代数方程 解法

代数方程 解法

化归思想：高次化低次：降次的方法：因式分解，换元

分式化整式：化整式的方法：去分母，换元 无理化有理：化有理方程的方法：平方法，换元 多元化一元：代入和加减消元 1.一元一次方程和一元二次方程的解法

一元二次方程的解法主要有四种： （1）直接开平方法：

适用于（mx+n ）2

=h (h ≥0)的一元二次方程。 （2）配方法：

适用于所有化为一般形式后的一元二次方程。但是，具有二次项系数为1，一次项系数为偶数特点的一元二次方程，用配方法解才较简便。

配方法是通过配方将一元二次方程化成（mx+n ）2

=h (h ≥0)的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。 其基本步骤是：

①首先在方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1； ②把常数项移到等式的右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④方程左边写成完全平方式，右边化简为常数； ⑤利用直接开平方法解此方程

用配方法解一元二次方程要注意，当二次项系数不为1时，一定要化为1，然后才能方程两边同时加上一次项系数一半的平方 （3）公式法：

适用于解一般形式的一元二次方程。利用公式()

04242

2≥--±-=ac b a

ac b b x 可以解

所有的一元二次方程。

注意：当b 2-4ac ≥0时，方程才有实数解；当b 2

-4ac ＜0时，原方程无实数解。 （4）因式分解法：

适用于方程右边是0，左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。

2.含字母系数的整式方程的解法

3.特殊的高次方程的解法

（1）二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n

的解法

二项方程的定义：

如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另外一边是零，那么这样的方程叫做二项方程。

关于x 的一元n 次二项方程的一般形式是

),0,0(0是正整数n b a b ax n ≠≠=+

二项方程的解法及根的情况：

一般地，二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n

可变形为a

b x n

-

= 可见，解一元n 次二项方程，可以转化为求一个已知数的n 次方根，运用开方运算可以求出这个方程的根。

二项方程的根的情况：

对于二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n

，

当n 为奇数时，方程只有且只有一个实数根。

当n 为偶数时，如果0ab ，那么方程没有实数根。

（3）因式分解法解高次方程

解高于一次的方程，基本思想就是是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。

用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。

例题 解下列方程：

（1）2x 3+7x 2-4x=0 （2）x 3-2x 2

+x-2=0 解：（1）方程左边因式分解，得

x(2x 2

+7x-4)=0 x(x+4)(2x-1)=0

得x=0或x+4=0或2x-1=0

∴原方程的根是 x=0，x=-4，x=

21

注意：不要漏掉x=0这个根! （2）方程左边因式分解，得(x 3-2x 2) +(x-2)=0 x 2

(x-2)+(x-2)=0

（x-2）(x 2+1)=0 即 x-2=0或x 2

+1=0

解方程x-2=0得 x=2 方程x 2

+1=0没有实数根 所以，原方程的根是 x=2

二、可化为一元二次方程的分式方程的解法 1．适宜用“去分母”的方法的分式方程

解分式方程，通常是通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程来解。

解分式方程要注意验根！

例题 解下列方程

60

1745

123542

+--=--+-x x x x x

分析：本例是一道分式方程，通常采用去分母法。

（1）首先应观察各项分母，如能分解因式必须先分解因式，如本例x 2

-17x+60可分解因式为（x-5）（x-12）.

（2）分解因式后再找各分母的最小公倍式.如本例为“（x-5）（x-12）”.

（3）用此整式去乘方程的每一项，便可约去分母，将分式方程转化为整式方程求解. （4）最后应检验，至此例可找到本例完整解 在去分母的过程中要注意两点：（1）必须注意符号的变化规律（如本例“12-x ”与“x-12”的关系）；（2）用整式乘以方程的每一项，一项都不能漏.

2.适宜用“换元法”的分式方程

适宜用换元法的分式方程有两种，一是二次项与一次项相同的，采取同底换元法；二是不看系数，方程的未知项呈倒数关系的，可采取倒数换元法， 下面的例题中的两个方程，分别具有这两种特点。

例题 解下列方程：

（1）061512

=+⎪⎭

⎫

⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x ；（2）112)1(31)2(8222

2=+-+-+x x x x x x . （1）分析：观察方程（1）可发现二次项底数与一次项未知底数相同，因而，可考虑同底换

元法为宜.

2）分析：观察方程（2）可发现这个方程左边两个分式中的1222-+x x x 与x

x x 21

22+-互为倒数，

根据这个特点，可以用倒数换元法来解.