2015年新人教版八年级下第16章二次根式复习课课件
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八年级数学下册 第十六章 二次根式章末知识复习课件下册数学课件
)
(A) 1 化简后的结果是 2
2
2
(B)9 的平方根为 3
(C) 8 是最简二次根式 (D)-27 没估计(2 30 - 24 )· 1 的值应在( B ) 6
(A)1 和 2 之间 (B)2 和 3 之间 (C)3 和 4 之间 (D)4 和 5 之间
第十六页，共二十二页。
3.(六盘水中考)无论 x 取何实数,代数式 x2 6x m 都有意义,则 m 的取值范围为
m≥9 .
1
4.(黔南州中考)计算:2 1 × 9 - 12 + 3 7 1 =
2
.
3
8
5.计算:
(1)(2018 安徽)50-(-2)+ 8 × 2 ;
解:(1)50-(-2)+ 8 × 2 =1+2+4=7.
章末知识(zhī shi)复习
1.二次根式的定义:一般地,我们把形如 a (a ≥ 0)的式子叫做二次根式,“ 为二次根号.
”称
(1)二次根式的定义是以形式界定的,如 2 是二次根式; (2)形如 b a (a≥0)的式子也叫做二次根式; (3)二次根式 a 中的被开方数 a,可以是数,也可以是单项式、多项式、分式,但必须满足 a≥0.
(fēnmǔ)
开得尽方的因数或因式.
第二页，共二十二页。
4.二次根式的乘、除法则: (1)乘法法则: a · b = a b
(a ≥ 0,b ≥ 0);
a
(2)除法法则: a =
b
(a ≥
>
0,b
0).
b
提示:(1)进行乘法运算时,若结果是一个完全平方数,则应利用
a2
=|a|=
a a 0
八年级数学下册第16章二次根式复习课课件新新人教
解： ?a ? 2?2 ? ?a ? 1?2 ???a? 2 a 1 , 分三种情况(qíngkuàng)讨
?当a =(- ≤-2时，原式
a -2)-[-(
a-1)]=-a-2+a -1=-3;
?当-2＜a≤1时，原式 =(a+2)+( a-1)= 2a+1;
?当a＞1时，原式 =(a +2)-( a-1)=3.
第九页，共28页。
考点讲练
初中(chūzhōng)阶段主要涉及三种非a负≥数0 ，：|a|≥0，
a2≥0. 如果(rúguǒ)若干个非负数0的，和那为么(nà me)这若干个
非负数都必为 0.这是求一个方程中含有多个未知
数的有效方法之一 .
第十页，共28页。
考点讲练
例3 实数(as、hìbs在hù数) 轴(shùzhóu)上的位置如图所示，请化简：
y x xy
xy
? ?2
2 2 ?2
?
? 6.
1
第二十四页，共28页。
专题 3 类别思想
专题讲练
例3 阅读(yuèdú)材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子(shì zi)可以
? ? 写成另一个(yī ɡè)式子的平方3，? 2如2 ? 1 ? 2 2 ，善于思
考的小明进行了以下探索：
第十五页，共28页。
考点讲练
例5 把两张面积(miàn18j的ī)正都方为形纸片各剪去一个(yī ɡè)面 为 2的正方形，并把这两张正方形纸片按照(ànzhào)如图所
示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸 盒．求这个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）．
解： S= ??（ 18 -
2 ）?
人教版八年级数学 下册：16章 二次根式 复习和小结【课件】(共16张PPT)
人教版 八年级 下册
第16章 小结与复习
知识回顾
问题 如果a，b分别表示实数，数可以运算，请用基本
运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）连接它们，你能 得到哪些算式？
如： -2ab2，3a-4b， a+b ， a ， a b， a b ， a + a3 a
请找出整式、分式、二次根式各一个．
知识回顾
算术平方根 二次根式
基本性质 乘除法则
乘除运算
化简（最简 二次根式）
分配律
加减运算
混合运算
典型例题
例1 （1）要使 x-2 有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
典型例题
例2
典型例题
（1）下列各式中，是最简二次根式的是（ B ）． NhomakorabeaA． 8
1 B． 70 C． 99 D．
x
典型例题
典型例题
例4 计算：（1）3 12-2 48+ 8
3
课堂小结
（1）什么叫代数式？
（2）能说说本章的主要知识吗？
（3）实数的运算律在二次根式及其余代数式中都可以 运用吗？为什么？
课后作业
作业：教科书第19～20页复习题16．
（1）什么叫二次根式？我们主要研究了什么？ （2）你认为二次根式与算术平方根有什么联系？
（3）你能说出二次根式乘法与除法法则吗？
（4）什么是最简二次根式，如何化简二次根式？
（5）二次根式的加减运算与整式的加减运算有何异同？
知识整理
问题2 请思考本章各知识点之间的逻辑关系以及与前面 已学习的知识之间的关系，画出本章的知识结构图．
典型例题
（3） 80-（ 3 1 + 4 45）． 55
第16章 小结与复习
知识回顾
问题 如果a，b分别表示实数，数可以运算，请用基本
运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）连接它们，你能 得到哪些算式？
如： -2ab2，3a-4b， a+b ， a ， a b， a b ， a + a3 a
请找出整式、分式、二次根式各一个．
知识回顾
算术平方根 二次根式
基本性质 乘除法则
乘除运算
化简（最简 二次根式）
分配律
加减运算
混合运算
典型例题
例1 （1）要使 x-2 有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
典型例题
例2
典型例题
（1）下列各式中，是最简二次根式的是（ B ）． NhomakorabeaA． 8
1 B． 70 C． 99 D．
x
典型例题
典型例题
例4 计算：（1）3 12-2 48+ 8
3
课堂小结
（1）什么叫代数式？
（2）能说说本章的主要知识吗？
（3）实数的运算律在二次根式及其余代数式中都可以 运用吗？为什么？
课后作业
作业：教科书第19～20页复习题16．
（1）什么叫二次根式？我们主要研究了什么？ （2）你认为二次根式与算术平方根有什么联系？
（3）你能说出二次根式乘法与除法法则吗？
（4）什么是最简二次根式，如何化简二次根式？
（5）二次根式的加减运算与整式的加减运算有何异同？
知识整理
问题2 请思考本章各知识点之间的逻辑关系以及与前面 已学习的知识之间的关系，画出本章的知识结构图．
典型例题
（3） 80-（ 3 1 + 4 45）． 55
人教版八年级下册数学《二次根式的加减》二次根式说课复习教学课件
a
（a 0, b 0）
b
b
问题4
在进行二次根式的乘除运算时，需要注意什么？
需要注意的是：运算结果要化成最简形式.
新课导入
问题5 二次根式的加减运算法则是什么？
a c b c ( a b) c
问题6
二次根式的加减运算法则的依据是什么？
加减法则的依据是：乘法分配律.
知识讲解
在七年级我们就已经学
第 十六章 二次根式
二次根式的加减
（第1课时）
课件
学习目标
1
了解二次根式的加、减运算法则.（重点）
2
会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.（难点）
新课导入
知识回顾
1.同类项的概念： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
叫做同类项.
2.合并同类项的概念： 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并
= （2 2 − 3） × （2 2 + 3）
2018
= （ − 1）2018 ＝1.
随堂训练
4.计算：（1)
32 1
+
2+ 3
2− 3
解：（1）
32 + 2 ÷ 2
D. 3( 2 + 3) = 6 + 2 3
随堂训练
2. 已知 = 3 + 2, = 3 − 2, 求下列各式的值：
(1) x 2 2 xy y 2 ;
(2) x 2 y 2 .
解：
(1) x 2 2 xy y 2 ( x y ) 2
[( 3 2) ( 3 2)]2
(3) 8 +
4 3 12 −
1
1
（a 0, b 0）
b
b
问题4
在进行二次根式的乘除运算时，需要注意什么？
需要注意的是：运算结果要化成最简形式.
新课导入
问题5 二次根式的加减运算法则是什么？
a c b c ( a b) c
问题6
二次根式的加减运算法则的依据是什么？
加减法则的依据是：乘法分配律.
知识讲解
在七年级我们就已经学
第 十六章 二次根式
二次根式的加减
（第1课时）
课件
学习目标
1
了解二次根式的加、减运算法则.（重点）
2
会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.（难点）
新课导入
知识回顾
1.同类项的概念： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
叫做同类项.
2.合并同类项的概念： 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并
= （2 2 − 3） × （2 2 + 3）
2018
= （ − 1）2018 ＝1.
随堂训练
4.计算：（1)
32 1
+
2+ 3
2− 3
解：（1）
32 + 2 ÷ 2
D. 3( 2 + 3) = 6 + 2 3
随堂训练
2. 已知 = 3 + 2, = 3 − 2, 求下列各式的值：
(1) x 2 2 xy y 2 ;
(2) x 2 y 2 .
解：
(1) x 2 2 xy y 2 ( x y ) 2
[( 3 2) ( 3 2)]2
(3) 8 +
4 3 12 −
1
1
人教版八年级数学下册第16章二次根式PPT复习课件
A． 5 个
C． 7 个
B． 6 个
D． 8 个
返回
考点
1
三个概念
概念3 最简二次根式
4．下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？
① 3a b ；
2
2 ② ； 5
2 xy ⑤ ； 2
③ x 2＋y 2 ；
⑥ 0.21 .
返回
④
6；
解：③④是最简二次根式，①②⑤⑥不是．
考点
2
四个性质
性质1
a
1 1 1 2 先化简，再求值： ＋ 2 ＋a －2 ，其中a＝ a a 5
.
甲同学的解法是：
－ a ＋ －a －a,10－ 原式 ＋ a a a a 5 5 a 乙同学的解法是： 1 1 1 1 2 1
2
49
原式
1 1 1 1 1 ＋ a－ ＋a－ a a a a a 5
9－2 2 2 7 2 2 14 2
返回
考点
4
两个技巧
技巧1 倒数法
15．比较 2019－ 2018 与 2018－ 2017 的大小．
解：
1 2019－ 2018
2019＋ 2018 2019－ 2018
2019＋ 2018
2019＋ 2018 2019 －
返回
考点
2
四个性质
性质3 积的算术平方根
3－a a＋1 成立的所有整数
11．能使得
3－a a＋1 =
5 a的和是________ ．
返回
12．化简：
(1) 500 ；
2015新人教版八年级下第16章《二次根式》复习ppt课件(16页)
图 21－1
数学·新课标（RJ）
第16章复习 ┃ 考点攻略 ► 考点三 二次根式的化简
例 3 设 2＝a， 3＝b，用含 a，b 的式子表示 0.54，则下 列表示正确的是( C ) A．0.03ab B．3ab
C．0.1ab3 D．0.1a3b
数学·新课标（RJ）
第16章复习 ┃ 考点攻略
开得尽方
的因数或因式．
数学·新课标（RJ）
第16章复习 ┃ 知识归类
4．二次根式的运算 a· b＝ b>0)． 二次根式加减时，可以先将二次根式化成 最简二次根式 ， 再将
ab
a (a≥0，b≥0)； ＝ b
a b
(a≥0，
被开方数相同
的二次根式进行合并．
数学·新课标（RJ）
第16章复习 ┃ 考点攻略
(2)(1－ 3＋ 2)(1＋ 3－ 2)．
[解析] 两个以上的二次根式相乘与两个二次根式相乘的方 法一样，把它们的系数、被开方数分别相乘，根指数不变．
数学·新课标（RJ）
第16章复习 ┃ 考点攻略
3 5 解：(1)原式＝－ × ×2 10 3
5ab 2ac 15bc · · c b a
＝－ 5×2×15×3abc＝－5 6abc. (2)原式＝[1－( 3－ 2)]· [1＋( 3－ 2)]＝1－( 3－ 2)2 ＝1－( 3)2＋2· 3· 2－( 2)2＝1－3＋2 6－2＝2 6－4.
[解析] C
0.54＝
9×6 32· 3· 2 54 54 ＝ ＝ ＝ ，因为 100 10 10 10
ab3 2＝a， 3＝b，所以 0.54＝ ＝0.1ab3，故答案为 C. 10
数学·新课标（RJ）
人教版数学八年级下册 第16章 二次根式的复习 第2课时 课件
1995 a 0.
a 1995 a 2 000 a．
a 2 000 1995．
a 2 000 19952．
a 19952 =2 000．
若实数x，y满足 x 2 y 2 2 3 y 3 0，求xy 的值．
二
次
根
式
的
性
质
应
用
解：原式 144 25 169 13．
• 典型错误
1
化简： 4 .
3
被开方数为带分数形式，应转化为假分数的形式．
1
3 2
3．
解：原式 4
2 2
3
3
3
13
解：原式
3
39
39
．
2
3
3
• 典型错误
1
化简： ab a
.
a
进行乘除混合运算时，应严格按照从左到右的顺序进行．
了解二次根式、最简二
次根式的概念，会确定
二次根式有意义的条件；
理解二次根式的性质，
能根据性质对二次根
式进行变形；
了解二次根式的加、
减、乘、除运算法则，
会用运算法则进行简
单运算．
• 典型错误
化简：122 52 .
在化简时应按照运算顺序先求出被开方数，再求算术平方根．
解：原式 122 52 12+5 17．
3.5 c 4．
c的整数部分为3 .
3+2
7<2c<8
×2
1.5+
+1.5
+1.5
3.5<c<4.5
第16章二次根式复习课件-人教版八年级数学下册
x2 2x 1
B
考点二 二次根式的性质
(a 1) a 1 2
当a≤-2时，原式=(-a-2)-[-(a-1)]=-a-2+a-1=-3;
下列根式中，哪些是最简二次根式？
求下列二次根式中字母a的取值范围:
D 下列运算正确的是
考点二 二次根式的性质
（）
（２）当
时，
A.a 1 3个
B.
若1<a<3，化简
B.a 的结果是 . 1
A、2a-b
B、2c-b
A、2a-b
B、2c-b
C.a 1
D.a 1
考点二 二次根式的性质
ac
D
c a (a c b)2
考点二 二次根式的性质
( 3)2 ____3
x 1
(1 x)2 _x___1
(x 2)2 x 2
x2
考点二 二次根式的性质
| a | a2 b2 .
1 5 √ 2 3 33 21
4 bb 0 √ 5 a 2a 2 √
6 a b a b 73 5m2 8 x2 1 √
考点一 二次根式的相关概念
(1) 3a 2;
(2) 1 ; 1 2a
解:((21))由由题题意意得得132aa20，0a， a1； 23；
2
5;
a2 ;
3
3;
8;
x 1(x 1);
考点四 二次根式的运算及应用
若实数a,b满足 A、2a-b
B、2c(-b1)
8
12则
2. ;
当a≤-2时，原式=(-a-2)-[-(a-1)]=-a-2+a-1=-3;
(2)5 15
3 5
【最新】人教版八年级数学下册第十六章《二次根式复习》优质公开课课件
2.二次根式的性质(2)：
3.二次根式的运算：
二次根式乘法法则
二次根式除法法则
二次根式的加减：
类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。
二次根式的混合运算：
原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用， 原来所学的乘法公式（如 ,
）仍然适用。
2
二、课前热身
1、
2、计算或化简：
①
②
?
3
③在直角坐标系中，点P（1， ）到原点的距离是_________ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
3、若 ，则实数a在数轴上的对应点一定在( ) A、原点左侧 B、原点右侧 C、原点或原点左侧 D、原点或原点右侧
1.当x取何值时，下列二次根式有意义：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
题型1:二次根式有意义的条件
3.(2005.青岛)
有意义的条件是______
2.（2005.吉林）当 _____时， 有意义。
4.求下列二次根式中字母的取值范围
解：
①
②
≤3
a=4
说明：二次根式被开方数大于等于0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式(组)
解得
解：由题意，得
题型3:化简
把下列二次根化为最简二次根式
变式应用
1.式子 成立的条件是（ ）
D
题型4:同类二次根式
1.下列与
是同类二次根式的有:( )
B.
C.
D.
A.
2.下列与
不是同类二次根式的有:( )
B.
C.
D.
A.
（题中 ）
B
D
3.二次根式的运算：
二次根式乘法法则
二次根式除法法则
二次根式的加减：
类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。
二次根式的混合运算：
原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用， 原来所学的乘法公式（如 ,
）仍然适用。
2
二、课前热身
1、
2、计算或化简：
①
②
?
3
③在直角坐标系中，点P（1， ）到原点的距离是_________ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
3、若 ，则实数a在数轴上的对应点一定在( ) A、原点左侧 B、原点右侧 C、原点或原点左侧 D、原点或原点右侧
1.当x取何值时，下列二次根式有意义：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
题型1:二次根式有意义的条件
3.(2005.青岛)
有意义的条件是______
2.（2005.吉林）当 _____时， 有意义。
4.求下列二次根式中字母的取值范围
解：
①
②
≤3
a=4
说明：二次根式被开方数大于等于0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式(组)
解得
解：由题意，得
题型3:化简
把下列二次根化为最简二次根式
变式应用
1.式子 成立的条件是（ ）
D
题型4:同类二次根式
1.下列与
是同类二次根式的有:( )
B.
C.
D.
A.
2.下列与
不是同类二次根式的有:( )
B.
C.
D.
A.
（题中 ）
B
D
人教版八年级下册数学课件：第十六章 二次根式 复习课(共75张PPT)
1 (6) x2
(8) 3 x | x | 4
x0
X≤3且X≠-4
3、若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简 |3x+x2| 的结果是（ -2X ）
4、求下列二次根式中字母的取值范围：
(1) a 1 (2) 1
1 2a
(3) (a 3)2
4 2 5x 5 2x 12
6 x 5 3 2x
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
初中阶段的三个非负数：
a (a≥０)
|a|
≥０
a2
a + b = 0 ? a 0,b = 0 a+ | b |= 0 ? a 0,b = 0 a2+ | b |= 0 ? a 0,b = 0 ......
∴ x2 - 2x + 1 = 1- x = 1+ 3
∴当x＝- 3时， x2 - 2x+ 1 = 1+ 3
( a )2 a (a 0)
a2
a
a(a 0) a(a 0)
a2与（ a）2一样吗？
你的理由是什么？
( a )2 a(a 0)
a(a 0)
a2 a a(a 0)
注意区别 a 2 与( a）2
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
式子 S25 ，
人教版八年级数学下册第十六章《二次根式单元复习》公开课课件
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ
的取值范围
1
（１） 3 x
（２）
2x 5
（３） 1 x （４） x3 8x
x
（５） x2 2x（６） x2 2x 1
2．（１） (3)2 ____
（２）当 x 1 时， (1x)2 ____
（３） (x2)2 x2 ，
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
（４）若
(x 7)2 1
4
拓展1
设a、b为实数,且| 2 -a|+ √ b-2 =0
（ 1 ） 求 a 2- 22 a + 2 + b 2 的 值 . a 2， b 2
(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这 个等腰三角形的面积.
解:若a为腰,b为底,此时底边上的高为 （ 2）2 1 1
∴三角形的面积为 1 2 1 1
A.3
B.-3
C.1
D.-1
抢答:判断下列二次根式是否是最简二次根式, 并说明理由。
(1) 50
(2) a2bc
(3) x2y
(4)0.75 (5)(ab)a(2b2) (6)16 2 满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式 （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
宽25cm，长60cm.一只蚂蚁从A点爬到B
点最短路程是多少？
B
解：
60
25
B
15
60
25
25
15
15
60
15
60
A 25
AB 602 802
A
10000
100
必做题： 复习题21
DP
人教版八年级数学下册课件：第16章二次根式复习——考点整合(共20张PPT)
考点概括 主要考点可概括为:
三个概念，四个性质，一个运算，两个技巧.
6
考点一：三个概念
典例讲练
概念1
若
= (x+y)2,求 x-y 的值.
7
考点一：三个概念
典例讲练
概念2
2 .下列式子中属于代数式的有( )
① 0;② 2a;③ x+y＝2;④ x-5;⑤ 2a;⑥
;⑦ a≠1;③ x≤3
A.7个 B.6个 C.5个 D.4个
典例讲练
83
15
考点四：两个技巧
典例讲练
技巧1 倒数法比较大小
15.比较
与
的大小.
16
考点四：两个技巧
典例讲练
技巧2 整体代入求值
16.已知x＝
，那么x2-
x的值是 .
17.已知x＝ -1，y＝ +1，求
的值.
17
考点四：两个技巧
典例讲练
技巧2 整体代入求值
18.已知 x+y= -7，xy=12，求
19.已知a-b＝
，b-c＝
ab-bc-ac)的值.
的值. ，求2(a2+b2+c2-
18
蓦然回首
对自己说，你有什么收获？ 对同学说，你有什么温馨提示？ 对老师说，你还有什么困惑？
19
作业布置
1.《能力》单元测；
20
3.农民张大伯因病住院，手术费为a元，其他费用为b元，
由于参加农村合作医疗，手术费报销85％，其他费用报销
60％，则张大伯此次住院共报销
元.(用
代数式表示)
8
考点一：三个概念
典例讲练
概念3
4.二次根式 或等于0)中，是最简二次根式的有( A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
三个概念，四个性质，一个运算，两个技巧.
6
考点一：三个概念
典例讲练
概念1
若
= (x+y)2,求 x-y 的值.
7
考点一：三个概念
典例讲练
概念2
2 .下列式子中属于代数式的有( )
① 0;② 2a;③ x+y＝2;④ x-5;⑤ 2a;⑥
;⑦ a≠1;③ x≤3
A.7个 B.6个 C.5个 D.4个
典例讲练
83
15
考点四：两个技巧
典例讲练
技巧1 倒数法比较大小
15.比较
与
的大小.
16
考点四：两个技巧
典例讲练
技巧2 整体代入求值
16.已知x＝
，那么x2-
x的值是 .
17.已知x＝ -1，y＝ +1，求
的值.
17
考点四：两个技巧
典例讲练
技巧2 整体代入求值
18.已知 x+y= -7，xy=12，求
19.已知a-b＝
，b-c＝
ab-bc-ac)的值.
的值. ，求2(a2+b2+c2-
18
蓦然回首
对自己说，你有什么收获？ 对同学说，你有什么温馨提示？ 对老师说，你还有什么困惑？
19
作业布置
1.《能力》单元测；
20
3.农民张大伯因病住院，手术费为a元，其他费用为b元，
由于参加农村合作医疗，手术费报销85％，其他费用报销
60％，则张大伯此次住院共报销
元.(用
代数式表示)
8
考点一：三个概念
典例讲练
概念3
4.二次根式 或等于0)中，是最简二次根式的有( A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
人教版八年级下册数学课件：第十六章 二次根式 复习课%28共75张PPT%29
当x＝ 3 时，x－１<０
∴ x2 2x11x 1 3
∴当x＝ 3 时， x2 2x 1 1 3
性质2:
( a )2 a (a 0)
性质3:
a2
a
a(a0)
a(a0)
a2与（ a）2一样吗？
你的理由是什么？
( 性质2: a )2 a(a 0)
性质3:
a(a0)
a2 a a(a0)
注意区别 a2与( a）2
-a ( a <0 )
归 纳
由 a2 aa0,可以得 a a2a0。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25,
0.9 0.81
例 求下列二次根式的值
(1 )(3 )2 (2 )x 2 2 x1 (x 3 )
解：(1) (3 )2 |3 |
∵3 0
∴ (3 )2
3
(2) x2 2x1 (x1)2 |x1|
当 a＜ 0 时 ， a2 = -a 。
也 就 是 说 ： a 2 = |a | 。
第三部分 二次根式的乘除法
复习归纳
二次根式的性质：
（1） ( a ) 2 a （a≥0）
（2） a 2 |a|
当a≥0时，= a； 当a≤0时，= -a.
复习归纳
二次根式的性质：
（3） a b a • b（a ≥0 ， b≥0）
(1)x2 2
x 2 (2 ) 2 x 2 x 2
(2)2x2 3y2
( 2 x ) 2 ( 3 y ) 2 2 x 3 y 2 x 3 y
a2 a(a 0) 反过来就是 a a2 (a 0)
把) 3 2
(3) x 1 x
八年级数学下册 16 二次根式的复习课件 (新版)新人教版
(1) x 2 2 (2)2 x 2 3 y 2
第二十五页，共29页。
练习．在实数(shìshù)范围内分解因式
（1） 3x 2 15
（2） 2a2 4b2
第二十六页，共29页。
练习(liànxí)与
1反．馈要使下列式子有意义，求字母
(zìmǔ)X 的取值范围
1
（１29页。
例：计算(jì (s1u)à3n)2 3 2 2 3 3
解：原式 （3 2 2 2）（ 3 3 3）
2 2 3
小结
(2) 8 18 12
先(x化iǎo简jié，)：
解：原式 4 2 9 2 4 3
2 2 3 2 2 3
再合并 (hébìng)同类
围:
(1) 3a 2
(2)
1
1 2a
解:由3a 2 0 题意 得, a 2
3
解:由题意得,
1 0 1 2a 1 2a 0
1 2a 0
第六页，共29页。
a1 2
(3) (a 3)2
解:由题意得, (a 3)2 0 a 可取全体实数
(4) a a 1
解:由题意得,
a
a 1
0
a 1 0
a a
0 1
或 0
a a
0 1
0
a 1或 a 0
第七页，共29页。
小结一下
求二次根式(gēnshì)中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数(bèi kāi fānɡ shù)不小于零； ②分母中有字母时，要保证(bǎozhèng)分母不为
第八页，共29页。
?
题型2:二次根式(gēnshì)的非负性的 注意应：几用个.(jǐ ɡè)非负数的和为0，则每一个非负数必为
第二十五页，共29页。
练习．在实数(shìshù)范围内分解因式
（1） 3x 2 15
（2） 2a2 4b2
第二十六页，共29页。
练习(liànxí)与
1反．馈要使下列式子有意义，求字母
(zìmǔ)X 的取值范围
1
（１29页。
例：计算(jì (s1u)à3n)2 3 2 2 3 3
解：原式 （3 2 2 2）（ 3 3 3）
2 2 3
小结
(2) 8 18 12
先(x化iǎo简jié，)：
解：原式 4 2 9 2 4 3
2 2 3 2 2 3
再合并 (hébìng)同类
围:
(1) 3a 2
(2)
1
1 2a
解:由3a 2 0 题意 得, a 2
3
解:由题意得,
1 0 1 2a 1 2a 0
1 2a 0
第六页，共29页。
a1 2
(3) (a 3)2
解:由题意得, (a 3)2 0 a 可取全体实数
(4) a a 1
解:由题意得,
a
a 1
0
a 1 0
a a
0 1
或 0
a a
0 1
0
a 1或 a 0
第七页，共29页。
小结一下
求二次根式(gēnshì)中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数(bèi kāi fānɡ shù)不小于零； ②分母中有字母时，要保证(bǎozhèng)分母不为
第八页，共29页。
?
题型2:二次根式(gēnshì)的非负性的 注意应：几用个.(jǐ ɡè)非负数的和为0，则每一个非负数必为
【数学课件】八年级数学下第16章二次根式复习课件(人教版)
数学方法是数学的灵魂，只有掌握了数学思 想方法，才能真正地学好数学知识，将知识转 化为能力。初中数学竞赛中渗透了不少数学思 想方法，下面本章的有关赛题为例，说明数学 竞赛中常用的数学方法。
二次根式中的数学方法一换元法
换元法是一种重要的数学方法，它在解题中有着广泛的应用． 对于一些复杂的根式运算，通过换元，将其转化为有理式的运算， 可以使得运算简便． 例1．
典题精讲——实数的大小比较
数的大小比较秘决： 1、正数＞零＞负数；对于两个负数，绝对 值大的反而小，这是比较法则． 2、大小比较的常用方法：
①作差法； ②倒数法； ③作比法．
典题精讲——实数的大小比较
典题精讲——实数的大小比较
分析：尝试直接比较或作差比较，难以实现．因此可考虑倒数法．
典题精讲——实数的大小比较
构造方程与方程组
复合二次根式的化简
【点评】复合二次根式的化简，一般是将二次根式中的被开方数 配成完全平方式，然后再求解的方法，这也叫用配方法．配方时 有时需要通过几次拼凑方可达到目的． 配方法主要用来解竞赛中经常出现的复合二次根式的化简 问题和需要用完全平方公式解决的问题．
二次根式中的数学方法
a a b ab 分母有理化： b b b b
分母有理化一巧用因式分解法
分母有理化
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
二次根式中的数学方法一换元法
换元法是一种重要的数学方法，它在解题中有着广泛的应用． 对于一些复杂的根式运算，通过换元，将其转化为有理式的运算， 可以使得运算简便． 例1．
典题精讲——实数的大小比较
数的大小比较秘决： 1、正数＞零＞负数；对于两个负数，绝对 值大的反而小，这是比较法则． 2、大小比较的常用方法：
①作差法； ②倒数法； ③作比法．
典题精讲——实数的大小比较
典题精讲——实数的大小比较
分析：尝试直接比较或作差比较，难以实现．因此可考虑倒数法．
典题精讲——实数的大小比较
构造方程与方程组
复合二次根式的化简
【点评】复合二次根式的化简，一般是将二次根式中的被开方数 配成完全平方式，然后再求解的方法，这也叫用配方法．配方时 有时需要通过几次拼凑方可达到目的． 配方法主要用来解竞赛中经常出现的复合二次根式的化简 问题和需要用完全平方公式解决的问题．
二次根式中的数学方法
a a b ab 分母有理化： b b b b
分母有理化一巧用因式分解法
分母有理化
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
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萨拉齐第四中学：郜志雁 2015.02.08
本章知识框架
本章总结提升
整合拓展创新
► 类型之一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
根据二次根式的定义，式子 a 中，被开方数 a 必须是非 负数，即 a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围．
本章总结提升
例1 (1)
x 为何值时，下列二次根式在实数范围内有意义？ 1 x＋2； 3 (2) x ＋2 ； x＋5 3－x .
本章总结提升
已知△ABC 的三边 a ，b ，c 满足 (a －5) ＋ b－5 ＋ B | c－1 －2|＝0，则△ABC 为( )
例 3
2
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
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【针对训练】 5．[2013·广东 ] 若实数 a，b 满足|a＋2|＋ b－4 ＝0，则 a2 ＝________． b
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例 4 计算：
1 3 (1) 20 × (－ 15 )÷－ 48 ； 2 3
(2) 18 －
9 3＋ 6 0 2 － ＋( 3 －2) ＋ （1－ 2） . 2 3
本章总结提升
例5
计算：(－3) － 27 ＋ 1－ 2 ＋
0
. 3＋ 2
2 a －3a＋1＝0， 所以 b＋1 ＝0，
1 1 1 2 2－ a ＋ ＝3，b＝－1，所以 a ＋ 2＝a＋ a a a
1 2＝3 －2＝7，所以 a ＋ 2－|b|＝ 7－1＝6. a
2 2
本章总结提升 ► 类型之四 二次根式的混合运算
二次根式混合运算的顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减， 有括号的先算括号里面的．实数运算中的运算律(分配律、结合律、 交换律等)，所有的乘法公式(平方差公式、完全平方公式等)在二 次根式的运算中仍然适用．
图 16 －T－1
A．2a－b B．b C．－b D．－2a＋b
[解析] C 由图 16－T－1 可知 a＞0，b＜0，所以 a－b＞0， 则|a－b|－ a ＝|a－b|－|a|＝a－b－a＝－b.
2
本章总结提升
►
类型之三
二次＝0 得到 a＝ b＝0，这是求一个方程中 含有多个未知数的有效方法之一．这类题目的一般形式有如下几 种： x ＋ y ＝ 0； x ＋|y| ＝0； x ＋y2＋|z|＝0 等．
2
x＋1 (3) ； x－2
(4)
双人板演，选择练习
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[归纳总结] 在确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
时，常常从以下三个方面来考虑：①被开方数大于或等于 0；②
分母不等于0；③零次幂的底数不能为0.
本章总结提升
【针对训练】
1 1．要使 3－x ＋ 有意义，则 x 应满足( D ) 2x－1 1 1 A. ≤x≤3 B．x≤3 且 x≠ 2 2 1 1 C. <x<3 D. <x≤3 2 2
本章总结提升
【针对训练】 3．已知 x<1，则 x2－2x＋1化简的结果是( D )
A．x－1 B．x＋1 C．－x－1 D．1－x
[解析] D x2－2x＋1＝ （x－ 1）2＝|x－1|.
∵x<1，∴x－1<0 ，∴原式＝1－x.
本章总结提升
4．实数 a，b 在数轴上的位置如图 16－T－1 所示，那么化 简|a －b|－ a2 的结果是( C )
2 － × x2 . x
注意：引导分析X的取值范围
2 解：由题意知－ ≥0 ，∴ x<0，∴ x
2
2 － × x2 ＝ x
2 × －x
2× －x －2x （－x ） ＝ ×(－x)＝ × (－x)＝ ×(－x) 2 － x －x －x ＝ －2x.
2
本章总结提升
[归纳总结] 在化简被开方数中含有字母的二次根式时，首先 要判断字母的符号．对于形如的式子的化简，首先应化成|a|的形 式，再根据a的取值进行计算．
[答案] 1
[解析 ] 由|a＋2| ＋ b－4 ＝0 可得 a＋2＝0， b－4＝0，解 a2 得 a＝－2，b＝4，所以 ＝1. b
本章总结提升
1 b 6． 若 a －3a＋1＋b ＋ 2b＋1＝0 ， 则 a ＋ 2－ ＝ ________． a
2 2 2
[答案] 6
[ 解 析 ] 依 题 意 ， 得 a2－3a＋1 ＋ (b ＋ 1) 2 ＝ 0 ， 所 以
2 2 2
其中 a ＝1＋ 2 ，b＝1－ 2.
本章总结提升
[归纳总结] 分式的化简离不开因式分解，将分式的分子、分
母分别分解因式，便于约分与通分．在分式的混合运算中常常将
分式的除法转化为乘法运算．
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【针对训练】
8．已知 x＝2－ 10 ，试求代数式 x2－4x－6 的值．
解：方法一：∵x＝2－ 10 ，∴x－2＝－ 10 ， ∴x2－4x＋4＝10，即 x2－4x＝6， ∴x2－4x－6＝6－6＝0. 方法二：x －4x－6 ＝x －4x＋4 －10＝(x－2) －10. 当 x＝2－ 10时， 原式＝(2－ 10 －2)2－10＝10－10＝0.
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2．若 y＝ 2x－2015＋ 2015－2x－1，则 2x＝______，y ＝______.
[答案] 2015
－1
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►
类型之二
二次根式性质的应用
2
对于形如 a 的二次根式的化简，用公式 a
2
a（a≥0）， ＝|a|＝ －a（ a<0）.
本章总结提升
例2
计算：
1
解：( －3) － 27 ＋ 1－ 2 ＋
0
1 3＋ 2
＝1－ 3 3 ＋ 2 －1＋ 3 － 2 ＝－2 3.
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【针对训练】
7． [2013·泰安] 化简： 3( 2－ 3)－ 24－︱ 6－3︱＝ ________．
[答案] －6
[解析] 3( 2 － 3)－ 24－︱ 6 －3︱＝ 6 －3－2 6 －
(3－ 6)＝ 6－3－2 6－3＋ 6＝－6.
本章总结提升 ► 类型之五 与二次根式有关的化简求值
将包含二次根式的代数式化简求值时， 可以先把原式化简后再 代入求值，也可以把已知式子适当变形，整体代入求解．
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例6
a －b 2ab －b [2013·襄阳] 先化简， 再求值： ÷ －a ， a a
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► 类型之一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
根据二次根式的定义，式子 a 中，被开方数 a 必须是非 负数，即 a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围．
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例1 (1)
x 为何值时，下列二次根式在实数范围内有意义？ 1 x＋2； 3 (2) x ＋2 ； x＋5 3－x .
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已知△ABC 的三边 a ，b ，c 满足 (a －5) ＋ b－5 ＋ B | c－1 －2|＝0，则△ABC 为( )
例 3
2
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
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【针对训练】 5．[2013·广东 ] 若实数 a，b 满足|a＋2|＋ b－4 ＝0，则 a2 ＝________． b
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例 4 计算：
1 3 (1) 20 × (－ 15 )÷－ 48 ； 2 3
(2) 18 －
9 3＋ 6 0 2 － ＋( 3 －2) ＋ （1－ 2） . 2 3
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例5
计算：(－3) － 27 ＋ 1－ 2 ＋
0
. 3＋ 2
2 a －3a＋1＝0， 所以 b＋1 ＝0，
1 1 1 2 2－ a ＋ ＝3，b＝－1，所以 a ＋ 2＝a＋ a a a
1 2＝3 －2＝7，所以 a ＋ 2－|b|＝ 7－1＝6. a
2 2
本章总结提升 ► 类型之四 二次根式的混合运算
二次根式混合运算的顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减， 有括号的先算括号里面的．实数运算中的运算律(分配律、结合律、 交换律等)，所有的乘法公式(平方差公式、完全平方公式等)在二 次根式的运算中仍然适用．
图 16 －T－1
A．2a－b B．b C．－b D．－2a＋b
[解析] C 由图 16－T－1 可知 a＞0，b＜0，所以 a－b＞0， 则|a－b|－ a ＝|a－b|－|a|＝a－b－a＝－b.
2
本章总结提升
►
类型之三
二次＝0 得到 a＝ b＝0，这是求一个方程中 含有多个未知数的有效方法之一．这类题目的一般形式有如下几 种： x ＋ y ＝ 0； x ＋|y| ＝0； x ＋y2＋|z|＝0 等．
2
x＋1 (3) ； x－2
(4)
双人板演，选择练习
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[归纳总结] 在确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
时，常常从以下三个方面来考虑：①被开方数大于或等于 0；②
分母不等于0；③零次幂的底数不能为0.
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【针对训练】
1 1．要使 3－x ＋ 有意义，则 x 应满足( D ) 2x－1 1 1 A. ≤x≤3 B．x≤3 且 x≠ 2 2 1 1 C. <x<3 D. <x≤3 2 2
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【针对训练】 3．已知 x<1，则 x2－2x＋1化简的结果是( D )
A．x－1 B．x＋1 C．－x－1 D．1－x
[解析] D x2－2x＋1＝ （x－ 1）2＝|x－1|.
∵x<1，∴x－1<0 ，∴原式＝1－x.
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4．实数 a，b 在数轴上的位置如图 16－T－1 所示，那么化 简|a －b|－ a2 的结果是( C )
2 － × x2 . x
注意：引导分析X的取值范围
2 解：由题意知－ ≥0 ，∴ x<0，∴ x
2
2 － × x2 ＝ x
2 × －x
2× －x －2x （－x ） ＝ ×(－x)＝ × (－x)＝ ×(－x) 2 － x －x －x ＝ －2x.
2
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[归纳总结] 在化简被开方数中含有字母的二次根式时，首先 要判断字母的符号．对于形如的式子的化简，首先应化成|a|的形 式，再根据a的取值进行计算．
[答案] 1
[解析 ] 由|a＋2| ＋ b－4 ＝0 可得 a＋2＝0， b－4＝0，解 a2 得 a＝－2，b＝4，所以 ＝1. b
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1 b 6． 若 a －3a＋1＋b ＋ 2b＋1＝0 ， 则 a ＋ 2－ ＝ ________． a
2 2 2
[答案] 6
[ 解 析 ] 依 题 意 ， 得 a2－3a＋1 ＋ (b ＋ 1) 2 ＝ 0 ， 所 以
2 2 2
其中 a ＝1＋ 2 ，b＝1－ 2.
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[归纳总结] 分式的化简离不开因式分解，将分式的分子、分
母分别分解因式，便于约分与通分．在分式的混合运算中常常将
分式的除法转化为乘法运算．
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【针对训练】
8．已知 x＝2－ 10 ，试求代数式 x2－4x－6 的值．
解：方法一：∵x＝2－ 10 ，∴x－2＝－ 10 ， ∴x2－4x＋4＝10，即 x2－4x＝6， ∴x2－4x－6＝6－6＝0. 方法二：x －4x－6 ＝x －4x＋4 －10＝(x－2) －10. 当 x＝2－ 10时， 原式＝(2－ 10 －2)2－10＝10－10＝0.
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2．若 y＝ 2x－2015＋ 2015－2x－1，则 2x＝______，y ＝______.
[答案] 2015
－1
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类型之二
二次根式性质的应用
2
对于形如 a 的二次根式的化简，用公式 a
2
a（a≥0）， ＝|a|＝ －a（ a<0）.
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例2
计算：
1
解：( －3) － 27 ＋ 1－ 2 ＋
0
1 3＋ 2
＝1－ 3 3 ＋ 2 －1＋ 3 － 2 ＝－2 3.
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【针对训练】
7． [2013·泰安] 化简： 3( 2－ 3)－ 24－︱ 6－3︱＝ ________．
[答案] －6
[解析] 3( 2 － 3)－ 24－︱ 6 －3︱＝ 6 －3－2 6 －
(3－ 6)＝ 6－3－2 6－3＋ 6＝－6.
本章总结提升 ► 类型之五 与二次根式有关的化简求值
将包含二次根式的代数式化简求值时， 可以先把原式化简后再 代入求值，也可以把已知式子适当变形，整体代入求解．
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例6
a －b 2ab －b [2013·襄阳] 先化简， 再求值： ÷ －a ， a a