八年级数学全等三角形一对一辅导讲义

八数第二周辅导资料（TH）2016.09.10
辅导容：全等三角形（1）
知识梳理：一、全等图形（概念及其性质）
二、全等三角形（概念及其性质）
三、全等三角形的判定
（1）、判定全等三角形的方法：
（2）、找全等三角形的方法：
（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；
（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；
（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。

（1）缺个角的条件：
1、公共角
2、对顶角
3、两全等三角形的对应角相等
4、等腰三角形
5、同角或等角的补角（余角）
6、等角加（减）等角
7、平行线8、等于同一角的两个角相等（2）缺条边的条件：
9、两全等三角形的对应边相等
8、线段垂直平分线上的点
到线段两端距离相等
7、等面积法
6、等腰三角形
5、角平分线性质
4、等量差
3、等量和
2、中点
1、公共边
10、等于同一线段的两线段相等
基础测试：
1．如图（1），△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，则__________≌__________．
2．斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等的根据是__________，底边和腰相等的两个等腰三角形全等的根据是__________．
3．已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长为32 cm，DE=9 cm，EF=12 cm则AB=____________，BC=____________，AC=____________．
图（1）图（2）图（3）
如图（2），AC=BD，要使△ABC≌△DCB还需知道的一个条件是__________
如图（3），若∠1=∠2，∠C=∠D，则△ADB≌__________，理由______________________．不能确定两个三角形全等的条件是（）
A．三边对应相等B．两边及其夹角相等
C．两角和任一边对应相等D．三个角对应相等
7·△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，若△ABC≌△DEF还需要（）
A．∠B=∠E B．∠C=∠F C．AC=DF D．前三种情况都可以
8·在△ABC和△A′B′C′中①AB=A′B′②BC=B′C′③AC=A′C′④∠A=∠A′⑤∠B=∠B′⑥∠C=∠C′，则下列哪组条件不能保证△ABC≌△A′B′C′（）
A．具备①②④B．具备①②⑤C．具备①⑤⑥D．具备①②③
9、如图，点O是线段AB和线段CD的中点．
（1）求证：△AOD≌△BOC；
（2）求证：AD∥BC．
例题讲解：
例1、（2016•黔西南州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥
ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF
的是（）
A．AB=DE B．AC=DF C．∠A=∠D D．BF=EC
例2、（2016•同安区一模）如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，
求证：△ABC≌△DEC．
变式训练：1、已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．
（1）求证：BD=CE；
（2）求证：∠M=∠N．
例3、（2016•官渡区二模）如图，点E、F在AC上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF，求证：△ABF≌△CDE．
变式训练：
如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。

求证：ACF BDE ∆≅∆。

例4、（2015秋•泉港区期中）已知：Rt △ABC ≌Rt △ADE ，∠ABC=∠ADE=90°，BC 与DE 相交于点F ，连结CD 、EB ． （1）请找出图中其他的全等三角形； （2）求证：CD=EB ； （3）求证：CF=EF ．
例5、如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB=2AD．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）保持图1中△ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；
（3）保持图2中△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予
证明．
变式训练：如图，△ABC中，D是BC的中点，AC∥BG，直线FG过点D交AC于F，交BG 于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连结GE、EF．
（1）求证：BG=CF；
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
例6、如图，AB∥CD，BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，点E在AD上．求证：BC=AB+CD．
反馈检测：
1. 能使两个直角三角形全等的条件是( )
A. 两直角边对应相等
B. 一锐角对应相等
C. 两锐角对应相等
D. 斜边相等
2. 根据下列条件，能画出唯一ABC ∆的是( )
A. 3AB =，4BC =，8CA =
B. 4AB =，3BC =，30A ∠=
C. 60C ∠=，45B ∠=，4AB =
D. 90C ∠=，6AB =
3. 如图，已知12∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①AB AE =；②BC ED =；③C D ∠=∠；④B E ∠=∠。

其中能使ABC AED ∆≅∆的条件有( ) A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
4. 如图，已知AB CD =，BC AD =，23B ∠=，则D ∠等于( )
A. 67
B. 46
C. 23
D. 无法确定
5. 如图，在ABC ∆中，90C ∠=，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，且
:2:3CD AD =，10AC cm =，则点D 到AB 的距离等于__________cm ；
6.将一正方形纸片按如图的方式折叠，,BC BD 为折痕，则CBD ∠的大小为_________；
7. 如图，ABC ∆为等边三角形，点,M N 分别在,BC AC 上，且BM CN =，AM 与BN 交于Q 点。

求AQN ∠的度数。

8. 如图，90ACB ∠=，AC BC =，D 为AB 上一点，AE CD ⊥，BF CD ⊥，交CD 延长线于F 点。

求证：BF CE =。

9. 如图，已知AE ⊥AD ，AF ⊥AB ，AF=AB ，AE=AD=BC ，AD//BC. 求证：（1）AC=EF ，（2）AC ⊥EF
10. 已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E.求证：BD=2CE.
11、已知：∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE，证明：AD=DE+BE．
12、如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∠ABC+∠ADC=180°。

求证：①DC=BC；②AD+AB=AC．
参考答案：1．△ADB △ADC 2．ASA （或AAS ） SSS
3．9 cm 12 cm 11 cm 4．∠ACB=∠DBC 或AB=CD
△ACB AAS 6·D 7·D 8·A
参考答案
一、选择题：
1. A
2. C
3. B
4. C
二、填空题：
5. 4
6. 90
三、解答题：
7. 解：ABC ∆为等边三角形
∴AB BC =，60ABC C ∠=∠=
在ABM ∆与BCN ∆中
AB BC
ABC C BM CN
=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABM BCN ∆≅∆(SAS)
∴NBC BAM ∠=∠
∴60AQN ABQ BAM ABQ NBC ∠=∠+∠=∠+∠=。

8. 证明：AE CD ⊥，BF CD ⊥
∴90F AEC ∠=∠=
∴90ACE CAE ∠+∠=
90ACB ∠=
∴90ACE BCF ∠+∠=
∴CAE BCF ∠=∠
在ACE ∆与CBF ∆中
F AEC
CAE BCF AC BC
∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ACE CBF ∆≅∆(AAS)
∴BF CE =。

9.证明：
（1）∵AD//BC，∴∠B＋∠DAB=180°
又∵∠DAB＋∠4＋∠EAF＋∠3=360°，∠3=∠4=90°
∴∠DAB＋∠EAF=180°
∴∠B=∠EAF
在△ABC和△FAE中
∴△ABC≌△FAE（SAS）∴AC=EF
（2）∵△ABC≌△FAE
∴∠1=∠F 又∵∠1＋∠3=∠2＋∠F
∴∠2=∠3 又∵∠3=90°∴∠2=90°∴AG⊥EF，即AC⊥EF
10.
证明：延长BA、CE交于点F.
∵∠3=90°，∴∠5＋∠F=90°
又∵BE⊥CE，∴∠4=90°，∠7=90°∴∠1＋∠F=90°，∠6=180°－90°=90°∴∠1=∠5
在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF（ASA）
∴BD=FC
在△BEF和△BEC中∴△BEF≌△BEC（ASA）
∴EF=EC ∴FC=2EC ∴BD=2EC。