1函数的单调性(教师版)

函数的单调性

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1、 通过已学过的函数模型，特别是二次函数，理解函数的单调性；

2、 掌握单调性的判断方法，并能简单应用；

一、函数单调性的定义

1、图形描述：

对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上，若其图像为从左到右的一条上升的曲线，我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递增函数；若其图像为从左到右的一条下降的曲线，我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递减函数。

2、定量描述

对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ， （1）若当1x <2x 时，都有1()f x <)(2x f ,则说)(x f 在区间D 上是增函数； （2）若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在区间D 上是减函数。 3、单调性与单调区间

若函数y =)(x f 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

特别提醒：

1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2

x y =（图1），当[)0,x ∈+∞时是增函数，当(]

,0

x ∈-∞时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的。2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、21,x x 应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。

二、用定义证明函数的单调性：

定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是： 1、取量定大小：即设21,x x 是区间上的任意两个实数，且1x <2x ；

2、作差定符号：即()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；

3、判断定结论： 即根据定义得出结论。

三、判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论 1、函数()y f x =-与函数()y f x =的单调性相反 2、当()f x 恒为正或恒为负时，函数()

1

y f x =

与函数()y f x =的单调性相反 3、在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数。

四、复合函数单调性的判断

对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性，当),(b a x ∈时，

),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性，

则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有

以上规律还可总结为：“同增异减”。

类型一用定义证明函数的单调性

例1：证明：函数f (x )＝2x 2

＋4x 在(－∞，－1]上是减函数． 解析：设x 10， Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝(2x ＋4x 2)－(2x ＋4x 1) ＝2(x －x )＋4(x 2－x 1) ＝2(x 2－x 1)(x 1＋x 2＋2)．

∵x 1

练习1：证明函数f (x )＝－x 在定义域上是减函数

答案：设x 1、x 2是[0，＋∞)内的任意两个实数，且x 10， Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝－x 2－(－x 1)＝x 1－x 2

＝

x 1－x 2x 1＋x 2x 1＋x 2＝x 1－x 2

x 1＋x 2.

∵x 1－x 2＝－Δx <0，x 1＋x 2>0，Δy <0. ∴f (x )＝－x 在[0，＋∞)上是减函数．

练习2： 设函数f(x)=

,用单调性定义证明在（-1，+ ）上是减函数。 答案：设任意x 1∈(－1，＋∞)，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1

f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋2x 2＋1－x 1＋2

x 1＋1

＝x 1－x 2

x

2＋1x 1＋1

类型二 证明含参数的函数的单调性 例2：已知函数f (x )＝

ax

x 2

－1

(a 为常数且a ≠0)，试判断函数f (x )在(－1,1)上的单调性．

解析 任取x 1、x 2，使得－10. Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝a x 1x 2＋1

x 1－x 2x 21－1

x 2

2

－1

，

∵－1

∴x 1x 2＋1>0，x 2

1－1<0，x 2

2－1<0，

∴

x 1x 2＋1x 1－x 2

x 21－1x 22－1

<0，

∴当a >0时，f (x 2)－f (x 1)<0，

故此时函数f (x )在(－1,1)上是减函数， 当a <0时，f (x 2)－f (x 1)>0， 故此时f (x )在(－1,1)上是增函数．

综上所述，当a >0时，f (x )在(－1,1)上为减函数， 当a <0时，f (x )在(－1,1)上为增函数． 答案：增函数．

练习1：判断函数f (x )＝a

x

(a 为常数且a ≠0)在(0，＋∞)上的单调性．

答案：当a >0时， f (x )在(0，＋∞)上是减函数，当a <0时， f (x )在(0，＋∞)上是增函数．

练习2：判断函数()()20x a

f x a x

-+=>在(),0-∞上的单调性

答案：单调递减函数

类型三 证明抽象函数的单调性

例3：已知函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (x )<0(x >0)，试判断F (x )＝1

f x

在(0，

＋∞)上的单调性，并证明．

解析：F(x)在(0，＋∞)上为减函数．下面给出证明：

任取x1、x2∈(0，＋∞)，且Δx ＝x2－x1>0. ∵Δy ＝F (x 2)－F (x 1)＝1

f x 2

－

1

f x 1

＝

f x 1－f x 2

f x 2f x 1

，

又y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且Δx ＝x 2－x 1>0， ∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)， ∴f (x 1)－f (x 2)<0.

而f (x 1)<0，f (x 2)<0，∴f (x 1)f (x 2)>0， ∴F (x 2)－F (x 1)<0，

∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数． 答案：减函数

练习1：已知函数y ＝f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(x)<0(x>0)，试判断F(x)＝f ²(x)在