力学PPT完整版

3．坡度
三、导数——函数的变化率
1．增量：
y f ( x), x :由x0变到x1
f ( x0 x) f ( x0 ) y 2．平均变化率： x x
3．函数的导数或微商：
x x1 x0 y f ( x0 x) f ( x0 )
f ( x0 x) f ( x0 ) y y f ( x) lim lim x 0 x x 0 x
v dv d ds d 2 s 2 瞬时加速度： a lim t 0 t dt dt dt dt
水渠坡度：
h dh k lim x 0 x dx
四、导数的几何意义：
y 斜率： tg x
f ( x)
f ( x1 )
f ( x0 )
10学时
2学时 8学时 10学时 6学时
4、如何学好力学
掌握重要的物理思想、物理观念。
学习物理学家们思考研究、解决问题的方法。 站在更高层次与角度学习，理解力学规律的 本质和体系。 注重数学工具、方法的应用。 物理现象的物理模型化 物理模型的数学模型化。 微积分方法和语言的应用。 矢量方法和语言的应用。
p0
p1
T
割线的斜率：
M
x0 x
P1 M y tg x0 P0 M x y dy lim f ( x) 切线的斜率： tg 0 x 0
x
x
dx
导数的几何意义表示了曲线在某点的斜率。
§3 导数的运算
一、基本公式
二、基本运算法则 1.u v u v
打开一些前沿窗口，开阔视野、启迪并激发探 索和创新精神。
3、内容及课时安排
数学补充知识
第一章：物理学和力学 第二章：质点运动学 第四章：动能和势能
6学时
4学时 8学时 10学时 8学时
第三章：动量定理及动量守恒定律
第五章：角动量
关于对称性
4学时
第六章：万有引力定律
4学时
第七章：刚体力学
第八章：弹性体的应力和应变 第九章：振动 第十章：波动和声 第十一章：流体力学
x
sin( ax b) dx e x dx sin( ax b)dx
x

则
1 令 u ( x) ax b, du adx dx du a 1
e dx e
x
c1
sin(ax b)dx a sin udu
x x
1 e sin(ax b) dx e a cos(ax b) c (c c1 c2 )

设u u( x), v v( x),则
2.(uv) uv vu, (cu) cu (c为常量)
1 4.x ( y)为y f ( x)的反函数时 , f ( x) ( y) 5.若y f (u), u ( x),即y f ( x) ,
1．不定积分：求函数的所有原函数叫求函数 的不定积分.
f ( x)dx F ( x) c
2．不定积分的性质
( f ( x)dx ) f ( x) f ( x) 先作不定积分，再求导，仍为 f ( x)
F ( x)dx F ( x) c F (x) 先求导再积分，只差一个常数。
xdx x2 a2
2 2
U I I (U ) R U U ( R) IR U I I ( R) R
结论：自变量、因变量与常数，需要由具体问 题分析确定。
§2 导数 一、极限 1．概念：
x x0
lim f ( x) a
2．说明极限的意义特例：
3x 2 x 2 y f ( x) x 1
二、物理学中极限的例子 1．瞬时速度（率）
s(t 0 t ) s(t 0 ) 1 v v0 at0 at t 2 s(t 0 t ) s(t 0 ) s v lim lim t 0 t t 0 t
1 2 s(t0 t ) s0 v0 (t0 t ) a (t0 t ) 2
学习过程中 勤于思考、悟物穷理。 善于归纳（总结），理清体系（知识结构）。 重视习题，训练技能。 提倡探究性学习，培养创新精神与能力。 5、参考书： 新概念力学 赵凯华 高等教育出版社, 1995.7 力学 梁昆淼 高等教育出版社, 1999. 力学 蔡伯廉 湖南教育出版社, 1999. 力学 卢民强 高等教育出版社, 1999.
1 2
一、原函数
§4 不定积分
1.设 f ( x)是定义在某一区间上的函数，若存在函数 F ( x) ，使得在这个区间上的每个点有
F ( x) f ( x) 则称 F ( x)是f ( x)在该区间的一个原函数。
2.只要函数有一个原函数，它就有无限多个原函数， 彼此间相差一个常数. 二、不定积分：
1 1 cos u c2 cos(ax b) c2 a a
例3：求 sin x cos xdx 解： 令 u( x) sin x, du u ( x)dx cos xdx
例4：求
1 2 1 2 sin x cos xdx udu u c sin x c 2 2
二、函数的图形 三、物理学中函数实例： 反映任何一个物理规律的公式都是表达变 量与变量之间的函数关系。
1 2 s s 0 v0 t at 2 v v0 at
s s0 vt,
s s(t )
s s(t ) v v(t )
玻意耳定律 欧姆定律
PV C
U IR
3.换元法：

四、例题
dx 例1：求 1 x 解： 令 u 1 x, du u x dx dx
dx du 1 x u ln u c ln 1 x c
x e 例2：求 sin(ax b) dx。
解： e
f (0) 2, f (2) 8, , 而f (1) 0 0
x
0.9 0.99 0.999 0.9999 1.1 1.01 1.001 1.0001
3x x 2
2
-0.47 -0.0497 -0.04997 -0.0049997 0.53 0.0503 0.005003 0.00050003
dy df d , , f ( x) dx dx dx
4．意义：
d y d dy d f ( x) 函数的二阶导数 : y f ( x) 2 dx dx dx dx
5．物理学中的实例：
导数代表函数在某一点（研究点）的变化率.
2
瞬时速率：
s ds v lim t 0 t dt
数学补充知识 A 微积分的基本知识 §1 函数及其图形
一、函数、自变量和因变量
1．函数： 一元函数
y f ( x)
2．自变量和因变量： 物理问题中函数与自变量视研究问题而定。
3．常数： a．绝对常数；
b．任意常数。
4．二元函数、多元函数。
5．复合函数：例：简谐振动
x A cos A cost
1 2 s(t0 ) s0 v0t0 at0 , 2
2．瞬时加速度
v v(t 0 t ) v(t 0 ) 平均加速度： a t t
v(t 0 t ) v(t 0 ) v a lim lim t 0 t t 0 t
h h( x0 x) h( x0 ) k x x h( x0 x) h( x0 ) h k lim lim x 0 x x 0 x
y tgx
的导数。
例6：求 y cos(ax b) 的导数。
解： 令
u ax b, y f (u) cos u
df du y sin u a a sin(ax b) du dx
例7：求 y 解： 令
x 1 的导数
2
u x2 1 : y f (u) u u df du y du dx 1 1 x 2x . 2 2 u x 1
力
学
主讲教师：袁都奇
说 明 １、课程性质：专业必修课，专业主干课。 80 学时，4学分。 ２、课程目的： 系统掌握力学的基础知识，为后续课程奠定知 识基础。
掌握力学的研究方法：物理模型的建立、量纲 分析、数量级估计、物理学分析问题的方法。 掌握重要物理观念、思想方法及其应用。
培养分析和解决问题的的能力；学习研究物理 问题的思路和方法。
x 1
-0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 0.1 0.01 0.001 0.0001
3x 2 x 2 y x 1
4.7 4.97 4.997 4.9997 5.3 5.03 5.003 5.0003
3x 2 x 2 lim f x lim 5 x1 x1 x 1
dy dy df ( x) f ( x)dx dy dx dx
百度文库
a x 解： y (ln ) (ln x ln a ) a 1 (ln x) (ln a) x
例 2： 求 y
ax 的导数。
2
2 2 2 解： y (ax ) a x ( x ) a 2ax
2
6 x(5 x 1) 5(3x 2 2) 15 x 2 6 x 10 2 (5 x 1) (5 x 1)2
例5：求
sin x (sin x) cos x (cos x) sin x 解： y 2 cos (cos x) 2 2 cos x sin x 1 2 sec x. 2 2 cos x cos x
结论：求不定积分与求导互为逆运算。
3．基本积分公式
三、不定积分的运算法则：
2. f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx
1. kf ( x)dx k f ( x)dx
若能找到函数 u u ( x) ，使得 f ( x)dx g (u )du ，则只要求出 g (u )du F (u ) c ，即可得 f ( x)dx F u ( x) c 。
例3：求
yx e
2
2 ax 2
(a为常数)的导数。
2
解： 令 u
e v , v ax2
du dv 2 y ( x u) ( x )u x dv dx 2 xe
ax2
e 2ax x
v
2
2
2x 1 ax e


ax 2
3x 2 例4：求 y 的导数。 5x 1 (3x 2 2)(5 x 1) (5 x 1)(3x 2 2) 解： y (5 x 1)2
f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0,
f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0.
四、微分
自变量的微分：就是自变量一个无限小的增量 dx 函数在点 x 处的微分：
函数的微分是自变量微分的线性函数。 微分和增量有区别:微分是函数增量的线性 主要部分 x 例题1: 求 y ln ( a为常数 ) 的导数。
dy dy du 则: dx du dx
u v v u u 3. (v 0) 2 v v
三、函数的极值点和极值
极大值 极小值 →极值
极大点 极小点 →极值点
极值条件： 函数 f ( x0 )在点 x0 附近有连续的 导函数 f ( x0 ), f ( x0 ), 1． 极大值 2 极小值 ．