) s X i 0 ta n ( t X ) si 0 ( t n )]
第 2章
平稳随机信号的谱分析
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本章要解决的问题
❖随机信号是否也可以应用频域分析方法? ❖傅里叶变换能否应用于随机信号？ ❖相关函数与功率谱的关系 ❖功率谱的应用 ❖采样定理 ❖白噪声的定义
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2.1 随机信号的谱分析
一、预备知识
1. 付氏变换
设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足
et, t 0 1
j
e t
222
e j0t 2 0
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2. 帕塞瓦等式
[x (t)2 d ] t x (t)2 1 X X ()ej tddt
21 XX() x(t)ejtd td
21 XX()XX *()d
21 XX()2d
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2.2 联合平稳随机信号的互谱密度
一、互谱密度
考虑两个平稳实随机信号X(t)、Y(t)， 它们
的样本函数分别为 x(t)和 y(t) ，定义两个截取
函数 xTt、yTt为：
x(t) t T
xT(t)
0
t T
y(t) t T
yT(t)
0
t T
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因为 xTt、yTt 都满足绝对可积的条件，
• x(t)在(,)范围内满足狄利赫利条件 有限个极值
• x(t)绝对可积，即
x(t)dt
2
有限个断点 断点为有限
•
x (t )信号的总能量有限，即
x(t)
dt
值
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常见的傅立叶变换
t 1 1 2
cos0t 0 0
sin0t j 0 0
应用帕塞瓦等式
除以2T 取集合平均
T Tx2(t)d t2 1 XX(T, )2d 2 1 T T Tx2(t)d t4 1 T X X(T , )2d
E 2 1 T T Tx 2 (t)d tE 4 1 T X X (T , )2 d
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a 2 2R X()[c 0to cso 2 s 0t (0 )]
S Y () A R Y (t,t) e jd
a22RX()co0 sejd
a 42[SX(0)SX(0)]
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例5：设随机信号 X(t)aje t ，其中 Ω 是概
率密度为 f的随机变量，a和φ为实常数，
可积，因此 RX()的付氏变换不存在，需要
引入 函数。
S X () R X () e i d A 2 2 co 0) e s i d (
A2 ej0ej0ejd
2 2
ej0ej0 (co0s)( 2 )
A2 （ ej0ej0） ejd
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A 22[(0)(0)](ej0 2( 0))
以及τ R(τ)绝对可积，则自相关函数与功率谱密 度构成一对付氏变换，即：
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SX() R X()ejd
RX()21 SX()ejd
我们允许自相关函数和功率谱密度中存在δ函数
2. 证明：
SX()T l i m E[XX 2(T T,)2]
T l i m 2 1 TE [X X (T , )X * X(T , )]
即 [x(t)2]d t2 1 XX( )2d
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能量谱密
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度
二、随机信号的功率谱密度
应用截取函数
x(t) t T
xT(t)
0
t T
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当x(t)为有限值时，xT (t) 的傅里叶变换存在
XX(T, ) xT(t)ejtdt
T x(t)ejtdt T
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例 皆是1：实设常随数机，信号是X 服(t从) （a 0c ， o ） 上0s t均 ( 匀)，分其布中的a和随0
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机变量，求随机信号 X (t) 的平均功率。
解： E [X 2 (t) ]E [a 2c2 o (0 ts )]
E a 2 { 2a 22a [2 120 2 c 2oc2so0 (2 t s02t( 2 )])} d
a222 a2sin2(0t2)0 2
a2 2
a2
s
in20t
X(t)不是宽平稳的
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QAE[X2(t)]
lim T
1 2T
T T
(a2 2
a2
sin20t)dt
a2 2
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➢功率谱密度：SX()描述了随机信号X(t)的
功率在各个不同频率上的分布—— SX()称为 随机信号X(t)的功率谱密度。
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令T，再取极限，交换求数学期望和积分的次序
存在
非负
T l i2 1 T m T T E [X 2 ( t)d ] 2 t 1 T l iE m [X X 2 ( T T ,)2 ]d
功率Q
SX()
Q T l i2 1 T m T T E [X 2 (t)d ] 2 t1 S X () d
XX(T,)20
SX()0
2. 功率谱密度是 的实函数
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3. 对于实随机信号来说，功率谱密度是的偶函数，
即 SX()SX()
证明： xT(t)是实函数
XX *(T, ) xT(t)ejtd * t xT(t)ejtdt
xT(t)ej()tdtXX(T,)
X X(T , )2X X(T , )X X *(T , )X X(T , )X X(T ,)
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T l iE [ m Q X ( T Y ) ] Q X Y T l iE [ m 2 1 T T T x ( t) y ( t) d ]t