1函数的单调性(教师版)
新教材人教A版必修第一册 3.2.1 第1课时 函数的单调性 课件(48张)
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7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
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2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数 f(x)＝x 的图象如图 1 所示，从左至右图象是上升的还是下降 的：________. (2)已知函数 y＝f(x)的图象如图 2 所示，则该函数的单调递增区间是 ________，单调递减区间是________．
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答案
金版点睛 定义法证明单调性的步骤
判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格 按照单调性的定义操作．
利用定义法判断函数的单调性的步骤为：
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注意：对单调递增的判断，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，也可以用一个 不等式来替代：
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3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如 y＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单 调递增， y＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如 y＝x2 在定义域(－∞，＋∞) 上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单 调递增(减)．如函数 y＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减， 但是在整个定义域上不具有单调性．
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
如果原函数在其定义域内单调递增 （或递减），则其反函数在对应的定 义域内单调递减（或递增）。
反函数的应用举例
利用反函数求值
通过反函数，可以将一个变量的值转换为另一个变量的值。例如，利用反三角函数可以求出角度的值。
利用反函数解决实际问题
在很多实际问题中，可以通过建立反函数来求解问题。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，常常需要利 用反函数来解决实际问题。
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
contents
目录
• 函数单调性的定义 • 单调函数的性质 • 单调函数的应用 • 反函数与单调性 • 复合函数的单调性
01 函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，则对于该区间内的任意 两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) < f(x_2)$；如果函数在某个区间内单调递减，则对 于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$。
复合函数法
利用复合函数的单调性法则来判断 原Байду номын сангаас数的单调性。
单调函数的反例
反例1
函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是单 调减少的，但在区间(0,+∞)上是单 调增加的，因此f(x)=x^2在整个定 义域上不是单调函数。
反例2
函数f(x)={ x^2 x>0; -x^2 x<0; } 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调 减少的，但在整个定义域上不是单 调函数。
x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$，则函数在该区间内单调递减。
函数的单调性问题教师版
知识点5：函数单调性的定义及应用：定义：在函数()x f y =的定义域A 的某一区间I 内任取1x ,2x I ∈,且21x x <. ○112x x <⇔()()12f x f x <,则称()x f y =在区间I 上为增函数； ○212x x <⇔()()12f x f x >,则称()x f y =在区间I 上为减函数. 说明：（1）函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质；（2）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性且单调区间不可写并集； （3）函数单调性的定义中，有两层意思：①对于任意的1x ，2x M ∈，若12x x <，有12()()f x f x <，则称()f x 在M 上是增函数； ②若()f x 在M 上是增函数，则当12x x <时，就有12()()f x f x <恒成立．（4）图象特征：图象是上升趋势的为增函数；图象是下降趋势的为减函数. 1.已知函数y=f(x)是定义在R 上的增函数，则f(x)=0的根 （ C ） A.有且只有一个 B.有2个 C.至多有一个 D.以上均不对 2.已知函数f （x ）在区间［a ，b ］上单调，且f （a ）·f （b ）＜0，则方程f （x ）=0在区间［a ，b ］（D ）A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根 D.必有惟一的实根题型1：证明函数的单调性：步骤：一设，二作差，三变形判断符号，四结论 变形常用的手段有：通分，提取公因式、配方法、有理化、因式分解。
1.利用单调性的定义证明函数+2()+1x f x x =在(-1,)+∞上是减函数。
解：在(-1,)+∞上任取12x x <， 则121212+2+2()()+1+1x x f x f x x x -=-2121(+1)(+1)x x x x -=因为211x x >>-，所以21210,+1>0,+10x x x x ->>。
数学高一(上)沪教版(函数的性质--单调性(一))教师版
，(1,0-，()0,1，1,+∞⎡⎣b a ⎤⎥⎦，,0b a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,b a ⎛- ⎝，⎡-⎢⎣上单调递增（减），则数()f x 在区间[],b --上单调递增（减）； 上单调递增（减），则数)在区间[]-上单调递减（增）。
【注意】书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭【典型例题分析】例1、判断函数()21xf x x =-在区间()1,1-上的单调性。
【解析】利用函数的单调性的定义判读即可。
【答案】()21xf x x =-在区间()1,1-上单调递减。
变式练习1：已知()3f x x x =+，判断()f x 在(),-∞+∞上的单调性，并证明。
【解析】直接利用函数单调性的定义判断。
【答案】()f x 在(),-∞+∞是增函数【点拨】用定义研究函数的单调性时，所取12,x x 应是指定区间上的任意两值，对差()()12f x f x -的变形主要有因式分解或配方、通分、分子有理化等方法，确定差的符号时要注意12,x x 的所在范围，另外，有字母系数（即参数）的要注意字母对单调性的影响（如y kx b =+）变式练习2：证明：函数()1f x x x=+在()0,1上是减函数。
证明略例2、求下列函数的单调区间 （1）()210y x x x =+< （2）221x y x -=+ （3）223y x x =-++ 【解析】 利用常见函数的单调性及函数图像求解 【答案】（1）单调减区间(),0-∞ （2）单调增区间()()1,,,1-+∞-∞- （3）单调增区间为]([],1,0,1-∞- 单调减区间为[])1,0,1,-+∞⎡⎣例3、已知()f x 为偶函数，且当x ∈)0,+∞⎡⎣时单调递减，求()22f x x -()1x ≤的单调区间。
【解析】根据外层函数的单调区间，对内层函数的单调区间进行相应分段。
7.函数的性质(教师版) WPS文字 文档
函数的性质（一）基础知识回顾： 1.函数的单调性：设函数f(x)的定义域为I ， 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21x ,x ,当21x x <时，都有____________，那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数；如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21x ,x ,当21x x <时，都有____________，那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数如果函数y=f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）__________，区间D 叫做函数y=f(x)的____________.2．判定函数的单调性常用的方法有：（1）定义证明法 （2）图像法 3. 函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有______________________,那么函数f(x)就叫做奇函数，奇函数的图像关于_______对称；如果对于函数y=f(x)的定义域内任意一个x 都有___________,那么函数f(x)就叫做偶函数，偶函数的图像关于_______对称。
当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有________性。
4．函数单调性性质：5.函数奇偶性性质：二、题型归类（一）函数的单调性1、根据单调性定义判断证明单调性1. 试判断1()1xg x x+=-在(1,)+∞上的单调性，并加以证明．2. 讨论函数()1(0)f x a x a =-≠,在1x ≥时的单调性。
2、常见函数判断单调性问题1. 下列函数中, 在区间 (－∞, 0)上是增函数的是 ( )A 2 ()48 f x x x =-+B ()3 (g x a x a =+≥C 2()1h x x =-+ D 12()l o g ()s x x =- 2. 1）若函数y ax =与by x=-在(0,)+∞上都是减函数，则函数2y ax bx =+在(0,)+∞上是单调递_______函数。
2025高考数学必刷题 第15讲、单调性问题(教师版)
第15讲单调性问题知识梳理知识点一：单调性基础问题1、函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =为减函数．2、已知函数的单调性问题①若()f x 在某个区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '>，才能得出()f x 在某个区间上单调递增；②若()f x 在某个区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '<，才能得出()f x 在某个区间上单调递减．知识点二：讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x 轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；（5）导数图像定区间；【解题方法总结】1、求可导函数单调区间的一般步骤（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和()0f x '=的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；（4）确定()f x '在各小区间内的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性．注：①使()0f x '=的离散点不影响函数的单调性，即当()f x '在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在(,)-∞+∞上，3()f x x =，当0x =时，()0f x '=；当0x ≠时，()0f x '>，而显然3()f x x =在(,)-∞+∞上是单调递增函数．②若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增，则()0f x '≥（()f x '不恒为0），反之不成立．因为()0f x '≥，即()0f x '>或()0f x '=，当()0f x '>时，函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增．当()0f x '=时，()f x 在这个区间为常值函数；同理，若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递减，则()0f x '≤（()f x '不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论：()0f x '>⇒()f x 单调递增；()f x 单调递增()0f x '⇒≥；()0f x '<⇒()f x 单调递减；()f x 单调递减()0f x '⇒≤．必考题型全归纳题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像【例1】（2024·全国·高三专题练习）设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由导函数的图象可得当0x <时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增；当02x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当2x >时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增.只有C 选项的图象符合.故选：C.【对点训练1】（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为'()f x ，如图是函数'()y xf x =的图像，则下列说法正确的是A ．函数()f x 的增区间是(2,0),(2,)-+∞B ．函数()f x 的增区间是()(),2,2,-∞-+∞C ．2x =-是函数的极小值点D ．2x =是函数的极小值点【答案】BD【解析】先由题中图像，确定()f x '的正负，得到函数()f x 的单调性；从而可得出函数极大值点与极小值点，进而可得出结果.由题意，当02x <<时，()0f x '<；当2x >，()0f x '>；当20x -<<时，()0f x '<；当<2x -时，()0f x '>；即函数()f x 在(),2-∞-和(2,)+∞上单调递增，在()2,2-上单调递减，因此函数()f x 在2x =时取得极小值，在2x =-时取得极大值；故A 错，B 正确；C 错，D 正确.故选：BD.【对点训练2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）已知函数()y xf x '=的图象如图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中可能是()y f x =图象的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由()y xf x '=的图象知，当(),1x ∈-∞-时，()0xf x '<，故()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()1,0x ∈-时，()0xf x '>，故()0f x '<，当[)0,1x ∈，()0xf x '≤，故()0f x '≤，等号仅有可能在x ＝0处取得，所以()1,1x ∈-时，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0xf x '>，故()0f x ¢>，()f x 单调递增，结合选项只有C 符合.故选：C.【对点训练3】（2024·陕西西安·校联考一模）已知定义在[3,4]-上的函数()f x 的大致图像如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()0xf x '>的解集为（）A ．5(2,1)1,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(3,2)--C ．5(1,0)1,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(3,4)【答案】C【解析】若0x <，则()()0,f x f x '<单调递减，图像可知，()1,0x ∈-，若0x >，则()()0,f x f x '>单调递增，由图像可知51,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故不等式()0xf x '>的解集为()51,01,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C【解题方法总结】原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数()f x 单调递增⇔导函数()0f x '≥（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足()0f x '>）；原函数单调递减⇔导函数()0f x '≤（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足0()0f x <）．题型二：求单调区间【例2】（2024·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数22ln x y x x+=+的单调递增区间为（）A ．(0,2)B ．(0,1)C ．(2,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D【解析】函数的定义域为(0,)+∞.222ln ln x y x x x x x +=+=++，则2222212(2)(1)1x x x x y x x x x +-+-'=-+==.令00y x >⎧⎨>'⎩，解得(1,)x ∈+∞.故选：D【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）函数ln y x x =（）A ．严格增函数B ．在0,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格增函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是严格减函数C ．严格减函数D ．在0,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是严格增函数【答案】D【解析】已知ln y x x =，0x >，则1ln ln 1y x x x x'=+⋅=+，令0y '=，即ln 10x +=，解得1ex =，当10e x <<时，0'<y ，所以在0,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格减函数，当1e x >时，0'>y ，所以在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是严格增函数，故选：D.【对点训练5】（2024·全国·高三专题练习）函数()()2ln 41f x x =-的单调递增区间（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()0,∞+【答案】A【解析】由2410x ->，可得12x <-或12x >，所以函数()()2ln 41f x x =-的定义域为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.求导可得()2841x f x x =-'，当()0f x ¢>时，0x >，由函数定义域可知，12x >，所以函数()()2ln 41f x x =-的单调递增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：A.【对点训练6】（2024·高三课时练习）函数()bf x ax x=+（a 、b 为正数）的严格减区间是（）．A ．,⎛-∞ ⎝B ．,0b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭与0,b a ⎛⎫⎪⎝⎭C ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭与⎛ ⎝D ．⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】由题得0x ≠.由()2b f x a x -'=，令()20b f x a x '=-<解得0x <<或0x <<．所以函数()bf x ax x =+的严格减区间是⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭与⎛ ⎝.选项D ，本题的两个单调区间之间不能用“ ”连接，所以该选项错误.故选：C【解题方法总结】求函数的单调区间的步骤如下：（1）求()f x 的定义域（2）求出()f x '．（3）令()0f x '=，求出其全部根，把全部的根在x 轴上标出，穿针引线．（4）在定义域内，令()0f x '>，解出x 的取值范围，得函数的单调递增区间；令()0f x '<，解出x 的取值范围，得函数的单调递减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“ ”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开．题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围【例3】（2024·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数2()ln 2x f x x =-在区间1(,3m m +上不单调，则实数m 的取值范围为（）A ．203m <<B ．213m <<C ．213m ≤≤D ．m >1【答案】B【解析】函数2()ln 2x f x x =-的定义域为(0,)+∞，且2(11)1)1)((x f x x x x xx x -==+-'=-，令()0f x '=，得1x =，因为()f x 在区间1(,)3m m +上不单调，所以0113m m m >⎧⎪⎨<<+⎪⎩，解得：213m <<故选：B.【对点训练7】（2024·陕西西安·统考三模）若函数()2ln f x x ax x =-+在区间()1,e 上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．23,e 1⎡⎤+⎣⎦D ．23,e 1⎡⎤-⎣⎦【答案】B【解析】因为函数()2ln f x x ax x =-+在区间()1,e 上单调递增，所以()120f x x a x'=-+≥在区间()1,e 上恒成立，即12a x x ≤+在区间()1,e 上恒成立，令()()121e g x x x x=+<<，则())22221112120x g x x x x +--'=-==>，所以()g x 在()1,e 上递增，又()13g =，所以3a ≤.所以a 的取值范围是(],3-∞.故选：B【对点训练8】（2024·全国·高三专题练习）若函数()()3log (0a f x ax x a =->且1)a ≠在区间()0,1内单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[)3,+∞B ．(]1,3C ．10,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】令()3g x ax x μ==-，则()23g x a x '=-，当x >x <()0g x '<，当x <<()0g x '>，所以()g x在⎫+∞⎪⎪⎭和,⎛-∞ ⎝上递减，在⎛ ⎝上递增，当1a >时，log a y μ=为增函数，且函数()f x 在区间()0,1内单调递增，所以101a ⎧⎪>⎪⎪≤⎨≥，解得3a ≥，此时()g x 在()0,1上递增，则()()00g x g >=恒成立，当01a <<时，log a y μ=为减函数，且函数()f x 在区间()0,1内单调递增，所以001a ≤<<⎩，无解，综上所述，a 的取值范围是[)3,+∞.故选：A.【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos f x x a x =+在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，则实数a 的取值范围为（）A．1a -B ．1a ≥C．1a >D ．1a ≥-【答案】B【解析】由题意，()cos sin 0f x x a x '=-≤在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，即cos 1sin tan x a x x ≥=在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，因为tan y x =在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以tan 1y x =>，所以在ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，101tan x <<，所以1a ≥.故选：B【对点训练10】（2024·全国·高三专题练习）三次函数3()f x mx x =-在(,)-∞+∞上是减函数，则m 的取值范围是（）A ．0m <B ．1m <C ．0m ≤D ．1m £【答案】A【解析】对函数3()f x mx x =-求导，得2()31f x mx '=-因为函数()f x 在(,)-∞+∞上是减函数，则()0f x '≤在R 上恒成立，即2310mx -≤恒成立，当20x =，即0x =时，2310mx -≤恒成立；当20x ≠，即0x ≠时，20x ≥，则213m x ≤，即2min13m x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，因为210x ≥，所以30m ≤，即0m ≤；又因为当0m =时，()f x x =-不是三次函数，不满足题意，所以0m <.故选：A ．【对点训练11】（2024·青海西宁·高三校考开学考试）已知函数()ln 1af x x x =++.若对任意1x ，(]20,2x ∈，且12x x ≠，都有()()21211f x f x x x ->--，则实数a 的取值范围是（）A ．27,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],2-∞C ．27,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(],8∞-【答案】A【解析】根据题意，不妨取12x x <，则()()21211f x f x x x ->--可转化为()()2112f x f x x x ->-，即112212ln ln 11a ax x x x x x ++<++++.令()ln 1aF x x x x =+++，则对任意1x ，(]20,2x ∈，且12x x <，都有()()12F x F x <，所以()F x 在(]0,2上单调递增，即()()21101a F x x x '=-+≥+在(]0,2上恒成立，即()31x a x+≤在(]0,2上恒成立.令()()31x h x x+=，02x <≤，则()()()22121x x h x x +-'=，02x <≤，令()0h x '<，得102x <<，令()0h x '>，得122x <≤，所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,22⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，所以()min 12724h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以274a ≤，即实数a 的取值范围是27,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选:A【对点训练12】（2024·全国·高三专题练习）若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（）A ．[)2,-+∞B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．128⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，D ．()2,-+∞【答案】D【解析】∵2()ln 2f x x ax =+-，∴1()2f x ax x'=+，若()f x 在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则1()0,22,f x x '>∈⎛⎫⎪⎝⎭有解，故212a x>-，令21()2g x x =-，则21()2g x x =-在1,22⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，1()22g x g ⎛⎫∴>=- ⎪⎝⎭，故 2 a >-.故选：D.【对点训练13】（2024·全国·高三专题练习）若函数2()ln 2f x x x x =+--在其定义域的一个子区间(21,21)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（）A ．33,24⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以210k -≥，即12k ≥，2121(1)(21)()21x x x x f x x x x x+-+-'=+-==，令()0f x '=，得12x =或=1x -（舍去），因为()f x 在定义域的一个子区间(21,21)k k -+内不是单调函数，所以121212k k -<<+，得4143k -<<，综上，1324k ≤<，故选：D【对点训练14】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()2ln f x x x b =+-（R b ∈）在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),3-∞D ．(-∞【答案】B【解析】 函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在单调增区间，∴函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在子区间使得不等式()0f x '>成立．()()212212x bx f x x b x x -+=+-='，设()2221h x x bx =-+，则()20h >或102h ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即8410b -+>或1102b -+>，得94b <，故选B.考点：导数的应用.【例4】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()321132a f x x x x =+++在(),0∞-，()3,+∞上单调递增，在()1,2上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A ．105,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．(],2-∞-C ．10,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．105,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】由()321132a f x x x x =+++，得()21f x x ax '=++．因为()f x 在(),0∞-，()3,+∞上单调递增，在()1,2上单调递减，所以方程()0f x '=的两个根分别位于区间[]0,1和[]2,3上，所以(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩，即10,110,4210,9310,a a a ≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪++≥⎩解得10532a -≤≤-.故选：A ．【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()()3223110f x mx m x m m =+--+>的单调递减区间是()0,4，则m =（）A ．3B ．13C ．2D ．12【答案】B【解析】函数()()()3223110f x mx m x m m =+--+>，则导数()()2361f x mx m x'=+-令()0f x '<，即()23610mx m x +-<，∵0m >，()f x 的单调递减区间是()0,4，∴0，4是方程()23610mx m x +-=的两根，∴()2104m m-+=，040⨯=，∴13m =故选：B.【解题方法总结】（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等．（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围．（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解．题型四：不含参数单调性讨论【例5】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()()1ln 10x f x x x++=>.试判断函数()f x 在()0+∞，上单调性并证明你的结论；【解析】函数()f x 在()0,∞+上为减函数，证明如下：因为()()()1ln 10x f x x x++=>，所以()()21ln 11xx f x x --++'=，又因为0x >，所以101x>+，ln(1)0x +>，所以()0f x '<，即函数()f x 在()0,∞+上为减函数.【对点训练16】（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知()e ln x af x x x+=+若1a =，讨论()f x 的单调性；【解析】若1a =，则()()e 1ln 0x f x x x x +=+>，求导得()()()21e 1x x f x x-+'=，令()0f x ¢>可得1x >，令()0f x '<可得10x >>，故()f x 在()0,1x ∈上单调递减；在()1,+∞上单调递增.【对点训练17】（2024·贵州·校联考二模）已知函数()ln e 1xf x x x =-+．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)讨论()f x 在()0,∞+上的单调性．【解析】（1）()ln 1e x f x x '=+-，∴()11e f '=-，又()11e f =-，∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是()()1e 1e 1y x -+=--，即()1e y x =-；（2）令()()()0ln 1e xg f x x x x '==+>-，则()1e x g x x ='-在()0,∞+上递减，且1202g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭'，()11e 0g ='-<，∴01,12x ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使()0001e 0xg x x =-='，即00ln x x =-，当()00,x x ∈时，()00g x '>，当()0,x x ∈+∞时，()00g x '<，∴()f x '在()00,x 上递增，在()0,x +∞上递减，∴()()000001ln 1e 1110xf x f x x x x ⎛⎫''≤=+-=-++≤-=-< ⎪⎝⎭，当且仅当001x x =，即01x =时，等号成立，显然，等号不成立，故()0f x '<，∴()f x 在()0,∞+上是减函数．【对点训练18】（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数()()e R x f x ax a =-∈，()πe cos2x g x x =+.(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)求函数()g x 在()0,∞+上的单调性；【解析】（1）由题意知()f x 的定义域为R.①当0x >时，由()0f x ≥得e x a x ≤，设()exm x x =，则()()2e 1x x m x x -'=，当()0,1x ∈时，()0m x '<，故()m x 在(0,1)上单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0m x '>，故()m x 在(1,)+∞上单调递增，所以()()min 1e m x m ==⎡⎤⎣⎦，因此e a ≤.②当0x <时，若0a <，因为11e 10a f a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，不合题意.所以0a ≥，此时()0f x >恒成立.③当0x =时，()010f =>，此时R a ∈.综上可得，a 的取值范围是[]0,e .（2）设()sin n x x x =-，0x >，则()cos 10n x x '=-≤，所以()n x 在()0,∞+上单调递减，所以()()00n x n <=，即sin x x <在()0,∞+上恒成立.所以ππsin 22x x <.又由（1）知e e x x ≥，所以当0x >时，()2πππππe sin e e 022224xg x x x x x ⎛⎫'=->-⋅=-> ⎪⎝⎭，所以()g x 在()0,∞+上单调递增.【对点训练19】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()ln(e 1)ln x f x x =--．判断()f x 的单调性，并说明理由；【解析】e 1e e 1(1)e 1()e 1(e 1)(e 1)x x x x xxx x x f x x x x-+-+'=-==---令()(1)e 1x g x x =-+，()e(1)e e 0xx x g x x x '=+-=>()g x 在(0,)+∞上递增，()(0)0g x g ∴>=，()0f x '∴>，()f x 在(0,)+∞上单调递增.【解题方法总结】确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．题型五：含参数单调性讨论情形一：函数为一次函数【例6】（2024·山东聊城·统考三模）已知函数()(1)ln f x m x m x m =+--．讨论()f x 的单调性；【解析】(1)()1m m x mf x m x x+-'=+-=，,()0x ∈+∞，①当10m +=，即1m =-时，1()0f x x'=>，()f x 在区间(0,)+∞单调递增．②当10+<m ，即1m <-时，令()0f x '>，得01m x m <<+，令()0f x '<，得1mx m >+，所以()f x 在区间0,1m m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭单调递增；在区间,1m m ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭单调递减．③当10m +>，即1m >-时，若10m -<≤，则()0f x '>，()f x 在区间(0,)+∞单调递增．若0m >，令()0f x '<，得01m x m <<+，令()0f x '>，得1m x m >+，所以()f x 在区间0,1m m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭单调递减；在区间,1m m ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭单调递增．综上，1m <-时，()f x 在区间0,1m m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭单调递增；在区间,1m m ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭单调递减；10m -≤≤时，()f x 在区间(0,)+∞单调递增0m >时，()f x 在区间0,1m m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭单调递减、在区间,1m m ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭单调递增．【对点训练20】（2024·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知函数()()22ln 2310f x x a x ax a =-+-≥.讨论函数()f x 的单调性；【解析】()f x 的定义域为()()()()4110,,ax ax f x x∞+-+'=若0a =，则()()1,f x f x x='在()0,∞+单调递增；若0a >，令()0f x '=，解得12110,04x x a a=>=-<（舍去）当10x a <<时，()0f x ¢>，函数()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当1x a >时，()0f x '<，函数()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，【对点训练21】（2024·全国·模拟预测）已知函数()()()ln 11f x x a x a =+-+∈R .讨论函数()f x 的单调性；【解析】因为()()ln 11f x x a x =+-+，所以()()11f x a x+'=-.因为0x >，若10a -≥，即1a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增，若10a -<，即1a >时，令()()110f x a x=+->'，得101x a <<-；令()()110f x a x=+-<'，得11x a >-，所以()f x 在10,1a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在1,1a ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭上单调递减.综上，当1a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，()f x 在10,1a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在1,1a ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭上单调递减.【对点训练22】（2024·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数()()ln f x x a x -=．讨论()f x '的单调性；【解析】由函数()()ln f x x a x -=，可得()ln ln 1(0)x a af x x x x x x-=+=+->'，设()()ln 1a x f x x x ϕ==+-'，可得221()a x ax x x xϕ+=+='，①当0a ≥时，()0x ϕ'>，所以()f x '在(0,)+∞单调递增；②当a<0时，令()0x ϕ'=，解得x a =-.当0x a <<-时，()0x ϕ'<，()f x '单调递减；当x a >-时，()0x ϕ'>，()f x '单调递增.综上，当0a ≥时，()f x '在(0,)+∞单调递增；当0a <时，()f x '在(0,)a -单调递减，在(,)a -+∞单调递增.情形二：函数为准一次函数【对点训练23】（2024·云南师大附中高三阶段练习）已知函数()ln f x x x ax =-.讨论()f x 的单调性；【解析】函数()f x 的定义域为(0)x ∈+∞，，()ln 1f x x a '=+-．令()0f x '=，解得1e a x -=，则有当10e a x -<<时，()0f x '<；当1e a x ->时，()0f x '>；所以()f x 在1(0e )a -，上单调递减，在1(e )a -+∞，上单调递增．【对点训练24】（2024·北京·统考模拟预测）已知函数21()e 2x f x k x =-.(1)当1k =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 的单调性；【解析】（1）1k = ，21()e 2x f x x ∴=-，()e x f x x '∴=-，当1x =时，1(1)e 2f =-，∴切点坐标为11e 2⎛⎫- ⎪⎝⎭，，又(1)e 1f '=-，∴切线斜率为e 1-，∴曲线()y f x =在1x =处切线方程为：()1e 102x y --+=.（2）21()e 2x f x k x =- ，x ∈R ，()()e x g x f x k x '∴==-，x ∈R ，()e 1x g x k '∴=-，x ∈R ，①当0k ≤时，()'0g x <成立，()f x ∴的单调递减区间为R ，无单调递增区间.②当0k >时，令()10ln x g x ke x k '=-=⇒=-，所以当ln x k <-时，()0g x '<，()g x 在(,ln )-∞-k 上单调递减ln x k >-时，()0g x '>，()g x 在(ln ,)-+∞k 上单调递增综上:0k ≤时，()f x 的单调递减区间为R ，无单调递增区间；0k >时，()f x 的单调递增区间为(ln ,)-+∞k ，单调递减区间为(,ln )-∞-k ；【对点训练25】（2024·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知函数()()e 1=--∈x f x ax a R .讨论()f x 的单调性；【解析】∵()()e 1=--∈x f x ax a R ，∴()e xf x a '=-，①当0a ≤时，()0f x ¢>恒成立，此时()f x 在(),-∞+∞上单调递增；②当0a >时，令()e 0xf x a '=-=，解得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在区间(),ln a -∞上单调递减，当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 在区间()ln ,a +∞上单调递增.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在区间(),ln a -∞上单调递减，在区间()ln ,a +∞上单调递增.情形三：函数为二次函数型方向1、可因式分解【对点训练26】（2024·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知函数()()()2ln 20f x a x x a x a =+-+>.讨论函数()f x 的单调性；【解析】因为()()()2ln 20f x a x x a x a =+-+>，该函数的定义域为()0,∞+，()()()()()2222122x a x a x a x ax a x x xf x -++-'-=+-+==.因为0a >，由()0f x '=得：2ax =或1x =.①当12a=，即2a =时，()0f x '≥对任意的0x >恒成立，且()f x '不恒为零，此时，函数()f x 的增区间为()0,∞+，无减区间；②当12a >，即2a >时，由()0f x ¢>得01x <<或2ax >；由()0f x '<得12a x <<.此时，函数()f x 的增区间为()0,1、,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减区间为1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭；③当12a <，即02a <<时，由()0f x ¢>得02ax <<或1x >；由()0f x '<得12a x <<.此时函数()f x 的增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()1,+∞，减区间为,12a ⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述：当2a =时，函数()f x 的增区间为()0,∞+，无减区间；当2a >时，函数()f x 的增区间为()0,1、,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减区间为1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭；当02a <<时，函数()f x 的增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()1,+∞，减区间为,12a ⎛⎫⎪⎝⎭.【对点训练27】（2024·湖北咸宁·校考模拟预测）已知函数()()2111ln 22f x x a x b x x x ⎛⎫=----+ ⎪⎝⎭，其中,R a b ∈.讨论函数()f x 的单调性；【解析】函数()f x 的定义域为()()()()310,,x x a f x x ∞--+='-.①若1a >时，01x <<11x a<<ax a>()f x '-0+-()f x 极小值 极大值②若1a =时，()0f x '≤恒成立，()f x 单调递减，③若01a <<时0x a<<a1<<a x 11x >()f x '-0+-()f x 极小值 极大值④若0a ≤时，()0,1x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减；()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增.综上所述，当1a >时，()()0,1,x f x ∈单调递减，()()1,,x a f x ∈单调递增，()(),,x a f x ∞∈+单调递减；当1a =时，()()0,,x f x ∞∈+单调递减；当01a <<时，()()0,,x a f x ∈单调递减，(),1x a ∈，()f x 单调递增，()()1,,x f x ∞∈+单调递减；当0a ≤时，()()0,1,x f x ∈单调递减，()()1,,x f x ∞∈+单调递增.【对点训练28】（2024·北京海淀·高三专题练习）设函数()()24143e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦．(1)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，求a ；(2)求()f x 的单调区间．【解析】（1）因为()()24143e x f x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦，所以()()()()2241e 4143e R x xf x ax a ax a x a x '⎡⎤⎡⎤=-++-+++∈⎣⎦⎣⎦()2212e xax a x ⎡⎤=-++⎣⎦.()()11e f a '=-.由题设知()10f '=，即()1e 0a -=，解得1a =.此时()13e 0f =≠.所以a 的值为1（2）由（1）得()()()()2212e 12e x xf x ax a x ax x '⎡⎤=-++=--⎣⎦．1）当0a =时，令()0f x '=，得2x =，所以()(),,x f x f x '的变化情况如下表：x(),2-∞2()2,+∞()f x '+-()f x 单调递增极大值单调递减2）当0a ≠，令()0f x '=，得1x a=或2①当0a <时，12a<，所以()(),,x f x f x '的变化情况如下表：x1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1a1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭2()2,+∞()f x '-+-()f x 单调递减极小值单调递增极大值单调递减②当0a >时，（ⅰ）当102a <<即12a >时，x1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1a1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭2()2,+∞()f x '+-+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增（ⅱ）当12a =即12a =时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；（ⅲ）当12a >即102a <<时，x(),2-∞212,a ⎛⎫⎪⎝⎭1a1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '+-+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上，当0<a 时，()f x 的单调递增区间是1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间是1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()2,+∞；当0a =时，()f x 的单调递增区间是(),2-∞，单调递减区间是()2,+∞；当102a <<时，()f x 的单调递增区间是(),2-∞和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为12,a ⎛⎫⎪⎝⎭；当12a =时，()f x 的单调递增区间是R ，无单调递减区间；当12a >时，()f x 的单调递增区间是1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()2,+∞，单调递减区间是1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭．【对点训练29】（2024·广西玉林·统考模拟预测）已知函数()22132ln 2f x x ax a x =-+，0a ≠.讨论()f x 的单调区间；【解析】()f x 的定义域为()0,∞+，()()()2x a x a f x x-'-=若0a >，当()0,x a ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当(),2x a a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x a ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增.若a<0，则()0f x ¢>恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增.综上，当0a >时，()f x 的单调递增区间为()0,a ，()2,a +∞，单调递减区间为(),2a a ；当a<0时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间【对点训练30】（2024·河南郑州·统考模拟预测）已知()()24ln 20f x x a x =-≠.讨论()f x 的单调性；【解析】因为()()24ln 20f x x a x =-≠定义域为()0,∞+，所以())2222144444f x a x a x x x x a a xa a ⎛⎫-+⎛⎫'+ ⎪⎝⎭⎝=+++= ⎭⎭=⎪⎝,若0a <时，则()0f x ¢>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，若2a =时，则())2202f x x '=≥，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，若02a <<时，4a a <，则2216a a <，当2216,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，()f x 在2216,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当20x a <<或216x a >时()0f x ¢>，()f x 在()20,a ，216,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，若2a >时，4a a >，则2216a a >，当2216,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，()f x 在2216,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当2160x a <<或2x a >时()0f x ¢>，()f x 在2160,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,a +∞上单调递增，综上可得，当0a <或2a =时()f x 在()0,∞+上单调递增；当02a <<时()f x 在2216,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()f x 在()20,a ，216,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当2a >时()f x 在2216,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2160,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,a +∞上单调递增.方向2、不可因式分解型【对点训练31】（2024·河南驻马店·统考二模）已知函数()()21ln 12f x x ax =+-，()()1sin 01ex xg x ax a x =+-≠+．讨论()f x 的单调性；【解析】由题意可得()f x 的定义域为()1,-+∞，且()21111ax ax f x ax x x --'+=-=++．令()0f x '=，则210ax ax --+=，()244a a a a ∆=+=+．当0∆≤，即40a -≤<时，()0f x '≥，()f x 在()1,-+∞上单调递增．当0∆>，即0a >或4a <-时，()0f x '=有两个根112x =--2122x a=-+．若0a >，11x <-，20x >，则当()21,x x ∈-时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；若4a <-，()121,x x >∈-+∞，则当()21,x x ∈-或()1,x x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当()21,x x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减．综上，当0a >时，()f x 在()21,x -上单调递增，在()2,x +∞上单调递减；当40a -≤<时，()f x 在()1,-+∞上单调递增；当4a <-时，()f x 在()21,x -和()1,x +∞上单调递增，在()21,x x 上单调递减．【对点训练32】（2024·重庆·统考模拟预测）已知函数22()ln (R)2x ax af x x a x--+=+∈．讨论函数()f x 的单调性；【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，求导得222112()222a x x af x x x x -+-'=--=，①当440a -≤，即1a ≥时，()0f x '≤恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减；②当4400a a ->⎧⎨>⎩，即01a <<时，由()0f x '=解得，1x =由()0f x '>解得，11x <<，由()0f x '<解得01x <<1x >，此时()f x 在(1上单调递增，在(0,1和(1)++∞上单调递减；③当4400a a ->⎧⎨≤⎩，即0a ≤时，由()0f x '=解得1x =1x =舍)，由()0f x '>解得01x <<+()0f x '<解得1x >此时()f x 在(0,1+上单调递增，在(1)+∞上单调递减，所以当1a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当01a <<时，函数()f x 在(1上单调递增，在(0,1和(1)+∞上单调递减；当0a ≤时，函数()f x 在(0,1上单调递增，在(1)+∞上单调递减.【对点训练33】（2024·广东·统考模拟预测）已知函数()21eax x f x +=，R a ∈.讨论()f x 的单调性；【解析】依题意()2e 2axax x af x -+=-'.若0a =，则()2f x x '=，故当()0x ∈-∞，时，()0f x '<，当()0x ∈+∞，时，()0f x ¢>.若0a ≠，令22y ax x a =-+，244a ∆=-，令0∆≤，解得1a ≤-或1a ≥.①若1a ≤-，则()0f x '≥.②若1a ≥，则()0f x '≤.③若11a -<<且0a ≠，令()0f x '=，得122x a =，222x a=.若10a -<<，则12x x >，当()2x x ∈-∞，时，()0f x ¢>，当()21x x x ∈，时，()0f x '<，当()1x x ∈+∞，时，()0f x ¢>；若01a <<，则12x x <，当()1x x ∈-∞，时，()0f x '<，当()12x x x ∈，时，()0f x ¢>，当()2x x ∈+∞，时，()0f x '<.综上所述：若1a ≤-，则()f x 在R 上单调递增；若10a -<<，则()f x 在22a ⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭，和22a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在2222a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，上单调递减；若0a =，则()f x 在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增；若01a <<，则()f x 在22a ⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭，和22a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2222a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，上单调递增；若1a ≥，则()f x 在R 上单调递减；【对点训练34】（2024·江苏·统考模拟预测）已知函数21()32ln (R)2f x x ax x a =++∈.讨论函数()f x 的单调性；【解析】易知0x >，又因为2232()3x ax f x x a x x++'=++=，令2()32h x x ax =++，298a ∆=-，①当0∆≤，即289a ≤时，()0h x ≥恒成立，所以()0f x '≥，此时，()f x 在区间()0,∞+上是增函数；②当2980a ∆=->，得到3a >或a <又2()32h x x ax =++，其对称轴为32a x =-，且(0)20h =>，所以，当3a >时，302a x =-<，所以()0h x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，即()0f x ¢>在区间(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在区间()0,∞+上是增函数；当3a <-时，302a x =->，且(0)20h =>，由()0h x =，得到32a x -=或32a x -+=，33(0,(,)22a a x --∈+∞ 时，()0h x >，33(,22a a x --∈时，()0h x <即33(0,)()22a a x --∈+∞ 时，()0f x '>，x ∈时，()0f x '<此时，()f x 在33,22a a ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭上是减函数，在330,,,22a a ⎛⎫⎛⎫--+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上是增函数.综上所述，当3a ≥-时，()f x 在()0,∞+上是增函数；当a <()f x 在33,22a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭上是减函数，在330,,,22a a ⎛⎫⎛⎫--+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上是增函数.【解题方法总结】1、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．2、需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．3、利用草稿图像辅助说明．情形四：函数为准二次函数型【对点训练35】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()e ln axaf x x x x=++，()0,x ∈+∞，其中R a ∈.讨论函数()f x 的单调性；【解析】,()0x ∈+∞，211()(1)e (1)(e a a x x a a a f x x x x x x'=--+=-+，当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0a >时，当(0,)x a ∈时，()0f x '<，当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，即函数()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，所以当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增.【对点训练36】（2024·河南郑州·统考模拟预测）已知()()2211e 12x f x x a ax a x =---+-．（R a ∈）讨论()f x 的单调性；【解析】因为221()(1)e 12x f x x a ax a x =---+-,所以()()()e ()()e x xf x x a a x a x a a '=---=--,若0,e 0,(,)x a a x a ∞≤->∈-时,()0,()'<f x f x 单调递减,(,)x a ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增；若0a >,由()0f x '=得x a =或ln x a =,设()ln (0)g a a a a =->,则11()1a g a a a-'=-=,(0,1)a ∈时,()0,()g a g a '<单调递减,(1,)∈+∞a 时,()0,()g a g a '>单调递增,所以()(1)10g a g ≥=>，所以ln a a >,所以(ln ,)x a a ∈时,()0,()'<f x f x 单调递减,(,ln )x a ∈-∞，(,)x a ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增.综上得,当0a ≤时,()f x 在(,)a -∞上单调递减,在(,)a +∞上单调递增,当0a >时,()f x 在(ln ,)a a 上单调递减,在(,ln )a -∞，(,)a +∞上单调递增.【对点训练37】（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知()()()()231e 03x a f x x x ax x a =--+>∈R .讨论函数()f x 的单调性；【解析】由题知，()()()22()1e 1(1)(1)x xf x x a x x x e a '=---=-+-.当1a ≤时，当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x ¢>，()f x \在区间()0,1上是㺂函数，在区间()1,+∞上是增函数；当1e a <<时，0ln 1a <<；当0ln x a <<或1x >时，()0f x ¢>；当ln 1a x <<时，()0f x '<；()f x \在区间()0,ln a 上是增函数，在区间()ln ,1a 上是减函数，在区间()1,+∞上是增函数；当e a =时，()()0,f x f x ≥'∴在区间()0,∞+上是增函数；当e a >时，ln 1a >；当01x <<或ln x a >时，()0f x ¢>；当1ln x a <<时，()0f x '<；()f x \在区间()0,1上是增函数，在区间()1,ln a 上是减函数，在区间()ln ,a ∞+上是增函数；综上所述，当1a ≤时，()f x 在区间()0,1上是减函数，在区间()1,+∞上是增函数；当1e a <<时，()f x 在区间()0,ln a 上是增函数，在区间()ln ,1a 上是减函数，在区间()1,+∞上是增函数；当e a =时，()f x 在区间()0,∞+上是增函数；当e a >时，()f x 在区间()0,1上是增函数，在区间()1,ln a 上是减函数，在区间()ln ,a ∞+上是增函数.【对点训练38】（2024·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知函数()()2ln 1ln 1,R f x x a x x a ⎡⎤=-++⋅∈⎣⎦，讨论函数()f x 的单调性；【解析】()()2ln 1ln 1f x x a x x ⎡⎤=-++⋅⎣⎦，()()()()()222ln 1ln 1ln 1ln 1ln ln ln 1x a f x x x a x x a x a x a x x x +⎡⎤⎡⎤∴=-+-++=+--=-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦'令()0f x '=，则两根分别为121e ,eax x ==.1、当1a =-时，()()2ln 10f x x '=+≥在()0,∞+恒成立，故()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；2、当1a >-时，令()0f x ¢>得1ex <或e a x >，令()0f x '<得1e e ax <<，所以()f x 单调递增区间为()10,,e ,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,e e a ⎛⎫⎪⎝⎭；3、当1a <-时，令()0f x ¢>得e a x <或1e x >时，令()0f x '<得1e eax <<，所以()f x 单调递增区间为()10,e ,,e a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1e ,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
函数单调性教案(教师版)
课题：函数的单调性(1)教学目的：（1）了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思（2）理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间（3）掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性教学重点：函数的单调性的概念；教学过程：一、复习引入：⒈复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数2xy=和3xy=的图象. 2xy=的图象如图1，3xy=的图象如图2.⒉引入：从函数2xy=的图象（图图象在y轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x在区间[0，+∞)上取值时，随着x的增大,相应的y值也随着增大，即如果取21,xx∈[0，+∞)，得到1y=)(1xf,2y=)(2xf,那么当1x<2x时，有1y<2y.这时我们就说函数y=)(xf=2x在[0,+ ∞)上是增函数. 图象在y轴的左侧部分是下降的，也就是说，当x在区间（-∞，0）上取值时，随着x的增大，相应的y值反而随着减小，即如果取21,xx∈（-∞，0），得到1y=)(1xf,2y=)(2xf,那当1x<2x时，有1y>2y.这时我们就说函数y=)(xf=2x在(-∞,0)上是减函数.函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的.二、讲解新课：⒈增函数与减函数定义：对于函数)(xf的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值21,xx，⑴若当1x<2x时，都有)(1xf<)(2xf,则说)(xf在这个区间上是增函数（如图3）；⑵若当1x<2x时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）.说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =（图1），当x ∈[0,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,0)时是减函数. ⒉ 单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. 说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 那样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f <)(2x f 或)(1x f >)(2x f , ”改为“)(1x f ≤)(2x f 或)(1x f ≥)(2x f ,”即可；⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.四、典型例题（3个，基础的或中等难度）例1、如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及在每一单调区间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数.解：函数)(x f y =的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中)(x f y =在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数.例2、证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数. 证明：设21,x x 是R 上的任意两个实数，且1x <2x ，则)(1x f －)(2x f =(31x +2)-(32x +2)=3(1x －2x ),由1x <2x x,得1x －2x <0 ,于是)(1x f －)(2x f <0,即 )(1x f <)(2x f . ∴23)(+=x x f 在R 上是增函数.例3、讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性.解：∵222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=，对称轴a x =∴若2-≤a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是增函数；若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数 若2≥a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是减函数.五、课堂练习（2个，基础的或中等难度） 1、判断函数)(x f =x1在(-∞,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论. 判断函数)(x f =x1在(-∞,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论. 解：设1x ,2x ∈(-∞，0)，且1x <2x ，∵)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -=2112x x x x -, 由1x ,2x ∈(-∞，0)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴)(x f =x1在(0,+ ∞)上是减函数. 能否说函数)(x f =x1在(-∞，+∞)上是减函数？ 答：不能. 因为x =0不属于)(x f =x1的定义域. 说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.2、判断函数b kx x f +=)(在R 上的单调性，并说明理由. 解：⑴设1x ,2x ∈R ，且1x <2x ,则)(1x f －)(2x f =(k 1x +b)-(k 2x +b)=k(1x -2x ).若k>0，又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f <0,即 )(1x f <)(2x f.∴b kx x f +=)(在R 上是增函数.若k<0，又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴b kx x f +=)(在R 上是减函数.六、拓展探究（2个）1、函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．解：f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．2、试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性． 解：设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1． f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数． 三、小结⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是：⑴设1x ,2x 是给定区间内的任意两个值，且1x <2x ；⑵作差)(1x f －)(2x f ，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断)(1x f －)(2x f 的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据)(1x f －)(2x f 的符号确定其增减性.四、作业(这份是教师用的教案，排在二张A4纸上)。
函数的单调性优秀教案(教学设计)(公开课比赛优秀教案)
函数的单调性优秀教案(教学设计)(公开课比赛优秀教案)教学目标：知识目标：让学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。
能力目标：通过探究函数单调性定义，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过证明函数单调性，提高学生的推理论证能力。
德育目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维惯，让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程。
教学重点：函数单调性的概念、判断及证明。
教学难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性。
教材分析：函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起。
本节课在教材中的作用如下：1）函数的单调性在初中数学中有广泛的应用。
它与前一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础。
2）函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材。
本节课通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。
教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系。
同时还要综合利用前面的知识解决函数单调性的一些问题，有利于学生数学能力的提高。
3）函数的单调性有着广泛的实际应用。
在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个数学教学。
函数的单调性在中学数学中扮演着十分重要的角色，因为它反映了函数的变化趋势和特点。
在解决问题时，利用函数单调性的观点是十分重要的，这为培养创新意识和实践能力提供了重要的途径和方式。
高一第3讲函数的单调性与奇偶性(教师版)
第3讲 函数的单调性与奇偶性（教师版）.一．学习目标1.了解函数单调性的概念及几何意义，掌握基本初等函数的单调性，会求(判断或证明)函数的单调区间， 并能运用函数单调性解决有关问题．2.理解函数奇偶性的概念，掌握函数奇偶性的判定方法和图象特征；会利用函数奇偶性分析、探究函数值、性质及图象等问题． 二．重点难点1.利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式求变量的取值是历年高考考查的热点．2.利用函数的单调性求最值，及利用它们求参数取值范围问题是重点，也是难点．3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．三．知识梳理1．定义域为I 的函数f (x )的增减性：2．如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．3．设x 1，x 2∈[a ，b ]，如果1212()()f x f x x x -->0，则f (x )在[a ，b ]上是单调递增函数，如果1212()()f x f x x x --<0，则f (x )在[a ，b ]上是单调递减函数． 4. 重点掌握好七类初等函数的图象，用其判断函数单调性。
(1)一次函数y=kx+b(k ≠0)图象为直线，k>0时.在(－∞，＋∞)上为增函数。
K<0时，在(－∞，＋∞)上为减函数。
（2）反比例函数y=k x图象为双曲线，k>0时在（-∞，0），（0，+∞）上为减函数，K<0时， 在（-∞，0），（0，+∞）上为增函数。
（3）二次函数y=a 2x +bx+c(a ≠0)图象为抛物线，一看开口方向（由a 正负号确定），二看对称轴（即x=-2b a）,再由图象确定单调区间。
（4）耐克函数b y ax x =+（a>0,b>0），（又称为对勾函数），由图象可得其四个单调区间。
函数的单调性及单调区间(预习讲义)(教师版)
函数的单调性及单调区间（预习讲义）考察函数y x =、2y x =、1y x=的图象你能发现每个图象中函数值y 随着x 的变化而变化的情况吗？【答案】对于y x =，y 随着x 的增大而增大；对于2y x =，当0x <时，y 随着x 的增大而减小，当0x >时，y 随着x 的增大而增大；对于1y x=，当0x <时，y 随着x 的增大而减小，当0x >时，y 随着x 的增大而减小．一、函数单调性的定义1、改变量：在函数()y f x =的图象上任取两点1122(,),(,)A x y B x y ，记21,x x x ∆=-2121()()y f x f x y y ∆=-=-．则x ∆表示自变量x 的改变量，y ∆表示因变量y 的改变量． 2、增函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆．如果取区间M 中的任意两个12,x x ，改变量210x x x ∆=->，2121()()0y f x f x y y ∆=-=->，则称函数()y f x =在区间M 上是增函数．如图所示：知识导引知识讲解3、减函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆．如果取区间M 中的任意两个12,x x ，改变量210x x x ∆=->，21()()0y f x f x ∆=-<，则称函数()y f x =在区间M 上是减函数．如图所示：4、单调性：如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性．区间M 称为单调区间．二、用定义法证明函数单调性的一般步骤1、取值：即设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <，210x x x ∆=->2、作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．3、定号：确定21()()y f x f x ∆=-的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．4、下结论：根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．三、函数的平均变化率因变量的改变量与自变量的改变量的比即2121y y y x x x -∆=∆-叫做函数()y f x =从1x 到2x 之间的平均变化率．四、 重要结论1、若在区间M 上函数()y f x =是增函数，12x x <⇔12()()f x f x <12(,)x x M ∈；若在区间M 上函数()y f x =是减函数，12x x <⇔12()()f x f x >．12(,)x x M ∈ 2、在区间M 上函数()y f x =是增函数⇔0yx∆>∆； 在区间M 上函数()y f x =是减函数⇔0y x∆<∆五、特殊函数的单调性1、一次函数(0)y kx b k =+≠，0k y kx b >⇔=+为增函数；0k y kx b <⇔=+为减函数．2、反比例函数(0)k y k x =≠，0kk y x>⇔=在区间(,0),(0,)-∞+∞上为减函数；0kk y x<⇔=在区间(,0),(0,)-∞+∞上为增函数． 想一想：能说(0)ky k x =>在区间(,0)(0,)-∞+∞上为减函数吗？说明理由．【答案】不能，反例：取1211x x =-=，，则12(0)(0)x x ∈-∞+∞，，，，且12x x <又12y k y k =-=，， 因为0k >，所以12y y <，与减函数定义矛盾．3、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，0a >⇔2y ax bx c =++在区间(,)2ba--∞上为减函数，在区间 (,)2ba-+∞上为增函数． 0a <⇔2y ax bx c =++在区间(,)2b a --∞上为增函数，在区间(,)2ba-+∞上为减函数． 4、函数y x a =-在区间(,)a -∞上为减函数，在区间(,)a +∞上为增函数． 5、对勾函数1y x x=+在区间(),1,(1,)-∞-+∞上为增函数，在区间(1,0),(0,1)-上为减函数；一般地，对勾函数(0)ky x k x=+>在区间(,)-∞+∞上为增函数，在区间(上为减函数；五、函数的最值1、函数的最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤; （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值（maximum value ）2、函数的最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥; （2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值（minimum value ）一、我们知道，函数1y x=在(0)-∞，，(0)+∞，上单调递减，函数21y x =+在(0)-∞，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增，那么函数211y x =+的单调性是怎样的呢？ 【答案】任取12(0)x x ∈-∞，，，且12x x <， 210x x x ∆=->2212121221222222212121()()11011(1)(1)(1)(1)x x x x x x y y y x x x x x x --+∆=-=-==>++++++ 所以211y x =+在(0)-∞，上单调递增； 同理，可证得，211y x =+在(0)+∞，上单调递减． 二、 复合函数的单调性1、若函数()y f u =在其定义域上是增函数，()u g x =在其定义域上是增函数，则复合函数(())y f g x =的单调性是怎样的？【答案】复合函数(())y f g x =在定义域上单调递增；2、若函数()y f u =在其定义域上是增函数，()u g x =在其定义域上是减函数，则复合函数(())y f g x =的单调性是怎样的？【答案】复合函数(())y f g x =在定义域上单调递减；3、若函数()y f u =在其定义域上是减函数，()u g x =在其定义域上是增函数，则复合函数(())y f g x =的单调性是怎样的？【答案】复合函数(())y f g x =在定义域上单调递减；4、若函数()y f u =在其定义域上是减函数，()u g x =在其定义域上是减函数，则复合函数(())y f g x =的单调性是怎样的？【答案】复合函数(())y f g x =在定义域上单调递增；由上面的探究可知：探究对于复合函数(())y f g x =，其中()y f u =称为外函数，()u g x =称为内函数． 当内外函数单调性相同时，(())y f g x =为增函数; 当内外函数单调性相反时，(())y f g x =为减函数;【例1】 如图是定义在区间[]5,5-上的函数()y f x =，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数？【答案】()f x 的单调增区间是(21)-，，(35)， ()f x 的单调减区间是(52)--，，(13)，【例2】 试用函数单调性的定义证明函数1y x =-+，在()-∞+∞，上是减函数． 【答案】证：任取12()x x ∈-∞+∞，，，且12x x < 210x x x ∆=->212112(1)(1)0y y y x x x x ∆=-=-+--+=-<所以1y x =-+在()-∞+∞，上是减函数． 【例3】试用函数单调性的定义证明函数y =，在[0)+∞，上是增函数． 【答案】证：任取12[0)x x ∈+∞，，，且12x x < 210x x x ∆=->210y y y ∆=-===>例题精讲所以y =在[0)+∞，上是增函数． 【例4】试用函数单调性的定义证明函数y =，在[0)+∞，上是增函数． 【答案】证：任取12[0)x x ∈+∞，，，且12x x < 210x x x ∆=->210y y y ∆=-==>所以y =[0)+∞，上是增函数． 【例5】 试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间(0,1)上的单调性． 【答案】解：任取12(01)x x ∈，，，且12x x < 210x x x ∆=->2121121221211212222(1)2(1)2()()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x y f x f x x x x x x x ----∆=-=-==------ 因为1201x x <<<所以120x x -<，110x -<，210x -< 所以0y ∆<所以2()1xf x x =-在区间(0,1)上的单调递减． 【例6】 证明函数3y x =在定义域上是增函数．【答案】证：任取12x x ∈R ，，且12x x < 210x x x ∆=->3322221212121212121213()()()[()]24x y y y x x x x x x x x x x x x ∆=-=-=-++=-++ 因为12x x <所以210x x ->，221213()024x x x ++>，所以0y ∆>所以3y x =在定义域上是增函数．【例7】 画出下列函数的图象，并指出它们的单调区间：（1）1y x =+ （2）2y x =+【答案】（1）函数1y x =+的单调递增区间是(0)+∞，，单调递减区间是(0)-∞，； （2）函数2y x =+的单调递增区间是(2)-+∞，，单调递减区间是(2)-∞-，； 【例8】 如果函数()y f x =是R 上的减函数，证明0k <时，()kf x 在R 上是增函数．【答案】证：任取12x x ∈R ，，且12x x < 210x x x ∆=->2121()()(()())y kf x kf x k f x f x ∆=-=-因为函数()y f x =是R 上的减函数，12x x < 所以12()()f x f x > 所以21()()0f x f x -< 又0k < 所以0y ∆>所以()kf x 在R 上是增函数．【例9】 研究函数11y x =+的单调区间并画出图象． 【答案】函数11y x =+的单调递减区间为(1)-∞-，，(1)-+∞，． 【例10】 求函数212y x x =++的单调区间．【答案】解：2211172()24y x x x ==++++所以函数的定义域为R 令1y u=，22u x x =++ 因为1y u=在(0)+∞，上单调递减，22u x x =++在1()2-∞-，上单调递减，在1()2-+∞，上单调递增． 所以212y x x =++的单调递增区间是1()2-∞-，，单调递减区间是1()2-+∞，． 【例11】讨论函数y =的单调性．【答案】由2230x x +-≥，得1x ≥或3x ≤-．所以函数定义域为(3][1)-∞-+∞，，令y =223u x x =+-，由复合函数单调性判断法则，得y =在(3]-∞-，上单调递减，在[1)+∞，上单调递增．【例12】 设函数()(21)f x a x b =-+是R 上的减函数，则a 的范围为（ )A ．12a ≥B ．12a ≤C ．12a >-D ．12a <【答案】D【例13】 已知函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(4]-∞，上是减函数，求a 的取值范围 【答案】(3]-∞-，【例14】 函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞）是单调函数，则b 的取值范围是（ ）A ．0b ≥B ．0b ≤C ．0b >D ．0b <【答案】A【例15】 下列四个函数中，在(0)+∞，上为增函数的是（ ）A ．()3f x x =-B ．2()3f x x x =-C ．1()1f x x =-+ D ．()f x x =-【答案】C【例16】 若函数211()11x x f x ax x ⎧-≥=⎨-<⎩，，在R 上是单调递增函数，则a 的取值范围【答案】(01]，【例17】 已知函数()f x 在R 上是减函数，且(21)(2)f a f a +>--，则a 的取值范围是【答案】(1)-∞-，【例18】 已知定义在[23]-，上的减函数()f x 满足(1)(23)f a f a +>+，则a 的取值范围是【答案】(20]-，【例19】 已知()f x 在区间(,)-∞+∞上是减函数，,a b R ∈且0a b +≤，则下列表达正确的是（ ）A ．()()[()()]f a f b f a f b +≤-+B ．()()()()f a f b f a f b +≤-+-C ．()()[()()]f a f b f a f b +≥-+D ．()()()()f a f b f a f b +≥-+-【答案】D【例20】 若()f x 是R 上的减函数，且()f x 的图象经过点(03)A ，和点(31)B -，，则不等式|(1)1|2f x +-<的解集为（ ）．A ．(3)-∞，B ．(2)-∞，C ．(03)，D ．(12)-，【答案】C【例21】 求下列函数的最大值与最小值（1）()1[12]f x x x =-+∈-，， （2）1()[31]f x x x-=∈--，， （3）2()21[03]f x x x x =-++∈，， （4）[]2()114f x x x x =+-∈，， （5）1()[25]1f x x x =∈-，， （6）21()[35]1x f x x x -=∈+，， 【答案】（1）()f x 最大值为2，最小值为1-；（2）()f x 最大值为1，最小值为13；（3）()f x 最大值为2，最小值为2-； （4）()f x 最大值为19，最小值为1； （5）()f x 最大值为1，最小值为14； （6）()f x 最大值为32，最小值为54； 【例22】 讨论下列函数的最大值与最小值（1）2()21[11]f x x ax x =-+∈-，，，a ∈R（2）2()21f x x x =+-，[11]x a a ∈-+，，a ∈R 【答案】（1）当1a ≤-时，()f x 最大值为22a -，最小值为22a +；当10a -<≤时，()f x 最大值为22a -，最小值为21a -； 当01a <<时，()f x 最大值为22a +，最小值为21a -； 当1a ≥时，()f x 最大值为22a +，最小值为22a -．（2）当2a ≤-时，()f x 最大值为22a -，最小值为242a a ++； 当21a -<<-时，()f x 最大值为22a -，最小值为2-； 当10a -≤<时，()f x 最大值为242a a ++，最小值为2-； 当0a ≥时，()f x 最大值为242a a ++，最小值为22a -．知识总结二、 函数单调性的定义1、改变量：在函数()y f x =的图象上任取两点1122(,),(,)A x y B x y ，记21,x x x ∆=-2121()()y f x f x y y ∆=-=-．则x ∆表示自变量x 的改变量，y ∆表示因变量y 的改变量． 2、增函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆．如果取区间M 中的任意两个12,x x ， 改变量210x x x ∆=->，2121()()0y f x f x y y ∆=-=->，则称函数()y f x =在区间M 上是增函数． 如图所示：3、减函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆．如果取区间M 中的任意两个12,x x ，改变量210x x x ∆=->，21()()0y f x f x ∆=-<，则称函数()y f x =在区间M 上是减函数． 如图所示：4、单调性：如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性．区间M 称为单调区间．二、 用定义法证明函数单调性的一般步骤1、取值：即设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <，210x x x ∆=->2、作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．3、定号：确定21()()y f x f x ∆=-的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．4、下结论：根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间． 三、函数的平均变化率因变量的改变量与自变量的改变量的比即2121y y y x x x -∆=∆-叫做函数()y f x =从1x 到2x 之间的平均变化率． 三、 重要结论：1、若在区间M 上函数()y f x =是增函数，12x x <⇔12()()f x f x <12(,)x x M ∈；若在区间M 上函数()y f x =是减函数，12x x <⇔12()()f x f x >．12(,)x x M ∈ 2、在区间M 上函数()y f x =是增函数⇔0yx∆>∆； 在区间M 上函数()y f x =是减函数⇔0y x∆<∆ 四、 特殊函数的单调性1、一次函数(0)y kx b k =+≠，0k y kx b >⇔=+为增函数；0k y kx b <⇔=+为减函数．2、反比例函数(0)k y k x =≠，0kk y x>⇔=在区间(,0),(0,)-∞+∞上为减函数；0kk y x<⇔=在区间(,0),(0,)-∞+∞上为增函数． 想一想：能说(0)ky k x =>在区间(,0)(0,)-∞+∞上为减函数吗？说明理由．3、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，0a >⇔2y ax bx c =++在区间(,)2b a --∞上为减函数，在区间(,)2ba-+∞上为增函数．0a <⇔2y ax bx c =++在区间(,)2b a --∞上为增函数，在区间(,)2ba-+∞上为减函数． 4、函数y x a =-在区间(,)a -∞上为减函数，在区间(,)a +∞上为增函数． 5、对勾函数1y x x=+在区间(),1,(1,)-∞-+∞上为增函数，在区间(1,0),(0,1)-上为减函数； 一般地，对勾函数(0)ky x k x=+>在区间(,)-∞+∞上为增函数，在区间(上为减函数；6、对于复合函数(())y f g x =，其中()y f u =称为外函数，()u g x =称为内函数．当内外函数单调性相同时，(())y f g x =为增函数; 当内外函数单调性相反时，(())y f g x =为减函数．五、 函数的最值1、函数的最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤;（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值（maximum value ）2、函数的最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥; （2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值（minimum value ）【题1】 已知函数41 1.()5 1.x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩，，则()f x 的递减区间是（ ）A ．[1)+∞，B ．(1)-∞，C ．(0)+∞，D ．(1]-∞，【答案】B【题2】函数y =的单调递增区间为（ ） A ．(2]-∞-，B ．[52]--，C ．[21]-，D ．[1)+∞，【答案】B【题3】 求证：函数3()f x x x =--在()-∞+∞，上为减函数． 【答案】证：任取12()x x ∈-∞+∞，，，且12x x < 210x x x ∆=->33332122111212()()y f x f x x x x x x x x x ∆=-=--++=-+-2222222121122121211221213()()()()(1)()[()1]024x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++-=-+++=-+++< 所以3()f x x x =--在()-∞+∞，上是减函数． 【题4】 已知函数()f x 在[2)+∞，上是减函数，试比较(2)f ，2(3)f x +的大小 【答案】(2)f >2(3)f x +【题5】 求函数2()241f x x x =-+-在区间[12]-，上的值域． 课后巩固【答案】[71]-，【题6】 求函数4y x x=+在区间[24]，上的最大值与最小值． 【答案】4y x x=+最大值是5，最小值是4．【题1】 函数223y x x =+-在区间[30]-，上的值域为（ ） A ．[43]--，B ．[40]-，C ．[30]-，D ．[04]，【答案】B【题2】 若函数21()232f x x x =-+在[0]m ，有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是____． 【答案】[24]，【题3】 用单调性定义证明函数1()g x x=在(0,)+∞上单调递减． 【答案】证：任取12(0)x x ∈+∞，，，且12x x < 210x x x ∆=->1221211211()()0x x y g x g x x x x x -∆=-=-=< 所以1()g x x=在(0,)+∞上是单调递减． 【题4】 已知函数()1xf x x =-． （I ）证明：对于定义域中任意的x 均有(1)(1)2f x f x ++-=；（II ）用函数单调性的定义证明函数()f x 在(1)+∞，上是减函数． 【答案】（I ）证：1111(1)(1)21111x x x xf x f x x x x x+-+-++-=+=-=+---（II ）证：任取12(1)x x ∈+∞，，，且12x x < 210x x x ∆=->期中对接212121211221212121()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x y f x f x x x x x x x --+-∆=-=-==------ 因为121x x <<所以120x x -<，110x ->，210x -> 所以0y ∆<所以函数()f x 在(1)+∞，上是减函数． 【题5】 已知函数2()41f x ax x =--．（Ⅰ）若2a =时，求当[03]x ∈，时，函数()f x 的值域；（Ⅱ）若2a =，当(01)x ∈，时，(1)(21)0f m f m ---<恒成立，求m 的取值范围； （Ⅲ）若a 为非负数，且函数()f x 是区间[03]，上的单调函数，求a 的取值范围．【答案】19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当时，所以在上单调递减；在上单调递增． 所以的最小值是 又因为，， 所以的值域是（Ⅱ）因为，所以由（Ⅰ）可知：在上单调递减． 因为当时，恒成立，可得解得所以的取值范围是2a =()()2224121 3.f x x x x =--=--()f x []0,1(]1,3()f x ()1 3.f =-()01f =-()35f =()f x []3,5.-2a =()f x []0,1()0,1x ∈()()1210f m f m ---<121,011,0211,m m m m ->-⎧⎪<-<⎨⎪<-<⎩12.23m <<m 12.23m <<（Ⅲ）因为，①当时， 所以在上单调递减．②当时，因为在上的单调函数，可得解得 由①、②可知，的取值范围是揭示星期几的奥秘公元321年3月7日，古罗马皇帝君士坦丁，正式宣布采用“星期制”，规定每一星期为七天，第一天为星期日，尔后星期一、星期二直至星期六，尔后再回到星期日，如此永远循环下去！君士坦丁大帝还规定，宣布的那天日子为星期一．一星期为什么定为七天？这大约是出自月相变化的缘故．天空中再没有别的天象变化得如此明显，每隔七天便一改旧貌！另外，“七”这个数，恰与古代人已经知道的日、月、金、木、水、火、土七星的数目巧合，因此在古代神话中就用一颗星作为一日的保护神，“星期”的名称也因之而起．我想读者一定很想知道历史上的某一天是星期几的奥秘！为了揭开这个奥秘，我们先从闰年的设置讲起．我们知道：一个回归年不是恰好365日，而是365日5小时48分46秒，或365．2422日．为了防止这多出的0．2422日积累起来，造成新年逐渐往后推理．因此我们每隔4年时间便设置一个闰年，这一年的二月从普通的28天改为29天．这样，闰年便有366天．不过，这样补来也不刚好，每百年差不多又多补了一天．因此又规定，遇到年数为“百年”的不设闰，扣它回来！这就是常说的“百年24闰”．但是，百年扣一天闰还是不刚好，又需要每四百年再补回来一天．因此又规定，公元年数为400倍数者设闰．就这么补来扣去，终于补得差不多刚好了！例如，1976、1988这些年数被4整除的年份为闰年；而1900、2100这些年则不设闰；2000年的年数恰能被400整除，又要设闰，如此等等．()241f x ax x =--0a =()4 1.f x x =--()f x []0,30a >()224 1.f x a x a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()f x []0,3220,3,0,aa a ⎧≤≥⎪⎨⎪>⎩或20.3a <≤a 20,.3⎡⎤⎢⎥⎣⎦数学文化闰年的设置，无疑增加了我们对星期几推算的难度．为了揭示关于星期几的奥秘，我们还要用到一个简单的数学工具——高斯函数：[]y x =．这里[]x 表示不超过数x 的最大整数．利用高斯函数，我们可以根据设闰的规律，推算出在公元x 年第y 天是星期几．这里变量x 是公元的年数；变量y 是从这一年的元旦，算到这一天为止（包含这一天）的天数．历法家已经为我们找到了这样的公式：1111[][][]4100400x x x S x y ---=-+-++ 设上式求出S 后，除以7，如果恰能除尽，则这一天为星期天；否则余数为几，则为星期几！ 例如，君士坦丁大帝宣布星期制开始的第一天为公元321年3月7日．容易算得：132066x y -=⎧⎨=⎩ 320320320320[][][]664100400S =+-++ 320803066=+-++ 4631(mod7)=≡最后一个式子的符号表示463除以7余1．也就是说，这一天为星期一，这是可以预料到的，因为当初就是这么规定的！又如，我们共和国成立于1949年10月1日：11948274x y -=⎧⎨=⎩ 1948194819481948[][][]2744100400S =+-++1948487194274=+-++26946(mod7)=≡原来，这一普天同庆的日子为星期六．公元2000年1月1日，人类跨进了高度文明的21世纪，那么这一天是星期几呢？119991x y -=⎧⎨=⎩1999199919991999[][][]14100400S =+-++199********=+-++=≡24846(mod7)计算表明：这一天也是星期六！。
函数单调性在高考中的应用归纳总结教师版
函数单调性在高考中的应用归纳总结教师版
一、在高考中函数的单调性的应用
1、函数的单调性应用于判断方程或不等式的解的存在性。
当函数
f(x)在[a,b]上单调递增或单调递减时，有f(a)≤f(x)≤f(b)，可以得出
f(x)=0的解x在[a,b]上存在。
2、用函数的单调性来判断函数极值问题。
一个函数在[a,b]上单调递
增或单调递减，f(a)≤f(x)≤f(b)。
在[a,b]上存在极值点，即函数取得
最大值或最小值的点。
3、利用函数的单调性求解一元函数最值问题。
若函数f(x)在(a,b)
上连续且单调递增或单调递减，则函数f(x)在(a,b)上一定存在最大值和
最小值，且最大值或最小值一定取得上界或下界处。
4、用函数的单调性解答解析几何问题。
在求解解析几何中，有时要
利用函数f(x)的单调性来解决函数的最值问题。
比如求椭圆上的最小值
问题，由函数的单调性可以知道它的最小值是函数的上界或下界处取得的。
二、单调性在高考中的易错点
1、在判断函数的单调性时，不能仅依靠函数图像进行判断。
例如，
函数f(x)的图像如果在其中一区间内存在拐点，则该区间内函数一定是
不单调的；反之，函数图像上如果没有拐点，函数仍然可能是不单调的。
2、当函数中存在分段函数时，需要对每一段函数都进行单调性的判断。
3.2 函数的单调性-(必修第一册) (教师版)
函数的单调性1 函数单调性的概念一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，区间D∈I:如果∀x1 ,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上单调递增(图①).特别地，当函数f(x)在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.如果∀x1 ,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上单调递减(图②).特别地，当函数f(x)在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.Eg：y=1在(0,+∞)上单调递减，但它不是减函数，x特别注意它的减区间是(0,+∞),(−∞,0)，不是(0,+∞)∪(−∞,0).2 单调性概念的拓展①若y=f(x)递增，x2>x1，则f(x2)>f(x1).比如：y=f(x)递增，则f(a2 )≥f(0).②若y=f(x)递增，f(x2)≥f(x1)，则x2≥x1.比如：y=f(x)递增 ,f(1−m)≥f(n) , 则1−m≥n.y=f(x)递减，有类似结论！3 判断函数单调性的方法①定义法解题步骤(1) 任取x1 ,x2∈D，且x1<x2；(2) 作差f(x1)－f(x2)；(3) 变形(通常是因式分解和配方)；(4) 定号(即判断差f(x1)－f(x2)的正负)；(5) 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．②数形结合③性质法增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；但增函数×增函数不一定是增函数，比如y=x，y=x−2均是增函数，而y=x(x−2)不是.④复合函数的单调性(1)如果y=f(u)(u∈M) ,u=g(x)(x∈A) , 则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数；比如：F(x)=1x2+x (f(u)=1u和g(x)=x2+x的复合函数)；F(x)=√1−2x (f(u)=√u和g(x)= 1−2x的复合函数)；F(x)=21x(f(u)=2u和g(x)=1x的复合函数).(2) 同增异减设函数u=g(x)(x∈A)的值域是M，函数y=f(u)(u∈M) ,若y=f(u),u=g(x)在各自区间单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递增；若y=f(u) ,u=g(x)在各自区间单调性不同，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递减.4 函数的最值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1) ∀x∈I，都有f(x)≤M；(2) ∃x0∈I，使得f(x0)=M；那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.(最小值类似定义)简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.【题型一】对函数单调性的理解【典题1】函数y=f(x)在R是增函数，若a+b≤ 0，则有( )A.f(a)+f(b)≤−f(a)−f(b)B. f(a)+f(b)≥−f(a)−f(b)C.f(a)+f(b)≤ f(−a)+f(−b)D. f(a)+f(b)>f(−a)+f(−b)【解析】∵a＋b≤0 ,∴a≤−b ,b≤−a又∵函数f(x)在R上是增函数，∴f(a)≤f(−b) ,f(b)≤f(−a)．∴f(a)＋f(b)≤f(−a)＋f(－b)．故选C.【典题2】已知函数f(x)在R上是单调函数，且对任意x∈R，都有f(f(x)−2x)=3，则f(3)的值等于 .【解析】∵ 函数f(x)在R 上是单调函数∴可设f (x )−2x =t (t 是个常数)，则f(x)=2x +t ； ∴f (t )=2t +t =3；∵f(t)在R 上单调递增，∴只有t =1时对应的函数值是3，即f(1)=3； ∴f(x)=2x +1；∴f(3)=9．【点拨】函数若是单调函数，即函数是“一一对应”的关系，一个x 对应一个y ，所以题目中“f(x)－2x ”只能是个常数. 巩固练习1(★★) 设a ∈R ，函数f(x)在区间(0 ,+∞)上是增函数，则( ) A ．f(a 2+a +2)>f(74) B ．f(a 2+a +2)<f(74) C ．f(a 2+a +2)≥f(74) D ．f(a 2+a +2)≤f(74)【答案】 C【解析】根据题意，a 2+a +2=(a +12)2+74≥74，又由函数f(x)在区间(0，+∞)上是增函数，则有f(a 2+a +2)≥f(74)； 故选：C ．2(★★) 已知f(x)是定义在[0 ,+∞)上单调递增的函数，则满足f(2x −1)<f(13)的x 取值范围是 . 【答案】[12 ,23)【解析】∵f(x)是定义在[0，+∞)上单调递增的函数，∴不等式f(2x −1)<f(13)等价为0≤2x －1<13，即12≤x <23，即不等式的解集为[12，23)，【题型二】 判断函数单调性的方法 方法1 定义法【典题1】判断f(x)=x +4x 在(0 ,2) ,(2 ,+∞)的单调性.【解析】设0<x1<x2 ,则y1−y2=(x1+4x1)−(x2+4x2)=(x1−x2)+(4x1−4x2)=(x1−x2)+4(x2−x1)x1x2=(x1−x2)(1−4x1x2)(因式分解方便判断差y1−y2的正负)(1) 假如0<x1<x2<2 , 则0<x1 x2<4 ⇒4x1x2>1⇒1−4x1x2<0 ,又 x1−x2<0 , 所以y1−y2>0 ⇒y1>y2 , 故函数单调递减；(2) 假如2<x1<x2 , 则x1 x2>4⇒4x1x2<1 ⇒1−4x1x2>0 ,又x1−x2<0 , 所以y1−y2<0⇒y1<y2 , 故函数单调递增；所以函数在(0 ,2)内单调递减，在(2 ,＋∞)内单调递增．【点拨】利用定义法证明函数的单调性，注意熟练掌握解题的步骤：设元—作差—变式—定号—下结论.方法2 数形结合【典题2】函数f(x)=x1−x的单调增区间是()A.(−∞ ,1)B.(−∞ ,1)∪(1 ,+∞)C .(−∞ ,1) ,(1 ,+∞)D .(−∞ ,−1) ,(−1 ,+∞)【解析】f(x)=−(1−x)+11−x =−1+11−x=−1x−1−1;(分离常数法)∴f(x)的图象是由y=−1x的图象沿x轴向右平移1个单位，然后沿y轴向下平移1个单位得到, 如下图∴f(x)的单调增区间是(－∞ ,1) ,(1 ,＋∞)．故选C．(切勿选B)【点拨】①本题先利用分离常数法，再利用函数的平移变换得到函数的图像从而得到函数单调性.②利用数形结合的方法，平时需要多注意函数图像的变换，包括平移变换、对称变换、翻转变换等. 方法3 复合函数的单调性【典题3】函数f(x)=√x2+4 x−12 的单调减区间为.【解析】函数f(x)=√x2+4 x−12是由函数f(u)=√u和u(x)=x2+4 x−12组成的复合函数，∵x2+4 x−12≥0 , ∴函数y=f(x)的定义域是x≤−6或x≥2(优先考虑定义域，否则容易选B)由二次函数图像易得u(x)=x2+4 x−12在(−∞ ,−6]单调递减，在[2 ,＋∞)单调递增，而f(u)=√u在u≥0是单调递增，由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数f(x)的单调减区间(−∞,−6]．【点拨】①研究函数的基本性质，优先考虑定义域；②研究复合函数，要弄清楚它由什么函数复合而成的.巩固练习1(★)下列四个函数在(−∞,0)是增函数的为()A．f(x)=x2+4B．f(x)=1−2xC．f(x)=−x2−x+1D．f(x)=2−3x【答案】D【解析】对于A：f(x)＝x2+4，二次函数，开口向上，对称轴为y轴，在(－∞，0)是减函数，故A不对．对于B：f(x)＝1－2x，一次函数，k<0，在(－∞，0)是减函数，故B不对．对于C：f(x)＝－x2－x+1，二次函数，开口向下，对称轴为x=12，在(－∞，12)是增函数，故C不对．对于D：f(x)＝2−3x，反比例类型，k<0，在(－∞，0)是增函数，故D对．故选：D．2(★)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是() A．y=1f(x)在R上为减函数B．y=|f(x)|在R上为增函数C．y=−1f(x)在R上为增函数 D．y=−f(x)在R上为减函数【答案】D【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，若f(x)＝x，则y=1f(x)=1x，在R上不是减函数，A错误；对于B，若f(x)＝x，则y＝|f(x)|＝|x|，在R上不是增函数，B错误；对于C ，若f(x)＝x ，则y =−1f(x)=−1x，在R 上不是增函数，C 错误； 对于D ，函数f(x)在R 上为增函数，则对于任意的x 1、x 2∈R ，设x 1<x 2，必有f(x 1)<f(x 2)，对于y ＝－f(x)，则有y 1－y 2＝[－f(x 1)]－[－f(x 2)]＝f(x 2)－f(x 1)>0， 则y ＝－f(x)在R 上为减函数，D 正确； 故选：D ．3(★) 函数f(x)=x|x −2|的递减区间为 ． 【答案】(1 ,2)【解析】当x ≥2时，f(x)＝x(x －2)＝x 2－2x ，对称轴为x ＝1，此时f(x)为增函数，当x <2时，f(x)＝－x(x －2)＝－x 2+2x ，对称轴为x ＝1，抛物线开口向下，当1<x <2时，f(x)为减函数，即函数f(x)的单调递减区间为(1，2)， 故选：C ．4(★) 函数y =√x 2+3x 的单调递减区间为 ． 【答案】 (−∞ ,−3]【解析】由题意，x 2+3x ≥0，可得x ≥0或x ≤－3， 函数的定义域为(－∞，－3]∪[0，+∞)， 令t ＝x 2+3x ，则y =√t 在[0，+∞)上单调递增，∵t ＝x 2+3x ，在(－∞，－3]上单调递减，在[0，+∞)上单调递增， ∴函数y =√x 2+3x 的单调递减区间为(－∞，－3]，5(★★) 函数f(x)=|(12)x−2|的单调递增区间为 ．【答案】 [−1,+∞)【解析】作出函数f(x)＝|(12)x－2|的图象如图，由图可知，函数f(x)的增区间为[－1，+∞)． 6(★★★) 已知函数f (x )=x −ax 在定义域[1,20]上单调递增 (1)求a 的取值范围；(2)若方程f (x )=10存在整数解，求满足条件a 的个数. 【答案】 (1)a ≥−1 (2)11个【解析】(1)任取∈21,x x []20,1，且21x x < 则)1)(())(()()()()(2121212*********x x ax x x x x x a x x x a x x a x x f x f +-=-+-=---=- 21x x <，则021<-x x ，因为函数在定义域上单调递增 所以0)()(21<-x f x f ，在[]20,1上恒成立， 所以0121>+x x a，在[]20,1上恒成立，21x x a ->，21x x -1-<，所以1a ≥-。
2020年高一上学期数学人教旧版必修一(全)：函数的单调性-《讲义教师版》
函数的单调性知识集结知识元利用定义判断函数单调性知识讲解1.定义一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．2.单调区间若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间.单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．3.定义变式设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①⇔f（x）在[a，b]上是增函数；⇔f（x）在[a，b]上是减函数．②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．例题精讲利用定义判断函数单调性例1.如果函数f（x）＝（12﹣a）x在实数集R上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．（0，12）B．（12，＋∞）C．（﹣∞，12）D．（﹣12，12）【解析】题干解析:∵函数f（x）＝（12﹣a）x在实数集R上是减函数，∴12﹣a＜0，∴a＞12，故选：B．例2.函数f（x）＝（k＋1）x＋b在实数集上是增函数，则有（）A．k＞1B．k＞﹣1C．b＞0 D．b＜0【答案】B【解析】题干解析:例3.函数①y＝|x|；②y＝；③y＝；④y＝x＋在（﹣∞，0）上为增函数的有（填序号）．【答案】④【解析】题干解析:①y＝|x|＝，所以该函数在（﹣∞，0）上单调递减；②y＝，所以该函数在（﹣∞，0）上是常数函数，不具有单调性；③，所以该函数在（﹣∞，0）上单调递减；④y＝x＋，所以该函数在（﹣∞，0）上为增函数；∴在（﹣∞，0）上为增函数的有④．故答案为：④．例4.下列四个命题：（1）f（x）＝1是偶函数；（2）g（x）＝x3，x∈（﹣1，1]是奇函数；（3）若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则H（x）＝f（x）•g（x）一定是奇函数；（4）函数y＝f（|x|）的图象关于y轴对称，其中正确的命题个数是（）【解析】题干解析:（1）f（﹣x）＝f（x）＝1，故结论正确；（2）定义域不关于原点对称，一定是非奇非偶函数，故假命题；（3）H（﹣x）＝f（﹣x）•g（﹣x）＝﹣f（x）•g（x）＝﹣H（x），故结论正确；（4）f（|﹣x|）＝f（|x|），函数y＝f（|x|）是偶函数，图象关于y轴对称，结论正确；故选C例5.已知y＝f（x）（x∈R）为奇函数，则在f（x）上的点是（）【解析】题干解析:因为奇函数的图象关于原点对称，且f（﹣x）＝﹣f（x），故f（﹣a）＝﹣f （a）．即在f（x）上的点是（﹣a，﹣f（a））．故选C．例6.如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．y＝x＋f（x）B．y＝xf（x）C．y＝x2＋f（x）D．y＝x2f（x）【解析】题干解析:∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）．对于A，g（﹣x）＝﹣x＋f（﹣x）＝﹣x﹣f（x）＝﹣g（x），∴y＝x＋f（x）是奇函数．对于B，g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝xf（x）＝g（x），∴y＝xf（x）是偶函数．对于C，g（﹣x）＝（﹣x）2＋f（﹣x）＝x2﹣f（x），∴y＝x2＋f（x）为非奇非偶函数，对于D，g（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝﹣x2f（x）＝﹣g（x），∴y＝x2f（x）是奇函数．故选B．通过图象平移得到新函数图象得到单调区间知识讲解1.图象的平移：左加右减（x的变化），上加下减（函数值y的变化）2.图象的对称性：奇偶性3.图象的翻折：含有绝对值的函数图象的画法例题精讲通过图象平移得到新函数图象得到单调区间例1.函数f（x）=x2﹣|x|的单调递减区间是．【答案】（﹣∞，﹣]和[0，）【解析】题干解析:，，当，∴其图象关于y轴对称，作图如下：∴函数f（x）=x2﹣|x|的单调递减区间是（﹣∞，﹣]和[0，）．故答案为：（﹣∞，﹣]和[0，）．例2.函数y＝|x|的单调递增区间为．【答案】（0，＋∞）【解析】题干解析:函数y＝|x|的零点为x＝0，其图象如下，通过图象可知，函数单调递增区间为（0，＋∞）．故答案为：（0，＋∞）．例3.函数y＝|x|﹣1的减区间为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，﹣1）C．（0，＋∞）D．（﹣1，＋∞）【解析】题干解析:由题意y＝x﹣1是一次函数，将图象右边翻折到左边，去掉原来左边图形可得y＝|x|﹣1图象．由图象可知：函数y＝|x|﹣1的减区间为（﹣∞，0），故选A．例4.函数y＝|x﹣1|的递增区间是．【答案】[1，＋∞）【解析】题干解析:函数y＝|x﹣1|的图象如图所示：数形结合可得函数的增区间为[1，＋∞），故答案为：[1，＋∞）．备选题库知识讲解本题库作为知识点“函数单调性的定义”的题目补充.例题精讲备选题库例1.（2020春∙沙坪坝区校级期中）下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上是增函数的是（）A．f（x）=sin x B．f（x）=e x+e-xC．f（x）=x3+x D．f（x）=xlnx【解析】题干解析:A．f（x）=sin x在（0，+∞）上不是单调函数，不满足条件。
人教版高数必修一第5讲：函数的单调性(教师版)
函数的单调性__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 通过已学过的函数模型，特别是二次函数，理解函数的单调性；2、 掌握单调性的判断方法，并能简单应用；一、函数单调性的定义1、图形描述：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上，若其图像为从左到右的一条上升的曲线，我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递增函数；若其图像为从左到右的一条下降的曲线，我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递减函数。
2、定量描述对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ， （1）若当1x <2x 时，都有1()f x <)(2x f ,则说)(x f 在区间D 上是增函数； （2）若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在区间D 上是减函数。
3、单调性与单调区间若函数y =)(x f 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。
此时也说函数是这一区间上的单调函数。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
特别提醒：1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。
有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =（图1），当[)0,x ∈+∞时是增函数，当(],0x ∈-∞时是减函数。
而有的函数在整个定义域上都是单调的。
2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、21,x x 应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。
《函数的单调性》优秀教案
课题：函数的单调性（一）教材：苏教版必修（1）扬州大学附属中学陆萍一、教材分析1、教材内容本节课是苏教版第二章《函数概念和基本初等函数Ⅰ》§2．1．3函数简单性质的第一课时，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用定义解决一些简单问题．2、教材所处地位、作用函数的性质是研究函数的基石，函数的单调性是首先研究的一个性质．通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的概念、掌握证明函数单调性的步骤，并能运用单调性知识解决一些简单的实际问题．通过上述活动，加深对函数本质的认识．函数的单调性既是学生学过的函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性的基础．此外在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一．从方法论的角度分析，本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法．3、教学目标（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法；（2）过程与方法：从实际生活问题出发，引导学生自主探索函数单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，让学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．（3）情感态度价值观：让学生体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质．4、重点与难点教学重点（1）函数单调性的概念；（2）运用函数单调性的定义判断一些函数的单调性．教学难点（1）函数单调性的知识形成；（2）利用函数图象、单调性的定义判断和证明函数的单调性．二、教法分析与学法指导本节课是一节较为抽象的数学概念课，因此，教法上要注意：1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发了学生求知欲，调动了学生主体参与的积极性．2、在运用定义解题的过程中，紧扣定义中的关键语句，通过学生的主体参与，逐个完成对各个难点的突破，以获得各类问题的解决．3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达．4、采用投影仪、多媒体等现代教学手段，增大教学容量和直观性．在学法上：1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力．2、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃．教学环节教学过程设计意图问题情境（播放中央电视台天气预报的音乐）如图为宿迁市2021年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：问题1 怎样描述气温随时间增大的变化情况？问题 2 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？问题3 在区间［4，16］上，气温是否随时间增大而增大？从学生熟悉的生活情境引入，让学生对函数单调性产生感性认识，为引出单调性的定义打好基础，有利于定义的自然生成，也揭示了单调性最本质的东西．教学设计说明本节课是一节概念课．函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一．另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达．围绕以上两个难点，在本节课的处理上，我着重注意了以下几个问题：1、重视学生的亲身体验．具体体现在两个方面：①将新知识与学生的已有知识建立了联系．如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识，学生对“随的增大而增大”的理解；②运用新知识尝试解决新问题．如：对函数1)(+=x xx f 在定义域上的单调性的讨论．2、重视学生发现的过程．如：充分暴露学生将函数图象（形）的特征转化为函数值（数）的特征的思维过程；充分暴露在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程．3、重视学生的动手实践过程．通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义．4、重视课堂问题的设计．通过对问题的设计，引导学生解决问题．。
函数单调性教案函数单调性教学设计(6篇)
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《函数的单调性》教学设计【教材分析】《函数单调性》是高中数学新教材必修一其次章第三节的内容。
在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节内容是高中数学中相当重要的一个根底学问点，是讨论和争论初等函数有关性质的根底。
把握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论根底，还有利于培育学生的抽象思维力量及分析问题和解决问题的力量.【学生分析】从学生的学问上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简洁函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应当连续讨论什么,从各种函数关系中讨论它们的共同属性，应当是顺理成章的。
从学生现有的学习力量看，通过初中对函数的熟悉与试验，学生已具备了肯定的观看事物的力量，积存了一些讨论问题的阅历，在肯定程度上具备了抽象、概括的力量和语言转换力量。
从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述?如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。
函数的单调性是学生从已经学习的函数中比拟简单发觉的一共性质，学生也简单产生共鸣，通过比照产生顿悟，渴望获得这种学习的.积极心向是学生学好本节课的情感根底。
【教学目标】1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念.2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培育学生观看、归纳、抽象的力量和语言表达力量.3．通过学问的探究过程培育学生细心观看、仔细分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经受从详细到抽象，从特别到一般，从感性到理性的认知过程．【教学重点】函数单调性的概念.【教学难点】从形与数两方面理解函数单调性的概念.【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．【教学手段】计算机、投影仪．【教学过程】教学根本流程1、视频导入------营造气氛激发兴趣2、直观的熟悉增（减）函数-----问题探究3、定量分析增（减）函数）-----归纳规律4、给出增（减）函数的定义------展现结果5、微课教学设计函数的单调性定义重点强调 ------ 稳固深化 7、课堂收获 ------提高升华（一）创设情景，提醒课题1．钱江潮，自古称之为“天下奇观”。
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函数的单调性__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 通过已学过的函数模型，特别是二次函数，理解函数的单调性；2、 掌握单调性的判断方法，并能简单应用；一、函数单调性的定义1、图形描述：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上，若其图像为从左到右的一条上升的曲线，我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递增函数；若其图像为从左到右的一条下降的曲线，我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递减函数。
2、定量描述对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ， （1）若当1x <2x 时，都有1()f x <)(2x f ,则说)(x f 在区间D 上是增函数； （2）若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在区间D 上是减函数。
3、单调性与单调区间若函数y =)(x f 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。
此时也说函数是这一区间上的单调函数。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
特别提醒：1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。
有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =（图1），当[)0,x ∈+∞时是增函数，当(],0x ∈-∞时是减函数。
而有的函数在整个定义域上都是单调的。
2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、21,x x 应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。
二、用定义证明函数的单调性：定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是： 1、取量定大小：即设21,x x 是区间上的任意两个实数，且1x <2x ；2、作差定符号：即()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；3、判断定结论： 即根据定义得出结论。
三、判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论 1、函数()y f x =-与函数()y f x =的单调性相反 2、当()f x 恒为正或恒为负时，函数()1y f x =与函数()y f x =的单调性相反 3、在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数。
四、复合函数单调性的判断对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性，当),(b a x ∈时，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性，则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有以上规律还可总结为：“同增异减”。
类型一用定义证明函数的单调性例1：证明：函数f (x )＝2x 2＋4x 在(－∞，－1]上是减函数． 解析：设x 1<x 2≤－1，则Δx ＝x 2－x 1>0， Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝(2x ＋4x 2)－(2x ＋4x 1) ＝2(x －x )＋4(x 2－x 1) ＝2(x 2－x 1)(x 1＋x 2＋2)．∵x 1<x 2≤－1，x 1＋x 2＋2<0，∴Δy <0. ∴f (x )在(－∞，－1]上是减函数． 答案：见解析练习1：证明函数f (x )＝－x 在定义域上是减函数答案：设x 1、x 2是[0，＋∞)内的任意两个实数，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0， Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝－x 2－(－x 1)＝x 1－x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2.∵x 1－x 2＝－Δx <0，x 1＋x 2>0，Δy <0. ∴f (x )＝－x 在[0，＋∞)上是减函数．练习2： 设函数f(x)=,用单调性定义证明在（-1，+ ）上是减函数。
答案：设任意x 1∈(－1，＋∞)，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2.f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋2x 2＋1－x 1＋2x 1＋1＝x 1－x 2x2＋1x 1＋1类型二 证明含参数的函数的单调性 例2：已知函数f (x )＝axx 2－1(a 为常数且a ≠0)，试判断函数f (x )在(－1,1)上的单调性．解析 任取x 1、x 2，使得－1<x 1<x 2<1， 则Δx ＝x 2－x 1>0. Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝a x 1x 2＋1x 1－x 2x 21－1x 22－1，∵－1<x 1<x 2<1，∴x 1x 2＋1>0，x 21－1<0，x 22－1<0，∴x 1x 2＋1x 1－x 2x 21－1x 22－1<0，∴当a >0时，f (x 2)－f (x 1)<0，故此时函数f (x )在(－1,1)上是减函数， 当a <0时，f (x 2)－f (x 1)>0， 故此时f (x )在(－1,1)上是增函数．综上所述，当a >0时，f (x )在(－1,1)上为减函数， 当a <0时，f (x )在(－1,1)上为增函数． 答案：增函数．练习1：判断函数f (x )＝ax(a 为常数且a ≠0)在(0，＋∞)上的单调性．答案：当a >0时， f (x )在(0，＋∞)上是减函数，当a <0时， f (x )在(0，＋∞)上是增函数．练习2：判断函数()()20x af x a x-+=>在(),0-∞上的单调性答案：单调递减函数类型三 证明抽象函数的单调性例3：已知函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (x )<0(x >0)，试判断F (x )＝1f x在(0，＋∞)上的单调性，并证明．解析：F(x)在(0，＋∞)上为减函数．下面给出证明：任取x1、x2∈(0，＋∞)，且Δx ＝x2－x1>0. ∵Δy ＝F (x 2)－F (x 1)＝1f x 2－1f x 1＝f x 1－f x 2f x 2f x 1，又y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且Δx ＝x 2－x 1>0， ∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)， ∴f (x 1)－f (x 2)<0.而f (x 1)<0，f (x 2)<0，∴f (x 1)f (x 2)>0， ∴F (x 2)－F (x 1)<0，∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数． 答案：减函数练习1：已知函数y ＝f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(x)<0(x>0)，试判断F(x)＝f ²(x)在(0，＋∞)上的单调性，并证明答案：增函数练习2： 函数f(x)＝x ²＋2x ＋3在[－1，＋∞)的单调性为____ 答案：增函数。
类型四 求函数的单调区间例4：求函数y ＝x ＋1x，x ∈(0，＋∞)的单调区间，并画出函数的大致图象．解析：设x 1、x 2是任意两个不相等的正数，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0， Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝(x 2＋1x 2)－(x 1＋1x 1)＝(x 2－x 1)＋x 1－x 2x 1x 2＝(x 2－x 1)x 1x 2－1x 1x 2.由于0<x 1<x 2，则x 2－x 1＝Δx >0，x 1x 2>0， 当x 1、x 2∈(0,1]时，有x 1x 2－1<0，此时Δy <0； 当x 1、x 2∈(1，＋∞)时，有x 1x 2－1>0，此时Δy >0，即函数y ＝x ＋1x，x ∈(0，＋∞)的单调减区间(0,1]，单调增区间是(1，＋∞)．函数的大致图象如图所示．答案：单调减区间(0,1]，单调增区间是(1，＋∞)。
练习1：求函数f (x )＝11－x 的单调区间．答案：单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．练习2：函数()211x x y x -=--的单调递减区间是答案： [)1,2和()2,+∞ 。
类型五 利用单调性解不等式例5：已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (a 2－1)，求a 的取值范围． 解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，①－1<a 2－1<1，②1－a >a 2－1，③由①得0<a <2，由②得0<a 2<2，∴0<|a |<2， ∴－2<a <2，且a ≠0.由③得a 2＋a －2<0，即(a －1)(a ＋2)<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0a ＋2<0或⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0a ＋2>0，∴－2<a <1.综上可知0<a <1， ∴a 的取值范围是0<a <1. 答案：0<a <1.练习1：已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围．答案： x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1≤x <32. 练习2：函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，且a 为实数，则有( ) A ．f (a )<f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋1)<f (a )D ．f (a 2－a )<f (a )答案：C ，类型六 用单调性求最值例6: 求f (x )＝x ＋x －1的最小值．解析：f (x )＝x ＋x －1的定义域为[1，＋∞)， 任取x 1、x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，Δx ＝x 2－x 1>0， 则Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝(x 2＋x 2－1)－(x 1＋x 1－1) ＝(x 2－x 1)＋(x 2－1－x 1－1) ＝(x 2－x 1)＋x 2－x 1x 2－1＋x 1－1＝(x 2－x 1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1＋x 2－1.∵Δx ＝x 2－x 1>0,1＋1x 1－1＋x 2－1>0，∴f (x 2)－f (x 1)>0.∴f (x )在[1，＋∞)上为增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝1. 答案：1练习1: 已知f (x )＝1x －1，x ∈[2,6]，求函数f (x )的最大值和最小值． 答案：f (x )max ＝f (2)＝1, f (x )min ＝f (6)＝15.练习2: 函数1y x =+在[]2,2-上的最大值与最小值分别为 。