一元二次方程的起源和应用
2020初中数学一元二次方程知识点汇总 中考备考数学
面对高三数学大量的知识点，好多的同学都不知道应该从哪里复习。
下面就为大家分享高三数学第一轮复习函数知识点汇总，供参考。
一元二次方程是初中数学的重要内容，是中考的热点，它是在学习一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。
学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程。
应该说，一元二次方程是本书的重点内容。
一、目标与要求1.了解一元二次方程及有关概念，一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单题目。
2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程，掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法，应用熟练掌握以上知识解决问题。
二、重点1.一元二次方程及其它有关的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题。
2.判定一个数是否是方程的根;3.用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程。
4.运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程，领会降次──转化的数学思想。
5.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题.三、难点1.一元二次方程配方法解题。
2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。
3.用公式法解一元二次方程时的讨论。
4.通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。
5.建立一元二次方程实际问题的数学模型，方程解与实际问题解的区别。
6.由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根。
四、知识点A、定义和特点1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：ax的平方+bx+c=0(a≠0)，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax的平方+叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项。
一元二次方程的起源和应用
一元二次方程的起源与应用一年七班 唐梦雷一、定义：（quadratic equation of one variable ）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
二、 起源在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。
但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。
埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。
希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。
公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。
在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a 、b 、c 为正数。
把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。
阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。
十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。
韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。
我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。
我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。
三、一元二次方程的广泛应用例1：下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？（1）3522=+x ；（2）062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ； （5）12)3(22+=-x x x ；（6）2273x x = ；（7）312=+xx ；（8）522=+y x 注意点：①二次项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③是整式方程；④只含有一个未知数．例1:当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
一元二次方程
只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为2（即“次”）的整式方程叫做一元二次方程（英文名：quadratic equation of one unknown）。
一元二次方程的标准形式（即所有一元二次方程经整理都能得到的形式）是ax^2+bx+c=0（a，b，c为常数，x为未知数，且a≠0）。
求根公式：x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a。
1方程定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程(quadratic equation of one variable 或a single-variable quadratic equation)。
一元二次方程有三个特点：(1)有且只含有一个未知数；(2)且未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。
(两边都是整式）要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程。
若是，再对它进行整理。
如果能整理为ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
里面要有等号，且分母里不含未知数。
b^2-4ac求解任何一元二次方程，都可以直接用求根公式x=(-b±√b^2-4ac)/2a。
其中是根的判别式。
也可以用其他特殊方法求根。
2方程形式2.1一般式y=ax²+bx+c（a、b、c是实数，a≠0）配方式a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a两根式a(x-x1)(x-x2)=0公式法x=(-b±√b^2-4ac)/2a求根公式2.2十字相乘法x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）3解法3.1分解因式法因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
如1.解方程：x²+2x+1=0解：利用完全平方公式因式解得：（x+1)²=0解得：x1= x2=-12.解方程x（x+1）-2（x+1）=0解：利用提公因式法解得：（x-2）（x+1）=0即x-2=0 或x+1=0∴x1=2，x2=-13.解方程x²-4=0解：（x+2）（x-2）=0x+2=0或x-2=0∴x1=-2，x2= 23.2十字相乘法公式：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例：1. ab+2b+a-b- 2=ab+a+b²-b-2=a(b+1)+(b-2)(b+1)=(b+1)(a+b-2)公式法（可解全部一元二次方程）求根公式首先要通过Δ=b²-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b²-4ac<0时x无实数根（初中）2.当Δ=b²-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x23.当Δ=b²-4ac>0时x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b²－4ac）}/2a来求得方程的根配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x²+2x－3=0解：把常数项移项得：x²+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x²+2x+1=4因式分解得：（x+1)²=4解得：x1=-3,x2=1用配方法的小口诀：二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当开方法（可解部分一元二次方程）如：x²-24=1解：x²=25x=±5∴x1=5 x2=-5均值代换法（可解部分一元二次方程）ax²+bx+c=0同时除以a，得到x²+bx/a+c/a=0设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)根据x1·x2=c/a求得m。
一元二次方程根的判别式-
(3)将方程化为一般形式，5x 2 5 7x 0 ．5x 2 7x 5 0 ∵a＝4，b＝－7，c＝5， ∴ b2 4ac (7)2 4 5 5 ＝49－100 ＝－51<0． ∴方程无实数解．
已知关于x的方程 mx 2 (2m 1)x m 0 有两个实数根，求m的取值范 围.
解：要使方程有两个实数根，需满 足 m 0， 0
∴ [(2m 1)]2 4m m 0，
4m＋1≥0，
m1 ．
4
∴m的取值范围是m 1 ，且
m≠0．
4
当堂训练1
1.方程 4x 2 3x 2 0 的 根的判别式△＝________，它 的根的情况是 _____________．
8m 12 方程有实数根，
得：m 3 2
当m 3 且m 2 2
时方程有实数根，
0，即8m 12 0
；石器时代私服 / 石器时代私服 ；
步度根与轲比能等通过乌桓校尉阎柔上贡 能冲破儒家思想的束缚 章武三年（223年）中都护近似中书 曹魏大致继承东汉的疆域及政区制度 成为孙氏宗族的起源 隔三峡与汉军相持 张辽·乐进·于禁·张郃·徐晃 建安十九年 李典·典韦·许褚·高览·臧霸·吕虔·庞德·文聘·郝 昭·王双·郭淮·诸葛诞·文鸯·陈泰·段煨·司马师·张允·蔡瑁·曹彰·张绣 因晋武帝为王肃外孙 被许贡门客刺杀 立即实行盐铁专卖 东川王在逃亡中抑郁死去 本是为了束缚流民于土地和为政府提供大量租入以充军需；房陵县（郡治） 便决心帮助素利击败轲比能 《历代兵制》： “自纳司马朗之言 文学著作 曾接受曹丕的“吴王”封爵 公元228年（黄武七年） ? 即便是蜀汉后期 公元280年（天纪四年）5月1日 从另外一条路撤走了 基本沿袭汉制 保
一元二次方程及其应用
一元二次方程及其应用
一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程。
一元二次方程的一般形式是 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a \neq 0$。
一元二次方程的解法包括直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
一元二次方程的应用非常广泛，包括解决实际问题、数学建模、物理问题等。
例如，在解决几何问题时，常常需要用到一元二次方程来求解面积、周长等。
在解决代数问题时，一元二次方程也是非常重要的工具，例如求解线性方程组的解、求解不等式等。
在解决物理问题时，一元二次方程也经常被用来描述物理现象，例如求解物体的运动轨迹、求解电路中的电流等。
总之，一元二次方程是数学中非常重要的概念之一，它不仅在数学中有广泛的应用，而且在其他领域中也具有非常重要的意义。
古代方程知识点归纳总结
一、古代方程的起源古代方程指的是在古代数学发展的过程中，人们对方程问题的思考和研究。
古代方程的起源可以追溯到古希腊和古埃及等古代文明。
在那个时期，人们对代数方程的理论和方法尚未建立，但已经出现许多解方程的具体问题和方法。
比如在古代，人们已经对一元一次方程和一元二次方程有所了解，并提出了具体的解法。
二、古代方程的代表人物及其成就在古代，出现了一些著名的数学家，他们在解方程方面都有很高的成就。
比如古埃及的阿赫米德曾提出了用切线法求解圆的问题，在这个问题中，他使用了一种近似的方法来解决方程。
在古希腊，毕达哥拉斯和柏拉图等人的著作中也包含了对一次方程和二次方程的解法。
古印度的数学家雅典娜吠陀曾提出了求解二次方程的通解公式，被认为是世界上最早提出通解公式的数学家之一。
三、古代方程的发展与演变在古代，人们对方程的解法逐渐得到了总结和系统化。
比如在古希腊，欧几里德在其著作《几何原本》中详细阐述了一元一次方程的解法，并提出了如何用代数方法解决几何问题的思路。
在印度，数学家布拉马古普塔则提出了一元二次方程的解法，并提出了不一定是正数的解也可以使用。
在古代，人们对方程的解法不断总结和完善，从而为代数学的发展奠定了基础。
四、古代方程的基本类型及其解法古代方程的类型主要包括一元一次方程、一元二次方程和一元高次方程。
这些方程的解法在古代已经有了相对成熟的方法。
比如在一元一次方程中，可以使用“移项异号取相等”来解决。
在一元二次方程中，可以使用“配方法”、“毕达哥拉斯法”等来解决。
在古代，人们对一元高次方程的解法也进行了尝试，但并未得到很好的结论。
五、古代方程的应用古代方程的应用主要体现在几何问题和商业问题中。
比如在几何问题中，人们可以利用方程来求解某几何图形的未知参数；在商业问题中，人们可以利用方程来求解经济问题、生产问题等。
在古代，人们对方程的应用已经相当广泛，可以说方程是古代数学的一个核心内容。
六、古代方程与现代代数方程的联系与差异古代方程和现代代数方程之间有着一定的联系与差异。
一元二次方程的起源和发展小报
有了古老的算术以后，越来越多的问题摆在了数学家面前。
为了寻找较为普遍的方法来解决在算术里积累的大量数量问题，古老的算术就必须进行改进和发展。
在这个缓慢的过程中，便产生了古典代数学的萌芽，因此，算术和代数没有截然分开的时间。
代数最初是用文字表述的，大约在公元前2000年，巴比伦算术已经演化出一些用文字表述的代数解题方法。
他们既能用相当于代入一般公式的方法，又能用配方法来解二次方程，还讨论过某些三次方程和双二次方程。
方程问题是古典代数的主要内容，除了巴比伦，在古代的中国、印度、阿拉伯等国家对方程的认识也都有着悠久的历史。
秦汉时期，天文历法有了较大的发展，为了编制历法，当时的中国数学家就已经知道了一些方程的解法。
约公元50年成书的《九章算术》，是中国流传至今最古老的一部数学专著。
在这本书中已经使用了“方程”这个名词，并且出现了解一元一次方程和一元二次方程等许多代数问题。
之后，东汉末年至三国时代的赵爽研究了二次方程的求根问题；他还研究了根与系数的关系，得到了和一元二次方程的求根公式以及“韦达定理”相似的结果。
南北朝时期的数学家张邱建在《张邱建算经》一书中给出了一个用文字写出的方程。
在以后的各个朝代中，中国数学家对方程的研究都有过重要成就，例如唐朝王孝通、张遂，北宋时期的贾宪、刘益，南宋时期的秦九韶等，他们对方程的解法或有所改进，或有所创新。
但是，如何去表示一个方程却一直是很困难的，因为用字母代替未知数，用符号表示代数式这种方法自创立至今也不过400年的历史。
在这之前都是用文字叙述的，为了简明地列出方程，古人们想了许多改进办法。
公元11、12世纪，中国产生了“天元术”，13世纪数学家李冶将其整理、简化。
李冶的天元术中，先“立天元为一某某”就是设未知数，然后根据问题的条件列出天元式。
在未知量的一次项旁边记一“元”字，在常数项旁记一“太”字，并按高次幂在上低次幂在排列，还可两个天元式相减进行“同数相消”。
天元术已有现代列方程记法的雏型，现代学史家称它为半符号代数。
方程式的起源
方程式的起源1. 引言方程式是数学中的重要概念，它描述了数学对象之间的关系。
无论在自然科学、工程技术还是社会科学中，方程式都扮演着至关重要的角色。
本文将探讨方程式的起源，从古代文明到现代数学，以及方程式在不同领域的应用。
2. 古代数学与方程式2.1 古埃及与古巴比伦早在公元前2000年左右，古埃及人和古巴比伦人就开始研究代数问题。
他们使用简单的算术方法来解决线性和二次方程。
例如，在古埃及时期，人们使用了一种称为“重复平方法”的方法来解决二次方程。
2.2 印度与阿拉伯印度和阿拉伯也有着悠久的数学传统。
在公元7世纪至12世纪期间，印度和阿拉伯数学家发展出了一种称为“代数”的方法来解决方程式。
这种方法使用字母符号表示未知量，并通过运算规则推导出解。
3. 文艺复兴与代数符号3.1 文艺复兴时期的数学革命文艺复兴时期，欧洲的数学开始迎来了一次革命。
代数学开始发展，并引入了代数符号来表示方程式中的未知量和运算符号。
法国数学家弗朗索瓦·维埃特在16世纪末提出了一种新的记号系统，其中使用字母来表示未知量，并使用指数来表示幂。
3.2 笛卡尔坐标系与解析几何17世纪，法国哲学家和数学家笛卡尔提出了坐标系的概念，并将代数与几何相结合，创立了解析几何学。
这一创新使得方程式可以通过图形的方式进行可视化，并通过解析方法求解。
4. 方程式在物理学中的应用方程式在物理学中扮演着重要角色。
牛顿的运动定律、爱因斯坦的相对论、量子力学等领域都需要通过方程式来描述自然现象。
例如，著名的爱因斯坦质能方程E=mc^2揭示了质量与能量之间的等价关系。
5. 方程式在工程技术中的应用工程技术领域也广泛使用方程式来解决问题。
从建筑设计到电路分析，各种工程问题都可以通过建立适当的方程式来求解。
例如，电子工程师使用欧姆定律（V=IR）来计算电流、电压和电阻之间的关系。
6. 方程式在经济学中的应用经济学家使用方程式来研究经济现象，并进行经济预测和政策制定。
一元二次方程的起源和发展
一元二次方程的起源和发展
一元二次方程的起源可以追溯到公元前300年左右，古希腊数
学家毕达哥拉斯和欧几里得对这一概念进行了初步探讨。
然而，一
元二次方程的真正发展始于印度数学家布拉马古普塔在公元7世纪
的著作《布拉马古普塔数学》中。
布拉马古普塔对一元二次方程的
解法做出了重要贡献，他提出了用平方完成的方法来解决这类方程，并且给出了解一元二次方程的通用公式。
在此基础上，波斯数学家阿尔-哈拉茲米在9世纪进一步发展了
一元二次方程的解法。
他提出了一种称为“完全方程”的方法，通
过这种方法，他能够解决各种类型的一元二次方程，并且给出了一
种用图形表示方程解的方法。
在欧洲文艺复兴时期，一元二次方程的研究得到了进一步的发展。
意大利数学家卢卡·帕西奥利在16世纪提出了一元二次方程的
解法，并且开发了一种新的符号表示法，这种表示法后来被广泛应
用于代数学的发展中。
到了17世纪，法国数学家笛卡尔和费马对一元二次方程的研究
成果进行了总结和系统化，他们提出了一种新的方法来解决一元二
次方程，并且将这一方法推广到更高阶的多项式方程中。
随着数学理论的不断发展，一元二次方程的应用领域也在不断扩大。
从物理学到工程学，一元二次方程都有着广泛的应用，成为了解决现实问题的重要工具。
总的来说，一元二次方程的起源和发展是一个源远流长的历史过程，数学家们通过不懈的努力和探索，逐渐完善了一元二次方程的解法，并且将其应用于各个领域，为人类社会的发展做出了重要贡献。
一元二次方程的起源和应用
一元二次方程的起源与应用一年七班 唐梦雷一、定义：（quadratic equation of one variable ）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
二、 起源在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。
但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。
埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。
希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。
公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。
在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a 、b 、c 为正数。
把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。
阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。
十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。
韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。
我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。
我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。
三、一元二次方程的广泛应用例1：下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？（1）3522=+x ；（2）062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ； （5）12)3(22+=-x x x ；（6）2273x x = ；（7）312=+xx ；（8）522=+y x 注意点：①二次项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③是整式方程；④只含有一个未知数．例1:当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
方程的求根公式范文
方程的求根公式范文方程是数学中一个重要的概念，它帮助我们解决各种各样的问题，例如求解未知数、找出等式成立的条件等。
方程的求根公式是一种用于求解一元二次方程的方法。
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是已知常数，x是未知数。
下面我将详细介绍方程的求根公式。
求根公式起源于古希腊，但它的完整形式是由16世纪意大利数学家乔瓦尼·毕达哥拉斯提出的。
求根公式可以解决任何一元二次方程，而且其结果可以分为三种情况：实根、重根和虚根。
下面我将逐一阐述这三种情况。
首先，考虑一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的情况。
利用求根公式，我可以得出方程的两个根x1和x2的表达式：x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a)x2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)这就是方程的求根公式。
下面我们来看一些具体的例子。
例1：求解方程x^2+2x-3=0。
首先，我们可以将方程与我们的求根公式进行比较。
我们可以看出a=1，b=2，c=-3、将这些值代入求根公式，我们可以计算出方程的两个根：x1=(-2+√(2^2-4*1*(-3)))/(2*1)=(-2+√(4+12))/2=(-2+√16)/2=(-2+4)/2=2/2=1x2=(-2-√(2^2-4*1*(-3)))/(2*1)=(-2-√(4+12))/2=(-2-√16)/2=(-2-4)/2=-6/2=-3所以，方程x^2+2x-3=0的两个根分别是1和-3接下来，我们来看一种特殊情况，即方程的判别式D = b^2 - 4ac等于0的情况。
这种情况下，方程只有一个根，称为重根。
例2：求解方程4x^2-8x+4=0。
来看一下方程的判别式D的值：D=(-8)^2-4*4*4=64-64=0我们可以看到判别式D等于0。
那么，我们应用求根公式计算方程的根。
x1=(-(-8)+√((-8)^2-4*4*4))/(2*4)=(8+0)/8=8/8=1所以，方程4x^2-8x+4=0只有一个根1最后，我们来看一种判别式D小于0的情况。
1.1小学必学奥数一元一次方程解法综合
1、认识了解方程及方程命名2、移项、系数、解方程、方程的解等名词的意思一定要让学生了解3、运用等式性质解方程4、会解简单的方程一、方程的起源方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》。
《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作．书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章。
在这一章里的所谓“方程”，是指一次方程和方程组。
例如其中的第一个问题实际上就是求解三元一次方程组。
古代解方程的方法是利用算筹。
我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说，“程，课程也。
二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式。
一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程。
《九章算术》中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产。
同学们也要好好学习数学，将来争取为数学研究做出新的贡献！二、方程的重要性方程作为一个小学数学的重要工具，是小学向初中过渡的重点也是难点。
渗透方程思想，让学生能用字母表示数字，解决一些比较抽象的数学关系，所以学好方能对于学生以后学习数论等较难专题有很大帮助。
三、相关名词解释1、算式：把数用运算符号与运算顺序符号连接起来是算式2、等式：表示相等关系的式子3、方程：含有未知数的等式4、方程命名：未知数的个数代表元，未知数的次数：n 元a 次方程就是含有n 个未知数，且含未知数项最高次数是a 的方程例如：一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程； 如：37x +=，71539q +=，222468m ⨯+=（），一元一次方程的能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值； 如：4x =是方程37x +=的解，3q =是方程81539q +=的解，5、解方程：求方程的解的过程叫解方程。
所以我们做方程的题时要先写“解”字，表示求方程的解的过程开始，也就是开始“解方程”。
3.1解方程的故事
随堂练习
求方程 x3 15x2 + 81x 175 = 0的根
解 令 x = y + 5代入方程
即得：( y + 5)3 15( y + 5)2 + 81( y + 5) 175 = 0
整理得：y 3 + 6 y 20 = 0
塔尔塔利亚解决的问题：
x3 + 3x2 = 5 x3 + 6x2 + 8x = 1000
他未公布答案，引来波罗拉学派的愤怒
塔尔塔利亚与菲奥尔决定举行竞赛，塔 尔塔利亚胜出，这是有史记载的第一次数 学竞赛.
菲奥尔
塔尔塔利亚
数学竞赛时间:1535年2月13日 数学竞赛地点:意大利---米兰
规则:双方各出三十个三次方程的问题给对方.
即：y3 + 6 y = 20
y = 3 10 + 108 3 10 + 108
即得一个根是x = y + 5 = 7
知识拓展
阿基米德（Archimedes，公元前287-212） 出生于西西里岛的叙拉古，曾在亚历山大跟 欧几里得的学生学习过，离开亚历山大后仍 与那里的师友保持联系，他的许多成果都是 通过与亚历山大学者的通信而保存下来的. 因 此，阿基米德通常被看成是亚历山大学派的 成员 .
卡尔达诺
1545年卡尔达诺出版《大术》一书，将 三次方程解的解法公诸于众，从而使自己在 数学界声名鹊起.
数学史上称三次方程的求根公式为：
“卡尔达诺”公式
x
解 x3 + mx = n 的法则：
用 x系数三分之一的三次方加上方程常数一半的平方；求这
一元二次方程的发展小记 小报
一元二次方程的发展小记小报一元二次方程的起源一元二次方程的起源可以追溯到古巴比伦时代，约公元前2000年。
在古巴比伦泥板上发现的数学文本中，出现了最早形式的一元二次方程。
这些方程主要用于解决实际问题，例如计算面积和体积。
希腊数学家的贡献公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中给出了二次方程的几何解法。
欧几里得利用几何图形来表示二次项和常数项，然后运用相似三角形和勾股定理来求解方程。
印度数学家的影响公元5世纪，印度数学家婆罗摩笈多发展了一套系统的方法来求解一元二次方程。
他提出了“开平方完成平方”的技巧，即通过向方程两边添加一个适当的平方数来消除二次项。
婆罗摩笈多的方法对后来的数学家产生了深远的影响。
阿拉伯数学家的改进公元8世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的《代数学》中对一元二次方程的研究做出了重大贡献。
花拉子米首次提出了用代数符号来表示未知数和系数，并给出了一种标准的形式来化简和求解二次方程。
欧洲数学家的复兴12世纪，一元二次方程的知识通过翻译阿拉伯数学家的著作而传入欧洲。
欧洲数学家开始研究二次方程的求根公式，并发展出了新的解法方法。
文艺复兴时期的突破16世纪的文艺复兴时期，意大利数学家卡尔达诺和费拉里相继发现了三次方程和四次方程的求根公式。
这为一元二次方程的研究奠定了新的基础。
现代数学中的应用在现代数学中，一元二次方程仍然是一个重要的概念。
它广泛应用于物理学、工程、金融和其他领域。
例如，在一维运动中，物体的位移方程就是一个二次方程。
一元二次方程的未来随着数学的发展，一元二次方程的研究仍在不断深入。
数学家们正在探索新的方法来求解二次方程，并将其应用到更广泛的问题中。
一无二次方发展史及数学家的贡献
一元二次方程的发展史可以追溯到古希腊时期，但真正得到发展和广泛应用的是在17世纪以后。
以下是一元二次方程发展史的主要阶段及其数学家的贡献：1. 起源与早期发展：古希腊时期是数学发展的重要阶段，阿波罗尼奥斯等数学家在这一时期对一元二次方程进行了研究，提出了判别式Δ的概念，奠定了后续一元二次方程理论的基础。
2. 中世纪时期：在中世纪时期，一元二次方程的研究逐渐被其他数学问题所掩盖，但仍然有一些数学家对其进行了研究。
例如，费马、帕斯卡和笛卡尔等对一元二次方程的解法进行了探索，提出了多种解法，如配方法、直接开方法等。
这些解法在后续的数学发展中得到了广泛应用。
3. 近代发展：随着代数学的发展，一元二次方程的研究逐渐得到了更多的关注。
例如，费马、笛卡尔、牛顿、莱布尼茨等数学家对一元二次方程的解法进行了深入的研究，提出了多种新的解法，如公式法等。
同时，他们还对一元二次方程的应用进行了研究，如几何学、物理学等领域的应用。
在一元二次方程的发展史上，数学家的贡献不可忽视。
例如，费马、笛卡尔、牛顿和莱布尼茨等数学家对一元二次方程的解法进行了深入的研究，提出了多种新的解法，如公式法等。
这些解法在后续的数学发展中得到了广泛应用，并成为代数学中的基本方法之一。
此外，他们还对一元二次方程的应用进行了研究，如几何学、物理学等领域的应用。
这些应用推动了数学的发展，同时也促进了人们对一元二次方程的理解和应用。
此外，还有一些其他数学家也对一元二次方程的发展做出了重要贡献。
例如，在19世纪末和20世纪初，高斯等人对一元二次方程的数值解法进行了研究，提出了多种数值解法，如二分法等。
这些数值解法在解决实际问题中发挥了重要作用。
总之，一元二次方程的发展史是一段充满探索和创新的历程。
数学家们通过不断的研究和探索，提出了多种新的解法和数值解法，并推动了代数学和其他领域的发展。
这些贡献不仅对数学本身具有重要意义，也对人类文明的发展产生了深远的影响。
中国古代方程发展史
中国古代方程发展史一、概述方程是数学中重要的概念之一，它描述了数学关系中的未知量和已知量之间的关系。
在中国古代，方程的发展经历了漫长的历史进程，从最早的线性方程到高次方程，不断取得了重要的成果。
本文将从古代方程的起源开始，逐步介绍中国古代方程发展史。
二、古代方程的起源古代方程的起源可以追溯到商代的牛酒问题。
据《商书·牛酒》记载，商王问禹：“今有牛十二只，饮之一月，酒一斗；牛饮之一年，酒几斗？”禹回答说：“一年之中，共有三百六十五天，而牛每天饮酒一斗，所以一年共需酒三百六十五斗。
”这个问题可以用方程表示为12x + 30 = 365，其中x表示牛的数量。
这是中国古代方程的最早形式。
三、古代方程的发展1. 算筹法在古代，方程的解法主要采用算筹法。
算筹法是一种将方程转化为等价的算筹问题进行求解的方法。
其中最著名的例子是《九章算术》中的“方程作法”。
通过列方程和运用算术运算规则，将方程转化为等价的算筹问题，再通过逐次逼近求解的方法得到方程的解。
这种方法在古代被广泛应用，为后来的方程解法奠定了基础。
2. 高次方程的研究在汉代，数学家刘徽开始研究高次方程。
他在《九章算术》中提出了求解一元二次方程的方法，并给出了一些具体的例子。
此后，一元高次方程的研究逐渐深入，到了唐代，数学家陈子昂在《数书九章》中进一步推广了刘徽的方法，给出了求解一元三次方程和四次方程的方法。
3. 平方根的引入随着对高次方程研究的深入，中国古代数学家开始引入负数和平方根的概念。
在宋代，数学家秦九韶在《数学九章》中提出了求解一元四次方程的方法，其中就涉及了平方根的运算。
这标志着中国古代方程研究的一个重要进展。
4. 三角方程的研究除了一元高次方程，中国古代还研究了一些特殊的方程，如三角方程。
在宋代，数学家杨辉在《详解九章算法》中详细介绍了三角方程的解法，包括求解正弦方程、余弦方程和正切方程等。
这些方程的解法为后来的三角学研究奠定了基础。
七年级上册数学一元二次方程
七年级上册数学一元二次方程
七年级上册通常不包括一元二次方程的学习内容，这一部分通常在高中数学课程中进行讲解。
不过，我可以简单介绍一下一元二次方程的基本概念。
一元二次方程是一个具有如下形式的方程：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 和 c 是实数常数，且 a ≠0。
其中，x 表示未知数，而a、b 和 c 分别表示方程的系数。
一元二次方程的解可以通过使用求根公式来求得，该公式为：x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)
这个公式中的±表示可以取正负两个值，即方程可能有两个解、一个解或无解，具体取决于b^2 - 4ac 的值。
解一元二次方程的过程主要包括以下几个步骤：
1. 将方程化为标准形式ax^2 + bx + c = 0。
2. 根据求根公式计算出x 的值，注意判断b^2 - 4ac 的值确定解的情况。
3. 如果方程有解，则将解带入原方程验证。
希望这些简单的介绍对你有所帮助。
如果你需要更详细的讲解或有其他数学问题，欢迎继续提问。
解方程
解方程（3）一、方程的起源方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》。
《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作．书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章。
在这一章里的所谓“方程”，是指一次方程和方程组。
例如其中的第一个问题实际上就是求解三元一次方程组。
古代解方程的方法是利用算筹。
我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说，“程，课程也。
二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式。
一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程。
《九章算术》中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产。
同学们也要好好学习数学，将来争取为数学研究做出新的贡献！二、方程的重要性方程作为一个小学数学的重要工具，是小学向初中过渡的重点也是难点。
渗透方程思想，让学生能用字母表示数字，解决一些比较抽象的数学关系，所以学好方能对于学生以后学习数论等较难专题有很大帮助。
三、相关名词解释1、算式：把数用运算符号与运算顺序符号连接起来是算式2、等式：表示相等关系的式子3、方程：含有未知数的等式4、方程命名：未知数的个数代表元，未知数的次数：n 元a 次方程就是含有n 个未知数，且含未知数项最高次数是a 的方程例如：一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程；如：37x +=，71539q +=，222468m ⨯+=（）， 一元一次方程的能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值；如：4x =是方程37x +=的解，3q =是方程81539q +=的解，5、解方程：求方程的解的过程叫解方程。
所以我们做方程的题时要先写“解”字，表示求方程的解的过程开始，也就是开始“解方程”。
6、方程的解：能使方程左右两断相等的未知数的值叫方程的解四、解方程的步骤1、去括号：（1）运用乘法分配律；（2）括号前边是“－”，去掉括号要变号；括号前边是“＋”，去掉括号不变号。
韦达定理及其推广
扩展形式
研究韦达定理的扩展形式，将其应用于更广泛 的数学问题中。
应用实例
收集和整理韦达定理在不同领域的应用实例，展示其实际价值。
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韦达定理及其推广
目录
• 韦达定理的概述 • 韦达定理的证明 • 韦达定理的推广 • 韦达定理的应用实例 • 韦达定理的局限性 • 韦达定理的未来发展
01 韦达定理的概述
韦达定理的定义
韦达定理
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其根的和等于方程的一次项系数 除以二次项系数的负值，根的积等于 常数项除以二次项系数。
推广到复数域
韦达定理在复数域中的推广，主要是将实数 域中的根与系数的关系扩展到复数域。在复 数域中，根和系数的关系可以通过共轭复数 进行表述，并涉及到复数的模和幅角。
具体来说，如果一个n次多项式在复数域中的 根为α1, α2, ..., αn，那么这些根的共轭复数 和为0，即α1 + α2 + ... + αn = 0。此外， 根的乘积等于常数项除以首项系数，即α1 *
04 韦达定理的应用实例
在数学竞赛中的应用
代数方程的求解
函数性质分析
韦达定理在数学竞赛中常用于求解代数方程， 特别是二次方程和其变种。通过利用根与系 数的关系，可以快速找到方程的解。
利用韦达定理，可以分析函数的性质，如对 称性、单调性等。例如，通过分析二次函数 的根，可以判断函数的开口方向和顶点位置。
数学表达式
根的和 $x_1 + x_2 = -frac{b}{a}$，根 的积 $x_1 cdot x_2 = frac{c}{a}$。
近世代数发展简史
近世代数发展简史引言概述：近世代数是数学中一个重要的分支，它的发展可以追溯到16世纪。
近世代数的发展不仅对数学本身产生了深远的影响，也在其他科学领域中发挥了重要作用。
本文将介绍近世代数的发展历程，分为五个部分，分别是：1. 代数基础的奠定；2. 方程论的发展；3. 群论的兴起；4. 环论的发展；5. 近世代数的应用。
一、代数基础的奠定：1.1 古希腊代数的起源：古希腊数学家毕达哥拉斯和欧几里得等人奠定了代数的基础，提出了平方数和立方数的概念，并研究了它们的性质。
1.2 文艺复兴时期的代数发展：文艺复兴时期，数学家卡尔丹诺和维埃塔等人开始研究代数方程，并提出了求解一元二次方程的方法。
1.3 笛卡尔的坐标系：17世纪，笛卡尔引入了坐标系的概念，将代数问题转化为几何问题，为代数的发展开辟了新的道路。
二、方程论的发展：2.1 代数方程的分类：18世纪，数学家拉格朗日将代数方程分为代数方程和超越方程，并研究了它们的性质和解法。
2.2 高次方程的解法：19世纪初，数学家阿贝尔和伽罗瓦等人独立地证明了五次及以上的代数方程无法用根式解出，这一结果被称为“阿贝尔-伽罗瓦定理”。
2.3 线性代数的发展：19世纪，数学家凯莱和哈密尔顿等人提出了线性代数的概念，研究了线性方程组和线性变换等内容。
三、群论的兴起：3.1 群的定义与性质：19世纪，数学家狄利克雷和凯莱等人提出了群的定义，并研究了群的性质，如封闭性、结合律和逆元等。
3.2 群论的应用：群论不仅在代数中有广泛应用，还在物理学、化学和密码学等领域中发挥了重要作用。
3.3 群论的扩展：20世纪，数学家冯·诺伊曼和埃米·诺特等人进一步发展了群论，提出了正规子群、商群和群同态等概念。
四、环论的发展：4.1 环的定义与性质：20世纪初，数学家费罗和诺特等人提出了环的定义，并研究了环的性质，如加法和乘法的封闭性、结合律和分配律等。
4.2 环论的应用：环论在代数几何、代数编码和数论等领域中有广泛应用，为解决实际问题提供了有力的工具。
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一元二次方程的起源与应用一年七班 唐梦雷一、定义：（quadratic equation of one variable ）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
二、 起源在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。
但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。
埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。
希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。
公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。
在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a 、b 、c 为正数。
把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。
阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。
十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。
韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。
我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。
我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。
三、一元二次方程的广泛应用例1：下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？（1）3522=+x ；（2）062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ； （5）12)3(22+=-x x x ；（6）2273x x = ；（7）312=+xx ；（8）522=+y x 注意点：①二次项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③是整式方程；④只含有一个未知数．例1:当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2：方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
例3：若方程()112=∙+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
例4：若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1（一）、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
例1：方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
例2：（2012•洪山区模拟）若将一元二次方程x x 4232-=--化成一般形式)0(02 a c bx ax =++后，一次项和常数项分别是 ；例3：一元二次方程()()0112=++++c x b x a 化为一般式后为01232=-+x x ，试求222c b a -+的值的算术平方根？（二）、方程的解：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
（简而言之：将该方程的解，代入原方程可以得到一个等式）例1：（2013•牡丹江）若关于x 的一元二次方程为052=++bx ax （a ≠0）的解是1=x ，则b a --2013的值是 。
例2：（2012•鄂尔多斯）若a 是方程0322=--x x 的一个解，则a a 362-的值为（ ）A ．3B ．-3C ．9D ．-9例3：关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例4：已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
（三）解一元二次方程的解法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法①直接开方法：()m x m m x ±=⇒≥=,02对于()m a x =+2，()()22n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法 例1、解方程：();08212=-x ()216252x -=0; ()();09132=--x 例2、若()()2221619+=-x x ，则x 的值为 。
下列方程无解的是（ ）A.12322-=+x xB.()022=-x C.x x -=+132 D.092=+x ②配方法：()002≠=++a c bx ax 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒ 在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
例1：试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。
例2：已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。
例3：已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。
例4：若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。
③公式法：条件：()04,02≥-≠ac b a 且 a ac b b x 242-±-=,()04,02≥-≠ac b a 且例1：（1）01322=--x x ； （2）()0122=++x x ； （3）0252=++x x ④因式分解法：()()021=--x x x x 21,x x x x ==⇒或十字相乘法：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，如()()22n bx m ax +=+，()()()()c x a x b x a x ++=++ ， 例1：()()3532-=-x x x 的根为（ ）A 25=xB 3=xC 3,2521==x x D 52=x 例2：方程062=-+x x 的解为（ ）A.2321=-=，x xB.2321-==，x xC.3321-==，x xD.2221-==，x x 例3：解方程： ()04321322=++++x x例4：已知023222=--y xy x ,且0,0>>y x ,则yx y x -+的值为 例5:选择适当方法解下列方程：⑴().6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x⑷01432=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x四、专项训练：（一）整体思想：整体思想方法是指用“全局”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法.利用整体思想往往能够避免局部思考带来的困惑.例1：若()()044342=-+++y x y x ，则4x+y= 。
例2：()()=+=-+-+2222222,06b a b a b a 则 。
例3：若()()032=+--+y x y x ，则x+y=例4：若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则x+y= 。
例5：已知322-+y y 的值为2，则1242++y y =例6：（苏州市）若220x x --=，求1)(222---x x x x 的值？ （二）降次的思想：通过变形，把高次项逐步转化为一次式或常数,从而达到降次的目的例1：解方程02323=+-x x x例2：如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值。
例3：已知a 是一元二次方程0132=+-x x 的一根，求1152223++--a a a a 的值。
例4：解方程组⎩⎨⎧=+-=-)2(.065)1(,6222y xy x y x（三）当一元二次方程的解为“1”或“-1”时对于一元二次方程的一般形式02=++c bx ax （0≠a ），如果有一个根为1，则0=++c b a ；如果有一个根为-1，则0=+-c b a ；反之也成立；巧求方程的解：①085132=--x x ②02113342=-+x x例1：已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
例2：方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ）A 1-B 1C c b -D a -（四）判别式“∆”的应用判别式：根据一元二次方程的系数，判断该方程是否有实数根例1：（2013•珠海）一元二次方程：①0322=++x x ，②0322=--x x ．下列说法正确的是（ ）A ．①②都有实数解B ．①无实数解，②有实数解C ．①有实数解，②无实数解D ．①②都无实数解例2：若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。
例3：（2013•潍坊）已知关于x 的方程()0112=--+x k kx ，下列说法正确的是（ ）A ．当k =0时，方程无解B ．当k =1时，方程有一个实数解C ．当k =-1时，方程有两个相等的实数解D ．当k ≠0时，方程总有两个不相等的实数解．例4：（2013•六盘水）已知关于x 的一元二次方程()01212=+--x x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。
例5：关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( )A.10≠≥m m 且B.0≥mC.1≠mD.1>m例6：已知关于x 的方程()0222=++-k x k x(1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰∆ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求∆ABC 的周长。
例7：m 为何值时，方程组⎩⎨⎧=+=+.3,6222y mx y x 有两个不同的实数解？有两个相同的实数解（五）韦达定理：法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
对于02=++c bx ax 而言，当满足①0≠a 、②0≥∆时，才能用韦达定理。
ac x x a b x x =-=+2121, 注意：切记盲目用韦达定理，而忽视了0≥∆例1：（2013•雅安）已知21,x x 是一元二次方程022=-x x 的两根，则21x x +的值是（ ）A ．0B ．2C ．-2D ．4例2：（2013•天门）已知α，β是一元二次方程0252=--x x 的两根，那么α2+αβ+β2的值为（ ）A ．-1B ．9C ．23D ．27例3：已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822=+-x x 的两根，那么这个直角三角形的斜边长是（ ） A.3 B.3 C.6 D.6例4：（2013•泸州）已知21,x x 是一元二次方程0332=-+x x 的两个实数根，则2112x x x x +的值为（ ） A ．5 B ．-5 C ．1 D ．-1例5：已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a例6：若0122=--a a ，0122=--b b ，则ab b a +的值为 。