2014-2015年福建省泉州市晋江市季延中学高一(上)数学期中练习试卷和答案

2014-2015学年福建省泉州市晋江市季延中学高一（上）期中数
学练习试卷
一、选择题
1．（3分）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）
A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱
2．（3分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，则∁U A=（）A．∅B．{2，4，6}C．{1，3，6，7}D．{1，3，5，7}
3．（3分）若函数则f（log43）=（）
A．B．3 C．D．4
4．（3分）已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC 的面积为（）
A．B．C．D．
5．（3分）设＜（）b＜（）a＜1，则（）
A．a＜b＜0 B．b＞a＞1 C．0＜b＜a＜1 D．0＜a＜b＜1
6．（3分）已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）的解析式是（）
A．f（x）=﹣x（x+2）B．f（x）=x（x﹣2）C．f（x）=﹣x（x﹣2）D．f（x）=x（x+2）
7．（3分）一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（）
A．6 B．8 C．8 D．12
8．（3分）函数y=x2﹣2tx+3在[1，+∞）上为增函数，则t的取值范围是（）A．t≤1 B．t≥1 C．t≤﹣1 D．t≥﹣1
9．（3分）已知y=log a（2﹣ax）是[0，1]上的减函数，则a的取值范围为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．（2，+∞）
10．（3分）一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的体积是（）
A．112cm3B．cm3 C．96cm3D．224cm3
11．（3分）已知f（x）=2|x﹣1|，该函数在区间[a，b]上的值域为[1，2]，记满足该条件的实数a、b所形成的实数对为点P（a，b），则由点P构成的点集组成的图形为（）
A．线段AD B．线段AB
C．线段AD与线段CD D．线段AB与BC
12．（3分）若一个棱长为a的正方体的各顶点都在半径为R的球面上，则a与R
的关系是（）
A．R=a B．R= a C．R=2a D．R=a
二、填空题
13．（3分）函数f（x）=（）的单调增区间为．
14．（3分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为．
15．（3分）已知三棱台ABC﹣A 1B1C1中，S△ABC=25，S=9，高h=6．则（1）三棱锥A 1﹣ABC的体积=；
（2）求三锥A 1﹣BCC1的体积=．
16．（3分）若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为．
三、解答题
17．已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣4，或x＞1}，B={x|﹣3≤x﹣1≤2}，（1）求A∩B、（∁U A）∪（∁U B）；
（2）若集合M={x|2k﹣1≤x≤2k+1}是集合A的子集，求实数k的取值范围．18．计算下列各题：
（1）计算的值．
（2）计算的值．
19．设函数f（x）=a﹣，
（1）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数；
（2）确定a的值，使f（x）为奇函数及此时f（x）的值域．
20．如图所示，一个空间几何体的正视图，侧视图，俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边为1
（1）画出几何体的直观图；
（2）求几何体的表面积和体积．
21．已知圆锥的母线长为10cm，底面半径为5cm，
（1）求它的高；
（2）若该圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的体积．
22．设函数
（1）当a=0.1，求f（1000）的值．
（2）若f（10）=10，求a的值；
（3）若对一切正实数x恒有，求a的范围．
2014-2015学年福建省泉州市晋江市季延中学高一（上）
期中数学练习试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）
A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱
【解答】解：图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；
图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；
图③是棱锥．
图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱．
故选：C．
2．（3分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，则∁U A=（）A．∅B．{2，4，6}C．{1，3，6，7}D．{1，3，5，7}
【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，
∴∁U A={1，3，6，7}，
故选：C．
3．（3分）若函数则f（log43）=（）
A．B．3 C．D．4
【解答】解：∵0＜log43＜1，∴f（log43）=4log43=3
故选：B．
4．（3分）已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC 的面积为（）
A．B．C．D．
【解答】解：直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，故面积为，
而原图和直观图面积之间的关系，
那么原△ABC的面积为：
故选：C．
5．（3分）设＜（）b＜（）a＜1，则（）
A．a＜b＜0 B．b＞a＞1 C．0＜b＜a＜1 D．0＜a＜b＜1
【解答】解：因为y=是单调递减函数，
又=＜（）b＜（）a＜1=，
∴0＜a＜b＜1．
故选：D．
6．（3分）已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）的解析式是（）
A．f（x）=﹣x（x+2）B．f（x）=x（x﹣2）C．f（x）=﹣x（x﹣2）D．f（x）=x（x+2）
【解答】解：任取x＜0则﹣x＞0，
∵x≥0时，f（x）=x2﹣2x，
∴f（﹣x）=x2+2x，①
又函数y=f（x）在R上为奇函数
∴f（﹣x）=﹣f（x）②
由①②得x＜0时，f（x）=﹣x（x+2）
故选：A．
7．（3分）一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧
视图的面积为（）
A．6 B．8 C．8 D．12
【解答】解：设棱柱的高为h，
由左视图知，底面正三角形的高是，由正三角形的性质知，其边长是4，
故底面三角形的面积是=4
由于其体积为，故有h×=，得h=3
由三视图的定义知，侧视图的宽即此三棱柱的高，故侧视图的宽是3，其面积为
3×=
故选：A．
8．（3分）函数y=x2﹣2tx+3在[1，+∞）上为增函数，则t的取值范围是（）A．t≤1 B．t≥1 C．t≤﹣1 D．t≥﹣1
【解答】解：解：抛物线y=x2﹣2tx+3开口向上，以直线x=t对称轴，
若函数y=x2﹣2tx+3在[1，+∞）上为增函数，
则t≤1，
故选：A．
9．（3分）已知y=log a（2﹣ax）是[0，1]上的减函数，则a的取值范围为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．（2，+∞）
【解答】解：∵f（x）=log a（2﹣ax）在[0，1]上是x的减函数，
∴f（0）＞f（1），
即log a2＞log a（2﹣a）．
∴，
∴1＜a＜2．
故选：B．
10．（3分）一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的体积是（）
A．112cm3B．cm3 C．96cm3D．224cm3
【解答】解：由题意知几何体是一个简单的组合体，
上面是一个正四棱锥，底面的边长是4，棱锥的高是2，
下面是一个正四棱柱，底面是边长为4的正方形，侧棱长是4，
∴几何体的体积是=（cm3）
故选：B．
11．（3分）已知f（x）=2|x﹣1|，该函数在区间[a，b]上的值域为[1，2]，记满足该条件的实数a、b所形成的实数对为点P（a，b），则由点P构成的点集组成的图形为（）
A．线段AD B．线段AB
C．线段AD与线段CD D．线段AB与BC
【解答】解：∵函数f（x）=2|x﹣1|的图象为开口方向朝上，以x=1为对称轴的曲线，如图．
当x=1时，函数取最小值1，
若y=2|x﹣1|=2，则x=0，或x=1
而函数y=2|x﹣1|在闭区间[a，b]上的值域为[1，2]，
则或，
则有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为
故选：C．
12．（3分）若一个棱长为a的正方体的各顶点都在半径为R的球面上，则a与R 的关系是（）
A．R=a B．R= a C．R=2a D．R=a
【解答】解：∵正方体的各顶点都在半径为R的球面上，
∴正方体的对角线是该球的一条直径，
故=2R，得R=a
故选：B．
二、填空题
13．（3分）函数f（x）=（）的单调增区间为（﹣∞，1] ．
【解答】解：设t=x2﹣2x+1，则函数等价为y=（）t，则函数y=（）t，为减函数，
要求函数f（x）的单调增区间，则根据复合函数单调性之间的关系，则只需要求出函数t=x2﹣2x+1的单调减区间即可，
∵t=x2﹣2x+1的单调递减区间为（﹣∞，1]，
∴函数f（x）=（）的单调增区间为（﹣∞，1]，
故答案为：（﹣∞，1]．
14．（3分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，
如果不计容器的厚度，则球的体积为cm3．
【解答】解：根据几何意义得出：边长为8的正方形，球的截面圆为正方形的内切圆，
∴圆的半径为：4，
∵球面恰好接触水面时测得水深为6cm，
∴d=8﹣6=2，
∴球的半径为：R=，
R=5
∴球的体积为π×（5）3=cm3
故答案为．
15．（3分）已知三棱台ABC﹣A 1B1C1中，S△ABC=25，S=9，高h=6．则（1）三棱锥A 1﹣ABC的体积=50；
（2）求三锥A 1﹣BCC1的体积=30．
【解答】解：（1）===50．
（2）∵===18．
==98．
∴三锥A 1﹣BCC1的体积=﹣（+）=98﹣（50+18）
=30．
故答案为：（1）50，（2）30．
16．（3分）若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2）．
【解答】解：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，
由f（2）=0，得f（﹣2）=﹣f（2）=0，
即f（﹣2）=0，
由f（﹣0）=﹣f（0），得f（0）=0，
作出f（x）的草图，如图所示：
由图象，得xf（x）＜0⇔或，
解得0＜x＜2或﹣2＜x＜0，
∴xf（x）＜0的解集为：（﹣2，0）∪（0，2），
故答案为：（﹣2，0）∪（0，2）
三、解答题
17．已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣4，或x＞1}，B={x|﹣3≤x﹣1≤2}，（1）求A∩B、（∁U A）∪（∁U B）；
（2）若集合M={x|2k﹣1≤x≤2k+1}是集合A的子集，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）因为全集U=R，集合A={x|x＜﹣4，或x＞1}，B={x|﹣3≤x﹣1≤2}={x|﹣2≤x≤3}，
所以A∩B={x|1＜x≤3}；
（C U A）∪（C U B）=C U（A∩B）={x|x≤1，或x＞3}；
（2）①当M=∅时，2k﹣1＞2k+1，不存在这样的实数k．
②当M≠∅时，则2k+1＜﹣4或2k﹣1＞1，解得k或k＞1．
18．计算下列各题：
（1）计算的值．
（2）计算的值．
【解答】解：（1）原式=
=0.3+2﹣3+2﹣2﹣2﹣3=0.3+0.25=0.55．
（2）原式=lg25+2lg2lg5+lg22+2=（lg2+lg5）2+2×5=1+10=11．
19．设函数f（x）=a﹣，
（1）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数；
（2）确定a的值，使f（x）为奇函数及此时f（x）的值域．
【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为R，设x1＜x2，
则=，
∵x1＜x2，∴，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．
（2）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），
即，
解得：a=1．∴．
∵2x+1＞1，∴，
∴，∴﹣1＜f（x）＜1
所以f（x）的值域为（﹣1，1）．
20．如图所示，一个空间几何体的正视图，侧视图，俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边为1
（1）画出几何体的直观图；
（2）求几何体的表面积和体积．
【解答】解：（1）由几何体的三视图知，
该几何体是一个三棱锥，
几何体的直观图如右图．
（2）S
=3××1+=，
表
V===．
21．已知圆锥的母线长为10cm，底面半径为5cm，
（1）求它的高；
（2）若该圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的体积．
【解答】解：（1）设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
∵l=10cm，r=5cm，∴h==cm
即圆锥的高等于cm；
（2）作出圆锥的轴截面如图，球于圆锥侧面相切，
则OE⊥AB于E，BD⊥AD于D，OE=OD=R，（R为球的半径）
则△AEO～△ADB，可得，即，
解之得球半径R=cm，
因此球的体积V===cm3．
答：（1）圆锥的高等于cm；（2）球的体积等于cm3．
22．设函数
（1）当a=0.1，求f（1000）的值．
（2）若f（10）=10，求a的值；
（3）若对一切正实数x恒有，求a的范围．
【解答】解：（1）当a=0.1时，f（x）=lg（0.1x）•lg
∴f（1000）=lg100•lg=2×（﹣7）=﹣14
（2）∵f（10）=lg（10a）•lg=（1+lga）（lga﹣2）=lg2a﹣lga﹣2=10∴lg2a﹣lga﹣12=0
∴（lga﹣4）（lga+3）=0
∴lga=4或lga=﹣3
a=104或a=10﹣3
（3）∵对一切正实数x恒有
∴lg（ax）•lg对一切正实数恒成立
即（lga+lgx）（lga﹣2lgx）
∴对任意正实数x恒成立
∵x＞0，∴lgx∈R
由二次函数的性质可得，
∴lg2a≤1
∴﹣1≤lga≤1
∴0。