贝叶斯可靠性评估

第一节 贝叶斯统计简介
1. 贝叶斯的基本出发点 2. 先验分布和后验分布 3. 贝叶斯推断 4. 经验贝叶斯方法
第二节 常见故障分布下的贝叶斯推断
1. 二项分布的贝叶斯估计 2. 指数分布的贝叶斯估计
1.2 先验分布与后验分布
贝叶斯公式
贝叶斯公式的事件形式：设事件 A1, A2,L , An 互不相容，
j
例 14.1 设事件 A 的概率为 ，即 ( A) 。为了估计
而作n 次独立观测，其中事件 A 出现次数为 X ，显
然，X 服从二项分布 B(n, ) ，即
1.2 先验分布与后验分布
P( X
x
|
)
n x
x
(1
)nx
,
x
0,1,L
, n.
的先验分布取
(
)
1, 0,
0 1，
其他场合。
先验分布中所含的未知参数称为超参数。下面结合贝 塔分布来介绍几种超参数的确定方法。
1.2 先验分布与后验分布
例 14.2 二项分布中成功概率 的共轭先验分布是贝塔
分布 (, ) ，其中, 是两个超参数。下面介绍确定
, 的几种常用方法：
1、先验矩方法
若用先验信息能获得成功概率 的若干估计值，记为
贝叶斯可靠性评估
第一节 贝叶斯统计简介
1. 贝叶斯的基本出发点
2. 先验分布和后验分布
3. 贝叶斯推断
4. 经验贝叶斯方法
Thomas Bayes (1702 –1761)
第二节 常见故障分布下的贝叶斯推断
1. 二项分布的贝叶斯估计
2. 指数分布的贝叶斯估计
把数据(样本)看成是来
自具有一定概率分布的
密度函数，假如由抽样信息算得的后验密度函数与 ( )
有相同的函数形式，则称 ( ) 是 的共轭先验分布。应该
指出，共轭先验分布是对某一分布中的参数而言的。
1.2 先验分布与后验分布
共轭先验分布的优点是计算方便，后验分布的一些参数， 特别是后验均值可得到很好的解释；缺点是有时会出现误 用。
超参数的确定
1,L ,k ，一般它们可从历史数据整理加工中获得，由此 可计算前两阶先验矩 1和2 ：
1
1 k
k
i , 2
i 1
1 k
k
i2.
i 1
然后令其分别等于贝塔分布的前两阶矩，解之，可得
1.2 先验分布与后验分布
ˆ
12 21 2 12
, ˆ
1 2
2 12
g(1
1).
2、先验分位数方法
假如根据先验信息可以确定贝塔分布的两个分位数，则可
值时，总体指标 X 的条件分布。
1.2 先验分布与后验分布
2. 根据 的先验信息确定 的先验分布 ( ) 。
3.从贝叶斯观点来看，样本 x (x1,L , xn ) 的产生要分两步:
首先设想从先验分布 ( ) 中产生一个参数 ；第二步在 给定 下，从总体分布 p(x | ) 中产生一个样本 x (x1,L , xn )
该样本发生的概率与如下联合概率函数成正比，
n
p(x | ) p(xi | ) i 1
这个函数常称为似然函数，记为 L( ) 。
4. 样本和参数的联合分布为
1.2 先验分布与后验分布
h(x, ) p(x | ) ( )
5. 现在的任务是要对未知参数 作出统计推断: 在有样本观测值后，应根据联合分布 h(x, )对 作出
最后得到 的后验分布
h( | x) h(x,)
(n 2)
(x1)1(1 )(nx1)1, 0 1.
m(x) (x 1)(n x 1)
该分布恰好是参数为 x 1和 n x 1 的贝塔分布，记
为 (x 1, n x 1) 。
1.2 先验分布与后验分布
共轭先验分布
设 是总体分布中的参数(或参数向量)， ( ) 是 的先验
息主要来源于经验
到分布后验。
和历史资料
先验信息 总体信息 样本信息
贝叶斯统计学
贝叶斯学派的最基本的观点是：任一未知量都可看作一个 随机变量，应该用一个概率分布去描述其未知状况。在抽 样前就有关于目标变量的先验信息的概率陈述。这个概率 分布被称为先验分布，简称先验( Prior )。
贝叶斯可靠性评估
总体给1体所出.1分属的在贝布分信抽和布息叶样总簇第斯之的前一有基节关本统出贝从取出发总的的叶体样信点斯中本息重集并抽给统视、使总这据息先挖之体个本来计验掘数，总身推简信和量所体。断息加化研而总介根的工，究不体据收，形的局的样对限特本象于征的是数信
计问题的一些信息， 成先验分布，然后
总一体般信说息来，先样验本信信息 结合经样典本统数计据学，得
于是样本 X 与参数 的联合分布为
h(
x,
)
n x
x
(1
)nx
,
x
0,1,L
, n,0
1.
再计算 X 的边际分布
1.2 先验分布与后验分布
m(x)
1
h(x, )d
0
n
x
1
x
(1
)n
x
d
0
n x
(x
1)(n (n 2)
x
1)
1 , x 0,1,L n 1
, n.
这就是贝叶斯公式的密度函数形式。在样本 x 给定下，
的条件分布被称为 的后验分布。
6. 当 是离散随机变量时，先验分布可用先验分布列
(i ),i 1, 2,L 表示。这时后验分布也是离i ) ,i 1, 2,L p(x | j ) ( j )
(3)
并且
n
U Ai
(必然事件)，则对于任一事件 B
，有
i 1
P( Ai | B)
P( Ai )P(B | Ai )
n
, (i 1, 2,L , n).
(1)
P(Aj )P(B | Aj )
j 1
下面通过贝叶斯公式密度形式，介绍贝叶斯方法的一般步
骤：
1. 密度函数记为 p(x | ) ，它表示在随机变量 给定某个
利用这两个分位数来确定, 。譬如用上、下四分位数 U与L 来确定 , ，U与L 分别满足如下两个方程
L ( ) 1(1 ) 1d 0.25,
0 ( )( )
1 ( ) 1(1 ) 1d 0.25.
U ( )( )
1.2 先验分布与后验分布
推断，为此需要把 h(x, ) 作如下分解：
h(x, ) h( | x)m(x) m(x) 中不含 的任何信息。因此能用来对 作出推断的
仅仅是条件分布 h( | x) ，其计算公式为
h( | x) h(x, ) p(x | ) ( ) . (2)
m(x) p(x | ) ( )d
1.2 先验分布与后验分布