2004年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题(文科与专科)

四．（本题满分 20 分）证明：当 x > 0 时， (1 + x) ln 2 (1 + x) < x 2 。
∑∞
五．（本题满分 15 分）判别级数
1 的敛散性。
n=1 n (n!)3
六．（本题满分 15 分）已知函数 f (x) 在[ 0, 1 ]上三阶可导，且 f (0) = −1 ，f (1) = 0 ， f ′(0) = 0 ，试证至少存在一点ξ ∈ (0, 1) ，使
2004 年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（文科与专科类）
题号
一
二
三
四
五
六
总分
得分
评卷人
一．计算题（每小题 15 分，满分 60 分）
∫ x et cos tdt − x − x 2
1．计算： lim 0
2。
x→0 (x − tan x)( x + 1 −1)
∫ 2．计算：
cos x
dx 。
∫∫ 4．计算： max(xy, x3 )dσ ，其中 D = {(x, y) | −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} 。 D
二．（本题满分 20 分）设 f (x) = arctan 1 − x ，求 f (n) (0) 。 1+ x
三．（本题满分 20 分）设椭圆 x 2 + y 2 = 1在 A (1, 3 3 ) 点的切线交 y 轴于 B 点，
sin x(sin x + cos x)
∫ 3．计算： 1 cos[n arccos x] ⋅ cos[m arccos x] dx ，其中 n, m 为非负整数。
−1
1− x2
4．求曲线 y = ⎜⎛1 + 1 ⎟⎞ x 在 x = 1处的切线方程。 ⎝ x⎠
二 ．（ 本 题 满 分 20 分 ） 设 函 数 g(x) 在 (−∞, + ∞) 上 连 续 且 恒 正 ， 若
∑∞
五．（本题满分 15 分）判别级数
1 的敛散性。
n=1 n (n!) 2
六．（本题满分 15 分）设函数 f (x) 在[0, 1] 上连续，证明：
∫ ∫ ⎜⎛
⎝
1 0
f (x) t2 + x2
dx⎟⎞2 ≤ π ⎠ 2t
1 f 2 (x) dx
0 t2 + x2
,
(t > 0) 。
2004 年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（数学专业）
五．（本题满分 15 分）对 k 的不同取值情况，讨论方程 x3 − 3kx 2 + 1 = 0 在 (0, + ∞)
上的根的个数。
六．（本题满分 15 分）设 f (x) 在[1, 3 ] 上连续，在 (1, 3 ) 内二阶导数连续，试证至 少存在一点ξ ∈ (1, 3 ) ，使 f ′′(ξ ) = f (1) − 2 f (2) + f (3) 。
f (x) = −1 + x 2 + x2 (x − 1) f ′′′(ξ ) ， x ∈ (0, 1) 。 3!
五．（本题满分 15 分）设函数 f (x) 在[0, 1] 上连续，证明：
∫ ∫ ⎜⎛
⎝
1 0
f (x) t2 + x2
dx⎟⎞2 ≤ π ⎠ 2t
1 f 2 (x) dx 0 t2 + x2
49
2
[ ] ∫ 设 l 为从 A 到 B 的直线段，试计算 ⎜⎛ sin y − 3y⎟⎞dx + cos y ln(x + 1) + 2 3x − 3 dy 。
l ⎝ x +1
Baidu Nhomakorabea
⎠
四．（本题满分 20 分）已知函数 f (x) 在[ 0, 1 ]上三阶可导，且 f (0) = −1 ，f (1) = 0 ， f ′(0) = 0 ，试证至少存在一点ξ ∈ (0, 1) ，使
∫∫ 4．计算： max(xy, x3 )dσ ，其中 D = {(x, y) | −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} 。 D
二．（本题满分 20 分）设 f (x) = arctan 1 − x ，求 f (n) (0) 。 1+ x
三．（本题满分 20 分）设椭圆 x 2 + y 2 = 1在 A (1, 3 3 ) 点的切线交 y 轴于 B 点，
49
2
[ ] ∫ 设 l 为从 A 到 B 的直线段，试计算 ⎜⎛ sin y − 3y⎟⎞dx + cos y ln(x + 1) + 2 3x − 3 dy 。
l ⎝ x +1
⎠
∫ 四．（本题满分 20 分）设函数 f 连续， a < b ，且 b f (x) dx = 0 ，试证明： a f (x) ≡ 0, x ∈[a, b]。
2004 年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（经管类）
题号
一
二
三
四
五
六
总分
得分
评卷人
一．计算题（每小题 15 分，满分 60 分）
( ) 1．已知 lim 3 x3 + x2 + 1 − ax − b = 0 ，求常数 a 和 b 的值。 x→∞
∫ 2．计算：
cos x
dx 。
sin x(sin x + cos x)
f (x) = −1 + x 2 + x2 (x − 1) f ′′′(ξ ) ， x ∈ (0, 1) 。 3!
2004 年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（工科类）
题号
一
二
三
四
五
六
总分
得分
评卷人
一．计算题（每小题 15 分，满分 60 分）
∫ x et cos tdt − x − x 2
题号
一
二
三
四
五
六
总分
得分
评卷人 一．计算题（每小题 15 分，满分 60 分）
1．计算： lim n 2n + a 2n ，其中 a 为常数。 n→∞
∫π
2．计算：
π + cos x
dx 。
0 x 2 − π x + 2004
3．求函数 f (x, y) = x 2 + 4 y 2 + 15 y 在 Ω = {(x, y) | 4x 2 + y 2 ≤ 1} 上的最大、小值。
1．计算： lim 0
2。
x→0 (x − tan x)( x + 1 −1)
∫ 2．计算：
π 0
x2
π + cos x − π x + 2004
dx
。
3．求函数 f (x, y) = x 2 + 4 y 2 + 15 y 在 Ω = {(x, y) | 4x 2 + y 2 ≤ 1} 上的最大、小值。
,
(t > 0) 。
∑∞
六．（本题满分 15 分）判别级数
1 的敛散性，其中α > 0 为常数。
n=1 n (n!)α
∫ 3．计算： 1 x 2 x − k dx ，其中 k 为常数。 0
∑∞
4．求
(−1)n n 的和。
n=1 (2n + 1)!
二．（本题满分 20 分）设 f (x) = arctan 1 − x ，求 f (n) (0) 。 1+ x
三．（本题满分 20 分）设函数 y = f (x) 由方程 x3 − 3xy 2 + 2 y 3 − 32 = 0 确定，且 f (x) 可导，试求 f (x) 的极值。
1
∫ f (x) = t − x g(t)dt ，试讨论曲线 y = f (x) 在[−1, 1 ] 上的凹向。 −1
三．（本题满分 20 分）求 y = x(2 − x) 与 2x + y = 3 所围成的平面图形面积及此平面 图形绕直线 x = 1旋转所得的旋转体体积。
四．（本题满分 20 分）证明：当 x > 0 时， (1 + x) ln 2 (1 + x) < x 2